面向量数量积的坐标表示
面向量数量积的坐标表示学习内容
1．两个向量数量积的坐标表示：
若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2
2．向量的模：
若a=（x，y），则|a|2=a·a=x2+y2，∴|a|=
3．两点间的距离公式：
设A（x1，y1）、B（x2，y2）则=（x2-x1，y2-y1），∴||=
4．两向量垂直的坐标条件：
设两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a⊥b x1x2+y1y2=0
5．设A、B、C是坐标平面上的三点，它们的坐标分别为：A（x1，y2），B（x2，y2），C（x3，y3），则⊥（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1）=0
学习重点
1．向量有坐标表示，向量的数量积也有坐标表示，即为：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2于是与a·b=|a|·|b|cosθ（θ是a，b的夹角）相对照，a，b夹角θ的余弦也可以用坐标表示:
cosθ=，这样求两个向量（已知坐标）间的夹角就十分方便了．2．两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2）垂直的充要条件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0．它为我们证明几何中的垂直问题提供了强有力的工具．
3．两向量a，b共线的充要条件是存在λ∈R，使a=λb．这里应用向量的坐标表示可以得
到a，b共线的充要条件是：|x1x2+y1y2|=
学习难点：利用向量的数量积解决具体问题。
内容讲解：
上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。
我们给出两个非零向量（用坐标给出），我们知道坐标是与
从原点出发的向量一一对应。如图不妨设：
则有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的
单位向量为，
则有，
∵是互相垂直的单位向量，
∴，，
则
也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即
，
若
则，
∵，
∴∴，
上图中A(x1,y1),B(x2,y2),
则
则。
这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。
上图中若设∠AOB=α，则，
即
。
由此可得到两个向量的夹角。特别地，当α=90°时，cosα=0，即x1x2+y1y2=0。
由此知：垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。
这个充要条件在今后解决问题中十分重要。
下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。
例题分析
第一阶梯
例1.判断题
1．若A，B，C是坐标平面上不同的三点，则AB⊥BC的充要条件是·=0（× ）2．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则|+|=（× ）
3．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），且a，b的夹角为θ，则sinθ=
（× ）
例2．已知M（a，0），N（0，b）则||等于（ C ）
A．|a|+|b|B．
C．D．
例3.已知a=（2m-1，2+m），若|a|≤，则m的取值范围为（ B ）
A．（-1，1）B．〔-1，1〕
C．〔，〕D．（-∞，-1）∪〔1，+∞〕
例4.已知A（1，3），B（2，4），C（5，6），则·= 7 ，·= 18
例5.已知A（1+a2，0），B（0，1-a2），则||=
第二阶梯
例1．在下列各命题中为真命题的是
①若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b= x1y1+ x2y2
②若A=（x1，y1）、B=（x2，y2），则||=
③若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=0x1x2+y1y2=0
④若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a⊥b x1x2+y1y2=0
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解：根据向量数量积的坐标表示：若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1x2+ y1y2，对照命题（1）的结论可知，它是一个假命题．于是对照选择项的结论．可以排除（A）与（D），而在（B）与（C）中均含有（3）．故不必对（3）进行判定，它一定是正确的．对命题（2）而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题．这样就可以排除（C），∴应选择（B）．反思回顾：对于命题（3）而言，由于a·b=0a=0或b=0或a⊥b x1x2+y1y2=0，故它是一个真命题．而对于命题（4）来讲，a⊥b x1x2+y1y2=0．但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即a=0，而教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2推不出a⊥b，所以命题（4）是个假命题．
例2．已知a=（2，1），b=（-1，3），若存在向量c使得：a·c=4，b·c=-9．试求向量c的坐标．
分析：这里应利用方程思想进行求解，我们可根向量数量积的坐标表示建立向量c的纵
横坐标的二元一次方程组，解该方程组即可求得C的坐标．
解：设c=（x，y），则由a·c=4可得：
2x+y=4；又由b·c=-9可得：-x+3y=-9
于是有：2x+y=4 （1）
-x+3y=-9 （2）
由（1）+2（2）得7y=-14．∴y=-2，将它代入（1）可得：x=3
∴c =（3，-2）．
反思回顾：已知两向量a，b可以求出它们的数量积a·b，但是反过来，若已知向量a及数量积a·b，却不能确定b．需要象本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的数量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．
例3.已知A、B、C、D是坐标平面上不共线的四点，则与共线是·
=·=0的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
分析：这里要选出正确结论，需要判定下列两个命题，（1）若与与共线，则
·=·；（2）若·=·=0，则与共线．对上述两个命题的真假情况判断清楚了，本例也就解决了．
解：由与共线可知：四边形的边与互相平行，但未必有⊥．所以·=0与·=0不能成立．即命题（1）不真；但是反过来，由·=·
=0，可知：⊥及⊥，所以//，即与共线，故命题（2）是真命题，从而应选择（B）．
反思回顾：（1）对于四边形ABCD而言，若与共线，同时，与也共线，则该四边形为平行四边行，若这里的两个共线条件改成一个共线，而另一个不共线，则该四边形是梯形．（2）若在四边形ABCD中，有·=·=0，则该四边形，或者是直
角梯形，或者是矩形
第三阶梯
例1.设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值．
分析：这里我们应引进向量的坐标表示，这样所求的值及各条件都可用引进的坐标表示，再通过代数运算可求出|3a+b|的值．
解：设a=（x1，y1）、b=（x2，y2）
∵|a|=|b|=1
∴x21+ y21=1，x22+ y22=1
3a-2b=3（x1，y1）-2（x2，y2）=（3x1-2x2，3y1-2y2）
∵|3a-2b|=
∴9 x21-12 x1x2+4 x22+9 y21-12 y1y2+4 y22=9
∴13-12（x1x2+ y1y2）=9
∴x1x2+ y1y2=
∵3a+b=3（x1，y1）+（x2，y2）=（3x1+x2，3y1+y2）
∴|3a+b|=
=
=
反思回顾：（1）如果我们在上述解题过程，根据|a|=|b|=1，设a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则上述运算过程可得到简化．（2）利用本例的解法可解决下面的一般性问题：若向量a、b满足|a|=|b|=r1，及|λ1a+u1b|= r2，求|λ2a+u2b|的值．
例2．在□ABCD中，已知A（m1，n1），B（m2，n2），C（m3，n3），试求·的值．分析：要求与的数量积，可利用数量积的坐标表示．因此需要用坐标表示与，由于条件中已知□ABCD三顶点A、B、C的坐标，利用中点公式求出另一顶点D的坐
标，这样我们就可以得到与的坐标表示，进一步可求得·的值．
解：∵在□ABCD中，对角线AC与BD互相平分，∴AC的中点与BD的中点重合，∴（m1，n1）+（m3，n3）=（m2，n2）+D点的坐标，∴D点的坐标为（m1+m3-m2，n1+n3-n2）
于是=（m3，n3）- （m1，n1）=（m3-m1，n3-n1）
而=（m1+m3-m2，n1+n3-n2）-（m2，n2）=（m1+m3-2m2，n1+n3-2n2）
∴·=（m3-m1）（m1+m3-2m2）+（n3-n1）（n1+n3-2n2）
反思回顾：已知两向量的坐标，求它们的数量积时，一定要注意向量积是横坐标之积与纵坐标之积的和，不能出现搭配上的错误．
例3．设向量a、b满足：|a|=|b|=1，且a+b=（1，0），求a，b．
分析：这里由于向量a与b都是单位向量，所以在假设a，b的坐标时，可以考虑选用三角表示（即用正弦、余弦表示），再通过已知条件建立简单三角方程，求出正弦与余弦的值，就求出了a，b．
解：∵|a|=|b|=1，
∴可设a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ）
∵a+b=（cosα+ c osβ，sinα+sinβ）=（1，0）
∴cosα+ cosβ=1 （1）
sinα+sinβ=0 （2）
由（1）得：cosα=1- cosβ（3）
由（2）得：sinα=-sinβ（4）
由（3）2+（4）2得：cosβ=∴cosα=1- cosβ=
∴sinα=±，sinβ=．
∴a=（，），b=（，-）或a=（，-），b=（，）
反思回顾：在上述求解过程中，当我们求出了cosα=与cosβ=后，可分别得到：
sinα=±与sinβ=±．但是这里要注意到它们需满足（2）式．所以cosα与sinβ的值之间有一个对应关系，这就是决定了a，b只有两组解，而没有四组解．
例4．如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，PECF是矩形，试用向量法证明
（1）||=||；（2）⊥
分析：如果我们能用坐标来表示与．则要证明的两结论，就只要分别用两点间的距离公式和两向量垂直的充要条件进行验证即可，因此只要建立适当的坐标系，得到点A，B，E，F的坐标后，就可进行论证．
解：以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立如图所示的坐标系，设正方形的边长为
1，||=λ，则A（0，1），P，E，F于是
=
=
（1）∵||==
||==
∴||=||
（2）·
==0
∴⊥．
反思回顾：把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算．从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的简与繁．
例5．设A，B，C，D是坐标平面上的四点，它们的坐标分别为：A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），D（x D，y D）．且任意三点不共线，试证四边形ABCD为正方形的充要条件是（x B-x A，y B-y A）=（x C-x D，y C-y D）且（x B-x A）（x C-y B）+（y B-y A）（y C-y B）=0且（x C-x A）（x D-x B）+（y C-y A）（y D-y B）=0
分析：因为四边形ABCD为正方形的充要条件是该四边形既是矩形又是菱形，而一四边形为矩形的充要条件是该四边形为平行四边行且有一个角为直角，一四边形为菱形的充要条件是该四边形为平行四边形且对角线互相垂直，这样就得到了四边形ABCD为正方形的充要条件：四边形ABCD是有一内角为直角且对角线互相垂直的平行四边形，于是我们找到了证明的途径．
证明：∵=（x B-x A，y B-y A），=（x C-x D，y C-y D），=（x C-x B，y C-y B），=（x C-x A，
y C-y A），=（x D-x B，y D-y B）．∴（x B-x A，y B-y A）=（x C-x D，y C-y D）且（x B-x A）（x C-y B）+（y B-y A）（y C-y B）=0且（x C-x A）（x D-x B）+（y C-y A）（y D-y B）=0
且·=0且·=0
□ABCD且AB⊥BC且AC⊥BD
四边形ABCD既是矩形又是菱形
四边形为正方形．
例6．如图：ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形
折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，
求△AEM的面积。
解：如图，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，
∴N是AM的中点，又正方形边长为8 ∴M(8,4),
N(4,2)
设点E(e,0)，则=(8,4)，=(4,2)，=(e,0)，=(4-e,2)，由⊥得：
•=0 即：(8,4)•(4-e,2) = 0
解之：e = 5 即|| = 5 ∴S△AEM=|||| =×5×4 = 10
第四阶梯
例1．已知：。
（1）求：；
（2）求：；
（3）求：，
（4）求：
解：（1）
由此可见证。（严格证明需要把的坐标一般化，但方法是一样的。）
（2）
（3）
。
由此可证：
（4）
由此可验证：向量的数量积不满足结合律，即不一定相等。
例2．试判断满足下列条件的三角形的形状。
（1）ΔABC中，A（1，-2），B（-3，-1），C（5，-1）
（2）ΔABC中，A（1，2），B（2，3），C（-2，5）
（3）ΔABC中，A（0，3），B（4，0），C（7，4）
解：（1）
由此可知ΔABC为等腰三角形。
（2）
或：，
∴ΔABC为直角三角形。
（3）
∵，∴AB⊥BC，
∵，
∴ΔABC为等腰直角三角形。
例3．已知：向量满足，求：向量与
向量的夹角α。
解：设，
则
即
∴，
，
则：，
∵0≤α≤π，
∴。
例4．求证：非零向量垂直的充要条件是。
证明：设
（1）充分性：∵
∴
∵
∴
即x1x2+y1y2=0,∴.
（2）必要性：
∵，∴x1x2+y1y2=0,
∴
∴
例5．已知：RtΔABC中，，求m的值。
解：∵，
∴。
（1）当∠A=90°时，
（2）当∠B=90°时，
（3）当∠C=90°时，
即，
∴由（1）（2）（3）知：
。
例6．已知：
（1）求证：垂直；
（2）若，求β-α的值。
（1）证明：∵
∴=
=
∴
∴垂直。
又证：
∴垂直。
（2）∵
∴
∴2kcosαcosβ+2ksinαsinβ=-2kcosαcosβ-2ksinαsinβ
∴2kcos(α-β)=0
∵k≠0,∴cos(α-β)=0
∵0<α<β<π,∴.
课后练习：
1．若点A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则=（）。
A、-1
B、0
C、1
D、2
2．若的夹角为（）。
A、30°
B、45°
C、60°
D、90°
3．若垂直，则实数k=（）。
A、1
B、-1
C、1或-1
D、非以上答案
4．若A（1，0），B（5，-2），C（8，4），D（4，6），则四边形ABCD为（）。
A、正方形
B、菱形
C、梯形
D、矩形
5．若ΔABC中，A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则ΔABC是（）。
A、直角三角形
B、等腰三角形
C、等腰直角三角形
D、等边三角形
6．若的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（）。
A、B、（2，+∞）
C、D、
7．若的向量
=___________。
8．与垂直的单位向量是（）。
9．若A(cosα, sinα), B(cosβ, sinβ), α≠β，则| |的取值范围是_______。
10．已知，以原点和A（5，2）为顶点的等腰直角三角形OAB中，∠B=90°，求：点B
及向量的坐标。
练习答案：
1. B
2.B
3.B
4.D
5.C
6.A
7. (2,-3)
8.
9. (0,2]
10.
测试
选择题
1．已知a=(3,0), b=(k,5),且a与b的夹角为，求k的值（）.
A、3
B、4
C、-5
D、-3
2．已知，则上的投影为（）.
A、B、C、D、
3．已知ΔABC的顶点,则角A等于（）.
A、B、C、D、
4．有下列命题：①；②；③
若，则的充要条件是；④若的起点为A（2，1），
终点为B（-2，4），则与x轴正向所夹角的余弦值是，其中正确命题的序号是（）.
A、①②
B、②③
C、②④
D、③④
5．已知三点A（2，-2）、B（5，1），C（1，4），求∠BAC的余弦值（）.
A、B、C、12D、
答案与解析
答案：1、C2、C3、D4、C5、A
解析：
1、答案：C. a ·b=3k, |a|=3, |b|= , ∴
, ∴k=-5.
2、答案：C..
3、答案：D..
解决本题的关键在于将角A看作向量的夹角，运用向量的夹角公式求解.
4、答案：C.②是数量积的分配律.①应为.③的充要条件是.
5、答案：A.
∴，又∵，
，∴.
平面向量数量积的坐标表示
知识要点：
向量的数量积它可以解决有关长度、角度、垂直的问题，向量数量积的坐标表示即向量数量积的代数化，可以将数量积运算转化为代数运算，进而解决有关长度、角度、垂直的问题.
要求将向量数量积的性质在坐标形式下准确记忆，特别地，根据定义还可推出向量夹角
的坐标公式：向量的夹角满足
.向量垂直的充要条件的坐标式是重点.
向量互相垂直等价于x1x2+y1y2=0，它与向量共线的充要条件的坐标式x1y2-x2y1=0容易发生混淆.
典型题目：
例1．三角形ABC中，A(5, -1), B(-1, 7), C(1,2)，求：（1）BC边上的中线AM的长；（2）∠CAB的平分线AD的长；（3）∠ABC的余弦.
解：（1）M的坐标为.∴，∴
.
（2），
D点分的比为2, ，
.
（3）∠ABC是的夹角，而.
.
点评：向量的数量积运算常用来解决有关长度和角度问题，反映在坐标上应用两点间距离公式和夹角公式.
例2．ΔABC的三个顶点是A（4，8），B（0，0），C（6，-4）.求：
（1）ΔABC的三边的长；（2）ΔABC的AB边上的中线CD的长；（3）ΔABC的重心G 的坐标.
解：（1），，
.
（2）设D点的坐标是(x, y)，则由中点坐标公式，得
∴D（2，4）,∴.
（3）设G点的坐标是(x,y),则.
由定比分点坐标公式，得即重点.
例3．（1）已知a =(6,2),b =(-3,9),判断a 与b 是否垂直？
（2）判断以O(0,0),A(a,b),B(a+b, b-a)为顶点的三角形的形状. 解：（1）由向量的数量积的坐标表示，得a ·b =6×(-3)+2×9=0, ∴ 向量a 与b 垂直.
（2）由向量的坐标表示，得
.
所以， 这个三角形的三条边长分别为：
所以，ΔOAB 的三边满足下列关系:
，且
， 因此，以
O 、A 、B 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形（其中，∠A=90°，∠O=∠B=45°）. 例4、以原点O 和点A （4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°，求点B
的坐标和
.
解： 如图，设点
B
的坐标是(x ,y)，则
.
∵∠B=90°， ∴
，∴x(x-4)+y(y-2)=0, 即x 2+y 2=4x+2y.
①
再设OA 的中点为D ，则D 的坐标是（2，1）.
连结BD ，则
. ∴ 4(2-x)+2(1-y)=0.即 2x+y=5 ②
解①、②联立的方程组，得
∴ 点B 的坐标是（1，3）或（3，-1）.
当点B 的坐标为（1，3）时， ；
当点B 的坐标为（3，-1）时，
.
例5、已知点A （1，2）和B （4，-1），问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ACB=90°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标. 解：设C 点坐标为(0,y)，由∠ACB=90°知
，
，即(-1)×(-4)+(y-2)(y+1)=0,
y 2-y+2=0无解.故不能找到满足条件的点. 课外练习：
1、已知O 是直角坐标系的原点， ，在x 轴上有一
点P ，使
取最小值，求P 点的坐标及此时的∠APB 的大小.
2、已知两点A(-2,0),B(4,0),点C在直线上，点C的横坐标为m，若ΔABC 为直角三角形，求实数m的值.
3、已知，当a,b∈R且a≠b，求证：|f(a)-f(b)|=|a-b|.
参考答案：
1、设P（x,0), 则
=x2-6x+10=(x-3)2+1.
当x=3时取得最小值，此时P点的坐标为P(3,0),
.
∴.
说明：通过坐标运算将数量积的最值转化为二次函数的最值是解答本题的关键.
2、设C点坐标为，①当C为直角时，，即
，，解得.
②当A为直角时，，即·(6,0)=0, 6(m+2)=0,解得m=-2.③当B
为直角时，，即，解得m=4.
说明：分类讨论是本题的难点，容易被忽略.
3、
，
设A(a,0), B(b,0), C(0,1),则|f(a)-f(b)|表示表示，在Δ
ABC中，根据三角形两边之差小于第三边这一性质可知，故
.
说明：本题根据向量有关模长的运算，若A(x a,y a), B(x b,y b)，
则这一结论将条件转化为几何形式.
课后检测
1．已知向量a、b满足|a|=|b|=1，|a+b|=1，则|a-b|等于（ B ）
A．1 B．C．D．2
2．已知a=（-2，-1），b=（λ，1），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ A ）
A．（-，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）
C．（-，+∞）D．（-∞，-）
3．已知a与b的夹角的余弦-，则a，b的坐标可以为（ C ）
A．（4，3），（-12，5）B．（3，4），（5，12）
C．（-3，4），（5，-12）D．（-3，4），（-5，12）
4．已知|a|=k（k＞0），b=（2，3），若a//b，则a的坐标为
．
5．已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）），则||的最大值为 2
6．已知：a=（-3，-2），b=（-4，k），若（5a-b）·（b-3a）=-55，试求k的值．
解：∵a=（-3，-2），b=（-4，k），
∴5a-b=（-11，-10-k），b-3a=（5，k+6），
∴（-11，-10-k）·（5，k+6）=-55-（k+10）（k+6）=-55，
∴（k+10）（k+6）=0，
∴k=-10或k=-6
版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版
第2课时平面向量数量积的坐标运算 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量 数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂 直． 知识点一平面向量数量积的坐标表示 ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，， ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算· abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3 axybxy). ＝＝((，)，，梳理若向量2112 ab＝·数量积____________ ________________ 向量垂直 平面向量的模知识点二 ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示． 1
→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211 梳理向量的模及两点间的距离 →AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122 向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221 类型一平面向量数量积的坐标运算 abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1 a的坐标；求(1) ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－
2 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟 般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二 BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2 →→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2) 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围． 向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3 →→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝
21-22版：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（创新设计）
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)． 知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2). 【预习评价】 (1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(2,4)，则a ·b 的值是________． 解析 a ·b ＝(－1)×2＋3×4＝10． 答案 10 (2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 解析 由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2． 答案 2 知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 1．向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2． 2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB → |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 3．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22． 【预习评价】 (1)已知向量a ＝(4，－1)，b ＝(x,3)，若|a |＝|b |，则x ＝________． 解析 由|a |＝|b |得42＋(－1)2＝x 2＋32，解得x ＝±22． 答案 ±22 (2)已知向量a ＝(2，2)，b ＝(－8，6)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 解析 ∵a ＝(2，2)，b ＝(－8，6)， ∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4，
平面向量数量积的坐标表示教学设计
5．6平面向量的数量积及运算律 一、内容及其解析 1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。 2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。 本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。 二、目标及解析 1、目标 1）、掌握平面向量数量积的坐标表示 2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 3）、掌握向量垂直的条件 2、解析：
1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积； 2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题. 3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－x2y1=0) 三、教学问题诊断 本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。 四、教学支持条件分析 本节内容是全章重点内容之一，学生学习时容易混淆，在指导学生认真预习的前提下，教学中从向量的几何意义上突破难点，在通过适当的练习加以巩固。可把重要性质、运算律、例题做成幻灯片，提高课堂效率。 五、教学设计过程 （一）、教学基本流程 → 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？
平面向量数量积的坐标表示典型例题
平面向量数量积的坐标表示 坐标法是用代数方法研究几何问题的一个重要思想方法．用坐标来研究向量的数量积是本节的基本内容． 本节内容的重点是平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示．难点是用坐标法处理长度、角度、垂直等问题． 1．平面向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2． 2．向量垂直的坐标表示的充要条件 两个非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为0．即a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0． 3．向量长度公式的坐标表示 设a ＝（x ，y ），则|a |2＝x 2＋y 2 ，因此，|a |＝22y x +． 4．两向量夹角公式的坐标表示 已知非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），夹角为θ，则cos θ＝2 22221212 121||||y x y x y y x x +⋅++=⋅b a b a ． 学习本课时，我们弄清楚下面的问题： 平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？ 数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算律．设i 、j 分别是和x 轴、y 轴同向的单位向量，则i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则 a · b ＝（x 1i ＋y 1j ）·（x 2i ＋y 2j ） ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2 ＝x 1x 2＋y 1y 2． 数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件． 【学习方法指导】 怎样用向量的坐标形式求解向量积的问题？ ［例1］已知a ＝（1，－2），b ＝（2，0），求同时满足条件a ·c ＝4，b ·c ＝0的向量c ． 解：设c ＝（x ，y ），则 由⎩⎨⎧=⋅=⋅04c b c a 得⎩⎨⎧=⋅+=-00242y x y x ∴x ＝0，y ＝－2，∴所求向量c ＝（0，－2） 怎样求向量的投影？ ［例2］求向量a ＝（1，2）在向量b ＝（2，－2）方向上的投影． 分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得． 解：设向量a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝.1010)2(221)2(221|b ||a |b a 2222-=-⨯⨯+-⨯+⨯=⋅⋅
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量数量积（内积）的定义： 2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a|cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a|2或 4︒cos θ = ； 5︒|a ⋅b| ≤ |a||b| 3．练习： （1）已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B.30° C.135° D.４５° （2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为，那么向量m=a-4b a a a ⋅=|||||| b a b a ⋅23π
的模为（ ） A.2 B.2 C.6 D.12 二、讲解新课： 探究：已知两个非零向量，，怎样用和的坐标表示？. 1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 2. 平面内两点间的距离公式 （1）设，则或. （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、， 那么(平面内两点间的距离公式) 向量垂直的判定 设，，则 两向量夹角的余弦（） cos θ = 二、讲解范例： 例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o) 3),(11y x a =),(22y x b =a b b a ⋅b a ⋅2121y y x x +=),(y x a =222||y x a +=22||y x a +=a ),(11y x ),(22y x 2 21221)()(||y y x x a -+-=),(11y x a =),(22y x b =b a ⊥⇔02121=+y y x x πθ≤≤0||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++ =
面向量数量积的坐标表示
面向量数量积的坐标表示学习内容 1．两个向量数量积的坐标表示： 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2 2．向量的模： 若a=（x，y），则|a|2=a·a=x2+y2，∴|a|= 3．两点间的距离公式： 设A（x1，y1）、B（x2，y2）则=（x2-x1，y2-y1），∴||= 4．两向量垂直的坐标条件： 设两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a⊥b x1x2+y1y2=0 5．设A、B、C是坐标平面上的三点，它们的坐标分别为：A（x1，y2），B（x2，y2），C（x3，y3），则⊥（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1）=0 学习重点 1．向量有坐标表示，向量的数量积也有坐标表示，即为：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2于是与a·b=|a|·|b|cosθ（θ是a，b的夹角）相对照，a，b夹角θ的余弦也可以用坐标表示: cosθ=，这样求两个向量（已知坐标）间的夹角就十分方便了．2．两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2）垂直的充要条件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0．它为我们证明几何中的垂直问题提供了强有力的工具． 3．两向量a，b共线的充要条件是存在λ∈R，使a=λb．这里应用向量的坐标表示可以得 到a，b共线的充要条件是：|x1x2+y1y2|= 学习难点：利用向量的数量积解决具体问题。 内容讲解： 上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。 我们给出两个非零向量（用坐标给出），我们知道坐标是与 从原点出发的向量一一对应。如图不妨设： 则有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的 单位向量为， 则有，
平面向量数量积坐标表示的应用
平面向量数量积坐标表示的应用 参考答案与试题解析 一、选择题（共4小题） 1．（2012•松江区三模）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（） A．1B．C．2D． 考点：平面向量数量积坐标表示的应用． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ， 如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ， 故=（cosθ+sinθ，cosθ） 同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ）， ∴=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，故的最大值 是2， 故答案是2． 点评：本题主要考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题． 2．（2012•浙江模拟）已知向量，满足||=2||≠0，且关于x的函数f（x）=2x3+3||x2+6•x+5 在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（） A． [0.]B． [0，] C． （0，] D． [，π] 考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：计算题；平面向量及应用．
分析：求导数，利用函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a•bx+5 在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用||=2||≠0，利用向量的数量积，即可得到结论．解答： 解：求导数可得f′（x）=6x2+6||x+6 ，则由函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a•bx+5 在实数集R上单调递增， 可得f′（x）=6x2+6||x+6 ≥0恒成立，即x2+||x+≥0恒成立，故判别式△=﹣4≤0 恒成立， 再由||=2||≠0，可得 4 ≤8||•||cos＜，＞， ∴cos＜，＞≥， ∴＜，＞∈[0，]， 故选B． 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查向量的数量积，解题的关键是利用判别式小于等于0在R上恒成立，属于中档题． 3．（2012•房山区一模）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是（） A．2B．C．πD．4 考点：平面向量数量积坐标表示的应用． 专题：平面向量及应用． 分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ， 如图∠BA x=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ， 故=（cosθ+sinθ，cosθ），
《平面向量数量积的坐标表示》说课教案
平面向量数量积的坐标表示 一、教材分析 1．本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。 2.学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。 ●教学重点 平面向量数量积的坐标表示及应用. ●教学难点 探究发现公式 二、教学方法和手段 1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 [点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”． 2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式 (1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2. (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2. (3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ， 则cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . 平面向量数量积的坐标运算 [典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝() A．－1B．0 C．1 D．2 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝() A．5 B．4 C．3 D．2 [活学活用] 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
向量的模的问题 [典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 (2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________． [活学活用] 1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 向量的夹角和垂直问题 [典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________. (2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π 4，则实数k 的 值为________． [活学活用] 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ； (2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 求解平面向量的数量积 [典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB · BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．
平面向量的数量积
平面向量的数量积 【考点梳理】 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ； (2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉. 考点一、平面向量数量积的运算 【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →· BC → 的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．11 8 (2)已知点P 在圆x 2 ＋y 2 ＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP → 的
最大值为________. [答案] (1)B (2) 6 [解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF → . 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC → ， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →， 则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB → ＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC → |＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP → ＝(cos α＋2，sin α)， ∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(教案)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册
第六章平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 一、教学目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示； 2.会运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题； 3.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。 二、教学重难点 1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算． 2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式． 3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直． 三、教学过程： 1、复习回顾 平面向量的数量积以及向量线性坐标运算 2.探索新知 问题 1.过对平面向量的数量积以及向量线性坐标运算的学习，你能否已根据两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用a和b的坐标表示a·b? 生答：记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， ∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j ∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2 重要结论：平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 问题2.小组合作，请大家利用平面向量的数量积的坐标表示推导出向量模的坐标表示、两向量垂直的坐标表示以及两向量夹角的余弦公式？ 生1答：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 生2答：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝|a||b|cos900＝0 生3答：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 . 重要结论：平面向量坐标表示的几个公式 (1)向量模的坐标表示 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝x2＋y2. (2)两向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)两向量夹角的余弦公式 设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b |a||b|
平面向量的数量积知识点及归纳总结
平面向量的数量积知识点及归纳总结 平面向量的数量积是向量代数中的一个重要概念。给定两个非零向量a和b，它们的数量积定义为它们长度的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。如果两个向量垂直，它们的数量积为0；如果两个向量平行，它们的数量积为它们长度的乘积或它们长度的相反数的乘积。数量积还有许多重要的性质，例如交换律、分配律和长度公式等。 数量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量方向上的投影长度与这个向量长度的乘积。这个投影长度可以通过数量积公式计算得到。这个公式还可以用来计算两个向量之间的夹角，以及判断两个向量是否垂直或平行。 数量积的坐标表示是，给定向量a和b的坐标，它们的数量积可以表示为它们坐标的乘积之和。这个公式可以用来计算向量的长度和两点之间的距离，以及计算向量之间的夹角。 总之，平面向量的数量积是向量代数中的一个重要概念，它有着广泛的应用，例如在几何学、物理学和工程学中。掌握
了数量积的知识和技巧，可以帮助我们更好地理解和解决各种向量问题。 1）根据余弦定理，$DE^2=DC^2+EC^2-2\cdot DC\cdot EC\cdot\cos\angle CDE$，因为$\cos\angle CDE=DF/DC$，所以$DE^2=DC^2+EC^2-2\cdot DF\cdot EC$。当$DF\cdot EC$最大时，根据二次函数的性质可知，$DF\cdot EC$最大值为$(DE\cdot DC)/2$，此时$DE\perp DC$，所以$DE\cdot DC$的最大值为$DC^2$，即$max=DC=1$。 2）根据中线定理，$2PM=PB+PC$，又因为$\angle PAM=\pi$，所以$\cos\angle PAM=-1$，代入$PA\cdot (PB+PC)=PA\cdot 2PM=2|PA|\cdot |PM|\cos\angle PAM=- 4|PA|\cdot |PM|$，所以$PA\cdot (PB+PC)=-4|PA|\cdot |PM|$。 3）设$AP=h$，则$AC=\sqrt{BC^2+h^2}$，所以$AP\cdot AC=h\sqrt{BC^2+h^2}$。 AP=λAB。AQ=(1-λ)A C。λ∈R，若BQ·CP=-3，则λ=（）. A．1±2√10-3/22.B．-2.C．-1.D．1-2√10-3/22
平面向量的基本定理及坐标表示知识点及例题
知识点总结： 1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosθ叫与的数量积，记作⋅，即⋅ = ||||cosθ，并规定与任何向量的数量积为0 2．平面向量的数量积的几何意义：数量积⋅等于的长度与在方向上投影||c osθ的乘积. 3．两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 1︒⋅ = ⋅ =||cosθ； 2︒⊥⇔⋅ = 0 3︒当与同向时，⋅ = ||||；当与反向时，⋅ = -||||,特别地⋅ = ||2 4︒cosθ =； 5︒|⋅| ≤ |||| 4.平面向量数量积的运算律 ①交换律：⋅ = ⋅②数乘结合律：()⋅ =(⋅) = ⋅() ③分配律：( + )⋅ = ⋅ + ⋅ 5.平面向量数量积的坐标表示 ①已知两个向量，,则. ②设，则. ③平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、，那么. ④向量垂直的判定两个非零向量，，则 . ⑤两向量夹角的余弦co sθ =（）.
1．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量，，怎样用与的坐标来表示呢？ 设向量分别为平面直角坐标系的轴、轴上的单位向量，则有 ， ∴ 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 3.平面向量数量积的坐标表示的性质 ⑴向量的模 设，则有或 ⑵平面内两点间的距离公式 设，，则， ⑶两向量垂直的坐标表示的判断条件 设，，则 ⑷两向量的夹角的坐标表示公式 设非零向量，，为与的夹角，则 二．例题讲解 1.平面向量数量积的运算 例题1 已知下列命题: ①; ②; ③; ④ 其中正确命题序号是②、④ . 点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
平面向量的数量积和向量积
平面向量的数量积和向量积在数学中，向量是一种具有大小和方向的量。平面向量是指在平面内表示的向量。平面向量具有一些重要的运算，其中包括数量积和向量积。 一、数量积 数量积又称为点积或内积，表示为A·B，其中A和B为平面向量。数量积的定义如下： A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角。 数量积的性质如下： 1. 交换律：A·B = B·A 2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C 3. 结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中k为常数 4. 垂直性质：向量A和向量B垂直，当且仅当A·B = 0 5. 平行性质：向量A和向量B平行，当且仅当A·B = |A||B|
数量积的计算方法： 设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则A·B = Ax·Bx + Ay·By。 二、向量积 向量积又称为外积或叉积，表示为A×B，其中A和B为平面 向量。向量积的定义如下： A×B = |A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于平面的单位向量。 向量积的性质如下： 1. 反交换律：A×B = -B×A 2. 分配律：A×(B+C) = A×B + A×C 3. 结合律：k(A×B) = (kA)×B = A×(kB)，其中k为常数 4. 零向量性质：向量A和向量B平行，当且仅当A×B = 0 5. 平面性质：向量A和向量B所确定的平面与向量A×B垂直 向量积的计算方法：
设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则 A×B = (0, 0, Ax·By - Ay·Bx)。 三、数量积与向量积的关系 数量积和向量积之间存在一定的关系，如下： A·B = |A||B|cosθ = 0，当且仅当A和B垂直 A×B = |A||B|sinθn = 0，当且仅当A和B平行或其中一个为零向量 结论：数量积和向量积是平面向量中常用的运算，它们有着重要的意义和广泛的应用。通过数量积和向量积，我们可以计算向量的夹角、判断向量之间的关系以及解决一些与平面向量有关的问题。在实际问题中，数量积和向量积有着重要的作用，可以帮助我们更好地理解物理现象和解决实际应用中的问题。 以上就是关于平面向量的数量积和向量积的相关内容。通过对数量积和向量积的了解，我们可以更好地应用它们来解决实际问题，进一步拓宽数学知识的应用范围。
高中数学知识点总结(第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积)
第三节 平面向量的数量积 一、基础知识 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→ ＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉． 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向； 当θ＝π 2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ； 当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b| cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是a ，b 的夹角，则|b|cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影． (2)a·b 的几何意义 数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝b·a. (2)数乘结合律：(λa)·b ＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(a ＋b)·c ＝a·c ＋b·c. 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 5．平面向量数量积的性质 设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0.
(完整word版)平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示模夹角 教学目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) [基础·初探] 教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a| 3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝ 4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a|·|b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．()
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) 解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确． (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运算 (1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )， 且a·b ＝－1，则x 的值等于( ) A ．1 2 B ．－12 C ．32 D ．－32 (2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________. 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解． 解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，
§2.4.2向量数量积的坐标表示
新授课 §2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1. 通过探究，掌握向量数量积的坐标表示 2. 理解并掌握向量夹角、垂直、模的坐标表示，并解决相关几何问题。 3. 通过数量积的坐标表示及其应用，提高学生的运算速度，培养学生的创新能力，提高学生综合处理问题的能力和素养。 教学重点：数量积的坐标表示，向量夹角、垂直、模的坐标表示 教学难点： 公式的应用 一 体 化 设 计： 复习 教学向量数量积的坐标表示 交学向量夹角、模、垂直的坐标表示 例题及练习 小结与作业 教学过 程： （一）创设情境，引入课题 复习：向量的正交分解的坐标表示。 平面向量数量积的意义、运算律 前面学习了向量线性运算的坐标表示，对于向量的数量积，其作为一种运算，那么如何用坐标表示数量积的结果呢？ （二）探索新知 1．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y == ，则1122,a x i y j b x i y j =+=+ ， ∴22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+ 1212x x y y =+. 从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ⋅=+ ． 2．长度、夹角、垂直的坐标表示： ①长度：(,)a x y = ⇒ 222||||a x y a =+⇒= ②两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB =
③夹角：cos ||||a b a b θ⋅==⋅ ； ④垂直的充要条件：∵0a b a b ⊥⇔⋅= ，即12120x x y y += （注意与向量共线的坐标表示的区别） （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 设(5,7),(6,4)a b =-=-- ，求a b ⋅ 以及二者之间的夹角 例2（教材例5） 已知(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，判断ABC ∆的形状，并证明 例3. 在Rt ABC ∆中，(2,3)AB = ，(1,)AC k = ，求k 值。 注意直角不确定，所以有三种情况
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示 平面向量是解析几何中重要的概念之一，在数学和物理学中都有广泛的应用。平面向量可以用多种方式表示，其中最常见的一种是坐标表示法。本文将探讨平面向量的坐标表示，并介绍一些相关的概念和性质。 1. 平面向量的定义 在数学中，平面向量是具有大小和方向的量。它可以由一个有序的数对表示，这个数对通常被称为向量的坐标。例如，一个平面向量可以表示为 (x, y)。其中，x 和 y 分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。 2. 平面向量的加法 平面向量的加法运算是通过将两个向量的对应分量相加得到的。例如，给定两个向量 A 和 B，它们的坐标表示分别为 A = (x1, y1) 和 B = (x2, y2)，则它们的和向量 C = A + B 的坐标表示为 C = (x1 + x2, y1 + y2)。 3. 平面向量的数乘 平面向量的数乘运算是将向量的每个分量乘以一个实数得到的。例如，给定一个向量 A = (x, y) 和一个实数 k，它们的数乘表示为 kA，其坐标表示为 kA = (kx, ky)。 4. 平面向量的减法
平面向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到。例如， 给定两个向量 A 和 B，它们的坐标表示分别为 A = (x1, y1) 和 B = (x2, y2)，则它们的差向量 C = A - B 的坐标表示为 C = (x1 - x2, y1 - y2)。 5. 平面向量的长度 平面向量的长度可以使用勾股定理计算得出。给定一个向量 A = (x, y)，其长度表示为|A| = √(x^2 + y^2)。 6. 平面向量的单位向量 单位向量是长度为 1 的向量。给定一个非零向量 A = (x, y)，其单位向量 A' 可以通过将向量 A 的坐标除以其长度得到。即 A' = (x/|A|, y/|A|)，其中 |A| 为向量 A 的长度。 7. 平面向量的数量积 平面向量的数量积也被称为点积。给定两个向量 A = (x1, y1) 和 B = (x2, y2)，它们的数量积表示为 A · B = x1x2 + y1y2。数量积具有交换律和分配律的性质。 8. 平面向量的向量积 平面向量的向量积也被称为叉积或叉乘。给定两个向量 A = (x1, y1) 和 B = (x2, y2)，它们的向量积表示为 A × B = x1y2 - x2y1。向量积的结果是一个向量，其方向垂直于原始向量所在的平面。 总结：