向量数量积的坐标表示

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平面向量数量积的坐标表示

求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的思想方法.

向量数量积的坐标表示、模、夹角

1 3，1)，b＝2，0，则
a⊗b＝ ( )
人教 A 版数学
3 A. 2 2 C. 2
1 B. 2 3 D. 3
[答案] B
第二章
平面向量
a· b [解析] ∵cosθ＝ |a|· |b|
1 (－ 3，1)×2，0 1 2 2 (－ 3) ＋1 · 22＋02
人教 A 版数学
，
1 x0＝3(2x－1) ∴ y0＝1(2y＋1) 3
x ＝2x＋1 0 或 y0＝2y－1
，
第二章
平面向量
代入圆方程中得(2x＋5)2 ＋(2y－2)2 ＝81或(2x＋3)2 ＋
(2y－2)2＝9. 即为所求的轨迹方程．
人教 A 版数学
M是⊙C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，动点N的轨迹为C，求C的轨迹方程．
人教 A 版数学
第二章
平面向量
[错解] 设 N(x，y)，M(x0，y0)，∵N 在射线 AM 上， → → 且|AM|＝2|MN|，∴AM＝2MN， → → ∵AM＝(x0＋1，y0－1)，MN＝(x－x0，y－y0)， 1 x ＋1＝2(x－x ) x0＝3(2x－1) 0 0 ∴ ，∴ y0－1＝2(y－y0) y0＝1(2y＋1) 3 ∵M(x0，y0)在⊙C 上， 1 1 2 ∴[ (2x－1)＋2] ＋[ (2y＋1)－1]2＝9， 3 3
第二章
平面向量
重点：用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹
角．难点：对向量的模及其夹角的理解和应用．
人教 A 版数学
第二章
平面向量
人教 A 版数学
第二章

向量数量积的坐标表示、模、夹角

向量数量积的几何意义
投影长度
数量积表示向量$vec{A}$在向量 $vec{B}$上的投影长度。
角度余弦值
数量积等于两向量夹角的余弦值乘以两向量的模的乘积，即$cos theta = frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{A}| cdot |vec{B}|}$。
向量数量积的计算公式
几何意义
向量模的计算公式在几何上表示了从原点到该向量的有向线段的长度。
向量模的性质
性质1
向量的模满足三角不等式，即对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$left| overset{longrightarrow}{a} +
向量数量积的坐标表示、模、夹角
$number {01}
目录
• 向量的坐标表示 • 向量数量积的坐标表示 • 向量的模 • 向量夹角 • 向量数量积、模、夹角之间的关
系
01
向量的坐标表示
定义与性质
定义
向量可以用坐标表示为 $overrightarrow{A} = (x_1, y_1)$，$overrightarrow{B} = (x_2, y_2)$。
向量夹角与点积的关系
当两个向量的夹角为90°时，它们的数量积为0，即A·B = 0；当两个向量的夹角为0°或180°时，它们的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B = ||A|| ||B||。
05
向量数量积、模、夹角之间的关系
向量数量积与模的关系
1 2
3
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模的乘积乘以它们夹角的余弦值。

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a

x2 y2
2两点间的距离公式：设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)

向量的数量积的坐标运算

在力学中，物体的动能与其速度向量的模的平方成正比，可以通过向量的数量积来计算。
在电磁学中的应用
计算电场强度
01
电场强度向量可以通过电荷分布密度向量与距离向量的数量积
来计算。
判断电场方向
02
电场强度的方向可以通过电场向量与距离向量的数量积来判断。来自计算磁感应强度03
磁感应强度向量可以通过电流密度向量与距离向量的数量积来
数量积的性质
分配律：(a+b)·c = a·c + b·c，即向量数量积满足分配律。
零向量与任何向量的数量积都是0。
交换律：a·b = b·a，即向量数量积满足交换律。
结合律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)，其中λ是标量，即向量数量积满足结合律。
若向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b = 0。
VS
性质与应用
向量数量积具有交换律、分配律等性质，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用，如计算力、功、能量等物理量，以及进行向量的投影、旋转等操作。
对未来研究的展望
深入研究高维向量数量积的性质和应用
随着数据维度的增加，高维向量的数量积运算将变得更加复杂，需要进一步研究其性质和应用。
探索向量数量积在机器学习等领域的应用
在物理中，向量的数量积常用来表示力、功等物理量。
04 向量的数量积坐标运算方法
直接计算法
定义
直接计算法是指根据向量数量积的定义，通过计算两个向量的模长和它们之间的夹角余弦值来求得数量积的方法。
公式
设两个向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则它们的数量积 a · b = |a| * |b| * cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别是向量 a 和 b 的模长，θ 是向量 a 和 b 之间的夹角。

空间向量数量积的坐标表示

Hale Waihona Puke 0时，的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) ar (2 , 3 ,
r 3)，b (1, 0 , 0) ;
(2)
ar
(1
,
例题：
A
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则 O
uuuur OM
1 2
uuur (OA
uuur OB)
1 2
(3
,
3
,
1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
1
,
r 1)，b
(1
,
0
,
1)
;
3．已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0, 2) ,
则顶点 D 的坐标为___(_1_,_-_1_,2_)_____;
4． Rt△ABC 中, BAC 90o , A(2,1,1), B(1,1, 2) ,
C( x, 0,1) ,则 x __2__;
r a
r b
(a
1
b1,
a2
b2
,
a3
b3
)
;
ar
r b
(a 1b1,a2

教案平面向量数量积的坐标表示模夹角

平面向量数量积的坐标表示与模夹角教案章节一：平面向量数量积的定义1.1 向量的概念回顾：向量是有大小和方向的量。

1.2 数量积的定义：两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

1.3 数量积的坐标表示：如果向量a和b在坐标系中表示为a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则它们的数量积可以表示为a·b=x1x2+y1y2。

教案章节二：数量积的性质2.1 数量积的不变性：无论向量的起点如何，向量的数量积保持不变。

2.2 数量积的对称性：向量a和b的数量积等于向量b和a的数量积，即a·b=b·a。

2.3 数量积的交换律：向量a和b的数量积等于它们的相反向量的数量积，即a·b=-b·a。

教案章节三：模长的计算3.1 向量模长的定义：向量a的模长，记作|a|，是向量a的大小，计算公式为|a|=sqrt(x1^2+y1^2)。

3.2 利用数量积计算模长：向量a的模长可以表示为|a|=sqrt(a·a)。

教案章节四：夹角的余弦值4.1 向量夹角的定义：两个非零向量a和b的夹角，记作θ，是它们的数量积与它们的模长的乘积的比值的的反余弦值。

4.2 余弦值的计算公式：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。

教案章节五：向量夹角的范围与性质5.1 向量夹角的范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°。

5.2 向量夹角的性质：当向量a和b同向时，它们的夹角为0°，数量积为正值；当向量a和b反向时，它们的夹角为180°，数量积为负值；当向量a和b垂直时，它们的夹角为90°，数量积为0。

教案章节六：数量积的应用6.1 投影向量：向量a在向量b方向上的投影向量可以表示为proj_ba = (a·b/b·b) b。

6.2 向量间的距离：两个向量a和b之间的距离可以表示为|a b| = sqrt((a b)·(a b))。

向量数量积的坐标表示公式

向量数量积的坐标表示公式
向量数量积的坐标表示公式为：
若有两个向量A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)，它们的数量积（也称为点积）为：
A∙B = a1b1 + a2b2 + a3b3
这个公式表示了两个向量在各个坐标上的对应分量相乘后相加所得到的结果，可以用来计算两个向量的点积。

同时，向量A∙B还可以表示为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示A和B的长度，θ表示A和B之间的夹角。

这个公式可以用来计算两个向量之间的夹角，从而得到它们的数量积。

除了上述的坐标表示公式，向量数量积还有几何表示和向量积的定义形式。

向量数量积在几何上表示了向量A在向量B方向上的投影长度与向量B的模长之积，而在向量积中，数量积还可以表示为A∙B = 0，当且仅当向量A和向量B垂直（即夹角为90度）时。

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小结：利用直线的方向向量可以求直线的夹角
练习：P97 1，2
r
r
rr
设a (x1, y1),b (x2, y2),则agb x1x2 y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
2.向量的模
r 设a
(
x,
y),
则
r a
2
x2
y 2或
r a
x2 y2
3.两向量垂直和平行的坐标表示
rr
rr
a b x1x y1y2 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa Pb x1y2 x2 y1 0
4.两向量夹角公式的坐标运算
cos
x1x2 y1 y2
x12 y12 g x22 y22
三.巩固提升
例1 (1)已知a (1,2 3),b (1,1),
求a b，a b，a与b的夹角 .
(2) 已知a (2,3), b (2,4),
则（a b）（ a b）
.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.
6.平面向量数量积的坐标表示
一、复习引入
1.两向量的数量积
2.两向量的数量积的性r 质 r r 3. 向量的坐标表示 a xi y j (x, y)
4.填空
i i 1 . j j 1 .
i j 0 j i 0 .
那么两向量的数量积如何用坐标表示呢？
二.探究新知
1.平面向量数量积的坐标表示
例3 （1）已知 a =（4，3），向量b是垂直于a 的单位向量，求b.
（2）已知 a 10 ,b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
（3）已知a (3,0),b (k,5)，且a与b的夹角为3 ，
4 求k的值.
例4.求以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程. 例5.已知圆C(x-a)2+(y-b)2=0,求与圆C相切于点P0(x0,y0) 的切线方程
知识：
ur
给定斜率为k的直线l，则向量我们把与直线l共线非零向量
m
称mu(r1为, k直) 与线直的线方l向共向线，
量
1.直线y kx b的方向向量:
ur m (1, k)
2.直线ax
by
c的方向向量:
ur m
(1,
a), (b,
a), (b,
a)
b
例5.已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0,求l1和l2直线的夹角.