21-22版：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（创新设计）
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)．
知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).
【预习评价】
(1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(2,4)，则a ·b 的值是________． 解析 a ·b ＝(－1)×2＋3×4＝10． 答案 10
(2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 解析 由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2． 答案 2
知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 1．向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．
2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →
|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 3．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·b
|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22． 【预习评价】
(1)已知向量a ＝(4，－1)，b ＝(x,3)，若|a |＝|b |，则x ＝________． 解析 由|a |＝|b |得42＋(－1)2＝x 2＋32，解得x ＝±22． 答案 ±22
(2)已知向量a ＝(2，2)，b ＝(－8，6)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 解析 ∵a ＝(2，2)，b ＝(－8，6)， ∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a |＝22＋22＝22，|b |＝（－8）2＋62＝10. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |＝－422×10
＝－2
10.
答案 －2
10
题型一 数量积的坐标运算
【例1】 已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )＝( ) A ．10 B ．－10 C ．3
D ．－3
解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．
答案 B
规律方法 进行数量积运算时，要正确使用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2． 【训练1】 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10． (1)求a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c ．
解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，
(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)． 题型二 平面向量的模
【例2】 (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )
A ． 5
B ．10
C ．2 5
D ．10
解析 因为a ⊥c ，b ∥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2，y ＝－2，
所以a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝10． 答案 B
(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是
________．
解析 由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ)． 令y ＝|a ＋b |＋|a －b |
＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2 θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，
则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20]． 由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，
即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 4 25
规律方法 求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．
【训练2】 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足＝12（AB →+AC →），则|PD →
|＝__________；
PB →·PD →
＝__________.
解析 建立如图所示的平面直角坐标系， ∵AP →＝12
(AB →＋AC →
)，∴P 为BC 的中点.
∴点P 的坐标为(2，1)，点D 的坐标为(0，2)，点B 的坐标为(2，0)， ∴PB →＝(0，－1)，PD →
＝(－2，1)， ∴|PD →|＝5，PB →·PD →
＝－1.
答案
5 －1
题型三 平面向量的夹角和垂直问题 考查方向
方向1 向量的夹角问题
【例3-1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝15
2，则a 与c 的
夹角为( )
A.π6
B.π3
C.2π
3
D.5π6
解析 由a ·b ＝－10，得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝15
2，
∴c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525×5＝－1
2．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π
3.
答案 C
方向2 向量垂直问题
【例3－2】 设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1，2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________. 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.
又a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1，2m －4)， ∴1×(m ＋1)＋(－1)×(2m －4)＝0，解得m ＝5. 答案 5
规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a ·b 及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b
|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22
直接求出cos θ． (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b |a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为
180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．
【训练3】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．
解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ．
(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－1
2
．
(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，
所以a·b <0且a 与b 不反向． 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－1
2
，
由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
2． (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向．
由a·b >0，得λ>－1
2，由a 与b 同向得λ＝2．
所以λ的取值范围为⎝⎛⎭
⎫－1
2，2∪(2，＋∞)．
课堂达标
1．已知a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么a ，b 的夹角θ＝( ) A.π
6
B. π3
C.2π
3
D.5π6
解析 cos θ＝－3－32×2＝－32，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝5π
6.
答案 D
2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2
D ．4
解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝±3． ∴|a |＝12＋n 2＝2． 答案 C
3.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(3，2)，则|a －b |＝( ) A. 2 B.2 C.5 2
D.50
解析 ∵a －b ＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)， ∴|a －b |＝（－1）2＋12＝ 2.故选A. 答案 A
4.已知向量a ＝(－4，3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.
解析∵a⊥b，∴a·b＝0.
又∵a＝(－4，3)，b＝(6，m)，
∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.
答案8
5．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．解∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，
∴5a－b＝(－11，－10－k)．
b－3a＝(5，k＋6)，
∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)
＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，
∴(k＋10)(k＋6)＝0，
∴k＝－10或k＝－6，
∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．
课堂小结
1．注意掌握平面向量的数量积运算的坐标表示方法及相关问题：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，
y2)，则：①a·b＝x1x2＋y1y2，②a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，③cos θ＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21·x22＋y22
．
2．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．
2.4.2平面向量的数量积的坐标表示 模 夹角
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【学习目标】 1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）； 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ? = . 2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①a b a b ⊥??= ；②a = ；③cos θ= . （二）自主探究：（预习教材P106—P108） 探究：平面向量数量积的坐标表示 问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y == ，怎样用a 与b 的坐标表示a b ? 呢？ 1. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=??? （坐标形式）。 这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。 问题2：如何求向量(),a x y = 和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？ 2.平面内两点间的距离公式 （１）设a=(x,y), 则2a = ________________或a ________________。 （２）若()11,A x y ，()22,B x y ，=___________________（平面内两点间的距离公式）。 问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y == 的夹角θ和判断两个向量垂直？ 3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________ 向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y , 则?⊥b a _________________ 二、合作探究 1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A （1）试判断ABC ?的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。 2、已知()() 1,3,3,1==，求a 与b 的夹角θ. 变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3 ,k=4 π则______________. 三、交流展示
21-22版：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（创新设计）
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)． 知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2). 【预习评价】 (1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(2,4)，则a ·b 的值是________． 解析 a ·b ＝(－1)×2＋3×4＝10． 答案 10 (2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 解析 由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2． 答案 2 知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 1．向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2． 2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB → |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 3．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22． 【预习评价】 (1)已知向量a ＝(4，－1)，b ＝(x,3)，若|a |＝|b |，则x ＝________． 解析 由|a |＝|b |得42＋(－1)2＝x 2＋32，解得x ＝±22． 答案 ±22 (2)已知向量a ＝(2，2)，b ＝(－8，6)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 解析 ∵a ＝(2，2)，b ＝(－8，6)， ∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4，
平面向量数量积
1．向量的夹角 a OB → a 角， 2．平面向量的数量积 3已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉. |x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 2 1 x 22＋y 2 2 [1．设向量e 1，e 2是两个互相垂直的单位向量，且a ＝2e 1－e 2，b ＝e 2，则|a ＋2b|＝( ) A ．2 2 B. 5 C ．2 D ．4 2．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 C.32 D.5 2 3．已知|a|＝1，|b|＝2，a ·(a －b)＝3，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π6 C.π 2 D ．π 4．已知向量a ，b 满足|a|＝2，|b|＝1，a 与b 的夹角为2π 3 ，则|a ＋2b|＝________.
5．(2018·衡水中学检测)在直角三角形ABC 中，C ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，若AD ―→＝32AB ―→，则CD ―→·CB ―→ ＝________. 6．已知正方形ABCD 的边长为2，DE ―→＝2EC ―→，DF ―→＝12(DC ―→＋DB ―→)，则BE ―→·DF ―→ ＝________. 7．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________． 8．已知向量a ，b 满足a ＝(2,0)，|b|＝1，若|a ＋b|＝7，则a 与b 的夹角是________． 一、选择题 1．(2018·常州调研)已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→ ＝0，则下列结论正确的是( ) A ．OA ―→＝13AB ―→＋23BC ―→ B ．OA ―→＝23AB ―→＋13B C ―→ C ．OA ―→＝13AB ―→－23 BC ―→ D ．OA ―→＝－23AB ―→－13 BC ―→ 2．(2018·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ―→＋CB ―→＝0，则向量OC ―→ 等于( ) A.23OA ―→－13OB ―→ B ．－13OA ―→＋23OB ―→ C ．2OA ―→－OB ―→ D ．－OA ―→＋2OB ―→ 3．(2018·成都一诊)在边长为1的等边△ABC 中，设BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AB ―→ ＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( ) A ．－32 B ．0 C.3 2 D ．3 4．已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π 4，则|b|＝( ) A ．6 B ．3 2 C ．2 2 D ．3 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC ＝π4，且|OC ―→ |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→ ，则λ＋μ＝( ) A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4 2 6．若向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，a ＋c ＝0，则c 在b 方向上的投影为________． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝? ????22 ，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈? ????0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π 3 ，求x 的值．
2.4.2平面向量数量积的坐标表示,模,夹角教案
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： 1、掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量只的运算； 2、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。 教学重难点： 应用平面向量数量积的坐标表示去解决两点间的距离、两向量的夹角等有关问题。 教学过程： 一、复习提问： 平面向量数量积（内积）：a ?b = |a ||b |cos θ， 二、新课： 设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，怎样用与的坐标表示?？ 因为a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ， 所以a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0， 从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2。 两个向量的数量积等于他们对应坐标的乘积和。 长度、角度、垂直的坐标表示 （1）a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =22y x +； （2）若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则||=2 21221)()(y y x x -+-； （3）co s θ =||||b a b a ??222221212 121y x y x y y x x +++=； （4）a ⊥b ? a ?b = 0 ，即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示不同）。例5 已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。 证明：因为=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)，
高一数学《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量数量积（内积）的定义： 2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0 3? a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |； a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=|| 4?cos θ = | |||b a b a ? ； 5?|a ?b | ≤ |a ||b | 3．练习： （1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５° （2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3 π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 二、讲解新课： 探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ?？. 1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ?2121y y x x +=
2. 平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=. （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式) 3． 向量垂直的判定 设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ?02121=+y y x x 4． 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ =||||b a b a ??222221212 121y x y x y y x x +++= 二、讲解范例： 例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 三、课堂练习：1、P107面1、2、3题 2、已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，- 21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 四、小结： 1、b a ?2121y y x x += 2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-= 3、向量垂直的判定： 设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ?02121=+y y x x 五、课后作业：作业二十四。 思考：
湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.4.2平面向量的数量积的坐标表示 模 夹角学案 新人教A版必修4
湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.4.2平面向量的数量积的 坐标表示 模 夹角学案 新人教A 版必修4 【学习目标】 1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）； 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ?= . 2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①a b a b ⊥??= ；②a = ；③cos θ= . （二）自主探究：（预习教材P106—P108） 探究：平面向量数量积的坐标表示 问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ?呢？ 1. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=??? （坐标形式）。 这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。 问题2：如何求向量(),a x y =a 和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？ 2.平面内两点间的距离公式 （１）设a=(x,y),则2a =________________或a ________________。 （２）若()11,A x y ，()22,B x y ，则AB =___________________（平面内两点间的距离公式）。 问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？ 3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________ 向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则?⊥b a _________________ 二、合作探究 1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A （1）试判断ABC ?的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。 2、已知()()1,3,3,1= =，求a 与b 的夹角θ. 变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3 ,k=4π则______________.
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教、学案)
2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、教材分析 本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数 量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。 二．教学目标 1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。 2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。 3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、 三、教学重点难点 重点：平面向量数量积的坐标表示. 难点：向量数量积的坐标表示的应用. 四、学情分析 此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用 长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工 具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节 内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取 以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实 际。我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积 的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的 模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。 五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。 六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 [点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”． 2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式 (1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2. (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2. (3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ， 则cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . 平面向量数量积的坐标运算 [典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝() A．－1B．0 C．1 D．2 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝() A．5 B．4 C．3 D．2 [活学活用] 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
向量的模的问题 [典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 (2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________． [活学活用] 1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 向量的夹角和垂直问题 [典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________. (2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π 4，则实数k 的 值为________． [活学活用] 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ； (2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 求解平面向量的数量积 [典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB · BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．
高中数学平面向量的坐标表示及计算方法
高中数学平面向量的坐标表示及计算方法 在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中扮演着重要的角色。平面向量的坐标表示及计算方法是我们学习平面向量的基础，下面我将结合具体的题目，详细介绍平面向量的坐标表示及计算方法。 一、坐标表示 平面向量可以用一个有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标。对于平面上的一个向量a，它的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。 例如，给定平面上两点A(2, 3)和B(5, 1)，我们可以通过这两个点得到向量AB 的坐标表示。向量AB的x轴分量为5-2=3，y轴分量为1-3=-2，因此向量AB的坐标表示为(3, -2)。 二、向量的加减法 对于平面上的两个向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的加法定义为： a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。这意味着向量的加法就是将它们的对应分量相加。 例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算出它们的和向量c=a+b。根据定义，c的x轴分量为2+(-1)=1，y轴分量为3+4=7，因此向量c的坐标表示为(1, 7)。 同样地，向量的减法也可以通过对应分量相减得到。对于向量a和b，它们的减法定义为：a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。 三、向量的数量积 向量的数量积也叫点积，它是两个向量的乘积的数量表示。对于平面上的两个向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的数量积定义为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。
例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算它们的数量积。根据定义，a·b=2*(-1)+3*4=8。 四、向量的数量积的性质 向量的数量积具有以下性质： 1. 交换律：a·b=b·a，即数量积的结果与向量的顺序无关。 2. 结合律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k为任意实数。 3. 分配律：a·(b+c)=a·b+a·c，其中a、b、c为任意向量。 这些性质使得数量积在计算中非常灵活，可以简化计算过程。 五、向量的夹角 两个非零向量a和b之间的夹角θ可以通过以下公式计算得到： cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模。 例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算它们之间的夹角θ。根据公式，cosθ=(2*(-1)+3*4)/(√(2²+3²)*√((-1)²+4²))=5/√(13*17)。通过计算，我们可以得到 夹角θ的近似值。 六、一点延长线的坐标表示 在平面向量中，我们经常需要求一条向量的延长线上某一点的坐标表示。对于 向量a=(a₁, a₂)，我们可以通过给定的起点和延长线上的一个点P(x, y)来求得P的 坐标表示。 例如，给定向量a=(2, 3)和起点A(1, 1)，我们需要求得延长线上的一点P的坐 标表示。设P的坐标为(x, y)，根据向量的定义，有P=A+a，即(x, y)=(1, 1)+(2, 3)=(3, 4)。因此，延长线上的点P的坐标表示为(3, 4)。
数量积向量的表示-概述说明以及解释
数量积向量的表示-概述说明以及解释 1.引言 1.1 概述 概述部分旨在对数量积向量的表示进行简要介绍，使读者对本文主题有一个初步的了解。数量积，也被称为点积或内积，是向量代数中一个重要的运算。它通过对两个向量进行运算，得到一个标量（即实数）作为结果。 在本文中，我们将探讨数量积向量的表示方法。通过对向量的乘法运算，我们可以得到两个向量之间的夹角、相互的投影长度以及向量的模长。这些表示方法在许多实际问题中都具有重要的应用价值。 本文将分为三个部分来讨论。首先，我们将介绍数量积的定义和一些基本性质，以帮助读者对该概念有一个清晰的理解。其次，我们将探讨向量的表示方法，包括坐标表示和几何表示。最后，我们将讨论数量积向量在实际问题中的重要性和应用领域。 通过阅读本文，读者将深入了解数量积向量的基本概念和运算规则，掌握不同的向量表示方法，并能够应用这些知识解决实际问题。无论是在物理学、工程学、计算机科学还是其他领域，数量积向量都具有广泛的应
用，对读者的学习和研究都将产生积极的影响。接下来，我们将详细讨论数量积的定义和性质。 1.2文章结构 文章结构部分的内容: 文章结构的主要目的是为了帮助读者更好地理解和掌握数量积向量的表示方法。通过清晰的结构安排，读者可以系统地学习和探索数量积的定义、性质以及向量的不同表示方法。 在本文中，将先介绍数量积的定义和性质。通过深入了解数量积的概念、运算规则和性质，读者可以对数量积有一个全面的认识。同时，也可以通过数量积的几何意义来理解其与向量之间的关系。 接下来，将重点探讨向量的表示方法。在数学和物理领域中，有多种方式来表示向量，如分量表示法、几何表示法和矩阵表示法等。本文将对每种表示方法进行详细介绍，并比较它们的优缺点和适用场景。通过学习不同的表示方法，读者可以更加灵活地运用数量积向量的概念和性质。 在文章的结论部分，将强调数量积向量的重要性和应用领域。数量积在数学和物理学中具有广泛的应用，如力学、电磁学、几何学等。通过了解和应用数量积向量，可以更好地理解和解决实际问题。
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿 高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿 各位老师好： 我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。 一、学情分析 本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。 二、高考的考点分析： 在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。 三、复习目标
1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能用坐标表示两个向量的夹角,理解用坐标表示的平面向量垂直的.条件. 教学重难点的确定与突破： 根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。 四、说教法 根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。 五、说学法 根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。根据学情，所以我将指导通过“自学，探究，模仿”等过程完成本节课的学习。 六、说过程 (一)知识梳理: 1.向量坐标的求法
人教版数学高一-与名师对话课标A必修4提升2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．已知a ＝(1,3)，b ＝(－2，－1)，则(3a ＋2b )·(2a ＋5b )等于( ) A ．2 5 B ．－15 C ．15 D ．25 [解析] 3a ＋2b ＝(－1,7)，2a ＋5b ＝(－8,1)， 故(3a ＋2b )·(2a ＋5b )＝(－1)×(－8)＋7×1＝15. [答案] C 2．在△ABC 中，若|BA →＋BC →|＝|AC → |，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．不能确定 [解析] 根据向量加法的平行四边形法则可知|BA →＋BC → |等于AC 边上的中线长的2倍，所以由|BA →＋BC →|＝|AC → |知AC 边的中线长等于AC 长的一半，所以△ABC 为直角三角形． [答案] B 3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，则x 的值为( ) A ．－2 B.72 C ．－2或72 D ．2 [解析] 利用向量的垂直定义，得(a ＋2b )·(2a －b )＝0，代入坐标可得x ＝－2或7 2.故选C. [答案] C
4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 [解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a ＋b 与a －b 的夹角为π 4.故选C. [答案] C 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. [解析] 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即 a ·c |a |＝ b ·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025 ，解得m ＝2. [答案] 2 学习笔记 1．易错总结：做错的题目有 错因： 2．心得感悟：
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 数量积 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0 知识点二 向量 模长 a ＝(x ，y ) |a |＝x 2＋y 2 以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为端点的向量AB → |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 知识点三 cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 . 概念理解： 1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( ) 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( ) 3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( ) 类型一 数量积的坐标运算 数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a ； ②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2； ③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积． 1.已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( ) A ．10 B ．－10 C ．3 D ．－3 2、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上， 且DF →＝2FC →，则AE →·BF →的值是________．
平面向量数量积的坐标表示教学设计
5．6平面向量的数量积及运算律 一、内容及其解析 1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。 2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。 本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。 二、目标及解析 1、目标 1）、掌握平面向量数量积的坐标表示 2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 3）、掌握向量垂直的条件 2、解析：
1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积； 2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题. 3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－ x2y1=0) 三、教学问题诊断 本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。 四、教学支持条件分析 本节内容是全章重点内容之一，学生学习时容易混淆，在指导学生认真预习的前提下，教学中从向量的几何意义上突破难点，在通过适当的练习加以巩固。可把重要性质、运算律、例题做成幻灯片，提高课堂效率。 五、教学设计过程 （一）、教学基本流程 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算 的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘 向量带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的
高中数学_2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(导学案) 学习目标： 1.知识与技能：掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。 2.过程与方法：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的探究能力、创新精神。 3.情感态度价值观：引导学生探索归纳,感受、理解知识的产生和发展过程,激发学习数学的兴趣,注重培养学生的动手能力和探索能力。 【自主学习】 探究:已知两个非零向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅,试着推导一下. 总结： 由此可得： （1）向量求模(长度)工具: （2）向量证明垂直工具: 思考：如何使用两个工具解决几何问题？ 【合作学习】 探究活动一：用向量证明垂直 例5已知(1,2)A ,(2,3)B ,(2,5)C -,试判断ABC ∆的形状,并给出证明. 归纳整理 :
实践应用: 先作图,观察以(1,4)A --,(5,2)B ,(3,4)C 为顶点的三角形的形状,然后给出证明. 问题:如果继续求三角形的其他角,你如何解决? 探究活动二：用向量求角 向量求角工具: 例6设(5,7),(6,4)a b ==--,求a b ⋅及,a b 间的夹角θ(精确到1) 归纳整理: 实践应用:试着把例5中的角C 求出来.
探究活动三：用向量的数量积证明一个著名的不等式 证明:对任意的,,,a b c d R ∈,恒有不等式 22222()()()ac bd a b c d +≤++ 归纳整理: 你还能不能想出更有创意的方法?试一试. 本节课的收获: 【创意展区】 创意要求: 平面向量的数量积a b ⋅是一个非常重要的概念,带来了一系列解决平面几何问题的工具和方法,利用它可以容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线互相垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等,还可以推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质等,你证出了哪一个?把它记下来和同学交流.
《平面向量》说课稿
《平面向量》说课稿 《平面向量》说课稿（精选5篇） 《平面向量》说课稿1 一：说教材 平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。 二：说学习目标和要求 通过本节的学习，要让学生掌握 （1）：平面向量数量积的坐标表示。 （2）：平面两点间的距离公式。 （3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。 以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。 三：说教法 在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法： （1）启发式教学法
因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。 （2）讲解式教学法 主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！ 主要辅助教学的手段（powerpoint） （3）讨论式教学法 主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。 四：说学法 学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！ 五：说教学过程 这节课我准备这样进行： 首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？
高中数学-公式-平面向量
平面向量 1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0; 3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积； 4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝ 122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示： 〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-= ; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a += ; 十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、 a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb 〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u 〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合. 2、设直线、m l 的方向向量分别是、 a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b 〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku 〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v 3、设直线、m l 的方向向量分别是、 a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2π θθ≤≤，cos θ⋅=a b a b 〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2π θθ≤≤，sin θ⋅=a u a u 〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u v u v 教学过程： 二、新课讲授 1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；