版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版
第2课时平面向量数量积的坐标运算
学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量
数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂
直．
知识点一平面向量数量积的坐标表示
ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，
ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·
abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3
axybxy).
＝＝((，)，，梳理若向量2112
ab＝·数量积____________
________________
向量垂直
平面向量的模知识点二
ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．
1
→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211
梳理向量的模及两点间的距离
→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122
向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221
类型一平面向量数量积的坐标运算
abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1
a的坐标；求(1)
ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－
2
此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟
般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二
BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2
→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)
利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．
向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3
→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝
利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3
t________.
则实数＝
baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.
2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知
ab的夹角的余弦值；与(1)求
abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 y
b xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.
，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错
误．
5
答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵
221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0
⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考1
22222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22
yax .
∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22
yxABxy
.
－|＋－＝∴|1212
题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－1
1 跟踪训练→OA ＝(16,12)例
2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22
OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.
|－|＝＋3＝ 6
→→ABAO ·→→ABOABAO
. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .
故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2
baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2
?，2·1＋λλ
≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3
当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 7
20XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划
指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改
革。努力实现教学创新，改革教学和学习方式，提高课堂教学效益，促进学校的内涵性发展。同时，以新课程理念为指导，在全面实施新课程过程中，加大教研、教改力度，深化教学方法和学习方式的研究。正确处理改革与发展、创新与质量的关系，积极探索符合新课程理念的生物教学自如化教学方法和自主化学习方式。主要工作一、教研组建设方面：、深入学习课改理论，积极实施课改实践。、以七年级新教材为“切入点”，强化理论学习和教学实践。、充分发挥教研组的作用，把先进理念学习和教学实践有机的结合起来，做到以学促研，以研促教，真正实现教学质量的全面提升。、强化教学过程管理，转变学生的学习方式，提高课堂效益，规范教学常规管理，抓好“五关”。（）备课关。要求教龄五年以下的教师备详案，提倡其他教师备详案。要求教师的教案能体现课改理念。（）上课关。（）作业关。首先要控制学生作业的量，本着切实减轻学生负担的精神，要在作业批改上狠下工夫。（）考试关。以确保给学生一个公正、公平的评价环境。（）质量关。
、加强教研组凝聚力，培养组内老师的团结合作精神，做好新教师带教工作。二、常规教学方面：加强教研组建设。兴教研之风，树教研氛围。特别要把起始年级新教材的教研活动作为工作的重点。
、教研组要加强集体备课共同分析教材研究教法探讨疑难问题由备课组长牵头每周集体备课一次，定时间定内容，对下一阶段教学做到有的放矢，把握重点突破难点、教研组活动要有计划、有措施、有内容，在实效上下工夫，要认真落实好组内的公开课教学。、积极开展听评课活动，每位教师听课不少于20节，青年教师不少于节，兴“听课，评课”之风，大力提倡组内，校内听随堂课。、进一步制作、完善教研组主页，加强与兄弟学校的交流。我们将继续本着团结一致，勤沟通，勤研究，重探索，重实效的原则，在总结上一学年经验教训的前提下，出色地完成各项任务。校内公开课活动计划表日期周次星期节次开课人员拟开课内容10月127四王志忠生物圈10月137五赵夕珍动物的行为12月114 五赵夕珍生态系统的调节12月 2818四朱光祥动物的生殖镇江新区大港中学生物教研组xx-
20X 下学期生物教研组工作计划范文20X年秋季生物教研组工作计划化学生物教研组的工作计划生物教研组工作计划下学期生物教研组工作计划年下学期生物教研组工作计划20X年化学生物教研组计划20X年化学生物教研组计划中学生物教研组工作计划第一学期生物教研组工作计划
20XX—019学年度第二学期高中英语教研组工作计划XX—XX学年度第二学期高中英语教研组工作计划一．指导思想：本学期，我组将进一步确立以人为本的教育教学理论，把课程改革作为教学研究的中心工作，深入学习和研究新课程标准，积极、稳妥地实施和推进中学英语课程改革。以新课程理念指导教研工作，加强课程改革，紧紧地围绕新课程实施过程出现的问题，寻求解决问题的方法和途径。加强课题研究，积极支持和开展校本研究，提高教研质量，提升教师的研究水平和研究能力。加强教学常规建设和师资队伍建设，进一步提升我校英语教师的英语教研、教学水平和教学质量，为我校争创“三星”级高中而发挥我组的力量。二．主要工作及活动：．加强理论学习，推进新课程改革。组织本组教师学习《普通高中英语课程标准》及课标解度，积极实践高中英语牛津教材，组织全组教师进一步学习、熟悉新教材的体系和特点，探索新教材的教学模式，组织好新教材的研究课活动，为全组教师提供交流、学习的平台和机会。．加强课堂教学常规，提高课堂教学效率。强化落实教学常规和“礼嘉中学课堂教学十项要求”。做好集体备课和二备以及反思工作。在认真钻研教材的基础上，抓好上课、课后作业、辅导、评价等环节，从而有效地提高课堂教学效率。加强教学方法、手段和策略的研究，引导教师改进教学方法的同时，引导学生改进学习方法和学习策略。．加强课题研究，提升教科研研究水平；加强师资队伍建设，提升教师的教学能力。组织教师有效开展本组的和全校的课题研究工作做到有计划、有研究、有活动、有总结，并在此基础上撰写教育教学论文，并向报刊杂志和年会投稿。制订好本组本学期的校公开课、示范课、汇报课计划，并组织好听课、评课等工作。三．具体安排：二月份：制订好教研组工作计划、课题组工作计划和本学期公开课名单。三月份：、组织理论学习。、高一英语教学研讨活动。、组织好高三第一次模考、阅卷、评卷和总结等工作。四月份：、组织好高三英语口语测试。、高三英语复习研讨会。五月份：、组织好高三第二次模考、阅卷、评卷和总结等工作。、协助开展好我校的区级公开课。六月份：、组织好高考的复习迎考工作。、收集课题活动材料。2019学年春季学期小学语文组教研计划思想一、指导育。标，全根本，点，以核心，基础教育课程改革为以研究课堂教学为重促进教师队伍建设为以提高教学质量为目面实施素质教彻实施习贯彻坚持以《基础教育课程改革纲要》为指导，认真学课程改革精神，以贯。习动机养，调语文素动启发学生的内在学动，培提高。和小学小学语和“会化，定的评课规范化，系统期举行主题教学沙龙诊式行动研究”，促进新教师的成长，加快我镇文教师队伍成长速度语文教育质量的全面结合区里的活动安排，开展各项有意义的学生活养提高学生的使教师本学期教研组重点加强对教师评课的指导，目标二、工作素养。观念，习语文以课改、为中心，组织教
师学课程标准，转变教学深入课堂教学研究，激发学生主动探究意识，培生语文，努力神和实践能力提高学养学生创新精素质。的业务，以老”活动带新，不断提高教师用，重带头人研究小设，让“语文组”，充分发挥学科、骨干教师的示范作视团队合作智慧、力量。开展“师徒结对文教师、进一步加强语队伍建动。能够结师说课沙龙，提高教能力，和评课能力，合主题教研活动，对展教例赏析活典型课例进行互动研讨，开课沙龙组织教、师开展切实有效的说、评课务。教师的素质服为提高课堂效率服务，提高真实实是走场交流教重点课集体备，每周、加强教研组集体备课以段为单位组织一次课，分析教材，赏析文，进行文本细读，学心得。让备课不再，形式主义，而是真发展。提高学语文的、过关展形式定的语、根据上学期制文常规活动计划，开多样的学习竞赛活动活动，激发学生学习兴趣，在自主活动中生的综合实践能力，促进个性和谐指标。，确保完成各项教学找得失、检测加强学习质量调查工作，及时分析，寻、
施具体措工作及三、主要”。一）骨干教师示范、当好“领头羊把关，（
水平。熟、有教研活动更成效，切实提高我校语文老师的专业教研活的探讨低段（课文教”这个索实效、力量，重视团队合作智慧。教研组将围绕“探性语文课堂教学模式主题，深入开展精读学有效性研讨活动。1-2年级）则继续进行识字教学的有效性。分层、有序地开展动，使范作用学科带、本学期，语文研究小组成员继续充分发挥头人、骨干教师的示。，不断提高教务素质师的业动，以、开展“师徒结对”活老带新成绩。学习，取经、争取出（二）年轻教师。风格教师形而使新成个人的教学地进行据个人频或者以通过仿课的内容可观看名师的关盘、视教学实录等途径，根教学需要，有选择性局部模仿，从研讨课期上—促成新、为了提高教学质量，教师迅速成长，年教龄新教师每一学堂模仿课和一堂校内。上模1
范文作计划高二历2019年史第二学期教学工一、指导思想高二的历史教学任务是要使学生在历史知识、历史学科能力和思想品德、情感、态度、价值观各方面得到全面培养锻炼和发展，为高三年级的文科历史教学打下良好的基础，为高校输送有学习潜能和发展前途的合格高中毕业生打下良好基础。高考的文科综合能力测试更加强调考生对文科各学科整体知识的把握、综合分析问题的思维能力、为解决问题而迁移知识运用知识的能力。教师在教学中要体现多学科、多层次、多角度分析解决问题的通识教育理念。教师要认真学习和研究教材转变教学观念，紧跟高考形势的发展，研究考试的变化，力争使高二的教学向高三教学的要求靠拢。按照《教学大纲》和《考试说明》的要求，认真完成高二阶段的单科复习工作。坚持学科教学为主，落实基础知识要到位，适当兼顾史地政三个学科的综合要求，培养提高学生学科内综合的能力。从学生的实际出发，落实基础，提高学科思维能力和辩证唯物主义、历史唯物主义的理论水平。二、教学依据和教材使用根据国家对人才培养的需要和普通高校对考生文化素质的要求，参照《历史教学大纲》和xx年《考试说明》进行教学。使用人教社版高中《世界近现代史》下册（选修）为教材。以人教社新版《世界近现代史教学参考书》下册为教参。教学中要注意教学大纲和《考试说明》的具体要求，针对性要强。根据新形势下的考试要求，教学中应重视对知识系统和线索的梳理，重视知识间的横向，加深对历史知识理解和运用。三、教学内容《世界近现代史》下册提供了自一战后至上个世纪九十年代的历史发展史实，教师可以根据自己学校和学生的情况自行调整，灵活安排教学内容。提倡教师尝试多种形式的教学模式，积极启发培养学生的历史思维能力。四、教学安排1. 每周课时，本学期共21周，约课时。月下旬前要复习完世界近现代史下册的前三章。期中安排区统一测试。月底提供全册书的练习题一套，仅供参考使用。4.本学期有《高二历史》单元练习册（海淀区教师进修学校主编，中国书店出版）辅助教学，由教师组织学生进行练习，希望教师及时纠正教学中存在的问题。中学学年度第二学期教学工作计划初二物理第二学期教学计划201年第二学期教学工作计划范文小学第二学期教学工作计划范本201 学年第二学期教学工作计划20X 年体育活动第二学期教学工作计划范文第二学期教学工作计划范文
20X年高一地理第二学期教学工作计划范文20X年高一历史第二学期教学工作计划范文20X～20X学年度第二学期教学工作计划
2019年春学期课题研究计划究目标研策略。定的教学炼出一究活动出更切行重构的探究样延续们是怎后代的》这两个单元活动进，寻找合学生实际的科学探。在活动的设计中提《它》重点是实施的究活动学“生苏教版继续深、在四年级科学教学中入实施小学科命世界”主题单元探设计与研究，对《呼吸和血液循环、。研究的有效性验方案修改与在研究况进行总结与反思，中不断完善实，提高研究情对前一、阶段的。撰写研成果分设计的析，并究报告过程中、在研究实施探究活动等）的科研定数量、取得一和质量成果。、论文学随笔学设计、研究课、教（如教工作。题结题的准备、做好课：研究措施台。交流平题博客、依托课，构建
过程。音响资、图片常态化到信息题博客不断将究的过础。在为后期平台，的交流同时也研究奠定了坚实的基平时研程中要研究的内容充实到课中，做上传的，要把一些文字资料资料、料及时究的全能反映博客内容丰富，课题研上传，使得个较好为我们不断积在研究课题博客的内容过程中累，这的课题研究搭建了一养。理论素，提高、借助他山之石息。会，然，写出己的教学实践心得体后与课相关的定期分探讨。享一些研究信题组成员一起学习、消化，自学、有关的各成员自选一本与课题书籍，吸收、结合自验。，理清人的研势与不实验现醒认识课题的题会议课题组、参加市教师专，落实研究目标和重点，清到自我状（优足），明晰个究任务工作思研究实究重点，有效地开展路和研等。意见等的课例、论文、改进有价值益，有有过程整理和、提炼研究成果，形成，有效精品，划课题研写教案、分析，在深思中推动究四年级数学教学计季学期01年春
析：的基本一、学生情况分不会。的简捷的方法找到方么题，，不管题的能分学生督分不然与家也很自，学习成专心听课上活上课的的内容习的主，加之有人进慢一些反映要，学习方法死板，没行辅导缺乏学动性，不能掌握学习。能跟学生，泼，发言积极，上课讲，完作业认真比较积极主动，课后觉，当长的监开。部解答问力较强遇到什只要读了两次，就能法，有还相当。有的学生只能接受怎么教别学生变动的有一点问题就处理不了。个是老师也法，稍老师教给的方生由于容，少般，多数学基人。中男生40全班共人，其15人，女生学生的础较一数学生能掌握所学内部分学分析、教材二
和梯形（法；）平行四边形法和减）小小数的（）量数和整（算和应学内容：本册的教（）混合运用题；）整数四则运算；（的计量；）意义和性质；（数的加。所学的是在前元整数习惯。解答的继续培问题的能得意的提高学的数量解和掌学生进步应用比较容一步学解答两号，继学习使题的混合运算顺序，用小括续学习步应用题的学习，进习解答易的三题，使一步理握复杂关系，生运用所学知识解决实际力，并养学生检验应用题的技巧和第二单和整数的四则运算，三年半有关内一方面识更加理，一位加于所学的学的基量是在四单元好的基打下较础。第量的计前面已础上把计量单系统整方面使学生所学的知巩固，使学生名数做好准备示的单写成用为学习把单名数或复名数改小数表就为学总定律加的意义整数四数法，总结十的认数高。先括，整进行复容的基础上，习、概理和提把整数范围扩展到千亿位，进制计然后对则运算，运算以概括结，这样习小数，分数三步式册进一个重点合运算册的重本点：混和应用题是本册的一，这一步学习目标、教学三能：一）知（识与技数。然数和的多位有三级确地读会根据整数，掌握十进制计数法，数级正、写含认识自、使学生。的关系法之间法、乘运算的理解整、使学生数四则意义，掌握加法与减法与除程度。进一步、笔算提高整数口算的熟练运算，，会应法的运理解加、使学生法和乘算定律用它们进行一些简便。义和性理解小使学生数的意质，比较熟练地进行法的笔法和减算和简单口算小数加、
数。义，会解平均图表；理的方简单的学生初、步认识数据整法，以及简单的统计初步理数的意求简单的平均题。易的三答一些小括号式题，算一般比较熟则混合运算顺序，会练地计的三步会使用，会解比较容步计算的文字掌握四使学生、进一步。的方法会检验三步计些比较，并会计算的稍复杂一些数使学生、会解答量关系的两步应用题解答一容易的算的应用题；初步学育物辩证观点的启蒙教育和唯行爱祖的好习培养学关内容、结合有，进下生检验惯，进国，爱社会主义的教法（二）过程与方。用数学步形成中的作学在日过程，、解决题、提经历 1 .从实际生活中发现问出问题问题的体会数常生活用，初综合运知识解决问题的能力能力。分析及推理的步形成题的意中发现，培养解运筹．初步了的思想从生活数学问识，初观察、价值观（三）情感态度信心。学习数，提高学的兴数学的趣，建立学好的乐趣体会学．习数学惯。、书写养成认．真作业整洁的良好习措施：四、教学
。端正学习态度进一步教育，、学习加强思 1. 想教育目的性使学生知欲。2. 学生求试教学教学，，提倡以学生为主体启发式注重尝，激发
文年高多种方学改革重视抓 3. 课堂教，采用法调动学01二下学工作计育教师划范期体计划一、教学工作的。差不齐现一些教学班项为女的，高班，都男子武教学班两个女的学生人任教析：本）学生（情况分学期本高一年选项为子武术和一个术教学是新生进入平山中学二年选子武术，都出人数参的现象上增加可在一排，也定程度一些技与要求术难度总体安教学意了解到。学习性有一定目的连时起到况，对项时的是上个，但也基本上学期选基本情于学习这个项续的帮助时也能教师的图，这样方便教学的分析：）教材与教辅（
在精。本课程二选项进行教初级长（广播径与基教学内一年的容是田本体操操）及拳结合学，高安排校“武术动作的过程，的学习特别是到位，多，而学不在重学生上的安从内容的学习样有利进行教行的实的方式学，再结套路进剑”里的一个行教合表演配合进用技能学，这于学生兴趣，与结构排是注划在高本学期再教基与安排期的学样有利同时选采用构：
这辅的内分析教①材与教容与结个学期个学分项，这于全学习计划，不用本功，本人计领。难点能自我图，也学习的，让学重最重教学过的重点本个项于武德学习；素质不，方便过程比浓，对习，兴利于学材的特点、难材的特②分析教点与重点：教点为有生的学趣比较于学习较注重学生的同者的重点在，这是目开设，也是程中最的重点生知道基本意让学生控制；在于如何能有防高学以实用技套路的能，提致用，身的本去掌握。他人，会尊重学习过在武术程中学和关心将自身的环节之间的讨加强同能的实讨论与性的学价；加进行简人并能解一些本身项德品质良好的表现出要相，健康与社会需体育道，结合目去了武术名对他们单的评强研究习，去研究技用性，学论交流意识，的合作代社会品质；观开积极向勇于克自信心表现出功的过体验进在不断困难。时可能了解实讨论的理掌握导学生德的培有氧耐力量，步发展基础上面发展学任务③提出教：在全体能的，进一灵敏、速度和力，武养；引学会合练习与时间，现目标遇到的步和成程中，适宜的，形成服困难上，乐朗的优良认识现所必需和竞争目标：）教学（培养。学分的学“剑”合高二积极性习体育引导男上“长修基础高一年学生在，保证动体验加深学学生的满足学工作计，设计校的实结合学理念，的教学际情况本教学划，以生选项需求，生的运和理解田径必上再加拳”来女生学模块的，再结年的选项课习中修满。加强素质，本身的趣，提升学习基本套以及“学习“长拳”剑”的路，提的的兴升学生武德的特别是选择性以及多个学生都，确保异与不学生的位的同主体地视学生展为中生身心育意识学生的的兴趣拳”、学习“发学生一步激学的基在必修意识和养学生”的理立“健总体目①标：建康第一念，培的健康体魄，田径教础上进初级长“剑”，培养终身体，以学健康发心，重时关注个体差同需求每一受益，样性和标：具体目②
方法。锻炼习良好的养成练武的的主要体育锻学炼计划并实施的原则根据科惯。学锻炼，制定个人锻。会评价炼效果：运动参与。。外重大，并关动项目认识动技能运：武术运的价值注国内体赛事有理方法简易处紧急情伤时和运动创方法，活动的握社会学用能力技、战并进一水平，术战术目的的提高技步加强术的运。习并掌条件下技能与并掌握况下的。康行为生活方形成和重要学习、解身体关知识一些疾了解耐力。展肌肉过多种：体健康身能通途径发力量和病等有，并理健康在生活中意义。良好的式与健悦。有实用行为。情绪的中表现习活动武术练。力获得理状态改变心育活动自觉理健康心：通过体，并努成功感在出调节意愿与在具技能练带来喜胜困难习中体验到战。健康方体育与各种途具新精神合作创道德与出良好习活动：会适应社在学中表现的体育。有通过径获取和方法的能力面知识措施：（）教学力。、运动加强运健康的别是加合，特科的整；加强升学习能，提的效率多边学强心理教育，动力学生的运识与能动自我保护意提升学进行学医学等习，以究的功相互研讨论、互学习习建立，小组的用学习差，行培优教学目，达到学任务更好地惯、学良好的学生的，培养合的方综合评展示与后进行习，最后进行行个别师评价习，教论，练讲解，用教师采示范与学生讨，再进指导，学生练学生的价相结式方法学习习习方法完成教标；实扶中辅，采加强学小组的相、相互计划二、教学研究的动。、“平本课程研究：）课题（加强校“剑”山初级助课题员，协组的成入校园期健康。做为题准备题的开进入校“趣味与教学的开发长拳”；做好奥运会园”课“青春教育进”课题组进行研究，开展活侧重。论校本他老师组长的力，做教研能课组的，加强本课程教研：）校本（加强校的开发体育备为备课我与其加强讨长拳”“初级放在“发重点剑”、，有所”三个、“花样篮球项目上校本开与开发的研究，本次写。结合课）论文（撰写：题研究的内容进行撰。备课时老师的，集中改力度中的课提高高本组老划是积的课组长做为备升教研动，提各项活研组的水平；我，我计极组织师一起与水平间与讨准及认评价标调选项价，协程的评，加强行沟通问题进选项会列问题中出现课过程论在备的一系，针对出现的学习过内容的证过程参加教；积极研活动教研员职工作职教研做好兼水平，校际组提升在，加强展的各际组开参加校组成员教研员兼职中晋江市：做为课组教组、备、教研（）校际研活动学体育及校际，积极项活动的教研员的本，协助开展教划期语文备课组工作计二下学高划期化学二下学高教学计作计划期语文高二下学教学工划范文班主任工作计下学期于高二关
范文主任工作计划学期班高二下学年 20X划 20X班主任下学期高二工作计文高二下学期工作计划范划教学计二下学20X 年高期地理划二下学高期物理教学计
划教学计二下学高期语文
反馈。，要求生积极性并及时完成，作业在课堂上互学。织互帮法，组内补课施“课作，实进生的做好后4. 辅导工”的方。合能力较和综生的分培养学5. 析、比。象、概括能力生的抽培养学6.
能力。生的迁培养学 7. 移类推性。8. 生思维的灵活培养学安排五、课时
致安排的教学课时安排了容教学教学内内容。各部分课时大学教学学期数年级下四时）一（应用题运算和11课、
混合时课算、混合运时两、三、题步计算的应用课课时、整理和复习课时）四则运、整数二和整数18算（课时十进制、计数法时律运算定意义和、加法的课时运算定意义和、减法的律课时运算定意义和、乘法的课律课时除法的、意义课时、整理和复习
课时）、量的三计量（时、位计量单常用的课课时、改写名数的时）、小数四的意义17（和性质课课时意义和、小数的读写法时大小比小数的较课性质和小数的、
时小数大动引起小数点、位置移化课小的变课时复名数小数和、课时小数的求一个、近似数 2课时复习整理和、）和减法的加法、小数五课时（课时管家小
课时）形和梯形、平、三角六行四边10形（时、课角的度量课时垂直和、平行课时、三角形课时梯形边形和平行四、
课时、整理和复习时）七习（、总复课日年XX月26
展。向纵深发。文的撰、做好论评工作写、参：活动安排流。究课；建上研、李汪。王钧示交流课例展月份：二俊、罗研究交子课题员进行课题成交流。成员进；课题研究课小娟上文、孙、戴辉程中华织课题祥）组（姚爱示交流。课例展月份：三学习，行子课题研究。究交流课题研进行子题成员课；课上研究、钱芸、曹辉刘华波学习，织课题祥）组示交流。课例展月份：四（姚爱究小结课题研五月份：长。，切实教活动同构异活动、课异构动、同诊断活堂教学诊式课开展会轻教师组织年、，有效师的专语文老校年轻提高我，获得业水平快速成。区新生组织的教研室参加区新教师——龄选拔教、年做好指赛，并教学比代课堂训工作导、培动。（实而生变，踏稳中有三）教研形式讨。行精心内容进对听课的教师展示课流。听习、交教师学组织好的主题研活动结合教沙龙，式评课和互动习沙龙专题学一次的织两周继续组、课活动互动评在保证的是，年不同。与往、探讨行交流龙中进研讨沙式教学的互动周一次，在两评课稿，写成的评点、系统集体评次排学期安学，本正常教，不影响时开展同过评课通，其他课活动群来交qq流、研8
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角数学学案009
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【目标要求】 1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算． 2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【热点提示】 向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题． 【知识梳理】 1．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．三个重要公式 (1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22 . 【课堂互动】 平面向量数量积的坐标运算 【例1】 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10. (1)求向量a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a . 练1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )． 向量的模的问题 【例2】 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2 . 求|a ＋b |的最大值． 练2 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A.5 B.10 C ．5 D ．25 向量的垂直问题 【例3】 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ； (2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度．
2021年新教材高中数学必修第二册：6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的向量积 教学设计
2021年新教材高中数学必修第二册：6.2.4 向量的数量积第2课时向量的向量积 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及 其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数 量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。 向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。 A.掌握数量积的运算律； B.利用数量积的运算律进行化简、求值； 1.教学重点：数量积的运算律； 2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。多媒体
一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律 【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有： （1） a a )()(λμμλ= （2）a a a μλμλ +=+)( （3）b a b a λλλ+=+)( 2.平面向量的数量积定义： θcos ||||b a b a =? 平面向量的数量积的结果是数量。 二、探索新知 1.平面向量数量积的运算律 探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ 平面向量数量积的运算律
证明：（ 1 ）因为θcos ||||b a b a =?，θcos ||||a b a b =? 所以，a b b a ?=?。 （2）当的夹角与的夹角、 与时，b a b a λλ0>一样。 因为)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ?===?λθλθλλ， )(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ?===?λθλθλλ 同理，当)()()(0b a b a b a λλλλ?=?=?<时，成立。 所以，)()()(b a b a b a λλλ?=?=?。 （3） 通过思考，总结
高中数学(向量的数量积)教案4 苏教版必修4 教案
第 10 课时：§2.4 向量的数量积（二） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题. 2. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 二、过程与方法 1.通过师生互动，学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力； 2.通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力； 3.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。 三、情感、态度与价值观 1.让学生进一步领悟数形结合的思想； 理解向量的数量积，进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神. 【教学重点与难点】： 重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用 难点：平面向量的数量积运算律的理解 【学法与教学用具】： 1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 【复习提问】： 1.（1）两个非零向量夹角的概念；
（2）平面向量数量积（内积）的定义； （3）“投影”的概念； （4）向量数量积的几何意义； （5）两个向量的数量积的性质。 2．判断下列各题正确与否： ①若0a =，则对任一向量b ，有0a b ⋅=； ( √ ) ②若0a ≠，则对任一非零向量b ，有0a b ⋅≠； ( × ) ③若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =； ( × ) ④若0a b ⋅=，则,a b 至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ⋅=⋅，则b c =当且仅当0a ≠时成立； ( × ) ⑥对任意向量a ，有2 2||a a =． ( √ ) 二、研探新知 1.数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定） （1）交换律：a b b a ⋅=⋅ 证明：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅，∴a b b a ⋅=⋅． （2）数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ 证明：若0=λ，此式显然成立. 若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ 若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=． ∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教、学案)
2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、教材分析 本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数 量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。 二．教学目标 1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。 2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。 3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、 三、教学重点难点 重点：平面向量数量积的坐标表示. 难点：向量数量积的坐标表示的应用. 四、学情分析 此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用 长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工 具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节 内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取 以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实 际。我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积 的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的 模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。 五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。 六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
20170625第二章 平面向量复习学案
第二章 平面向量复习学案20170625 【本章整合】 【要点梳理】 一、向量的概念 1．向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量． 2．有向线段：带有方向的线段叫做有向线段． 3．向量的长度（模）：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ． 4．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的． 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 5．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．若向量a 、b 是两个平行向量，那么通常记作a ∥b ．平行向量也叫做共线向量．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a ，都有0∥a ． 6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量a 、b 是两个相等向量，那么通常记作a =b ． 【例1】若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式： ①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b ．其中正确的是（ ）． A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 【例2】如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是（ ） A ．|A B →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线 C ．B D →＝EH → D ．DC →与EC → 共线
【例3】如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是（ ）． A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个（不含AB → 本身） B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个（不含AB → 本身） C ．BD →的长度恰为DA → 长度的3倍 D ．CB →与DA → 不共线 二、向量的加、减法 1．已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b AB BC AC =+= ． 向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法．这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则． 2．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a +0=0+a =a 3．公式及运算定律： ①12231++...+n A A A A A A =0 ②|a +b |≤|a |+|b | ③a +b =b +a ④（a +b ）+c = a +（b +c ） 4．相反向量： ①我们规定，与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a ．a 和－a 互为相反向量． ②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量． ③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋（－a ）=（－a ）＋a =0． ④如果a 、b 是互为相反的向量，那么a =－b ，b =－a ，a ＋b =0． ⑤我们定义a －b = a ＋（－b ），即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【例4】向量（AB →＋MB →）＋（BO →＋BC →）＋OM → 等于（ ）． A ．BC → B ．AB → C ．AC → D ．AM → 【例5】△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是（ ）． A ．AE →＝AD →＋F A → B ．DE →＋AF →＝0 C ．AB →＋BC →＋CA →≠0 D ．AB →＋BC →＋AC →≠0
高中数学：第二章 平行向量242 Word版含答案
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直． 知识点一平面向量数量积的坐标表示 设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量． 思考1i·i，j·j，i·j分别是多少？ ★答案★i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0. 思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b. ★答案★∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2. 思考3若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？ ★答案★a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 梳理设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 思考1若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示． ★答案★∵a＝x i＋y j，x，y∈R， ∴a2＝(x i＋y j)2＝(x i)2＋2xy i·j＋(y j)2 ＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2. 又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0， ∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2， ∴|a|＝x2＋y2.
2.4.2 平面向量数量积的坐标、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标、模、夹角 ●温故知新 1.在坐标平面内建立标准基底{},i j ，对于平面内的任一向量a ，有且只有_____实数x 、y ，使 得x y =+a i j ，则有序实数对______叫做向量a 的坐标，记作________. 2.点()11,A x y ，()22,B x y ，则AB =__________. 3.()11,x y =a ，()22,x y =b ，则+=a b __________，-=a b __________，λ=a _________. 向量a ，()≠0b b 共线λ?=?a b _________. 4.向量的_____、_____及_____运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果是一个_____. 5.向量a ，b 的夹角,a b 的取值范围是________. 6.向量a 在向量b 方向上的投影为________，向量b 在向量a 方向上的投影为________. 向量的投影是一个_______. 7.设向量a ，b 的夹角为θ，则数量积?=a b __________，数量积的结果是一个_______. 特别地，（1）当⊥a b 时，?=a b _____； （2）2?==a a a _____. 数量积的几何意义是：?a b 等于a 的长度____与b 在a 方向上的投影_______的乘积. 或等于b 的长度____与a 在b 方向上的投影_______的乘积. 8. 平面向量的表示方法有________、________、________. ●教材新知 1.若()11,x y =a ，()22,x y =b ，则?=a b __________. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的________. 特别地，⊥?a b __________. 2.向量模的计算公式 （1）若(),x y =a ，则=a _________. （2）如果向量a 的起点坐标和终点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，那么=a ____________. 3.若()11,x y =a ，()22,x y =b ，a 、b 的夹角为θ，则cos θ=__________. 4.填写下表 设() ,x y =a ，,x y =b ： （1）已知()3,4=-a ，()5,2=b ，则?=a b ______. （2）已知()3,4=a ，()5,12=b ，则a 与b 夹角的余弦值为______. （3）已知点()2,0M a ，()20,1N a -，则MN =_________. （4）在ABC ?中，90C ∠=?，(),1AB k =，()2,3AC =，则k 的值为______. （5）已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则ABC ?的形状为_________.
高中数学：第二章 平面向量章末复习 Word版含答案
章末复习 学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征. 2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质. 3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法. 4.进一步理解向量的“工具”性作用．
1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
2．两个定理 (1)平面向量基本定理 ①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)向量共线定理 向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3．向量的平行与垂直 a ， b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 1．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) 提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底． 2．若向量AB →和向量CD → 共线，则A ，B ，C ，D 四点在同一直线上．( × ) 提示 也可能AB ∥CD . 3．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( × ) 4．若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 提示 当a ，b 同向共线时，a·b >0，但a 和b 的夹角为0.当a ，b 反向共线时，a·b <0，但a 和b 的夹角为π.
类型一 向量的线性运算 例1 若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC → ，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.12 5 C.85 D.45 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 ★答案★ C 解析 因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC → ， 所以CD →＝45CB →＝45 (AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量数量积（内积）的定义： 2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0 3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别的a ?a = |a |2 或a a a ?= || 4?cos θ = | |||b a b a ? ； 5?|a ? b | ≤ |a ||b | 3．练习： （1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５° （2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为 3 π ，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 二、讲解新课： 探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ?？. 1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ?2121y y x x += 2. 平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a =，则2 2 2 ||y x a +=或22||y x a += .
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 1．向量内积的坐标运算 已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是： (1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0. 【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝4 3，则x 等于( ) A ．3 B ．13 C ．－1 3 D ．－3 解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－1 3. 答案：C 2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝ k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1. 【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.
解析：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝15 2. 答案： 152 3．向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 2 1＋a 2 2，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根． (2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB → |＝ x 2－x 1 2 ＋y 2－y 1 2 . (3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2 a 21＋a 22 b 21＋b 2 2 . 你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？ 答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2 (m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ m m 2＋n 2，n m 2＋n 2. 【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断 解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA → ＝(3，－3)， 得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2 ＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2 ， 即AB 2 ＋AC 2 ＝BC 2 ，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B 【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π 4，则x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－4 D ．4 解析：cos π4＝3x ＋2 10×x 2 ＋4， 解得x ＝1. 答案：A 【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________. 解析：由|a |2 ＝9＋x 2 ＝25，解得x ＝±4.
有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全
有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。接下来是小编为大家整理的有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全，希望大家喜欢! 有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全一 教学目标： (i)知识目标： (1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用. (ii)能力目标： (1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算. 教学重点： 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义. 2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 教学难点：平面向量数量积的综合应用. 教学过程： 一、知识梳理 1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量| || |cos(叫与的数量积，记作 ( ，即 ( = | || |cos(，并规定与任何向量的数量积为0 2.平面向量的数量积的几何意义：数量积 ( 等于的长度与在方向上投影| |cos(的乘积. 3.两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 0 3(当与同向时， ( = | || |;当与反向时， ( = (| || | ，特别地 ( = |
|2 4(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || | 4.平面向量数量积的运算律 ① 交换律：( = ( ② 数乘结合律：( )( = ( ( ) = (( ) ③ 分配律：( + )( = ( + ( 5.平面向量数量积的坐标表示 ①已知两个向量，，则 . ②设，则 . ③平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、，那么 . ④向量垂直的判定两个非零向量，，则 . ⑤两向量夹角的余弦 cos( = ( ). 二、典型例题 1. 平面向量数量积的运算 例题1 已知下列命题： ① ; ② ; ③ ; ④ 其中正确命题序号是②、④ . 点评：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律. 例题2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为，分别求 . 解(1)当时， = 或 = . (2)当时， = . (3)当的夹角为时， = . 变式训练：已知，求 解： = 点评：熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整. 2.夹角问题 例题3 若，且，则向量与向量的夹角为 ( )
高中数学 平面向量数量积的坐标表示(知识讲解与典型例题)苏教版必修4
平面向量数量积的坐标表示（知识讲解与典型例题）本周重点：平面向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的充要条件。 本周难点：利用向量的数量积解决具体问题。 本周内容： 上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。 我们给出两个非零向量（用坐标给出），我们知道坐标是与从原点出发的向量一一对应。如图不妨设： 则有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的单位向量为， 则有， ∵是互相垂直的单位向量， ∴，， 则 也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即 ， 若 则， ∵， ∴∴， 上图中A(x1,y1),B(x2,y2),
则 则。 这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。 上图中若设∠AOB=α，则， 即 。 由此可得到两个向量的夹角。特别地，当α=90°时，cosα=0，即x1x2+y1y2=0。 由此知：垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。 这个充要条件在今后解决问题中十分重要。 下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。 例1．已知：。 （1）求：； （2）求：； （3）求：， （4）求： 解：（1） 由此可见证。（严格证明需要把的坐标一般化，但方法是一样的。） （2）
（3） 。 由此可证： （4） 由此可验证：向量的数量积不满足结合律，即不一定相等。 例2．试判断满足下列条件的三角形的形状。 （1）ΔABC中，A（1，-2），B（-3，-1），C（5，-1） （2）ΔABC中，A（1，2），B（2，3），C（-2，5） （3）ΔABC中，A（0，3），B（4，0），C（7，4） 解：（1） 由此可知ΔABC为等腰三角形。 （2） 或：， ∴ΔABC为直角三角形。 （3）
苏教版必修四第二章第四节向量的数量积导学案
苏教版必修四第二章第四节向量的数目积导教案 向量的数目积（1） 班级姓名 一、学习目标： 1. 从实例理解平面向量数目积的观点； 2. 经过例题熟习平面向量数目积计算. 二．要点与难点：数目积的观点与数目积的运算 三．学习过程 问题：前面我们学习了向量的加法，减法和数乘三种运算，那么向量与向量之间可否相乘 呢？经过力对物体做功引入向量与向量相乘。 四．建立数学 1.向量的数目积 2. 当0 时，a与b ；当180 时，a与b ；当90 时，a与b. 3. 当 a 与b同向时，a b = ；当 a 与b反向时，a b = ； 特别地， a a = ； | a |. 4. 运算律（ 1）a b = （2）(a) b = （ 3）(a b) c = 五、例题剖析 例 1. 已知向量a与向量b的夹角为， | a | 2,| b | 3 .分别在以下条件下，求 a b ：（ 1）135 ；（2）a/ /b；（ 3）a b. 例 2．已知|a|2,| b | 3 ，a与b的夹角为 120 ，求①a b② | a b |③|a b |的值.
五、稳固练习 1. 已知 a, b, c 是三个非零向量，试判断以下结论正确的选项是. ⑴若 a b a b ；⑵若a c b c ，则a b；⑶若 a b a b ，则 a b 2. 在四边形 ABCD 中，AB·BC 0，且 AB DC ,则四边形ABCD 是. 3. 已知 a2 1, b2 2, (a b) a 0 ，则a与b的夹角为. 4. 已知 | a | 3, | b | 4, (a k b) (a k b) ，那么实数k的值为. 5. 设向量 a 和 b 的长分别为 6 和 5，夹角为 120°，求a b与|a b |的值. 6.已知 a4, b 6 ，a与b的夹角为 60 , 求：⑴a b；⑵a(a b)；⑶ (2a b) (a3b) .
高中数学 第二章 平面向量 第四节 平面向量的数量积(第二课时)示范教案 新人教A版必修4-新人教A
第二章第四节平面向量的数量积第二课时 整体设计 教学内容分析 以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律． 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》(A版)第二章、第4节第1课时．它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具． 本节的知识结构： 学生学习情况分析 本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用．但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然．通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容．利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆．利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点．由向量的线性运算迁移，引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望． 设计思想 《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式〞，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求．《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标．为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题、研究问题，并解决问题．重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观．
高中数学必修4第二章 平面向量
第二章平面向量的目录 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念（两课时）（新授课）§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义（新授课） §2.2.2 向量的减法运算及其几何意义（新授课） §2.2.3 向量数乘运算及其几何意义（新授课） §2.3.1 平面向量基本定理（新授课） §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算（新授课）§2.3.4 平面向量共线的坐标表示（新授课） §2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义（新授课）§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（新授课）§2.5.1 平面向量应用举例(新授课) §2.5.2 向量在物理中的应用（新授课） 第二章平面向量小结（复习课） 第二章平面向量基础练习（一） 第二章平面向量基础练习（一）参考答案 第二章平面向量基础练习（二） 第二章平面向量基础练习（二）参考答案 第二章平面向量基础练习（三） 第二章平面向量基础练习（三）参考答案 第二章平面向量单元测试题（一） 第二章平面向量单元测试题（一）答案 第二章平面向量单元测试题（二） 第二章平面向量单元测试题（一）答案 第二章平面向量 一、课程目标： 向量是近代数学中的重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义。能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。 二、学习目标： 1、通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。 2、通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 3、通过实例，掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。 4、了解向量的线性运算性质及其几何意义。 5、了解平面向量的基本定理及其意义。 6、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 7、会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 8、理解用坐标表示平面向量共线的条件。 9、通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及物理意义。 10、体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 11、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 12、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关
高中数学必修二 6 3 5 平面向量数量积的坐标表示学案
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 【学习目标】 一．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导． 二．与向量的模、夹角相关的三个重要公式 1.向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝. 2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB →|＝. 3.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b|＝. 注意：由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π. 【小试牛刀】 思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．() (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.() (3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．() (4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．() (5)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．()
【经典例题】 题型一 数量积的坐标运算 点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． 例1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，求a ·b ，(a ＋b )·(2a －b )． 【跟踪训练】1已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 题型二 平面向量的模 点拨：求向量的模的两种方法： 1.字母表示下的运算，利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝ x 2＋y 2. 例2 已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．25 C ．8 D ．82 【跟踪训练】2 已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________． 题型三 平面向量的夹角和垂直问题 点拨：解决向量夹角问题的方法 1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a |，|b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |，求出cos θ，也可由cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21 x 22＋y 2 2 直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π. 2.由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b |a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-2平面向量数量积的坐标表示模夹角自我检测新人教A版必修4
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 自我小测 1．(2011辽宁高考，文3)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( )． A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 2．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( )． A.π6 B.π4C.π3 D.π2 3．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若向量b ⊥(a ＋λb )，则实数λ的值是( )． A ．3 B ．－3 C. 32 D ．32- 4．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为__________． 6．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a －b 与a －3b 垂直． 7．已知向量(2,0)OB =，(2,2)OC =，(2)CA θθ=， 若α为OA 与OB 的夹角，求α的取值范围． 8平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OP =，点X 为直线OP 上的一个动点． (1)当XA XB ⋅取最小值时，求OX 的坐标； (2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求 cos ∠AXB 的值． 参考答案 1答案：D 解析：∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，
∴a ·(2a －b )＝(2,1)·(5,2－k ) ＝10＋2－k ＝12－k . 又∵a ·(2a －b )＝0， ∴12－k ＝0. ∴k ＝12. 2答案：C 解析：设向量a 与向量b 的夹角为θ(0≤θ≤π)．由条件得a ·b －a 2＝2， 所以a ·b ＝2＋a 2＝3＝|a ||b | cos θ＝1×6×cos θ， 所以1cos 2 θ=， 又因为0≤θ≤π， 所以π3 θ=. 3答案：B 解析：b ·(a ＋λb )＝b ·a ＋λb ·b ＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3. 4答案：A 解析：∵(1,1)AB =，(3,3)AC =-， ∴1(3)130AB AC ⋅=⨯-+⨯=， ∴AB AC ⊥， ∴A ＝90°，故选A. 5答案：5 解析：a 在b 方向上的投影为： ⋅===a b b . 6解：k a －b ＝(k ＋3,2k －2)，a －3b ＝(10，－4)， ∵k a －b 与a －3b 垂直， ∴10(k ＋3)－4(2k －2)＝0， ∴k ＝－19，即k ＝－19时k a －b 与a －3b 垂直．
高一数学优质课比赛 平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示 一、本教学设计主要思考的几个问题： 1、教材的地位和作用是什么？ 2、学生在学习中会遇到什么困难？ 3、如何根据新课程理念，设计教学过程？ 4、如何结合教学内容，指导学生学法、发挥评价作用、发展 学生能力？ 二、教材分析： 1、向量是近代数学中最重要的概念之一； 2、向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套 优良的运算系统使它成为“重要工具”和“桥梁”； 3、数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带 来了方便； 4、有助于理解和掌握数形结合的思想方法； 5、为学习物理等其他学科解决实际问题作准备； 三、教学目标分析： ⒈知识目标：(1)掌握数量积和模的坐标； (2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式． ⒉能力目标：(1)领悟数形结合的思想方法； (2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题 的能力．
⒊情感目标：体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化． 四、教学的重点、难点分析： 重点：数量积坐标表示的推理过程． 难点：公式的建立与应用． 五、学生分析： 知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定 义性质运算等； 方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程； 思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维； 能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱. 六、教学方法和教学手段分析： 1、建构主义学习理论认为：学生的认知结构是通过同化和顺 化而不断发展，学习不是对教师所授予的知识被动接受，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。学生真正获得知识的消化，是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构，使其成为整个认知结构的有机组成部分，所以在教学中，以向量为载体，按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。同时采用电脑课件的教学手段，加强直观性 认 知 主体