高考数学总复习全套讲义(学生)
高中数学全套讲义 必修1 集合 基础学生版
目录集合 (2)模块一：集合与元素 (2)考点1：集合与元素的关系 (2)模块二：集合间关系与运算 (4)考点2：集合相等 (5)考点3：已知集合关系反求参 (6)考点4：集合关系、运算综合 (7)课后作业 (9)集合模块一：集合与元素1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示．元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合的关系：∈、∉；3．常见的数集的写法：45．集合的表示法⑴ 列举法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn ）图．⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集．考点1：集合与元素的关系例1.（1）（2016秋•凉州区校级月考）已知集合{M a =，b ，}c 中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长，那么此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形（2）（2017秋•河南月考）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = )A ．1-B ．0C ．1D ．0 或1例2.（1）（2010•安徽模拟）已知集合2{|210A x ax x =++=，}a R ∈只有一个元素，则a 的值( )A ．0B ．1C ．0或1D ．1-（2）（2018秋•宽城区校级期末）已知集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是 ．例3.（2016秋•钦州月考）已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈- （1）若2a =，求出A 中其他所有元素；（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中所有元素．例 4.（2017秋•杨浦区校级期中）设a ，b ，c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++记集合{|()0S x f x ==，}x R ∈，{|()0T x g x ==，}x R ∈．若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．||1S =且||0T =B ．||1S =且||1T =C ．||2S =且||2T =D ．||2S =且||3T =模块二：集合间关系与运算1．子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，则A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇；规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ． 2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．3．集合相等：如果A B ⊆，且B A ⊆，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．4．交集：{}|AB x x A x B =∈∈且； 5．并集：{}|AB x x A x B =∈∈或；6．补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．②补集：A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉，且．7．A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=． 考点2：集合相等例5.（1）（2014秋•大竹县校级月考）设a ，b R ∈，集合{0，b ，}{1b a=，a ，}a b +，则2(a b += )A ．1B ．0C ．1-D ．不确定（2）（2018•浙江模拟）已知集合{1A =，2}，2{|(1)0B x x a x a =-++=，}a R ∈，若A B =，则(a = )A ．1B ．2C ．1-D ．2-（3）（2018秋•香坊区校级月考）已知{3M a =-，21a -，21}a +，{2N =-，43a -，31}a -，若M N =，则实数a 的值为 ．考点3：已知集合关系反求参例6.（1）（2017秋•雁峰区校级期中）若集合2{|60}P x x x =+-=，{|10}S x mx =+=，且S P ⊆，求由m 的可能取值组成的集合．（2）（2019•湘潭三模）已知集合2{|}A x ax x ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 的值为( )A ．1或2B ．0或1C ．0或2D ．0或1或2（3）（2019•临沂三模）已知集合2{|2}A x x x =<+，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，2]C ．[2，)+∞D ．[1-，)+∞（4）（2018秋•磐安县校级月考）已知{|1}A x x =<，2{|40}B x x x m =--，若A B ，则实数m 的取值范围是( )。
高中数学复习讲义
高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。
一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。
我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。
掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。
1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。
我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。
1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。
我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。
1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。
向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。
我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。
1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。
高考数学总复习全套资料
高考数学总复习资料高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析: 例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).（2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)（3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0 不等式的解为 x ∈∅.综上，当 0<a<1时，x ∈(a 2, a)当a<0或a>1时，x ∈(a,a 2) 当a=0或a=1时，x ∈∅.评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.例2．解关于x 的不等式 ax 2+2ax+1>0(a ∈R) 解:此题应按a 是否为0来分类.（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a ≠0时分为a>0 与a<0两类①10)1(00440002>⇒⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->⇒⎩⎨⎧>>a a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根aa a a aa a a a a a x )1(12442222,1-±-=-±-=-±-=.则原不等式的解为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . ②101000440002<<⇒⎩⎨⎧<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<>a a a a a a a ∆时， 方程ax 2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-∞，+∞）.③ 11000440002=⇒⎩⎨⎧==>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->⇒⎩⎨⎧=>a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-∞,-1)∪(-1,+∞).④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a a a a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:))1(1,)1(1(aa a a a a ----+-. ⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1000440002∆综上:当0≤a<1时，解集为（-∞，+∞）.当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . 当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞). 当a<0时，解集为))1(1,)1(1(aa a a a a ----+-. 例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(西城2003’一模 理科）解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1]. (2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a .当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在.② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120a a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1).a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a.-2<a<0时，x ∈]1,2[-a .a<-2时，x ∈]2,1[a-.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 10:能不分则不分； 20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值. 解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x 令sinx=t, t ∈[-1,1]. 则6243)2()(22++---=a a a t t f (t ∈[-1,1]). (1)当12>a即a>2时，t=1，2533max =++-=a a y 解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）. (2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432max =++-=a a y ,解方程为:34-=a 或a=4（舍）.(3)当12-<a 即a<-2时， t=-1时，y max =-a 2+a+5=2即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴ 2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2. 例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S n n --=1)1(1， 从而.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++nn n n n n n q a q q a q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n n S S S . ∵ 函数xy 5.0log =为单调递减函数.∴15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---b y a x ，一条渐近线的斜率为2=ab， ∴ b=2.∴ 555222==+==a a a b a c e . （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=ba，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或. 评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a .解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a0)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--aa，下面分为三种情况. ①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a aa a 即a<1时，解为)12,2(a a --. ②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a a a a 时，解为∅.③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121aa a ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(a a --.由（3）a>1时，aa--12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a aa a ⇒ a 不存在.② ⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a aa a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ a a .综上:a=1时，x ∈(2,+∞). a<1时，x ∈)12,2(aa-- a=0时，x ∈∅.0<a<1时，x ∈)2,12(a a-- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa.评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记. 课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x2．解不等式1|)3(log ||log |3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M. （1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+235321 2.]4943[，3. (1) M 为），（），（2452 ∞-(2)),9()35,(+∞-∞∈ a 4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
高中数学全套讲义 选修2-2 数学归纳法简单 学生版
目录目录 (1)考点一数学归纳法 (2)考点二用数学归纳法证明不等式 (3)课后综合巩固练习 (4)考点一 数学归纳法1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n=n 0时命题成立；（2）假设当n=k （k∈N +，且k≥n 0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．1．（2019春•诸暨市期末）用数学归纳法证明：“(1)(2)1(12)(123)(123)6n n n n ++++++++Λ++++⋯⋯+=”，由n k =到1n k =+时，等式左边需要添加的项是( ) A ．(1)2k k + B ．(1)12k k ++ C ．(1)(1)(2)[1][]22k k k k +++++⋯⋯+ D ．(1)(2)2k k ++2．（2019春•嘉定区期末）已知()2462n f n =+++⋯⋯+，则()f n l +比()f n 多了几项( ) A ．1B ．nC ．1n +D ．21n -3．（2019春•广东期末）利用数学归纳法证明不等式1111()(22321n f n n +++⋯⋯+<-，*)n N ∈的过程，由n k =到1n k =+时左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项4．（2019春•长宁区期末）用数学归纳法证明11113(2)12224n n n n ++⋯+>++的过程中，设111()122k f k k k =++⋯+++，从n k =递推到1n k =+时，不等式左边为( ) A ．11()2k f k ++ B ．111()212k k f k ++++ C ．1111()2121k k f k k +++⋯+-++D ．111()21k f k k ++-+考点二 用数学归纳法证明不等式2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n 0+1，n 0+2，…，是否正确．在第二步中，n=k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少） ②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1．（2016秋•杨浦区校级期中）用数学归纳法证明：*222111112(2)()23(21)21n n n n N +++⋯+<-∈--时第一步需要证明( ) A ．11221<--B ．221112221+<--C ．222111122321++<--D ．222211111223421+++<-- 2．（2019春•鲤城区校级期末）用数学归纳法证明不等式1111127124264n -+++⋯+>成立，起始值至少应取为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10课后综合巩固练习1．（2019春•绍兴期末）用数学归纳法证明“111111111(*)234212122n N n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+∈-++”，第一步应验证的等式是 11122-= ，从“n k =”到“n k l =+”左边需增加的代数式是 2．（2019春•淮安期中）用数学归纳法证明“*1111()1231n N n n n ++⋯+>∈+++，第一步，左边是3．（2019春•广陵区校级月考）用数学归纳法证明不等式1111(,2)1231n N n n n n ++⋯∈+++从n k =到1n k =+时，左边的项数增加了 项． 4．（2019春•徐州期中）用数学归纳法证明1111(2321n n n N ++++⋯+<∈-，1)n >时，第一步应验证的不等式是 ．5．（2019春•常州期中）用数学归纳法证明等式：633123(*)2n n n n N ++++⋯+=∈，则从n k =到1n k =+时左边应添加的项为 ．6．（2019春•平遥县校级月考）用数学归纳法证明某个命题时，左边为12342345(1)(2)(3)n n n n ++⋯++++，从n k =到1n k =+左边需增加的代数式为 ． 7．（2019春•叶集区校级月考）用数学归纳法证明“2222111(1)1n n a a a a a a++-+++⋯+=≠-”，在验证1n =时，左端计算所得项为 ．。
高考数学总复习全套讲义
高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑第1课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂=∅．3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ⋂=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8或2___．【范例解析】例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=，{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，求集合B .分析：先化简集合A ，由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1）{12}A x x =≤≤Q ，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=，R A C A R ⋃=，{0,2}可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.【反馈演练】1．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ⋂=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．3．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+. （1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围； （3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，Q P Q P ⋃=，Q P ∴⊆. ①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >．②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<． 综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞．（2）①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >；②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或．综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞．（3）由{03}P Q x x ⋂=≤<，则0a =．第2课命题及逻辑联结词【考点导读】1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①230x-=；②你是高三的学生吗？③315x->．+=；④536其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p，否命题可表若则，逆否命题可表示为q p若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题⌝⌝⌝⌝p q互为逆否命题．【范例解析】例1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1）平行四边形的对边相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）设,,,+=+.a b c d R∈，若,==，则a c b da b c d分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题. （2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）原命题：设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题； 逆命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题； 否命题：设,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+；假命题； 逆否命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +≠+，则a b ≠或c d ≠；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p 则q ”的形式，找出其条件p 和结论q ，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p 的否定即p ⌝时，要注意对p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假. （1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等. 分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程210-+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；x xp且q：方程210-+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；x x非p：方程210-+=的两实根的符号不同，真命题.x x点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()∃∈⌝”，特称命题“,()∃∈”的否定是x M p xx M p x∀∈”的否定是“,()x M p x“,()∀∈⌝” .x M p x解：（1）p⌝：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（2）p⌝：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3）p⌝：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（4）p⌝：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）p ⌝：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =； （2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >． 解：（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题； 否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题； 逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题； （2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题； 否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题； 逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．若b M ∈，则a M ∉若a b ≤，则221ab≤-第3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件； 若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件； 若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础练习】1.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件．若q p ⇒，则p 是q 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件． （2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件．（3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的___必要不充分__条件． 3.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >． 【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件；（2）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件； （4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.分析：从集合观点“小范围⇒大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.x y >⎧⎨>⎩结合不等式性质易得4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，反之不成立，若12x =，10y =，有4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，但2,2.x y >⎧⎨>⎩不成立，所以2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件.（2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，401x x -≥+的解集为(1,4]-，故(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2παβ==时，tan ,tan αβ均不存在；当tan tan αβ=时，取4πα=，54πβ=，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若⌝q 则⌝p ”的真假.【反馈演练】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分 条件．2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件．3．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则A B ⊆． 若A =∅，则240a -<，即22a -<<；若A ≠∅，则240,a x ⎧-≥≤≤解得522a -≤≤-． 充分不必要综上所述，522a -≤<．2012高中数学复习讲义第二章函数A【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
高考数学复习讲义共十一章
高考数学复习讲义共十一章SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高考复习数学讲义（共十一章）一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有无序性和互异性.2.对集合A B 、，A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.✍3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n .22-n ，12-n4.“交的补等于补的并，即()U U U C AB C A C B =”；“并的补等于补的交，即()U U U C A B C A C B =”. 5.判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ✍.8.充要条件二、函 数1. 指数式、对数式，mn a =1mn m na a -=，log a N a N =log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，.01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log log log c a c b b a=，.log log m n a a n b b m =. 2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：①1()()f a b f b a -=⇔=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，但11[()][()]f f x f f x --≠. ② 函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+.3.单调性和奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等. 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==.（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。
高中数学全套讲义 选修2-1 向量2 基础 学生版
目录第七讲：空间向量数量积 ............................................................................................ 错误!未定义书签。
考点一：空间向量的数量积运算 (2)题型一：数量积计算 (2)题型二：数量积计算向量模长 (3)题型三：数量积坐标运算计算向量夹角 (3)考点二：用坐标讨论共线和垂直 (4)题型四：数量积判断向量的共线和垂直 (5)题型五：空间向量的投影 (5)课后综合巩固练习 (5)考点一：空间向量的数量积运算两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，． 如果90a b 〈〉=︒，，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 两个向量的数量积：已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：cos a b a b a b ⋅=〈〉，， 两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+ 21cos ||||a b a b a b a ⋅〈〉==，．空间两点的距离公式若，，则①； ②；③ AB 的中点坐标为121212222x +x y +y z +z ⎛⎫⎪⎝⎭，，．空间两个向量的数量积具有如下性质：⑴ 0ab a b ⇔⋅=；⑵ 2a a a =⋅；⑶ ab a b ⋅≤．空间两个向量的数量积满足如下运算律：⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅；⑵ a b b a ⋅=⋅；⑶ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 若：123()a a a a =，，，123()b b b b =，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++，，；112233()a b a b a b a b -=---，，； 123()a a a a λλλλ=，，；112233a b a b a b a b ⋅=++．题型一：数量积计算1．（2018秋•黄山期末）在空间直角坐标系中，点(2A ，1-，3)关于平面xOz 的对称点为111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---2||(AB AB x ==B ，则(OA OB = )A ．10-B ．10C ．12-D ．122．（2018秋•福州期末）已知(1OA =，2，3)，(2OB =，1，2)，(1OP =，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB 取得最小值时，点Q 的坐标为( )A ．131(,,)243B ．133(,,)224C ．448(,,)333D ．447(,,)3333．（2017春•台江区校级期末）平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知((2)()0DB DC AD AB AC ++-=，则ABC ∆的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定题型二：数量积计算向量模长1．（2017秋•渝中区校级月考）已知点B 是点(3A ，7，4)-在xOz 平面上的射影，则2OB 等于( ) A ．74 B ．25C ．65D ．582．（2019春•宣城期末）已知点(A x ，0，2)和点(2B ，3，4)，且||AB =x 的值是( ) A ．5或1-B ．5或1C ．2或6-D ．2-或6题型三：数量积坐标运算计算向量夹角1．（2017春•杭州期末）设向量(1a =-，1-，1)，(1b =-，0，1)，则cos a <，(b >= )A ．12B ．2C D2．（2017秋•沙坡头区校级期末）已知(,2,0)a x =，2(3,2,)b x x =-，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( )A ．4x >B ．04x <<C ．4x <-D ．40x -<<考点二：用坐标讨论共线和垂直空间向量的平行和垂直的条件： 设111()a a b c =，，，123()b b b b =，，， a b ∥（0b ≠）a b λ⇔=112233a b a b a bλλλ=⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩；00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a方向向量：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，再作向量OA a =，则点A 在空间的位置就 被向量a 所唯一确定了．这时，我们称这个向量a 为OA 方向向量． 设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，12l l ∥（或1l 与2l 重合）12v v ⇔∥；→→⊥⇔⊥2121v v l l若向量1v 和2v 是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线l 的一个方向向量为v ，则l α∥或l 在α内⇔存在唯一两个实数x y ，，使12v xv yv =+． 线线角：两条直线21,l l 所称角设为θ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ。
高三数学复习讲义
1、集合与简易逻辑 复数1、已知复数134i z =+,2i z m =+,若12z z +是纯虚数,则实数m = ．2、已知复数z 满足|22i |1z +-=,则|22i |z --的最小值 ．3、集合{}2153,A x x x x Z =+<-∈的子集的个数是 ．4、命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为 ．5、在命题“若m n >-,则22m n >”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是6、已知命题p ：“∀x ∈1,2,错误!x 2－ln x －a ≥0”是真命题,则实数a 的取值范围是________7、若函数fx ＝ln x －错误!ax 2－2xa ≠0存在单调递减区间,则实数a 的取值范围是________________．8、给出下列命题： ①“2πϕ=”是“()sin y x ϕ=+的图像关于y 轴对称”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数fx ＝|x －a |在区间2,＋∞上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线m ＋3x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ,b ,c 分别是△ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边,若a ＝1,b ＝错误!,则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中,真命题的序号是________例1、设集合{}260P x x x =--<,{}|23Q x a x a =≤≤+.1若P Q P ⋃=,求实数a 的取值范围；2若P Q ⋂=∅,求实数a 的取值范围；3若{}03P Q x x ⋂=≤<,求实数a 的值;例2、已知0a >,设命题p ：函数xy a =在R 上单调递减,q ：函数22,22,2x a x a y a x a -≥⎧=⎨<⎩且1y >恒成立,若p q ∧为假,p q ∨为真,求a 的取值范围;例3、已知函数()()20f x ax bx a =->1当b>0时,若对任意的x R ∈都有()1f x ≤,证明：a ≤2当1b >时,证明：对任意[]()0,1,1x f x ∈≤成立的充要条件是1b a -≤≤2、函数的概念 定义域与值域1、已知函数()y f x =的定义域为-1,1,值域为0,2,则函数(sin )y f x =的值域为2、函数122,(,2]x y x -=-∈-∞的值域为3、函数12y x x =--的值域为4、函数21x xe y e +=的值域是 5、函数12x y =的值域是6、“函数fx 在0,1上单调”是“函数fx 在0,1上有最大值”的 条件.选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”7、用表示min{,,}a b c 表示,,a b c 三个实数中的最小者,记()min{2,2,10}x f x x x =+-,(0)x ≥,则()f x 的最大值为例1.1已知f=lg x ,求fx 的解析式;2已知fx 是一次函数,且满足3fx+1-2fx-1=2x+17,求fx 的解析式;3定义在-1,1内的函数fx 满足2fx-f-x=lg x+1,求函数fx 的解析式.例2．已知1a ≥,函数9()441f x x x =+++[]0,1x ∈,32()3216g x x a x a =--+[]0,1x ∈． 1求()f x 和()g x 的值域；2若[]10,1x ∀∈,[]20,1x ∃∈,使得21()()g x f x =成立,试求a 的取值范围．例3、已知函数fx=是定义在R 上的奇函数,其值域为.1试求a ,b 的值.2函数y=gxx ∈R 满足:当x ∈0,3时,gx=fx ;gx+3=gx ln mm ≠1.①求函数gx 在x ∈3,9上的解析式;②若函数gx 在x ∈0,+∞上的值域是闭区间,试探求m 的取值范围,并说明理由.3、函数性质1．若()f x 是偶函数,则()____()f x f x 填“<”“>”“=”． 2．已知()f x 是定义在实数集R 上的奇函数,且当0x >时,2()log f x x =,则(2)f -= ,(0)f = ．3．函数21()log 1x f x x-=+的图像关于 对称． 4．设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x b =++b 为常数,则(1)f -= ．5．设函数()f x 定义在实数集上,它的图像关于直线1x =对称,且当1x ≥时,()31x f x =-,则13f ⎛⎫⎪⎝⎭,23f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭从小到大的排列为 ． 6．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上为增函数,且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()0f x >的解集为 ．7．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,若2(2)()f a f a ->,则实数a 的取值范围是 ．8．已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 ;例1．设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减,若(1)()f m f m -<,求实数m 的取值范围．例2．已知函数21()f x ax x=+,其中a R ∈．1讨论函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论；2若函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数,求a 的取值范围．例3．知函数f 错误!＝2x －错误!,x ∈0,1．.1 当a ＝－1时,求函数y ＝fx 的值域；2 若函数y ＝fx 在x ∈0,1上是减函数,求实数a 的取值范围．例4．设y ＝fx 是定义在R 上的奇函数, 且当x ≥0时, fx ＝2x －x 2..1 求当x<0时,fx 的解析式；2 请问是否存在这样的正数a 、b,当x ∈a,b 时,gx ＝fx,且gx 的值域为错误! 若存在,求出a 、b 的值；若不存在,请说明理由．4、二次函数 指数对数幂函数1．函数2121x x y -=+的值域为 ．2．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是奇函数,则实数a = ． 3．为了得到函数y ＝lg 错误!的图象,只需把函数y ＝lgx 的图象上所有的点__________________________________________．4.当0<x ≤错误!时,4x <log a x,则a 的取值范围是________．5．若关于x 的方程2360x x a -+=的一个根大于1,另一个根小于1,则实数a 的取值范围是 ．6. 如图,已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 为实数,a ≠0的图象过点Ct,2,且与x 轴交于A 、B 两点,若AC⊥BC ,则a ＝________．7．已知二次函数fx ＝ax 2－4x ＋c 的值域是0,＋∞,则错误!＋错误!的最小值是____________． 8．已知函数21,1()2, 1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩,若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则222a b c ++的取值范围是 ．二、例题精讲：例1．函数2()21f x x ax =-+在闭区间[]1,1-上的最小值记为()g a ．1求()g a 的解析式； 2求()g a 的最大值．例2．设函数()log a x b f x x b+=-0,0a b >>且1a ≠． 1求()f x 的定义域；2讨论()f x 的奇偶性；3判断()f x 的单调性并加以证明．例3．已知函数2()1f x x mx m =-+-．1若函数|()|y f x =在[]2,4上单调递增,求实数m 的取值范围；2是否存在整数,a b 其中,a b 是常数,且a b <,使得关于x 的不等式()a f x b ≤≤的解集为{}x a x b ≤≤若存在,求出,a b 的值；若不存在,请说明理由．例4．已知函数fx ＝x2＋mx ＋n 的图象过点1,3,且f －1＋x ＝f －1－x 对任意实数都成立,函数y ＝gx 与y ＝fx 的图象关于原点对称．1 求fx 与gx 的解析式；2 若Fx ＝gx －λfx 在－1,1上是增函数,求实数λ的取值范围;5、 函数图像、零点1．函数2log (),0()0, 0(1), 0x x f x x f x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的图像与直线y x =的交点个数是 ．2．已知函数()y f x =是R 上的奇函数,则函数(3)2y f x =-+的图像经过定点 ．3．若函数(21)y f x =+的图像有唯一的对称轴,其方程为0x =,则函数(21)y f x =-的图像的对称轴方程为 ．4．已知直线1y =与曲线2||y x x a =-+有四个交点,则a 的取值范围是 ．5．若方程227x x =-在区间(),1k k +k Z ∈上有解,则所有满足条件的k 值的和为 ．6．已知函数()y f x =是定义在[],a b 上的单调函数,若()()0f a f b <,则()f x 的零点个数至多为 ．7．函数2()32x f x x =+-的零点共有 个．8．已知函数()log a f x x x b =+-,当234a b <<<<时,函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+,则n = ．例1．已知函数()f x x m x =-x R ∈,且(4)0f =．1求实数m 的值；2作出函数()f x 的图像；3根据图像指出()f x 的单调区间； 4根据图像写出不等式()0f x >的解集．例2．已知,a b 是实数,函数()1f x ax b x =+-x R ∈．1若,(2,2)a b ∈-,且函数()f x 在(0,)+∞内存在最大值,试在平面直角坐标系aOb 内,求出动点(,)a b 运动区域的面积；2若0b >,且关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有2个,试求a b的取值范围．例3．设函数2()2x f x ax x =-+,其中a R ∈．1当2a =时,求函数()f x 的零点；2当0a >时,求证：函数()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点；3若函数()f x 有四个不同的零点,求a 的取值范围．。
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第一章 集合与简易逻辑第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础知识部分】（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).集合相等A B=A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)A⊆B(2)B⊆AA(B)（7）已知集合A有(1)n n≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【范例解析】例.已知R为实数集，集合2{320}A x x x=-+≤.若RB C A R⋃=，{01RB C A x x⋂=<<或23}x<<，求集合B.【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z≤≤≤<∈用列举法表示．2.设集合{21,}A x x k k Z==-∈，{2,}B x x k k Z==∈，则A B⋂=．3.已知集合{0,1,2}M=，{2,}N x x a a M==∈，则集合M N⋂=_______．4.设全集{1,3,5,7,9}I=，集合{1,5,9}A a=-，{5,7}IC A=，则实数a的值为_______．【反馈演练】1．设集合{}2,1=A，{}3,2,1=B，{}4,3,2=C，则()CBA U⋂=_________．2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+PQbPaba若}6,2,1{=Q，则P+Q中元素的个数是_______个．()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=3．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+. （1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围； （3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.第2课命题及逻辑联结词【考点导读】1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础知识部分】1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。
若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p⌝”.⌝，则q5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q⌝，则p⌝”。
6、四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q∧．∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是当p、q都是真命题时，p q∧是假命题．假命题时，p q∨．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q∨是真命题；当p、q两个当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q∨是假命题．命题都是假命题时，p q对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p⌝．若p是真命题，则p⌝必是假命题；若p是假命题，则p⌝必是真命题．8、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 9、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。
全称命题的否定是特称命题。
特称命题p ：x ∃∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∀∈M ，()p x ⌝。
特称命题的否定是全称命题。
10、常见结论的否定形式【范例解析】例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+.例2.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p ：有的四边形没有外接圆； （5）p ：某些梯形的对角线互相平分. 【基础练习】1.下列语句中：①230x -=；②你是高三的学生吗？③315+=；④536x ->． 其中，不是命题的有_________．2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为 ，否命题可表示为 ，逆否命题可表示为 ；原命题与 互为逆否命题，否命题与 互为逆否命题． 【反馈演练】1．命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____ ____. 4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =； （2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >．第3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础知识部分】 1、充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 2、从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件； 若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件； 若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件；【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件；（2）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件； （4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件. 【基础练习】1.若 ，则p 是q 的充分条件．若 ，则p 是q 的必要条件．若 ，则p 是q 的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____ ___条件．（2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____ _____条件． （3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的_____条件．3.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是 ． 【反馈演练】1． 设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“ 条件2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件． 3．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．Na ∈第二章函数A【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。