2010高考数学复习专题:函数的最值
函数的最值(值域)
●高考要求
掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法
最值问题,几乎涉及到高中数学的各个分支,是历年高考重点考查的知识点之一,有一些基础题,也有一些小综合的中档题,更有一些以难题形式出现.它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系.所以其解法灵活,综合性强,能力要求高.解决这类问题,要掌握各数学分支知识,能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.考生的运算能力,分析问题和解决问题能力在这里充分展现.因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧,以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了,值域也就知道了反之,若求出的函数的值域为非开区间,函数的最大或最小值也等于求出来了
●重难点归纳
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、导数法 数形结合法(图像法)导数法 数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题,从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 ●知识点归纳 一、相关概念
1、值域:函数A x x f y ∈=,)(,我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。
2、最值:求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值。因此,求函数的最值和值域,其实质是相同的,只是提问不同而已。
最大值:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足:①对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;②存在x 0∈I ,使得f (x 0) = M 。那么,称M 是函数y =f (x )的最大值。记作()max 0y f x = 最小值:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足:①对于任意的x ∈I ,都有f (x )≥M ;②存在x 0∈I ,使得f (x 0) = M 。那么,称M 是函数y =f (x )的最小值。记作()min 0y f x = 注意:
①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x 0∈I ,使得f (x 0) = M ;
② 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M (f (x )
≥M )。
二、 确定函数值域的原则
1、当函数)(x f y =用表格给出时,函数的值域指表格中实数y 的集合;
则值域为{1,2,3,4}
2、数)(x f y =的图像给出时,函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;
3、数)(x f y =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;
4、由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义决定。 三、基本函数的值域
1、一次函数)(0≠+=a b kx y 的定义域为R ,值域为R ;
2、二次函数)(02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ,;
当]44(0);44[02
2a
b a
c ,,a ,a b ac ,a --∞<∞+->值域是时值域是时
3、反比例函数)
0(≠=
k x
k y
的定义域为{x|x ≠0},值域为}0/{≠y y ;
4、数函数)10(≠>=a a a y x 且的值域为}0/{>y y ;
5、对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ;
6、函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-;
7、函数 2
k x ,tan π
π+
≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为
R 。
四、求函数值域的方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 常用方法:
(1)观察法(用非负数的性质,如:2
0x ≥;0x ≥0(0)x ≥≥等)
例如:求下列函数的值域:y=-3x 2
+2;{y|y ≥2}
变式:y=5+21+x (x ≥-1).{y|y ≥5}最值问题,几乎涉及到高中数学的各个分支,是历年高考重点考查的知识点之一,有一些基础题,也有一些小综合的中档题,更有一些以难题形式出现.它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系.所
以其解法灵活,综合性强,能力要求高.解决这类问题,要掌握各数学分支知识,能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.考生的运算能力,分析问题和解决问题能力在这里充分展现.
函数y=ax+1 (a ≠0,-1≤x ≤1)的值域是______. (2)直接法:利用常见函数的值域来求,
(3)配方法:(二次或四次) 转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;
常转化为含有自变量的平方式与常数的和,型如:),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式,然后根据变量的取值范围确定函数的最值;
例如:求值域:y=21x x ++,x R ∈;x []3,1-∈; (1,5]x ∈;[5,1]x ∈-- 变式1:y =-x 2+4x -1 x ∈[-1,3); 变式2:求函数y=
3
4252
+-x x 的值域.
变式3:当]2,0(∈x 时,函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值,则a 的取值范围是___(答:2
1-
≥a );
(4)换元法(代数换元法)通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题,化归思想;
例如:求函数x x y -+=142的值域. (]4,∞- 变式1:求函数y=3x-x 21-的值域.{y|y ≤2
3}
变式2:21y x =++的值域为_____
(答:(3,)+∞)t =,0t ≥。运用换元法时,要特别要注意新元t 的范围);
变式3:4y x =++
的值域为____(答:[1,4])
;
变式4:函数21x x y --=的值域为____
变式5:2
2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____(答:17[4,
]8
-);
变式6:sin cos sin cos y x x x x =++ 的值域为____(答:1[1,2-+
);
变式7:求函数)
42(5log
log
2
4
124
1≤≤+-=x x
x y
的值域
(5)分离常数法(分式转化法);对某些分式函数,可通过分离常数法,化成部分分式来求
值域.
(6)逆求法(反求法):通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围;常用来解,型如:),(,n m x d
cx b ax y ∈++=
例如:求下列函数的值域:y=
1
2++x x ({y|y 1≠})
变式:函数y =2
211x
x +-的值域是( )
A.[-1,1]
B.(-1,1]
C.[-1,1)
D.(-1,1)
解法一:y =
2
211x
x +-=
2
12x
+-1. ∵1+x 2≥1,∴0<
2
12x
+≤2.∴-1<y ≤1.
解法二:由y =
2
211x
x +-,得x 2
=
y
y +-11.∵x 2
≥0,∴
y
y +-11≥0,解得-1<y ≤1.
解法三:令x =tan θ(-
2
π<θ<2
π),则y =
θ
θ2
2
tan 1tan 1+-=cos2θ
.∵-π<2θ<π,∴-1<cos2θ≤1,即-1<y ≤1.答案:B 求函数()3025x y x x -=
≥+的值域
求函数1
2
2+=x x
y 的值域
(7)利用判别式法(将函数转化为二次方程);若函数y =f (x )可以化成一个系数含有y 的关
于x 的二次方程a (y )x 2+ b (y )x +c (y )=0,则在a (y )≠0时,由于x 、y 为实数,故必须
有Δ=b 2(y )-4a (y )·c (y )≥0,从而确定函数的最值,检验这个最值在定义域内有相应的x 值.
例5 求函数y =4
32
+x x 的最值.[-
4
3
,43]
变式:2
2221
x x y x x -+=
++;[1,5]
(8)三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
求函数2sin 11sin y θθ
-=+,3
13
x x
y =
+,2sin 11cos y θθ-=
+的值域(答: 1(,]2
-∞、(0,1)、3(,]2
-∞
);
(9)基本不等式法:转化成型如:)0(>+=k x
k x y ,利用基本不等式公式来求值域;
设12,,,x a a y 成等差数列,12,,,x b b y 成等比数列,则2
12
21)(b b a a +的取值范围是____________.
(答:(,0][4,)-∞+∞ )。 求函数)52(1≤≤+
=x x
x y
的值域
求函数4
1
42
2++
+=x
x y 的最小值
(10)单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域
如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上单调递增,在区间[b ,c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b );
如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上单调递减,在区间[b ,c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b );
求1(19)y x x x
=-
<<,2
2
9sin 1sin y x x
=+
+的值域为______(答:80(0,
)9
、11[
,9]2
)
; 函数f (x )=x
x x
1log
823
-+
-的值域【
2,3
??
+∞????
】 函数4
12
)
2
1
(-
-=x x y 的值域【(
】
(11)数形结合:根据函数图象或函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域
已知点(,)P x y 在圆221x y +=上,求
2
y x +及2y x -的取值范围(答:[3
3
-
、
[)
; 求函数y =的值域. 求函数2sin 2cos x y x
-=
-的值域
(12)导数法―求函数32()2440f x x x x =+-,[3,3]x ∈-的最小值。(答:-48)
●典例剖析
题型一:函数值域问题 例1、求下列函数的值域
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+
=42)( ③1
+=
x x y ④x
x y 1+
=
解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5]
②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}
③1
111
111
+-
=+-+=
+=
x x x x x y ∵
01
1≠+x ∴1≠y
当x<0时,)1(x
x y -+
--==-2)1(2
---
-x
x 2-≤
∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞)(此法也称为配方法) 函数x
x y 1+
=的图像为:∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞)
例2.求下列函数的值域:
(1)232y x x =-+;(2)y =
(3)312
x y x +=-;
(4)y x =+(5)y x =+(6)|1||4|y x x =-++;
(7)2
2221
x x y x x -+=++;(8)2
211()21
2
x x y x x -+=
>
-;
(9)1sin 2cos x y x
-=-。
解:(1)(配方法)2
2
12323323()6
12
12
y x x x =-+=-+≥ ,
∴232y x x =-+的值域为23[
,)12
+∞。
改题:求函数232y x x =-+,[1,3]x ∈的值域。
解:(利用函数的单调性)函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增, ∴当1x =时,原函数有最小值为4;当3x =时,原函数有最大值为26。 ∴函数232y x x =-+,[1,3]x ∈的值域为[4,26]。
(2)求复合函数的值域:设2
65x x μ=---(0μ≥),则原函数可化为y =。
又∵2
2
65(3)44x x x μ=---=-++≤,∴04μ≤≤[0,2],
∴y =
的值域为[0,2]。
(3)(法一)反解法:由312
x y
x +=
-得213
+=
-y x
y ,由此得3y ≠∴原函数312
x y x +=
-的值域为
{|3}y R y ∈≠。
(法二)分离变量法:313(2)7
732
2
2
x x y x x x +-+=
=
=+
---,
∵
70
2
x ≠-,∴7332
x +
≠-,∴函数312
x y x +=
-的值域为{|3}y R y ∈≠。
(4)换元法(代数换元法):设0t =
≥,则21x t =-,
∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥,∴5y ≤,∴原函数值域为(,5]-∞。 注:
总结y ax b =++
变形:2y ax b =++
2y ax b =++
(5)三角换元法:∵21011x x -≥?-≤≤,∴设cos ,[0,]x ααπ=∈,
则cos sin )4
y π
ααα=+=
+
∵[0,]απ∈,∴5[
,]4
44
π
ππ
α+∈
,∴sin()[,1]4
2
π
α+
∈-
,
)[4
π
α+
∈-
,∴原函数的值域为[1,
-。
(6)数形结合法:23(4)
|1||4|5
(41)23(1)
x x y x x x x x --≤-??
=-++=-<?+≥?
,∴5y ≥,∴函数值域为[5,)+∞。
(7)判别式法:∵210x x ++>恒成立,∴函数的定义域为R 。
由2
2221
x x y x x -+=
++得:2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①
①当20y -=即2y =时,①即300x +=,∴0x R =∈
②当20y -≠即2y ≠时,∵x R ∈时方程2
(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根,
∴△2
2
(1)4(2)0y y =+-?-≥ ,∴15y ≤≤且2y ≠,∴原函数的值域为[1,5]。
(8)2
1
21(21)11112121
21
21
2
2
2
x x x x y
x x x x x x -+-+=
=
=+
=-
+
+
----
,
∵12
x >
,∴102
x -
>
,∴11212
2
x x -
+
≥=
-
当且仅当1
1212
2
x x -
=
-
时,即12
x +=
时等号成立。
∴12
y ≥
,∴原函数的值域为1,)2
+∞。
(9)(法一)方程法:原函数可化为:sin cos 12x y x y -=-, )12x y ?-=-(其中cos sin ??=
=
),
∴sin()[1,1]x ?-=
-,∴|12|y -≤2
340y y -≤,∴403
y ≤≤
,
∴原函数的值域为4
[0,]3
。
点评:上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法,在现行的中学数学要求中,求值域要求不高,要求较高的是求函数的最大与最小值,在后面的复习中要作详尽的讨论。 变式:求下列函数的值域:①])1,1[,,0,0(-∈>>>-+=
x b a b a bx
a bx a y (2种方法)
; ②)0,(,3
2
-∞∈+-=x x
x x y (2种方法)
;③)0,(,1
32
-∞∈-+-=x x x x y (2种方法)
; 例3求函数6
652
2
-++-=
x x x x y 的值域
方法一:(判别式法)去分母得 (y -1)2x +(y+5)x -6y -6=0 ①
当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2+4(y -1)×6(y+1)≥0由此得 (5y+1)2≥0
检验 5
1-
=y 时 2)
5
6(2551=-
?+--
=x (代入①求根) ∵2 ? 定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴5
1-≠y
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1 综上所述,函数6
6522
-++-=
x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5
1
-
}
方法二:(分离常数法)把已知函数化为函数3
613
3)
3)(2()
3)(2(--
=+-=+---=x x x x x x x y (x ≠2) 由
此可得 y ≠1 ∵ x=2时 5
1-
=y 即 5
1-
≠y ∴函数6
652
2
-++-=
x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5
1-
}
例4 (分段函数法及图像法)求函数y=|x+1|+|x-2|的值域 解法1:将函数化为分段函数形式:
画出它的图象,由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}
解法2:(几何法或图象法)∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞] 如图
例5求函数x x y -+=142的值域 解:(换元法)设 x t -=
1 则 t ≥0 x=1-2t
代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-?==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 例6设函数2
221()log log (1)log ()1
x f x x p x x +=+-+--,
(1)求函数的定义域;
(2)问()f x 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明理由
解:(1)由101100x x x p x +?>?-??->?
->??
,解得1
x x p >?? ①
当1p ≤时,①不等式解集为?;
当1p >时,①不等式解集为{}|1x x p <<,∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >
(2)原函数即2
2
221(1)()log [(1)()]log [()]2
4
p p f x x p x x -+=+-=--+
,
当
112
p -≤,即13p <≤时,函数()f x 既无最大值又无最小值;
当112
p p -<
<,即3p >时,函数()f x 有最大值22log (1)2p +-,但无最小值
题型二:最值问题
例1.(2002全国理,21)设a 为实数,函数2
()1f x x x a =+-+,x ∈R . (1)讨论()f x 的奇偶性; (2)求()f x 的最小值.
解:(1)当0a =时,函数2
()()1()f x x x f x -=-+-+=,此时()f x 为偶函数;
当0a ≠时,2
()1f a a =+,2
()21f a a a -=++,()()f a f a -≠, ()()f a f a -≠-.
此时函数()f x 既不是奇函数,也不是偶函数; (2)①当x a ≤时,函数22
13()1()24
f x x x a x a =-++=-++
.
若12
a ≤
,则函数()f x 在(]a -∞,上单调递减,从而,函数()f x 在(]a -∞,上的最小值为
2
()1f a a =+;若12
a >,则函数()f x 在(]a -∞,上的最小值为13()2
4
f a =
+,且
1()()
2
f f a ≤; ②当x a ≥时,函数22
13()1()24f x x x a x a =+-+=+-+
;
若12a -≤,则函数()f x 在[)a +∞,上的最小值为13()2
4
f a -
=
-,且1()()2
f f a -
≤.
若12
a >-
,则函数()f x 在[)a +,∞上单调递增,从而,函数()f x 在[)a +,∞上的最小值为
2
()1f a a =+.
综上,当12
a -≤时,函数()f x 的最小值是
34
a -,
当1122
a -
<≤时,函数()f x 的最小值是21a +,
当12
a >时,函数()f x 的最小值是
34a +.
点评:函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题,如果平时注意知识的积累,对解此题会有较大帮助.因为x ∈R ,f (0)=|a |+1≠0,由此排除f (x )是奇函数的可能性.运用偶函数的
定义分析可知,当a =0时,f (x )是偶函数,第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。 变式1:设函数2
()21f x x x =+--,x ∈R .
(1) 判断函数()f x 的奇偶性;(2)求函数()f x 的最小值.
解:(1)(2)3f =,(2)7f -=,由于(2)(2)f f -≠,(2)(2)f f -≠-. 故()f x 既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)()f x =2
232
12
x x x x x x ?+-??-+? ≥
由于()f x 在[)2+,∞上的最小值为(2)3f =,在(2)-∞,内的最小值为13()2
4
f =
.
故函数()f x 在()-+∞,∞内的最小值为34
.
例2:已知函数f (x )=x
a x x
++22
,x ∈[1,+∞),
(1)当a =
2
1时,求函数f (x )的最小值
(2)若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围
思路分析 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式;解法二运用分类讨论思想解得 (1)解 当a =
2
1时,f (x )=x +
x
21+2
∵f (x )在区间[1,+∞)上为增函数,∴f (x )在区间[1,+∞)上的最小值为f (1)=2
7
(2)解法一 在区间[1,+∞)上, f (x )=
x
a
x x ++22
>0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立
设y =x 2
+2x +a ,x ∈[1,+∞),∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a -1递增,
∴当x =1时,y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时,函数f (x )>0恒成立,故a >-3 解法二 f (x )=x +
x
a +2,x ∈[1,+∞)
当a ≥0时,函数f (x )的值恒为正;
当a <0时,函数f (x )递增,故当x =1时,f (x )min =3+a ,
当且仅当f (x )min =3+a >0时,函数f (x )>0恒成立,故a >-3
点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题,着重于学生的综合分析能力以及运算能力 解题的关健是把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围,体现了转化的思想与分类讨论的思想
例3.(2008江苏理,20)已知函数1
1()3
x p f x -=,2
2()23
x p f x -=?(12,,x R p p ∈为常数).函
数()f x 定义为:对每个给定的实数x ,112212
(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤?=?>?若若
(1)求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件(用12,p p 表示);
(2)设,a b 是两个实数,满足a b <,且12,(,)p p a b ∈.若()()f a f b =,求证:函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为
2
b a -(闭区间[,]m n 的长度定义为n m -)
解:(1)由()f x 的定义可知,1()()f x f x =(对所有实数x )等价于 ()()12f x f x ≤(对所有实数x )这又等价于1
2
3
23
x p x p --≤ ,
即12
3log 2
3
3
2x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. (*)
由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -,
故(*)等价于12
3
2p p -≤,即123log 2p p -≤,这就是所求的充分必要条件
(2)分两种情形讨论
(i )当1232p p log -≤时,由(1)知1()()f x f x =(对所有实数[,]x a b ∈) 则由()()f a f
b =及1a p b <
<易知12
a b p +=
,
再由11
1113
,()3
,p x x p x p f x x p --?=?≥??的单调性可知,
函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度
为2
2
a b b a b +--
=
(参见示意图1)
(ii )1232p p log ->时,不妨设12,p p <,则213log 2p p ->,于是 当1x p ≤时,有1212()33()p x
p x
f x f x --=<<,从而1()()f x f x =;
当2x p ≥时,有31212
21
2
2
log 2
12()33
3
3
3
3
()x p p p x p p p x p x p f x f x --+----===>=
从而 2()()f x f x = ; 当12p x p <<时,11()3
x p f x -=,及22()23
p x
f x -=?,由方程1
23
23
x p p x
--=?
解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为 12
031log 22
2
p p x +=+ ⑴
显然10221321[()log 2]2
p x p p p p <=-
--<,
这表明0x 在1p 与2p 之间。由⑴易知 10
1022
(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤?=?<≤?
综上可知,在区间[,]a b 上,0
102
(),()(),a x x f x f x x x b f x ≤≤?=?<≤? (参见示意图2)
故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知,()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为
012()()x p b p -+-,由于()()f a f b =,即12
323
p a
b p --=?,得
123log 2p p a b +=++ ⑵
故由⑴、⑵得 0121231()()[log 2]2
2
b a x p b p b p p --+-=-+-=
综合(i )(ii )可知,()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2
a b -。
点评:函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题,如果平时注意知识的积累,对解此题
会有较大帮助.因为x ∈R ,f (0)=|a |+1≠0,由此排除f (x )是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知,当a =0时,f (x )是偶函数,第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。
题型三:函数的综合题
例1.已知函数()f x 的定义域为[]0,1,且同时满足: (1)对任意[]0,1x ∈,总有()2f x ≥; (2)(1)3f =
(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤,则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值;
(II)求()f x 的最大值;
(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足*
12
(3),n n S a n N =--∈. 求证:1231
1
2332()()()()2n n f a f a f a f a n -?++++≤+-
.
解:(I )令120x x ==,由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤
由对任意[]0,1x ∈,总有()2,(0)2f x f ≥∴= (2分) (II )任意[]12,0,1x x ∈且12x x <,则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥
22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥
max ()(1)3f x f ∴== (6分)
(III)*
12(3)()n n S a n N =--∈ 1112
(3)(2)n n S a n --∴=--≥ 1
1
11133
(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴=
(8分)
1
11112113333333
()()()(
)(
)23(
)4n n
n
n
n
n
n
n f a f f f f f -∴==+
≥+-≥-+
1
11143
3
33
(
)(
)n
n f f -∴≤
+
,即1143
3
())(n n f a f a +≤+。 2
2
1
1
2
2
1
141441444411213
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+
≤
+
+
≤≤
+
+
++
+
=+
故1
13
()2n n f a -≤+
1213
1
1()1()()()2n n
f a f a f a n --∴+++≤+
即原式成立。 (14分)
点评:本题贴近生活。要求考生读懂题目,迅速准确建立数学模型,把实际问题转化
为数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向。 例2.(2003北京春,理文21)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元。
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为:
50
3000
3600- =12,所以这时租出了88辆车。
(2)设每辆车的月租金定为x 元,则租赁公司的月收益为:
f (x )=(100-
503000-x )(x -150)-
50
3000-x ×50,
整理得:f (x )=-
50
2
x
+162x -21000=-
50
1(x -4050)2+307050。
所以,当x =4050时,f (x )最大,其最大值为f (4050)=307050。
即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为307050元.
点评:根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后,还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。 例3.(2006湖南 理20)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)物体质量(含污物)
污物质量-
1为8.0,要求清洗完后的清洁度为99.0。有两种
方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为)31(≤≤a a 。设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是
1
8.0++x x )1(->a x ,用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
a
y ac y ++,其中
c )99.08.0(< (Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最小? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响。 解:(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z 。 由题设有 0.81 x x ++=0.99,解得x =19。 由0.95c =得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y 满足方程: 0.950.99,y a y a +=+解得y =4a ,故z =4a +3.即两种方案的用水量分 别为19与4a +3。 因为当13,4(4)0,a x z a x z ≤≤-=->>时即,故方案乙的用水量较少。 (II )设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ,类似(I )得 545(1) c x c -= -,(99100)y a c =-(*) 于是545(1) c x y c -+= -+(99100)a c -1100(1)15(1) a c a c = +---- 当a 为定值时,11x y a a +≥-=-+, 当且仅当 1100(1)5(1) a c c =--时等号成立。 此时1)1(0.8,0.99),c c =+ =- 不合题意,舍去或 将1c =- * )式得11,.x a y a =->-= 故1c =-, 此时第一次与第二次用水量分别为1a 与, 最少总用水量是()1T a a =-+。 当'13,()10a T a ≤≤= ->时, 故T(a )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明,随着a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。 点评:本题贴近生活。要求考生读懂题目,迅速准确建立数学模型,把实际问题转化为数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向。 题型四:课标创新题 例1.(1)设d cx bx ax x x f ++++=2 3 4 )(,其中a 、b 、c 、d 是常数。 如果,30)3(,20)2(,10)1(===f f f 求的值)6()10(-+f f ; (2)若不等式)1(122 ->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的取值范围。 解:(1)构造函数,10)()(x x f x g -=则,0)3()2()1(===g g g 故:.810460)6)(36)(26)(16(100) 10)(310)(210)(110()6()10(=---------++----=-+r m f f (2)原不等式可化为.0)12()1(2 <---x m x 构造函数)22)(12()1()(2 ≤≤----=m x m x m f ,其图象是一条线段。 根据题意,只须: ?????<---=<----=-,0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22 x x f x x f 即? ????<-->-+.0122,03222 2 x x x x 解得2 3 12 7 1+< <+-x 。 点评:上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题,体现了函数的工具作用。 例5、(2004年广东,19)设函数f (x )=|1- x 1|(x >0), 证明:当0<a <b ,且f (a )=f (b )时,ab >1. 剖析一:f (a )=f (b )?|1-a 1|=|1- b 1|?(1- a 1)2 =(1- b 1)2 ?2ab =a +b ≥2ab ?ab >1. 证明:略. 剖析二:f (x )=??? ??? ?+∞∈-∈-). ,1(11], 1,0(11 x x x x 证明:f (x )在(0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.由0<a <b 且f (a )= f (b ),得0<a <1<b 且 a 1-1=1- b 1,即 a 1+ b 1=2?a +b =2ab ≥2ab ?ab >1. 评注:证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法. ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2(x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 , 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 。 34 .( 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 2015高考数学专题复习:函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标. ()x g x f y -=)(的零点(个数)?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标(个数) ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根(个数) ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标(个数) 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 ( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A .[0,1] B .[1,2] C .[2,3] D .[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 ( ) A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 ( ) A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 ( ) A .()21, B .()32, C .()43, D .()54, 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3,则a =______ 函数专题练习 (一) 选择题(12个) 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A .1ln (0)y x x =+> B .1ln (0)y x x =-> C .1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1 a a x a x f x x x -+=?>?是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11[,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠, 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 ) B 1 .函数 y = a | x | (a > 1)的图象是 ( y y o x o A B B ( ) y o 1 x -1 o 函数图象 ) y 1 1 x o x C y y x x o 1 y 1 o x D y -1 o x A B C B 3.当 a>1 时,函数 y=log a x 和 y=(1 - a)x 的图象只可能是( ) y A4.已知 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象如图所示 yf ( x ) x O 则函数 F(x)=f(x) ·g(x) 的图象可以是 (A) y y y O x O x O x A xa x B C B 5.函数 y (a 1) 的图像大致形状是 ( ) | x | y y y O f ( x) 2x x O 1 O x ( D 6.已知函数 x x x 1 ,则 f x ( 1- x )的图象是 log 1 2 y y y A B C 2 。 。 1 。 - 1 D y y g( x) O x y O x D y O ) x y D 2 O x A B C D D 7.函数 y x cosx 的部分图象是 ( ) A 8.若函数 f(x) =x 2 +bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f /(x)的图象是 ( ) y y y y o x o x o x o x A B C D A 9.一给定函数 y f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 a 1 (0,1) ,由关系式 a n 1 f (a n ) 得到的数列 { a n } 满足 a n 1 a n (n N * ) ,则该函数的图象是 ( ) A B C D C10.函数 y=kx+k 与 y= k 在同一坐标系是的大致图象是( ) x y y y y O x O x O x O x A 11.设函数 f ( x ) =1- 1 x 2 (- 1≤ x ≤0)的图像是( ) A B C D 2021高考数学专题复习:二次函数 (1)已知函数()x f 满足()(),x a f x a f -=+则()x f y =对称轴为 ()()?-=+x f x f 22对称轴=x ()()?--=+-x f x f 11对称轴=x ()()220f f x =?= ?=0x ()()131f f x =?= ?=1x ()()042f f x =?= ?=2x (2)已知函数()x f 满足()(),x b f x a f -=+则()x f y =对称轴为 ()()?-=+x f x f 62对称轴=x ()()?-=+x f x f 51对称轴=x ?=0x ?=0x ?=1x ?=1x ?=2x ?=2x (3)已知函数()x f 满足()(),x a f x f -=则()x f y =对称轴为 ()()?-=x f x f 6对称轴=x ()()?-=x f x f 2对称轴=x ?=0x ?=0x ?=1x ?=1x ?=2x ?=2x 作函数图像: (1)322--=x x y (2) 432-+=x x y (3)x x y 32+-= (4)32+-=x y (5)x x y 22--= (6)432-+-=x x y (7)x x y 22+= (8)x x y 22--= (9)432-+-=x x y (10)x x y 42-= (11)x x y 22+= (12)432-+=x x y (13)()()?????<+≥-=0.20.222x x x x x x y (14)()()?????<--≥+-=0.20.222x x x x x x y (15)()() ?????<-+≥--=0.320.3222x x x x x x y (16)()()?????<-≥+=0.0.22x x x x x x y (17)()()?????<--≥--=0.430.4322x x x x x x y (18)()() ?????<+≥-=0.20.222x x x x y 1.函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-,()()()1,1,2f f f -的大小关系为 2.函数()x f 满足()(),31x f x f -=+在区间(]2,∞-上单调递增,设()()(),5,2,5.1f c f b f a ==-= 则,,a b c 的大小顺序为 高考数学总复习专题讲解60 成对数据的统计 分析 [考点要求] 1.会做两个有关联变量的数据的散点图,并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用. 1.两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关. (2)负相关 在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. 2.回归方程 (1)最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程:方程y ^=b ^x +a ^ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的回归方程,其中a ^,b ^ 是待定参数. ?????b ^=∑n i =1 (x i -x )(y i -y ) ∑n i =1 (x i -x )2 = ∑n i =1 x i y i -n x -y - ∑n i =1x 2i -nx 2 a ^=y -b ^x . 3.回归分析 (1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其中(x -,y - )称为样本点的中心. (3)相关系数 当r >0时,表明两个变量正相关; 当r <0时,表明两个变量负相关. r 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性. 4.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ,它们的可能取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y 1 y 2 总计 x 1 a b a +b x 2 c d c +d 总计 a +c b +d a + b + c +d 构造一个随机变量K 2 =n (ad -bc )(a +b )(a +c )(b +d )(c +d ),其中n =a +b +c +d 为样本容量. [常用结论] 1.回归直线必过样本点的中心(x ,y ). 2.当两个变量的相关系数|r |=1时,两个变量呈函数关系. 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( ) (2)通过回归直线方程y ^=b ^x +a ^ 可以估计预报变量的取值和变化趋势.( ) (3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所以没有必要进行相关性检验.( ) (4)事件X ,Y 关系越密切,则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1.在两个变量y 与x 的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数R 2如下,其中拟合效果最好的是( ) 2019年高考数学复习三角函数常用公式 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。以下是三角函数常用公式,请打击学习记忆。 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及 sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式: sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言,集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义. 3. 理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给定集合中一个子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用文氏图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想. 【基础知识部分】 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表 示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A = A ?= B A ? B B ? ()U A =e 2()U A A U =e 【范例解析】 例.已知R 为实数集,集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=, {01R B C A x x ?=<<或23}x <<,求集合B . 【基础练习】 1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示 . 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈,{2,}B x x k k Z ==∈,则A B ?= . 3.已知集合{0,1,2}M =,{2,}N x x a a M ==∈,则集合M N ?=_______. 4.设全集{1,3,5,7,9}I =,集合{1,5,9}A a =-,{5,7}I C A =,则实数a 的值为_______. 【反馈演练】 1.设集合{ }2,1=A ,{}3,2,1=B ,{}4,3,2=C ,则()C B A U ?=_________. 2.设P ,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ,则P +Q 中元素的个数是_______个. )()()U U B A B =?)()() U U B A B =? 函数专题练习 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A .1ln (0)y x x =+> B .1ln (0)y x x =-> C .1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+=?>? 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1 (0,)3 (C )11[,)73 (D )1[,1)7 3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠, 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 A .()22()x f x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x =>g ) 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念,了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一:函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是: 1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法. 3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求. 函数的图象是函数性质的直观载体,函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此,掌握函数的图像是学好函数性质的关键,这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。 2021高考专题复习(1)周期函数定义 一、定义: 1.对于函数(),x f 如果存在一个大于零的实数,T 使当x 取定义域内的每一个值时,都有()(),x f T x f =+ 则函数()x f y =的最小正周期为 ()()2f x f x T +=?= ()()4f x f x T -=?= ()()6f x f x T =+?= 2.若()(),b x f a x f +=+则函数()x f y =的最小正周期为 ()()27f x f x T +=+?= ()()720f f x =?= ( )()f f x =?=1 ?=2x ?=3x ()()36f x f x T -=+?= ( )()f f x =?=0 ?=1x ?=2x ?=3x 3.对于非零常数,A 若函数()x f y =满足()(),x f A x f -=+则函数()x f y =的最小正周期为 ()()()()?=-??? ? ??= +?-=+x f A x f x f A x f =?T ()()2f x f x T +=-?= ()()1f x f x T -=-?= 4.对于非零常数,A 函数()x f y =满足()() ,1 x f A x f = -则函数()x f y =的最小正周期为 ()() ()()?=????? ???? ?= -?= -x f A x f x f A x f 11 =?T ()() 1 1f x T f x += ?= ()() 1 2f x T f x -= ?= 5.对于非零常数,A 函数()x f y =满足()() ,1 x f A x f - =+则函数()x f y =的最小正周期为 ()() ()()?=- ????? ? ????= +- =+x f A x f x f A x f 11 =?T ()() 1 4f x T f x +=- ?= ()=?2020f , ()=2021f ()() 1 5f x T f x --= ?= ()=?2020f , ()=2019f 6.对于非零常数,A 函数()x f y =满足()()() ,11x f x f A x f +-=+则函数()x f y =的最小正周期为 2021年高考数学总复习全套必考知识点梳理汇 总(通用版) 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元 素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? (答:,,)-? ?? ???1013 3. 注意下列性质: {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和 ∨∧ ()()? “非”(). ∧ p q p q 若为真,当且仅当、均为真 p q p q ∨ 若为真,当且仅当、至少有一个为真 ?p p 若为真,当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B中有元素无原象) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 10. 如何求复合函数的定义域? [] >->=+- 0义域 f x a b b a F(x f x f x 如:函数的定义域是,,,则函数的定 ())()() 高考数学复习重点:函数 函数的概念 函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域,含所有的输出值的集合被称作集合。若先定义映射的概念,可以简单定义函数为,定义在非空数集之间的映射称为函数。 一般地,给定非空数集A,B,从集合A到集合B的一个映射,叫做从集合A到集合B的一个函数。 向量函数:自变量是向量的函数叫向量函数f(a1.a2, a3......an)=y 如果X到Y的二元关系f:X×Y,对于每个x∈X,都有唯一的y∈Y,使得∈f,则称f为X到Y的函数,记做:f:X→Y。当X=X1×…×Xn时,称f为n元函数。 函数f的图象是平面上点对(x,f(x))的集合,其中x取定义域上所有成员的。函数图象可以帮助理解证明一些定理。 如果X和Y都是连续的线,则函数的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义:一是三元组 (X,Y,G),其中G是关系的图;二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。 当k0时,直线为降,过二四象限,向上或向下平移象限。函数的有界性 函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D,区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1(f(x1)+f(x2))/2)那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。 反函数 一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=f(y).若对于y在C 中的任何一个值,通过x=f(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=f(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f^-1(y).。反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。 二次函数:一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c(a≠0)(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a0时,抛物线向上开口;当a0),对称轴在y轴左 当a与b异号时(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b^2-4ac0时,函数在x=-b/2a处取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||2 2301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质: {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 要知道它的来历:若B 为A 的子集,则对于元素a 1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择,所以,总共有2n 种选择, 即集合A 有2n 个子集。 当然,我们也要注意到,这2n 种情况之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为21n -,非空真子集个数为22n - ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素,集合B 中有n 个元素,则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如:若}4,3,2,1{=A ,},,{c b a B =;问:A 到B 的映射有 个,B 到A 的映射有 个;A 到B 的函数有 个,若}3,2,1{=A ,则A 到B 的一一映射有 个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点: 做草图的原则是:速度快且能提供所需要的信息,通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性,对于一个陌生的可导函数,可通过对导函数的符号分析得到单调区间,图像形状依赖于函数的凹凸性,可由二阶导数的符号决定(详见“知识点讲解与分析”的第3点),这两部分确定下来,则函数大致轮廓可定,但为了方便数形结合,让图像更好体现函数的性质,有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来,下面以常见函数为例,来说明作图时常体现的几个信息点 (1)一次函数:y kx b =+,若直线不与坐标轴平行,通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点:两点确定一条直线 信息点:与坐标轴的交点 (2)二次函数:()2 y a x h k =-+,其特点在于存在对称轴,故作图时只需做出对称轴一侧的图像,另一侧由对称性可得。函数先减再增,存在极值点——顶点,若与坐标轴相交,则标出交点坐标可使图像更为精确 特点:对称性 信息点:对称轴,极值点,坐标轴交点 (3)反比例函数:1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞U ,是奇函数,只需做出正版轴图像即可(负半轴依靠对称做出),坐标轴为函数的渐近线 特点:奇函数(图像关于原点中心对称),渐近线 信息点:渐近线 注: (1)所谓渐近线:是指若曲线无限接近一条直线但不相交,则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制,例如在反比例函数中,x 轴是渐近线,那么当x →+∞,曲线无限向x 轴接近,但不相交,则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。 (2)水平渐近线的判定:需要对函数值进行估计:若x →+∞(或-∞)时,()f x →常 2015高考数学专题复习:函数图像 1、判断函数图像依据: 1.基本函数图像特征: 2.奇偶性: 3.导数单调性: 4.特殊点: 5.定义域: 6.函数之间大小关系: 7.平移变换 2、指出下列函数与()x f y =的图像之间的关系: 1.()1-=x f y 2.()2-=x f y 3.()x f y -= 4.()x f y -= 5.()x f y --= 6.()x f y = 7.() x f y = 8.()x f y -= 练习:已知()()()()?? ?≤<≤≤-=10........... 01.sin x x x x x f π,作出下列函数图像: 1.()1-=x f y 2.()2-=x f y 3.()x f y -= 4.()x f y -= 5.()x f y --= 6.()x f y = 7.()x f y = 8.() x f y -= 1.函数)(x f y =与函数()x g y =的图像如右图所示,则函数()()x g x f y ?=的图像可能是下面的( ) 2.()y f x =的图像如图所示,则()y f x =的解析式可能为 ( ) A.()cos f x x x =-- B.()sin f x x x =-- C.()||cos f x x x = D.()||sin f x x x = 3.(山东)函数 sin x y x =, (,0)(0,)x ππ∈-的图像可能是下列图像中的 ( ) 4.(13山东)函数x x x y sin cos +=的图像大致为 ( ) 5.(山东)函数x x x y --= 226cos 的图像大致为 ( ) 第1讲函数、基本初等函数的图象与性质 考情解读(1)高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容,也是热点内容,对图象的考查主要有两个方面:一识图,二用图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题;对函数性质的考查,则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合,难度较大. 1.函数的三要素 定义域、值域及对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性. (3)周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足f(a+x)=f(x)(a不等于0),则其一个周期T=|a|. 3.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 作函数图象有两种基本方法:一是描点法,二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质[高考数学]高考数学函数典型例题
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