2010高考数学复习专题：函数的最值

函数的最值（值域）●高考要求掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了●重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、导数法 数形结合法（图像法）导数法 数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 ●知识点归纳 一、相关概念1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x = 最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。

记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

二、 确定函数值域的原则1、当函数)(x f y =用表格给出时，函数的值域指表格中实数y 的集合；则值域为{1，2，3，4}2、数)(x f y =的图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；3、数)(x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。

三、基本函数的值域1、一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ；2、二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时3、反比例函数)0(≠=k xk y的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；4、数函数)10(≠>=a a a y x 且的值域为}0/{>y y ；5、对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；6、函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-；7、函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

四、求函数值域的方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。

常用方法：（1）观察法(用非负数的性质，如：20x ≥；0x ≥0(0)x ≥≥等)例如：求下列函数的值域：y=-3x 2+2;{y|y ≥2}变式：y=5+21+x (x ≥-1).{y|y ≥5}最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．函数y=ax+1 (a ≠0，－1≤x ≤1)的值域是______. （2）直接法：利用常见函数的值域来求，（3）配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；例如：求值域：y=21x x ++，x R ∈；x []3,1-∈； (1,5]x ∈；[5,1]x ∈-- 变式1：y ＝－x 2＋4x －1 x ∈[-1,3)； 变式2：求函数y=34252+-x x 的值域.变式3：当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：21-≥a ）；（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例如：求函数x x y -+=142的值域. (]4,∞- 变式1：求函数y=3x-x 21-的值域.{y|y ≤23}变式2：21y x =++的值域为_____（答：(3,)+∞）t =，0t ≥。

运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；变式3：4y x =++的值域为____（答：[1,4]）；变式4：函数21x x y --=的值域为____变式5：22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8-）；变式6：sin cos sin cos y x x x x =++ 的值域为____（答：1[1,2-+）；变式7：求函数)42(5loglog241241≤≤+-=x xx y的值域（5）分离常数法（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．（6）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x dcx b ax y ∈++=例如：求下列函数的值域：y=12++x x ({y|y 1≠})变式：函数y =2211xx +-的值域是（ ）A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）解法一：y =2211xx +-=212x+－1. ∵1+x 2≥1，∴0＜212x+≤2.∴－1＜y ≤1.解法二：由y =2211xx +-，得x 2=yy +-11.∵x 2≥0，∴yy +-11≥0，解得－1＜y ≤1.解法三：令x =tan θ（－2π＜θ＜2π），则y =θθ22tan 1tan 1+-=cos2θ.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y ≤1.答案：B 求函数()3025x y x x -=≥+的值域求函数122+=x xy 的值域（7）利用判别式法（将函数转化为二次方程）；若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a （y ）x 2+ b （y ）x +c （y ）=0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2（y ）－4a （y ）·c （y ）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值.例5 求函数y =432+x x 的最值．[-43,43]变式：22221x x y x x -+=++；[1,5]（8）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x xy =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域（答： 1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2-∞）；（9）基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xk x y ，利用基本不等式公式来求值域；设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。

求函数)52(1≤≤+=x xx y的值域求函数41422+++=xx y 的最小值（10）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )；如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；求1(19)y x x x=-<<，229sin 1sin y x x=++的值域为______（答：80(0,)9、11[,9]2）； 函数f (x )=xx x1log823-+-的值域【2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭】 函数412)21(--=x x y 的值域【(】（11）数形结合：根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2y x +及2y x -的取值范围（答：[33-、[）； 求函数y =的值域. 求函数2sin 2cos x y x-=-的值域（12）导数法―求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

（答：－48）●典例剖析题型一：函数值域问题 例1、求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x x y ④xx y 1+=解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5]②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y当x<0时，)1(xx y -+--==－2)1(2----xx 2-≤∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞)（此法也称为配方法） 函数xx y 1+=的图像为：∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞)例2．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+；（2）y =（3）312x y x +=-；（4）y x =+（5）y x =+（6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++；（8）2211()212x x y x x -+=>-；（9）1sin 2cos x y x-=-。