2021届全国学海大联考新高考模拟考试(四)数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十八)数学(文科)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十八）数学（文科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2,3},{|(23)0}A B x x x =-=->，则A B =（ ）A. {1}B. {1,2}-C. {1,2,3}-D. {0,1,2,3}【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合B ，再进行交集运算，即可得答案； 【详解】3{|(23)0}{|2B x x x x x =->=>或0}x <， ∴{1,2,3}A B =-，故选：C.【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.设21z i =-，则z 的共轭复数为（ ） A. 1i -+ B. 1i --C. 1i +D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再根据共轭复数的概念，即可得答案； 【详解】22(1)11(1)(1)i z i i i i --===----+--， ∴1z i =-+，故选：A.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知(2,0)是双曲线221yx k-=的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. y x =B. y x =±C. y =D. y =【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件列出关系式，求解k ，然后得到双曲线的渐近线方程．【详解】解：由已知(2,0)为双曲线的一个焦点可得，14k +=，即3k =，2213yx ∴-=所以渐近线方程为：y =． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 4.通过随机询问100名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表：已知22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++附表：则以下结论正确的是（）A. 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”B. 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关”【答案】A【解析】【分析】直接将数据代入卡方公式中计算，即可得答案；【详解】22100(40203010)4.76 3.84170305050K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”，故选：A.【点睛】本题考查独立性检验思想，考查考数据处理能力，属于基础题.5.设x，y满足约束条件2120xyx y≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，，，则z x y=-的最大值为（）A. -2B. 0C. 1D. 2 【答案】C【解析】【分析】作出约束条件所表示的可行域，当直线z x y =-过点H 时，z 取最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，如图所示，则(2,1)H ，当直线y x z =-过点H 时，直线在y 轴上的截距z -达到最小，即z 达到最大值，∴max 211z =-=.故选：C.【点睛】本题考查简单线性规划最值问题，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的运用. 6.已知α为第三象限角，10cos sin αα-=cos2=α（ ） A. 45-B.35 C.35D.45【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得2α为第一象限角，再对10cos sin 5αα-=-sin 2α，最后利用同角三角函数基本关系，即可得答案； 【详解】10cos sin 5αα-=-α为第三象限角， ∴522,4k k k Z πππαπ+<<+∈，∴54224,2k k k Z πππαπ+<<+∈， ∴2α为第一象限角，∴cos20α>，10cos sin5αα-=-∴2322551sin sin αα=⇒=-，∴25cos 21s n 42i αα=-=.辑推理能力、运算求解能力，求解时注意根据条件缩小角度范围，才不会出现符号错误.7.我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童．现有一个长、宽、高分别为5、3、3的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转90度，得到一个刍童（如图），则该刍童的外接球的表面积为（）A. 43 4πB.252πC. 43πD. 50π【答案】C【解析】【分析】确定几何体外接球的球心O，再利用勾股定理求出外接球的半径R，代入球的表面积公式，即可得答案；【详解】如图所示，取对称轴的中点O，下面底的中心1O，连结1,OA O A，∴2222221134343()()24OA O A O O R=+⇒=+=，∴24344434S Rπππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查多面体与球的切接问题、球的表面积计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时外接球心的确定是解题的关键.8.将函数()sin232f x x x=+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小故选：D.【点睛】本题考查倍角公式和同角三角函数的基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻值为（ ） A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，进而得到平移后的函数解析式，利用函数为偶函数，则y 轴为函数的一条对称轴，即可得到(0)f 是函数的最值，得到ϕ的值后，即可得到答案. 【详解】()sin 23cos22sin(2)3f x x x x π=+=+，图象向左平移(0)ϕϕ>个单位得()2sin(2())2sin(22)33f x x x ππϕϕ=++=++， ∴0x =时，sin(2)13πϕ+=±，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即,212k k Z ππϕ=+∈， 当0k =，min 12πϕ=. 故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换的辅助角公式、平移变换及图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意平移变换是针对自变量x 而言的，要注意自变量的系数问题.9.函数ln ||()x e x f x x-=的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为非奇非偶函数，可排除B,D ，再根据0x →且0x <函数值的正负，即可得答案； 【详解】ln ||()x e x f x x-=，∴()()f x f x -≠±， ∴函数为非奇非偶函数，可排除B,D ，当0x →且0x <时，ln ||0xe x ->，∴ln ||0x e x x-<，即()0f x <，故排除A ， 故选：C.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意极限思想的应用.10.如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF △△分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点1A ，则线段1A B 的长为（ ）A.2B.33C. 1D.63【答案】B 【解析】【分析】如图所示，连接BD 交EF 于点O ，连接1A B 、1A O ，利用余弦定理求出1cos AOB ∠，再利用余弦定理求得1A B 的值.【详解】如图所示，连接BD 交EF 于点O ，连接1A B 、1A O ， 在1AOD △中，122A O =，22BO =，322DO =，∴2221232()()2122cos 3232222AOD +-∠==⨯⨯， ∴11cos 3AOB ∠=-， ∴2221111111142cos 2()22233A B AO BO AO BO A BO =+-⋅⋅∠=+-⋅⋅-=， ∴1233A B =.故选：B.【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.11.若关于x 的不等式3ax e x >在区间2,e e ⎤⎦内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2e ⎫+∞⎪⎭B. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 26,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 3,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用参变分离，构造函数3ln ()x f x x=，求出函数在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦的最小值，即可得答案；【详解】由题意得：3ln x a x>在区间2e ⎤⎦内有解， 令3ln ()xf x x =，则'23(1ln )()x f x x -=，'()0f x x e >⇒≤<，'2()0f x e x e <⇒<≤，∴()f x 在)e 单调递增，在2(e,e ]单调递减，f =226()f e e =， 2.7e ≈，∴2()f e f <，min 26()f x e=， ∴26a e >. 故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意有解问题与恒成立问题的区别.12.已知ABC 是边长为EF 为该三角形内切圆的一条弦，且EF =若点P 在ABC的三边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A.52B.112C.132D.172【答案】B 【解析】 【分析】根据EF =可得23EOF π∠=，再利用向量加法的几何意义，将PE PF ⋅的最大值转化为求2122PO PO OG +⋅-的最大值.【详解】如图所示，在ABC 中，内切圆的半径1123r OE ===，在OEF 中，1OE F EF O ===，∴1131cos 22EOF +-∠==-，∴23EOF π∠=， 取EF 的中点G ，连结OG ，∴2()()()PE PF PO OE PO OF PO PO OE OF OE OF =++=⋅+⋅+⋅+⋅2122PO PO OG =+⋅-当2PO ，PO OG ⋅分别取最大值时，PE PF ⋅取得最大值，∴当点P 运动到三角形的顶点，且顶点与O 的连线垂直于EF 时，2PO ，PO OG ⋅分别取最大值时， ∴max 111()4222PE PF =+-=⋅. 故选：B.【点睛】本题考查向量加法几何意义、向量数量积的运算、向量夹角运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(2,1),(,4)a b x ==，若a b ⊥，则x 的值为______．【答案】2- 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为0直接计算，即可得答案； 【详解】a b ⊥，∴02402a b x x ⋅=⇒+=⇒=-，故答案为：2-【点睛】本题考查向量垂直数量积为0的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14.若曲线23y ax x=+在点(1, 3)a +处的切线与直线30x y ++=平行，则a 的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数求导得2'32y ax x=-，进而得到'(1)1y =-，解方程即可得到答案. 【详解】2'32y ax x=-，∴'(1)1y =-2311a a ⇒-=-⇒=， 故答案为：1.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 15.已知倾斜角为4π的直线l 经过椭圆E 的左焦点，以E 的长轴为直径的圆与l 交于A ，B 两点，若弦长AB 等于E 的焦距，椭圆E 的离心率为_____．【答案】3【解析】 【分析】根据圆的弦长公式等于2c 得到关于,a c 的方程，即可得答案；【详解】设直线l 的方程为y x c =+，圆的半径为R ，圆心到直线的距离为2d ==，∴223||22c AB c a ===⇒=，∴2233e e =⇒=，故答案为：3. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16.如图，某景区有景点A ，B ，C ，D ．经测量得，6,120BC km ABC =∠=，sin ,14BAC ∠=60,ACD CD AC ︒∠==，则AD =______km .现计划从景点B 处起始建造一条栈道BM ，并在M 处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A 、D 的视角120AMD ︒∠=.为了节约修建成本，栈道BM 长度的最小值为___________km ．【答案】 (1). 67 (2). 103221 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得AC 的值，即可得答案； （2）设AMD的外心为O ，连接OC 交AD 于点1O ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径，利用余弦定理求得BO 的值，即可得答案；【详解】（1）sin120sin 32167AC BC AC BAC =⇒=⇒=∠， 60,ACD CD AC ︒∠==，∴ACD 为正三角形， ∴7AD =（2）设AMD 的外心为O ，连接OC 交AD 于点1O ， 则2221sin120ADR R =⇒=∴221(37)21O O R =-=,11321674212O C O O OC =+==∴BM 的最小值为221BO R BO -=-21sin ,14BAC ∠=∴57cos 14BAC ∠=， ∴7sin sin(120)72115321()142142ACB BAC ∠=∠+=-+⋅=， ∴27cos ACB ∠=，∴4721c 3os cos()7212122617BCO ACB π∠⋅+-==∠=⋅，222(421)6202442301116BO +-⋅⋅==⋅， ∴BM 的最小值为103221-，故答案为：67；103221-.【点睛】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在数列{}n a 中，25a =，且11,,n n a a +成等差数列． （1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）设{}n a 前n 项和为n S 求使得2log 10n S <成立的n 的最大值． 【答案】（1）见解析（2）8 【解析】 【分析】（1）根据等差中项得121n n a a +=+，进而转化成1121n n a a +-=-，即可得答案； （2）利用等比数列前n 项和公式进行求和，再解不等式，即可得答案； 【详解】（1）因为11,,n n a a +成等差数列，所以121n n a a +=+， 当1n =时，有12216a a =+=，得13a =，所以()1121n n a a +-=-，又112a -=，所以1121n n a a +-=-，所以{}1n a -是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知{}1n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n nn a --=⨯=，所以21n n a =+．所以()()()()12321212121n n S =++++++++()()123121222222212n n n n n n +-=+++++=+=+--，所以2log 10n S <即110222n n ++-<， 因为()1222(1)2210n n n n n +⎡⎤+--+--=+>⎣⎦，所以数列{}122n n ++-为递增数列． 当9n =时，10102922+->，不满足，当8n =时，9102822+-<满足． 所以满足不等式2log 10n S <的最大的正整数n 的值为8．【点睛】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算，考查运算求解能力，化归与转化思想等.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆E 过点(0,1)F ，且与直线:1m y =-相切．动圆圆心E 的轨迹记为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）过点F 作斜率为(0)k k >的直线l 交C 于A ，B 两点，使得||8AB =，点Q 在m 上，且满足1QA QB ⋅=，求QAB 的面积.【答案】（1）24x y =（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，即可得到轨迹C 的方程；（2）依题意可设直线l 的方程为：()()()112201,,,,,,1y kx A x y B x y Q x =+-，根据1QA QB ⋅=可求得点(1,1)Q -或(3,1)Q -，再分别计算三角形的面积即可.【详解】（1）依题意：平面内动点E 到定点(0,1)F 和到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义，曲线C 是以点F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 其方程为24x y =．（2）依题意可设直线l 的方程为：()()()112201,,,,,,1y kx A x y B x y Q x =+-.联立214y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2440x kx --=，得12124,4x x k x x +==-由12||28AB y y =++=，得()212122426y y k x x k +=++=+=，所以21k =，即1k =±，又由0k >，得1k =，故：121212124,4,6,1x x x x y y y y +=⋅=-+=⋅=.()()101202,1,,1,QA x x y QB x x y =-+=-+()212120012121QA QB x x x x x x y y y y ⋅=-++++++， 化简得：200430x x -+=，解得01x =或3，即(1,1)Q -或(3,1)Q -.当Q 为(1,1)-时，点Q 到直线l 3222=， ∴13286222QAB S ∆=⨯⨯=当Q 为(3,1)-时，点Q 到直线l 5222=， ∴152810222QAB S ∆=⨯⨯=.【点睛】本题考查直线的方程、抛物线的定义及轨迹方程、直线与圆锥曲线的关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力等，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAD △为等边三角形，点E ，F 分别为,PA CD 的中点．（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）已知平面PAD ⊥平面ABCD ，过E ，F ，C 三点的平面将四棱锥P-ABCD 分成两部分，求这两部分体积的比．【答案】（1）见解析（2）35. 【解析】 【分析】（1）如图，取PB 的中点G ，连接GC ，EG ，证明四边形EGCF 是平行四边形，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；（2）如图，取PB 的中点G ，由（1）可知，//EG CD ，所以过, , E F C 的平面即为平面EGCD . 分别计算13P ECCD EGCD V PE S -=⨯和13P ABCD ABCD V PN S -=⨯⨯的值，再求比值即可得到答案. 【详解】（1）如图，取PB 的中点G ，连接GC ，EG .E 是P A 的中点，//EG AB ∴，且12EG AB =， 又正方形,//,ABCD AB CD AB CD =，//EG CD ∴，且12EG CD =.∵F 是CD 的中点，1,//2FC CD FC EG ∴=∴且FC EG =，∴四边形EGCF 是平行四边形，//EF GC ∴又GC ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，//EF ∴平面PBC .（2）如图，取PB 的中点G ，由（1）可知，//EG CD ，所以过, , E F C 的平面即为平面EGCD .PAD ∆是等边三角形，E 是AP 中点，EP ED ∴⊥.在正方形ABCD 中，AB AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，AB平面ABCD ，AB ∴⊥平面PAD ，∵由（1）可知//EG AB ，EG ∴⊥平面PAD ，,,EP ED DE EG E PE ⊥⋂=∴⊥平面EGCD .13P EGCD EGCD V PE S -∴=⨯.在四棱锥P EGCD -中，⊥EG 平面PAD ，EG DE ∴⊥，∴底面EGCD 为直角梯形，又∵底面边长为2，PAD △是等边三角形，1333,(12)322EGCD DE S ∴=∴=⨯+=，又1PE =， 1133313322P ECCD EGCD V PE S -∴=⨯=⨯⨯=. 取AD 的中点N ，连接PN .PAD ∆是等边三角形，N 是AD 中点，NP AD ∴⊥.又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面,ABCD AD NP =⊂平面PADNP ∴⊥平面ABCD ，11433433P ABCD ABCD V PN S -∴=⨯⨯==所以332843P EGCDP ABCDV V --==，所以被平面EFC 分成的两部分的体积比为35. 【点睛】本题考查直线与平面平行和直线与平面垂直、体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．20.某批库存零件在外包装上标有从1到N 的连续自然数序号，总数N 未知，工作人员随机抽取了n 个零件，它们的序号从小到大依次为：12,,,n x x x ⋯．现有两种方法对零件总数N 进行估计.方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似相等，进而可以得到N 的估计值．方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号12,,,n x x x ⋯相当于从区间[0,1]N +中随机抽取n 个整数，这n 个整数将区间[0,1]N +分为(1)n +个小区间：()()()1120,,,,,,1n x x x x N +．由于这n 个数是随机抽取的，所以前n 个区间的平均长度n x n 与所有(1)n +个区间的平均长度11N n ++近似相等，进而可以得到N 的估计值．现工作人员随机抽取了31个零件，序号从小到大依次为：83、135、274、380、668、895、955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791.（1）请用上述两种方法分别估计这批零件的总数.（结果四舍五入保留整数）（2）将第（1）问方法二估计的总数N 作为这批零件的总数，从中随机抽取100个零件测量其内径y （单位:mm ），绘制出频率分布直方图（如下图）.已知标准零件的内径为200mm ，将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率.其中内径长度最接近标准的720个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数）.【答案】（1）3091，2880；（2）197203y ≤≤. 【解析】 【分析】（1）方法一，31个零件序号的中位数为1546，所有零件序号的中位数为12N +；方法二，抽取的31个零件将[0,1]N +划分为32个区间，平均长度为132N +，列方程即可求得N 的值； （2）抽取的720件优等品占总数的720128804=，依题意得1(200200)4P m y m -≤≤+=，再根据频率分布直方图的面积为14，可计算m 的近似值，从而得到答案； 【详解】（1）方法一：31个零件序号的中位数为1546，所有零件序号的中位数为12N +， 依题意得115462N +=，解得3091N =. 方法二：抽取的31个零件将[0,1]N +划分为32个区间，平均长度为132N +，前31个区间的平均长度为279131， 依题意得127913231N +=，解得2880N ≈. （2）抽取的720件优等品占总数的720128804=，依题意得1(200200)4P m y m -≤≤+= 由频率分布直方图可知：(190210)(0.0290.041)100.70.25P y ≤≤=+⨯=>，故010m <<，则(200200)(0.0290.041)100.25P m y m m m -≤≤+=⨯+⨯⨯=， 解得3m ≈.故优等品的范围为197203y ≤≤.因为205[197,203]∉，所以内径为205的零件不能作为优等品.【点睛】本题考查频率分布直方图，样本数字特征估计总体数字特征等知识；考查学生的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力，考查统计与概率思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识． 21.已知函数2()cos f x ax x =-． （1）当12a =时，求函数()f x 的极值点；（2）若()f x 在区间33,22ππ-⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有4个零点的充要条件为(,)a N M ∈，求证：M N -<． 【答案】（1）极小值点0x =，无极大值点.（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）将12a =代入解析式得21()cos 2f x x x =-，再进行求导得()sin f x x x '=+，利用导数研究导数等于0的方程的根，即可得答案；（2）当0x =时，()0f x ≠，故2cos 33()0,,22x f x a x x ππ⎡⎤=⇔=∈-⎢⎥⎣⎦且0x ≠ ， 令2cos ()x h x x =，则243sin 2cos 1()(sin 2cos )x x x x h x x x x x x '---⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，对区间分三种情况讨论，即0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭分别研究在各个区间内零点的个数，从而得到()030,2M h N h x π⎛⎫===⎪⎝⎭，再利用导数研究()0N h x =的取值范围，即可证得结论； 【详解】（1）211()cos ,()sin 22a f x x x f x x x '=∴=-∴=+，(0)0f '=， 当(0,1]x ∈时，0,sin 0,()0x x f x '>>∴>，当(1,)x ∈+∞时，()sin 1sin 0f x x x x '=+>+≥.∴当0x >时，()0f x '>，又()sin ()f x x x f x ''-=--=-，()f x '∴是奇函数，∴当0x <时，()0f x '<.∴综上，当0x <时，()0,()f x y f x '<=单调递减；当0x >时，()0,()f x y f x '>=单调递增； 因此0x =为函数()y f x =的极小值点，无极大值点. （2）当0x =时，()0f x ≠，故2cos 33()0,,22x f x a x x ππ⎡⎤=⇔=∈-⎢⎥⎣⎦且0x ≠令2cos ()x h x x =，则243sin 2cos 1()(sin 2cos )x x x x h x x x x x x '---⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 1°当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()h x y h x '<=单调递减，当0,(),02x h x h π⎛⎫→→+∞= ⎪⎝⎭；2°当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()sin 2cos x x x x ϕ=+，则()cos sin 0,()x x x x y x ϕϕ'=-<=单调递减，又0,()2022ππϕϕπ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，故存在0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00x ϕ=，即当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()0x h x ϕ'><，()y h x =单调递减；当()0,x x π∈时，()0,()0,()x h x y h x ϕ'<>=单调递增；3°当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()h x y h x '>=单调递增；综上可知：()y h x =在()00,x 上单调递减，在03,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 由于()y h x =为偶函数，只需函数()y h x =与y a =在30,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个交点. ()()0033(0),0,0,0,0,222h h h x h M h N h x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫→+∞=<=∴=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭以下估计()0N h x =的范围：()00000002cos 0,sin 2cos 0,sin x x x x x x x ϕ=∴+=∴=-，()220000020000cos sin 1cos 11cos 4cos 4cos 4cos x x x h x x x x x x ⎛⎫-∴====- ⎪⎝⎭0033320,,,cos 1,444x x πππϕπ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫=->∴∈∴∈-⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴令0cos 1,2t x ⎛=∈-- ⎝⎭，则()0001111cos 4cos 4N h x x t x t ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 114y t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在1,2t ⎛∈-- ⎝⎭单调递减，14282y t ⎛∴>=-=- ⎝⎭⎝⎭， ()088N h x M N ∴=>-∴-<，结论得证.【点睛】本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4−4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为2x =-，曲线C 的方程为22(1)1x y -+=，动点P 到原点O 的距离与到l 的距离相等．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 的极坐标方程和P 点轨迹的极坐标方程； （2）若Q 是曲线C 上一点，且4OP OQ =，求||OP ． 【答案】（1）2cos ρθ=，21cos ρθ=-.（2）4【解析】 【分析】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=，代入圆的方程2220x y x +-=，即可得到圆的极坐标方程；对点P在y 轴右侧时，P 在y 轴，y 轴左侧时，三种情况进行讨论，均可得到21cos ρθ=-；（2）因为4OP OQ =，所以设点()()12,,,P Q ρθρθ，且124ρρ=，求出cos θ的值，即可得答案； 【详解】（1）由22(1)1x y -+=得，2220x y x +-=.因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2cos ρθ=，即为C 的极坐标方程.当P 在y 轴右侧时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，作y 轴的垂线，垂足为N ，设l 与x 轴的交点为R ， 因为点P 到原点距离与到l 距离相等，所以||||||||||OP PN MR OR OM ===+. 在RT OPM 中，||||cos cos OM OP θρθ==，所以2cos ρρθ=+.因为0θ≠，所以21cos ρθ=-.当P 在y 轴或y 轴左侧时，满足21cos ρθ=-.综上，P 点轨迹的极坐标方程为21cos ρθ=-. （2）因为4OP OQ =，所以设点()()12,,,P Q ρθρθ，且124ρρ=.又122,2cos 1cos ρρθθ==-，所以28cos 1cos θθ=-，解得1cos 2θ=，所以2||4112OP ==-. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．[选修4−5：不等式选讲]23.已知函数||||||fx x a x b x c =+++++ （1）若,,0,(0)1a b c f >=，证明：13ab bc ac ++≤； （2）若1a b ==，对于任意的(,1],()4x f x ∈-∞-≥恒成立，求c 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）3c ≤-或5c ≥. 【解析】 【分析】（1）根据(0)1f a b c =++=，两边平方后，再利用基本不等式，即可证明结论；（2）当1a b ==时，()2|1|||f x x x c =+++，因为对于任意的(,1],()4x f x ∈-∞-≥恒成立，所以取(1)|1|4f c -=-+≥可求得3c ≤-或5c ≥，再进一步验证3c ≤-或5c ≥使命题成立.【详解】（1）由已知得，(0)||||||1f a b c a b c =++-=++= 所以2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++()()()22222212222a b b c a c ab bc ac⎡⎤=++++++++⎣⎦1(222)2223()2ab bc ac ab bc ac ab bc ac ≥+++++=++， 所以13ab bc ac ++≤.（2）当1a b ==时，()2|1|||f x x x c =+++，因为对于任意的(,1],()4x f x ∈-∞-≥恒成立，所以(1)|1|4f c -=-+≥，解得3c ≤-或5c ≥.①当3c ≤-时，()2|1|||-(3 2)f x x x c x c =+++=++在(,1]x ∈-∞-为减函数， 所以min ()(1)14f x f c =-=-≥，即3c ≤-.②当5c ≥时，2,1()21(32),x c c x f x x x c x c x c--+-<≤-⎧=+++=⎨-++≤-⎩在(,1]x ∈-∞-为减函数， 所以min ()(1)14f x f c =-=-≥，即5c ≥. 综上所述，3c ≤-或5c ≥.【点睛】本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法．。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十四)数学(理科)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十四）理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|320M x x x =++<和集合1()42xN x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋃=A. {}|2x x ≥-B. {}1|x x ≥-C. {}|1x x <-D. {}|2x x ≤-【答案】A 【解析】由已知得{}|21M x x =-<<-，{}{}2|22|2xN x x x -=≤=≥-，所以有{}|2M N x x ⋃=≥-，故选A.2.设复数z 满足|z ﹣i |+|z +i |＝4，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ）A. 22143x y -= B. 22143x y +=C .22143y x -=D. 22143y x +=【答案】D 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义以及椭圆的定义即可求解.【详解】设z x yi =+，则()1z i x y i -=+-，所以z i -=同理可得z i +=即|z ﹣i |+|z +i |=4，即(),x y 到两点()()0,1,0,1-的距离之和为4，所以z 在复平面内对应的点（x ，y ）的轨迹为22143y x +=故选：D【点睛】本题考查了复数模的几何意义以及椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题. 3.已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A. 12B. 10C.D. 2【答案】 B 【解析】 【分析】根据b 在a 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-，可得min2b =；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入min b即可求得min3a b-.【详解】b 在a 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-0b > cos ,0a b ∴<><又[)cos ,1,0a b <>∈- min2b∴=2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+min3946410a b∴-=⨯+=本题正确选项：B【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b 的最小值.4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D. 互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假． 【详解】A 选项，由图可知90后占了56%，故正确；B 选项，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为0.5639.6%0.221760.2⨯=>，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；C 选项，互联网行业中从事产品岗位的90后人数所占比例为0.56 6.5%0.03640.05⨯=<，故不正确；D 选项，互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例为0.560.170.09520.03⨯=>，故正确． 故选：C ．【点睛】本道题考查了统计方面的知识，关键抓住各个群体的比例，逐一分析，得出结论，即可，难度较容易．5.设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，则函数y ＝x ()f x '的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由极值与导数的关系确定，确定当0>x >﹣1以及x >0时，()xf x '的符号；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0；当x <﹣1时，()xf x '符号．由此观察四个选项能够得到正确结果． 【详解】∵函数f （x ）在R 上可导，其导函数()f x '， 且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，∴当x >﹣1时，()f x '<0；当x ＝﹣1时，()f x '＝0；当x <﹣1时，()f x '>0．∴当0>x >﹣1时，()xf x '>0；x >0时，()xf x '<0； 当x ＝﹣1时，()xf x '＝0； 当x <﹣1时，()xf x '＜0． 故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用． 6.将函数sin(2)4y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的函数在区间(,)m m -上无极值点，则m 的最大值为（ ） A.8πB.4π C.38π D.2π【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的图象变换，求得函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求得增区间3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，进而根据函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，即可求解.【详解】由题意，将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位， 可得函数sin 2sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 即函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又由函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为8π，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.7.记[]m 表示不超过m 的最大整数.若在11(,)82x ∈上随机取1个实数，则使得2[log ]x 为偶数的概率为（ ） A.23B.12C.13D.14【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到[)2log 2,1x ∈--.所以11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，再由几何概型的长度模型得到结果.【详解】若11,82 x⎛⎫∈⎪⎝⎭，则()2log3,1x∈--.要使得[]2log x为偶数，则[)2log2,1x∈--.所以11,42x⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故所求概率1122411328P-==-.故答案为A.【点睛】本题考查了对数不等式的解法，以及几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．8.如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】【分析】由题意得BC CD a==，90BCD∠=︒，从而2BD a=，90BAD∠=︒，取BD中点O，连结AO，CO，从而AO⊥平面BCD，延长CO至点E，使CO OE=，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有//BC DE，从而ADE∠（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由此能求出异面直线AD 与BC所成角的大小．【详解】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，2a，∴∠BAD＝90°，取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝22a，又∵平面ABD⊥平面BCD ，平面ABD∩平面BCD ＝BD ，AO⊥BD， ∴AO⊥平面BCD ，延长CO 至点E ，使CO ＝OE ，连结ED ，EA ，EB ， 则四边形BCDE 为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD 与BC 所成角， 由题意得AE ＝a ，ED ＝a ，∴△AED 为正三角形，∴∠ADE＝60°， ∴异面直线AD 与BC 所成角的大小为60°． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．9.已知函数()f x 对x R ∀∈满足：()()2f x f x +=-，()()()12f x f x f x +=⋅+，且()0f x >，若()14f =，则()()20192020f f +=（）A.34B. 2C.52D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解. 【详解】因为()()()12f x f x f x +=⋅+， ∴()()()213f x f x f x +=+⋅+，又()0f x > 故()()13f x f x +=，即()()6f x f x += 所以函数的周期为6， 由已知可得当0x =时，()()20f f =，()()()102f f f =⋅，又()0f x >，所以()()202f f ==，并且()()()()1113,4,5,62242f f f f ====， 所以()()()()1132019202034244f f f f +=+=+=，故选A.【点睛】本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.10.若()*3nx n N ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a，则a -=⎰（ ） A. 36π B.812πC.252πD. 25π【答案】C 【解析】()*3x nn N ∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n ---+===，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为5．所以5252aπ--⎰=⎰=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.11.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，cosA cosC tanA sinA sinC +=+，则b csinB sinC++的取值范围是（ ） A. （，+∞） B. （，4）C. ⎝D. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：cos2A ＝cos B ，结合角的范围可求2A ＝B ，利用三角形内角和定理及已知可求范围A 3Cπ-=∈(6π，4π)，可得sin A ∈(12，2)，而根据正弦定理，比例的性质即可求解． 【详解】∵cosA cosC sinA tanA sinA sinC cosA+==+，∴cos 2A +cos C cos A ＝sin 2A +sin A sin C ，22cos sin (cos cos sin sin )A A A C A C -=--,cos 2cos()A A C =-+,可得：cos2A ＝cos B ，∴在锐角△ABC 中，2A ＝B ，∵A +B +C ＝π，可得：3A +C ＝π，C ∈(0，2π)，∴A 3Cπ-=∈(6π，4π)，可得：sin A ∈(12)， ∵a ＝2，∴b c a sinB sinC sinA+=+∈(，4)．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，比例的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，0），动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切．过A 作直线x +（m ﹣1）y +2m ﹣5＝0的垂线，垂足为B ，则|MA |+|MB |的最小值为（ ）A. 2B. 21D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设M （x ，y ），求出M 点轨迹方程y 2＝4x ，即可得M 的轨迹是抛物线，其焦点为A （1，0），准线为x ＝﹣1，过点M 作MD 与准线垂直，且交准线于点D ，分析可得直线x +（m ﹣1）y +2m ﹣5＝0经过定点（3，﹣2），设P （3，－2），由点B 性质可得B 在以AP 为直径的圆上，由抛物线的定义可得又由|MA |＝|MD |，则|MA |+|MB |＝|MD |+|MB |，通过MD MC +（C 为AP 中点，圆心）结合图形分析可得答案．【详解】根据题意，设M （x ，y ），以MA 为直径的圆的圆心为（12x +，y2）， 又由动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，则有（12x +）2＝（12x +-1）2+（y 2）2， 变形可得：y 2＝4x ，则M 的轨迹是抛物线，其焦点为A （1，0），准线为x ＝﹣1， 过点M 作MD 与准线垂直，且交准线于点D ，设直线l 为x +（m ﹣1）y +2m ﹣5＝0，变形可得m （y +2）＝y ﹣x +5， ∴可得直线l 经过定点（3，﹣2），设P （3，－2），设AP 的中点为C ，则C 的坐标为（2，﹣1），|CP |2=，若AB ⊥l ，则B 在以AP 为直径的圆上，该圆的方程为22(2)(1)2x y -++=， 又由|MA |＝|MD |，则|MA |+|MB |＝|MD |+|MB |，则当C 、M 、D 三点共线时，|MA |+|MB |取得最小值，且|MA |+|MB |取得最小值为圆22(2)(1)2x y -++=上的点到D 的最小值，此时|MA |+|MB |min ＝|CD |﹣r ＝32-， 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是求出M 的轨迹方程，属于综合题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应题号后的横线上．13.若3sin 6x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】13【解析】 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得2cos 263sin x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212sin 6x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，计算求得结果.【详解】63sin x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则2cos 2626sin x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2cos 212sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111233=-⨯=，故答案为13.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．14.已知O 是ABC 的外心，45C ∠=︒,2,(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则2214m n +的最小值为____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据45C ∠=︒得到0OA OB ⋅=，平方2OC mOA nOB =+得到2241m n +=，变换()22222214414m n m n m n ⎛⎫+=+⎪⎭+ ⎝利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2222222244OC mOA nOB OC mOA nOBm OA n OB mnOA OB =+∴=+=++⋅90045C AOB OA OB ∠=︒∴∠=︒∴⋅=故2241m n +=()2222222222414141644816m n n m m n m n m n⎛⎫+=+=+++≥= ⎪⎭+⎝ 当222216n m m n =即2211,28n m ==时等号成立 故答案为：16【点睛】本题考查了向量的运算，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ,且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若2,33BAC ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________．【答案】23,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】如图所示：过点A 作AD BC ⊥于D，3,2b b AD ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，点(),0A a 到渐进线的距离为223,2ab b b d c a b ⎡⎤==∈⎢⎥+⎣⎦即113,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到答案. 【详解】如图所示：过点A 作AD BC ⊥于D ，则3cos cos ,222BAC b b AD AC DAC b ⎡⎤∠=∠=∈⎢⎥⎣⎦一条渐近线方程为：by x a =，点(),0A a 到直线的距离为223,22ab b b d c a b⎡⎤==∈⎢⎥+⎣⎦ 即11323,,2223e e ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为：23,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了双曲线的离心率，计算得到3,22b b AD ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是解题的关键.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】 (1). 26(2). 86π【解析】 【分析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】(1)每个三角形面积是1331224S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的， 可求出该四面体的23613⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故四面体体积为1362312=， 因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是26； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，所以213666349R R ⎛⎫=⨯⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以球的体积334468633V R ππ===⎝⎭. 故答案为：2686π【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝BC ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1．（1）证明：BC ⊥平面ACFE ；（2）设点M 在线段EF 上运动，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求cosθ的取值范围．【答案】（1）见解析（2）712cos θ⎤∈⎥⎣⎦， 【解析】 【分析】（1）证明BC ⊥AC ．通过平面ACFE ⊥平面ABCD ，推出BC ⊥平面ACFE ．（2）分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAB 的一个法向量，平面FCB 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60° 所以AB ＝2，所以AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos60°＝3， 所以AB 2＝AC 2+BC 2，所以BC ⊥AC ．因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系， 令(03FM λλ=≤≤，则C （0，0，0），)30A，，，B （0，1，0），M （λ，0，1）．∴()310AB =-，，，()11BM λ=-，，．设n =（x ，y ，z ）为平面MAB 的一个法向量， 由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得300x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取x ＝1，则n =(133λ)，∵m =(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量∴cosθ()()22133134n m n mλλ⋅===++-⨯-+∵03λ≤≤，∴当λ＝0时，cosθ有最小值77，当3λ=时，cosθ有最大值12．∴712cos θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*2,n S n n n N=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()22,211na n n nb a a +⎧⎪=⎨⎪--⎩()()()*212n k k N n k =-∈=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 【答案】（1）1n a n =-；（2）1141163422nn ⎛⎫-⋅- ⎪+⎝⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，当2n ≥时，122222n n n a S S n -=-=-，()12n a n n =-≥， ，再检验1n = 时，是否适合，以确定是分是合，从而可得数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）由()()()222111122n n a a n n n n +==---++可得()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++，分组求和即可．试题解析：(1)当2n ≥时，()()2212221122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，()12n a n n =-≥，当1n =时，由21211S =-得10a =，显然当1n =时上式也适合，∴1n a n =- (2)∵()()()222111122n n aa n n n n +==---++，∴()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()02221111112222446222n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11114122214nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭+-+- 1141163422nn ⎛⎫=-⋅-⎪+⎝⎭. 19.近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与xy c d =⋅（,c d 均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 与x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n （n ∈+N ）年才能开始盈利，求n 的值. 参考数据：yv71i ii x y =∑71i ii x v=∑0.541062.141.54 2535 50.12 3.47其中其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑，参考公式：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，，(,)n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 【答案】（1）xy c d =⋅（2）0.540.250.2510 3.4710xx y +⋅==⨯，3470（3）7【解析】 【分析】（1）由散点图可知，更接近指数增长，所以xy c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型.（2）根据（1）的判断结果xy c d =⋅两边取对数得lg lg lg y c d x =+⋅，则lg ,y x 两者线性相关，根据已知条件求出lg ,y x 得回归方程，进而得到y 关于x 的回归方程，再令8x =，求预测值（3）设一名乘客一次乘车的费用为ξ元，根据题意ξ得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2，求出分布列，进而求得期望，然后再建立不等式求解.【详解】（1）根据散点图判断，在推广期内， x y c d =⋅（,c d 均为大于零的常数），适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型. （2）根据（1）的判断结果x y c d =⋅， 两边取对数得lg lg lg y c d x =+⋅，其中lg i i v y =，711 1.547i i v v ===∑，7721150,12,4,140i i i i i x x v x =====∑∑，71221lg 0.2ˆ5i i i nii x v nx vd xnxβ==-⋅===-∑∑，ˆˆlg 0.54c v x αβ==-=， 所以lg 0.540.25y x =+⋅。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十三)数学(文科)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十三）文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】A【解析】【分析】进行交集的运算即可求出P＝{2}，然后即可得出P的子集的个数.【详解】∵A＝{1,2},B＝{2,3}，∴P＝A∩B＝{2}，∴P的子集共有21＝2个.故选：A【点睛】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.2.i是虚数单位，复平面内表示i（1+2i）的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】直接由已知求得对应复数，得到其在复平面内对应点的坐标得答案.【详解】因为i（1+2i）=-2+i其在复平面内对应的点为（-2,1）故在第二象限；故选：B【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.3.学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为（）A. 12B.13C.14D.16【答案】B【解析】【分析】基本事件总数n＝3×3＝9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m＝3，由此能求出这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率.【详解】学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，基本事件总数n＝3×3＝9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m＝3，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率p3193 mn===.故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.4.数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，∀n∈N+，a n+2＝a n+1﹣a n，则a2020＝（）A. 1B. 5C. ﹣2D. ﹣3【答案】C【解析】【分析】根据递推关系求出其是以6为周期交替出现的数列，进而表示结论，并求得答案.【详解】因为数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，∀n∈N+，a n+2＝a n+1-a n，∴a3＝a2-a1＝1；a4＝a3-a2＝-2；a5＝a4-a3＝-3；a6＝a5-a4＝-1；a7＝a6-a5＝2＝a1；a8＝a7-a6＝3＝a2；∴数列{a n}是周期为6的数列；∵2020＝6×336+4；∴a2020＝a4＝-2；故选：C【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，解决本题的关键在于求出周期为6，属于简单题.5.执行如图的程序框图，如果输出的y的值是1，则输入的x的值是（）A. 23B. 2C.23或2 D. 以上都不是【答案】C【解析】【分析】根据结果，倒着推，进行判断.【详解】若x＜1，则3x-1＝1，解之得x23 ；若x≥1，则x2-4x+5＝1，解之得x＝2；故选：C【点睛】本题考查程序框图、分段函数的性质，属于基础题.6.若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =-上，则cos(2)2πα+的值等于（ ） A. 45- B. 45 C. 35 D. 35【答案】B 【解析】点()cos ,P sin αα在直线2y x =-上，2cos ,tan 2sin ααα∴=-∴=-，22tan 4cos 2221tan 5sin παααα⎛⎫∴+=-=-= ⎪+⎝⎭，故选B. 7.已知a ＝ln 3，b ＝sin 3，13c e -=，则（ ） A. a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜c ＜a 【答案】D【解析】【分析】 利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出.【详解】∵a ＝ln 3＞lne =1，b ＝sin 3＜sin 2132π=，11312c e -==＞， ∴b ＜c ＜a .故选：D .【点睛】本题考查指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8.ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱，若AB ＝1，AB 1⊥BC 1，则AA 1＝（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA 1＝a ，再由110AB BC ⋅=列式求解a 值，则答案可求.【详解】如图，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a，则A（12-,0,0）,B1（12,0,a）,B（12,0,0）,C1（0,32,a）,则()11131,0,,,,2AB a BC a⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭.由AB1⊥BC1，得21112AB BC a⋅=-+=，即a22=.∴AA12=.故选：B【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离的求法，训练了向量垂直与数量积关系的应用，属于中档题.9.经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A、B两点，若|AB|＝1，则p＝（）A. 1B.12C.13D.14【答案】D【解析】【分析】由题意可得直线AB的方程为：y＝x2p-，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得4p＝1，从而求出p的值.【详解】由题意可知，抛物线焦点坐标为（2p,0），∴直线AB的方程为：y＝x2p-，联立方程222py xy px⎧=-⎪⎨⎪=⎩.消去y得：22304px px-+=，∴x A +x B ＝3p ，由抛物线的定义可知：|AB |＝x A +x B +p ，∴4p ＝1，∴p 14=， 故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.10.给出下列结论：（1）某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862．（2）甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲．（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1．（4）对A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30．则正确的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 【答案】C【解析】【分析】运用抽样、方差、线性相关等知识来判定结论是否正确【详解】（1）中相邻的两个编号为053，098，则样本组距985345-=∴样本容量为9002045= 则对应号码数为()53452n +-当20n =时，最大编号为534518863+⨯=，不是862，故（1）错误（2）甲组数据方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5， 则56910575x ++++==乙 乙组数据的方差为()()()()()22222157679710757 4.455⎡⎤-+-+-+-+-=<⎣⎦ 那么这两组数据中较稳定的是乙，故（2）错误（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故错误（4）按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为31530312÷=++，故正确 综上，故正确的个数为1故选C【点睛】本题主要考查了系统抽样、分层抽样、线性相关、方差相关知识，熟练运用各知识来进行判定，较为基础11.直角坐标系xOy 中，双曲线221412x y -=的左焦点为F ，A （1，4），P 是右支上的动点，则|PF |+|P A |的最小值是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 12 【答案】B【解析】【分析】设双曲线的右焦点为G ，由双曲线方程求得F 与G 的坐标，再由双曲线的定义可得|PF |+|P A |＝2a +|PG |+|P A |，利用|PG |+|P A |≥|AG |求出最小值.【详解】由题意得a ＝2，b =，c ＝4，则F （-4,0），设右焦点G （4,0）.由双曲线的定义可知位于右支的点P 有|PF |﹣|PG |＝4，∴|PF |+|P A |＝4+|PG |+|P A |≥4+|AG |＝4=4+5＝9.故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|PF |+|P A |化为2a +|PG |+|P A |是解题的关键，属于中档题.12.已知函数()|ln |f x x =，若0a b <<.且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A. )+∞B. )⎡+∞⎣C. (3,)+∞D. [)3,+∞ 【答案】B【解析】【分析】画出()|ln |f x x =的图象，数形结合可得01,1a b <<>，1ab =，然后利用基本不等式即可求出答案【详解】()|ln |f x x =的图象如下：因为0a b <<.且()()f a f b = 所以ln ln a b =且01,1a b <<>所以ln ln a b -=，所以1ab = 所以22222a b ab +≥=当且仅当2a b =，即222a b ==时等号成立 故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用，用到了数形结合的思想，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.{a n }是等比数列，若a 1＝2，a 2＝1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝_____.【答案】242n --【解析】【分析】由等比数列定义可求得公比，再由等比数列求和公式计算得答案.【详解】由等比数列的前两项可求得公比，再代入前n 项和公式可求出结果.∵{a n }是等比数列，若a 1＝2，a 2＝1，∴公比q 2112a a ==. 又n S =()1212[1)12421112n n n a qq -⎛⎤- ⎥-⎝⎦==---. 故答案为：242n --【点睛】本题考查等比数列的基本量的求法与前n 项和公式，属于基础题.14.ABCD 是边长为1的正方形，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=_____.【答案】1【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再求AE•AF的值. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示；则A（0,0）,B（1,0）,C（1,1）,D（0,1）；因为E、F分别是BC、CD的中点，则E（1,12）,F（12,1）；所以AE=（1,12）,AF=（12,1）；故AE AF⋅=11122⨯+⨯1＝1.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示及数量积计算问题，属于基础题.15.设x，y满足22510.x yxy⎧+≤⎪≥⎨⎪≥⎩，，则z＝2x+y的取值范围是_____.（用区间表示）【答案】[]2,5【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A时，z最小，从而得出目标函数z＝2x+y的取值范围.【详解】画x，y满足22510.x yxy⎧+≤⎪≥⎨⎪≥⎩，，表示的平面区域，如图：将目标函数变形为2y x z=-+，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大作出目标函数对应的直线L ：y ＝﹣2x由10x y =⎧⎨=⎩可得A （1，0） 直线z ＝2x +y 过A 时，直线的纵截距最小，z 最小，z 的最小值为：2.直线﹣2x +z ＝y 与圆相切于B 时，z 取得最大值： 55z-=，解得z ＝±5， 则目标函数z ＝2x +y 的取值范围是[]2,5.故答案为：[]2,5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，属于中档题.16.函数()()2221x sinx cosx f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝_____. 【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出f （-x ）的表达式，分析可得f （x ）+f （-x ）＝2，即可得函数f （x ）的图象关于点（0,1）对称，据此分析可得答案.【详解】根据题意，()()222221211x sinx cosx x sinxcosx f x x x ++++===++1221sinxcosx x ++， 则f （-x ）＝1221sinxcosx x -+， 则有f （x ）+f （-x ）＝2，即函数f （x ）的图象关于点（0,1）对称，若函数f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，必有M +m ＝2； 故答案为：2【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）.（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（0，0.5]，（0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3].如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？超过2万元 不超过2万元 总计 平原地区 山区 5 总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ P （K 2≥k 0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 0 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）45户（2）0.45（3）填表见解析；有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”. 【解析】【分析】（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，然后求解应收集户山区家庭的户数.（2）由直方图直接求解该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率.（3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为（0.300+0.100）×0.5×150＝30户.而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，完成列联表，求出k2，即可判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.【详解】（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机450×0.1＝45户山区家庭的样本数据. （2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为（0.500+0.300+0.100）×0.5＝0.45. （3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为（0.300+0.100）×0.5×150＝30户.而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以()2215025405802003.175 2.706301201054563K⨯-⨯==≈⨯⨯⨯＞，∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，属于简单题.18.△ABC的角A、B、C的对边为a、b、c，已知a、b、c成等差数列，78 cosA=.（1）若a＝1，求c；（2）若△ABC的周长为18，求△ABC的面积S.【答案】（1）c＝2（2）【解析】（1）由已知结合余弦定理可求；（2）结合已知a，b，c的关系及余弦定理可求c，然后结合同角平方关系及三角形的面积公式可求；【详解】（1）依题意，12cb+ =，由余弦定理得，()()2222214472418c cb c acosAbc c c++-+-===+，即c2-c-2＝0，解得c＝2或c＝-1，舍去负值得，c＝2，（2）依题意，a+c＝2b，a+b+c＝18，所以b＝6，a＝12-c，由余弦定理得，()22222261272128c cb c acosAbc c+--+-===，解得c＝8，由78cosA=且0＜A＜π得，158sinA=，△ABC的面积13152S bcsinA==，【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角基本关系及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.19.如图，四棱锥O﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，OA＝2，∠ABC＝60°，OA⊥平面ABCD，M、N分别是OA、BC的中点.（1）求证：直线MN∥平面OCD；（2）求点M到平面OCD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）57 19【分析】（1）取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN ∥PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN ∥平面OCD ；（2）连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离.【详解】（1）证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ， ∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM ∥AD ，且12PM AD =，NC ∥AD ，且12NC AD =， ∴PM ∥NC ，且PM ＝NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN ∥PC ， ∵PC ⊂平面OCD ，MN ⊄平面OCD ， ∴直线MN ∥平面OCD ；（2）解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由（1）得，点N 到平面OCD 的距离为d ， 设三棱锥O ﹣CDN 的体积为V ，则1133CDNOCDV S OA S d =⨯⨯=⨯⨯，依题意，132CDNSCD CN sin BCD ∠=⨯⨯⨯=， ∵AC ＝AD ＝CD ＝1，∴5OC OD ==，则11195244OCDSCD =⨯⨯-=. 由1311923834d ⨯⨯=⨯⨯，得点M 到平面OCD 的距离5719d =.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题.20.直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的短轴长为2，离心率为63.（1）求椭圆的方程；（2）斜率为1且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于P 1、P 2两点，P 是椭圆上任意一点，若12OP OP OP λμ=+（λ，μ∈R ），证明：λ2+μ2为定值.【答案】（1）22162x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用已知条件解得b =a =.（2）直线P 1P 2的方程为y ＝x ﹣2，由221622x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2x 2﹣6x +3＝0， 设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）、P （x 0，y 0），结合韦达定理，以及向量关系，通过P 、P 1、P 2都在椭圆上，转化求解即可.【详解】（1）依题意，2b =c e a===解得b =a =22162x y +=，（2）证明：2c =，直线P 1P 2的方程为y ＝x ﹣2，由221622x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2x 2﹣6x +3＝0， 设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）、P （x 0，y 0），则x 1+x 2＝3，1232x x =， 由12OP OP OP λμ=+得x 0＝λx 1+μx 2，y 0＝λy 1+μy 2， 因为P 、P 1、P 2都在椭圆上，所以22360i i x y +-=，i ＝0，1，2，()()()()()2222222222001212112212126333323x y x x y y x y x y x x y y λμλμλμλμ=+=+++=+++++＝6λ2+6μ2+3λμ（1+2y 1y 2），()()()121212123122246422y y x x x x x x =--=-++=-+=-， 所以，6λ2+6μ2＝6，λ2+μ2＝1是定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力，属于较难题. 21.已知函数f （x ）＝lnx ﹣e x ﹣2，x ＞0.（1）求函数y ＝f （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程； （2）求证：f （x ）＜0. 【答案】（1）122y x ln =-+（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求出()21'x f x e x-=-，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程. （2）（方法一）作函数()1g x lnx x e =-，求出()11'g x x e =-，判断函数的单调性，构造函数()21x e h x x e e=-，()21'x e h x e e=-，求出函数的最小值，然后推出结果.（方法二）()21'x f x e x-=-在定义域区间（0，+∞）单调递减，求解函数的极大值，导函数的零点，然后转化求解即可.【详解】（1）()2xe f x lnx e =-，()21'x f x e x -=-，f （2）＝ln 2﹣1，1'22f =-（）， 所求切线方程为()()12122y ln x --=--，即122y x ln =-+，（2）（方法一）作函数()1g x lnx x e=-，（其他适宜函数如()6758g x lnx x ln e⎛⎫=-+⎪⎝⎭、()26758x e h x x ln e e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭也可）()11'g x x e =-， g ′（e ）＝0；当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0；当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 所以g （x ）≤g （e ）＝0，即1lnx x e≤，等号当且仅当x ＝e 时成立. 作函数()21x e h x x e e =-，()21'x e h x e e=-，h ′（1）＝0；当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0；当x ＞1时，g ′（x ）＞0，所以h （x ）≥h （1）＝0，即21x e x e e≥，等号当且仅当x ＝1时成立.因为e ≠1，综上所述，∀x ＞0，lnx ＜e x ﹣2，即f （x ）＜0.（方法二）()21'x f x e x-=-在定义域区间（0，+∞）单调递减， 11'1'2102f f e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（）（）＜，所以，f ′（x ）有唯一零点x 0，且x 0是极大值点， ()0200x f x lnx e-=-，由02010x e x --=得，0201x e x -=，lnx 0＝2﹣x 0， 代入得，()00012f x x x =--， 因为1＜x 0＜2，所以0012x x +＞，f （x ）≤f （x 0）＜0. 【点睛】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，构造法的应用，函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力，属于难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C 1的参数方程为112.x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝16cosθ. （1）把曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求C 1与C 2交点的直角坐标.【答案】（1）x 2+y 2＝16x （2）(4±，【解析】 【分析】（1）首先利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用曲线间的位置关系式的应用求出交点的坐标. 【详解】（1）由ρ＝16cosθ得，ρ2＝16ρcosθ. 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝16x .（2）由112.x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即111.2t x tt y t ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得，1122t x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11122x y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.相乘得，曲线C 1的直角坐标方程为4x 2﹣y 2＝16.由222216416.x y x x y ⎧+=⎨-=⎩，得，5x 2﹣16x ﹣16＝0. 解得x ＝4或45x =-. x ＝4时，y 2＝48，y =±；45x =-时，233625y =-无实数解. 所以，C 1与C 2交点的直角坐标为(4,±.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，曲线间的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题. 23.已知函数()2f x x x a a=++-，a 是非零常数. （1）若a ＝1，求不等式f （x ）≤5的解集； （2）若a ＜0，求证：()f x ≥【答案】（1）[﹣3，2]（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）a ＝1时，f （x ）＝|x +2|+|x ﹣1|，通过x ＜﹣2时，﹣2≤x ≤1时，x ＞1时，化简函数的解析式取得绝对值符号，求解不等式即可. （2）()()22f x x x a a a a⎛⎫≥+--=+ ⎪⎝⎭，通过基本不等式求解表达式的最小值即可. 【详解】（1）a ＝1时，f （x ）＝|x +2|+|x ﹣1|，x ＜-2时，f （x ）＝-1-2x ，解2125x x -⎧⎨--≤⎩＜得-3≤x ＜-2，-2≤x ≤1时，f （x ）＝3＜5， x ＞1时，f （x ）＝2x +1，解1215x x ⎧⎨+≤⎩＞得1＜x ≤2，不等式f （x ）≤5的解集为[-3,-2）∪[-2,1]∪（1,2]＝[-3,2]. （2）()()22f x x x a a a a⎛⎫≥+--=+ ⎪⎝⎭，因为a ＜0，-a ＞0，20a-＞，()2a a ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭所以，()()22f x a a a a ⎛⎫≥+=-+-≥ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的最值的求法，绝对值不等式的解法,考查计算能力，属于中档题.。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十三)数学(理)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十三）数学（理科）试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知集合2{|2}A x x =<，201x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ）A. ([)1,-∞-+∞B. (-C. ⎡-⎣D. 2⎤⎦【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合A 与B ，再利用集合的交集运算进行求解.详解】{2{|2}A x x x x =<=<<；{}20121x B x x x x ⎧⎫-=≤-<≤⎨⎬+⎩⎭，∴(A B ⋂=-.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点. 2.已知,,a b c ∈R ，则“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及等比数列的性质判断即可.【详解】由“实数,,a b c 均不为零”推不出“实数,,a b c 成等比数列”， 比如1a =，2b =，3c =， 反之成立，所以“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的必要不充分条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，涉及的知识点包括等比数列的性质，举反例是解决本题的关键，属于基础题.判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推出条件q ；二是由条件q 能否推出条件p .3.如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( ) A. －3 B. 2C. －17D.17【答案】A 【解析】 分析】由题意可得 （k ，1）=λ （6，k +1），λ＜0，即 k=6λ，1=（k +1）λ，解得 k 值．【详解】∵向量()1a k =，与()61b k =+，共线且方向相反，∴（k ，1）=λ （6，k +1），λ＜0， ∴k=6λ，1=（k +1）λ，解得 k=﹣3， 故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查向量的运算和共线向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题不要漏掉了方向相反这个条件.4.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，则ϕ应满足条件（ ）A. tan baϕ=B. cos ϕ=C. tan abϕ=D. sin ϕ=【答案】C 【解析】 【分析】先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到22k πϕθπ-=+，进而求得tan a bϕ=. 【详解】sin cos y a x b x =+x x ⎫=⎪⎭)x θ=+，其中tan baθ=， 函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，∴()sin()cos x x θϕ+=-，即sin()sin 2x x πθϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，∴22k πϕθπ-=+()k Z ∈，∴()tan tan 22k πϕθπ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即cot tan ϕθ=，∴1tan tan a b ϕθ==，故选：C.【点睛】本题考查了两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，需熟记公式，属于基础题. 5.已知ln0.5a =，b =，c 满足1ln c c e=，则实数a ，b ，c 满足（ ） A. a b c << B. a c b <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】A利用指数函数与对数函数的性质确定出,a b 的范围，借助图象确定出c 的范围，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】ln0.50a =<，01b e<=<， 1ln c c e =，即1ln cc e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，画出1xy e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =的图象，如图，可知1c >，所以01a b c <<<<，故a b c <<， 故选：A.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性以及图象，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等. 6.函数()f x 是R 上的偶函数，且()()1f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上单调递减，则函数()f x 在[]3,5上是（ ） A. 增函数 B. 减函数C. 先增后减的函数D. 先减后增的函数【答案】D根据题意，先由f （x +1）＝﹣f （x ）确定函数的周期为2，结合函数的奇偶性与在[﹣1，0]上单调递减，分析可得答案．【详解】根据题意，∵f （x +1）＝﹣f （x ），∴f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ），∴函数的周期是2； 又f （x ）在定义域R 上是偶函数，在[﹣1，0]上是减函数， ∴函数f （x ）在[0，1]上是增函数，∴函数f （x ）在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，在[4，5]上是增函数， ∴f （x ）在[3，5]上是先减后增的函数； 故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的周期性，关键是求出函数的周期． 7.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕϕπ=+<<的图像与直线2y =的某两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，若12x x -的最小值为π，且将函数()f x 的图象向右平移4π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，则函数()f x 的一个递减区间为（ ）A. ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭B. ,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据12x x -的最小值，求出最小正周期，进而求出ω值，再根据函数图象向右平移4π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，可得2ϕπ=，从而得到函数的解析式，进而求出函数()f x 的递减区间，从而得解. 【详解】函数()f x 的图象与直线2y =的某两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，且12x x -的最小值为π，∴()f x 的最小正周期为π， ∴2ππω=，解得2ω=，∴()2sin(2)(0)x x f ϕϕπ=+<<，将函数()f x 的图象向右平移4π个单位后， 得到()2sin 2()2sin 242f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 即()2sin 22g x x πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 函数()g x 为奇函数，∴2k ϕπ-+=π()k Z ∈，∴2k πϕπ=+()k Z ∈， 又0ϕπ<<，∴2ϕπ=，∴()2sin(2)2cos 22f x x x π=+=，要求()2cos2f x x =的递减区间，需满足{}222,x k x k k Z πππ≤≤+∈，∴函数()f x 的递减区间为,2x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，结合选项可知，C 选项正确， 故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性、三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力，熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键，属于中档题. 8.已知()y f x =为()0,∞+上的可导函数，且有()()'0f x f x x+>，则对于任意的(),0,a b ∈+∞，当a b>时，有( ) A. ()()af a bf b < B. ()()af a bf b > C. ()()af b bf a > D. ()()af b bf a <【答案】B 【解析】 【分析】构造函数h （x ）=xf （x ），根据函数的单调性判断即可． 【详解】不妨设h （x ）=xf （x ），则h′（x ）=f （x ）+xf′（x ）．∵当x ＞0，有()()'0f x f x x+＞，∴当x ＞0时，xf′（x ）+f （x ）＞0，即h′（x ）＞0，此时函数h （x ）单调递增， 则对于任意的a ，b ∈（0，+∞），当a ＞b 时，则g （a ）＞g （b ），即af （a ）＞bf （b ）， 故选B ．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．9.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别为边1AA ，11C D 的中点，过点B ，P ，Q 作一平面与线段1CC 所在直线有一交点E ，若正方体边长为4，则多面体EABCD 的体积为（ ）A. 16B.323C.643D. 32【答案】A 【解析】 【分析】借助空间直角坐标系求出平面PBQ 的法向量，再由0BE n ⋅=，求出点E 到平面PBQ 的距离，即可得出结果.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()4,0,2P ，()4,4,0B ，()0,2,4Q ， 设()10,4,E z ，则()0,4,2PB =-，()4,2,2PQ =-，()14,0,BE z =-， 设平面PBQ 的法向量为(),,n x y z =，则00PB n PQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即4204220y z x y z -=⎧⎨-++=⎩，令2y =，解得()3,2,4n =，B ，E 两点均在平面PBQ 内，∴0BE n ⋅=，即14340z -⨯+=，解得13z =， ∴点E 到平面PBQ 的距离为3，∴1443163E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：A.【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算以及立体几何体积的求解，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，求出平面PBQ 的法向量以及点E 到平面PBQ 的距离是解题的关键，属于中档题.10.设点P 是以1F ，2F 为左、右焦点的双曲线2222 1(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，且满足120PF PF ⋅=，直线1PF 与圆2224a x y +=有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A.32B.4C.4D.【答案】D 【解析】 【分析】首先证得12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，进而求得2PF a =，1F E =由122PF PF a -=，即可求出双曲线的离心率. 【详解】如图所示，1F ，2F 为双曲线的左、右焦点， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥，直线1PF 与圆2224a x y +=有且只有一个公共点，∴直线1PF 与圆2224a x y +=相切，设切点为E ， ∴1OE PF ⊥，∴2OE PF ，又O 为12F F 的中点，∴E 为1PF 的中点，22PF OE a ==，又1OF c =，2a OE =，∴2214a F E c =-，根据双曲线定义，222224a PF PF c a a -=--=，解得10c e a ==， 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，涉及的知识点包括向量垂直的应用、直线与圆的位置关系、双曲线定义的应用，属于中档题. 对于离心率的求解问题，关键是建立关于a 和c 的齐次方程，主要有两个思考方向：一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程. 11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.23B.43C.223D.23【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可知该几何体是边长为2 的正四面体，求出正四面体的底面积和高即可得解. 【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为正四面体11B D AC -，则112AC B D ==，12BB =12AB BC BB ==2， 所以1132232D ACS=⨯⨯= 取AC 的中点E ，连接1D E ，过1B 作1B O ⊥底面1D AC ，交1D E 于点O ， 则1122234133D O D E ==-=，22111142643B O B D D O =-=-= 所以该几何体的体积为1112622333D ACV S d =⨯⨯==， 故选：C.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题.将三视图还原为空间几何体，首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 12.函数||()x x f x e=，方程2[()](1)()10f x m f x m -++-=有4个不相等实根，则m 的取值范围是（ ） A. 22,1e e e e ⎛-+⎫⎪⎝⎭B. 221,e e e e ⎛⎫⎪⎝++∞+⎭- C. 221,1e e e e ⎛⎫⎪⎝-+⎭+ D. 22,e e e e -+∞+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】【详解】函数()xx f x e =是连续函数，x ＝0时，y ＝0．x ＞0时，函数的导数为f ′（x ）1xxe -=， 当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增； 当x ＞1时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减， 可得f （x ）在x ＝1处取得极大值1e ，f （x ）∈（0，1e] x ＜0时，f ′（x ）1x xe-=-＜0，函数是减函数， 作出y ＝f （x ）的图象， 设t ＝f （x ），关于x 的方程[f （x ）]2﹣（m +1）f （x ）+1﹣m ＝0即为t 2﹣（m +1）t +1﹣m ＝0， 有1个大于1e 实根，一个根在（0，1e）； 由题意可得：()()21111001010m m e e m m ⎧-++-⎪⎨⎪-+⨯+-⎩＜＞ 解得m ∈2211e e e e ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，． 故选：C ．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式： (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知复数z 满足()3412i z i +⋅=-，则z =________. 【答案】1255i -- 【解析】 【分析】将()3412i z i +⋅=-化为1234iz i-=+，再利用复数的代数形式的乘除法运算化简，即可得到答案. 【详解】由()3412i z i +⋅=-，可得1234iz i-=+ ()()()()12343434i i i i --=+-223108916i i i -+=- 51025i--= 1255i =--故答案为：1255i --. 【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查运算求解能力，属于基础题.14.二项式61x ⎫+⎪⎭的展开式中，常数项为________.【答案】【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数为0，求得r 值，即可求得常数项.【详解】61x ⎫+⎪⎭的展开式的通项公式为()()6662166122rrrr r r r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令620r -=，可得3r =，所以展开式的常数项为()3362402C ⋅=，故答案为：402.【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式的应用，考查了学生对概念的理解以及运算求解能力，熟记二项展开式的通项公式，准确运算是解答本题的关键，属于基础题. 15.在OAB ∆中，已知2OB =，1AB =，45AOB ∠=︒，点P 满足OP OA OB λμ=+，其中23λμ+=，OP 的最小值为______.【答案】35【解析】 【分析】由已知得OA AB ⊥,以A 为原点建立直角坐标系，设(,)P x y 利用向量坐标计算OP ，转化为求函数最值可解. 【详解】2OB =，1AB =，45AOB ∠=︒∴ OA AB ⊥,建立如图坐标系.则(0,0),(0,1),(1.0)A B O 设(,)P x y(,)OP OA OB λμλμμ=+=--,xy又23λμ+=，∴ 3,32xy222=(3)(32)51818OP λλλλ-+-=-+∴ 当9=5时，min 5OP =故答案为：5【点睛】本题考查平面向量的模与几何综合问题. 其坐标求解方法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 16.已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，0,2n a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且13a π=，()1n f a +=其中()tan f x x =，则使得121sin sin sin 10k a a a ⨯⨯⨯<成立的最小正整数k 为________. 【答案】298 【解析】 【分析】 先求出21()cos f x x'=，确定{}2tan n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，求出tan n a =sin n a =12sin sin sin k a a a ⋅=110，得出正整数k 的最小值.【详解】sin ()tan cos x f x x x ==，所以2222cos sin 1()cos cos x x f x x x+'==， 由()1n f a +=111tan cos cos n n na a α+===，∴2222122sin cos 1tan 1tan cos cos n n n n n na a a a a a ++===+， 即221tan tan 1n n a a +-=，∴数列{}2tan n a 是首相为221tan tan 33a π==，公差为1的等差数列，∴2tan 3(1)12n a n n =+-⨯=+，又0,2n a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan 0n a>，∴tan n a从而sin n a =∴12sin sin sin k a a a ⋅==110<，解得297k >，又*k N ∈，∴k 的最小值为298， 故答案为：298.【点睛】本题考查了三角函数的求导、等差数列的定义、同角三角关系式以及根式不等式的求解，属于综合题，难度较大.三、解答题（本大题共6道小题，共70分）17.已知函数()2sin cos ,3f x x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值.【答案】（1）π； （2）()max 12f x =+()min12f x =【解析】 【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数()f x 的解析式，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再利用min 2T πω=即可求解；（2）根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出52636x πππ-≤+≤，进而求出sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，从而得解.【详解】（1）解：()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin cos cos 22x x x ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭2sin cos cos x x x =⋅+ 1cos 21sin 222x x +=+3sin 232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭min 22T ππ==， 故函数()f x 的最小正周期为π.（2）,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52636x πππ-≤+≤，∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴3133sin 21+2322x π-⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭， ∴()max 312f x =+，()min312f x -=. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.18.如图所示，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥,222BC AB AD ===，22AE FC ==.（1）求证：//BF 平面ADE ；（2）求二面角E BD F --的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （26【解析】 【分析】（1）通过证明面//BCF 面ADE ，即可证得//BF 平面ADE ；（2）建立空间直角坐标系，求出平面EDB 和平面FDB 的法向量，求出法向量夹角的余弦值，结合角的范围，即可得出结果. 【详解】（1）证明：//CF AE ，CF ⊄面ADE ，AE ⊂面ADE ，∴//CF 面ADE ，同理：//BC 面ADE ， 又CFBC C =，CF ⊂面BCF ，BC ⊂面BCF ，∴面//BCF 面ADE ，又BF ⊂面BCF ，∴//BF 面ADE .（2）由题可知，,,AB AD AE 两两互相垂直，故可以以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()1,2,1F ，因此，()0,1,2ED =-，()1,0,2EB =-，()1,1,1FD =---，()0,2,1FB =--， 若设平面EDB 的法向量为()111=,,u x y z ，则00u ED u EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11112020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令11z =，解得：()2,2,1u =，同理：若设平面FDB 的法向量为()222,,v x y z =，则00v FD v FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222020x y z y z ---=⎧⎨--=⎩，令21x =，解得：()1,1,2v =-，所以6cos ,u v u v u v ⋅==⋅， 即二面角E BD F --的余弦值为6【点睛】本题主要考查线面平行的证明，利用空间直角坐标系求二面角的余弦值，其中涉及的知识点包括平面与平面平行的判定定理以及平面法向量的求解，属于中档题.空间直角坐标系中，用向量法求二面角的余弦值的过程：首先求出构成二面角的两个平面的法向量m和n，再代入公式cosm nm nθ⋅=±⋅，其中θ为二面角的平面角，最后求解（结合角的范围对正负号进行取舍）.19.新型冠状病毒属于β属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳嗽．．．．等临床表现，现阶段也出现无症状感染者.基于目前的流行病学调查和研究结果，病毒潜伏期一般为1-14天，大多数为3-7天.为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害，需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查.某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查，检查结果统计如下：（1）能否在犯错率不超过0.001的情况下，认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关.临界值表：（2）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M 抗体检测阳性者）.根据防控要求，无症状感染者虽然还没有最终确诊患2019新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天，已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离10天未有临床症状，若该人员居家隔离第k天出现临床症状的概率为1012k-⎛⎫⎪⎝⎭，()11,12,13,14k=，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天）ξ的分布列以及数学期望值.（保留小数点后两位）【答案】（1）能；（2）分布列见解析，()12.20Eξ≈【解析】【分析】（1）填写22⨯列联表，计算2K 值，再与临界值表进行比较，即可得出结论；（2）确定随机变量ξ的所有取值，通过人员居家隔离第k 天出现临床症状的概率为1012k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,12,13,14k =，计算概率得到分布列，利用数学期望的计算公式，即可得解.【详解】（1）由表可得，患者有发热症状与确诊的22⨯列联表如下：由公式可得：()22100035024030011010404000=46.02610.828460540650350226044K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故在犯错率不超过0.001的情况下，有把握认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关. （2）由题可知，随机变量ξ的所有取值：11，12，13，14，()()()()111113131372111;12;13;1322482486424864P P P P ξξξξ====⨯===⨯⨯===⨯⨯=其分布列为：其数学期望为：()11321781=11+12+13+14=12.2028646464E ξ⨯⨯⨯⨯≈. 【点睛】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，属于中档题.对于求离散型随机变量的分布列问题，首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.20.已知函数2()ln 1()f x ax x x ax a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点． （1）求实数a 的取值范围；（2）设两个极值点分别为1x ，2x ，12x x <证明：221212()()2f x f x x x +<-+.【答案】（1）2a e >（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出()ln 2f x a x x '=-，令()()ln 20g x a x x x =->，则()2a xg x x-'=，分0a ≤和0a >两种情况讨论（2）由（1）可知，1122ln 2,ln 2a x x a x x ==，所以()21212ln x x a x x -=，要证：()()2212122f x f x x x +<-+，即证22211ln 1x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，然后构造函数()()2ln 11h t t t t =-+>即可.【详解】（1）由题意可知，()f x 的定义域为()0∞，+ 且()ln 2f x a x x '=- 令()()ln 20g x a x x x =->则函数()f x 在定义域内有两个不同的极值点等价于()g x 在区间()0∞，+内至少有两个不同的零点由()2a xg x x-'=可知， 当0a ≤时，0g x 恒成立，即函数()g x 在()0∞，+上单调，不符合题意，舍去. 当0a >时，由0g x得，02a x <<，即函数()g x 在区间02a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增； 由0g x 得，2a x >，即函数()g x 在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 故要满足题意，必有ln 022a a g a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭解得：2a e >（2）证明：由（1）可知，1122ln 2,ln 2a x x a x x ==，所以()21212ln x x a x x -=故要证：()()2212122f x f x x x +<-+即证：()21122ax x x <+ 即证：22221121ln x x x x x -<不妨设120x x <<，即证22211ln 1x xx x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ 构造函数：()()2ln 11h t t t t =-+> ，其中21x t x =由()2120t h t t-'=<，所以函数()h t 在区间()1+∞，内单调递减， 所以()()10h t h <=，原式得证.【点睛】本题考查了由极值点个数求参数的范围及利用导数证明不等式，属于较难题.21.已知()1,2A 为抛物线22(0)y px p =>上的一点，E ，F 为抛物线上异于点A 的两点，且直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数. （1）求直线EF 的斜率；（2）设直线l 过点(),0M m 并交抛物线于P ，Q 两点，且(0)PM MQ λλ=>，直线x m =-与x 轴交于点N ，试探究NM 与NP NQ λ-的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由. 【答案】（1）1-； （2）是定值，2π【解析】 【分析】（1）根据点A 的坐标求出抛物线方程，设出点E 和点F 的坐标，利用斜率公式和抛物线方程，求出AE k 和AF k ，再根据AE k 和AF k 互为相反数，得到124y y +=-，进而求出直线EF 的斜率；（2）设出点P 和点Q 的坐标，根据PM MQ λ=，得到34y y λ=-，再设出直线l 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理，并结合34y y λ=-，化简NP NQ λ-，得到NP NQ λ-的坐标表示，求出NM ，借助向量的数量积，即可求得NM 与NP NQ λ-的夹角. 【详解】（1）设()11,E x y ，()22,F x y ，因为点()1,2A 为抛物线()220y px p =>上的一点，所以42p =，解得2p =，所以24y x =，同时，有2114y x =，2224y x =，()()()()()()11111111112+22444=11+21+22AE y y y x k x x y x y y ---===---+， 同理，2222412AF y k x y -==-+， 因为直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数， 所以124422y y =-++，即124y y +=-， 故()()()()2121212121212141EF y y y y y y k x x x x y y y y -+-====---++.（2）设直线l 的方程为:l x ty m =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，(),0N m -， 将直线l 的方程代入24y x =，得2440y ty m --=， 所以344y y t +=，344y y m =-，()33,PM m x y =--，()44,MQ x m y =-，且()0PM MQ λλ=>， ∴34y y λ-=，解得34y y λ=-， ()()3344,,NP NQ x m y x m y λλ-=+-+()()3434,x m x m y y λλ=+-+-223434=,44y y m m y y λλ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2222333444=4444y y y y y m m m m y λ⎛⎫⎛⎫+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23343444y y y y m m y =+++ 2343444y y my m m y +=+-()3344404y y y m y +==，∴()340,NP NQ y y λλ-=-，又()=2,0NM m ，∴()0NM NP NQ λ⋅-=，∴()NM NP NQ λ⊥-，即NM 与NP NQ λ-的夹角为2π. ∴NM 与NP NQ λ-的夹角是定值，定值为2π. 【点睛】本题考查了抛物线标准方程的求解、斜率公式的运用以及直线与抛物线的位置关系中的定值问题，其中涉及到向量的坐标运算等知识，属于中档题.在处理直线与抛物线的位置关系的题时，一般要用到根与系数的关系.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线():0l y kx k =>，以坐标原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB+的取值范围.【答案】（1）22cos 30ρθρ--=； （2）()【解析】 【分析】（1）将曲线C 的参数方程消去参数，可得曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可得解；（2）将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程，借助韦达定理，可求得OA OB +=再利用三角函数的性质即可求出OA OB +的取值范围.【详解】（1）由曲线C 的参数方程12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为：()2214x y -+=，即22230x y x +--=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22230x y x +--=， 得曲线C 的极坐标方程为：22cos 30ρθρ--=.（2）由直线()0y kx k =>可得其极坐标方程：=02πθββ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，将=θβ代入曲线C 的极坐标方程得：22cos 30ρβρ--=，∴122cos ρρβ+=，123ρρ=-，∴12,ρρ异号，故1212=+=OA OB ρρρρ+-===1cos 21β-<<，∴()4OA OB +∈.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识.参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；普通方程化为极坐标方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可化为极坐标方程；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程. 23.已知函数()212f x x x a =++-. （1）求不等式()3f x ≥恒成立，求a 的范围;（2）若()21g x x ax =-+，且对1x R ∀∈，总存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4a ≤-或2a ≥； （2）2a ≤-0a ≥ 【解析】 【分析】（1）利用绝对值三角不等式，求出()f x 最小值为1a +，再由13a +≥进行求解即可； （2）根据题意得出函数()g x 的值域包含()f x 的值域，结合()f x 和()g x 的最小值，即可得解.【详解】（1）()()()2122121f x x x a x x a a =++-≥+--=+，当且仅当()()2+120x x a -≤时，等号成立，∴()f x 的最小值为1a +，∴13a +≥，解之得：4a ≤-或2a ≥.（2）对1x R ∀∈，总存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，∴函数()g x 的值域包含()f x 的值域，()2222111244a a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+-≥- ⎪⎝⎭，∴21+14a a ≥-，解得2a ≤-0a ≥.【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，不等式的恒成立问题，绝对值不等式的求解，属于基础题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥.。
2021届新高考高三考前保温热身模拟卷(四)数学试题(解析版)
2021届新高考高三考前保温热身模拟卷（四）数学试题一、单选题1．已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭,则U C P = A ．1[,)2+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．(]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先求出集合U 中的函数的值域和P 中的函数的值域，然后由全集U ，再根据补集的定义即可求出集合P 的补集． 【详解】∵集合{}2log ,1U y y x x == ∴(0,)U =+∞∵集合1,2P y y x x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∴1(0,)2P = ∴1[,)2U C P =+∞故选A.【点睛】本题考查了集合的补集的概念，属于基础题.与集合元素有关问题的思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集； （2）看这些元素满足什么限制条件；（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 2．已知复数z 满足93z z i ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】A【分析】先设(,)z a bi a b R =+∈，再根据复数相等列方程，解得z ，最后根据复数几何意义确定选项.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，229393zz i a bia b i494333a a z i b b ⎧=⎧⎪=∴∴=+⎨⎨==⎩⎪⎩,对应的点为(4,3)，位于第一象限， 故选：A【点睛】本题考查根据复数相等求复数、复数几何意义，考查基本分析求解与判断能力，属基础题.3．已知:1p x =-，q ：向量()1,a x =与()2,b x x =+共线，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先由向量共线求得0x =或1x =-，进而可判断充分性和必要性.【详解】若向量()1,a x =与()2,b x x =+共线，则(2)x x x =+，解得0x =或1x =-， 所以:1p x =-是q 的充分不必要条件. 故选：A.4．已知变量x 、y 满足约束条件x 2y 22x y 44x y 1+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数z 3x y =-的最大值是()A ．4-B ．32-C ．1-D ．6【答案】D【分析】先画出满足条件的平面区域，由z 3x y =-得y 3x z =-，结合图象得到直线过()2,0时z 最大，求出z 的最大值即可． 【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z 3x y =-得y 3x z =-， 显然直线过()2,0时z 最大， z 的最大值是6， 故选D ．【点睛】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题． 5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数，则其能被3整除的概率是（ ）A ．14B ．310C ．720D ．25【答案】C【分析】求出从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数的个数，同时求出能被3带除的数的个数后可得概率．【详解】从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数的个数为11245240C C A =，其中能被3带除的是两位数数字分别为12,18,36,54,72,78,96组成14个两位数， ∴概率为1474020P ==．故选：C ．6．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】C【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值.【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=-- 故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()200003200002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.7．数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若11a =，111n n n S S a +++=，则50a = A．5-B．7C．D．【答案】B【详解】试题分析：因为111n n n S S a +++=，所以，两式相减可得：，所以，所以，解得：，同理可得：，，，猜想：，所以50a =527-.【解析】递推公式及归纳推理.8．如图两个同心球，球心均为点O ，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段AB 与CD 是夹在两个球体之间的内弦，其中A C 、两点在小球上，B D 、两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体ABCD 的体积达到最大值时，此时异面直线AD 与BC 的夹角为θ，则sin2θ=（ ）A ．6B ．24C 30D 26【答案】A【分析】首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为3积之比为1:3，符合题意中的小球和大球的比例.判断当四面体ABCD 体积最大时，,AB CD 的位置关系，作出异面直线,AD BC 所成的角θ，解直角三角形求得sin 2θ.【详解】设正方体的边长为2，则其内切球半径为1，外接球的半径为22222232++=，所以内切球和外接球的表面积之比为1:3，符合题意中的小球和大球的比例. 依题意,CD AB 最长为()22312-=，AC 最长为小球的直径2.由于三角形的面积1sin 2S ab C =⋅⋅，若,a b 为定值，则π2C =时面积取得最大值.画出图像如下图所示，其中,A C 分别是所在正方形的中心，O 是正方体内切球与外接球的球心.1111//,,//,CD AD CD AD CB AB CB AB ==.由于11111133A BCD ABD CB D ABD V V S AC --∆==⋅⋅，故此时四面体A BCD -的体积最大.由于//,CE AB CE AB =，所以四边形ABCE 为平行四边形，所以//BC AC ，所以ADE ∠是异面直线BC 和AD 所成的角.所以ADE θ∠=由于AD AE =，设G 是DE的中点，则AG DE ⊥，所以2GAE θ=∠，所以222116sin266211GE AE θ====++. 故选：A【点睛】本小题主要考查几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.9．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x π时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 10．已知函数()2ln 3,04,0x x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若关于x 的方程()10f x kx -+=有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,2-B ．()0,2C ．()1,0-D ．()1,-+∞【答案】A【分析】方程()10()1f x kx f x kx -+=⇔=-有四个不同的实根，函数()y f x =图象与直线y =kx -1有四个交点，作出它们的图象，观察动直线的变化而得解.【详解】()10()1f x kx f x kx -+=⇔=-，令y =kx -1，y =kx -1表示过定点(0,-1)，斜率为k 的动直线，当0x >时()ln 2f x x '=-，当2(0,)x e ∈时，()0f x '<；当2(,),()0x e f x '∈+∞>， 所以()f x 在2(0,)e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增，当0x ≤时，2()(2)4f x x =+-，故()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，在同一坐标系内作出函数()y f x =图象与直线y =kx -1，如图所示，关于x 的方程()10f x kx -+=有四个不同的实根，等价于函数()y f x =的图象与直线y =kx -1有四个不同的交点，当0x >时，()ln 3f x x x x =-的图象在点00(,())x f x 处切线斜率为0ln 2x -，该切线过点(0,1)-时，0x 满足000()1ln 2f x x x +=-，解得01x =，所以()ln 3f x x x x =-的图象过点(0,1)-的切线斜-2，当0x ≤时，()24f x x =+'，2()4f x x x =+的图象在点2(,4)t t t +处的切线斜率为24t +，该切线过点(0,1)-时，24124t t t t++=+，因为0t ≤，解得1t =-，所以2()4f x x x =+的图象过点(0,1)-的切线斜率为2，由函数图象知，当动直线y =kx -1在直线21y x =-与21y x =--所夹不含y 轴的对顶角区域内转动(不含边界直线)时，函数()y f x =的图象与直线y =kx -1有四个不同的交点，此时k 的取值范围是(2,2)-. 故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数形结合法.二、多选题11．（多选）已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=.则以下几个命题正确的有（ ）A ．直线l 恒过定点(3,1)B ．圆C 被y 轴截得的弦长为C ．直线l 与圆C 恒相交D ．直线l 被圆C 截得最短弦长时，直线l 的方程为250x y --= 【答案】ABCD【分析】求出直线过定点，A 正确；求出圆与y 轴的交点坐标，进而求出弦长，B 正确；直线过定点在圆内，故C 正确；当直线截得的弦长最短时，1,2CD l CD k ⊥=-，即可求出直线方程，故D 正确.【详解】将直线l 的方程整理为(4)(27)0x y m x y +-++-=，由40,270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,1.x y =⎧⎨=⎩则无论m 为何值，直线l 过定点(3,1)D ，故A 正确；令0x =，则2(2)24y -=，解得2y =±故圆C 被y 轴截得的弦长为B 正确； 因为22(31)(12)525-+-=<，所以点D 在圆C 的内部，直线l 与圆C 相交，故C 正确；圆心(1,2)C ，半径为5，||CD = 当截得的弦长最短时，1,2CD l CD k ⊥=-，则直线l 的斜率为2，此时直线l 的方程为12(3)y x -=-， 即250x y --=，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系、直线过定点等基本数学知识，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.12．某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（ ）参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥0.05 0.010k3.841 6.635A ．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B ．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C ．若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D ．无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关 【答案】AC【分析】由于参加调查的男女生人数相同，则设为m 人，从而可求出男女生中喜欢攀岩的人数和不喜欢攀岩的人数，再代入2K 公式中计算，可得结论. 【详解】解：由题意设参加调查的男女生人数均为m 人，则所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，A 对B 错；22222(0.560.06)501.10.999m m m mK m m m m -==⋅⋅⋅， 当100m =时，2505010050.5056.6359999m K ⨯==≈>， 所以当参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，C 对D 错， 故选：AC【点睛】此题考查了独立性检验，考查了计算能力，属于基础题.三、填空题 13．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2α=______.【答案】- 【分析】先对sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，可求出tanα=，再利用正切的二倍角公式可求出tan 2α的值 【详解】解：由sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得11sin 3sin 22αααα⎫-=+⎪⎪⎝⎭， 化简得sin tan cos 2ααα==， 所以222tan tan 21tan 1ααα===--⎛- ⎝⎭故答案为：43-【点睛】此题考查两角和与差的正余弦公式，考查正切的二倍角公式的应用，属于基础题14．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X （小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市n 名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为________． 【答案】0.35n【分析】利用正态分布的对称性求解即可 【详解】解：由题意，40μ=，则()240,XN σ，由()30500.3P X ≤≤=，可得()10.3500.352P X ->==， 故累计时长超过50小时的人数大约有0.35n 人． 故答案为：0.35n ．15．某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由：一个实心圆柱体和一个实心半球体组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为334πcm ．现设圆柱的底面半径为2cm x ，工艺品的表面积为2cm S ，半球与圆柱的接触面积忽略不计．试写出S 关于x 的函数关系式及x 的取值范围________．【答案】2217πS x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，351x ⎛∈ ⎝⎭ 【分析】由题意及几何体的体积可得圆柱的高，再由表面积公式可得表面积的解析式 【详解】解：设圆柱的高为h ，因为圆柱的底面半径为2x ， 而半球的半径和圆柱的底面半径之比为3:2，所以半球的半径为3x ，设球的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，则由题意可得3212114(3)(2)34223V V V x x h πππ=+=⨯⋅+⋅⋅=，解得3217902x h x -=>，得x ⎛∈ ⎝⎭， 所以表面积为()()()22222211792222243335417π222x x x h x x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ⎛∈ ⎝⎭，故答案为：2217πS x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ⎛∈ ⎝⎭【点睛】此题考查几何体的体积的求法及表面积的求法，属于中档题四、双空题16．已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为k （0k >）的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且113AF F B =，则k =______．1 【分析】根据2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，可得b c =，根据222a b c =+得到a =，可得椭圆的离心率；联立直线AB 与椭圆方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，利用12x x +、12x x 以及113AF F B=可求得k 的值. 【详解】因为点2F (,0)c 关于直线y x =对称的点Q (0,)c 在椭圆上，所以b c =，所以22222a b c c =+=，即a =，所以2c e a ==. 所以椭圆C ：222212x y c c+=，1(,0)F c -，直线:AB ()y k x c =+，联立2222()12y k x c x y cc =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理得222222(12)4220k x ck x k c c +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122412ck x x k +=-+，2221222212k c c x x k -=+，因为113AF F B =，所以()()1122,3,c x y x c y ---=+， 所以1233c x x c --=+，即1234x x c =--，所以222243412ck x c x k --+=-+，得2222(1)12c k x k +=-+，所以2122(1)12c k x k -=+，所以2412224(1)(12)c k x x k -=-+，又2221222212k c c x x k-=+， 所以24224(1)(12)c k k --+2222(1)12c k k-=+，所以4222(1)(12)(1)k k k --=+-， 化简得21k =，又0k >，所以1k =.故答案为：2；1 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用点2F (,0)c 关于直线y x =对称的点Q (0,)c 在椭圆上，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．五、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5b =，3cos 5B =． （1）求ABC 的面积的最大值； （2sinsin 2B Ca C +=，求ABC 的周长． 【答案】（1）ABC 的面积的最大值为252；（2）15． 【分析】(1)由条件结合余弦定理，利用均值不等式可得ac 的最大值，从而得出ABC 的面积的最大值.（2πsinsin sin 2AC A C -⋅=⋅，再化简可得πsin2AA-=sin cos222A A A=⋅，从而得出角A，进一步求出边,a b，得出答案.【详解】（1）∵3cos5B=，∴4sin5B=，由余弦定理知：2222cosb ac ac B=+-，即226625255a c ac ac ac=+-≥-，即1254ac≤，当且仅当a c=时取等号．所以11125425sin22452S ac B=≤⨯⨯=，所以ABC的面积的最大值为252．（2πsin sin sin2AC A C-⋅=⋅∵sin0C≠，πsin2AA-=2sin cos222A A A=⋅．∵cos02A≠，故sin22A=，由0Aπ<<∴90A=︒．∵4sin5bBa==，∴254a=，∴25315cos454c a B=⋅=⋅=，∴周长为∴251551544a b c++=++=．18．已知数列{}n a满足121n na a+=+，154a=，1n nb a=-.（1）求证：数列{}n b是等比数列；（2）求数列___________的前n项和n T.从条件①1nnb⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，②{}nn b+，③2214log logn nb b+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭中任选一个，补充到上面的问题中，并给出解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析；（2）选①：22nnT n+=⋅；选②：21112222n nn nT+=++-；选③：22nnTn=+.【分析】（1）本题首先可根据121n n a a +=+得出112n n b b +=，然后根据等比数列定义即可证得结论；（2）选①：可根据错位相减法得出结果；选②：可通过分组求和法得出结果；选③：可通过裂项相消法得出结果.【详解】（1）因为121n n a a +=+，所以1221n n a a +-=-， 因为1n n b a =-，所以12n n b b +=，112n n b b +=， 因为11114b a =-=，所以数列{}n b 是以14为首项、12为公比的等比数列，112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）选①：因为112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()1112n nn n b ++=+⋅， 则()231223212n n T n +=⨯+⨯+++⨯，()3422223212n n T n +=⨯+⨯+++⨯，2341222222212n n n n n T T T n 3122222212122212828212n nnnn n n n ，故22n n T n +=⋅.选②：因为112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以112n n n b n +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则1111112348162n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111112348162n n +⎛⎫=+++++++++ ⎪⎝⎭()2111111142112222212n n n n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=++=++--，故21112222n n n n T +=++-.选③：因为112n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2214114log log 12n n b b n n +⎛⎫=- ⎪⋅++⎝⎭，则1111111142334112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124222n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 故22n nT n =+. 【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的证明以及数列求和，常见的求和方法有：等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是中档题.19．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，AC BD ，相交于点O ，P 是线段AB 的中点，已知142AB BC AA ===，.（1）求证：11OB PA ⊥；（2）若N 是线段PB 上异于端点的点，求过1B N O ，，三点的平面被长方体所截面积的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为46【分析】（1）连接11B P OP A P ，，，证明1PA ⊥平面1PB O 即可证明结论； （2）延长ON 交DC 于E ，过1B N O ，，三点的平面与平面1111D C B A 中11C D 的交点为F ，交线为1B F ，连接EF ，则截面为1NEFB ，进而可得四边形1NEFB 为平行四边形1NEFB .底面ABCD 中，过B 作EN 的垂线，垂足为H ，设()42ENP ππαα∠=<<,再根据边角关系求解11NEFB S B H EN =⋅四边形.【详解】解：（1）连接11B P OP A P ，，，易证//OP AD ， 又因为AD ⊥平面11ABB A ，所以OP ⊥平面11ABB A ，因为1PA ⊂平面11ABB A ，所以1OP PA ⊥.在矩形11ABB A 中，P 是线段AB 的中点，142AB BC AA ===，, 所以1122PB PA ==，所以2221111PB PA A B +=，所以11PB PA ⊥， 又因为1OPPB P =，所以1PA ⊥平面1PB O ，所以11OB PA ⊥.（2）由题意知，延长ON 交DC 于E ，过1B N O ，，三点的平面与平面1111D C B A 中11C D 的交点为F ，则交线为1B F ，连接EF ，则截面为1NEFB ，连接EF ，则截面为1NEFB ， 由面面平行的性质可知，四边形1NEFB 为平行四边形1NEFB ， 如图所示：底面ABCD 中，过B 作EN 的垂线，垂足为H ，因为1BB EN ⊥，BH EN ⊥，所以EN ⊥平面1BB H ，可得1B H EN ⊥，所以11NEFB S B H EN =⋅. 设()42ENP ππαα∠=<<，则22sin tan NO NP αα==，，可得22tan NB α=-. 所以sin 2sin 2cos BH NB ααα=⋅=-，所以1B H =，所以114sin NEFB S B H EN α=⋅=四边形令22222128(1sin cos )128(sin cos sin cos )()sin sin f S ααααααααα-+-===， 2211113128(1)128[()]tan tan tan 24ααα=-+=-+，因为42αππ<<，所以tan 1α>，当tan 2α=时，min ()96f α=，所以过1B N O ，，三点的平面被长方体所截面积的最小值为【点睛】本题考查线线垂直的证明，几何体的截面的相关问题，考查运算求解能力，空间想象能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据面面平行的性质得截面1NEFB ，在根据几何关系求解.20．已知椭圆222:14x y C b+=的焦点在x 轴，且右焦点到左顶点的距离为3．（1）求椭圆C 的方程和焦点的坐标；（2）与x 轴不垂直且不重合的直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，直线l 与x 轴的交点为M ，点M 关于y 轴的对称点为N ． ①求ABN 面积的最大值；②当ABN AB <<【答案】（1）椭圆方程为221,43x y +=焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ；（2）①②证明见解析．【分析】（1）根据方程和右焦点到左顶点的距离为3，可求2,1a c ==，进而可得方程和焦点坐标；（2）①设出直线方程，有两种方式，和椭圆联立，结合韦达定理，可求弦长，再利用点到直线的距离可求三角形的高，从而得到面积的表达式，结合基本不等式可求最大值； ②根据最值情况可得两个参数间的关系，代换之后，结合目标式的特征可求范围.【详解】（1）因为234a c a +=⎧⎨=⎩，所以2,1a c ==． 又222a b c =+，所以23b =．所以椭圆方程为221,43x y +=焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ．（2）（ⅰ）方法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，:AB l y kx t =+， 所以,0t M k ⎛⎫-⎪⎝⎭，,0t N k ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 联立22,3412.y kx t x y =+⎧⎨+=⎩得()2224384120k x ktx t +++-=． 122843kt x x k +=-+，212241243t x x k -=+，()2248430k t ∆=-+>，即2243t k <+．243AB k ==+，点N 到直线AB的距离为d =．所以12ABNS =△=2243k≤+)224343k k +≤+=当且仅当22243k t t -+=即22243t k =+时等号成立．（ⅱ）因为AB ===而2433,k+>所以()21112443k<<+AB<<法二：（ⅰ）设直线x my t=+（0m≠），所以(),0M t，(),0N t-．联立方程2234=12,.x yx my t⎧+⎨=+⎩化简得()2223463120m y mty t+++-=．所以()2248340m t∆=-+>．12221226,34312.34mty ymty ym-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB==点N到AB的距离为：d=12ABNS AB d==△2t=+⎪⎝⎭≤=当且仅当t=2223+4t m=等号成立．（ⅱ）AB===． 因为2344m +>，所以AB ∈．【点睛】椭圆中最值问题和范围问题的处理方法：（1）先根据条件列出目标式，根据目标式的特点选择合适的方法进行求解； （2）常用方法有：二次函数最值法，基本不等式法，导数法等.21．2021年4月23日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了7位我校男生的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ1.15yx a =+. （1）求a ；（2）已知()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑，且当20.9R ≥时，回归方程的拟合效果非常好；当20.80.9R <<时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.(2R 的结果保留到小数点后两位) 参考数据：()721ˆ52.36iii y y=-=∑.【答案】（1）136.55-；（2）该线性回归方程的拟合效果是良好的，理由见解析. 【分析】（1）根据数据，求得x ，y ，代入回归直线方程，即可求得a . （2）根据（1），先求得()721ii yy =-∑，结合题中所给数据，代入2R 公式，可求得2R 的值，即可得答案.【详解】（1）由题中数据可得：166+180+174+183+178+173+185=1777x =，57+67+59+75+71+62+78=677y =所以 1.1567 1.15177136.55a y x =-=-⨯=-. （2）()()()()722222221100884511390i i y y =-=-++-+++-+=∑所以252.3610.870.9390R =-≈< 所以该线性回归方程的拟合效果是良好的22．己知函数f (x )=ae x -x 2(其中e 为自然对数的底数).（1）当a =1时，求证：函数f (x )图像上任意一点处的切线斜率大于12； （2）若f (x )>12ln(x +1)+cos x 任意x ∈[0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）(1,)+∞. 【分析】（1）首先将问题转化为1()22xf x e x '=->，接着判断导函数的单调性及最值即可；（2）首先令0x =得到1a >，接着将不等式放缩得到21ln(1)cos 2x ae x x x --+->2112x e x x ---，最后证明21102x e x x --->即可.【详解】（1）当a =1时，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=- 令()0ln 2f x x =⇒=''且当ln 2x <时，()0f x ''<，()'f x 单调递减； 当x >ln 2时，()0f x ''>，()'f x 单调递增， ∴min ()(ln 2)22ln 2f x f ≥=-''⇔证：1322ln 2ln 224->⇔<， 即证：316e >，显然成立， 故1()2f x '>， 即f (x )图象上任意一点处的切线斜率均大于12. （2）∵1()ln(1)cos 2f x x x >++，即21ln(1)cos 02x ae x x x --+->对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，令010,1x a a =⇒->>(必要性) 下证充分性： 当a >1时，21ln(1)cos 2x ae x x x --+->2211ln(1)cos 122x x e x x x e x x --+-≥---下只需证21102x e x x --->，令21()12x g x e x x =---1()22x g x e x '=--，由（1）知()0g x '>∴()g x 在[0,)+∞上单调递增， ∴()(0)0g x g ≥= ∴21ln(1)cos 02xae x x x --+-≥满足条件，充分性成立 综上：实数a 的取值范围为(1,)+∞.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2021年全国普通高等学校统一招生名师原创模拟试卷数学文试题试卷答案全解全析.docx
2021年全国普通高等学校统一招生模拟考试名师原创金卷数学(文)第I 卷(选择题)一、单项选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 巳知z 的共轴复数为 -- 2z •(其中i 为虚数单位)，则|z|=()3 + z I I A. 3右B. 3A /2C. 2也D. 2A /22. 设集合A = {M (xT )(x — a )20} , B = [x\x>a-i\ ,若A B = R ,则实数a 的取值范围是() A.(YO ,1)B. (YO ,2]C. (1,+? )D. [2,+oo)3. 已知函数 /(%) = ln pl + 9x 2 -3x) +1,.则f (1g 2)+ f [1g= A. -1B. 0C. 1D. 24. 已知在正四棱锥的底面边长为2a,其左视图如图所示，当主视图的面积最大时，该四棱锥的体积和表面 积分别为()5.已知函数/(x) = (l-3m)x+10 (m 为常数)，若数列(«…} = (/(H )}(« e N*),且％ =2,则数列{%}6. 已知变量X 、》相对应的一组数据为(10, 1.5), (11, 3.2), (11, 8.3), (12.5, 14), (13, 5),变量x'、y'相对应的一组数据为(10, 5), (11.3, 4), (11.8, 3), (12.5, 2), (13, 1),用4表示变量了与》之间的线性相 关系数，用匕表示变量之y‘间的线性相关系数，则有()C.半，8 + 8皿前100项和为()A. 78800B. -78800C. 39400D. -39400A. <0B. 0v& V*C. & vO v*D. * V 凸 V 。
r j \ ) 1 sin2cif-cos 2 a , 、 7. 已知tan — + a =-,则 ------------------- =()"4 ) 2 1 + cos 2a 57 厂A. ------B. -----C. —2D.—65V8. 设 1, y&R,对双元函数f (x,y)定义为：①/(x,x) = x ；② f(kx,ky) = kf(x,y)； ③/(x 1+x 2,y 1+y 2) = /(x 1,y 1)+/(x 2,y 2)；④7(x,y) = f I 的值为()2 29.已知点F 是双曲线A — 2L = 1, (a>o,b>o)左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴 a b的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是()A. (1,2)B.(皿，陌)C.(右,3)D.(2,^5) a + /?-8 < 010. 已知关于X 的一元二次函数/(x) = ax 2-4Z?x+L 其中实数a, b 满足a 〉0,贝。
2021届全国学海大联考新高考模拟考试(十九)数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟考试（十九）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题．1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则A B =（ ）A. {}3,2--B.{}3,2,3--C.1,0,1,2D.{}3,2,2,3--【答案】B 【解析】 【分析】由集合交集的概念直接运算即可得解. 【详解】由题意A B ={|1x x <-或}{}{}23,2,1,0,1,2,33,2,3x >⋂---=--.故选：B.【点睛】本题考查了集合的运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2.已知复数()()31z i i =-+，则实数z =（ ）A. B. C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则可得42z i =+，再根据复数模的概念即可得解. 【详解】由题意()()2313242z i i i i i =-+=-+=+，所以z ==故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算与复数模的求解，关键是对于运算法则的熟练使用及概念的识记，属于基础题.3.命题“0x R ∃∈，20010x x ++≤”的否定为（ ）A. x R ∀∈，210x x ++>B. x R ∀∉ ，210x x ++≤C. 0x R ∃∈，20010x x ++>D. 0x R ∃∉， 20010x x ++≤【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合特称的命题的否定是全称命题正确改写，即可得解.【详解】因为命题“0x R ∃∈，20010x x ++≤”为特称命题,所以其否定为“x R ∀∈，210x x ++>”. 故选：A.【点睛】本题考查了特称命题的否定，关键是对于特称命题否定规则的掌握，属于基础题.4.已知地震释放出的能量E 与地震的里氏震级M 的关系为lg 4.8 1.5E M =+，2011年3月11日，日本北部海域发生的里氏9．0级地震释放出的能量设为1E ，2008年5月12日，我国汶川发生的里氏8.0级地震释放出的能量设为2E ，那么12:E E =（ ） A. 1．5 B. lg1.5C. 1.510D. 1.510-【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得1lg 4.8 1.59E =+⨯，2lg 4.8 1.58E =+⨯，结合对数的运算法则作差即可得解. 详解】由题意1lg 4.8 1.59E =+⨯，2lg 4.8 1.58E =+⨯， 所以()()12lg lg 4.8 1.59 4.8 1.58 1.5E E -=+⨯-+⨯=，所以1122lglg lg 1.5E E E E =-=， 所以 1.512:10E E =. 故选：C.【点睛】本题考查了对数运算法则的应用，考查了运算求解能力，关键是对于题意的理解和对数运算法则的熟练运用，属于基础题. 5.在ABC 中，3cos 5A =-，则tan 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 7B. 17-C. 7±D. 17±【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合同角三角函数的平方关系、商数关系可得4tan 3A =-，再利用两角差的正切公式即可得解. 【详解】3cos 5A =-，A 为ABC 的一个内角，∴()0,A π∈，4sin 5A ==，∴sin 4tan cos 3A A A ==-，∴41tan tan34tan 7441tan tan 143A A A πππ---⎛⎫-=== ⎪⎝⎭+⋅-.故选：A.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了两角差正切公式的应用与运算求解能力，属于基础题.6.已知平面向量a ，b 满足0a b a b +==≠，那么a 与b 的夹角为（ ） A.3πB.23π C.6π D.56π 【答案】 B 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为α，由题得212a b b ⋅=-，再代入向量的夹角公式化简即得解. 【详解】由题得a b a +=，所以221+2=02b a b a b b ⋅∴⋅=-，.设a 与b 的夹角为α，所以2222112cos ===2||||||ba b a b a b a b b b bα-⋅⋅⋅==-. 因为[0,]απ∈， 所以23πα=. 故选：B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. y x = B. 3x y = C. 3y x = D. 1y x x=- 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论四个函数的奇偶性及单调性，可选出答案.【详解】对于选项A ，y x =是R 上的偶函数，不符合题意； 对于选项B ，3xy =是非奇非偶函数，不符合题意；对于选项C ，3y x =是奇函数，又是R 上增函数，符合题意； 对于选项D ，因为函数1y x x=-在,0和0,上都单调递减，在其定义域上不是单调函数，不符合题. 故选：C ．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.8.如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为1的正三角形，圆锥表面上的点M ，N 在正视图上的对应点分别是A 、B ．则在此圆锥的侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 1B.2C. 2D. π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知几何体的直观图为圆锥，则圆锥的侧展图如图所示，再根据三视图中的数据，即可得答案； 【详解】由三视图可知几何体的直观图为圆锥， 圆锥的底面周长为122ππ⨯=，∴圆锥侧展图的圆心角为π， 由三视图可得，点,A B 在侧展图的位置，如图所示， 1OA OB ==，OA OB ⊥，∴2AB =.故选：B.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、圆锥表面上两点间的最短距离，考查空间想象能力、运算求解能力.9.圆心都在直线0x y m ++=上的两圆相交于两点(),3M n ，()1,1N -，则m n +=（ ） A. 1- B. 1C. 2-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】MN 的中点在直线0x y m ++=上，MN 和直线0x y m ++=垂直，联立方程得到答案.【详解】根据题意：MN 的中点为1,22n A -⎛⎫⎪⎝⎭，则A 点在直线0x y m ++=上，即1202n m -++=，且MN 和直线0x y m ++=垂直，3111MN k n -==+，解得1n =，2m =-，故1m n +=-. 故选：A.【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.已知O 为椭圆C 的中心，F 为C 的一个焦点，点M 在C 外，3MO OF =，经过M 的直线l 与C 的一个交点为N ，MNF 是有一个内角为120的等腰三角形，则C 的离心率为（ ）A.B.C.1D.【答案】B 【解析】 【分析】不妨取(),0F c ，计算M 坐标，根据等腰三角形得到N 点坐标，代入椭圆化简计算得到答案. 【详解】不妨取(),0F c ，3MO OF =，则()3,0M c -，易知MNF 中只能120MNF ∠=︒，MNF 是有一个内角为120的等腰三角形，则,N c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，将N 代入椭圆方程得到：2222431cc a b +=，即()2224131e e e +=-， 解得213e =或23e =（舍去），故3e =. 故选：B .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定N 点坐标是解题的关键.11.关于函数()332,02cos ,0x x x f x x x ⎧-+=⎨≤⎩＞，有下述四个结论：①()f x 是周期函数．②()f x 在[],1π-上单调递增．③()f x 的值域为(],2-∞．④若函数()y f x m =-有且仅有两个不同的零点，则()2,4m ∈． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④【答案】C 【解析】 【分析】先对()()3320f x x x x =-++>求导，知其单调性及最值，画出()f x 的图象，数形结合再结合选项进行判断即可.【详解】当0x >时，()332f x x x =-++，所以()()'223331f x x x =-+=--，令'0fx得：1x =或1x =-，所以当()0,1x ∈时，()'0f x >，()f x 递增，当()1,x ∈+∞时，()'0fx <，()f x 递减，且()()max 14f x f ==， 则()f x 的图象如图所示：由图可知：()f x 不是周期函数，故①错误； ()f x 在[],1π-上单调递增，故②正确； ()f x 的值域为(],4-∞，故③错误；若函数()y f x m =-有且仅有两个不同的零点，即函数y m =与函数()y f x =有两个交点，所以由图可知：()2,4m ∈，故④正确.综上，②④正确. 故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点问题，关键在于利用导数先得到0x >时，函数()f x 的单调性及最值，画出其图象，数形结合进行判断，属于中档题.12.已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,π内有且仅有一个极小值点，则正数ω的取值范围为（ ）A. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 110,33⎛⎤⎥⎝⎦D. 410,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】 由0πx <<，可得666x πππωωπ<+<+，结合三角函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由0πx <<，可得666x πππωωπ<+<+，因为函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,π内有且仅有一个极小值点，则满足362762ππωπππωπ⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得41033w <≤，即正数ω的取值范围为410,33⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数极值点的概念及其应用，着重考查推理与运算能力.二、填空题13.某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是__________. 【答案】0.9【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，电话在响前4声内被接的概率等于电话响起第一声接的概率，加上响第二声时被接的概率，加上响第三声时被接的概率，加上响第四声时被接的概率，得到结果. 【详解】根据互斥事件的概率加法公式，电话在响前4声内被接的概率等于电话响起第一声接的概率， 加上响第二声时被接的概率， 加上响第三声时被接的概率， 加上响第四声时被接的概率， 故电话在响前4声内被接的概率是：0.10.30.40.10.9+++=，故答案为：0.9.【点睛】该题考查的是有关互斥事件有一个发生的概率的求解问题，涉及到的知识点有互斥事件概率加法公式，属于基础题目.14.已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin b C C =，则B =__________． 【答案】3π【解析】 【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换计算化简得到答案.()sin sinA B C C =，)sin cos sin cos sin sin sin B C C B B C C B +=，且sin 0C ≠，sin B B =，即tan B =()0,B π∈，故3B π=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.中国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童．现有一个长宽高分别为4，3，2的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线为对称轴旋转90，得到一个刍童如图，则该刍童的外接球的表面积为__________．【答案】29π 【解析】 【分析】上、下底面中心连接所得线段的中点为该刍童的外接球的球心，设该刍童的外接球的半径为R ，利用勾股定理可得2R ，进而得出表面积.【详解】解：由题意可得：上、下底面中心连接所得线段的中点为该刍童的外接球的球心， 设该刍童的外接球的半径为R ，则222224329422R +⎛⎫=+ ⎪⎭=⎝⎝⎭， ∴该刍童的外接球的表面积22944294S R πππ⋅===. 故答案为：29π.【点睛】本题考查了长方体的性质、勾股定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 16.经过抛物线()2:20C y px p =＞的焦点F ，倾斜角为30的直线l 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为7，那么p =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由已知条件写出直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理及1272x x +=，即可求得结果. 【详解】根据题意可以得过焦点的倾斜角为30直线方程为3)2py x =-,设()()1122,,,A x y B x y ， 联立223)32y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得：22704p x px ⇒-+=AB 的中点M 的横坐标为7，127=14x x p ∴+=,计算得出: 2p =, 故答案为:2.【点睛】本题考查直线和抛物线的关系，考查中点问题，考查韦达定理的应用，属于基础题.三、解答题17.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝5，S 7＝49． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设2nn na b =，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜3． 【答案】（1）21n a n =-（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出结果． 【详解】（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则：1125767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：a 1＝1，d ＝2，故：()11221n a n n =+-⨯=- ． （2）由于：a n ＝2n ﹣1，所以()12122n n n na b n ==-⋅， 则：()121111321222n n T n =⋅+⋅++-⋅①()231111113212222n n T n +=⋅+⋅++-⋅② ①﹣②得：212123333222n n n nn n T --+=--=-＜． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，点E 在线段PC 上，PA ∥平面EBD ．（1）证明：点E 为线段PC 中点；（2）已知PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，点P 到平面EBD 的距离为1，四棱锥P ABCD -的体积为3PA ．【答案】（1）见解析（2）3PA = 【解析】 【分析】（1）连结AC ，与BD 相交于点O ,由线面平行的性质定理即可证得//PA EO ，在PAC 中，由O 为AC 中点，即可证得结论；（2）PA ⊥平面ABCD ，//PA EO ，可证得平面EBD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可证得AO ⊥面EBD ，由已知可得1AO =，根据体积公式即可求得PA .【详解】解：（1）连结AC ，与BD 相交于点O ，连结EO ，则经过PA 的平面PAC 与平面EBD 交线为EO ． 因为//PA 平面EBD ， 所以//PA EO ．因为四边形ABCD 是菱形， 所以O 为AC 的中点，所以EO 是PAC 中位线，于是E 为线段PC 中点． （2）因为//PA 平面EBD ，所以点A 到平面EBD 的距离等于点P 到平面EBD 的距离等于1． 因为PA ⊥平面ABCD ， 所以EO ⊥平面ABCD ， 所以平面EBD ⊥平面ABCD ， 平面EBD平面=ABCD BD ．因为AO BD ⊥，所以AO ⊥面EBD ，因此1AO =．因为60ABC ∠=，所以四边形ABCD 是边长为2的菱形，面积为22sin 60=23⨯⨯所以四棱锥P ABCD -的体积为1233P ABCD V PA -⋅=⋅， 由123233PA ⋅⋅=，得3PA =．【点睛】本题考查线面平行的性质，考查线面垂直，面面垂直及锥体的体积公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.19.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=＞＞经过点3A ⎛ ⎝⎭，两个焦点为()12,0F -，()22,0F ． （1）求C 的方程；（2）设()()000,0P x y y ≠是C 上一点，直线2200:0l x x a y y a --=与直线2x =相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，证明：当P 点在C 上移动时，22MF NF 为定值，并求此定值．【答案】（1）2213x y -=（2）见解析，22MF NF 23． 【解析】 【分析】（1）由已知可得2c =，点A 代入方程解方程即可得解，或者利用双曲线的定义求得a ，即可得双曲线方程；（2）由（1）可知3a =00232,3x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，003332,23x N y ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭,利用两点间距离公式代入化简即可证得22MF NF 为定值.【详解】解：解法1：（1）由题意2c =，所以224a b =-，C 的方程可化为222214x y b b -=-．因为C的方程经过点2,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2241143b b -=-，解得21b =，或243b =-（舍去）． 于是C 的方程为2213x y -=．（2）由（1）知直线l 的方程为00330x x y y --=．把2x =，32x =分别代入00330x x y y --=得：00232,3x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，003332,23x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 又()00,P x y 在C 上，所以220033y x =-．()22,0F ,所以()()()()()()()202222220000022222222000000020202332323412944443333312123332332331243x MF y x x x x x x x y x x x NF x y ----+==⋅=⋅=⋅=-+-++--+-⎛⎫- ⎪⎝⎭+． 于是22MF NF． 解法2：（1）由双曲线定义得122a AF AF =-==所以a =2c =，所以2221b c a =-=，于是C 的方程为2213x y -=．（2）同解法1．【点睛】本题考查双曲线方程，考查直线和双曲线的关系及定值问题，考查计算能力，属于中档题. 20.某企业批量生产了一种汽车配件，总数为N ，配件包装上标有从1到N 的连续自然数序号，为对配件总数N 进行估计，质检员随机抽取了n 个配件，序号从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，这n 个序号相当于从区间()0,1N +上随机抽取了n 个整数，这n 个整数将区间()0,1N +分为1n +个小区间()10,x ，()12,x x ，…，(),1n x N +．由于这n 个整数是随机抽取的，所以前n 个区间的平均长度nx n与所有1n +个区间的平均长度11N n ++近似相等，进而可以得到N 的估计值．已知32n =，质检员随机抽取的配件序号从小到大依次为83，135，274，…，3104． （1）用上面的方法求N 的估计值．（2）将（1）中的N 估计值作为这批汽车配件的总数，从中随机抽取100个配件测量其内径y （单位：mm ），绘制出频率分布直方图如下：将这100个配件的内径落入各组的频率视为这N 个配件内径分布的概率，已知标准配件的内径为200mm ，把这N 个配件中内径长度最接近标准配件内径长度的800个配件定义为优等品，求优等品配件内径y 的取值范围（结果保留整数）．【答案】（1）N 的估计值为3200．（2）()196,204 【解析】 【分析】 （1）由题意可知1=1n x N n n ++，32n = ，3104n x =代入即可求得N 的估计值； （2）先求得优等品的概率为8000.253200=，设优等品的内径范围为()200,200t t -+，()()2002000.0290.04110=0.25P t y t t t -≤≤+=+⨯，计算即可求得t ，即可得出结果.【详解】解：（1）抽取的32个配件将区间[]0,1N +划分为33个区间，平均长度为133N +， 前31个区间平均长度为310432，由题设得131043332N +=，得N 的估计值为3200．（2）抽取的800件优等品占总数的比为8000.253200=． 设优等品的内径范围为()200,200t t -+，由题设知()2002000.25P t y t -≤≤+=．由直方图知()()1902100.0290.041100.7.25P y ≤≤=+⨯=＞0，故010t ＜＜． 因此()()2002000.0290.04110P t y t t t -≤≤+=+⨯． 由0.0290.041100.251010t t ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，得 3.57t ≈，取4t =． 因此优等品的内径范围为()196,204．【点睛】本题主要考查概率和统计的实际应用，考查学生对频率分布图的理解和分析问题的能力，属于中档题.21.设函数()ln xf x e a x a =--．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若0a e ＜＜，证明：在区间,1a e ⎛⎫⎪⎝⎭内，()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()00f x ＞． 【答案】（1）0y =（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）利用导数以及零点存在性定理可证得：在区间,1a e ⎛⎫⎪⎝⎭内，()f x 存在唯一的极小值点0x ，根据00xa x e =和01ax e<<，可证得()00f x >. 【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，()xa f x e x'=-． 当a e =时，()x ef x e x'=-，所以()10f '=，()10f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为0y =． （2）因为0a e <<，所以()xa f x e x '=-在,1a e ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增． 因为0ae af a e e '⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()10f e a '=->，所以存在0,1a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=．当0,a x x e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，当()0,1x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在0,a x e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()0,1x上单调递增，所以()f x 在区间,1a e ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一极小值点0x ． 由()00f x '=得00xa x e =，于是()()000001ln x f x e x x x =--．因为当01ax e<<时，()0001ln 0x x x -->，所以()00f x >． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了零点存在性定理，考查了由导数研究函数的极值点，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程()221sin 2p θ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设A ，B 为曲线2C 上位于x 轴上方的两点，且OA OB ⊥，射线OA ，OB 分别与1C 相交于点D 和点C ，当AOB 面积取最小值时，求四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）223【解析】 【分析】（1）消去参数t 得曲线1C的普通方程，代入cos x ρθ=，sin y ρθ=后可得极坐标方程； （2）用极坐标求解，不妨设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()3,D ρθ，4,2C πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，求出1234,,,ρρρρ，由ABCD OCDOABS SS=-可得．【详解】（1）消去1x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩中的参数t得4x +=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入1C 得的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （2）不妨设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()3,D ρθ，4,2C πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 则1ρ=，2ρ=AOB面积为121223ρρ=≥，4πθ=时，AOB 面积取最小值为23． 此时3sin 246ππρ⎛⎫+=⎪⎝⎭，4cos 246ππρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3455sin cos 41212ππρρ=，可得3416ρρ=，COD △面积为34182ρρ=，因此四边形ABCD 的面积为222833-=．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标的应用．极坐标方程与直角坐标方程之间通过公式cos x ρθ=，sin y ρθ=实现互化． 23.已知函数()(1)1()f x x a x x x a =+++-+． （1）当0a =时，求()0f x ≥的解集；（2）若()0f x <在(),0-∞上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}0x x ≥；（2）0a ≤. 【解析】 【分析】（1）当0a =时，()(1)1f x x x x x =++-．分别讨论1x ≥，01x ≤<和0x <时()0f x ≥，即可求得答案；（2）由（1）可知当0a =时，在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立；讨论0a <和0a >时，()0f x <在(),0-∞上是否恒成立，即可求得答案.【详解】（1）当0a =时，()(1)1f x x x x x =++-．当1x ≥时，2()(1)(1)2f x x x x x x =++-=，此时()0f x ≥的解集为{}1x x ≥；当01x ≤<时，()(1)(1)2f x x x x x x =++-=，此时()0f x ≥的解集为{}01x x ≤<；当0x <时，2()(1)(1)2f x x x x x x =-+--=-，此时()0f x ≥的解集为∅综上所述()0f x ≥的解集为：{}0x x ≥（2）由（1）可知当0a =时，在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立；当0a <时，在(),0x ∈-∞内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x x a =-++--+=-+<恒成立；当0a >时，在(),0x a ∈-内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x a =++--+=+>，不满足()0f x <在(,0)-∞上恒成立的条件综上所述0a ≤.【点睛】本题主要考查了求解绝对值不等式和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握不等式基础知识和讨论法解不等式步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(二)数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（二）数学文科试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：共12小题，满分60分，每小题5分.1.设z ii z+=,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先由已知条件求得11122i z i i -==--，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】解：由题意知()1,z i i -=-, 即11122i z i i -==--， 故z 在复平面内对应的点位于第四象限， 故选D.【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题. 2.命题“在ABC ∆中，若1sin 2A =，则30A =︒”的否命题是（ ） A. 在ABC ∆中，若1sin 2A =，则30A ≠︒ B. 在ABC ∆中，若1sin 2A ≠，则30A =︒ C. 在ABC ∆中，若1sin 2A ≠，则30A ≠︒D. 在ABC ∆中，若30A ≠︒，则1sin 2A ≠【答案】C 【解析】 【分析】命题“若p 则q ”的否命题为“若p ⌝则q ⌝”【详解】因为命题“若p 则q ”的否命题为“若p ⌝则q ⌝” 所以命题“在ABC ∆中，若1sin 2A =，则30A =︒”的否命题是 “在ABC ∆中，若1sin 2A ≠，则30A ≠︒” 故选：C【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单. 3..设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A. a c b >> B. c a b >> C. b a c >>D. a b c >>【答案】C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.4.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出C 选项错误．【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.812096⨯=人，女性人数为0.68048⨯=人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C ．【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题.5.在梯形ABCD 中，已知AB CD ∥,2AB DC =,点P 在线段BC 上，且2BP PC =,则（ ）A. 2132AP AB AD =+ B. 1223AP AB AD =+ C. 32AD AP AB =-D. 23AD AP AB =-【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求解.【详解】因为1122BC AB AD DC AB AD AB AD AB =-++=-++=-， 221333BP BC AD AB ==-， 所以2122++3333AP AB BP AB AD AB AB AD =-=+=，所以32ADAP AB =-.故选C.【点睛】本题考查向量加法的三角形法则.6.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A.n -B.n -C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q 所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.7.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若m n ⊥，//n α，则m α⊥B. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥C. 若//m n ，//n β，则//m βD. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβ【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的性质及判定定理一一判断即可.【详解】解：对于A ：若m n ⊥，//n α，则直线m 与平面α，可能平行，相交，或m α⊂，故A 错误； 对于B ：若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m 与n 一定不平行，否则//αβ，与已知αβ⊥矛盾，通过平移使得m 与n 相交，且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为αβ⊥，所以m 与n 所成的角为90︒，即m n ⊥，故B 正确；对于C ：若//m n ，//n β，则直线m 与平面β，可能平行或m β⊂，故C 错误；对于D ：若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，无法得到//αβ，还需一个条件m 、n 相交于一点，故D 错误；故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题． 8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,0A ωϕπ>><<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心；③函数1y =与35()1212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π． 其中所有正确的判断是（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ②【答案】C 【解析】【分析】先根据图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭,分别代入求解计算出()f x 的解析式,再根据三角函数的图像性质逐个判断即可. 【详解】因为()sin()f x A x ωϕ=+的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故3,A =且2543124T πππ=-=,故T π=.所以22ππωω=⇒=. 故()()3sin 2f x x ϕ=+.又图像最低点为2,33N π⎛⎫-⎪⎝⎭,故2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈. 即2,6k k Z πϕπ=+∈.又0ϕπ<<,故6π=ϕ.故()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对①,当2x π=时72266πππ⨯+=,不是正弦函数的对称轴.故①错误. 对②,当12x π=-时,3sin 20261ππ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎝-⎪⎝⎭⎭,故点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心,故②正确. 对③,因为351212x ππ-≤≤,故0266x ππ≤+≤,所以函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与1y =有6个交点.设交的横坐标分别为126,...x x x ,根据图像以及五点作图法的方法可知,当5262x ππ+=时解得76x π=为6个横坐标126,...x x x 的对称轴. 故1267 (676)x x x ππ++=⨯=.故③正确.综上,②③正确. 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数图像的运用,需要根据题意确定三角函数的周期,代入最值点求解参数进而得到三角函数的解析式.同时也考查了判断三角函数的对称轴,对称点以及数形结合求解零点的问题.属于中档题.9.函数y ＝ln |x |·cos (2π－2x )的图像可能是( ) A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，和特殊值，可判断。
2021届江苏高三数学新高考模拟卷4(含解析) (1)
2021 届江苏高三数学新高考模拟卷4（含解析）一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A = {x∈N||x− 1| ≤ 1 }, B = {x|y = √1−x2}，则A∩B的真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】A【解析】A = {x∈ N||x− 1| ≤ 1 }={0,1,2}，B = {x|y = √1 − x2}=[−1,1]，A∩ B = {0,1}，所以A∩ B的真子集的个数为22− 1 = 3，故选A。
x2．已知1 +i＝1－yi，其中x，y 是实数，i 是虚数单位，则x－y＝()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由题意，x1+i=1(x－xi)＝1－yi，解得x＝2，y＝1.故x－y＝1.23．“θ为第一或第四象限角”是“cosθ> 0 ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当θ为第一或第四象限角时，cosθ> 0 ，所以“θ为第一或第四象限角”是“ cosθ> 0 ”的充分条件，当cosθ> 0 时，θ为第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角，所以“θ为第一或第四象限角”不是“ cosθ> 0 ” 的必要条件，所以“θ为第一或第四象限角”是“ cosθ> 0 ”的充分不必要条件.故选：A4．如图是函数y =f (x)的导函数y =f '(x)的图象,则下列说法正确的是( )44 得到n 年后质量是原来的 4 4 A ． x = a 是函数 y = f (x ) 的极小值点 B ．当 x = -a 或 x = b 时,函数 f (x )的值为 0 C ．函数 y = f (x ) 关于点(0, c )对称D ．函数 y = f (x ) 在(b , +∞)上是增函数 【答案】D【解析】由函数 f (x )的导函数图象可知，当 x ∈(−∞,−a ),(−a ，b )时,f ′(x )<0，原函数为减函数； 当 x ∈(b ,+∞)时,f ′(x )＞0，原函数为增函数.故 x = a 不是函数 y = f (x ) 的极值点，故 A 错误；当 x = -a 或 x = b 时,导函数 f '(x )的值为 0，函数 f (x )的值未知，故 B 错误； 由图可知，导函数 f '(x )关于点(0, c )对称，但函数 y = f (x ) 在(−∞,b )递减,在(b ,+∞)递增,显然不关于点(0, c )对称，故 C 错误；函数 y = f (x ) 在(b , +∞)上是增函数，故 D 正确；故答案为：D .3 5．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有 41的质量发生衰变,剩余质量为原来的 4.若该物质余下质量不超过原有的1% ，则至少需要的年数是（ ） A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6【答案】B1⎛ 1 ⎫2【解析】设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的 ，两年后变为原来的 ⎪ ⎝ ⎭，依此类推，⎛ 1 ⎫n⎪ ⎝ ⎭⎛ 1 ⎫n，只需要 ⎪ ⎝ ⎭ ≤ 1 ⇒ n > 3 100 故结果为 4.故答案为 B .6．已知向量a = (4, -1),b = (-5, 2) 且(a + b )// (ma - b )，则m = A ．1B ． -1C ．75【答案】B7 D．5【解析】由题意，向量a =(4, -1), b =(-5, 2)，则 a +b =(-1,1), ma -b =(4m + 5, -m - 2)因为(a +b)//(ma -b)，所以(-1)⨯(-m - 2) =1⨯(4m + 5) ，解得m =-1，故选B．7．已知函数f (x)是定义域在R 上的偶函数，且f (x +1)=f (x -1)，当x ∈[0,1]时，f (x)=x3 ，则关于x 的方程f (x)= cosπx 在⎡-1,5 ⎤上所有实数解之和为（）⎣⎢2 2 ⎥⎦A．1 B．3 C．6 D．7【答案】D【解析】因为f (x +1)=f (x -1)，则f (x)=f (x - 2)，所以f (x)的最小正周期为2 ，又由f (x +1)=f (x -1)=f (1-x)得f (x)的图像关于直线x = 1 对称.令g (x)= cosπx ，则g (x)的图像如图所示，由图像可得，y =f (x)与g (x)= cosπx 的图像在⎡-1,5 ⎤有7 个交点且实数解的和为2⨯ 3 +1 = 7 ,故⎣⎢ 2 2 ⎥⎦选D.8．已知随机变量X 的分布列是：当a 变化时，下列说法正确的是（）A．E(X)，D(X)均随着a 的增大而增大B．E (X ), D (X )均随着a 的增大而减小C．E(X)随着a 的增大而增大，D(X)随着a 的增大而减小D．E(X)随着a 的增大而减小, D (X)随着a 的增大而增大【答案】A⎧1-a ≥ 0⎪【解析】由题，得⎨2⎪⎩a≥0，所以0 ≤ a ≤1，2又E (X )=1⨯ 0 +⎛1-a⎫⨯1+a ⨯ 2 +1⨯ 3 =a +1，3 2 ⎪ 6⎝⎭D (X)=，所以E (X), D (X )均随着a 的增大而增大.故选：A二､多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得0 分，部分选对的得 3 分.9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为（）A．AC ⊥BDB．AC // 截面PQMNC． AC =BDD．异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45︒【答案】ABD【解析】因为截面PQMN 是正方形，所以PQ / /MN, PN / /QM ，又MN ⊂平面DAC所以PQ // 平面DAC又PQ ⊂平面BAC ,平面BAC 平面DAC =ACPQ / / AC / /MN,AC // 截面PQMN ，故B 正确1⨯(a+1)2+⎛1 -a⎫⨯a2+a⨯(a-1)2+⎪1 2 ⎛ 1 ⎫2⨯(a - 2)=- a -⎪+ 53⎝2⎭ 6⎝ 2 ⎭ 4同理可证PN / /BD / /MQ,因为 PN ⊥NM ，所以 AC ⊥BD ，故 A正确又∠PMQ = 45︒所以异面直线PM 与BD 所成的角为45︒，故D 正确AC 和BD 不一定相等，故C 错误故选：ABD说法中正确的是( )A．函数y =x3 是圆O 的一个太极函数B．圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C．函数y = sin x 是圆O 的一个太极函数D．函数f (x)的图象关于原点对称是f (x)为圆O 的太极函数的充要条件【答案】AC【解析】选项A：因为f (-x) = (-x)3 =-x3 =-f (x) ，所以函数y =x3 是奇函数，它的图象关于原点对称，如下图所示：1所以函数y = x 3是圆 O 的一个太极函数，故本说法正确；选项 B ：如下图所示：函数 y = g (x ) 是偶函数， y = g (x ) 也是圆 O 的一个太极函数，故本说法不正确；选项 C ：因为 y = sin x 是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆 x 2 + y 2= 1 也关于原点对称，如下图所示：因此函数 y = sin x 是圆 O 的一个太极函数，故本说法是正确的；选项 D ：根据选项 B 的分析，圆 O 的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确. 故选：AC11．已知抛物线C ：y 2= 2 px ( p > 0)的准线经过点 M (-1,1)，过C 的焦点 F 作两条互相垂直的直线l ，l 2 ，直线l 1 与C 交于 A ， B 两点，直线l 2 与C 交于 D ， E 两点，则下列结论正确的是（）A ． p = 2B ． AB + DE 的最小值为 16C ．四边形 ADBE 的面积的最小值为64 D ．若直线l 1 的斜率为 2，则∠AMB = 90︒【答案】ABD【解析】由题可知 p= 1，所以 p = 2 ，故 A 正确.2设直线l 的斜率为k (k ≠ 0)，则直线l 的斜率为- 1.设 A (x , y )， B (x , y )，1 2 k1 12 2k 2 D (x , y )， E (x , y )，直线l ： y = k (x -1)，直线l ： y = -1(x -1).联立3344⎧ y 2= 4x y122 2 2 2k 2k 2 + 4⎨，消去 整理得k x - (2k + 4)x + k = 0 ，所以 x + x =，⎩ y = k (x -1)x x = 12k 2 + 4412k 21 2.所以 AB = x 1 + x 2 + p =k2+ 2 = 4 +.k2DE = x + x+ p = 2⨯ 1k 2 + 4+ 2 = 4 + 4k 2同理 3 41 ， k 2从 而 AB + DE = 8 + 4⎛ 1 + k 2 ⎫≥ 16 ，当且仅当k = ±1时等号成立，故 B 正确.k 2 ⎪ ⎝ ⎭因为 S = 1 AB ⋅ DE = 8⎛1+ 1 ⎫ (1+ k 2 ) ≥ 32⎛ 1 ⋅ ⎫ = 32 ， 四边形ADBE 2k 2 ⎪ k 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭当且仅当 k = ±1时等号成立，故 C 错误.MA ⋅ MB = (x 1 +1, y 1 -1)⋅ (x 2 +1, y 2 -1) = x 1x 2 + x 1 + x 2 +1+ y 1 y 2 - ( y 1 + y 2 )+1，将x 1 + x 2 = 3 ， x 1 x 2 = 1 与 y 1 + y 2 = 2 ， y 1 y 2 = -4 代入上式，得 MA ⋅ MB = 0 ，所以∠AMB = 90︒ ，故 D 正确.故选：ABD ．12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点 A , B 的距离之比为定值λ (λ ≠ 1) 的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系 xOy 中, A (-2, 0), B (4, 0), 点 P 满足A ． C 的方程为(x + 4)2+ y 2 = 9B ．在 x 轴上存在异于 A , B 的两定点 D , E ,使得 = 1 .设点 P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ）2=12C ．当 A , B , P 三点不共线时,射线 PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点 M ,使得 MO = 2 | MA |【答案】BCPA PB PD PE0 0 0 0 0n ⎪【解析】设点 P (x , y )，则1 (x + 2)2+ y 2= = ，化简整理得 x 2 + y 2 + 8x = 0 ，即(x + 4)2+ y 2 = 16 ， 2 (x - 4)2 + y 2D (-1, 0), B (2, 0),PD = 1∠AP 2 + PO 2 - AO 2故 A 错误；当时，PE2，故 B 正确；对于 C 选项，cos APO = ，2AP ⋅ POcos ∠BPO =BP 2 + PO 2 - BO 22BP ⋅ PO,要证 PO 为角平分线，只需证明cos ∠APO = cos ∠BPO ，即证AP 2 + PO 2 - AO 2BP 2 + PO 2 - BO 22 2P x , y2 2 22AP ⋅ PO=2BP ⋅ PO，化简整理即证 PO = 2AP -8 ，设( )，则 PO= x + y ，2AP 2 -8 = 2x 2 + 8x + 2y 2 = (x 2 + 8x + y 2 )+ (x 2 + y 2 )= x 2 + y 2 ，则证cos ∠APO = cos ∠BPO ，故C 正确；对于D 选项，设 M (x 0 , y 0 ) ,由 MO = 2 | MA | 可得x 2 + y 2=3x 2 + 3y 2 +16x +16 = 0 ，而点 M 在圆上，故满足 x 2 + y 2+ 8x = 0 ，联立解得 x 0 =2 ， y 0 无实数解，于是 D 错误.故答案为 BC .三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，其中第 16 题分值分配为前 3 分、后 2 分，满分共 20 分）13．已知 f (x ) = ⎛ 2 - x x ⎫ 的展开式中第三项的二项式系数为15，则n = ，该展开式中常数 ⎝ ⎭项为.【答案】660【解析】C 2=n (n -1) = 15 ,所以n = 6 ,∴T = C k ( 2)6-k (- x )k = C k (-1)k 3k -626-k x 2, 2k 6 x6令3k- 6 = 0 ,解得k = 4 ,该展开式中常数项为C 4 (-1)426-4 =60 .26故答案为: 6 ; 60.2214．函数 f (x ) = x - ax ln x 在( , 2) 上不单调，则实数 a 的取值范围是 ．e【答案】(2,4 )ln 2 +1【解析】 f '(x )= 2x - a (1+ ln x ) = 2x - a ln x - a ，令 f 'x 由于 2 < x < 2, ln 2< ln x < ln 2, ln 2 < lnPA PB ( x + 2 + y ) 22 0 0 nx +1 < ln 2e ，0 得2x -a ln x -a = 0 ，e ee ⎪ 1 1 2 2⎪分离常数a 得 a =2x1+ ln x . 构造函数h (x ) = 2x ，h ' (x ) = 2 ln x ，所以h (x ) 在⎛ 2 ,1⎫上递减，在(1, 2) 上递增，1+ ln x (1+ l n x )e ⎪h ⎛ 2 ⎫ =4 e= 4= 4, h (1) = 2, h (2) =⎝ ⎭4 = 4 .e ⎪ 12 e ln 2 ln 2e ln 2 +1 ln (2e ) ⎝ ⎭ + lne下证2e > 2e ：构造函数 g (x )= 2x- 2x ， g '(x ) = 2xln 2 - 2 ，当 x ≥ 2 时， 2x ln 2 - 2 ≥ 22 ln 2 - 2 ①，而 1 = ln 2 < ln = ln 2 < ln e ，即 1 < ln 2 < 1，所以2 < 22 ln 2 < 4 ，所以由①可得 22x ln 2 - 2 ≥ 22 ln 2 - 2 > 0 .所以当 x ≥ 2 时， g (x )单调递增. 由于 g (2)= 0 ，所以当 x > 2 时， g (x ) > g (2) = 0 ，故 g (e ) > 0 ，也即2e - 2e > 0 ⇒ 2e > 2e . 由于2e > 2e ⇒ ln 2e > ln (2e )，所以h ⎛ 2 ⎫ < h (2) .⎝ ⎭所以a 的取值范围是(2, 4 )ln 2 +1故答案为： (2,4 )ln 2 +115．已知过点(1，0) 的直线与抛物线 x 2 = y 交于 A 、B 两点，线段 AB 的垂直平分线经过点(0，2) ，F 为抛物线的焦点，则| AF | + | BF |= ．【答案】【解析】设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则 x 2 = y ，x 2= y两式作差得：（x - x ）（x + x ）= y - y ，∴ y 1 - y 2 = x + x ，即 AB 的斜率为x + x ．1 2 1 2 1 2 x - x 1 2 1 21 2设 AF + BF = m， 则 y + y + 1 = m ,∴ y + y = m - 1 , ，∴ AB 的中点坐标为（ x 1 + x 2 m - 1 ），1221 22， 2 2 4AB 的垂直平分线的斜率为-1 x 1 + x 2，∴ AB 的垂直平分线方程为y - ⎛ m - 1 ⎫= - 2 4 x 1 （x - x 1 + x 2 ）， + x 2 2 e 47 2⎝⎭ 1 2+ S 11 = 1 4 + n n 1 112 1 线段 AB 的垂直平分线经过点(0，2) ，解得m = 7 ．|AF |+|BF |的值为 7．2 27故答案为 ．216．设 S 是数列{a }的前n 项和，若 S = (-1)na+ 1 ，则 S + S + ⋯+ S = .n【答案】n13654096n n2n 1 2 11【解析】 S = (-1)n a + 1 ， 2n 当 n = 1 时， a = S = -a + 1 ，解得a = 1，1 1 12 1 4n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 ，可得 S = (-1)n(S - S)+1，nnn -12n当 n 为偶数时， S n = S π - S n -1 +2n ，即有 S n -1= 2n ；当 n 为奇数（ n ≥ 3 ）时， S π = - (S n - S n -1 ) + n ，可得 Sn -1 = 2S n - 2n =2 ⋅ 1 - 1 2n +12n = 0 ， 即有 S + S + +0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 11 216 64 2121 ⎛1- 4 1 ⎫ 46 ⎪ 1365= ⎝ ⎭ = . 1- 1 4096 4 1365故答案为.4096四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本题 10 分) 已知在 ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且满足3b cos B + C = a sin B , a = 3 ．2（1）求角 A 的大小；（2）若点 M 为边 AC 边上一点，且 MC = MB , ∠ABM = π，求 ABC 的面积． 2【答案】（1）π（2） 3 + 334【解析】（1）由 3b cosB +C = a sin B 有 3b sin A= a sin B2 236 ( + +)(由正弦定理有 3 sin B sin A= sin A sin B2在 ABC 中, sin B ≠ 0 ,所以 3 sin A = sin A = 2 cos A sin A2 2 2 在 ABC 中, 0 < A < π ,则0 < A < π ，所以sin A ≠ 0 ,则有cos A = 3所以 A = π2 6 2 2 2 2 2即 A = π .3（2）在△MBC 中， MC = MB , ∠BMC = π ,则∠ACB = π2 4则△MBC 为等腰直角三角形， 又 a =A = π3 ，即BC = ,所以 MB = MC = 626在直角△MAB 中,3, MB = 2 , tan ∠CAB = MB = 2 = AM AM所以 AM =2 ,所以 AC = AM + MC = 2 + 6 = 2 + 62222所以 S= 1 ⨯ AC ⨯ BM = 1⨯ 2 + 6 ⨯ 6 = 3 + 3 △ A BC2 2 2 2 418．(本题 10 分) 已知{a }是递增的等比数列， a = 1，且2a 、 3a 、a 成等差数列.n（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b =1122 34， ∈ * ，求数列{b }的前n 项和 S .nlog a ⋅ log an Nnn2 n +12 n +33 2n + 3 【答案】（Ⅰ）a n2n 1；（Ⅱ） S n= - .4 2 n 1 n 2 3【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由题意及a1=1，知q >1.⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝⎭、 3a 、a 成等差数列成等差数列，∴3a = a + 2a ，∴3q 2 = q 3 + 2q ， 234 3 4 2 即 q 2- 3q + 2 = 0 ，解得q∴数列{a }的通项公式为a2 或 q = 1（舍去），∴q = 2 .= a q n -1= 2n -1 ； n（Ⅱ）n1= 1= 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ ，n (n + 2) 2 n n + 2 ⎪∴S = 1 ⎡⎛1- 1 ⎫ + ⎛ 1 - 1 ⎫ + ⎛ 1 - 1 ⎫ + ⋅⋅⋅ + ⎛ 1-1 ⎫ + ⎛ 1 -1 ⎫⎤n 2⎢ 3 ⎪ 2 4 ⎪ 3 5 ⎪ n -1 n +1⎪ n n + 2 ⎪⎥ ⎣⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎦= 1 ⎛ 3 - 1 -1 ⎫ = 3 - 1 ⎛ 1 +1 ⎫ = 3 -2n + 3 . 2 2 n +1 n + 2 ⎪ 4 2 n +1 n + 2 ⎪ 4 2(n +1)(n + 2)19．(本题 12 分) 《山东省高考改革试点方案》规定：从 2017 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020 年开始，高考总成绩由语数外 3 门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 A 、 B + 、 B 、C + 、C 、 D + 、 D 、 E 共 8 个等级．参照正态分布原则， 确定各等级人数所占比例分别为3% 、7% 、16% 、24% 、 24% 、16% 、7% 、3% ．选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、 [71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 N (60,169) ．（1）求物理原始成绩在区间(47,86) 的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记 X 表示这 3 人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求 X 的分布列和数学期望．P (μ - 3σ < ξ < μ + 3σ ) = 0.997 ）P (μ -σ < ξ < μ +σ ) = 0.682 ，P (μ - 2σ < ξ < μ + 2σ ) = 0.954 ，【答案】（Ⅰ）1636 人；（Ⅱ）见解析．【解析】（Ⅰ）因为物理原始成绩ξ ~ N (60,132)， 所以 P (47 < ξ < 86) = P (47 < ξ < 60) + P (60 ≤ ξ < 86)= 1 P (60 -13 < ξ < 60 +13) + 1P (60 - 2 ⨯13 ≤ ξ < 60 + 2 ⨯13) 2 22a 2b = 1 nlog a ⋅ log a 2 n +1 2 n +3所以 P ( X = 0) = 5 5 5 P ( X = 3) = 5 =0.682 + 0.9542 2= 0.818 ．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为2000⨯ 0.818 = 1636 （人）． 2（Ⅱ）由题意得，随机抽取1 人，其成绩在区间[61,80]内的概率为 ． 5所以随机抽取三人，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，且 X ~ B ⎛ 3, 2 ⎫，5 ⎪⎛ 3 ⎫3⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭=27 ，1252 ⎛3 ⎫254P ( X = 1) = C 1 ⋅ ⋅ = ，3⎪5 ⎝ ⎭125⎛ 2 ⎫23 36P ( X = 2) = C 2 ⋅ ⋅ = ，3⎪⎝ ⎭ 5 125⎛ 2 ⎫3⎪⎝ ⎭ 所以 X 的分布列为= 8 ．125X0 1 2 3P27 12554 12536 1258 125所以数学期望 E ( X )= 3⨯ 2 = 6． 5 520．(本题 12 分) 已知过圆C ： x 2+ y 2= 1 上一点 E ⎛ 1 , 3 ⎫的切线，交坐标轴于 A 、 B 两点，且 A 、1 2 2 ⎪⎝ ⎭Cx 2 y 2B 恰好分别为椭圆 2 ：+ a2b2= 1(a > b > 0)的上顶点和右顶点.（1）求椭圆C 2 的方程；（2）已知 P 为椭圆的左顶点，过点 P 作直线 PM 、PN 分别交椭圆于 M 、 N 两点，若直线 MN 过定点Q (-1, 0) ，求证： PM ⊥ PN .3 3 ⎛ 2 3 ⎫ ⎨x 2 + y 2 =【答案】（1） 4 41；（2）见解析 3【解析】（1）直线l OE 的方程为 y = 3x ，则直线l AB 的斜率k=- .所以l AB ： y = - x + 3 3，即 A 0, 3 AB3⎪， B (2, 0) ， ⎝⎭x 2 + y 2 =椭圆方程为： 4 41； 3（2）①当k MN 不存在时， M (-1,1)， N (-1, -1)， 因为 PM ⋅ PN = (-1,1)⋅ (-1, -1) = 0 ，所以 PM ⊥ PN .②当k MN 存在时，设M (x 1, y 1 )， N (x 2 , y 2 ) ， l MN ： y = k (x +1)， ⎧ y = k (x +1)联立⎪ x 2 + y 2⎪ 4 4 ⎪⎩ 3= 1 得：(1+ 3k 2 )x 2 + 6k 2 x + 3k 2 - 4 = 0.6k 23k 2 - 4所以 x 1 + x 2 = -1+ 3k 2 ， x 1x 2 =1+ 3k 2，又已知左顶点 P 为(-2, 0) ，PM ⋅ PN = (x 1 + 2, y 1 )⋅ (x 2 + 2, y 2 ) = x 1x 2 + 2 (x 1 + x 2 )+ 4 + y 1 y 2 ，又 y y = k (x +1)k (x +1) = k 2(x x + x + x+1) = -3k 2 ，1 2121 2121+ 3k 23k 2 - 4 12k 2所以 PM ⋅ PN = - + 4 + -3k 2 3k 2 - 4 -12k 2 + 4 +12k 2 - 3k 2 = = 0 ，1+ 3k 2 1+ 3k 2 1+ 3k 2 1+ 3k 2所以 PM ⊥ PN . 综上 PM ⊥ PN 得证.21．(本题 13 分) 如图，四棱锥 P - ABCD ，四边形 ABCD 为平行四边形，AD ⊥ BD ，ACBD = O ，2 3AD =BD = 2 ，PB ⊥PD ，PB =PD，PA =PC ，M 为PD 中点.PO = O 2（1）求证： OM // 平面 PBC ； （2）求证：平面 PAD ⊥ 平面 PBD ； （3）求二面角 A - PB - C 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） -6 .3【解析】（1） 四边形 ABCD 为平行四边形， AC BD = O ，∴ O 为 BD 中点，M 为 PD 中点，∴OM //PB ，OM ⊄ 平面 PBC ， PB ⊂ 平面 PBC ，∴OM // 平面 PBC ；（2） 四边形 ABCD 为平行四边形， ACBD = O ，∴ O 为 AC 、 BD 中点，PB = PD ，PA = PC ，∴ PO ⊥ AC ， PO ⊥ BD ， AC BD = O ，∴ P O ⊥ 平面 ABCD ，AD ⊂ 平面 ABCD ，∴ AD ⊥ PO ，又 AD ⊥ BD ，BD ，∴ AD ⊥ 平面 PBD ， AD ⊂ 平面 PAD ，∴平面 PAD ⊥ 平面 PBD ；（3）以点 D 为坐标原点，以 DA 、DB 分别为 x 轴、 y 轴，过 D 且与平面 ABCD 垂直的直线为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 D - xyz ，AD = BD = 2 ， AD ⊥ BD ，∴ BC ⊥ BD ， BC = 2 ， AB = CD = 2 ，5 6PB ⊥ PD ， PB = PD ，∴ PB = PD = 2 ，PO = 1，AD = 2 ， AD ⊥ BD ， DO = 1，∴ AO = ∴ A (2, 0, 0) 、 P (0,1,1)、 B (0, 2, 0)、C (-2, 2, 0)，PA = (2, -1, -1) ， PB = (0,1, -1)， PC = (-2,1, -1) ，= = OC ，设平面 PAB 和平面 PBC 的法向量分别为n 1 = (x 1, y 1, z 1 ) ， n 2 = (x 2 , y 2 , z 2 )， 由⎧⎪n 1 ⋅ PA = 0 ，得⎧2x 1 - y 1 - z 1 = 0 ，令 y = 1 ，可得n = (1,1,1) ， ⎨n ⋅ PB = 0⎨y - z = 01 1⎩⎪ 1⎩ 1 1⎧⎪n 2 ⋅ PB = 0 ⎧ y 2 - z 2 = 0 由 ，得 ，令 y =1 ，可得n = (0,1,1)， ⎨n ⋅ PC = 0 ⎨-2x + y - z = 0 2 2⎩⎪ 2⎩ 2 2 2 cos < = 3，由图形可知，二面角 A - PB - C 的平面角为钝角，它的余弦值为-6 .322．(本题 13 分)已知函数 f (x ) = ln x , g (x ) = ax -1(a ∈ R )（1）讨论函数h (x )= f (x )- g (x )的单调性；（2）若函数 f (x )与 g (x ) 的图象有两个不同的交点A (x 1, y 1 )B (x 2 , y 2 ),(x 1 < x 2 )（i ）求实数 a 的取值范围（ii ）求证： -1 < y 1 < 0, 且e y 1 + e y2 > 2(e 为自然对数的底数). 【答案】(1) 当a ≤ 0 时,函数h (x ) 在(0, +∞) 上单调递增;h x1 1当 a > 0 时, 函数 () 的单调递增区间为(0, ) ,单调递减区间为( , +∞) .aa(2)(i ) (0,1) (ii )证明见解析.【解析】由题意知h (x )= f (x )- g (x )= ln x - ax +1,所以h '(x ) = 1- a , (x > 0) . x当 a ≤ 0 时, h '(x ) > 0 ,函数h (x ) 在(0, +∞) 上单调递增;当 a > 0 时,令h '(x ) = 1 - a > 0 ，解得0 < x < 1；AD 2 + OD 2 n ⋅ n >= n 1 ⋅ n 2 = 1 2n 1 ⋅ n 22 3 ⨯ 2x ae令 h '(x ) = 1 - a < 0 ，解得 x > 1；xah x1 1所以函数 () 在(0, ) 上单调递增,在( , +∞) 上单调递减.aa综上所述：当a ≤ 0 时,函数h (x ) 在(0, +∞) 上单调递增;h x1 1当 a > 0 时, 函数 () 的单调递增区间为(0, ) ,单调递减区间为( , +∞) .aa(2)(i ) 函数 f (x )与 g (x ) 的图象有两个不同的交点 A (x 1, y 1 )B (x 2 , y 2 ),(x 1 < x 2 ) 等价于函数h (x )有两个不同的零点 x 1, x 2 ,其中 x 1 < x 2 .由(1)知, 当a ≤ 0 时,函数h (x ) 在(0, +∞) 上单调递增;不可能有两个零点.当 a > 0 时, 函数h (x ) 在(0, 1 ) 上单调递增,在( 1 , +∞) 上单调递减,此时h ( 1) 为函数h (x ) 的最大值.aa a当 h ( 1) ≤ 0 时, h (x ) 最多有一个零点,a1 1所以h ( )= ln a a> 0 ,解得0 < a < 1 1 1 e 2 1 a a e 2 e 2 e 2此时, < < ,且h ( ) = -1- +1 = - < 0 ，h ( ) = 2 - 2 ln a - +1 = 3 - 2 ln a - ，(0 < a < 1) . e a a 2 e e e a 2 a a令 F (a ) = 3 - 2 ln a - e a, (0 < a < 1) ,2 e 2 e 2 - 2a则 F '(a ) = - + = > 0, (0 < a < 1) ,a a 2 a 2所以 F (a ) 在(0,1) 上单调递增,所以 F (a ) < F (1) = 3 - e 22< 0, 即h ( ) < 0 , a2所以a 的取值范围是(0,1) .(ii )因为 h (x ) = ln x - ax +1在(0, 1 ) 上单调递增,在( 1, +∞) 上单调递减,aa2所以h (1) = -1- a +1 = - a< 0 , h (1) =1- a > 0 ,e e e(0, ) 所以 1< x < 1 ,即-1 < f (x ) < 0 ,所以-1 < y < 0 .e1 1 1构造函数G (x ) = h ( 2 - x ) - h (x ) = ln( 2 - x ) - a ( 2- x ) +1- (ln x - ax +1)a a a= ln( 2 - x ) - ln x + 2ax - 2 , (0 < x < 1 )a 则G '(x ) = 1 x - 2- 1 + 2a = x a 2a (x - 1 )2 a x (x - 2 )) < 0 , a a所以G (x ) 在 1 a上单调递减,又因为0 < x 1所以G (x 1 ) > < 1 , a 1 G ( ) a= 0 ,因为h (x 2 ) = 0,所以G (x ) = h ( 2- x ) - h (x ) > h (x ) ,又h (x ) = 0,1a 11 2 1所以h ( 2- x ) > h (x )a 12由(1)知h (x ) 在( 1 , +∞) 上单调递减得： 2 - x < x , 即 x +x > 2,aa又因为 y = ln x , y = ln x ,所以 x = e y 1 , x 1 2= ey 21 2 a 11 2 21 2即e y + e y> 2,12a又因为0 < a < 1，所以 2> 2a所以e y 1 + e y 2 > 2.。
2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(模拟题)
C. (a − c)2 + (b + d)2 = |z|2
D. (a − c)2 + (b − d)2 = |z|2
{
}
{
}
2. 已知 A = {a, b, c, d}，B = x | x2 − 12x + 20 = 0 ， C = x | x2 − x − 420 = 0 ，若 A∩ B =
B，A ∪ C = A，则 A =
则它不同的行走路径的数量是为应对境外旅客向国内爆发新冠肺炎疫情某国际机场要求对每日境外来华的每位旅客采取新冠肺炎病毒的检查将疑似感染患者和确诊患者纳入隔离名单当中某段时期内每天所纳入的海外隔离名单数目的关系可拟合成函数为每天纳入的隔离名单数目px为其中确诊名单的数目同时有三段时长相等的时期设每段时期长为t在02t时期内的关系可拟合成函数3t时期内上同不计在临界时期处的间断名单数目峰值仅计在每段时期内的峰值则下列关于整段时期内隔离名单的数目出现峰值的猜测可能成立的是最少会出现0次峰值最多会出现1次峰值最少会出现0次峰值最多会出现2次峰值最少会出现1次峰值最多会出现2次峰值最少会出现1次峰值最多会出现2次峰值05时数列a为递减数列
边构半径相互垂直的扇形）. 自然界中
存在很多这样的图案，比如向日葵种
子的排列，如图 2 中芦荟叶子的排列等. 若一母线长为 16 的圆锥的底面周长恰好等
于图 1 的螺旋曲线的长度，则该圆锥的侧面积为
A. 40π
B. 60π
C. 80π
D. 132π
文科数学试题第 1 页（共 5 页）
5. 下列命题中，不是公理的是
B. 最少会出现 0 次峰值，最多会出现 2 次峰值
C. 最少会出现 1 次峰值，最多会出现 2 次峰值
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2021届全国学海大联考新高考模拟考试（四）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{}|42M x x =-<<，{}2|60N x x x =--<，则M N ⋃=（ ） A. {}|43x x -<<B. {}|42x x -<<-C. {}|22x x -<<D. {}|23x x <<【答案】A【解析】【分析】化简集合N ，进而求并集即可. 【详解】由题意可得{}|42M x x =-<<，{}|23N x x =-<<，所以{}|43MN x x =-<<， 故选A .【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知31i z i -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. 2i D. i【答案】B【解析】【分析】先化简得2z i =+，即得z 的虚部. 【详解】由题得3(3)(1)4221(1)(1)2i i i i z i i i i --++====+--+. 所以z 的虚部为1.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的虚部，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3.已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a << 【答案】A【解析】【分析】 利用指对函数的单调性，借助中间量比较大小.【详解】0.2log 20a =<，()20.20,1b =∈，0.231c =>， 所以a b c <<，故选A .【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．4.若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞） 【答案】D【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x +2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D ．5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A. 9B. 7C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】 根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论． 【详解】解：班学生成绩的平均分是85，79788080859296857x ∴+++++++=⨯，即5x =．乙班学生成绩的中位数是83，∴若1y ，则中位数为81，不成立．若1y >，则中位数为8083y +=，解得3y =．538x y ∴+=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，属于基础题．6.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A .B. C.D.【答案】A【解析】【分析】 判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln x f x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ，故选A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键 7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )A. 215πB. 320πC. 2115π-D. 3120π- 【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】 2251213+=，设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误．8.在ABC ∆中，若cos 1cos 2cos 1cos 2b C C c B B +=+，则ABC ∆的形状是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】 由已知22221cos 22cos cos cos 1cos 22cos cos cos C C C b C B B B c B+===+，cos cos C b B c ∴=或cos 0cos C B =，即90C =或cos cos C b B c =，由正弦定理，得cos cos ,cos cos b B C sinB c C B sinC=∴=，即sin cos sin cos C C B B =，即22sin C sin B =，,B C 均为ABC ∆的内角，22C B ∴=或22180,C B B C ==∴=或90B C +=，ABC ∆∴为等腰三角形或直角三角形，故选D.9.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A. 关于点(,0)16π-对称 B. 关于点(,0)16π对称C. 关于直线16x π=对称 D. 关于直线4πx =-对称 【答案】B【解析】 分析：利用函数()y f x =的图象与性质求出,T ω和ϕ，写出函数()y f x =的解析式，再求()f x 的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以函数的周期为2π，24Tπω∴==，()()4f x sin x ϕ∴=+， 将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后， 得到函数3416y sin x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象， 图象关于y 轴对称，34,162k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，即,4k k Z πϕπ=-∈， 又,24ππϕϕ<∴=-，()44f x sin x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 令4,4x k k Z ππ-=∈， 解得,216k x k Z ππ=+∈， 0k =，得()f x 的图象关于点,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故选B. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.10.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 为1AA ，AB 的中点，M 点是正方形11ABB A 内的动点，若1//C M 平面1CD E ，则M 点的轨迹长度为（ ）A. 2B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】如图所示，取AB 中点F ，11A B 的中点H ，1B B 的中点G ，连接EF ，FC ，GH ，1C H ，1C G ，EG ，HF ．可得：四边形11EGC D 是平行四边形，可得11//C D D E ．同理可得：1//C H CF ．可得面面平行，进而得出M 点轨迹．【详解】解：如图所示，取AB 中点F ，11A B 的中点H ，1B B 的中点G ，连接EF ，FC ，GH ，1C H ，1C G ，EG ，HF ．可得：四边形11EGC D 是平行四边形，11//C G D E ∴．又1D E ⊂平面1CD E ，1C G ⊄平面1CD E ，所以1//C G 平面1CD E同理可得：1//C H CF ．又CF ⊂平面1CD E ，1C H ⊄平面1CD E ，所以1//C H 平面1CD E111C H C G C ⋂=．∴平面1//C GH 平面1CD E ， M 点是正方形11ABB A 内的动点，若1//C M 平面1CD E ．∴点M 在线段GH 上．M ∴点的轨迹长度22112GH =+=故选：C ．【点睛】本题考查了面面平行的判定定理与性质定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数()213ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A. 111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 111,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】先求导21232()x a x f x x '⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=，令21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，由函数21()3ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有最大值，则21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有零点，则必需(1)0(3)0g g >⎧⎨<⎩，解出即可得出. 【详解】解：2123312()22x a x f x x a x x'⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=-+-=. 令21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭， 由韦达定理可得若函数()g x 有零点，则必有一个负零点和一个正零点， 又由函数21()3ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有最大值， 则21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有零点，由零点存在性定理可得1(1)23023(3)183302g ag a⎧=-+-+>⎪⎪⎨⎪=-+-+<⎪⎩，解得11122a-<<.∴实数a的取值范围是111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，关键是零点存在性定理的应用，属于中档题.12.已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C 的右支于M，N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N，则C的离心率为（）A. 2B.43C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】设双曲线的左焦点为1F，NH是线段AM的垂直平分线，则点F在NH上，可得AMN是等边三角形，60AMN∠=，故120AFN∠=.1AFF中，12FF c=，NF AF a c==+，由双曲线的定义可得13NF a c=+，余弦定理可求得43a c=，故可求离心率.【详解】设双曲线的左焦点为1F，连接1NF.点H是线段AM的中点，NH是线段AM的垂直平分线，则点F在NH上.如图所示则NA NM=.又双曲线C 和以F 为圆心的圆都关于x 轴对称，∴点,M N 关于x 轴对称， ,,AM AN AM AN MN AMN ∴=∴==∴是等边三角形，60,120AMN AFN ∴∠=∴∠=.由题意()(),0,,0A a F c -，,AF a c NF AF a c ∴=+∴==+.又点N 在双曲线的右支上，112,23NF NF a NF NF a a c ∴-=∴=+=+. 1AFF 中，12FF c =，由余弦定理得22211112cos NF FF NF FF NF F FN =+-⋅∠，即()()()()2223222cos120a c c a c c a c +=++-⨯⨯+⨯，整理得22430a ac c +-=，即()()430,43a c a c a c -+=∴=或0a c +=（舍）， 43c e a ∴==. 故选：B .【点睛】本题考查双曲线的定义、几何性质，考查圆的几何性质，属于中档题.二、填空题13.已知()tan 2πα+=，则cos sin cos sin αααα+=-______. 【答案】3-【解析】【分析】由诱导公式可得tan 2α=，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为()tan 2πα+=所以tan 2α=， 所以cos sin 1tan 123cos sin 1tan 12αααααα+++===---- 故答案为：3-【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.14.已知向量()1,2m =，()2,0n =，则m 在n 方向上的投影为______.【答案】1【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示，得到cos ,m n <>，再由投影的定义，即可得出结果.【详解】因为向量()1,2m =，()2,0n =，所以cos ,552m n m n m n ⋅<>===⨯，因此，m 在n 方向上的投影为cos ,51m m n <>=⨯=. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量夹角公式，以及投影的定义即可，属于基础题型. 15.设函数()()2ln 1f x x =+，则使()()21f x f x >+成立的x 的取值范围是______. 【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 根据复合函数的单调性、奇偶性的定义得出函数()f x 的奇偶性、单调性，根据单调性解不等式()()21f x f x >+，即可得出答案.【详解】211x +≥，∴函数()f x 的定义域为R()()2ln 1f x x =+可看作ln y u =和21u x =+复合而成的21u x =+在[)0,+∞上单调递增，且函数ln y u =递增∴函数()f x 在[)0,+∞上单调递增()22()ln ()1ln 1()f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，则函数()f x 为偶函数 (2)(1)f x f x >+等价于()()21f x f x >+即|2||1|x x >+，即224(1)x x >+，整理得23210x x --> 解得13x <-或1x > 故答案为：()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了利用单调性以及奇偶性解抽象不等式，属于中档题.16.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】【分析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则2233AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得23OP =，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，由6AB =，得2233AO BO CO CF ====， PAB ∆是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥，2223OP OF PF +=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径23R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(242348ππ⨯=，故答案为48π. 【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题17.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【答案】（1）213（2）413（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 【解析】【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式求解；（2）事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，再利用古典概型的概率得解；（3）由图观察得从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.【详解】解：（1）在3月1日至3月13日这13天中，5日、8日共2天的空气重试污染，所以此人到达当日空气重度污染的概率为213. （2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. （3）由图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查方差的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1102n n n n S S S S n ---+=≥. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1,32,n n n S n C n n -⎧⎪=+⎨⎪⎩奇偶为数为数，设数列{}n C 的前n 项和为n T ，求2n T .【答案】（1）证明见解析；（2）2125131244n n +--+ 【解析】【分析】（1）由已知变形为1111n n S S --=，可证得等差数列； （2）由（1）求得n S ，从而得n c ，对2n T 按奇数项和偶数项分别分组求和，奇数项的和用裂项相消法求和，偶数项用等比数列前n 项和公式求和．【详解】解：（1）证明：因为112a =，()1102n n n n S S S S n +-+-=≥，所以216a =-，所以10n n S S -≠， 所以1111n n S S --=. 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112S =为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）可得()1211n n n S =+-=+，所以11n S n =+. ∴()()()()11132n n n n n c n -⎧⎪++=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ∴()132121111111...22...222446222n n T n n -⎛⎫=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭ 2121111222512222331244n n n n ++-⎛⎫=-+=-- ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式，前n 项和公式，等比数列前n 项和公式，考查分组求和法，裂项相消法求和．抓住数列的特征选用不同的求和方法计算是解题关键．19.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥底面ABCD ，过AB 的平面与侧面PCD 的交线为EF ，且满足:13PEF CDEF S S ∆=四边形：（PEF S ∆表示PEF ∆的面积）.（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）当22PA AD ==时，求点F 到平面ACE 的距离.【答案】(1)见解析(2) 13【解析】【详解】（Ⅰ）证明：由题知四边形ABCD 为正方形∴AB//CD ，又CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ∴AB//平面PCD又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面PCD=EF∴EF // AB ，又AB//CD∴EF //CD ，由S △PEF ：S 四边形CDEF=1:3知E 、F 分别为PC 、PD 的中点连接BD 交AC 与G ，则G 为BD 中点，在△PBD 中FG 为中位线，∴ EG//PB∵ EG//PB ，EG ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴PB//平面ACE.（Ⅱ）∵PA=2，AD=AB=1， ∴2AC =, 1522AE PD == ∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，AD∩PA=A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD在Rt △CDE中，32CE == 在△ACE中由余弦定理知222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠==⋅∴sin 5AEC ∠=，∴S △ACE=13sin 24AE CE AEC ⋅⋅⋅∠= 设点F 到平面ACE 的距离为h ，则131344F ACE V h h -=⋅⋅= 由DG ⊥AC ，DG ⊥PA ，AC∩PA=A ，得DG ⊥平面PAC，且2DG =∵E 为PD 中点，∴E 到平面ACF的距离为124DG = 又F 为PC 中点，∴S △ACF 12=S △ACP 2=，∴1132412E ACF V -=⋅⋅= 由F ACE E ACF V V --=知13h = ∴点F 到平面ACE 的距离为13. 20.已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)3(3,]e e .【解析】 试题分析：（1）先求导数，再根据a 讨论导函数零点，根据导函数零点情况讨论导函数符号，根据导函数符号确定函数单调性，（2）先分离3ln x a x=，再利用导数研究函数()3ln x g x x =单调性，最后根据图像确定存在两个不同零点的条件，解对应不等式得实数a 的取值范围. 试题解析：（1）∵()323'3(0)a x a f x x x x x -=-=> ①若0a ≤时，()'0f x >，此时函数在()0,+∞上单调递增；②若0a >时，又()33'0x a f x x -==得：x =x ⎛∈ ⎝时()'0f x <，此时函数在⎛ ⎝上单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时()'0f x >，此时函数在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增； （2）由题意知：3ln x a x=在区间(]1,e 上有两个不同实数解， 即函数y a =图像与函数()3ln x g x x=图像有两个不同的交点， 因为()()()223ln 1'ln x x g x x -=，令()'0g x =得：x =所以当(x ∈时，()'0g x <，函数在(上单调递减当x e ⎤∈⎦时，()'0g x >，函数在e ⎤⎦上单调递增；则()min 3g x g e ==，而311272791272727ln e g e e e ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且()327g e e =<， 要使函数y a =图像与函数()3ln x g x x=图像有两个不同的交点， 所以a 的取值范围为(33,e e ⎤⎦. 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21.已知椭圆的焦点坐标为()11,0F -，21,0F ，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且3PQ =.（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；内切圆面积的最大值为916π，直线的方程为1x = 【解析】【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得1c =，由||3PQ =，可得223b a=，又221a b -=，由此可求椭圆方程； （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，不妨10y >，20y <，设△1F MN 的内切圆的径R ，则△1F MN 的周长48a ==，1111(||||||)42F MN S MN F M F N R R =++=，因此1MN F S 最大，R 就最大．设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，从而可表示△1F MN 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【详解】解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由焦点坐标可得1c =. 由3PQ =，可得223b a=.又221a b -=，得2a =，3b =故椭圆方程为22143x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨令10y >，20y <，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△，因此要使1F MN △内切圆的面积最大，则R 最大，此时1MN F S 也最大.112121212F MN S F F y y y y =-=-， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2234690m y my ++-=，得1y =，2y =，则112F MN S y y =-=△，令t 1t ≥，则1212121313F MN t S t t t===++△令()13f t t t =+，则()213f t t '=-， 当1t ≥时，()0f t '>，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增，有()()14f t f ≥=，11234F MN S ≤=△， 当1t =，0m =时，13F MN S =△，又14F MN S R =△，∴max 34R =这时所求内切圆面积的最大值为916π，此时直线的方程为1x = 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出1MN F S 最大，R 就最大是关键，属于中档题．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为1x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），现以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设,P Q 是圆C 上的两个动点，且3POQ π∠=，求OP OQ +的最大值.【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先由参数方程写出直角坐标方程，再由cos ,sin x y ρθρθ== 代入化简即可得到圆的极坐标方程； （Ⅱ）先根据3POQ π∠=设出P,Q 的极坐标，再对OP OQ + 化一，求出θ 的范围进而求出OP OQ+的最大值．【详解】（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，所以圆C 的极坐标方程为22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=. (Ⅱ)设P 的极坐标为1ρθ（，），2+3Q πρθ（，），则12|OP|==2cos |OQ|=2cos +3，πρθρθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则|OP|+|OQ|=2cos +2cos +=3cos 36ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又22232ππθπππθ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<+<⎪⎩，所以26ππθ-<<， 所以当6πθ=-时，OP OQ +取最大值【点睛】本题考查参数方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标的应用，注意θ的范围，侧重计算能力的考查．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈.（Ⅰ）若2a =-，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.【答案】(Ⅰ) 4{|2}3x x -≤≤ (Ⅱ) 4a =-【解析】【分析】（Ⅰ）a=-2时，()f =|2+2||1|x x x +- ，f(x)的两个零点分别为-1和1，通过零点分段法分别讨论1,11,1x x x ≤--<<≥ ，去绝对值解不等式，最后取并集即可；（Ⅱ）法一：2a < 时，12a < ，化简f(x)为分段函数，根据函数的单调性求出f(x)在2a x = 处取最小值3，进而求出a 值．法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f(x)最小值，进而求a ．【详解】(Ⅰ) 2a =-时，不等式为|2+2||1|5x x +-≤①当1x ≤- 时，不等式化为22+15x x ---≤，2x ≥-，此时 21x -≤≤-②当11x -<< 时，不等式化为2+2+15x x -≤，2,11x x 此时：≤-≤< ③当1x ≥ 时，不等式化为2+2+15x x -≤，4x 3≤，此时41x 3≤≤ 综上所述，不等式的解集为4{|2}3x x -≤≤（Ⅱ）法一：函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a ＜2，即12a <时， ()31()211231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪⎛⎫=-+≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-->⎪⎩所以f (x )min ＝f （2a ）＝－2a ＋1＝3，得a ＝－4＜2(符合题意)，故a ＝－4. 法二： ()()21112221122a a a f x x a x x x x x x a a x x =-+-=-+-+-≥-+-⎛⎫≥---=- ⎪⎝⎭ 所以()min 132a f x =-=，又2a <，所以4a =-. 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，体现了分类讨论的数学思想．。