郑振龙《金融工程》第2版课后习题(期权价格的敏感性和期权的套期保值)【圣才出品】

郑振龙《金融工程》第2版课后习题
第十四章期权价格的敏感性和期权的套期保值
1．一个看涨期权的Delta 值为0.7意味着什么?若每个期权的Delta 值均为0.7，如何使一个1000个看涨期权的空头变成Delta 中性?
答：（1）Delta 值为0.7意味着此时该看涨期权的标的股票每上涨1元钱，该看涨期权的价格就应该上涨0.7元钱。

（2）看涨期权空头的Delta 值为负，需要用正的Delta 值对冲才能使Delta=0。

因而若每个期权的Delta 值均为0.7，要使一个1000个看涨期权空头变成Delta 中性，则必须买入700份股票，或者进入标的为700份该股票的远期的多头。

2．无风险年利率为10％，股票价格的年波动率为25％。

计算标的为不支付红利的股票、6个月期的平价欧式看涨期权的Delta 值。

答：Delta=1()N d 。

由于该期权为平价期权，因而标的资产价格S=协议价格X，则)ln(X
S =1ln =0，则21()()2r T t d T t
σσ+-=-20.25(0.1)*0.520.25*0.5+Delta=1()N d =0.6447。

3．以年计，一个期权头寸的Delta 值为-0.1意味着什么?若一个交易者认为股票价格的隐含波动率都不会变，那么期权头寸是什么类型?
答：Theta 衡量期权价格对时间变化的敏感度。

以年计，一个期权头寸的Theta 值为－0.1意味着时间每减少1年，期权的价值将下降0.1元。

若股票价格的隐含波动率不变，期权的头寸将可能是任何期权的多头或者是实值状态的无收益资产欧式看跌期权和处于实值状态的附有很高利率的外汇的欧式看涨期权的空头。

4．为什么说对于处于实值状态的无收益资产欧式看跌期权和处于实值状态的附有很高利率的外汇的欧式看涨期权来说，Theta 可能为正?
答：根据推导可得，对无收益资产的欧式看跌期权：
2
10.5()2[1()]22()
d r T t rX
e N d T t π---Θ=-+--则当S<X 的时候，Θ有可能大于零。

同理，对于处于实值状态的附有很高利率的外汇的欧式看涨期权：21()
0.5()()21[1()]()22()f f r T t d r T t r T t f rXe N d r SN d e T t π-------Θ=----，
则当S>X 的时候Θ有可能大于零。

5．某金融机构刚出售一些7个月期的日元欧式看涨期权，假设现在日元的汇率为1日元=0.80美分，期权的协议价格为0.81美分，美国和日本的无风险利率分别为8％和5％，日元的年波动率为l5％，请计算该期权的Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho 值，并解释其含义。

答：由题意，该期权的价格P=0.000375美元。

Delta=()1()f r T t N d e --=0.52，表示汇率每上升1，该期权的价格应该上升0.52。

Gamma=210.5()
2()
f d r T t S T t σπ---Γ=-=422.03，表示汇率上升1，Delta 要上升422.03。

这实际上是由于当前美元兑日元的比率为0.008，因此汇率上升1对当前的汇率来说是一个
巨大的变化，因此Delta 的变化很大，即Gamma 很大。

Vega=210.5()
2f d r T t T t π----Λ==52.3610-⨯,
它表示日元的波动率每增加1个百分点期权变化52.3610-⨯美分，这是由于S 为日元
兑美元汇率等于0.008本身就很小造成的。

Theta=()
()()121()()2f f r T t r T t r T t f rXe N d r SN d e
T t ------Θ=+-=61.110--⨯,这表明时间每减少一年期权价值减少61.110--⨯美元。

Rho=()1()()f r T t rho T t e SN d --=--=52.2710-⨯，
它代表美国利率上升1%，期权变化72.2710-⨯美元。

6．有三个看涨期权，C、D 和E，标的资产相同，价格均为80美元，无风险年利率为7％，年波动率为20％。

C 的执行价格为70美元，还有90天到期；D 的执行价格为75美元，还有90天到期；E 的执行价格为80美元，还有120天到期。

计算上述期权的价格、Delta 值和Gamma 值。

答：根据BS 公式：
C=11.43（美元），Delta(C)=0.9407，Gamma(C)=0.01479；
D=7.19（美元），Delta(D)=0.8078，Gamma(D)=0.034309；
E=4.628（美元），Delta(E)=0.6022，Gamma(E)=0.04210。

7．用第6题的数据计算：如果已有一份看涨期权C，如何用C 和D 构造一个Delta 中性组合?如何用C、D 和E 构造一个同时达到Delta 中性和Gamma 中性的组合？
答：因为∑=∆
=∆n i i i w 1，所以01=∆+∆=∆=∆∑=n
i D C i i p w βα，所以0.9407α
+0.8078β=0，所以：
8587.0-=β
α。

因此，要利用C 期权和D 期权构造出Delta 中性组合，每买一份D 就必须卖0.8587份C 期权，或者买1份的C 就得卖1.16452（1/0.8587）份的D 期权。

同理，因为∑=∆=
∆n i i i w 1，∑=Γ=Γn i i i w 1，01
=∆+∆+∆=∆=∆∑=E n i D C i i p w θβα，所以E D C n
i i i F w Γ+Γ+Γ=Γ=Γ∑=θβα1=0，所以α：β：θ=0.9915：
（-1.51008）：1≈2：（-3）：2。

因此，要使得C，D，E 的组合达到Delta 和Gamma 中性，必须使期权C、
D、E 之间的比例为2：（-3）：2。