2022-2021学年高二数学人教B版必修4学案：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能依据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
1.平面对量数量积的坐标表示
若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b
＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的长度
(1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.
(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式
设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b
|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22
.
[情境导学] 在平面直角坐标系中，平面对量可以用有序实数对来表示，两个平面对量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面对量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面对量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面对量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探究平面对量数量积的坐标表示. 探究点一 平面对量数量积的坐标表示
思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b? 答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2.
又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，
∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.
思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面对量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？
答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .
解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10).
反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面对量的数量积不满足结合律.
跟踪训练1 若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12) 解析 ∵a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， ∴(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8). ∵b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4， ∴a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).
探究点二 平面对量长度的坐标形式及两点间的距离公式
思考1 若a ＝(x ，y )，如何计算向量的长度|a |? 答 ∵a ＝x i ＋y j ，
∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i ·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i ·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2.
思考2 若A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →
的长度？ 答 如图，∵AB →＝OB →－OA →
＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
例2 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →
|与点D 的坐标. 解 设点D 坐标为(x ，y )，
则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →
＝(－6，－3)， BD →
＝(x －3，y －2)，
∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →
共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →
， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3).
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.
∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →
＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②
由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，
即D 点坐标为(1,1)，AD →
＝(－1,2). ∴|AD →|＝
(－1)2＋22＝5，
即|AD →
|＝5，D (1,1).
反思与感悟 在几何里利用垂直及长度来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及长度列出方程组进行求解.
跟踪训练2 以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，∠B ＝90°，求点B 和AB →
的坐标. 解 设B (x ，y )，则|OB →
|＝
x 2＋y 2，
∵B (x ，y )，A (5,2)，∴|AB →
|＝(x －5)2＋(y －2)2.
又∵|AB →|＝|OB →
|，∴
(x －5)2＋(y －2)2＝
x 2＋y 2.
可得10x ＋4y ＝29，①
又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →
＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0，②
由①②解得⎩⎨⎧
x 1＝32
，
y 1
＝7
2，
或⎩⎨⎧
x 2＝72
，
y 2
＝－3
2
.
∴B ⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72
，－32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →
＝⎝⎛⎭⎫－32，－72. 探究点三 平面对量夹角的坐标表示
思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？ 答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 答 cos θ＝a·b
|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22
. 例3 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角. 解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)由于a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12
.
(2)由于a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向. 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－1
2
，
由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不行能反向.
所以λ的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
2. (3)由于a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向.
由a·b >0，得λ>－1
2，由a 与b 同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为⎝⎛⎭
⎫－1
2，2∪(2，＋∞). 反思与感悟 由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a·b
|a||b |来推断，可将θ分五种
状况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角.
跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围. 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝
1＋λ2，a ·b ＝λ－1.
∵a ，b 的夹角α为钝角.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).
1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π
2 答案 B
解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos 〈a ，b 〉＝
a ·
b |a ||b |＝510×5＝2
2
. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]. ∴a 与b 的夹角为π
4
.
2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C
解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2 ＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3.∴|a |＝
12＋n 2＝2.
3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →
＝(2,3)，则k 的值为________. 答案 5
解析 ∵BC →＝AC →－AB →
＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →
＝(2,3)，
∴BC →·AC →
＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.
4.已知平面对量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 答案 82
解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，
∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c ＝a －6b ， ∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2 ＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c |＝8 2.
[呈重点、现规律]
1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题供应了完善的理论依据和有力的工具支持.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的力气.
3.留意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a
⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
一、基础过关
1.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π
6，则实数m 等于( )
A.2 3
B. 3
C.0
D.－3 答案 B
解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝
12＋(3)2×
32＋m 2×cos π
6
，
∴3＋3m ＝12＋(3)2×
32＋m 2×cos π
6
，
∴m ＝ 3.
2.已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.－17
B.17
C.－16
D.16
答案 A
解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2). 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－1
7
.
3.平面对量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B.23 C.4 D.12 答案 B
解析 ∵a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝
a 2＋4·a ·
b ＋4b 2＝2 3.
4.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
A.⎝⎛⎭⎫79，73
B.⎝⎛⎭⎫－73，－7
9 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79
，－73 答案 D
解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－7
3
.
5.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4 B.π6 C.π4 D.3π
4
答案 C
解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.
设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，
∵α∈[0，π]，∴α＝π
4
.
6.设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________. 解 ∵θ为钝角，∴cos θ＝
a ·b
|a ||b |
<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <8
5
.
∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－5
2，
当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－1
2b ，
∴a 与b 反向，即θ＝π.
故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－5
2.
7.已知a ＝
(4,3)，b ＝(－1,2).
(1)求a 与b 的夹角的余弦；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值. 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝
42＋32＝5，|b |＝
(－1)2＋22＝5，
∴cos 〈a ，b 〉＝
a ·
b |a ||b |＝255＝25
25
. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，
∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.
二、力气提升
8.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
答案 B
解析 由于m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2). 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1). 由于(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.
9.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →
方向上的正射影的数量为( ) A.322
B.315
2
C. －322
D.－3152
答案 A
解析 ∵AB →＝(2,1)，CD →
＝(5,5)， ∴AB →在CD →
方向上的正射影的数量为 AB →·CD →
|CD →|
＝2×5＋1×552＋52
＝1552＝32
2.
10.平面对量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.
答案 2
解析 由于向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20. 由于c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，
所以5m ＋85＝8m ＋2025，
解得m ＝2.
11.在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →
＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值. 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →
＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →
＝(－1，k －3).
若∠A ＝90°，则AB →·AC →
＝2×1＋3×k ＝0， ∴k ＝－2
3
；
若∠B ＝90°，则AB →·BC →
＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113
；
若∠C ＝90°，则AC →·BC →
＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132
.
故所求k 的值为－23或113或3±13
2
.
12.设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值. 解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)， ∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)， d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )， ∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝
(1－2m )2＋(2－3m )2，
∴cos 45°＝c ·d
|c ||d |
＝
2－3m
(1－2m )2＋(2－3m )2
＝
22
. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝3
5.
三、探究与拓展
13.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4). (1)求证：AB ⊥AD ；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值. (1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →
＝(－3,3)， 又∵AB →·AD →
＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →
，即AB ⊥AD .
(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →
. 设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →
＝(x ＋1，y －4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝5.
∴C 点坐标为(0,5). 由于AC →＝(－2,4)，BD →
＝(－4,2)， 所以AC →·BD →
＝8＋8＝16>0， |AC →|＝2 5，|BD →
|＝2 5. 设AC →与BD →
夹角为θ，则 cos θ＝AC →·BD →
|AC →|·|BD →|
＝1620＝4
5>0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为4
5
.
高中数学必修四学案及答案(人教B版)
2014级必修四 编号：4001 课题：角的概念的推广 编制人：李敏 审核人：王国燕 编制日期 ： 班级 姓名 一、学习目标： 1. 会判断角的大小； 2. 能够会用集合表示终边相同的角； 3. 会用集合表示表示象限角区间角以及终边在坐标轴上的角. 二、自主学习 1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？ 初中所研究的角的范围为 . 2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o ”（即转体 周），“转体1080o ”（即转体 周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度） 如果慢了5分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度） 3、在实际生活中有些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义？研究这些角的分类及记法？ 4、如何将角放入坐标系中讨论？ 角的顶点与 重合，角的 与x 轴的非负半轴重合. 象限角的定义： 5、终边相同的角 与60°终边相同的角有 , , …都可以用代数式表示为 . 与α终边相同的角如何表示？ 6、终边在以下象限中的角如何表示? 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角: 第四象限角 三．尝试练习 1、基础过关 (1)（A ）下列命题是真命题的有 .（填序号） ①三角形的内角必是第一二象限角 ②始边相同而终边不同的角一定不相等 ③第四象限角一定是负角 ④钝角比第三象限角小 (2)用集合表示下列各角：“第一象限角”、“锐角”、“小于90o 的角”、“0o ~90o 的角” 2、难点突破 (A) (1)写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. －15° 124°30′ (A) (2)求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： 210-； 731484'- ． (B) (3)若α是第二象限的角，试分别确定2α， 2α，3 α 的终边所在位置. (B) (4)如果α是第三象限的角，那么—α，2α的终边落在何处？ 四．巩固提高 (A)1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° (A)2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (B)3、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C (B)4、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 (B)5、若α是第四象限的角，则α- 180是 ． A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角 (C)6、设集合{} Z k k x k x A ∈+?<<+?=,30036060360| , {} Z k k x k x B ∈?<<-?=,360210360| , 求B A ,B A .
2021年高中苏教版数学必修4名师导学：第2章 第11课时 向量的数量积(3)
第11课时向量的数量积(3) 教学过程 一、问题情境 问题1已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢? 二、数学建构 设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则 i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0. ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j, ∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2 =x1x2+y1y2. 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2. 问题2已知a=(x,y),如何将|a|用其坐标表示? ∵a·a=a2=|a|2=x2+y2, ∴|a |==. 问题3设A(x1,y1),B(x2,y2),如何将||用A,B的坐标表示? 设表示向量a的有向线段的起点是A(x1,y1),终点是B(x2,y2),则 =a=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1), ∴||=|a |=. 这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式. 问题4前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗? (1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得 cos θ==. (2)a⊥b⇔a·b=0,可以写成a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. (3)a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b⇔x1y2-x2y1=0.[3] 三、数学运用 【例1】已知向量a=(2, 1),b=(3,-1),求:(1)(3a-b)·(a-2b);(2)a与b的夹角θ.[4](见同学用书P55) [处理建议](1)第(1)问是向量的数量积坐标公式的直接应用,有两个运算方向:一是先开放再分别代入求解,二是先求每个因式的坐标再应用向量的数量积公式.(2)运用两向量夹角公式的坐标表示求解. [规范板书]解(1)方法1:由于a·b=2×3+1×(-1)=5,a2=22+12=5,b2=32+(-1)2=10, 所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×5+2×10=0. 方法2:由于3a-b=(3, 4),a-2b=(-4, 3),则(3a-b)·(a-2b)=-12+12=0. (2)由于a·b=5,|a |=,|b |=, 所以cos θ===. 由于θ∈,所以θ=. [题后反思](1)第(1)问的两种解法都是比较好的解法,都要求同学娴熟把握向量数量积的坐标运算.(2)求两个向量的夹角一般步骤:先算数量积,接着算每个向量的模,代入公式求余弦值,最终由角的范围写出角度. 【例2】已知向量a=(1, 1),b=(0,-2),当k为何值时: (1)k a-b与a+b共线; (2)k a-b与a+b的夹角为120°.(见同学用书P55) [处理建议]先由向量a,b的坐标得到向量k a-b,a+b的坐标,再分别由向量共线的坐标表示及两向量夹角公式建立关于参数k的方程,解方程即可. [规范板书]解∵a=(1, 1),b=(0,-2), ∴k a-b=k(1, 1)-(0,-2)=(k,k+2), a+b=(1, 1)+(0,-2)=(1,-1). (1)由k a-b与a+b共线,得k+2-(-k)=0,解得k=-1. (2)|k a-b |=,|a+b |==. 又∵(k a-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,而k a-b与a+b的夹角为120°,∴ cos120°=,即 -=,化简得k2+2k-2=0,解得k=-1±.
2022-2021学年高二数学人教B版必修4学案：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能依据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 1.平面对量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的长度 (1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 . [情境导学] 在平面直角坐标系中，平面对量可以用有序实数对来表示，两个平面对量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面对量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面对量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面对量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探究平面对量数量积的坐标表示. 探究点一 平面对量数量积的坐标表示 思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b? 答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2. 又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0， ∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面对量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？ 答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c . 解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10). 反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面对量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1 若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12) 解析 ∵a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， ∴(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8). ∵b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4， ∴a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12). 探究点二 平面对量长度的坐标形式及两点间的距离公式 思考1 若a ＝(x ，y )，如何计算向量的长度|a |? 答 ∵a ＝x i ＋y j ， ∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i ·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i ·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2. 思考2 若A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB → 的长度？ 答 如图，∵AB →＝OB →－OA → ＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)
人教B版(2019)数学必修(第三册)：8.1.1 向量数量积的概念 教案
向量数量积的概念 【教学过程】 一、问题导入 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功。如图所示，如果作用在小车上的力F 的大小为|F| N ，小车在水平面上位移s 的大小为|s|·m ，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W=|F||s|cos θ。 （1）显然，功W 与力向量F 及位移向量s 有关，这三者之间有什么关系？ （2）给定任意两个向量a ，b ，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由。 二、新知探究 1．与向量数量积有关的概念 【例1】（1）以下四种说法中正确的是________。（填序号） ①如果a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②如果向量a 与b 满足a·b<0，则a 与b 所成的角为钝角； ③△ABC 中，如果AB →·BC → ＝0，那么△ABC 为直角三角形； ④如果向量a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2
（2）已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b ＝－12，则a 在b 方向上的投影的数量为________，b 在a 方向上的投影的数量为________。 （3）已知等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC → ＝________。 思路探究：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答。 （1）③④；（2）－12 5；－4；（3）8；[（1）由数量积的定义知a·b ＝|a||b|·cos θ（θ为向量a ，b 的夹角）。 ①若a·b ＝0，则θ＝90°或a ＝0或b ＝0，故①错； ②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错； ③由AB →·BC → ＝0知B ＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确； ④由a 2＝|a|2＝1，b 2＝|b|2＝1，故④正确。 （2）设a 与b 的夹角为θ，则有 a·b ＝|a|·|b|·cos θ＝－12， 所以向量a 在向量b 方向上的投影的数量为|a|·cos θ＝a·b |b|＝－12 5＝－125；向量b 在向量a 方向上的投影的数量为|b|·cos θ＝a·b |a|＝－12 3 ＝－4． （3）如图，过点A 作AD △BC ，垂足为D ． 因为AB ＝AC ， 所以BD ＝1 2BC ＝2， 于是|BA →|cos △ABC ＝|BD →| ＝12|BC →|＝1 2×4＝2， 所以BA →·BC →＝|BA →||BC → |cos △ABC ＝4×2＝8． [教师小结] （一）在书写数量积时，a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写。 （二）求平面向量数量积的方法： （1）若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ。 （2）若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a ·b 。 2．数量积的基本运算
人教课标版(B版)高中数学必修4《向量数量积的坐标运算及度量公式》拓展延伸
向量数量积的坐标运算及度量公式 1.已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2， |b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________.－32 2.在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 3．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 B 2(22)a b a b -=-＝2 2 44a a b b -⋅+＝8＝2 2. 4.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________.32 5.已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______.655 6.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有________②④ ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |； ③(b·c )a －(a·c )b 不与c 垂直；④(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9|a |2－16|b |2. 7.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2 y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________． 解析 由题意得AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2， BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， 即⎝ ⎛ ⎭⎪⎫2，－y 2· ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 8.若等边△ABC 的边长为3平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________. 解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ，－12，MB →＝
人教B版高中数学必修四高一作业设计：2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式.docx
2．3．3 向量数量积的坐标运算与度量公式 课时目标 1．掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模． 1．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝_______________________________________． 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔______________． 3．平面向量的模 (1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝_____________________________________． (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝__________________________． 4．向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝____ _______ ＝__________________________． 一、选择题 1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4 D ．12 3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．865 B ．－865 C ．1665 D ．－1665 4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的 数量积学案新人教B 版选修21 1．掌握空间向量的夹角与长度的概念． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点) [基础·初探] 教材整理1 空间向量的夹角 阅读教材P 85～P 86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题． 1．夹角的定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则角∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a ，b 〉． 图3120 2．夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ， b 〉＝π2 时，两向量________，记作________． 【答案】 π 垂直 a ⊥b 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)〈a ，b 〉与(a ，b )都表示直角坐标系下的点．( ) (2)在△ABC 中，〈AB →，BC → 〉＝∠B .( ) (3)在正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →与A ′C ′→ 的夹角为45°.( )
【答案】(1)×(2)×(3)√ 教材整理2 空间向量的数量积及其性质 阅读教材P86“两个向量的数量积”～P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题．1．已知空间中两个非零向量a，b，则________叫做a，b的数量积，记作________．规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a＝________. 【答案】|a||b|cos〈a，b〉a·b0 0 2．空间向量数量积满足下列运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝________. 【答案】a·b＋b·c 3．空间向量数量积的性质 若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a| cos θ； (2)a⊥b⇔a·b＝0； (3)a·a＝|a|2或|a|＝________； (4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b |a||b| ； (5)|a·b|≤|a|·|b|. 【答案】a·a 下列式子中正确的是( ) A．|a|a＝a2B．(a·b)2＝a2b2 C．a(a·b)＝b·a2D．|a·b|≤|a||b| 【解析】根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D. 【答案】 D [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
人教版高一数学必修四第二章平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 考点学习目标核心素养向量数量积的坐标表示 掌握平面向量数量积的坐标表 示， 会用向量的坐标形式求数量积 数学运算 平面向量的模与夹 角的坐标表示 能根据向量的坐标计算向量的 模、 夹角及判定两个向量垂直 数学运算、逻辑推理 问题导学 预习教材P106－P107，并思考下列问题： 1．平面向量数量积的坐标表示是什么？ 2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？ 1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝ x1x2＋y1y2 两个向 量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导． 2．三个重要公式
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( ) (2)|AB → |的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( ) 答案：(1)× (2)√ 已知a ＝(－3，4)，b ＝(5，2)，则a ·b 的值是( ) A ．23 B ．7 C ．－23 D ．－7 答案：D 已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，若a ⊥b ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4 答案：C 已知a ＝(3，1)，b ＝(－3，1)，则向量a ，b 的夹角θ＝______. 答案：120° 数量积的坐标运算 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 【解析】 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 【答案】 C 数量积坐标运算的两个途径 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． 1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15，12) B ．0 C ．－3 D ．－11 解析：选C.依题意可知，
高中数学2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4
2。3。3 向量数量积的坐标运算与度量公式 1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算。(重点） 2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.（难点) ［基础·初探] 教材整理1 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 阅读教材P112“思考与讨论"以上内容，完成下列问题. 1。向量内积的坐标运算: 已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2. 2。用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： 设a＝(a1，a2），b＝(b1,b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0。 已知a＝(1,－1），b＝（2，3）,则a·b＝( ） A。5 B.4 C。－2 D.－1 【解析】a·b＝(1,－1)·（2,3）＝1×2＋（－1）×3＝－1. 【答案】D 教材整理2 向量的长度、距离和夹角公式 阅读教材P112～P113内容，完成下列问题。 1。向量的长度： 已知a＝(a1，a2），则|a｜＝错误!。 2。两点间的距离: 如果A（x1,y1）,B（x2,y2)，则｜错误!｜＝错误!。 3.两向量的夹角： 设a＝（a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos
＝错误!。 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) （1)两个非零向量a＝（x1，y1),b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度.（） (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。（) （3）若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.（） 【解析】(1）×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°。 (2)√。由向量数量积定义可知正确。 （3）×。因为两向量的夹角有可能为180°。 【答案】（1)×（2）√（3)× [质疑·手记］ 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1:_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2:_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ ［小组合作型］ 平面向量数量积的坐标 运算 (1）(2016·安溪高一检测）已知向量a＝(1,2），b＝(2，x），且a·b＝－1，则x的值等于（) A.1 2 B.－错误! C。错误!D。－错误!
高中数学 第二章 平面向量 6 平面向量数量积的坐标表示教学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数
6 平面向量数量积的坐标表示 [核心必知] 1．向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a·b＝x1x2＋y1y2． 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和． 2．度量公式 (1)长度公式：设a＝(x，y)，那么|a|＝x2＋y2． (2)夹角公式：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，那么cos θ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 ． 3．两向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． 4．直线的方向向量 给定斜率为k的直线l，那么向量m＝(1，k)与直线l共线，把与直线l共线的非零向量m 称为直线l的方向向量． [问题思考] 1．由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？ 提示：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 那么AB＝(x2－x1，y2－y1)，由向量长度的坐标表示可得 |AB|＝|AB|＝x2－x12＋y2－y12. 2．坐标形式下两向量垂直与平行的条件有何区别？
提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么： a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，即“相应坐标相乘和为0〞； a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，即“坐标交叉相乘差为0〞． 3．直线l的方向向量唯一吗？ 提示：直线l的方向向量即是与l平行的向量，意指表示该向量的有向线段所在的直线与l 平行或重合，所以直线l的方向向量不唯一(有无数个)，但它们都是共线向量． 讲一讲 1．向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求： (1)(2a－3b)·(a＋2b)； (2)(a＋b)2. [尝试解答] 法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝(－10，5)， a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)， ∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200. (2)∵a＋b＝(10，－5) ∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125. 法二：由可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30 (1)(2a－3b)·(a＋2b)＝2a2＋a·b－6b2 ＝2×20＋30－6×45＝－200. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125.
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义》83
平面向量的数量积教学设计 朝阳市第一高级中学景丽敏 一、教学内容的分析 本课是在学习了实数与向量的积的运算的基础上，更进一步学习向量的另一种运算————向量的数量积。有了向量的数量积之后，向量的基本运算已基本完备。关于与向量有关的一些简单问题就可以解决了。数量积是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。同时，他为以后解决几何中的平行、垂直、夹角、共线、以及求线段长度方面都有重要的应用。 二、教学对象分析 在这节课之前已经学习了实数与向量的积的运算。很多善于探究的学生会想到向量与向量的积如何运算呢？强烈的求知欲使得学生对这一节的学习不会感到生疏。另外他们在物理中学习了功的概念，就为学习数量积提供了现实的模型，故在接受概念的时候会比较容易。但对于数量积的性质还需学生们合作交流，积极探究，努力发现，从而去解决关于垂直，模，夹角等实际问题。 三、教学目标 （一）知识与技能目标 1.是学生了解向量的数量积的抽象根源 2.是学生掌握向量的数量积的概念： 两个非零向量的夹角；向量的数量积的定义；向量的数量积的本质；向量的数量积的几何意义。 3.是学生了解向量的数量积的运算律 4. = ， b a = θ cos （二）过程与方法 1.从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出非零向量的夹角和数量积的一般 概念。并强调他的本质。接着给出两个向量的数量积的几何意义，给出一个响亮在另一个向量方向上的投影的概念。 2.给出向量数量积的运算律，并通过例题具体的展示出来。 3.由向量的数量积定义，变化出一些特例来，由特例更深刻的理解数量积的本质。 （三）情感态度与价值观 1.是学生学会有效学习：抓住知识间的逻辑关系 2.在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和归纳，实现共同探索，教学相长的教学 情境。 四、教学重难点 （一）重点： 1.培养学生分析、发现、探索问题的能力 2.数量积的定义、向量的模和夹角的计算方法
平面向量的数量积 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：平面向量数量积的探究 一、本专题在高考中的地位 平面向量数量积作为高考的热点问题有其必然性，从知识角度看，涉及到模、夹角、垂直和数量积范围等；从能力角度看，要求学生具备教材基础知识和较强的关键学科能力如：观察能力、直观想象、运算能力. 近年来，高考对平面向量的数量积考查得一直都很频繁，比如2021全国1卷10题，全国2卷15题，北京卷13题，天津卷15题，浙江卷3、17题都有考查. 二、考向分析 (1)主要考查平面向量的数量积与平面向量的坐标运算，并能运用数量积解决有关平面几何问题； (2)主要考查向量与不等式、解析几何、三角函数等知识的综合，考查学生逻辑推理能力、运算能力和综合解决问题的能力. 三、基本思路 1.“数”化，即合理建系，利用坐标系求解. 2.“形”化，明确向量式的几何意义，挖掘图形特点，利用平面几何知识求解. 四、教学过程 （一）典型例题 【典例】（浙江卷）∆ABC 中，D 为BC 中点，AD=3，BC=10，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____. 解法一：利用坐标表示向量进行运算 如图所示，设A(x ，y)，B(-5，0)，C(5，0). 因为AD=3，所以x 2+y 2=9. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+5，y)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-5，y). AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = 解法二：利用定义法a ⃗ ∙b =|a ⃗ |∙|b |cos θ（三角形看作特殊的等腰三角形） 如图令∆ABC 中，AB=AC ， ∠BAD= θ 则|AB|=√34，cos θ= √34 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ | cos 2θ =(√34)2(2∙9 34−1)
高中数学 2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律课后训练 新人教B版必修4-新人教
向量数量积的运算律 1．以下等式中恒成立的有( ) ①|a ·b |＝|a ||b |；②(a ·b )2＝a 2·b 2 ；③|a | ④a 2－2b 2 ＝(a )·(a b )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．已知向量a 与b 的夹角为π3 ，|a |＝2，|b |＝1，那么(a －4b )2等于( ) A ．．2 C ．6 D ．12 3．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋k b )⊥(a －k b )，则实数k 的值为( ) A ．34± B ．43± C ．35± D ．45 ± 4．已知a ，b 是非零向量，满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 5．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 6．已知a ·b ＝-，|a |＝4，则b 在a 方向上的射影的数量为__________． 7．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，其中i·j ＝0，|i|＝|j|＝1，则a·b ＝__________. 8．设O ，A ，B ，C 为平面上的四个点，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，a·b ＝b·c ＝c·a ＝－1，则|a|＋|b|＋|c |＝__________. 9．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 10．设a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，k ，t 是两个不同时为零的实数． (1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )； (2)求出函数k ＝f (t )的最小值．
2019-2020学年人教B版数学选修2-1讲义：第3章 3.1 3.1.3 两个向量的数量积 W
姓名，年级： 时间：
3.1.3 两个向量的数量积 学 习目标 核心素养 1。掌握空间向量夹角概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律．（重点） 3。掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．（难点、易混点)1。通过两向量的数量积的学习，培养学生的数学运算素养. 2.借助于求两向量的夹角、模及判断两向量垂直,提升学生的逻辑推理素养. 1．空间向量的夹角 如果〈a,b〉＝90°，那么向量a,b互相垂直，记作a⊥b。 思考:等边△ABC中,错误!与错误!的夹角是多少? ［提示] 120° 2．两个向量的数量积 （1）定义:已知两个非零向量a，b，则｜a|｜b|cos 律 交换律a·b＝b·a 分配律(a＋b）·c＝a·c＋b·c 3．两个向量的数量积的性质 两个 向量 数量 积的 性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝｜a｜·|b｜；若反向,则a·b＝－|a|·|b｜. 特别地，a·a＝|a|2或|a｜＝错误! ③若θ为a，b的夹角,则cos θ＝错误! ④|a·b｜≤｜a|·｜b| 1．下列命题中正确的是( ) A．（a·b）2＝a2·b2 B．｜a·b|≤｜a｜|b｜ C．(a·b）·c＝a·(b·c） D．若a⊥（b－c）,则a·b＝a·c＝0 B ［对于A项，左边＝|a｜2｜b｜2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2， ∴左边≤右边，故A错误． 对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误． 在D中,a·(b－c）＝0,∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零,故D错误． 对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a,b>，－1≤cos〈a，b〉≤1, ∴|a·b｜≤｜a|｜b｜，故B正确．］ 2．已知a,b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c｜等于（) A．14 B。错误!C．4 D．2 B ［∵|a－2b＋3c|2＝（a－2b＋3c）·(a－2b＋3c) ＝|a|2＋4｜b｜2＋9|c｜2＝14，∴｜a－2b＋3c|＝错误!.］ §6.2.4向量的数量积 一、内容和内容解析 内容：向量的数量积． 内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量. 会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养. 二、目标和目标解析 目标： （1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． （2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． （3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 目标解析： （1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义． （3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算． 三、教学问题诊断分析 1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角. 2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积. 3．教学问题三：对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．解决方案：引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异． 基于上述情况，本节课的教学难点定为：数量积的性质及其应用． 8.1.2向量数量积的运算律 学习目标核心素养 1.通过向量数量积的定义给出向量数量 积的运算律．(难点) 2．能利用运算律进行向量的数量积运 算．(重点、难点) 1.通过向量加法与数乘运算律得到数量 积的运算律，培养学生的数学抽象的核 心素养． 2．利用平面向量的运算律进行数量积运 算，提升学生数学运算的核心素养. 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 问题向量数量积的运算律在解题过程中有怎样的作用？ 提示若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积． 1．两个向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a． (2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)． (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 思考：“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？ [提示]不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等． 2．重要公式 平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2 完全平方公式(a±b)2＝a2±2a·b＋b2 思考：根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式： (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________； 向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________. (2)完全平方公式：(a±b)2＝__________； 向量数量积公式：(a±b)2＝__________. [提示](1)a2－b2 ；a2－b2 (2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)(a·b)·c＝a·(b·c)．() (2)(a·b)2＝a2·b2. () (3)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0. () [提示](1)×.向量(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故不正确． (2)×.(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2b2cos2θ. (3)√.a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0. [答案](1)×(2)×(3)√ 2．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝() A．1B．3 C．2D．3或2 C[|a－b|2＝a2－2a·b＋b2 ＝4－2×2＋4＝4，则|a－b|＝2.] 3．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是() A．0B．a C．b D．c【教案】向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2021新教材人教B版数学必修第三册教师用书：第8章 8.1 8.1.2 向量数量积的运算律含解析