河南省2019-2020学年豫西名校高二联考理科数学试题
河南省联盟基础年级联考2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案
河南名校联盟基础年级联考高二（下）期末考试数学（理科）考生注意：1.本试卷共8页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,xy y A x =+=∈R ，(){}*ln 6,B x y x x ==-∈N，集合C AB =，则集合C 的子集的个数为（ ） A.4B.8C.16D.322.已知z 为复数z 的共扼复数，12z i z +=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列命题为假命题的是（ ） A.x ∀∈R ，x e x >B.0x ∃∈R ，00x ex <C.()0,x ∀∈+∞，ln x x <D.()00,x ∃∈+∞，00ln 2x x >-4.函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为3x π=，则实数ω的取值不可能为（ ）A.1B.4C.7D.85.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列选项中正确的是（ ） A.若m α⊥，αβ⊥，则m β⊥ B.若//m n ，n α⊂，则//m α C.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D.若//m α，//n β，//m n ，则//αβ6.已知变量x 与变量y 有较强的线性相关性，其线性回归方程为2 3.5y x =-+，则下列说法中正确的是（ ）A.x 与y 正相关B.若5x =，则 6.5y =-C.x 增加1，y 一定减少2D.样本点在回归方程两侧的个数一定相同7.已知双曲线2212211:1x y C a b -=（110,0a b >>）与双曲线2222222:1y x C a b -=（220,0a b >>）有相同的渐近线2y x =±，则下列关系中正确的是（ ） A.1212a a b b = B.21122a b a b = C.1212a a b b +=+D.121222a a b b +=+8.已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记1-分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为（ ） A.2B.4C.6D.89.公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记()2122n n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A.2020223-+B.2020223-C.2021223-D.2021223-+10.如图，过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，与y 轴交于点Q ，若12OF OQ =，1AF BQ =，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A.1211.已知函数()()2ln ,0,1,0x e x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩（ 2.71828e =），则函数()()23g x f x x =-的零点个数为（ ）A.4B.5C.6D.812.已知,M N 为单位圆221:x O y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则2PM PN -的最大值为（ ）A.5+B.5C.5+D.5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足10,330,10,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为 .14.且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为 . 15.已知()4x x e e f x =+，若正数(),a b a b ≠满足()()f a f b =，则ln 2ln 2a b+的取值范围为 . 16.在ABC △中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC △的面积为Scos cos S a B b A =+，cos sin 7tancos sin 12A A A A π+=-，3c =，则a = . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某企业组织应聘该企业的100名应届毕业生参加专业能力测试（满分100分），这100名毕业生的成绩的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，根据频率分布直方图求进入该企业面试的分数线；（Ⅱ）若被测试的毕业生中有40名女生，进入面试的有15名女生，35名男生，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为成绩与性别有关.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，满足,,2n n n a S S -成等比数列. （Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：222223411232n a a a na +++++<.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AA AC ==，90ACB ∠=︒，M 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1B CM ； （Ⅱ）求二面角11A C M B --的正弦值.20.已知抛物线2:4C y x =与直线():2l y k x =+交于A 、B 两点.（Ⅰ）当线段AB 的中点纵坐标为4时，求k 的值；（Ⅱ）直线l '过抛物线C 的焦点F ，与抛物线C 交于M 、N 两点，设直线l 与x 轴的交点为T .若l 与l '两直线的倾斜角互补，请问：TA TB MN⋅是否为定值，若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.21.已知函数()xf x e mx =-，其中e 为自然对数的底数，m 为正整数.若函数()f x 在0x x =处取得极值，且051,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若0x >时，不等式()()f x f x ax -->恒成立，求实数a 的取值范围. （参考数据： 2.72e ≈，543.49e ≈）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（[),0,t απ∈∈R ），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2320ρρ-+=.（Ⅰ）当曲线1C 以α为参数且1t =时，求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当曲线1C 以t 为参数时，若1C 与2C 恰有两个不同的交点，求tan α的取值范围. 23.[选修4—5：不等式选讲] 已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围； （Ⅱ）求证：3bc ac ab a b c++≥.河南名校联盟基础年级联考高二（下）期末考试数学（理科）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C【解析】因为{}1A y y =>，{}*60,B x x x =->∈N {}1,2,3,4,5=，{}2,3,4,5C AB ==，所以集合C 的子集的个数为4216=，故选C. 2.【答案】A【解析】设(),z a bi a b =+∈R ，则z a bi =-，代入12z i z +=+可得()1212a bi a b i ++=+-，即1,12,112,.3a a a b b b ⎧=⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩故113z i =+，所以在复平面内z 对应的点为11,3⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限，故选A.3.【答案】B【解析】因为e 1x x ≥+恒成立，所以0x ∃∈R ，00x e x <为假命题，故选B.4.【答案】D 【解析】由题意可知()362k k πππωπ⋅+=+∈Z ，解得()13k k ω=+∈Z ，观察各选项，故选D.5.【答案】C【解析】若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则α与β是垂直关系，故选C. 6.【答案】B【解析】线性回归方程一定经过样本点的中心(),x y ，故选B. 7.【答案】A 【解析】由题意可知112b a =，222ab =，所以1212a a b b =，故选A. 8.【答案】A【解析】设10次摸球出现黑球的次数为X ，则2~10,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()4E X =，所得总分数2X ξ=()()101310X X +-⨯-=-，所以()()3102E E X ξ=-=，故选A.9.【答案】C【解析】由题意可知212132122n n n n n n n n b a a a b a a a ++++++-=⋅=-()221122122n n n n n n n a a a a a a a ++++++-+⋅=-()222112122n n n n n n n a a a a a a a ++++++--⋅=-22121222n n n n n n a a a a a a ++++-⋅=--，又12b =-，因此()2n n b =-，故()2020202120202122233S -⨯--==，故选C. 10.【答案】B【解析】法一：如图取1F Q 的中点M ，由1AF BQ =可知，M 为AB 的中点，且1OM F Q k k =-，由12OF OQ =得112F Q k =，所以114OM F Q k k ⋅=-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，即2214AB OM b k k a =-⋅=-，所以22222314c b e a a ==-=，所以e = B. 法二：由题意设直线()1:2AB y x c =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 的方程代入椭圆方程，化简得()222222224240a b x a cx a c a b +++-=，2122224a cx x a b ∴+=-+，1AF QB =，12x x c ∴+=-，故22224a c c a b-=-+，即2a b=，2e ∴=，故选B. 11.【答案】C【解析】当0x >时，()2ln 1e x x f x '=+-，令()2ln 1e h x x x =+-，则()2120e x xh x =+>'，故()f x '在()0,+∞上单调递增，因为()0f e '=，所以()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，且()10f =，()f e e =-，()20f e =.令()0g x =得()23f x x =，在同一直角坐标系中，作出函数()1y f x =与232y x =的大致图象，如图所示，两函数图象共有6个交点，故()g x 有6个零点，故选C.12.【答案】A【解析】由1MN =可知，OMN △为等边三角形，则1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅⋅︒=，由PM PO OM =+，PN PO ON =+，得22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，()224413OM ON OM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为5+，故选A.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】4-【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线1122y x z =-平移至经过点()2,3C 时，z 最小，z 的最小值为4-.14.【答案】24【解析】设该长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，由体对角线为外接球的直径得22214a b c ++=①，由长方体的表面积为22得()222ab ac bc ++=②，①②两式相加得()236a b c ++=，即6a b c ++=，故此长方体的所有棱长之和为()424a b c ++=. 15.【答案】()2,+∞【解析】由()()f a f b =可知44a ba b e e e e +=+，即()4441a b a b a b a be e e e e e e +⎛⎫-+-=--= ⎪⎝⎭()40a b aba b e e e e ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故4a b e +=，即2ln 2a b +=，则ln 2ln 21222b a a b a b ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭.16.【解析】由cos cos 3S a B b A =+可知1sin cos cos 32ab C a B b A ⋅=+，根据正弦定理知1sin sin sin cos sin cos sin 32A b C A B B A C ⋅⋅=+=，即sin b A =cos sin 1tan cos sin 1tan A A AA A A++=--7tan tan412A ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()0,A π∈，所以7412A ππ+=，故3A π=，因此4b =，又2222cos 13a b c bc A =+-=，故a =三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.【解析】（Ⅰ）从左至右第一、二个矩形的面积均为0.1，第三个矩形的面积为0.15，第四个矩形的面积为0.4，设成绩的中位数为x ，则700.10.10.150.40.510x -+++⨯=，解得73.75x =，即进入该企业面试的分数线为73.75； （Ⅱ）()221002515253525 3.841604050506K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为成绩与性别有关.18.【解析】（Ⅰ）由题意知()2221n n n S a S =-，即()()21221n n n n S S S S -=--21122n n n n n S S S S S --=--+，整理得112n n n n S S S S --=-，两边同时除以1n n S S -得1112n n S S --=， 又11111S a ==，则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， 则()111221nn n S =+-⨯=-， 故121n S n =-.当2n ≥时，1112123n n n a S S n n -=-=---()()22123n n -=--；当1n =时，11a =， 故()()1,1,2, 2.2123n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩（Ⅱ）()()212242121n nnan n +==+-()()2211122121n n ⎡⎤-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦， 因此222223411232n a a a na+++++=()()222221111113352121n n ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫-+-++-⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭()()2211111122221221n n ⎡⎤=-=-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故222223411232n a a a na +++++<. 19.【解析】（Ⅰ）如图，连结1BC ，设11BC B C O =，连结OM ，因为四边形11BCC B 为矩形，所以O 为1BC 的中点， 又因为M 为AB的中点，所以1//OM AC ， 因为OM ⊂平面1B CM 且1AC ⊄平面1B CM， 所以1//AC 平面1B CM .（Ⅱ）如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，令1BC =，则)A，(1C，(1B ，1,,022M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此21,,022MA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，1122MC ⎛=-- ⎝，1122MB ⎛=- ⎝，设平面1AMC 的法向量为()111,,m x y z =，则由10,0,m MA m MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111110,2210,22x y x y -=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩令11x =得()1,2,1m =.设平面11B C M 的法向量为()222,,n x y z =，则由110,0,n MC n MB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22222210,2210,22x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令21x =得11,0,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 35cos ,m n m n m n⋅==⋅， 故二面角11A C M B --的正弦值为10. 20.【解析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()242y xy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得()22224440k x k x k +-+=，()()22421611616120k kk∆=--=->，解得22k -<<且0k ≠， 由题意可得12248y y +=⨯=， 则直线l 的斜率121222121244y y y y k y y x x --==--1244182y y ===+，符合题意，故12k =. （Ⅱ）设()33,M x y ，()44,N x y ，():1l y k x '=--，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，消去y 得()2222240k x k x k -++=，则234224k x x k ++=，()2342412k MN x x k +=++=，由（Ⅰ）知212244k x x k -+=-，124x x =，由():2l y k x =+，得()2,0T -，所以))1222TA TB x x ⋅=++()()()221212281124k k x x x x k+=++++=⎡⎤⎣⎦；因此2TA TB MN⋅=，即TA TB MN⋅是定值，该定值为2.21.【解析】（Ⅰ）()x f x e m '=-，由题意知()00f x '=，即0xe m =.因为xy e =为R 上的增函数，又因为051,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以542. 723.49e m e ≈<<≈，又因为m 为正整数，所以3m =，即0ln 3x =. 由()3xf x e '=-为R 上的增函数，知当(),ln3x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()ln3,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以()f x 的极小值为()ln333ln3f =-，无极大值. （Ⅱ）由题意可知()()6xxf x x e ex f -----=，即若0x >时，不等式()60x xe e a x ---+>恒成立，令1x =得163a e e<--<-. 令()()6xxe x x ea g ---+=，则()6x x g x e e a -'=+--， 令()6xxh x e ea -=+--，则()x x h x e e -'-=，显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，故()()00h x h ''>=， 故()g x '在[)0,+∞上单调递增，()04g a '=--.①当()040g a '=--≥，即4a ≤-时，()g x 在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，符合题意； ②当()040g a '=--<，即43a -<<-时，()2222116302e eg e a e +-->+-'>=， 故存在()00,2x ∈使得()00g x '=，故()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 当()00,x x ∈时，()()00g x g <=与()0g x >矛盾. 综上所述，4a ≤-，所以实数a 的取值范围为(],4-∞-.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【解析】（Ⅰ）消去参数α可得曲线1C 的普通方程为()()22121x y -+-=，其中(]0,2x ∈，[]2,3y ∈；由2320ρρ-+=解得12ρ=或2 1ρ=，故曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=或221x y +=.（Ⅱ）当曲线1C 以t 为参数时，曲线1C 表示过点()1,2，倾斜角为α的直线， 当2πα=时，曲线1C 为1x =，与曲线2C 有三个不同的交点；当2πα≠时，曲线()1:tan 12C y x α=-+与曲线2C 恰有两个不同的交点，则原点到曲线1C 的距离d 应满足12d <<，即12<<，解得30tan 4α<<或4tan 3α<-. 23.【解析】（Ⅰ）由3a b c ++=可得3a b c +=-，两边平方得()()223a b c +=-，又221a b +=，可得()2231ab c =--， 因为222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）， 所以()20311c <--≤，结合30c ->解得32c -<， 故c的取值范围为)3⎡⎣.（Ⅱ）2bc ac c a b +≥，2bc ab b a c +≥，2ac aba b c+≥，三个同向不等式相加得()22bc ac ab a b c ab c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭， 即3bc ac aba b c++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.。
河南省联盟基础年级联考2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案
3 ，故选 B. 2
法二：由题意设直线
AB
:
y
1 2
x
c
，
A
x1,
y1
，
B
x2 ,
y2
，将直线
AB
的方程代入椭圆方程，化简
得
a2 4b2
x2
2a2cx
a2c2
4a2b2
0 ， x1
x2
2a2c a2 4b2
，Q
AF1 QB ， x1 x2 c ，
故
2a2c a2 4b2
c ，即 a
2b ，e
D.样本点在回归方程两侧的个数一定相同
7.已知双曲线
C1
:
x2 a12
y2 b12
1 （ a1
0,b1
0
）与双曲线
C2
:
y2 a22
x2 b22
1（ a2
0,b2
0 ）有相同的渐近
线 y 2x ，则下列关系中正确的是（ ）
A. a1a2 b1b2
B. a2b1 2a1b2
C. a1 a2 b1 b2
5
（参考数据： e 2.72 ， e4 3.49 ）
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x y
1 t cos 2 t sin
（
t
R,
0,
成绩 分数线
成绩 分数线
总计
男生
女生
总计
附：
K
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2019-2020学年河南省名校联盟基础年级联考高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年河南省名校联盟基础年级联考高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝2x+1，x∈R}，B＝{x|y＝ln（6﹣x），x∈N*}，集合C＝A∩B，则集合C的子集的个数为（）A．4B．8C．16D．322．已知为复数z的共轭复数，z+1＝i+2，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列命题为假命题的是（）A．∀x∈R，e x＞x B．∃x0∈R，e＜x0C．∀x∈（0，+∞），lnx＜x D．∃x0∈（0，+∞），lnx0＞x0﹣24．函数y＝sin（ωx+）的图象的一条对称轴方程为x＝，则实数ω的取值不可能为（）A．1B．4C．7D．85．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列选项中正确的是（）A．若m⊥α，α⊥β，则m⊥βB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β6．已知变量x与变量y有较强的线性相关性，其线性回归方程为＝﹣2x+3.5，则下列说法中正确的是（）A．x与y正相关B．若＝5，则＝﹣6.5C．x增加1，y一定减少2D．样本点在回归方程两侧的个数一定相同7．已知双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的渐近线y＝±2x，则下列关系中正确的是（）A．a1a2＝b1b2B．a2b1＝2a1b2C．a1+a2＝b1+b2D．2a1+2a2＝b1+b28．已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记﹣1分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为（）A．2B．4C．6D．89．公元1202年意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即a1＝a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*）．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记b n＝2n（a n+12﹣a n a n+2）（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，则S2020＝（）A．B．C．D．10．如图，过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，与y轴交于点Q，若|OF1|＝2|OQ|，|AF1|＝|BQ|，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝（e＝2.71828…），则函数g（x）＝|f（x）|﹣x的零点个数为（）A．4B．5C．6D．812．已知M，N为单位圆O：x2+y2＝1上的两个动点，且满足||＝1，P（3，4），则|2﹣|的最大值为（）A．5B．5C．5D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为．14．已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为．15．已知f（x）＝e x+，若正数a，b（a≠b）满足f（a）＝f（b），则+的取值范围为．16．在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，△ABC的面积为S，若S＝a cos B+b cos A，＝tan，c＝3，则a＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某企业组织应聘该企业的100名应届毕业生参加专业能力测试（满分100分），这100名毕业生的成绩的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，根据频率分布直方图求进入该企业面试的分数线；（Ⅱ）若被测试的毕业生中有40名女生，进入面试的有15名女生，35名男生，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为成绩与性别有关．成绩＜分数线成绩≥分数线总计男生女生总计附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82818．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，满足a n，S n，S n﹣成等比数列．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：a22+2a32+3a42+…+na n+12＜．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面B1CM；（Ⅱ）求二面角A﹣C1M﹣B1的正弦值．20．已知抛物线C：y2＝4x与直线l：y＝k（x+2）交于A、B两点．（Ⅰ）当线段AB的中点纵坐标为4时，求k的值；（Ⅱ）直线l′过抛物线C的焦点F，与抛物线C交于M、N两点，设直线l与x轴的交点为T．若l与l'两直线的倾斜角互补，请问：是否为定值，若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x﹣mx，其中e为自然对数的底数，m为正整数．若函数f（x）在x＝x0处取得极值，且x0∈（1，）．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）﹣f（﹣x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．（参考数据：e≈2.72，e≈3.49）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t∈R，α∈[0，π）），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣3ρ+2＝0．（Ⅰ）当曲线C1以α为参数且t＝1时，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）当曲线C1以t为参数时，若C1与C2恰有两个不同的交点，求tanα的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a，b，c满足a+b+c＝3．（Ⅰ）若a2+b2＝1，求c的取值范围；（Ⅱ）求证：≥3．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝2x+1，x∈R}，B＝{x|y＝ln（6﹣x），x∈N*}，集合C＝A∩B，则集合C的子集的个数为（）A．4B．8C．16D．32解：∵集合A＝{y|y＝2x+1，x∈R}＝{y|y＞1}，B＝{x|y＝ln（6﹣x），x∈N*}＝{x|6﹣x＞0，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，∴集合C＝A∩B＝{2，3，4，5}，则集合C的子集的个数为24＝16．故选：C．2．已知为复数z的共轭复数，z+1＝i+2，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：设z＝a+bi（a，b∈R），由z+1＝i+2，得a+1+bi＝2a+（1﹣2b）i，即，解得．故z＝1+．∴在复平面内z对应的点的坐标为（1，），位于第一象限．故选：A．3．下列命题为假命题的是（）A．∀x∈R，e x＞x B．∃x0∈R，e＜x0C．∀x∈（0，+∞），lnx＜x D．∃x0∈（0，+∞），lnx0＞x0﹣2解：A构造函数y＝e x﹣x，求导得y′＝e x﹣1，令y′＝0，则x＝0．所以函数y在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．∴y≥1即∀x∈R，e x＞x．A正确B与A矛盾，B不正确．C构造函数y＝x﹣lnx，求导得y′＝1﹣，令y′＝0，则x＝1所以函数y在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．∴y≥1即∀x∈（0，+∞），lnx＜x．C正确．D当x＝1时ln1＞1﹣2成立，D正确．故选：B．4．函数y＝sin（ωx+）的图象的一条对称轴方程为x＝，则实数ω的取值不可能为（）A．1B．4C．7D．8解：由于函数y＝sin（ωx+）的图象的一条对称轴方程为x＝，∴ω•+＝kπ+，即ω＝3k+1，k∈Z，故k不可能为8，故选：D．5．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列选项中正确的是（）A．若m⊥α，α⊥β，则m⊥βB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β解：由m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：对于A，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；对于D，若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．6．已知变量x与变量y有较强的线性相关性，其线性回归方程为＝﹣2x+3.5，则下列说法中正确的是（）A．x与y正相关B．若＝5，则＝﹣6.5C．x增加1，y一定减少2D．样本点在回归方程两侧的个数一定相同解：变量x与变量y有较强的线性相关性，其线性回归方程为＝﹣2x+3.5，可知两个变量x，y是负相关，所以A不正确；回归直线经过样本中心（，），所以B正确；x增加1，y一定减少2，是不正确的，所以C不正确；样本点在回归方程两侧的个数一定相同，这是不正确的，分布不一定均匀，所以D不正确．故选：B．7．已知双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的渐近线y＝±2x，则下列关系中正确的是（）A．a1a2＝b1b2B．a2b1＝2a1b2C．a1+a2＝b1+b2D．2a1+2a2＝b1+b2解：双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的渐近线y＝±2x，可得，，所以a1a2＝b1b2．故选：A．8．已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记﹣1分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为（）A．2B．4C．6D．8解：10次摸球摸出黑球的次数为X，则X∽B（10，），E（X）＝10×＝4，所得总分数ξ＝2X+（10﹣X）×（﹣1）＝3X﹣10，所以E（ξ）＝3E（X）﹣10＝2，故选：A．9．公元1202年意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即a1＝a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*）．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记b n＝2n（a n+12﹣a n a n+2）（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，则S2020＝（）A．B．C．D．解：由题意知：＝＝﹣2，由于b1＝﹣2，所以，则．故选：C．10．如图，过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，与y轴交于点Q，若|OF1|＝2|OQ|，|AF1|＝|BQ|，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意设直线AB的方程：y＝（x+c），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程代入椭圆方程，化简可得：（a2+4b2）x2+2a2cx+a2c2﹣4a2b2＝0，故x1+x2＝﹣，因为|AF1|＝|QB|，所以x1+x2＝﹣c，即﹣＝﹣c，可得a＝2b，∴e＝＝＝＝，故选：B．11．已知函数f（x）＝（e＝2.71828…），则函数g（x）＝|f（x）|﹣x的零点个数为（）A．4B．5C．6D．8解：因为x＞0时f'（x）＝lnx+（x﹣2e）＝lnx+1﹣，令h（x）＝lnx+1﹣，则h'（x）＝+＞0恒成立，所以f'（x）在（0，+∞）单调递增，而f'（e）＝0，所以f（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减，且f（1）＝0，f（e）＝﹣e，f（2e）＝0，令g（x）＝|f（x）|﹣x＝0，则|f（x）|＝x，在同一坐标系中作y1＝|f（x）|与y＝x 的大致图象，如图所示：两个函数由6个交点，即g（x）由6个零点，故选：C．12．已知M，N为单位圆O：x2+y2＝1上的两个动点，且满足||＝1，P（3，4），则|2﹣|的最大值为（）A．5B．5C．5D．5解：＝，，则|2﹣|＝|2（﹣）﹣（﹣）|＝|2﹣+|≤|2﹣|+||，∵||＝1，P（3，4），∴△OMN为等边三角形，||＝5，|﹣|＝＝，则|2﹣|≤5+，（当2与反向时取等号），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为﹣4．解：由z＝x﹣2y得y＝x﹣，作出实数x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）：平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣，过点C时，直线y＝x﹣的截距最大，此时z最小，，解得C（2，3）．代入目标函数z＝2﹣2×3＝﹣4，∴目标函数z＝x﹣2y的最小值是﹣4．故答案为：﹣4．14．已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为24．解：设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由体对角线为外接球的直径，得a2+b2+c2＝（2r）2＝14①，由长方体表面积为22，得2（ab+ac+bc）＝22②，①②式相加，得（a+b+c）2＝36，即a+b+c＝6，故长方体所有棱长之和为4（a+b+c）＝24．故答案为：24．15．已知f（x）＝e x+，若正数a，b（a≠b）满足f（a）＝f（b），则+的取值范围为（2，+∞）．解：由f（a）＝f（b）可得，即e a﹣e b+＝（e a﹣e b）（1﹣）＝0，∵a≠b，∴e a+b＝4，故a+b＝2ln2，则+＝（2+）．故答案为：（2，+∞）16．在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，△ABC的面积为S，若S＝a cos B+b cos A，＝tan，c＝3，则a＝．解：∵＝tan，∴＝tan（）＝，∴A＝．∵S＝a cos B+b cos A，∴•bc sin A＝a cos B+b cos A，∴•b•3＝a cos B+b，化简得cos B＝，由正弦定理知，＝＝，即tan B＝＝＝，∴sin B＝，＝，由余弦定理知，cos B＝＝，即＝×，化简得3b2+24b﹣144＝0，即（3b+36）（b﹣4）＝0，解得b＝4，∴a＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某企业组织应聘该企业的100名应届毕业生参加专业能力测试（满分100分），这100名毕业生的成绩的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，根据频率分布直方图求进入该企业面试的分数线；（Ⅱ）若被测试的毕业生中有40名女生，进入面试的有15名女生，35名男生，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为成绩与性别有关．成绩＜分数线成绩≥分数线总计男生女生总计附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828解：（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，从左至右第一、第二个矩形的面积均为0.1，第三个矩形的面积为0.15，第四个矩形的面积为0.4，设所求的成绩的中位数为x，则0.1+0.1+0.15+×0.4＝0.5，解得x＝73.75，即根据频率分布直方图可知进入该企业面试的分数线为73.75；（Ⅱ）由题可知列联表，成绩＜分数线成绩≥分数线总计男生253560女生251540总计5050100则K2＝＝＝＞3.841．故有95%的把握认为成绩与性别有关．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，满足a n，S n，S n﹣成等比数列．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：a22+2a32+3a42+…+na n+12＜．解：（Ⅰ）由题意知，即，整理得：2S n S n﹣1＝S n﹣1﹣S n，两边同时除以S n S n﹣1得：，又因为，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，则，故．当n⩾2时，，当n＝1 时，a1＝1，故．（Ⅱ），因此＝，故．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面B1CM；（Ⅱ）求二面角A﹣C1M﹣B1的正弦值．解：（Ⅰ）证明：如图，连接BC1，设BC1∩B1C＝O，连接OM，∵四边形BCC1B1为矩形，∴O为BC1的中点，又∵M为AB的中点，∴OM∥AC1，∵OM⊂平面平面B1CM，AC1⊄平面平面B1CM，∴AC1∥平面B1CM；（Ⅱ）如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．令BC＝1，则A（，0，0），C1（0，0，），，M（，，0）．则，，．设平面AMC1的一个法向量为．由，取x1＝1，得；设平面B1C1M的一个法向量为．由，取x2＝1，得．设二面角A﹣C1M﹣B1的平面角为θ，则|cosθ|＝，则sinθ＝．即二面角A﹣C1M﹣B1的正弦值为．20．已知抛物线C：y2＝4x与直线l：y＝k（x+2）交于A、B两点．（Ⅰ）当线段AB的中点纵坐标为4时，求k的值；（Ⅱ）直线l′过抛物线C的焦点F，与抛物线C交于M、N两点，设直线l与x轴的交点为T．若l与l'两直线的倾斜角互补，请问：是否为定值，若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由．解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2＝0，△＝16（k2﹣1）2﹣16k4＝16（1﹣2k2）＞0，解得且k≠0，由题意可得y1+y2＝2×4＝8，则直线l的斜率，符合题意，故．（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），l′：y＝﹣k（x﹣1），联立，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则，由（Ⅰ）知，由l：y＝k（x+2），得T（﹣2，0），所以＝，因此，即是定值，该定值为2．21．已知函数f（x）＝e x﹣mx，其中e为自然对数的底数，m为正整数．若函数f（x）在x＝x0处取得极值，且x0∈（1，）．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）﹣f（﹣x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．（参考数据：e≈2.72，e≈3.49）解：（Ⅰ）f′（x）＝e x﹣m，由题意知f′（x0）＝0，即＝m，∵y＝e x为R上的增函数，又因为x0∈（1，），∴2.72≈e＜m＜≈3.49，又因为m是正整数，故m＝3，即x0＝ln3，由f′（x）＝e x﹣3为R上的增函数，知当x∈（﹣∞，ln3）时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（ln3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）的极小值为f（ln3）＝3﹣3ln3，无极大值；（Ⅱ）由题意可知f（x）﹣f（﹣x）＝e x﹣e﹣x﹣6x，即若x＞0时，不等式e x﹣e﹣x﹣（6+a）x＞0恒成立，令x＝1得a＜e﹣﹣6＜﹣3，令g（x）＝e x﹣e﹣x﹣（6+a）x（x＞0），则g′（x）＝e x+e﹣x﹣6﹣a，令h（x）＝e x+e﹣x﹣6﹣a，则h′（x）＝e x﹣e﹣x，显然h′（x）在[0，+∞）递增，故h′（x）＞h′（0）＝0，故g′（x）在[0，+∞）递增，g′（0）＝﹣4﹣a；①当g′（0）＝﹣4﹣a≥0即a≤﹣4时，g（x）在（0，+∞）递增，故g（x）＞g（0）＝0，符合题意，②当g′（0）＝﹣4﹣a＜0即﹣4＜a＜﹣3时，g′（2）＝e2+﹣6﹣a＞e2+﹣3＞0，故存在x0∈（0，2），使得g′（x0）＝0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，当x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）＝0与g（x）＞0矛盾，综上，a≤﹣4，故实数a的范围是（﹣∞，﹣4]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t∈R，α∈[0，π）），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣3ρ+2＝0．（Ⅰ）当曲线C1以α为参数且t＝1时，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）当曲线C1以t为参数时，若C1与C2恰有两个不同的交点，求tanα的取值范围．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t∈R，α∈[0，π）），由于t＝1，转换为普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．x∈（0，2]，y∈[2，3]．曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣3ρ+2＝0．整理得ρ1＝2，ρ2＝1．转换为普通方程为x2+y2＝4，x2+y2＝1．（Ⅱ）当曲线C1以t为参数时，曲线C1表示过点（1，2），倾斜角为α的直线，当时，曲线C1为x＝1，与曲线C2有三个不同的交点，当时，若曲线C1：y＝tanα（x﹣1）+2与曲线C2恰有两个不同交点，则原点到曲线C1的距离d应满足1＜d＜2，即，解得或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a，b，c满足a+b+c＝3．（Ⅰ）若a2+b2＝1，求c的取值范围；（Ⅱ）求证：≥3．解：（Ⅰ）由a+b+c＝3，可得a+b＝3﹣c，两边平方得（a+b）2＝（3﹣c）2，又a2+b2＝1，∴2ab＝（3﹣c）2﹣1，∵a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时等号成立），∴0＜（3﹣c）2﹣1≤1，结合3﹣c＞0，解得3﹣≤c＜2．故c的取值范围为[3﹣，2）；（Ⅱ）证明：∵，，，三个同向不等式相加，可得，即≥3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．。
2019-2020学年河南省联盟基础年级联考高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
河南名校联盟基础年级联考2019-2020学年高二（下）期末考试数学（理科）考生注意：1.本试卷共8页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,xy y A x =+=∈R ，(){}*ln 6,B x y x x ==-∈N，集合C AB =，则集合C 的子集的个数为（ ） A.4B.8C.16D.322.已知z 为复数z 的共扼复数，12z i z +=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列命题为假命题的是（ ） A.x ∀∈R ，x e x >B.0x ∃∈R ，00x ex <C.()0,x ∀∈+∞，ln x x <D.()00,x ∃∈+∞，00ln 2x x >-4.函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为3x π=，则实数ω的取值不可能为（ ）A.1B.4C.7D.85.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列选项中正确的是（ ） A.若m α⊥，αβ⊥，则m β⊥ B.若//m n ，n α⊂，则//m α C.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D.若//m α，//n β，//m n ，则//αβ6.已知变量x 与变量y 有较强的线性相关性，其线性回归方程为2 3.5y x =-+，则下列说法中正确的是（ ）A.x 与y 正相关B.若5x =，则 6.5y =-C.x 增加1，y 一定减少2D.样本点在回归方程两侧的个数一定相同7.已知双曲线2212211:1x y C a b -=（110,0a b >>）与双曲线2222222:1y x C a b -=（220,0a b >>）有相同的渐近线2y x =±，则下列关系中正确的是（ ） A.1212a a b b = B.21122a b a b = C.1212a a b b +=+D.121222a a b b +=+8.已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记1-分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为（ ） A.2B.4C.6D.89.公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记()2122n n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A.2020223-+B.2020223-C.2021223-D.2021223-+10.如图，过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，与y 轴交于点Q ，若12OF OQ =，1AF BQ =，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A.1233611.已知函数()()2ln ,0,1,0x e x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩（ 2.71828e =），则函数()()23g x f x x =-的零点个数为（ ） A.4B.5C.6D.812.已知,M N 为单位圆221:x O y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则2PM PN-的最大值为（ ） A.53+B.53-C.523+D.5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足10,330,10,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为 .14.已知某长方体的所有顶点均在半径为14的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为 . 15.已知()4x x e e f x =+，若正数(),a b a b ≠满足()()f a f b =，则ln 2ln 2a b+的取值范围为 . 16.在ABC △中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC △的面积为S ，若3cos cos 3S a B b A =+，cos sin 7tancos sin 12A A A A π+=-，3c =，则a = . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某企业组织应聘该企业的100名应届毕业生参加专业能力测试（满分100分），这100名毕业生的成绩的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，根据频率分布直方图求进入该企业面试的分数线；（Ⅱ）若被测试的毕业生中有40名女生，进入面试的有15名女生，35名男生，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为成绩与性别有关.成绩<分数线成绩≥分数线总计 男生 女生 总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，满足,,2n n n a S S -成等比数列. （Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：222223411232n a a a na +++++<. 19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，12AA AC BC ==，90ACB ∠=︒，M 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1B CM ； （Ⅱ）求二面角11A C M B --的正弦值.20.已知抛物线2:4C y x =与直线():2l y k x =+交于A 、B 两点.（Ⅰ）当线段AB 的中点纵坐标为4时，求k 的值；（Ⅱ）直线l '过抛物线C 的焦点F ，与抛物线C 交于M 、N 两点，设直线l 与x 轴的交点为T .若l 与l '两直线的倾斜角互补，请问：TA TB MN⋅是否为定值，若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.21.已知函数()xf x e mx =-，其中e 为自然对数的底数，m 为正整数.若函数()f x 在0x x =处取得极值，且051,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若0x >时，不等式()()f x f x ax -->恒成立，求实数a 的取值范围. （参考数据： 2.72e ≈，543.49e ≈）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（[),0,t απ∈∈R ），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2320ρρ-+=.（Ⅰ）当曲线1C 以α为参数且1t =时，求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当曲线1C 以t 为参数时，若1C 与2C 恰有两个不同的交点，求tan α的取值范围. 23.[选修4—5：不等式选讲] 已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围； （Ⅱ）求证：3bc ac aba b c++≥.河南名校联盟基础年级联考2019-2020学年高二（下）期末考试数学（理科）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C【解析】因为{}1A y y =>，{}*60,B x x x =->∈N {}1,2,3,4,5=，{}2,3,4,5C AB ==，所以集合C 的子集的个数为4216=，故选C. 2.【答案】A【解析】设(),z a bi a b =+∈R ，则z a bi =-，代入12z i z +=+可得()1212a bi a b i ++=+-，即1,12,112,.3a a a b b b ⎧=⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩故113z i =+，所以在复平面内z 对应的点为11,3⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限，故选A.3.【答案】B【解析】因为e 1x x ≥+恒成立，所以0x ∃∈R ，00x e x <为假命题，故选B.4.【答案】D 【解析】由题意可知()362k k πππωπ⋅+=+∈Z ，解得()13k k ω=+∈Z ，观察各选项，故选D.5.【答案】C【解析】若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则α与β是垂直关系，故选C. 6.【答案】B【解析】线性回归方程一定经过样本点的中心(),x y ，故选B. 7.【答案】A 【解析】由题意可知112b a =，222ab =，所以1212a a b b =，故选A. 8.【答案】A【解析】设10次摸球出现黑球的次数为X ，则2~10,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()4E X =，所得总分数2X ξ=()()101310X X +-⨯-=-，所以()()3102E E X ξ=-=，故选A.9.【答案】C 【解析】由题意可知212132122n n n n n n n n b a a a b a a a ++++++-=⋅=-()221122122n n n n n n n a a a a a a a ++++++-+⋅=-()222112122n n n n n n n a a a a a a a ++++++--⋅=-22121222n n n n n n a a a a a a ++++-⋅=--，又12b =-，因此()2nn b =-，故()2020202120202122233S -⨯--==，故选C. 10.【答案】B【解析】法一：如图取1F Q 的中点M ，由1AF BQ =可知，M 为AB 的中点，且1OM F Q k k =-，由12OF OQ =得112F Q k =，所以114OM F Q k k ⋅=-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，即2214AB OM b k k a =-⋅=-，所以22222314c b e a a ==-=，所以32e =，故选B. 法二：由题意设直线()1:2AB y x c =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 的方程代入椭圆方程，化简得()222222224240a b x a cx a c a b +++-=，2122224a cx x a b ∴+=-+，1AF QB =，12x x c ∴+=-，故22224a c c a b -=-+，即2a b=，3e ∴=，故选B. 11.【答案】C【解析】当0x >时，()2ln 1e x x f x '=+-，令()2ln 1e h x x x =+-，则()2120e x xh x =+>'，故()f x '在()0,+∞上单调递增，因为()0f e '=，所以()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，且()10f =，()f e e =-，()20f e =.令()0g x =得()23f x x =，在同一直角坐标系中，作出函数()1y f x =与232y x =的大致图象，如图所示，两函数图象共有6个交点，故()g x 有6个零点，故选C.12.【答案】A【解析】由1MN =可知，OMN △为等边三角形，则1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅⋅︒=，由PM PO OM =+，PN PO ON =+，得22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，()224413OM ONOM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为53+，故选A.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】4-【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线1122y x z =-平移至经过点()2,3C 时，z 最小，z 的最小值为4-.14.【答案】24【解析】设该长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，由体对角线为外接球的直径得22214a b c ++=①，由长方体的表面积为22得()222ab ac bc ++=②，①②两式相加得()236a b c ++=，即6a b c ++=，故此长方体的所有棱长之和为()424a b c ++=.15.【答案】()2,+∞【解析】由()()f a f b =可知44a ba be e e e+=+，即()4441aba b a b a be e e e e e e +⎛⎫-+-=--= ⎪⎝⎭()40a ba b a b e e e e ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故4a be +=，即2ln 2a b +=，则ln 2ln 21222b a a b a b ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭.16.【解析】由cos cos 3S a B b A =+可知1sin cos cos 32ab C a B b A ⋅=+，根据正弦定理知1sin sin sin cos sin cos sin 32A b C AB B AC ⋅⋅=+=，即sin b A =cos sin 1tan cos sin 1tan A A A A A A ++=--7tan tan 412A ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()0,A π∈，所以7412A ππ+=，故3A π=，因此4b =，又2222cos 13a b c bc A =+-=，故a =三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.【解析】（Ⅰ）从左至右第一、二个矩形的面积均为0.1，第三个矩形的面积为0.15，第四个矩形的面积为0.4，设成绩的中位数为x ，则700.10.10.150.40.510x -+++⨯=，解得73.75x =，即进入该企业面试的分数线为73.75； （Ⅱ）()221002515253525 3.841604050506K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为成绩与性别有关.18.【解析】（Ⅰ）由题意知()2221n n n S a S =-，即()()21221n n n n S S S S -=--21122n n n n n S S S S S --=--+，整理得112n n n n S S S S --=-，两边同时除以1n n S S -得1112n n S S --=， 又11111S a ==，则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， 则()111221nn n S =+-⨯=-， 故121n S n =-. 当2n ≥时，1112123n n n a S S n n -=-=---()()22123n n -=--；当1n =时，11a =， 故()()1,1,2, 2.2123n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩（Ⅱ）()()212242121n nnan n +==+-()()2211122121n n ⎡⎤-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦， 因此222223411232n a a a na+++++=()()222221111113352121n n ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫-+-++-⎢⎥⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭ ()()2211111122221221n n ⎡⎤=-=-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故222223411232n a a a na +++++<. 19.【解析】（Ⅰ）如图，连结1BC ，设11BC B C O =，连结OM ，因为四边形11BCC B 为矩形，所以O 为1BC 的中点， 又因为M 为AB 的中点，所以1//OM AC ， 因为OM ⊂平面1B CM 且1AC ⊄平面1B CM ， 所以1//AC 平面1B CM .（Ⅱ）如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，令1BC =，则)2,0,0A ，(12C ，(12B ，21,02M ⎫⎪⎪⎝⎭， 因此21,,022MA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，121222MC ⎛=-- ⎝，121222MB ⎛=- ⎝，设平面1AMC 的法向量为()111,,m x y z =， 则由10,0,m MA m MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11111210,222120,22x y x y z -=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩ 令11x =得()1,2,1m =.设平面11B C M 的法向量为()222,,n x y z =，则由110,0,n MC n MB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222222120,222120,22x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令21x =得11,0,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 35cos ,m n m n m n ⋅==⋅，故二面角11A C M B --55.20.【解析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()242y xy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得()22224440k x k x k +-+=，()()22421611616120k k k ∆=--=->，解得22k -<<且0k ≠，由题意可得12248y y +=⨯=，则直线l 的斜率121222121244y y y y k y y x x --==--1244182y y ===+，符合题意，故12k =.（Ⅱ）设()33,M x y ，()44,N x y ，():1l y k x '=--，联立()241y x yk x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，消去y 得()2222240k x k x k -++=， 则234224k x x k ++=，()2342412k MN x x k +=++=， 由（Ⅰ）知212244k x x k -+=-，124x x =，由():2l y k x =+，得()2,0T -，所以))1222TA TB x x ⋅=++()()()221212281124k k x x x x k +=++++=⎡⎤⎣⎦；因此2TA TB MN ⋅=，即TA TBMN ⋅是定值，该定值为2.21.【解析】（Ⅰ）()x f x e m '=-，由题意知()00f x '=，即0x e m =.因为x y e =为R 上的增函数，又因为051,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以54 2. 72 3.49e m e ≈<<≈，又因为m 为正整数，所以3m =，即0ln 3x =.由()3x f x e '=-为R 上的增函数，知当(),ln3x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()ln3,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为()ln333ln3f =-，无极大值.（Ⅱ）由题意可知()()6x x f x x e e x f -----=，即若0x >时，不等式()60x x e ea x ---+>恒成立， 令1x =得163a e e <--<-. 令()()6x x e x x e a g ---+=，则()6x x g x e e a -'=+--，令()6x xh x e e a -=+--，则()x x h x e e -'-=， 显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，故()()00h x h ''>=，故()g x '在[)0,+∞上单调递增，()04g a '=--.①当()040g a '=--≥，即4a ≤-时，()g x 在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，符合题意； ②当()040g a '=--<，即43a -<<-时，()2222116302e eg e a e +-->+-'>=， 故存在()00,2x ∈使得()00g x '=，故()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，当()00,x x ∈时，()()00g x g <=与()0g x >矛盾.综上所述，4a ≤-，所以实数a 的取值范围为(],4-∞-.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【解析】（Ⅰ）消去参数α可得曲线1C 的普通方程为()()22121x y -+-=，其中(]0,2x ∈，[]2,3y ∈； 由2320ρρ-+=解得12ρ=或2 1ρ=，故曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=或221x y +=. （Ⅱ）当曲线1C 以t 为参数时，曲线1C 表示过点()1,2，倾斜角为α的直线， 当2πα=时，曲线1C 为1x =，与曲线2C 有三个不同的交点； 当2πα≠时，曲线()1:tan 12C y x α=-+与曲线2C 恰有两个不同的交点， 则原点到曲线1C 的距离d 应满足12d <<，即12<<，解得30tan 4α<<或4tan 3α<-.23.【解析】（Ⅰ）由3a b c ++=可得3a b c +=-，两边平方得()()223a b c +=-，又221a b +=，可得()2231ab c =--， 因为222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立），所以()20311c <--≤，结合30c ->解得32c -<，故c 的取值范围为)3⎡⎣. （Ⅱ）2bc ac c a b +≥，2bc ab b a c +≥，2ac aba b c +≥， 三个同向不等式相加得()22bcacab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭， 即3bcacaba b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.。
河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期第二次联考数学(理)试题Word版含答案
河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期第二次联考数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{=|A x y =，{}|ln(1)B x y x ==-，则A B 等于（）A ．()1,2B ．(1,2]C ．()2,1-D ．[2,1)-2.命题“1x ∀>，1122x⎛⎫< ⎪⎝⎭”的否定是（ ）A ．1x ∀>，1122x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭B ．1x ∀≤，1122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C ．01x ∃>，01122x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．01x ∃≤01122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且105S =，71a =，则1a =（ ）A ．-1B ．12-C ．14D ． 124.设,a b R ∈，则“5a b +>”是“2a >且3b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F2F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（）A ．22132x y +=B ．2213x y += C.221128x y += D ．221124x y += 6.已知实数x ，y 满足条件103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．-8B ．-6 C.-2 D ．47.已知命题p ：“[]0,1x ∀∈，x a e ≥”，命题:q “x R ∀∈，240x x a ++≠”，若命题p q ∧⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,4B ．[],4e C.[4,)+∞ D ．(,1]-∞8.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 的中点()1,1P -，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C.2212718x y += D ．221189x y +=9.若ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且BC 边上的中线AD =又2AB =，则ABC S ∆=（ ）A ．3B ．．610. 椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的中心点在原点，1F ，2F 分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2PF AB ，则此椭圆的离心率为（ ）A ．13 B ．12C.2 D ．511.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c b c =++，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值为（ ）A ．1B 1．312.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最大值为（ ）A ．2B ．5 C.5 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若命题“0x R ∃∈，20020x x m -+≤”是假命题，则m 的取值范围是 ．14.已知点1F ，2F 是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥.若12PF F ∆的面积为9，则b = ．15.已知()1,0A -，B 是圆F ：222110x x y -+-=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ．16.已知ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，4BC =，若点P 是BC 边上的动点，且P 到AB ，AC 的距离分别为m ，n ，则41m n+的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin a B A =. （1）求角A 的大小； （2）若a =2b =，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）已知0m >，:p ()()260x x +-≤，:q 22m m -≤+.（1）已知p 是q 成立的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）已知m R ∈，命题:p 对[]0,8x ∀∈，不等式()213log 13x m m +≥-恒成立；命题:q 对(),1x ∀∈-∞-，不等式222x x mx +>+恒成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围. 20. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足2312232222n n a a a a n n ++++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()12nnna b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .21. （本小题满分12分）已知点()0,1A 与12B ⎫⎪⎭都是椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）上的点，直线AB 交x 轴于点M .（1）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；（2）设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B 其离心率12e =，点M 为椭圆上的一个动点，MAB ∆面积的最大值是（1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当0PB PD ⋅=时，求点P 的坐标.豫西名校2018-2019学年上期第二次联考高二数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【解析】由240x -≥，解得2x x -≤≤，则[]2,2A -；由10x ->，解得1x <， 则(),1B =-∞，所以[2,1)AB =-.2.【解析】因为“1x ∀>，1122x⎛⎫< ⎪⎝⎭”是全称命题，其否定是特称命题，即“01x ∃>，01122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭”.3.【解析】11161, 1.109105,2a d a a d +=⎧⎪⇒=⎨⨯+=⎪⎩ 4.【解析】显然“2a >且3b >”成立时，“5a b +>”一定会成立，所以是必要条件，当4a >且2b >时，“5a b +>”成立，但“2a >且3b >”不成立，所以不是充分条件. 5.【解析】由椭圆的性质知1||2AF a =，12||||2BF BF a +=，∴1AF B ∆的周长=1212||||||||AF AF BF BF +++=a =2222b a c =-=，∴椭圆的方程为22132y y +=. 6.【解析】作出约束条件103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所对应的可行域如图ABC ∆及其内部，变形目标函数可得2y x z =-，平移直线2y x =可知，当直线经过点()3,2C 时，直线的截距最小，z 取最大值，代值计算可得2z x y =-的最大值max 2324z =⨯-=.7.【解析】命题p 为真，则a e ≥；命题q 为真，则1640a -<，解得4a >，∴q ⌝：4a ≤，∴p q ∧⌝：4e a ≤≤.8.【解析】法一：根据椭圆的性质，3c =，又过点()3,0F 和直线AB 的中点()1,1P -的直线方程为230x y --=，联立方程组222222230,,x y b x a y a b --=⎧⎨+=⎩消去x ，并整理得()222222241290a b y b y b a b +++-=，所以21222124b y y a b +=-+，因为1212y y +=-，所以222a b =，因为229a b -=，解得218a =，29b =，所以椭圆的标准方程为221189x y +=. 法二：点差法，解答略9.【解析】因为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则60B =︒，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，即2742BD BD =+-，所以3BD =或-1（舍去），可得6BC =，所以11sin 2622ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=10.【解析】如图所示，把x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=（0a b >>），可得2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()0,A b ，(),0B a ，()2,0F c ∴ABbk a=-，122PF b k ac =-， ∵2PF AB ，∴22b b a ac-=-，化简得2b c =.∴22224c b a c ==-，即225a c =，∴5e ==. 11.【解析】由222a b c bc =++，则2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=.设ABC ∆外接圆的半径为R，则21sin sin 3a R A ===，∴1R =，∴1cos sin cos cos 2S B C bc A B C B C ==+sin cos B C B C =+⋅()B C =-，故cos S B C +.12.【解析】法一：设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线l 的方程为y x t =+，由2244,x y y x t⎧+=⎨=+⎩消去y ，得()2258410x tx t ++-=，则1285x x t +=-，()212415t x x -=.∴12|||AB x x =-==50t=时，max ||AB =法二：∵直线斜率固定过椭圆中心时，弦最长，∴可直接求的max ||AB =.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】13.()1,+∞ 14.3 15.22132x y += 16.9213.【解析】因为命题“0x R ∃∈，20020x x m -+≤”是假命题，所以x R ∀∈，220x x m -+≥为真命题，即440m ∆=-<，1m >，故答案为()1,+∞.14.【解析】由12PF PF ⊥知，1290F PF ∠=︒，由题意，得121222212||||2,1||||9,2||||4,PF PF a PF PF PF PF c +=⎧⎪⎪⋅=⎨⎪⎪+=⎩ 可得224364c a +=，即229a c -=，所以3b =.15.【解析】将圆F 改写成标准方程()22112x y -+=，则圆心F 的坐标为()1,0，半径r =，由题意可知||||PA PB =，又点P 在圆F 的半径BF上，故||||||||||2||PA PF PB PF BF AF +=++=>=，所以动点P 的轨迹是以A ，F为焦点，轴长的椭圆，则2a =22c =，所以b =，故动点P 的轨迹方程为22132x y +=. 16.【解析】由题知AB AC ==)21122m n ⨯=+⎝⎭， 则2m n +=，根据基本不等式，得()411411495222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2,4,m n n m m n+=⎧⎪⎨=⎪⎩即43m =，23n =时，等号成立.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【解析】（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =. 又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<，所以3A π=……………………（4分）（2）法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，及a =2b =，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --=. 因为0c >，所以3c =. 故ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==……………………（10分）法二：由正弦定理，得2sin sin3Bπ=，从而sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos 7B =故()sin sin sin sin cos cos sin 33314C A B B B B πππ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭. 所以ABC ∆的面积1sin 2S bc C ==………………（10分） 18.【解析】（1）:26p x -≤≤………………（1分）∵p 是q 成立的必要不充分条件，则[]2,2m m -+是[]2,6-的真子集，有222226m mm m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得04m <≤， 又当4m =时，[][]2,22,6m m -+=-，不合题意， ∴m 的取值范围是()0,4.………………（6分） 分类处理亦可（2）∵q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，则[]2,6-是[]2,2m m -+的真子集，则哟02226m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩，解得4m ≥，又当4m =时，不合题意.∴m 的取值范围为()4,+∞.………………（12分） 分类处理亦可 19.【解析】（1）令()()13log 1f x x =+，则()f x 在()1,-+∞上为减函数，因为[]0,8x ∈，所以当8x =时，()()min 82f x f ==-，…………（2分） 不等式()213log 13x m m +≥-恒成立，等价于223m m -≥-，解得12m ≤≤，故命题p 为真，实数m 的取值范围为[]1,2.………………（4分） （2）若命题q 为真，则221m x x>-+，对(),1x ∀∈-∞-上恒成立， 令()21g x x x =-+，因为()g x 在(),1x ∈-∞-上为单调增函数，则()()11g x g <-=，故1m ≥，即命题q 为真，1m ≥.……………………（6分） 若p q ∧为假，p q ∨为真，则命题p ，q 中一真一假；…………（7分） ①若p 为真，q 为假，那么121m m <<⎧⎨<⎩，则无解；……（9分）②若p 为假，q 为真，那么121m m m <>⎧⎨≥⎩或，则2m >.…………（11分）综上m 的取值范围为()2,+∞.……………………（12分） 20.【解析】（1）∵2312232222n n a a a a n n ++++=+， ∴当2n ≥时，()23112231112222n n a a a a n n --++++=-+-， 两式相减得122n n =（2n ≥），∴12n n a n +=⋅ （2n ≥）.…………（3分）又∵当1n =时，1112a =+，∴14a =，满足12n n a n +=⋅………………（4分）∴12n n a n +=⋅.………………（5分）（2）∵()()122nnnna b n -==-…………（6分）∴()()()()1231222322nn S n =⨯-+⨯-+⨯-+-.()()()()()23412122232(1)21n n n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-+--+-∴两式相减得：()()()()()()23413222222nn n S n +=-+-+-+-++---()()()()()()()1111212223122221233n n n n n n n n ++++⎡⎤------+-+⎣⎦=--=--=--- ∴()()131229n nn S ++-+=-………………（12分）21.【解析】（1）由题意得22211311,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故椭圆C 的方程为2214x y +=.…………（4分） 直线AB方程为16y x =-+，与x轴交点为()M .………………（5分） （2）因为点D 与点B 关于x轴对称，所以12D ⎫-⎪⎭，………………（6分） 直线AD方程为12y x =-+，与x轴交于点N ⎫⎪⎪⎝⎭，…………（7分） “存在点()0,E E y 使得OEM ONE ∠=∠”等价于“存在点()0,E E y 使得||||||||OM OE OE ON =”（9分） 即E y 满足2||||E M N y x x =.∴24E y ==，∴22E y =±，…………（11分） 故在y 轴上存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠，且点E 的坐标为()0,2或()0,2-.……（12分） 22.【解析】（1）由题意可知2221,2122,c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪⨯=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2a =，b = 所以椭圆方程为22143x y +=.…………（4分） （2）由（1）知()2,0B ，设直线BD 的方程为()2y k x =-，()11,D x y ，把()2y k x =-代入椭圆方程22143x y +=， 整理得()2222241616120k x k x k +-+-=， 所以221122168623434k k x x k k -+=⇒=++，则2228612,3434k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，…………（6分） 所以BD 中点的坐标为22286,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，…………（7分） 则直线BD 的垂直平分线方程为2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，得220,34k P k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭……（9分） 又0PB PD ⋅=，即2222286142,,0343434k k k k k k ⎛⎫--⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 化简得()424226428360642836034k k k k k +-=⇒+-=+， 解得34k =±故当34k =时，20,7P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当34k =-时，20,7P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.………………（12分）。
河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期第一次联考数学试题 PDF版含答案
=
3 4
.
二、填空题
． ．- ． ． ， 13 − 1 14 8 15 9π
16
3 2
3
13．【解析】法一：令 n = 1 ，则 a3 = a2 − a1 = 5 −1 = 4 ；
令 ，则 ； n = 2
a4 = a3 − a2 = 4 − 5 = −1
令 ，则 ；令 ，则 ； n = 3
c = 5.
a5
11．【答案】D
【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
， ， N3
=
1 3
(1 +
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
9)
= 15
N4
=
1 4
(1 +
2
+
3+
4+⋯+14
+ 15
+ 16)
=
34
， ， N5
=
1 (1 + 5
2
+
3
+
4
+⋯+
23
+
24
+
25)
=
65
…
． ∴ Nn
=
由 ， 得 ，即 ① Sn = 0 Sn+1 = 4 an+1 = 4
a1 + n = 4
由 得 ，即 ② Sn = 0
na1
+
n(n −1)
2
=
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河南省2019-2020学年豫西名校高二期末联考数学(理科)试题(wd无答案)
河南省2019-2020学年豫西名校高二期末联考数学（理科）试题一、单选题(★★) 1. 已知复数 z＝，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 2. 已知命题：，则为（）A．，B．，C．，D．，(★) 3. 双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2(★) 4. 已知等比数列{ a n}满足 a 1 a 6＝ a 3，且 a 4+ a 5＝，则 a 1＝（）A．B．C．4D．8(★) 5. 为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（）A．28种B．56种C．112种D．336种(★★) 6. 已知函数 f( x)＝ ln2 x+ x 2，则曲线 y＝ f( x)在点（， f（））处的切线在 y轴上的截距为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．(★★★) 7. 已知实数、满足约束条件，且的最大值为，则（）A．B．C．D．(★★)8. “ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 9. 等差数列的前项和为，，，则满足的（）A．50B．51C．100D．101(★) 10. 某养殖场需要通过某装置对养殖车间进行恒温控制，为了解用电量 y（kW•h）与气温x（）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（）34567用电量（kW•h） 2.534 4.56若利用线性回归方程预测时的用电量为8.25kW•h，则预测时的用电量为（）A．8.75kW•h B．9.86kW•h C．9.95kW•h D．12.24kW•h(★★★) 11. 已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★)12. 已知某中学高三学生的近视率为p（0＜p＜1），从该校高三学生中随机抽取20人，设 X为其中近视的人数，若 D（ X）＝4.2且 P（ X＝11）＜ P（ X＝9），则 p＝（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7二、填空题(★★) 13. 在（ x 2﹣）5的展开式中，含 x 2的项的系数是_____（用数字作答）.(★★) 14. 若正实数满足，则的最小值为_____.(★★★) 15. 已知抛物线 C：，点 N在 C上，点，若点 M， N关于直线对称，则_____.(★★★) 16. 已知函数 f( x)＝，若存在 x 1， x 2（ x 2＞ x 1）满足 f（ x 1）＝ f （ x 2），则 x 2﹣2 x 1的取值范围为_____.三、解答题(★★★) 17. 已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 asin B＝ bcos（ A+ ）.（1）求角 A；（2）若 b＝2， c＝ a，求 ABC的面积.(★★★) 18. 如图，在三棱柱 ABC﹣ A 1 B 1 C 1中，侧面 ABB 1 A 1和侧面 BCC 1 B 1都是边长为2的菱形，且∠ BAA 1＝∠ CBB 1＝60°.（1）证明： BB 1⊥ A 1 C；（2）若 A 1 C＝.求二面角 A﹣ BC﹣ A 1的余弦值.(★★★) 19. 已知椭圆 C：＝1的右焦点为 F，过 F的直线与椭圆 C交于 A， B两点，AB的中点为 D.（1）若点 D的纵坐标为﹣，求直线 AB的方程；（2）线段 AB的中垂线与直线 x＝﹣4交于点 E，若| AB|＝，求| DE|.(★★★) 20. 零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布 N（μ，σ 2）.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸 x i（ i＝1，2，3，…，10，单位：mm）：100.03100.499.92100.5299.98100.3599.92100.44100.66100.78用样本的平均数作为μ的估计值，用样本的标准差s作为σ的估计值.（1）按照技术标准的要求，若样本尺寸均在（μ﹣3 σ，μ+3 σ）范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格. （2）该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在（99.7，100.3）范围内，则该零件为A级零件，每个零件定价100元，否则为B级零件，每个零件定价60元. 哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.附：≈100601.8，样本方差.若X～N（μ，σ 2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+ σ）＝0.6827，P（μ﹣2 σ＜X＜μ+2 σ）＝0.9545(★★★★) 21. 已知.（1）设，讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.(★★★) 22. 已知圆 C的极坐标方程为ρ 2+2 ρsin（θ﹣）﹣2＝0，直线 l的极坐标方程为θ＝（ρ∈ R）.以极点为坐标原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系 xOy.（1）求圆 C的半径；（2）直线 l与圆 C的交点为 A， B，求 ABC的面积.。
2019-2020学年河南省名校联盟高二3月联考数学(理)试题解析
绝密★启用前2019-2020学年河南省名校联盟高二3月联考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．复数()912z i i =--的共扼复数为（） A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i --答案：A先根据虚数单位i 的性质化简复数z ，然后再求它的共轭复数. 解：Q ()()912122z i i i i i =--=--=-，∴2z i =+．故选A.点评：本题主要考查复数的运算及共轭复数，侧重考查数学运算的核心素养. 2．若函数()f x 满足()24f '=，则()()22limh f h f h→--=（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．4-答案：D根据导数的定义可直接化简求得结果. 解：()()()()()002222lim 1lim 24h h f h f f h f f h h→→----'=-⨯=-=--. 故选：D . 点评：本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题.3．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 解：若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 点评：本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题． 4．用反证法证明“至少存在一个实数0x ，使030x >成立”时，假设正确的是（ ） A ．至少存在两个实数0x ，使030x >成立 B ．至多存在一个实数0x ，使030x >成立 C ．不存在实数0x ，使030x >成立 D ．任意实数x ，30x >恒成立答案：C根据反证法的原理可直接判断得到结果. 解：根据反证法的原理知：假设是对“至少存在一个实数0x ”的否定， 即“不存在实数0x ，使030x >成立”. 故选：C . 点评：本题考查反证法原理的应用，属于基础题. 5．下列使用类比推理正确的是（ ）A ．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B ．“若12x x +=，则2212x x+=”类比推出“若，则2212x x-=” C ．“实数a ，，满足运算()()ab c a bc =”类比推出“平面向量,,a b c r r r 满足运算()()a b c a b c ⋅=⋅r r r r r r”D ．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心” 答案：D根据类比结果进行判断选择. 解：因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A 错；因为“若12x x-=，则22112x x x =±-≠”，所以B 错；因为()()a b c a b c ⋅≠⋅r r r r r r，所以C 错； 因为正方体的内切球切于各面的中心，所以D 正确.选D. 点评：本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质，考查基本分析判断能力，属基础题.6．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 答案：B分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．已知函数2()ln(1)f x m x x mx =++-在(1,)+∞上不单调，则m 的取值范围是（ ） A ．(4,)+∞ B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞答案：A 求导22()2()1m x x f x x '--=+，函数不单调，212m ->解得答案. 解：222()2(2)2()2111m x x m x m x f x x m x x x '--+-=+-==+++. 因为()f x 在(1,)+∞上不单调，所以212m ->，故4m >. 故答案为A 点评：本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.8．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁答案：D根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题. 解：若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说的对不符，故甲说的不对； 若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不对，符合条件，故获奖的是丁； 若若甲说的不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D. 点评：本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.9．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ） A．8- B．8+C．1+D ．8答案：B根据题意点(,)a b在圆22(2)(1x y -+=表示点(,)a b 到原点的距离，计算得到答案. 解：|2|1a bi +--=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b在圆22(2)(1x y -+-=上，(,)a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为()22222(3)1(17)827++=+=+.故选：B . 点评：本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271 B ．272C ．273D ．274答案：A观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 解：由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 点评：此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-11．设函数()22,0,0x x x e x f x x x e⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则使得()()121f x f x +>-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．()2,-+∞ C ．(),0-∞ D ．()2,+∞答案：A根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数；利用导数可求得()f x 在[)0,+∞上单调递增，由奇偶性知()f x 在(],0-∞上单调递减，由此可将原不等式化为121x x +>-，解不等式求得结果. 解：当0x <时，0x ->，()()()22xx x f x x ef x e-∴-=-==，()f x ∴为偶函数. 当0x ≥时，()()2220x x xf x xe x e x x e '=+=+≥，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增；又()f x 为偶函数，()f x ∴在(],0-∞上单调递减，∴由()()121f x f x +>-得：121x x +>-，即()()22121x x +>-，解得：02x <<，即x 的取值范围为()0,2. 故选：A . 点评：本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义求得函数奇偶性、利用导数求得函数的单调性，进而将函数值的大小关系变为自变量的大小关系.12．对任意的实数x ，关于y 的方程()0xyxxe ae ye-+=都有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭答案：B将方程变形为()x ya x y e-=-，采用换元法将问题变为y a =与()tf t te =有两个不同的交点的问题；结合导数可得到()f t 的图象，利用数形结合的方式可求得结果. 解：由()0xy xxe ae ye-+=得：()xy x y eae -=，()x y a x y e -∴=-.令()t x y t R =-∈，则()x yt x y ete --=，∴原方程有两个不同的实根，等价于y a =与()t f t te =有两个不同的交点.()()1t t t f t e te t e '=+=+Q ，∴当(),1t ∈-∞-时，()0f t '<；当()1,t ∈-+∞时，()0f t '>，()f t ∴在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增， ()()min 11f t f e∴=-=-，又当t →-∞时，()0f t →；当t →+∞时，()f t →+∞，由此可得()f t 图象如下图所示：∴当10a e-<<时，y a =与()t f t te =有两个不同的交点，即当1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()0x y xxe ae ye -+=有两个不同的实根.故选：B . 点评：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过变形和换元，将问题转化为两函数图象交点个数问题的求解，进而通过数形结合的方式求得结果.二、填空题13．已知复数132z i =+，2z a ai =+(a ∈R )，12z z +∈R ，则12z z +=________． 答案：1由复数加法的运算可得123(2)a z z a i =++++，再结合复数的类型求得2a =-，得解.解：由复数132z i =+，2z a ai =+(a R ∈)， 则123(2)a z z a i =++++， 则12z z R +∈， 则20a += 即2a =-， 则121z z +=， 故答案为：1． 点评：本题考查了由复数的类型求参数的值，重点考查了复数加法的运算，属基础题.14．函数()1xe f x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程是_____________.答案：e 4e 0x y -+=首先求出()f x 在1处的导数，再求出()f x 在1处的函数值()1f ，然后用点斜式求出方程即可. 解：()()2e 1xx f x x '=+，∴()e 14f '=且()e 12f =，切线方程是()e e124y x -=-，即e 4e 0x y -+=．点评：本题考查利用导数求函数在点处的切线方程，属于基础题.15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得12x ==__________．()0m m =>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结解：()0m m =>，则两边平方得，得23m =即23m m +=，解得：12m =或12m -=（舍去）点评：本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16．设函数()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数，()20f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________.答案：(,2)(2,)-∞-+∞U 构造函数()()f xg x x=，利用导数可求得0x >时()g x 单调递增，结合()()220f f =-=可确定当2x >时，()0g x >即()0f x >，利用偶函数的性质可确定当2x <-时，()0f x >，由此可得最终结果. 解： 令()()f x g x x=，()()()2xf x f x g x x '-'∴=. Q 当0x >时，()()0xf x f x '->，∴当0x >时，()0g x '>，()g x ∴在()0,∞+上单调递增.()f x Q 是偶函数且()20f -=，()()220f f ∴=-=，()()2202f g ∴==， ∴当2x >时，()0g x >，则当2x >时，()0f x >，又()f x 为偶函数，∴当2x <-时，()0f x >. 综上所述：当()(),22,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >. 故答案为：()(),22,-∞-+∞U .点评：本题考查根据函数的单调性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，利用导数得到所构造函数的单调性，结合函数奇偶性求得原不等式的解集.三、解答题17．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值. 答案：(1) 12z i =-或2i z =-. (2) 3m =±，5n =.（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值 解：（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ， 因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-. 因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 点评：本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若2A B =，证明：2cos a b B =； （2）若112a b c+=，证明：2C π<．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）利用正弦定理边转角，即可得到本题答案；（2）用反证法证明，假设2C π≥，得到211c a b <+，与已知112a b c+=矛盾，故假设错误，结论正确. 解：（1）因为2A B =，所以sin sin 2A B =， 则sin 2sin cos A B B =， 由正弦定理得2cos a b B =； （2）假设2C π≥，则0c a >>，0c b >>，那么110c a <<，110c b <<， 于是1111c c a b +<+，即211c a b <+，与已知112a b c+=矛盾，故假设错误，所以当112a b c+=时，2C π<．点评：本题主要考查正弦定理的应用以及利用反证法证明结论.19．已知若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）交x 轴于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，则AN BM ⋅u u u r u u u u r为定值22b a -.（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题； （2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由. 答案：（1）见解析；（2）命题为真命题，证明见解析. （1）根据类比推理的基本原则可直接写出结果；（2）设(),0A a -，(),0B a ，()00,P x y ，表示出直线PA 方程后可求得M 点坐标，由此得到BM u u u u r，同理得到AN u u u r ，根据平面向量的数量积运算可构造方程，结合点P 在双曲线上可化简得到结果. 解：（1）类比得命题：若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>交x 轴于,A B 两点，点P 是双曲线C 上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 分别交y 轴于点,M N ，则AN BM ⋅u u u r u u u u r为定值()22a b-+.（2）在（1）中类比得到的命题为真命题，证明如下： 不妨设(),0A a -，(),0B a ，()00,P x y ，则()00000PA y y k x a x a-==--+，∴直线PA 方程为()00y y x a x a=++. 令0x =，则00ay y x a =+，∴点M 坐标为000,ay x a ⎛⎫⎪+⎝⎭. 又(),0B a ，∴00,ay BM a x a ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭u u u u r .同法可求得：00,ay AN a x a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭u u u r .∴2220220a y AN BM a x a ⋅=---u u u r u u u u r .又∵2200221x y a b -=，∴()222222022201x a AN BM a b a b x a a ⎡⎤⎛⎫⋅=--⋅⋅-=-+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦u u u r u u u u r . 点评：本题考查类比推理的应用、双曲线中定值问题的证明；关键是能够熟练应用直线与双曲线的相关知识，表示出所需的平面向量，根据平面向量数量积的坐标运算可化简得到结果.20．已知函数()933f x x -=++，数列{}n a 对于n *∈N ，总有()1n n a f a +=，112a =. （1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 答案：（1）237a =，338a =，439a =，35n a n =+；（2）证明见解析.（1）利用函数解析式可得递推关系式，依次代入1,2,3n =可求得234,,a a a ，由数字变化规律可猜想得到通项公式；（2）当1n =时，可知结论成立；假设当n k =时结论成立，则当1n k =+时，由递推关系式和假设的结论整理可知结论成立，由此可知猜想成立. 解：（1）由()93333x f x x x -=+=++得：()133n n nn a a f a a +==+， 11326a ==Q ，所以1213337a a a ∴==+，2323833a a a +==，3433339a a a ==+， 由此可猜想：35n a n =+. （2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，131152a ==+，猜想成立； ②假设当()n k k N*=∈时猜想成立，即35kak =+， 则当1n k =+时，133335331535k k k a k a a k k +⋅+===+++++，所以当1n k =+时猜想也成立. 由①②知，对n *∈N ，35n a n =+都成立. 点评：本题考查根据递推关系式求解数列中的项、猜想通项公式、利用数学归纳法证明数列中的结论问题；证明数学归纳法时需注意一定要用到所作的假设. 21．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.答案：（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性； （2）根据（1）的结论可确定0a <不合题意；当0a =时，根据指数函数值域可知满足题意；当0a >时，令()min 0f x >，由此构造不等式求得结果. 解：（1）由题意得：()22xf x ea '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在R 上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=得：1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，()f x ∴在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当1ln 22a x >时，()0f x '>，()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）可知：当0a <时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，20x e →，()1a x +→+∞，此时()0f x <，不合题意； 当0a =时，2()0xf x e=>恒成立，满足题意.当0a >时，()f x 在1ln 22ax =处取最小值，且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ln 0222a a a -->，解得：20a e <<，此时()0f x >恒成立.综上所述：a 的取值范围为20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 点评：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果. 22．设函数()ln(1)(0)f x x x =+≥，(1)()(0)1x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：2()f x x x ≥-.（2）若()()f x x g x +≥恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：当*n N ∈时，22121ln(32)49n n n n-++>+++L . 答案：（1）见解析；（2）(,1]-∞；（3）见解析.（1）令函数()()2h x ln x 1x x =+-+，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为()ax ln x 101x +-≥+恒成立，令()()axm x ln x 11x=+-+，求导求其最小值()min m x 0≥即可；（3）由（1）()2ln x 1x x +≥-，令1x n =，得()2n 1ln n 1lnn n-+->，裂项相消求和得()212n 1ln n 149n-+>+++L 即可解：（1）证明：令函数()()2h x ln x 1x x =+-+，[)x 0,∞∈+，()212x xh x 2x 101x 1x+=+=++'-≥，所以()h x 为单调递增函数，()()h x h 00≥=， 故()2ln x 1x x +≥-.（2）()()f x x g x +≥，即为()axln x 11x+≥+， 令()()axm x ln x 11x=+-+，即()m x 0≥恒成立， ()()()()22a 1x ax 1x 1a m x x 11x 1x +-+-=-=++'+， 令()m x 0'>，即x 1a 0+->，得x a 1>-.当a 10-≤，即a 1≤时，()m x 在[)0,∞+上单调递增，()()m x m 00≥=，所以当a 1≤时，()m x 0≥在[)0,∞+上恒成立；当a 10->，即a 1>时，()m x 在()a 1,∞-+上单调递增，在[]0,a 1-上单调递减， 所以()()()min m x m a 1m 00=-<=， 所以()m x 0≥不恒成立.综上所述：a 的取值范围为(],1∞-. （3）证明：由（1）知()2ln x 1x x +≥-，令1x n=，*n N ∈，(]x 0,1∈， 2n 1n 1ln n n +->，即()2n 1ln n 1lnn n-+->，故有ln2ln10->，1ln3ln24->， …()2n 1ln n 1lnn n -+->， 上述各式相加可得()212n 1ln n 149n-+>+++L . 因为()()22n 3n 2n 1n 10++-+=+>，2n 3n 2n 1++>+，()()2ln n 3n 2ln n 1++>+，所以()2212n 1ln n 3n 249n-++>+++L . 点评：本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令1x n=,裂项求和，是中档题。