平面向量数量积的坐标运算ppt课件
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平面向量的数量积与运算律公开课课件
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件
k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联 系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系， 利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。 设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)
3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
2.4平面向量数量积的坐标表示 课件(2课时)
B
b
θ
O
b同向； 当θ= 180º 时， a 与 b反向；
a b a b
a
A
当θ= 90º 时， a与 b垂直，记作 a b 。
a b
平面向量数量积的重要性质有: 设a与b都是非零向量， e是单位向量，θ 0是a与e
的夹角，θ 是a与b的夹角。
(1)e a a e a cos 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
△ABC是直角三角形
提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。
变形：在ABC中，设 AB (2,3), AC (1, k ), 且 ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC AC AB (1, k 3) 又ABC是直角三角形 即(2, 3) ( 1, k 3) 0 2 3( k 3) 0 11 k 3
待定系数法
分析： 可设x=（m, n)，只需求m, n. 易知 m n 1 …… ① 再利用 a x (定义) a x （数量积的 坐标法）即可！ 解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
2 a x a x cos 45 8 2 2 另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1) n
( 2)a b a b 0
( 3)当a与b 同向时a ， b a b
当a与b 同向时a ， b a b
特 别 地a ， a a 或a a a a
(4) cos ab ab
2
2
( 5) a b a b
二、新课讲授
问题1：已知 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a b 呢？请同学们看下 列问题. 设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 请计算下列式子： ① i i =
b
θ
O
b同向； 当θ= 180º 时， a 与 b反向；
a b a b
a
A
当θ= 90º 时， a与 b垂直，记作 a b 。
a b
平面向量数量积的重要性质有: 设a与b都是非零向量， e是单位向量，θ 0是a与e
的夹角，θ 是a与b的夹角。
(1)e a a e a cos 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
△ABC是直角三角形
提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。
变形：在ABC中，设 AB (2,3), AC (1, k ), 且 ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC AC AB (1, k 3) 又ABC是直角三角形 即(2, 3) ( 1, k 3) 0 2 3( k 3) 0 11 k 3
待定系数法
分析： 可设x=（m, n)，只需求m, n. 易知 m n 1 …… ① 再利用 a x (定义) a x （数量积的 坐标法）即可！ 解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
2 a x a x cos 45 8 2 2 另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1) n
( 2)a b a b 0
( 3)当a与b 同向时a ， b a b
当a与b 同向时a ， b a b
特 别 地a ， a a 或a a a a
(4) cos ab ab
2
2
( 5) a b a b
二、新课讲授
问题1：已知 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a b 呢？请同学们看下 列问题. 设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 请计算下列式子： ① i i =
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10
例3. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时， 向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。
解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3),
（1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 所以k= 1 3
（2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
所以k=
17 7
cos2
∴(
a
cos2
b) ⊥
sin
2
(a b)
sin2
0
15
四、小结
1、数量积的坐标表示
r
r
设两个非r 零r 向量a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ),则
a b x1x2 y1 y2
2、垂直的条件
设uar
ur ur
(
x1,
ur
y1 ), b
(
x2
,
y2
),则
a
ur
另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1m ( 3 1) n 2
( 3 1) m ( 3 1) n 2
由
m2 n2 1
解得：
m1
3 2
1
或
n1 2
m2
1 2
3 n2 2
∴
x ( 3 , 1 ) 22
或
x ( 1 , 3 ) 22
结论2: AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ,
这就是A、B两点间的距离公式.
6
探讨合作3:非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2), 它们的
夹角 ，如何用坐标表示cos .若 a b 你又能
得到什么结论？
结论3： (1)cos
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3) AB AC 1 (3) 13 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
所以△ABC是直角三角形
变式：要使四边形ABDC是矩形，求D点坐标.
9
uuur 变变式形：:在ABC中,设 AB (2,3) uuur AC (1, k),且ABC是直角三 角形,k的值.
列问题.
设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 j
请①计i算下i 列= 式1子：
③ ij = 0
② j j = 1
④ j i = 0
4
那解么：如已a何知b推：a导(x1出ix1iay1 jy)b1j(的,xb2i坐标xy22i公j ) 式y2 ?j ,
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j 2
(2)a b x1 x2 y1 y2 0
: (2)a b x1x2 y1 y2 0 与 a // b x1y2 x2 y1 0 的区别。
7
例1.设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|，
和a, b的夹角
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
b
ur
x1 x2
y1 y2
0
a // b x1 y2 x2 y1 0
作业:三维设计以及小页
16
课下思考：
r
r
(14.)已知向量a (2, x), b (3, 4)
rr
且a，b的夹角为钝角, 则x的取值
11
例4：求与向量 a ( 3 1, 3 1) 的夹角为45o的
单位向量.
分析：可再设利x用=（am ,xn(定 ),只义需)求ma,
n. 易知 m2 n2 1
x（数量积 的坐标
法）即可！
解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
a x a x cos 45 8 2 2 2
(3,4),
b
则(5与,12)夹, 角的a余弦b值
为
（ B）
A. 63
B. 33
C. 33
D. 63
65
2求、证已：知(a： ba)
65
⊥(co(as,bsi)n
),
b
65
(cos
,
sin
65
)
答(a案：b)
(a
b)
(cos cos,sin sin ) (cos cos,sin sin )
x1x2 y1y2
这就是向量数量积的坐标表示。由此我 们得到：两个向量的数量积等于它们对坐 标的乘积之和。
5
探讨合作1: 已知a (x, y),如何将 a 用其坐标表示？
结论1:
a
x2 y2 .
探讨合作2:若设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 如何将 AB 用A、 B的坐标表示？
说明：可设 x (cos,sin) 进行求解.
13
练习:已知a=(4,2) ，求与a 垂直的单位向量 。
解：设所求向量为(x, y), 则
4x 2y 0
x2
y2
1
解得
x
5 5
y
m2
5 5
所求向量为 ( 5 , 2 5 )或( 5 , 2 5 )
55
55
14
四、演练反馈
1、若a
2
特别地，a a a
2
或a aa a
ab
（4）cosθ= a b （5）| a · b |≤
ab
(6)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
(7)(a b)(a b)
22
a - b2
3
二、新课讲授
问题展示：已知 a (x1, y1),b (x2, y2), 怎样用 a, b
的坐标表示 a b 呢？请同学们看下
|a|= a a 32 (1)2 10
|b|= b b 12 (2)2 5 cos = a b 5 2 | a | | b | 10 5 2
所以 =45°
8
例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证 △ABC是直角三角形.
证明：AB (2 1,3 2) (1,1)
复习与回顾
一、向量的数量积的定义:
a 0, b 0其夹角为，则a b
0 a
0
二、平面向r 量r 数r 量积的运算律:
向量a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足：
（1） 交换律:
ab
ba
(2) 数乘结合律: (a) b a (b) (a b) a b
（3） 分配律: (a b) c
ac bc
1
数量积重要性质:
a·b=|a||b| cosθ
设 a，b都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单 位向量，θ是 a与 b的夹角，则:
(1) e a a e |a| cosθ (2) a⊥ b a b 0
（3）当 a 与 b同向时，a ·b =
ab
当 a 与 b 反向时，a ·b = a b
例3. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时， 向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。
解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3),
（1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 所以k= 1 3
（2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
所以k=
17 7
cos2
∴(
a
cos2
b) ⊥
sin
2
(a b)
sin2
0
15
四、小结
1、数量积的坐标表示
r
r
设两个非r 零r 向量a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ),则
a b x1x2 y1 y2
2、垂直的条件
设uar
ur ur
(
x1,
ur
y1 ), b
(
x2
,
y2
),则
a
ur
另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1m ( 3 1) n 2
( 3 1) m ( 3 1) n 2
由
m2 n2 1
解得：
m1
3 2
1
或
n1 2
m2
1 2
3 n2 2
∴
x ( 3 , 1 ) 22
或
x ( 1 , 3 ) 22
结论2: AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ,
这就是A、B两点间的距离公式.
6
探讨合作3:非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2), 它们的
夹角 ，如何用坐标表示cos .若 a b 你又能
得到什么结论？
结论3： (1)cos
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3) AB AC 1 (3) 13 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
所以△ABC是直角三角形
变式：要使四边形ABDC是矩形，求D点坐标.
9
uuur 变变式形：:在ABC中,设 AB (2,3) uuur AC (1, k),且ABC是直角三 角形,k的值.
列问题.
设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 j
请①计i算下i 列= 式1子：
③ ij = 0
② j j = 1
④ j i = 0
4
那解么：如已a何知b推：a导(x1出ix1iay1 jy)b1j(的,xb2i坐标xy22i公j ) 式y2 ?j ,
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j 2
(2)a b x1 x2 y1 y2 0
: (2)a b x1x2 y1 y2 0 与 a // b x1y2 x2 y1 0 的区别。
7
例1.设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|，
和a, b的夹角
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
b
ur
x1 x2
y1 y2
0
a // b x1 y2 x2 y1 0
作业:三维设计以及小页
16
课下思考：
r
r
(14.)已知向量a (2, x), b (3, 4)
rr
且a，b的夹角为钝角, 则x的取值
11
例4：求与向量 a ( 3 1, 3 1) 的夹角为45o的
单位向量.
分析：可再设利x用=（am ,xn(定 ),只义需)求ma,
n. 易知 m2 n2 1
x（数量积 的坐标
法）即可！
解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
a x a x cos 45 8 2 2 2
(3,4),
b
则(5与,12)夹, 角的a余弦b值
为
（ B）
A. 63
B. 33
C. 33
D. 63
65
2求、证已：知(a： ba)
65
⊥(co(as,bsi)n
),
b
65
(cos
,
sin
65
)
答(a案：b)
(a
b)
(cos cos,sin sin ) (cos cos,sin sin )
x1x2 y1y2
这就是向量数量积的坐标表示。由此我 们得到：两个向量的数量积等于它们对坐 标的乘积之和。
5
探讨合作1: 已知a (x, y),如何将 a 用其坐标表示？
结论1:
a
x2 y2 .
探讨合作2:若设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 如何将 AB 用A、 B的坐标表示？
说明：可设 x (cos,sin) 进行求解.
13
练习:已知a=(4,2) ，求与a 垂直的单位向量 。
解：设所求向量为(x, y), 则
4x 2y 0
x2
y2
1
解得
x
5 5
y
m2
5 5
所求向量为 ( 5 , 2 5 )或( 5 , 2 5 )
55
55
14
四、演练反馈
1、若a
2
特别地，a a a
2
或a aa a
ab
（4）cosθ= a b （5）| a · b |≤
ab
(6)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
(7)(a b)(a b)
22
a - b2
3
二、新课讲授
问题展示：已知 a (x1, y1),b (x2, y2), 怎样用 a, b
的坐标表示 a b 呢？请同学们看下
|a|= a a 32 (1)2 10
|b|= b b 12 (2)2 5 cos = a b 5 2 | a | | b | 10 5 2
所以 =45°
8
例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证 △ABC是直角三角形.
证明：AB (2 1,3 2) (1,1)
复习与回顾
一、向量的数量积的定义:
a 0, b 0其夹角为，则a b
0 a
0
二、平面向r 量r 数r 量积的运算律:
向量a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足：
（1） 交换律:
ab
ba
(2) 数乘结合律: (a) b a (b) (a b) a b
（3） 分配律: (a b) c
ac bc
1
数量积重要性质:
a·b=|a||b| cosθ
设 a，b都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单 位向量，θ是 a与 b的夹角，则:
(1) e a a e |a| cosθ (2) a⊥ b a b 0
（3）当 a 与 b同向时，a ·b =
ab
当 a 与 b 反向时，a ·b = a b