七年级下册教师用书-第4章因式分解

第4章 因式分解4.1 因式分解一、参考答案 【学习准备】1．整数乘法，因数分解． 2．整式乘法，成立．3.2x xy -=)(y x x -=113×100=11300． 【课本导学】 『思考一』1. （1）整式乘法，分配律2．对象是多项式，结果是几个整式的积．『练习』第98页做一做2．（1）（4）不是因式分解，（2）（3）是因式分解．第99页作业题1．（1）（2）（3）不是因式分解，（4）是因式分解． 第99页作业题2．『归纳』（1）由和差的形式（多项式）转化为整式积的形式． （2）左右两边都必须是整式． 『思考二』1．因为整式乘法与因式分解是互逆关系． 2．如：2(2)(1)2x x x x +-=+-，22(2)(1)x x x x ∴+-=+-．『练习』第99页课内练习1 ．(1)(2)正确，(3)不正确．2 ．(1)8700; (2) 400．第100页作业题3． (1)(2)不正确，(3) (4)正确．『归纳』．看等式右边几个整式的积与左边的多项式是否相等，若相等则正确，否则就不正确．（注意：左右两边都必须是整式） 【学习检测】1．D 2．教师版3．(1)250；(2)4000.4．2232(2)()a ab b a b a b ++=++． 【拓展提高】 1．D 2．2(32)(1)32x x x x +-=--，1,2m n ∴=-=-．二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”可先让学生独立思考、尝试完成后，再由老师引导小结，挖掘拓展，检测部分可视课堂进展灵活处理． 三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）因式分解的概念和意义． （2）因式分解与整式乘法之间的关系． 2．思想方法方面通过因式分解与整式乘法的类比，理解因式分解的意义和方法，体会事物之间可以互相转化的辩证思想．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．（1）通过因式分解与整式乘法的相互转换，使学生获得逆向思维的经验和能力．（2）困惑：由于学生缺乏代数式的完整分类，在某些代数式的变形中如出现分式或无理式时，不知如何解释它不是因式分解．4．需要进一步研究的问题：如怎样将一个多项式因式分解？因式分解的方法有哪些？等.4．2 提取公因式一、参考答案 【学习准备】1．3.8×3.7＋6.2×3.7＝3.7×(3.8＋6.2)=37． 2．()ma mb m a b +=+． 3. 是因式分解． 【课本导学】 『思考一』1．不对，因为如果提取的公因式为2a ，那么多项式余下的各项仍然含有公因式b ，还需要再次提取，这就造成了不必要的麻烦. 应提取的公因式是：2ab ． 2．多项式余下的各项中不再含有公因式．[练习]第101页“做一做”．应提取的公因式为abc 5，()c b abc abc c ab 3515522+=+．第102页课内练习1．（1）应提取的公因式为a ，)(y x a ay ax +=+．（2）应提取的公因式为x 3，()nx m x nx mx 23632-=-．（3）应提取的公因式为ab 2，)52(2210422b a ab ab ab b a -+=-+．第102页作业题1．（1）1232+-a a ； （2）1532-+p p ．作业题2．.应提取的公因式为222b a ，()bc a b a c b a b a 522104223223-=-．『归纳』1．按以下几步进行：（1）公因式的系数是y ax 23、yz x 36这两项系数3、6的最大公约数3； （2）两项都含有的字母x 、y ，取它们的最低次幂即2x 、y ；（3）取系数的最大公因数3、相同字母的最低次幂2x 、y 的积：y x 23，即是该多项式的公因式．2．用这个多项式除以公因式，所得的商即是另一个因式． 3．互逆变形 『思考二』1．3；2p ，q ；3q p 2．2．首项系数为负数时，通常提取负因数，应注意余下的各项都要变号． [练习] 第102页课内练习3．（1）错，应改为)132(3222++=++x x x x x x ；（2）错，应改为()a c a c a c a 21363232-=-； （3）错，应改为()322642223+--=-+-s s s s s s ； （4）错，应改为()4322864222+--=-+-b ab a a ab b a第102页作业题3．（1）()y x x xy x 33932-=-； （2）()1334-=-n n n n ．（3）()b a ab b a ab 22332218168-=-. （4）()a m ma ma ma a m +-=+-43312322.『归纳』提取公因式法的一般步骤是： ①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式． 『思考三』1．目的是为了产生因式(a －b )，使多项式的各项有公因式可以提取； 2．(a －b )；3．相等；相等； 能进行因式分解，即：[]22()()()2()1()(221)a b b a b a b a b a b a -+-=--+=--+；最后所得的结果从表面形式上来看，结果不一样，每一个因式都相差一个“-”号. [练习] 第102页课内练习2．（1）x 21-； （2）x ＋2； （3）122-+x x .第102页作业题4．（1）122+-x x ； （2）1442+-b b ； （3）b a +.5．（1）()a p ap a 432422+--； （2）()()122---b a b a .（原第6题答案去掉） 『归纳』1. 应提取的公因式常见有单独的一个数字、含字母的单项式、多项式.2.可从以下几方面思考：①准确找出应提取的公因式，保证提取公因式后，多项式余下的各项不再含有公因式； ②善于观察，灵活运用整体思想找出充当公因式的多项式； ③灵活应用添括号法则，避免符号错误；④最后的结果是整式的积的形式，分解要彻底，结果要化简，相同因式的积写成幂的形式. 【学习检测】 1.D ．2．(1)2(43)mn m -；(2) 23(31)x x x ---；(3) 3(2)(22)x a b a b y ++-；(4) ()(2)a b a b ---． 3. (1)123； (2)42．4.原式()(73)a b a b =+-，当22,73a b ==时，原式222222()(73)()00737373=+⨯-⨯=+⨯=【拓展提高】1．(1) ()()32322x y x y --+； （2）()()252x y x y --+； （3）2(x+y)(y+z) 2．10010,10010c b a a b c ++++；(10010)(10010)999999()a b c c b a a c a c ++-++=-=-，∴新三位数与原三位数之差能被99整除．二、《学习导航》使用建议“学习准备”所涉及的情景问题，能使学习者从简单的算式到含字母的整式所蕴含的规律中体验到由特殊到一般的思维过程．在“思考一”中，注重引导学习者对“公因式”、“应提公因式”的理解，尽可能避免公因式提取不当引起的错误．“思考二”及“思考三”中，重视对寻找应提公因式的引导，更加关注多项式中的异常情况：首项系数为负数、公因式为多项式等情况的处理，使得学习者面对多变的多项式有更清晰的头脑去分析、解决．通过回答“归纳”中的问题，使得学习者真正掌握提取公因式法分解因式，理解添括号法则及其依据． 三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）确定公因式的方法和提取公因式法的一般步骤． （2）添括号法则． 2．思想方法方面当公因式是一个多项式时，要把这个多项式作为一个整体，运用“整体”思想和“换元”方法解决问题． 3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等． 分解因式需要注意的问题：(1)分解要彻底，即每一个多项式都不能分解为止；(2)结果要化简，即不能含大、中括号，相同因式的积要写成幂的形式． 4．需要进一步研究的问题：除了提取公因式法外，分解因式还有哪些方法？4．3 用乘法公式分解因式（1）一、参考答案 【学习准备】1．22()()a b a b a b +-=-．2．平方差公式，两数和与这两数差的积等于这两数的平方差． 【课本导学】 『思考一』1．(1)不能，因为没有公因式．(2)．①是m 与4的平方差，②是2x 与3y 两式的平方差．联想到平方差公式． 2．222294(3)(2)x y x y -=-，a ∴表示3,x b 表示2y ． [练习]第103页做一做．(1)a 表示x ，b 表示1 ，(1)(1)x x +-．(2) a 表示m ，b 表示3 ，(3)(3)m m +-．(3) a 表示x ，b 表示2y ，(2)(2)x y x y +-． 『归纳』 (1)多项式必须能化成两式(或两数)的平方差，具体的说多项式应符合下列三个要求：①有两部分组成；②两部分都可写成整式(或数)的平方的形式；③两部分的符号应相反． (2)分解的结果应是这两式(或两数)的和与这两式(或两数)的差的乘积．1．依据是加法的交换律，目的是把它化为22a b -的形式． 2．a 表示x z +，b 表示y z +．[练习]第104页课内练习1．(1)(52)(52)x x +-；(2)(112)(112)ab ab +-；(3))312)(312(-+x x ； (4)(3)(3)x x +-．第104页课内练习2．(2)(4)(5)可以，因多项式都可以化成两数的平方差．(1)(3)(6)不可以，因多项式都不能化成两数的平方差．第104页作业题1．(1)(5)(5)x x +-；(2)(43)(43)a b a b +-；(3)11()()22c ab c ab +-； (4)(0.1)(0.1)s t s t +-． 『归纳』 (1)先把二项式转化成22a b -的形式；(2)套用公式22()()a b a b a b -=+-分解因式； (3)把结果化成最简形式．『思考三』1．不能，因为它不能直接写成22a b -的形式． 2．应先提出这个公因式． 3．(1)分解要彻底，即每一个多项式都不能分解为止；(2)结果要化简，即不能含大、中括号，相同因式的积要写成幂的形式,同类项要合并，单项式要写在前等．[练习]第104页课内练习3．(1)(21)(21)x x x +-；(2) 2(9)(3)(3)a a a ++-．第104页作业题2．(1)5(2)(2)a b a b +-； (2)8n ．3．(1) 1997； (2)480．『归纳』(1)若多项式的各项有公因式，要先提出公因式，再用公式法进一步分解因式；(2)分解要彻底，结果要化简．【学习检测】 1． C2．(1)(2)(2)x y x y +-；(2)(75)(75)xy xy +-；(3)22(9)(3)(3)a b a b a b ++-；(4)(1)(1)a b a b +++- ． 3．(1) 508000；(2)3x y +=且5x y -=-；22()()3(5)15x y x y x y ∴-=+-=⨯-=-a-bab aba-b b a-b abaab a-bb a【巩固提高】1．(1)(4)(23)x y x y ++；(2)3(52)(2)x x --；(3)()()x y x y x 423+- ．2．10,10y y +-． 原式2(10)(10)100987654321100987654221y y y =+-=-=-=．二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”的内容可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，以及“思考二”和“思考三”的学习和讨论，检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）平方差公式的结构特征．（2）用平方差公式因式分解的方法和一般步骤． 2．思想方法方面运用平方差公式因式分解，有时需要把某些多项式作为一个整体，运用“整体”思想和“换元”方法解决问题．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．(1)经历通过整式乘法的平方差公式逆用，得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力．(2)通过自主学习，逐步形成独立思考、主动探索的学习习惯．4．需要进一步研究的问题：除了平方差公式外，还有哪些公式可用来分解因式？4.3用乘法公式分解因式（2）一、参考答案 【学习准备】1、（1）222b ab a ++ （2）222b ab a +- （3）1442+-x x （4）2244y xy x ++右边都是三项，其中首尾二项是数（或式）的平方，另一项是这两数（或式）的积的2倍； 2、（1）2)(b a + （2） 2)(b a - 【课本导学】 『思考一』1、是因式分解，可理解成化为a b +和a b +的积．2、（1）（5）（6）是完全平方式，（2）（3）（4）不是完全平方式． [练习]第106页“做一做”．课本第107页作业题1．(1)25，5a -；(2)22,1a y ay +；(3),2rs rs - ． 『归纳』：(1)多项式应是两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍的二次三项式；(2)分解的结果应是这两数和（或差）的平方．『思考二』 1、b a 3,2．2、依据是添括号法则．3、提取公因式法；公式法．[练习]第107页课内练习1．(1) 2(3)a b - ；(2)2(5)a -+；(3)2(7)b a + (4)2(2)xy x y +(5)22(3)(3)x x +-．2.都不对第107——108页作业题2．(1)是，2(2)m +；(2)不是；(3)是，2(1)2x +； (4)是，2(34)p q -．3．(1)2(7)x -；(2)2(8)x y --；(3)21()2a b +； (4)2(0.20.6)a + ．4．原式2(20052003)4=-=；『归纳』：如果多项式有公因式，应先提取公因式，再运用公式法因式分解，分解要彻底，结果要化简． 『思考三』 y x +2，3．[练习]第108页作业题5．（1）2)5(--b a ， （2）2)32(b a -．『归纳』：学生学习完全平方公式进行逆向运用，拓展学生的观察能力与逆向思维能力，加深对类比思想的理解． 【学习检测】 1．C2．（1）2)(y x + （2）2)34(b a + （3）2)6(n m - （4）2)332(y x +-3．(1)原式2(991)10000=+=；(2)原式2(8713)10000=+=． 4．21【巩固提高】1．1-，24x -，4x ，4x -，44x ；2．(1)B ；(2)公式法(完全平方公式)；(3)不彻底，4(2)x -； (4)设22x x y -=，则原式22224(2)121(1)(21)(1)y y y y y x x x =++=++=+=-+=-． 二、《学习导航》使用建议学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，通过“学习准备”中的问题的解答，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．“思考一”的学习着重让学生了解能用完全平方公式因式分解的多项式的特征． “思考二”中，要让学生对不同形式的多项式进行变形，使得多项式符合完全平方式的特征．“思考三”让学生尝试复杂的多项式的因式分解，让学生理解整式乘法与因式分解是互逆过程．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）完全平方公式的结构特征．（2）用完全平方公式因式分解的方法和一般步骤．（3）综合运用提取公因式法、公式法分解因式的方法和一般步骤． 2．思想方法方面运用完全平方公式因式分解，有时需要把某些多项式作为一个整体，运用“整体”思想和“换元”方法解决问题．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．(1) 综合运用提取公因式法、公式法分解因式，培养学生观察、分析问题的能力，进一步提高分解因式的正确性和灵活性．(2)通过自主学习，逐步形成独立思考、主动探索的学习习惯．4．需要进一步研究的问题：除了可以简化某些运算外，分解因式还有哪些应用？第4章 因式分解 复习一、参考答案【复习准备】1．B ． 2．(1)2(2)(2)ab c c +-； (2)(67)(67)m n m n +-； (3)23(1)x x -； (4)2(3)a b --． 3．224(2)(2)(15050)(15050)20000a b a b a b -=+-=+-=． 4．22222()0a b c b a c ++-+=，2222220a b c ab bc ∴++--=， 22()()0a b b c ∴-+-=，a b c ∴==，ABC ∴∆为正三角形． 【知识整理】1．多项，整，积，互逆．2．(1)提取公因式法,(2)公式法；22()()a b a b a b -=+-；2222()a ab b a b ±+=±． 3．不变号，变号．4．步骤：(1)若有公因式，应先提公因式；(2)用公式法进一步分解． 要求：(1)分解要彻底；(2)结果要化简． 【例题】例1[解]222(4)(2)(2)xy x y x y x y ++-例2[解]解法一: 设另一个因式为x m +，则25(1)()x ax x x m -+=++，225(1)x ax x m x m ∴-+=+++，5,1m m a ∴=+=- 6a ∴=-．解法二: 设另一个因式为M ，则25(1)x ax x M -+=+，10 当1x =-时，2(1)-150a --⨯+=（），6a ∴=- 【复习检测】1．B 2．7,9- 3．201024．(1)23(23)ab a b -；(2)2(9)(3)(3)a a a ++-；(3) 22(6)m m --；(4)2(2)a b c -- ． 5．2()2()10x y x y ++++=，2(1)0x y ∴+-=，1x y ∴+=；2222222422(2)2()212x xy y x xy y x y ++=++=+=⨯=．【拓展提高】1.原式(20122011)(20122011)+(20102009)(2010-2009)+(43)(43)(21)(21)=+-+++-++- 20122011201020094321=++++++++(20121)201220250782+⨯==． 2．22185a b -=，()()3751851a b a b ∴+-=⨯=⨯，又,a b 为自然数，375a b a b +=⎧∴⎨-=⎩或1851a b a b +=⎧⎨-=⎩，2116a b =⎧∴⎨=⎩或9392a b =⎧⎨=⎩． 3．(1)33x y +，33x y -；(2) 33x y +，33x y -； (3)①22(2)(24)a b a ab b +-+；②3322(1)(1)(1)(1)(1)(1)m m m m m m m m +-=+-+-++．（原第3题答案去掉，将原题号“4”改为“3”）。