版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量内积的坐标运算已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0.【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13 D ．－3解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－13.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.解析：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.答案：1523．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2(m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋n 2，n m 2＋n 2.【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA →＝(3，－3)， 得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－4D ．4 解析：cos π4＝3x ＋210×x 2＋4， 解得x ＝1. 答案：A【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________. 解析：由|a |2＝9＋x 2＝25，解得x ＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”不恒成立 剖析：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2, b·c ＝x 3x 2＋y 3y 2.∴(a·b )·c ＝(x 1x 2＋y 1y 2)(x 3，y 3)＝(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)，a·(b·c )＝(x 1，y 1)(x 3x 2＋y 3y 2)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)．假设(a·b )·c ＝a·(b·c )成立，则有(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)， ∴x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3＝x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3＝x 2x 3 y 1＋y 1y 2y 3.∴y 1y 2x 3＝x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＝x 2x 3 y 1. ∴y 2(y 1x 3－x 1y 3)＝0，x 2(x 1y 3－x 3y 1)＝0. ∵ b 是任意向量， ∴x 2和y 2是任意实数． ∴y 1x 3－x 1y 3＝0. ∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即a ，c 不一定共线相矛盾． ∴假设不成立．∴(a·b )·c ＝a·(b·c )不恒成立． 3．教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy 中，任作一单位向量OA →旋转90°到向量OB →的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A (cos α，sin α)，B (cosβ，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则△BNO ≌△OMA ． ∴|OM →|＝|NB →|，|ON →|＝|MA →|.当点A 在第一象限时，点B 在第二象限， ∴|ON →|＝－cos β，|NB →|＝sin β， |OM →|＝cos α，|MA →|＝sin α，从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α， sin β＝sin(α＋90°)＝cos α， 即cos(α＋90°)＝－sin α， sin(α＋90°)＝cos α.题型一 向量数量积的坐标运算【例题1】已知a ＝(－6,2)，b ＝(－2,4)，求a ·b ，|a |，|b |，〈a ，b 〉． 分析：直接套用基本公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22即可．解：a ·b ＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20. |a |＝a ·a ＝－6，2×－6，2＝36＋4＝210， |b |＝－22＋42＝20＝2 5.∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝20210×25＝22，且〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， (1)求a －2b 的坐标表示和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |. 解：(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58. (2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1，∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，∴|c |＝12＋62＝37. 题型二 平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系． 解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.因此，△ABC 有一个角为直角时，k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3±132.反思(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用 【例题3】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)若四边形ABCD 为矩形， 则AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2),∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →| |BD →|＝1625×25＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a ，b ，c ，d ∈R ，恒有不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 分析：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，用m ·n ≤|m |·|n |即可，要注意等号成立的条件． 证明：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，两向量夹角为θ，则m ·n ＝|m ||n |cos θ，∴ac ＋bd ＝a 2＋b 2·c 2＋d 2·cos θ，∴(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 当且仅当m 与n 共线时等号成立． ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)得证．反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五 易错辨析【例题5】设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ·b ＜0， 即－2λ－1＜0，解得λ＞－12.故选C ．错因分析：a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．正解：a ·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，所以λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选A ．1．设m ，n 是两个非零向量，且m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下等式中，与m ⊥n 等价的个数为( )①m ·n ＝0；②x 1x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②中的等式显然与m ⊥n 等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m ·n ＝0，因此也是与m ⊥n 等价的，故选D ．答案：D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(－2，－3)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )A ．－1313 B ．1313C ．0D ．1 答案：B3．(2012·广东广州测试)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(n,1)，其中n ≠±1，则下列结论正确的是( )A ．(a －b )∥(a ＋b )B ．(a ＋b )∥bC ．(a －b )⊥(a ＋b )D ．(a ＋b )⊥b解析：∵a －b ＝(1－n ，n －1)，a ＋b ＝(1＋n ，n ＋1)， ∴(a －b )·(a ＋b )＝0， ∴(a －b )⊥(a ＋b )． 答案：C4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝b －k a ，若c ⊥a ，则c ＝__________.解析：根据a 和b 的坐标，求c 的坐标，再利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－155．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确的命题的序号是__________．答案：①②③6．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数，证明：使|x |最小的向量x 垂直于向量b .证明：因为|x |2＝x ·x ＝|a |2＋λ2|b |2＋2λa ·b ， 所以x 2＝25λ2＋14λ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5λ＋752＋125.当5λ＋75＝0，即λ＝－725时，|x |最小．此时x ＝a －725b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325. 又425×3－325×4＝0，所以向量x 与b 垂直．。
数学苏教版必修4学案：第2章 2.4 第二课时 平面向量数量积的坐标运算
第二课时平面向量数量积的坐标运算预习课本P86～88，思考并完成下列问题1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模？3．如何用坐标来求两向量的夹角？4．两向量垂直时的坐标公式是什么？[新知初探]1．平面向量数量积的坐标表示若两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．与向量的模、夹角相关的公式 (1)向量的模若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. (2)向量的夹角设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(3)两向量垂直的条件两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.反之，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b .[点睛] 两个向量垂直的等价条件是它们的相应坐标乘积的和为0.公式x 1x 2＋y 1y 2＝0是判定两个非零向量垂直的非常有用的条件．[小试身手]1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝________. ★答案★：12．已知点A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则AB ·AC 等于________． ★答案★：03．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)，则a 与b 的夹角为________． ★答案★：3π44．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0), |b |＝1，则|a ＋2b |＝_______. ★答案★：2 3平面向量数量积的坐标运算[典例] (1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求(2a －b )·(a ＋3b )； (2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，求 (a －b )·(2a ＋3b )．[解] (1) (2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |cos 120°－3|b |2＝8－15－27＝－34.(2)法一：因为a ＝(1,2)，b ＝(3,4)， 所以a ·b ＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， 所以(a －b )·(2a ＋3b )＝2a 2＋a ·b －3b 2 ＝2|a |2＋a ·b －3|b |2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.法二：因为a＝(1,2)，b＝(3,4)，所以a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)，所以(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.数量积坐标运算的两种方法(1)先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，求a·b和a·(a－b)．(2)若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝4，求x的值．解：(1)a·b＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(2)∵a·b＝(2，－3)·(x,2x)＝2x－6x＝4，∴x＝－1.平面向量的夹角1．已知A(16,12)、B(－5,15)，O为坐标原点，求∠OAB的大小．解：由已知得到：AO＝－OA＝－(16,12)＝(－16，－12)，AB＝OB－OA＝(－5,15)－(16,12)＝(－21,3)，∴|AO|＝(－16)2＋(－12)2＝20，|AB|＝(－21)2＋32＝152，AO·AB＝(－16，－12)·(－21,3)＝(－16)×(－21)＋(－12)×3＝300，cos ∠OAB＝AO·AB|AO||AB|＝30020×152＝22，∵0°≤∠OAB≤180°，∴∠OAB＝45°.题点二：向量垂直的应用2．已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t 的最小值．解：因为a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，所以|a |＝(3)2＋(－1)2＝2， |b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. 又因为a ·b ＝3×12＋(－1)×32＝0，所以a ⊥b .由x ⊥y 得[a ＋(t 2－3)b ]·(－ka ＋tb )＝0， 即－ka 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －kt 2＋3k )a ·b ＝0， 所以－k |a |2＋(t 3－3t )|b |2＝0. 将|a |＝2，|b |＝1代入上式， 得－4k ＋t 3－3t ＝0， 解得k ＝t 3－3t4.所以k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 取得最小值，为－74.题点三：由角的范围求参数范围3．已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(t,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________．解析：因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，所以t ＞－12.若a ∥b ，可设a ＝λb ，则(－2，－1)＝λ(t,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λt ，－1＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，t ＝2.此时a ＝－b ，a 与b 反向，所成角为180°，故t ＝2不合题意．所以t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． ★答案★：⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)向量垂直的坐标表示[典例] －π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)若(a ＋b )⊥(a －b )，求θ. [解] (1)因为a ·b ＝0， 所以sin θ＋cos θ＝0. 即tan θ＝－1.又－π2<θ<π2，所以θ＝－π4.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝0， 所以a 2－b 2＝0.即a 2＝b 2，从而1＋sin 2θ＝1＋cos 2θ， 所以sin θ＝±cos θ，从而tan θ＝±1. 又－π2<θ<π2，所以θ＝π4或θ＝－π4.(1)向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法．(2)已知向量垂直求参数问题，由向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可． 1．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)， 故|a |＝ 2. ★答案★： 22．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD . (1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.解：(1)证明：AB ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．∵AB ·AC ＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0， ∴AB ⊥AC .(2)设D 点的坐标为(x ，y )，则AD ＝(x －2，y －4)，BC ＝(5,5)，∵AD ⊥BC ，∴AD ·BC ＝5(x －2)＋5(y －4)＝0.① 又BD ＝(x ＋1，y ＋2)， 而BD 与BC 共线， ∴5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0.② 联立①②，解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52，∴AD ＝⎝⎛⎭⎫72－2，52－4＝⎝⎛⎭⎫32，－32. (3)cos θ＝BA ·BC | BA ||BC |＝3×5＋6×532＋62·52＋52＝31010.层级一 学业水平达标1．已知a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.解析：因为a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1)，所以b ＝2a －(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)．所以a ·b ＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5.★答案★：52．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x ), a ·b ＝－1, 则实数x 的值是______________． 解析：因为向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x ), a ·b ＝－1，则a ·b ＝(x,1)·(4，x )＝4x ＋x ＝－1，解得x ＝－15.★答案★：－153. 已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x ＝________. 解析：由3x ＋1×(－3)＝0得x ＝1.★答案★：14．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：原式＝(2,3)·(－3,6)＝－6＋18＝12. ★答案★：125．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：因为(a ＋λb )⊥a ，所以(a ＋λb )·a ＝0，即a 2＋λa ·b ＝0，所以5－λ＝0，解得λ＝5. ★答案★：56．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，︱a ＋b ︱＝52，则︱b ︱＝________. 解析：由|a ＋b |＝52，知(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝50.故|b |＝5. ★答案★：57．定义一种新运算a ※b ＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角，已知a ＝(－3，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，0，则a ※b ＝________.解析：因为cos θ＝a ·b|a |·|b |＝(－3，1)×⎝⎛⎭⎫12，0(－3)2＋12·⎝⎛⎭⎫122＋02＝－322×12＝－32，又因为0°≤θ≤180°， 所以θ＝150°，所以a ※b ＝|a |·|b |sin θ＝2×12·sin 150°＝12.★答案★：128．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上存在一点P 使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是______．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1.所以点P 坐标为(3,0)．★答案★：(3,0)9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解：(1)因为a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，所以cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22， 所以3n 2－16n －12＝0(n >1)． 所以n ＝6或n ＝－23(舍去)，所以b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又因为c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)． 因为 (c －a )·a ＝0，所以λb·a －|a |2＝0， 所以λ＝|a |2b·a ＝510＝12.所以c ＝12b ＝(－1,3)．10．已知a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋tb 与b 的夹角为45°，求实数t 的值． 解：由已知a ＋tb ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(2t ＋4，t －3)． 所以(a ＋tb )·b ＝2(2t ＋4)＋(t －3)＝5t ＋5. |a ＋tb |＝(2t ＋4)2＋(t －3)2＝5t 2＋10t ＋25， 又|b |＝22＋12＝ 5.因为(a ＋tb )·b ＝|a ＋tb ||b |cos 45°， 所以5t ＋5＝5t 2＋10t ＋25×5×22. 即2(t ＋1)＝t 2＋2t ＋5. 两边平方整理，得t 2＋2t －3＝0. 解得t ＝1或t ＝－3.经检验t ＝－3是增根，舍去，故t ＝1.层级二 应试能力达标1．已知a ＝(4,2)，与a 垂直的单位向量b ＝________.解析：设b ＝(x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，4x ＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝－255 或⎩⎨⎧x ＝－55，y ＝255.★答案★：⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，255 2．已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，c ＝(5,6)，那么(a ·b )·c ＝________，a ·(b ·c )＝________. 解析：因为a ·b ＝(2,3)·(－1,4)＝－2＋12＝10, 所以(a ·b )·c ＝10(5,6)＝(50,60). 因为b ·c ＝(－1,4)·(5,6)＝－5＋24＝19, 所以a ·(b ·c )＝(2,3)·19＝(38,57)．★答案★：(50,60) (38,57)3．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于_____．解析：a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. ★答案★：524．若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1、e 2的夹角为________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即(e 1－2e 2)·(5e 1＋4e 2)＝0，所以5e 21－6e 1·e 2－8e 22＝0，设e 1、e 2的夹角为θ，所以 5－6cos θ－8＝0，即cos θ＝－12.因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝23π.★答案★：23π5．已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．解析：由题意可设AB ＝λa (λ＞0)，所以AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，所以(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)．所以AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，所以B (5,4)．★答案★：(5,4)6．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则||c 的最大值为________．解析：因为(2a －c )·(3b －c )＝0，所以6a ·b ＋c 2－(2a ＋3b )·c ＝0.又因为a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，所以a ·b ＝0，所以||c 2＝||2a ＋3b ·||c ·cos θ(θ为2a ＋3b 与c 夹角)，所以||c ＝||2a ＋3b ·cosθ≤||2a ＋3b ＝(－1)2＋52＝26.★答案★：267．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角； (3)a 与b 的夹角为锐角．解：设a 与b 的夹角为θ，|a |＝12＋22＝5， |b |＝1＋λ2，a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角， 所以cos θ＜0且cos θ≠－1， 即a·b ＜0且a 与b 不反向． 由a·b ＜0得1＋2λ＜0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 即a·b ＞0且a ，b 不同向． 由a·b ＞0，得λ＞－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (1)若AB ⊥a 且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)由题设知AB ＝(n －8，t )， 因为AB ⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0. 又5|OA |＝|AB |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8， 所以OB ＝(24,8)或OB ＝(－8，－8)． (2)由题设知AC ＝(k sin θ－8，t )， 因为AC 与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k. 因为k ＞4，所以0<4k<1. 所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k. 由32k＝4，得k ＝8， 此时θ＝π6，OC ＝(4,8)． 所以OA ·OC ＝(8,0)·(4,8)＝32.。
高中数学 第二章 平面向量本章复习教案 苏教版必修4(2021年最新整理)
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第二章平面向量本章复习错误!知识网络教学分析向量的重要性可与函数相比,函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段;而向量可作为一种重要的解题方法,渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算,并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系;向量又有加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法-—向量法．向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．将一个实际问题转化为向量之间的关系问题,用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比．向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具,数形结合地解决数学和物理的有关问题．同时,向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的,平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思,重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法,提升学生的数学思维水平．三维目标1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识．提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化．培养学生的数学应用意识．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．通过一题多解的活动,培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美,逐渐学会用美的心态来看待数学．重点难点教学重点：向量的运算,向量平行、垂直的条件,平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用．教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.（直接导入）前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节,我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识,强化向量的综合应用．思路2.(问题导入）由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份,与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下,它是怎样具有代数、几何双重身份的?向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．推进新课错误!向量的概念、运算及其综合应用．活动：本章概念较多,学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材,学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识,而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：几何表示法为错误!，a(手写时为错误!),坐标表示法为a＝x i＋y j＝(x，y）．有哪些特殊的向量:a ＝0 ⇔|a|＝0。
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第9章 平面向量 第2课时 向量数量积的坐标表示
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 向量数量积的坐标表示
已知,,则.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.名师点睛公式（为非零向量,的夹角）与都是用来求两个向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.
题后反思对于向量的垂直问题，常用列方程来求解.
跟踪训练4已知向量，，，若，则__.
[解析]因为,,所以,又因为,,所以,解得.故答案为.
A
A.B.C.1D.2
[解析]设与的夹角为,则与的夹角为.由已知得,,,,解得.故选A.
角度2 向量的垂直
例4已知向量,.是否存在不等于0的实数和,使向量,,且？如果存在,试确定与的关系；如果不存在,请说明理由.
解 假设存在不等于0的实数和,使得成立,则,整理得,又,,,,即,存在非零实数和,使得成立,其关系为且.
知识点2. 两个公式、一个充要条件
（1）求向量的模的公式:设,则,即.（2）向量的夹角公式:设两个非零向量,,它们的夹角为,由向量数量积的定义,可得. （3）两个向量垂直的充要条件:设非零向量,,则.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】数量积的坐标运算
例1（1）已知,,则()
B
A.10B.C.3D.
跟踪训练1（1）[2023靖江月考]已知向量,,,则()
D
A.B.C.6D.12
[解析],由,得,所以,解得.
（2）[2023无锡期中]已知正方形的边长为2,点为的中点,点在上,,则__.
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.3.2 平面向量的坐标运算》1
平面向量的坐标表示教案【教学设计设想】1表达知识的发生、开展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示〞，学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化〞，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计，力图呈现平面向量坐标表示的发生、开展过程。
2将知识的数学形态转化为教学形态；教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富，承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。
3教学重心前移；对于本节课的知识，如果学生记住向量坐标表示的结论，学生也能解决一系列的问题，以往的教学，是将重心放在如何强化学生的解题训练上，注重解题的方法与技巧，在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。
4还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近开展区内〞设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考，与同伴交流的时间。
【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示〞，向量根本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑根底，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。
节平面向量的根本定理及坐标表示主要四局部内容1平面向量的根本定理，2平面向量的坐标表示，3平行向量的坐标运算，4平面向量共线的坐标表示。
本节教学的内容是本单元的第2节。
【目标与目标解析】知识与技能：1掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：〔1〕能写出给定向量的坐标；〔2〕给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：〔1〕知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；〔2〕向量的坐标等于终点减去起点坐标。
【教育专用】高中数学第二章平面向量2.3向量的坐标表示2.3.2平面向量的坐标运算教案苏教版必修4
2．3.2 平面向量的坐标运算整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA →＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所惟一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？推进新课新知探究1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则实数对(x ，y)叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y)．注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA →的坐标就等于点A 的坐标． (2)两个向量相等对应坐标相等． 2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． |AB →|＝2－x 12＋2－y 12，即平面内两点间的距离公式．(3)若a ＝(x ，y)，则λa ＝(λx ，λy)，λ∈R . 3．线段的中点坐标公式若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．应用示例思路1例1课本本节例1. 变式训练已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：D例2课本本节例2. 变式训练 1.如图1，已知的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D 的坐标．图1活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD →的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图1，设顶点D 的坐标为(x ，y)． ∵AB →＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y)， 由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y)．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法二：如图1，由向量加法的平行四边形法则可知BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋BC →＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而OD →＝OB →＋BD →＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， ∴顶点D 的坐标为(2,2)．点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．2.如图2，已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D 的坐标，图2使这四点构成平行四边形的四个顶点． 解：当为ABCD 时，仿例2得D 1＝(2,2)；当为ACDB 时，仿例2得D 2＝(4,6)； 当为DACB 时，仿例2得D 3＝(－6,0).例3课本本节例4.思路2例1设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ2－y －y 1＝λ2－⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ.这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：(1)如图3，由向量的线性运算可知图3OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．(2)如图4，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1PPP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12，那么 OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→图4＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1P PP 2＝2，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.例2已知点A(1,2)，B(4,5)，O 为坐标原点，OP →＝OA →＋tAB →.若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．解：由已知AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)， ∴OP →＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1<03t ＋2>0⇒－23<t<－13.故t 的取值范围是(－23，－13)．点评：此题通过向量的坐标运算将点P 的坐标用t 表示，由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组，这个不等式组的解集就是t 的取值范围．知能训练课本本节练习1～6.课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算． 2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好的基础．作业课本习题2.3 1～8.设计感想1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、关于点P 分有向线段所成的比的探讨(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P →＝λPP 2→的实数λ的值．例1已知点A(－2，－3)，点B(4,1)，延长AB 到P ，使|AP →|＝3|PB →|，求点P 的坐标． 解：因为P 点在AB 的延长线上，P 为AB →的外分点，所以AP →＝λPB →，λ<0. 又根据|AP →|＝3|PB →|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3)． (2)公式法：依据定比分点坐标公式．x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ，结合已知条件求解λ.例2已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点P(12，y)分P 1P 2→所成的比λ及y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧12＝3＋λ－1＋λ，y ＝2＋λ×31＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.例3如图5，已知三点A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，D 点内分AB →的比为1∶3，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标．图5分析：要求DE 中点的坐标，只要求得点D 、E 的坐标即可，又由于点E 在BC 上，△BDE 与△ABC 有公共顶点B ，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解．解：由已知有AD →＝13DB →，则得|DB →||AB →|＝34，又S △BDE S △ABC ＝12，则S △BDE ＝12|DB →||BE →|sin∠DBE， S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC，∴|DB →||BE →||AB →||BC →|＝12，即得|BE →||BC →|＝23. 又点E 在边BC 上，∴|BE →||EC →|＝2.∴点E 分BC →所成比λ＝2.由定比分点坐标公式有⎩⎪⎨⎪⎧x E ＝－4＋2×51＋2＝2，y E＝0＋－1＋2＝－2，即E(2，－2)， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝0＋13－1＋13＝－1，y D＝81＋13＝6，有D(－1,6)．记线段DE 的中点为M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋－2＝12，y ＝－2＋62＝2，即M(12，2)为所求．二、备用习题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1)2．已知A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x ，y)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标是( )A ．(－2,0)B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2)3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使AB →＝λBC →的实数λ的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．0 D ．24．已知A 、B 、C 三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－2B ．9C ．－9D ．135．若A(2,3)，B(x,4)，C(3，y)，且AB →＝2AC →，则x ＝________，y ＝________. 6．已知中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则CO →的坐标(O 为对角线的交点)为________．7．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ 8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试问：当λ为何值时，点P 在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P 在第三象限内？9．如图6所示，已知△AOB 中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．图610．已知四边形ABCD 是正方形，BE∥AC，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE.参考答案：1．B 2.B 3.D 4.C 5.4 72 6.(－12，－4)7．解：∵OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)， ∴AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)． ∵AB →∥BC →，∴存在实数λ，使得(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)． ∴k 2－9k －22＝0.解得k ＝11或k ＝－2. 8．解：∵AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)，∴AB →＋λAC →＝(3＋5λ，1＋7λ)．而AP →＝AB →＋λAC →(已知)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)． (1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λλ＝12；(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<04＋7λ<0⇒λ∈(－∞，－1)．9．解：∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝(0，54)，∴C(0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝(2，32)，∴D(2，32)．设M(x ，y)，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)．∵AM →∥AD →，∴存在实数λ，使得(x ，y －5)＝λ(2，－72)，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4，74)，∵CM →∥CB →，∴存在实数μ，使得(x ，y －54)＝μ(4，74)，即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为(127，2)．10．证明：建立如图7所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x ，y)，这里y>0，于是AC →＝(1,1)，BE →＝(x －1，y)．图7∵AC →∥BE →，∴存在实数λ，使得(1,1)＝λ(x －1，y)，即1×y－(x －1)×1＝0 ⇒y ＝x －1.①∵AC＝OC ＝CE(已知)，∴CE 2＝OC 2－1)2＋(y －1)2＝2.②由y>0，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32，y ＝1＋32，即E(3＋32，1＋32)． AE ＝OE ＝3＋322＋1＋322＝3＋1.设F(t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝(1＋32，－1＋32)．∵F，C ，E 三点共线，∴FC →∥CE →.∴存在实数μ，使得(1－t ，t)＝μ(1＋32，－1＋32)，即(1－t)×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－3.∴AF＝OF ＝1＋3.∴AF＝AE.第2课时导入新课向量的应用主要是解决平面几何问题，而几何中的平行问题占着重要的地位，向量的平行包含着几何中的平行情形，本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但仍然用的是几何方法来研究的．本节课通过坐标的方法来研究向量的平行问题，但涉及内容不是很深．推进新课新知探究若向量a 与非零向量b 为共线向量，则当且仅当存在惟一的一个实数λ，使得a ＝λb ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠a ，由a ＝λb ，(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，得x 1y 2－x 2y 1＝0.结论：a ∥b (b ≠0) ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 教师应向学生特别提醒感悟：1°消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0，∴x 2、y 2中至少有一个不为0.2°此条件不能写成y 1x 1＝y 2x 2(∵x 1，x 2有可能为0)．3°从而向量共线的条件有两种形式：a ∥b (b ≠0) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λb ，x 1y 2－x 2y 1＝0.由此我们得到：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0； 反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .证明：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，因为a ≠0，所以x 1、y 1不全为0. 不妨假设x 1≠0.(1)如果a ∥b ，则存在实数λ，使b ＝λa ，即(x 2，y 2)＝λ(x 1，y 1)＝(λx 1，λy 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝λx 1，y 2＝λy 1.①②因为x 1≠0，由①得λ＝x 2x 1.③将③代入②，得y 2＝x 2x 1y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)反之，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，因为x 1≠0，所以y 2＝x 2x 1y 1.(x 2，y 2)＝(x 2，x 2x 1y 1)＝x 2x 1(x 1，y 1)．令λ＝x 2x 1，则b ＝λa ，所以a ∥b .应用示例例1已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．解：k a －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)． 由向量平行的条件，可得3·(k－2)－(－1)·7＝0，所以k ＝－13.此时，k a －b ＝(－73，－1)＝－13(7,3)＝－13(a ＋3b )．因此，它们是反向的.例2已知点O ，A ，B ，C 的坐标分别为(0,0)，(3,4)，(－1,2)，(1,1)，是否存在常数t ，使得OA →＋tOB →＝OC →成立？解释你所得结论的几何意义．解：设存在常数t ，使得OA →＋tOB →＝OC →，则(3,4)＋t(－1,2)＝(1,1)，所以t(－1,2)＝(1,1)－(3,4)＝(－2，－3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝－2，2t ＝－3.此方程组无解，故不存在这样的常数t. 上述结论表明向量AC →与OB →不平行.知能训练课本本节练习1、2、3.课堂小结代数化研究向量平行问题是本节课的重点内容，向量的平行可以公式化地解决，这就是数学化思考问题的方法，我们通过本节课，不光要记住平行向量的坐标表示的方法，还要理解数学化处理问题的思想．设计感想本节课的主要内容是让学生探究向量平行的坐标表示及应用，实际上向量的应用主要是解决平面几何问题和物理问题的．在平面几何中平行问题占着重要的地位．本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但所用方法仍是向量的几何法．本节是通过坐标的方法来探究向量的平行问题，由于上节学生刚刚探究了向量的坐标表示及坐标运算，所以本节的教学活动完全可以放给学生自己探究完成，本教案的设计就是在教师的指导下，学生探究、应用．由于本节难度小，学生会轻松愉快地掌握好本节内容．备课资料备用习题1．若a ＝2i ＋3j ，b ＝4i ＋y j ，且a ∥b ，则y 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知A(1，－3)，B(8，12)，若A 、B 、C 三点共线，则C 点坐标可能是( )A ．(－9,1)B ．(9，－1)C ．(9,1)D ．(－9，－1)3．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n)共线且方向相同，则n ＝________. 4．已知O 点是ABCD 的对角线的交点，AD →＝(2,5)，AB →＝(－2,3)，则CD →坐标为________，DO →坐标为________，CO →坐标为________．5．△ABC 中，A(2，－1)，B(－3,2)，C(0，－4)，D 、E 、F 是BC 、AB 、AC 的中点，若EF 与AD 交于M 点，求DM →.6．已知四点A(5, 1), B(3, 4)，C(1, 3)，D(5, －3)，求证：四边形ABCD 是梯形． 7．若a ＝(－1，x)与b ＝(－x, 2)共线且方向相同，求x. 参考答案： 1．C 2.C3．2 n 2－4＝0，∴n＝±2.又a 与b 方向相同，∴n＝2. 4．(2，－3) (－2，－1) (0，－4) 5．解：由EF 为中位线，得EF 平分AD ，∴DM →＝12DA →＝12(DB →＋BA →)＝14CB →＋12BA →＝14(－3,6)＋12(5，－3)＝(74，0)．6．解：∵AB →＝(－2, 3)，DC →＝(－4, 6)，∴2AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|≠|DC →|. ∴四边形ABCD 是梯形．7．解：∵a ＝(－1，x)与b ＝(－x, 2)共线， ∴(－1)×2－x·(－x)＝0.∴x＝±2.∵a 与b 方向相同，∴x＝ 2.。
高中数学教案 必修4教案 第二章 平面向量 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。
2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。
3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。
高中数学：第二章 平行向量241(二) Word版含答案
2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝ba a·b＝b·a正确结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)错误分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c错误知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a1．向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)2．已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(×)3．λ(a·b)＝λa·b.(√)类型一向量数量积的运算性质例1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确结论的序号是________．考点平面向量数量积的运算性质和法则题点向量的运算性质与法则★答案★①③④解析根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确结论的序号是①③④.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．跟踪训练1对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是()A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b|C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝a2考点平面向量数量积的运算性质和法则题点向量的运算性质与法则★答案★D解析因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝a2，所以D正确．类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1 利用向量数量积处理垂直问题例2 已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直．考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数解 由已知得a·b ＝3×2×cos 60°＝3. 若c ⊥d ，则c·d ＝0，∴c ·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0， ∴m ＝2914，即当m ＝2914时，c 与d 垂直．反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ 2解析 由题意，将b·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2.命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3 已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， 则k 的取值范围为________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ (0,1)∪(1，＋∞)解析 ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k >0，∴k >0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k >0且k ≠1.反思与感悟 向量a ，b 的夹角为锐角，得到a·b >0；反之，a·b >0不能说明a ，b 的夹角为锐角，因为a ，b 夹角为0°时也有a·b >0.同理，向量a ，b 的夹角为钝角，得到a ·b <0；反之，a ·b <0不能说明a ，b 的夹角为钝角，因为a ，b 夹角为180°时也有a ·b <0.跟踪训练3 若向量e 1，e 2满足|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数解 设向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ<0，故(2t e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝2t e 21＋(－2t ＋1)e 1·e 2－e 22＝t －12<0，解得t <12. 又当θ＝π时，也有(2t e 1＋e 2)·(e 1－e 2)<0，但此时夹角不是钝角，设向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2反向，则2t e 1＋e 2＝k (e 1－e 2)(k <0)，又e 1与e 2不共线，从而⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝k ，1＝－k ，解得t ＝－12，即当t ＝－12时，向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为180°，故t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪t <12，且t ≠－12.1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 向量的运算性质与法则 ★答案★ C解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a ||b |·cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ，故选C. 2．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为( ) A ．2 B ．2 3 C ．6 D ．12考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 ★答案★ B解析 ∵|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a －4b |＝2 3.3．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94考点 平面向量数量积的应用题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a·b >0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 ★答案★ D解析 由AB →·BC →>0知，BA →·BC →<0，即角B 为钝角．5．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★3π4解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－11×2＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.1．数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等． 2．在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3．在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0⇏a ＝c .一、选择题1．已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a ·(b ·c )的化简结果是( )A ．0B ．aC ．bD ．c考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质和法则 ★答案★ B解析 b ·c ＝|b ||c |cos 45°＝1. ∴a ·(b ·c )＝a .2．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32 D ．1 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2 ＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.3．(2017·嘉峪关高一检测)已知向量a ，b 为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★ B解析 设a 与b 的夹角为θ. 因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ， 所以(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0， (b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0.所以a 2＝2a ·b ，b 2＝2a ·b ，所以a 2＝b 2， 所以|a |＝|b |，所以cos θ＝a·b |a||b|＝a·b |a|2＝a·b a 2＝a ·b 2a ·b ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.所以a ，b 夹角为π3.4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★ B解析 由AB →＝DC →知四边形ABCD 是平行四边形，由AC →·BD →＝0知AC ⊥BD ，即对角线垂直，所以四边形ABCD 是菱形．5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★ C解析 由题知，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2|a |2cos 〈a ，b 〉＋a 2＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]， ∴a ，b 的夹角为120°.6．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.37 B ．13 C ．6 D.127 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 ★答案★ D解析 ∵AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3， ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 120° ＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3. ∵AP →·BC →＝(AC →＋λAB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＝0，∴32－λ×22＋(λ－1)×(－3)＝0， 解得λ＝127，故选D.7．(2017·惠州高一检测)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 ★答案★ A解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0， 又因为AB →－AC →＝CB →， 所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， 即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形． 二、填空题8．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为 ________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 ★答案★ π3解析 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1， 所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ， 所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.9．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用★答案★233解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， (a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2， |a ＋2b |＝ a 2＋4a ·b ＋4b 2＝ a 2＋4b 2， |a －2b |＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝a 2＋4b 2，∴a 2－4b 2＝a 2＋4b 2·a 2＋4b 2·cos 120°， 化简得32a 2－2b 2＝0，∴|a ||b |＝233. 10．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★ 4解析 方法一 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . 又(a －b )·c ＝0， ∴(a －b )·(－a －b )＝0， 即a 2＝b 2.则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.方法二 如图，作AB →＝BD →＝a .BC →＝b ，则CA →＝c ， ∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ， 又∵a －b ＝BD →－BC →＝CD →， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.11．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为________．考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★2π3解析 由题意可知，|a ＋x b |2≥|a ＋b |2， 即a 2＋2a ·b ·x ＋b 2·x 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2， 设a 与b 的夹角为θ，则4＋4cos θ·x ＋x 2≥4＋4cos θ＋1， 即x 2＋4cos θ·x －1－4cos θ≥0，因为对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立， 所以Δ＝16cos 2θ＋4(1＋4cos θ)≤0， 即(2cos θ＋1)2≤0，所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3. 12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，则k 的取值范围为________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 ★答案★ {k |k <0或k >2} 解析 因为|k a ＋b ＋c |>1， 所以(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )>1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c >1. 因为a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝cos 120°＝－12，所以k 2－2k >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，k －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k －2<0，解得k <0或k >2，即k 的取值范围是{k |k <0或k >2}． 三、解答题13．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数解 设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ.根据题意，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.化简，得2t 2＋15t ＋7<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＋1>0，t ＋7<0或⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋1<0，t ＋7>0，解得－7<t <－12. 当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，由e 1与e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－14，t ＝－142. ∴实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. 四、探究与拓展14．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1B ．1 C. 2 D ．2考点 平面向量数量积的运算性质和法则题点 求向量的数量积的最值★答案★ B解析 由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1.15．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ.考点 平面向量数量积的应用题点 利用数量积求向量的夹角解 假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)，∴|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0，∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，Δ＝16|b |2cos 2θ－4|b |2≥0， 解得cos θ∈⎣⎡⎦⎤12，1.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3.。
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第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
努力实现教学创新，改革教学和学习方式，提高课堂教学效益，促进学校的内涵性发展。
同时，以新课程理念为指导，在全面实施新课程过程中，加大教研、教改力度，深化教学方法和学习方式的研究。
正确处理改革与发展、创新与质量的关系，积极探索符合新课程理念的生物教学自如化教学方法和自主化学习方式。
主要工作一、教研组建设方面：、深入学习课改理论，积极实施课改实践。
、以七年级新教材为“切入点”，强化理论学习和教学实践。
、充分发挥教研组的作用，把先进理念学习和教学实践有机的结合起来，做到以学促研，以研促教，真正实现教学质量的全面提升。
、强化教学过程管理，转变学生的学习方式，提高课堂效益，规范教学常规管理，抓好“五关”。
（）备课关。
要求教龄五年以下的教师备详案，提倡其他教师备详案。
要求教师的教案能体现课改理念。
（）上课关。
（）作业关。
首先要控制学生作业的量，本着切实减轻学生负担的精神，要在作业批改上狠下工夫。
（）考试关。
以确保给学生一个公正、公平的评价环境。
（）质量关。
、加强教研组凝聚力，培养组内老师的团结合作精神，做好新教师带教工作。
二、常规教学方面：加强教研组建设。
兴教研之风，树教研氛围。
特别要把起始年级新教材的教研活动作为工作的重点。
、教研组要加强集体备课共同分析教材研究教法探讨疑难问题由备课组长牵头每周集体备课一次，定时间定内容，对下一阶段教学做到有的放矢，把握重点突破难点、教研组活动要有计划、有措施、有内容，在实效上下工夫，要认真落实好组内的公开课教学。
、积极开展听评课活动，每位教师听课不少于20节，青年教师不少于节，兴“听课，评课”之风，大力提倡组内，校内听随堂课。
、进一步制作、完善教研组主页，加强与兄弟学校的交流。
我们将继续本着团结一致，勤沟通，勤研究，重探索，重实效的原则，在总结上一学年经验教训的前提下，出色地完成各项任务。
校内公开课活动计划表日期周次星期节次开课人员拟开课内容10月127四王志忠生物圈10月137五赵夕珍动物的行为12月114 五赵夕珍生态系统的调节12月 2818四朱光祥动物的生殖镇江新区大港中学生物教研组xx-20X 下学期生物教研组工作计划范文20X年秋季生物教研组工作计划化学生物教研组的工作计划生物教研组工作计划下学期生物教研组工作计划年下学期生物教研组工作计划20X年化学生物教研组计划20X年化学生物教研组计划中学生物教研组工作计划第一学期生物教研组工作计划20XX—019学年度第二学期高中英语教研组工作计划XX—XX学年度第二学期高中英语教研组工作计划一．指导思想：本学期，我组将进一步确立以人为本的教育教学理论，把课程改革作为教学研究的中心工作，深入学习和研究新课程标准，积极、稳妥地实施和推进中学英语课程改革。
以新课程理念指导教研工作，加强课程改革，紧紧地围绕新课程实施过程出现的问题，寻求解决问题的方法和途径。