平面向量数量积的坐标运算ppt课件
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平面向量的数量积与运算律公开课课件
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件
k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联 系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系， 利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。 设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)
3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
2.4平面向量数量积的坐标表示 课件(2课时)
B
b
θ
O
b同向； 当θ= 180º 时， a 与 b反向；
a b a b
a
A
当θ= 90º 时， a与 b垂直，记作 a b 。
a b
平面向量数量积的重要性质有: 设a与b都是非零向量， e是单位向量，θ 0是a与e
的夹角，θ 是a与b的夹角。
(1)e a a e a cos 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
△ABC是直角三角形
提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。
变形：在ABC中，设 AB (2,3), AC (1, k ), 且 ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC AC AB (1, k 3) 又ABC是直角三角形 即(2, 3) ( 1, k 3) 0 2 3( k 3) 0 11 k 3
待定系数法
分析： 可设x=（m, n)，只需求m, n. 易知 m n 1 …… ① 再利用 a x (定义) a x （数量积的 坐标法）即可！ 解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
2 a x a x cos 45 8 2 2 另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1) n
( 2)a b a b 0
( 3)当a与b 同向时a ， b a b
当a与b 同向时a ， b a b
特 别 地a ， a a 或a a a a
(4) cos ab ab
2
2
( 5) a b a b
二、新课讲授
问题1：已知 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a b 呢？请同学们看下 列问题. 设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 请计算下列式子： ① i i =
b
θ
O
b同向； 当θ= 180º 时， a 与 b反向；
a b a b
a
A
当θ= 90º 时， a与 b垂直，记作 a b 。
a b
平面向量数量积的重要性质有: 设a与b都是非零向量， e是单位向量，θ 0是a与e
的夹角，θ 是a与b的夹角。
(1)e a a e a cos 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
△ABC是直角三角形
提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。
变形：在ABC中，设 AB (2,3), AC (1, k ), 且 ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC AC AB (1, k 3) 又ABC是直角三角形 即(2, 3) ( 1, k 3) 0 2 3( k 3) 0 11 k 3
待定系数法
分析： 可设x=（m, n)，只需求m, n. 易知 m n 1 …… ① 再利用 a x (定义) a x （数量积的 坐标法）即可！ 解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
2 a x a x cos 45 8 2 2 另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1) n
( 2)a b a b 0
( 3)当a与b 同向时a ， b a b
当a与b 同向时a ， b a b
特 别 地a ， a a 或a a a a
(4) cos ab ab
2
2
( 5) a b a b
二、新课讲授
问题1：已知 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a b 呢？请同学们看下 列问题. 设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 请计算下列式子： ① i i =
平面向量数量积的坐标表示 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
AE 1 AB (1, 2), 2
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.
人教A版(2019)必修第二册 第6章6-3-4 平面向量数量积的坐标表示 课件(31张)
内容索引
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单 位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示； 【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； 【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0， 即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0， 所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系， 从而解决一些相关问题．
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)， 所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积 的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关 系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的 坐标．
12345
内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单 位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示； 【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； 【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0， 即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0， 所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系， 从而解决一些相关问题．
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)， 所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积 的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关 系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的 坐标．
12345
内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，
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10
例3. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时， 向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。
解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3),
（1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 所以k= 1 3
（2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
所以k=
17 7
cos2
∴(
a
cos2
b) ⊥
sin
2
(a b)
sin2
0
15
四、小结
1、数量积的坐标表示
r
r
设两个非r 零r 向量a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ),则
a b x1x2 y1 y2
2、垂直的条件
设uar
ur ur
(
x1,
ur
y1 ), b
(
x2
,
y2
),则
a
ur
另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1m ( 3 1) n 2
( 3 1) m ( 3 1) n 2
由
m2 n2 1
解得：
m1
3 2
1
或
n1 2
m2
1 2
3 n2 2
∴
x ( 3 , 1 ) 22
或
x ( 1 , 3 ) 22
结论2: AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ,
这就是A、B两点间的距离公式.
6
探讨合作3:非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2), 它们的
夹角 ，如何用坐标表示cos .若 a b 你又能
得到什么结论？
结论3： (1)cos
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3) AB AC 1 (3) 13 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
所以△ABC是直角三角形
变式：要使四边形ABDC是矩形，求D点坐标.
9
uuur 变变式形：:在ABC中,设 AB (2,3) uuur AC (1, k),且ABC是直角三 角形,k的值.
列问题.
设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 j
请①计i算下i 列= 式1子：
③ ij = 0
② j j = 1
④ j i = 0
4
那解么：如已a何知b推：a导(x1出ix1iay1 jy)b1j(的,xb2i坐标xy22i公j ) 式y2 ?j ,
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j 2
(2)a b x1 x2 y1 y2 0
: (2)a b x1x2 y1 y2 0 与 a // b x1y2 x2 y1 0 的区别。
7
例1.设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|，
和a, b的夹角
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
b
ur
x1 x2
y1 y2
0
a // b x1 y2 x2 y1 0
作业:三维设计以及小页
16
课下思考：
r
r
(14.)已知向量a (2, x), b (3, 4)
rr
且a，b的夹角为钝角, 则x的取值
11
例4：求与向量 a ( 3 1, 3 1) 的夹角为45o的
单位向量.
分析：可再设利x用=（am ,xn(定 ),只义需)求ma,
n. 易知 m2 n2 1
x（数量积 的坐标
法）即可！
解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
a x a x cos 45 8 2 2 2
(3,4),
b
则(5与,12)夹, 角的a余弦b值
为
（ B）
A. 63
B. 33
C. 33
D. 63
65
2求、证已：知(a： ba)
65
⊥(co(as,bsi)n
),
b
65
(cos
,
sin
65
)
答(a案：b)
(a
b)
(cos cos,sin sin ) (cos cos,sin sin )
x1x2 y1y2
这就是向量数量积的坐标表示。由此我 们得到：两个向量的数量积等于它们对坐 标的乘积之和。
5
探讨合作1: 已知a (x, y),如何将 a 用其坐标表示？
结论1:
a
x2 y2 .
探讨合作2:若设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 如何将 AB 用A、 B的坐标表示？
说明：可设 x (cos,sin) 进行求解.
13
练习:已知a=(4,2) ，求与a 垂直的单位向量 。
解：设所求向量为(x, y), 则
4x 2y 0
x2
y2
1
解得
x
5 5
y
m2
5 5
所求向量为 ( 5 , 2 5 )或( 5 , 2 5 )
55
55
14
四、演练反馈
1、若a
2
特别地，a a a
2
或a aa a
ab
（4）cosθ= a b （5）| a · b |≤
ab
(6)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
(7)(a b)(a b)
22
a - b2
3
二、新课讲授
问题展示：已知 a (x1, y1),b (x2, y2), 怎样用 a, b
的坐标表示 a b 呢？请同学们看下
|a|= a a 32 (1)2 10
|b|= b b 12 (2)2 5 cos = a b 5 2 | a | | b | 10 5 2
所以 =45°
8
例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证 △ABC是直角三角形.
证明：AB (2 1,3 2) (1,1)
复习与回顾
一、向量的数量积的定义:
a 0, b 0其夹角为，则a b
0 a
0
二、平面向r 量r 数r 量积的运算律:
向量a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足：
（1） 交换律:
ab
ba
(2) 数乘结合律: (a) b a (b) (a b) a b
（3） 分配律: (a b) c
ac bc
1
数量积重要性质:
a·b=|a||b| cosθ
设 a，b都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单 位向量，θ是 a与 b的夹角，则:
(1) e a a e |a| cosθ (2) a⊥ b a b 0
（3）当 a 与 b同向时，a ·b =
ab
当 a 与 b 反向时，a ·b = a b
例3. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时， 向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。
解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3),
（1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 所以k= 1 3
（2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
所以k=
17 7
cos2
∴(
a
cos2
b) ⊥
sin
2
(a b)
sin2
0
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四、小结
1、数量积的坐标表示
r
r
设两个非r 零r 向量a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ),则
a b x1x2 y1 y2
2、垂直的条件
设uar
ur ur
(
x1,
ur
y1 ), b
(
x2
,
y2
),则
a
ur
另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1m ( 3 1) n 2
( 3 1) m ( 3 1) n 2
由
m2 n2 1
解得：
m1
3 2
1
或
n1 2
m2
1 2
3 n2 2
∴
x ( 3 , 1 ) 22
或
x ( 1 , 3 ) 22
结论2: AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ,
这就是A、B两点间的距离公式.
6
探讨合作3:非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2), 它们的
夹角 ，如何用坐标表示cos .若 a b 你又能
得到什么结论？
结论3： (1)cos
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3) AB AC 1 (3) 13 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
所以△ABC是直角三角形
变式：要使四边形ABDC是矩形，求D点坐标.
9
uuur 变变式形：:在ABC中,设 AB (2,3) uuur AC (1, k),且ABC是直角三 角形,k的值.
列问题.
设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 j
请①计i算下i 列= 式1子：
③ ij = 0
② j j = 1
④ j i = 0
4
那解么：如已a何知b推：a导(x1出ix1iay1 jy)b1j(的,xb2i坐标xy22i公j ) 式y2 ?j ,
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j 2
(2)a b x1 x2 y1 y2 0
: (2)a b x1x2 y1 y2 0 与 a // b x1y2 x2 y1 0 的区别。
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例1.设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|，
和a, b的夹角
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
b
ur
x1 x2
y1 y2
0
a // b x1 y2 x2 y1 0
作业:三维设计以及小页
16
课下思考：
r
r
(14.)已知向量a (2, x), b (3, 4)
rr
且a，b的夹角为钝角, 则x的取值
11
例4：求与向量 a ( 3 1, 3 1) 的夹角为45o的
单位向量.
分析：可再设利x用=（am ,xn(定 ),只义需)求ma,
n. 易知 m2 n2 1
x（数量积 的坐标
法）即可！
解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
a x a x cos 45 8 2 2 2
(3,4),
b
则(5与,12)夹, 角的a余弦b值
为
（ B）
A. 63
B. 33
C. 33
D. 63
65
2求、证已：知(a： ba)
65
⊥(co(as,bsi)n
),
b
65
(cos
,
sin
65
)
答(a案：b)
(a
b)
(cos cos,sin sin ) (cos cos,sin sin )
x1x2 y1y2
这就是向量数量积的坐标表示。由此我 们得到：两个向量的数量积等于它们对坐 标的乘积之和。
5
探讨合作1: 已知a (x, y),如何将 a 用其坐标表示？
结论1:
a
x2 y2 .
探讨合作2:若设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 如何将 AB 用A、 B的坐标表示？
说明：可设 x (cos,sin) 进行求解.
13
练习:已知a=(4,2) ，求与a 垂直的单位向量 。
解：设所求向量为(x, y), 则
4x 2y 0
x2
y2
1
解得
x
5 5
y
m2
5 5
所求向量为 ( 5 , 2 5 )或( 5 , 2 5 )
55
55
14
四、演练反馈
1、若a
2
特别地，a a a
2
或a aa a
ab
（4）cosθ= a b （5）| a · b |≤
ab
(6)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
(7)(a b)(a b)
22
a - b2
3
二、新课讲授
问题展示：已知 a (x1, y1),b (x2, y2), 怎样用 a, b
的坐标表示 a b 呢？请同学们看下
|a|= a a 32 (1)2 10
|b|= b b 12 (2)2 5 cos = a b 5 2 | a | | b | 10 5 2
所以 =45°
8
例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证 △ABC是直角三角形.
证明：AB (2 1,3 2) (1,1)
复习与回顾
一、向量的数量积的定义:
a 0, b 0其夹角为，则a b
0 a
0
二、平面向r 量r 数r 量积的运算律:
向量a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足：
（1） 交换律:
ab
ba
(2) 数乘结合律: (a) b a (b) (a b) a b
（3） 分配律: (a b) c
ac bc
1
数量积重要性质:
a·b=|a||b| cosθ
设 a，b都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单 位向量，θ是 a与 b的夹角，则:
(1) e a a e |a| cosθ (2) a⊥ b a b 0
（3）当 a 与 b同向时，a ·b =
ab
当 a 与 b 反向时，a ·b = a b