高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.4知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积
一、学习任务
了解平面向量数量积的含义及其物理意义；掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．
二、知识清单
平面向量的坐标运算 平面向量的数量积与垂直
三、知识讲解
1.平面向量的坐标运算
向量的直角坐标运算
设 ， ，则．
．．
平面向量共线的坐标表示
设 ，，其中 ．、 共线，则存在唯一的实数 ，使．用坐标表示，可写成 ，即 消去 后得 ．当且仅当 时，向量 、 共线．
平面向量数量积的坐标运算与度量公式
设 ，，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即 ．如果 ，则 ，反之，如果 ，则 ．
所以 ．，所以 ．如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标为 、，那么 ，．设、都是非零向量， 是 与 的夹角，则
=(,)a →a 1a 2=(,)b →
b 1b 2+=(+,+)a →b →a 1b 1a 2b 2−=(−,−)a →b →a 1b 1a 2b 2λ=λ(,)=(λ,λ)a →a 1a 2a 1a 2=(,)a →a 1a 2=(,)b →b 1b 2≠b →0→a →b →λ=λa →b →(,)=λ(,)a 1a 2b 1b 2{=λ,a 1b 1=λ.a 2b 2λ−=0a 1b 2b 1a 2−=0a 1b 2b 1a 2a →(≠)b →b →0→=(,)a →a 1a 2=(,)b →
b 1b 2⋅=+a →b →a 1b 1a 2b 2⊥a →b →⋅=0a →b →⋅=0a →b →⊥a →b →⊥⇒+=0a →b →a 1b 1a 2b 2=⋅=(,)⋅(,)=+∣∣∣a →∣∣∣2a →a →a 1a 2a 1a 2a 21a 22=∣∣∣a →∣∣∣+a 21a 22−−−−−−√a →(,)x 1y 1(,)x 2y 2=(−,−)a →x 2x 1y 2y 1=∣∣∣a →∣∣∣(−+(−x 2x 1)2y 2y 1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
a →
b →θa →b →
解：C。
数学必修4_第二章_平面向量知识点
数学必修4第二章 平面向量知识点2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。
2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a 的模分别记作|AB |和||a 。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
3. 几类特殊向量(1)零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，零向量a ＝0⇔｜a｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）(2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a为单位向量0||1a ⇔=。
将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为：||a a e a =(3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b。
规定：0与任何向量平等，任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
（4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。
记作a -。
关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a --=a； ③()0a a +-=； ④若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a+b =0 。
ba b - C（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。
记为b a=。
相等向量经过平移后总可以重合。
2.2 平面向量的线性运算 1.向量加法（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC 。
规定：a a a=+=+00；（2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。
高中数学第二章平面向量新人教A版必修4
平面向量一、选择题1．下列命题中正确的是( )( A ) 两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同( B) 若a，b是两个单位向量，则a＝ b( C) 若向量a和b共线，则向量a， b 的方向相同( D) 零向量的长度为0，方向是任意的2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )( A ) ( C) AB DCAB AD BD( B )( D )AD AB ACAD CB03．在四边形ABCD 中，CB AB BA( )(A) DB (B) CA(C) CD (D) DC4．已知a，b为非零向量，且｜a＋ b｜＝| a|＋| b|，则一定有( )( A ) a＝b ( B ) a∥b，且a，b方向相同( C) a＝－b ( D ) a∥b，且a，b方向相反5．化简下列向量： ( 1) AB BC CA (2) AB AC BD CD(3) FQ QP EF EM (4) OA OB AB，结果为零向量的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题6．对于下列命题①相反向量就是方向相反的向量②不相等的向量一定不平行③相等的向量一定共线④共线的单位向量一定相等⑤共线的两个向量一定在同一条直线上其中真命题的序号为______．3 3点A 的位置向量为 ______．8．一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成30°，则船的实际速度的大小为______ ，水流速度的大小为______．9．如图，在□ABCD中，AO a ，DO b ，用向量a， b 表示下列向量CB______AB =_____.10．已知平面内有□ABCD和点O，若OA a ，OB b，OC c ，OD d，则a－b＋c －d＝______．三、解答题11．化简：(1) AB AC BD(2) AB CD CB DA12．在单位圆中， B 是 OA 的中点， PQ 过 B 且 PQ∥Ox，MP⊥ Ox，NQ⊥ Ox，则在向量OM，ON，MP，NQ，OP，OQ，OB，OA，PQ 中．( 1) 找出相等的向量；( 2) 找出单位向量；( 3) 找出与OM共线的向量；( 4) 向量OM，ON的长度．13．已知正方形A BCD 的边长为1，若AB a ，BC b ，AC c ，求作向量a－b＋c，并求出 |a－b＋c｜．14．已知向量a， b 满足：| a|＝3，| a＋ b|＝5，| a－ b|＝5，求｜ b｜．向量的线性运算 ( 二 ) 一、选择题1．若 3( x＋ 3a) － 2( a－x) ＝0，则向量 x＝ ( ) ( A ) 2a ( B) － 2a ( C) 7a ( D ) 7 a5 52．若AB5e， CD7e且 | AD | | BC |，则四边形ABCD 是 ( ) ( A ) 平行四边形( B ) 非等腰梯形( C)菱形( D)等腰梯形3．如图所示， D 是△ ABC 的边上的中点，则向量CD 等于()(A) BC 1BA ( B ) BC1BA 2 2(C) BC 1BA (D) BC 1 BA2 2 )4．已知向量1－ 2e2，b＝－ 2e1＋ 4e2，则向量a与b满足关系 (a＝ e( A ) b＝ 2a ( B) 共线且方向相反 ( C) 共线且方向相同(D)不平行5．下列结论中正确的个数是 ( )①若｜ b|＝2｜ a｜，则 b＝±2a ②若 a∥ b，b∥ c，则 a∥ c ③若 m a＝m b，则a＝b④ 0a＝0⑤若向量a与b共线，则一定存在一个实数，使得 a＝ b(A)0个(B)1个(C)2个(D)3 个二、填空题6．化简： 5( 3a－ 2b) ＋ 4( 2b－3a) ＝ ______．7．与非零向量a共线的单位向量为 ____________．8．数轴上的点 A，B，C 的坐标分别为2x，－ 2，x，且AB 3BC ，则x＝______；｜AB｜＝ ______．9．已知向量 a 与 b 方向相反，｜a｜＝6，｜ b|＝4，则 a＝______b．10．在□ ABCD 中，AB a ，AD b ，AN3NC ，M为BC的中点，则 MN____.三、解答题11．点 D 是△ ABC 边 BC 上一点，且BD 1 BC．设试AB a，AC b，用向量a，b表示3AD.12．已知向量a， b 满足求｜ a｜∶｜ b｜．11 1(a3b)(a b)(3a2b) ，求证：向量 a 与 b 共线，并52 513．已知｜a｜＝ 1，｜b｜＝ 2．若a＝b，求｜a－b｜的值．14．已知平面中不同的四点A，B，C，D 和非零向量a，b，且AB a2b，CD 5a6b，CD =7a-2b.( 1) 证明： A， B， D 三点共线；( 2) 若a与b共线，证明A， B， C，D 四点共线．向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1．已知向量a＝ ( 4，2) ，向量 b＝( x，3)，且 a∥b，则x＝( )(A)9 (B)6 (C)5 (D)32．已知点 A( 0， 1) ， B( 1， 2) ， C( 3， 4) ，则AB 2BC的坐标为 ( )( A)( 3，3) ( B)( －3，－ 3) ( C)( － 3， 3) ( D)( 3，－ 3)3．已知基底 { e1，e2} ，实数 x，y 满足 ( 3x－ 4y) e1＋ ( 2x－3y) e2＝ 6e1＋ 3e2，则 x－ y 的值等于( )(A)3(B)－3(C)0(D)24．在基底 { e1，e2} 下，向量a＝e1＋ 2e2，b＝ 2e1－e2，若a∥b，则的值为()(A)0(B)－21(D)－4( C)25．设向量a＝ ( 1，－ 3) ，b＝ ( － 2，4) ，c＝ ( － 1，－ 2) ，若表示向量4a，4b－2c，2( a－c) ，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d 为( )( A)( 2，6) ( B)( －2，6)( C)( 2，－ 6) ( D)( － 2，－ 6)二、填空题6．点 A( 1，－ 2) 关于点 B 的对称点为 ( － 2， 3) ，则点 B 的坐标为 ______．7．若 M( 3，－ 2) ，N( － 5，－ 1) 且MP 1 MN，则 P 点的坐标为 ______________．28．已知点 O( 0，0) ， A( 1，2) ，B( 4，5) ，点 P 满足OP OA t AB ，当点P在x轴上时，t＝ _______．9．已知□ABCD 的三个顶点A( － 1， 3) ， B( 3， 4) ，C( 2， 2) ，则顶点D的坐标为 ______．10．向量OA(k，12) ， OB (4，5) , OB (10， k) 若A、B、C三点共线，则k＝ ______．三、解答题11．已知梯形ABCD 中，AB2DC ，M，N分别是DC，AB的中点．设 AD a，AB b 选择基底 { a，b} ，求向量DC，NM在此基底下的分解式．12．已知向量a＝( 3，－2)，b＝(－2，1)， c＝( 7，－4)，( 1) 证明：向量a， b 是一组基底；( 2) 在基底 { a，b} 下，若c＝ x a＋ y b，求实数x， y 的值．13．已知向量a＝( 1，2)， b＝(－3，x)．若 m＝2a＋ b， n＝ a－3b，且 m∥ n，求实数x的值并判断此 m 时 n 与的方向相同还是相反．14．已知点O( 0，0) ， A( 1， 4) ，B( 4，－ 2) ，线段 AB 的三等分点C，D ( 点 C 靠近 A) ．OC2OD平面向量的数量积及其运算律一、选择题1．若｜ a ｜＝ 4， | b ｜＝ 3，〈a ， b 〉＝ 135°，则 a 2 b ＝ ( )(A)6( B)(C)6 2 (D) 622．已知 | a ｜＝ 8， e 为单位向量，〈 a ， e 〉2π，则 a 在 e 方向上的正射影的数量为 ( )3(A)4 3(B)4(C) 43(D)－4 3．若向量 a ， b ， c 满足 a 2 b ＝ a 2 c ，则必有 ()( A ) a ＝ 0( B) b ＝ c( C) a ＝0 或 b ＝ c ( D ) a ⊥ ( b － c )4．若｜ a ｜＝ 1，｜ b ｜＝ 2，且 ( a ＋ b ) ⊥ a ，则〈 a ， b 〉＝ ()( A) 30° ( B) 60°( C) 120° (D)150°5．平面上三点 A ，B ，C ，若 | AB | 3，|BC | 4，|CA | 5，则 AB BC BC CA CA AB＝ ( )A ．25 ( B) －25(C)50(D)－50二、填空题6．已知 a 2 b ＝－ 4， a 在 b 方向上的正射影的数量为－8，则在｜ a ｜和 | b | 中，可求出具体数值的是 ______，它的值为 ______．7．已知 a ， b 均为单位向量， 〈 a ， b 〉＝ 60°，那么｜ a ＋ 3b | ＝ ______． 8．已知｜ a ｜＝ 4，｜ b | ＝ 1，| a － 2b | ＝ 4，则 cos 〈a ， b 〉＝ ______．9．下列命题中，正确命题的序号是______．( 1) ｜ a ｜ 2＝a 2；( 2) 若向量 a ， b 共线，则 a 2 b ＝｜ a ｜｜ b | ；( 3)( a 2 b ) 2＝ a 22 b 2；( 4) 若 a 2 b ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0( 5)( a －b ) 2 ( a ＋b ) ＝｜ a ｜ 2－| b | 2；10．设向量 a ， b ， c 满足 a ＋ b ＋c ＝ 0， ( a －b ) ⊥ c ， a ⊥b ．若｜ a ｜＝ 1，则 | a ｜ 2＋｜ b ｜2＋｜ c | 2的值是 ______. 三、解答题11．已知｜ a ｜＝ 5，｜ b ｜＝ 4，〈a ， b 〉π，求 ( a ＋ b ) 2 a 和｜ a ＋ b ｜．312．向量 a ， b 满足 ( a － b ) 2 ( 2a ＋ b ) ＝－ 4，且 | a | ＝ 2，｜ b ｜＝ 4，求〈 a ，b 〉．13．已知 O 为△ ABC 所在平面内一点，且满足(OB OC) (OB OA) 0 ，试判断△ ABC的形状．14．已知向量 a ， b 满足：｜ a ｜＝ 1，｜ b | ＝ 2，| a － b | ＝ 7 ．( 1) 求｜ a － 2b ｜； ( 2) 若 ( a ＋ 2b ) ⊥( k a － b ) ，求实数 k 的值．向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1．已知 a ＝ ( － 4， 3) ， b ＝ ( 5，6) ，则 3a 2－4a 2 b ＝()(A)83(B)63(C)57(D)232．已知向量 a ( 3, 1) ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b3 ，则 b ＝()(A)(3, 1) (B) (1,3 ) (C) (1,3 3) ( D)( 1，0)2222443．在△ ABC 中， A( 4， 6) ， B( － 4，10) ， C( 2， 4) ，则△ ABC 是 ( )( A ) 等腰三角形( B) 锐角三角形( C) 钝角三角形( D ) 直角三角形4．已知 a ＝ ( 0， 1) ，b ＝ ( 1，1) ，且〈 aπ的值为( )b ,a 〉，则实数2(A)－1(B)0(C)1(D)25．已知 a ＝ ( 1， 2) ，b ＝ ( － 2，－ 4) ， | c |5 ，若 (ab )c 5 )，则〈 a ， c 〉＝ (2( A) 30°( B) 60°( C) 120°(D)150°二、填空题，b 〉＝．若a ＋ ＝ ( － ，－1) ， － ＝，－ ，则＝，〈 a ______ ．6 b 2 a b ( 4 3) a 2 b ______7．向量 a ＝ ( 5， 2) 在向量 b ＝( － 2， 1) 方向上的正射影的数量为 ______． 8．在△ ABC 中， A( 1， 0) ， B( 3， 1) ， C( 2， 0) 则∠ BCA ＝ ____________． 9．若向量 a 与 b ＝ ( 1， 2) 共线，且满足 a 2 b ＝－ 10，则 a ＝ ______．10．已知点 A( 0，3) ，B( 1，4) ，将有向线段 AB 绕点 A 旋转角π到 AC 的位置，则点C 的2坐标为 ______. 三、解答题11．已知 a ＝ ( － 3，2) ，b ＝ ( 1，2) ，求值： | a ＋ 2b ｜，( 2a － b ) 2 ( a ＋b ) ，cos 〈a ＋ b ，a － b 〉．12．若 |a |2 13 , b ＝ ( － 2， 3) ，且 a ⊥ b ，求向量 a 的坐标．13．直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 0，1) 和点 B( －3， 4) ，OC 为△ AOB 的内角平分线，且OC 与 AB 交于点 C ，求点 C 的坐标．14．已知 k Z ，AB ( k ，1)，AC ( 2，4)，| AB | 4 ，且△ ABC 为直角三角形， 求实数 k 的值．用心爱心专心测试十二向量的应用Ⅰ学习目标1．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量的方法解决物理中简单的力学和速度问题；能将物理问题转化为数学问题，同时会用建立起来的数学模型解释相关的物理问题．Ⅱ基础性训练一、选择题1．作用于原点的两个力f1＝( 1，1)， f2＝( 2，3)，为使它们平衡，需要增加力f3，则力 f3 的大小为 ( )( A)( 3，4) ( B)( －3，－ 4)( C) 5 (D)252．在水流速度为自西向东，10 km / h 的河中，如果要使船以10 3 km/ h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小和方向( )( A ) 北偏西 30°， 20 km/ h( B ) 北偏西 60°， 20 km / h( C) 北偏东 30°， 20 km/ h( D ) 北偏东 60°， 20 km / h3．若平行四边形ABCD 满足| AB AD | | AB AD |，则平行四边形ABCD 一定是 ( )(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)等腰梯形4．已知□ABCD 对角线的交点为O，P 为平面上任意一点，且PO =a，则PA PB PC PD ＝ ( )( A ) 2a ( B) 4a ( C) 6a ( D ) 8a5．已知非零向量AB与 AC满足(AB AC)BC 0且 AB.AC 1|AB | |AC | |AB| |AC| 2，则△ ABC为 ( )( A ) 三边均不相等的三角形( B ) 直角三角形( C) 等腰非等边三角形( D ) 等边三角形二、填空题6．自 50 m 高处以水平速度10 m/ s 平抛出一物体，不考虑空气阻力，则该物2s 时的速度的大小为 ______，与竖直向下的方向成角为，则tan＝______( g＝10 m/ s2)．7．夹角为 120°的两个力f1和 f2作用于同一点，且｜ f 1|＝｜ f2｜＝m( m＞0)，则 f1和 f2的合力 f 的大小为______， f 与 f2的夹角为____________．8．正方形ABCD 中， E，F 分别为边DC ， BC 的中点，则cos∠ EAF ＝ ____________．9．在△ ABC 中，有命题：①AB AC BC ；②若 ( AB AC) ( AB A C )0 ，则△ABC 为等腰三角形；③AB BC CA=0；④若 AB BC 0 ，则为△ABC锐角三角形．上述命题中正确的是____________( 填上你认为正确的所有序号)三、解答题10．水平电线AB 对竖直电杆BD 的拉力为300 N，斜拉索BC 的拉力为600 N，此时电杆恰好不偏斜，求斜拉索与地面成角的大小以及由此引起的电杆对地面的压力( 电杆自重不计)．11．某运动员在风速为东偏北60°， 2 m/ s 的情况下正在以 10 m/ s 的速度向东跑．若风停止，运动员用力不变的情况下，求该运动员跑步速度的大小和方向．12．对于平行四边形ABCD ，点 M 是 AB 的中点，点N 在 BD 上，且BN 1 BD．用向量3的方法证明：M， N， C 三点共线．Ⅲ拓展性训练13．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，且 CA＝ CB， D 是 CB 的中点， E 是 AB 上一点，且AE＝2EB．求证： AD ⊥ CE．14．如图，已知点A( 4， 0) ， B( 4，4) ， C( 2， 6) ，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标．测试十三平面向量全章综合练习一、选择题1．向量( AB MB) (BO CB) OM 化简后等于( )(A) AC (B) BC ( C) AB (D) AM2．点 A 的坐标为 ( 1，－ 3) ，向量AB的坐标为 ( 3，7) ，则点 B 的坐标为 ( ) ( A)( 4，4) ( B)( －2，4) ( C)( 2， 10) ( D)( －2，－ 10)3．已知向量a＝ ( －2， 4) ，b＝ ( － 1，－ 2) ， c＝( 2，3)，则( a＋ b) 2 ( a－ c)的值为( )(A)10 (B)14 ( C) －10 (D)－144．已知向量a＝ ( 2，t) ，b＝ ( 1， 2) ．若 t＝ t1时，a∥b； t＝ t 2时，a⊥b，则 ( ) ( A ) t1＝－ 4， t2＝－ 1 ( B ) t1＝－ 4， t2＝ 1( C) t1＝ 4， t2＝－ 1 ( D ) t1＝ 4， t2＝ 15．若点 O 是△ ABC 所在平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA ，则点O是△ABC 的 ( )( A ) 三个内角的角分线的交点( B ) 三条边的垂直平分线的交点( C) 三条中线的交点( D ) 三条高线的交点二、填空题6．河水的流速为 2 m/ s，一只小船想要以垂直于河岸方向10 m/ s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度的大小应为______________．7．数轴上的点A，B，点 A 的坐标为－ 3，且向量AB的长度为5，则点 B 的坐标为 ______．8．已知p＝ ( － 2， 2) ，q＝ ( 1，3) ，则p在q方向上的正射影的数量为______．9．已知向量a＝( 2，3)， b＝(－1，2)，若( a＋b)⊥( a＋ b)，则实数＝______．10．给出下列命题：①a b b; a2a②｜ a|－｜ b|＜｜ a－ b｜；③ |a2b|＝|a｜｜b|；④ ( b2 c) a－ ( c2 a) b与c垂直；⑤已知 a，b 是非零向量，若| a＋ b|＝｜ a－ b｜，则a⊥ b；a2＝ b2．⑥已知 a， b 是两个单位向量，则所有正确的命题的序号为____________ ．三、解答题11．已知点A( － 2， 1) ， B( 1，3) ．求线段 AB 中点 M 和三等分点P， Q 的坐标．12．已知 | a｜＝ 2， | b｜＝ 4，〈a，b〉2π．求｜a－b｜和〈a，a－b〉的余弦值．313．已知向量a＝( 1，2)， b＝( x，1)．( 1) 求与 a 垂直的单位向量的坐标；( 2) 求｜ b－2a｜的最小值以及此时 b 的坐标；( 3) 当 x 为何值，a＋ 2b与b－ 2a平行，并确定它们此时是同向还是反向．14．如图，以原点O 和 A( 5，2) 为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠ B＝ 90°．求点 B 的坐标和 AB 的坐标．参考答案第二章平面向量测试七向量的线性运算 ( 一 )一、选择题1．D 2．C 3．C 4．B 5．C二、填空题6．③7．“东偏北 60°， 6 km”或“北偏东30°， 6 km ” 8． 10 km / h 5 3 km/ h9．b－a；a＋b10．0三、解答题11．解： ( 1) CD；( 2) 原式＝(AB BC CD) DA AD DA ＝0．12．解： ( 1) MP NQ OB ；( 2) OP,OQ,OA；( 3) ON,PQ ；( 4)|OM | | ON | 3 213．解：AB a, BC b, AC c ，所以DB a b，BE AC c, DE DB BE a b c ，｜ a－ b＋ c｜＝2．14．解：设AB a, AD b ，做□ABCD．则 AC a b, DB a b ，可得 AC BD 5 ，所以□ABCD为矩形，|b | | AD | 52 32＝4．测试八 向量的线性运算 ( 二 )一、选择题1．D 2．D 3．A 4． B 5． A二、填空题6． 3a － 2b 7．a 8．－ 4； 6 9． a 3b 10． 1 b 1a| a |244三、解答题11．答： AD2 a 1b .33712．略解：化简得 9a ＝ 7b ，即 ab ，所以 a ∥ b ；｜ a ｜∶｜ b ｜＝ 7∶ 9．91，λ＝ 113．略解：由题意，得｜ a ｜＝｜ λ｜｜ b ｜，∴ ｜ λ｜＝，22｜ a － b ｜＝｜ λ－ 1｜｜ b ｜＝ 2｜ λ－ 1｜＝ 1 或 3．14． (1) 证明：∵ BDCD CB 2a 4b ，∴ BD 2 AB ，∴ AB // BD ，因为二者均经过点 B ，所以 A ， B ， C 三点共线． (2)证明：∵ a 与 b 共线，设 a ＝ λb ，∴ BD ( 2 4)b , CD (7 2)b∵CD0, BD 0 ∴7λ－ 2≠0， 2λ＋ 4≠0．∴ BD 24CD ，7 2∴ BD // CD ，所以 B ， C ， D 三点共线，又 A ，B ， D 三点共线．所以 A ， B ，C ， D 四点共线．测试九 向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1．B 2． B 3．A 4．D 5．D 二、填空题6．( 1,1)7．( 1, 3) 8． t2 9．( －2，1) 10．－ 2 或 112 223三、解答题11．答： DC1b ; NM a1b ．2412． ( 1) 证明：∵32 ，∴ a 与 b 不平行，所以向量 a ， b 是一组基底．213x 2 y 7,x 1, ( 2) 略解： ( 7，－ 4) ＝ x( 3，－ 2) ＋ y( － 2， 1) ，y4,所以2.2x y13．略解： m ＝( － 1， 4＋x) ， n ＝( 10， 2－ 3x) ，因为 m ∥ n ，所以－ ( 2－ 3x) － 10( 4＋ x) ＝0， x ＝－ 6，此时 m ＝ ( － 1，－ 2) ， n ＝ ( 10， 20) ，有 n ＝－ 10m ，所以 m 与 n 方向相反．14．略解： ( 1) OC OA AC OA 1(1,4)1(2,2) ．AB (3, 6)3 3OD OA AD OA 2AB (1,4)2(3, 6) (3,0) ．3 3( 2) OC 2OD ( 2,2) 2(3,0) (8,2) ．OE OB OC 2OD ( 4, 2) (8,2) (12,0) ．测试十平面向量的数量积及其运算律一、选择题1．D 2．D 3．D 4．C 5．B二、填空题6．｜b｜； 1 7．13 8．19．①⑤10． 42 4提示：10．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b，又 ( a－b) ⊥c，∴ (a－b) 2 (－a－b)＝0，2 2∴－｜ a｜－ a2 b＋a2 b＋｜ b｜＝0，∴｜b｜＝｜a｜＝1．又 c＝－ a－ b，222 2 ∴｜ c｜＝｜－ a－ b｜＝(－ a－ b) 2 (－ a－ b)＝｜ a｜＋2a2 b＋｜ b｜＝2．另外，可以结合图示，分析解决问题．三、解答题11．解：a2 b＝ 10， ( a＋b) 2 a＝a2＋a2 b＝ 35，|a b | ( a b) 2 a 2 2a b b2 61 .12．解：由题意得2a 2－a2 b－b2＝－ 4，所以 2a2－a2 b－b2＝－ 4，得a2 b＝－4，cos 〈a，b〉 a b 1, 〈a，b〉＝120°| a || b | 213．略解：因为(OB OC) (OB OA) 0 ，所以CB AB=0，从而CB AB ，△ABC 为直角三角形．14．略解： ( 1) ｜a－b｜2＝a2－ 2ab＋b2＝ 7，所以a2 b＝－ 1，｜ a－2b｜2＝ a2－4ab＋4b2＝21，即|a2b | 21．( 2) 由已知得 ( a＋ 2b) 2 ( k a－b) ＝ 0，即 k a2－ab＋ 2k ab－ 2b2＝ 0，得 k＝－ 7．测试十一向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1．A 2．B 3．D 4．A 5．C提示：5．设c＝ ( x，y) ，由 | c | 5 ，得x2＋y2＝5,,①，由 ( a b ) c55 5，得 ( 1, 2) ( x, y)，∴ x 2 y,, ②222由①②解得 c( 1 3, 13) ，或 c ( 1 3, 13) ．22 2213) 时， cos 〈a c5 1 ， 当c (3, 1， 〉222a c5 52|a || c |∴〈 a ，c 〉＝ 120°，另一种情况，计算结果相同．二、填空题6．－ 5； 135° 7． 8 510． ( － 1，4) 或 ( 1，2)58．135° 9． ( － 2，－ 4)提示：10．设 C( x ， y) ，则 AB(1,1), AC ( x, y 3) ，由 AC ⊥ AB 得， AB AC 0 ，即 x ＋ y － 3＝ 0,, ①又 | AB | AC ， ∴ 2＝ x 2＋ ( y － 3) 2,, ②． 结合①②，解得，x 1,x 1y 或y 4 ∴ C( 1， 2) 或 C( －1，4) ．2,三、解答题11．答： |a 2b |37 ；( 2a － b ) 2 ( a ＋ b ) ＝22； cos a b , ab 55.12．解：设 a ＝ ( x ，y) ，则2x 3 y 0 x 6 x6 x2y252，解得：y 4 或，所以 a ＝( 6，4) 或y 4a ＝ ( －6，－ 4) ．13．解：设 C( x ， y) ，则 OC( x, y) ，由已知可得： 〈 OA,OC 〉＝〈 OB, OC 〉AC // ABx y 113 则，所以，解得OC OCOB OC 3 4 x, y，2yxy2|OA ||OB|55所以 C( 1, 3)．2 214．解：由 | AB |4 得 k 2≤ 15，∵ k ∈ Z ，∴ k ＝－ 3，－ 2，－ 1， 0， 1， 2，3，·2k 4 0 所以 k ＝－ 2；当 A ＝ 90°时， AB ACAB ·BC 0，BC （2 - k ，3）当 C＝ 90°时，，所以 2( 2－ k) ＋12＝ 0， k＝ 8( 舍 ) ．AC·BC 0，BC （2 - k，3）综上 k＝－ 1 或－ 2 或 3．测试十二向量的应用一、选择题1．C2．A3．B4．B5．D提示：ABm, AC5．设n ，则｜m｜＝｜n｜＝1，|AB| |AC|由已知 (m n) BC 0 ．∴ m BC n BC，∴ m BC cos(x B)n BC cos C ∴c osB＝ c osC，又B、C∈( 0，)∴B＝ C．又由已知 m n 1，2∴ m n cos A 1 2∴ cos A 1，又（0，π）2∴A＝ 60°∴△ ABC 为等边三角形．二、填空题18．46. 10 5m/s;7． m， 60°，9．②③2 5三、解答题10．答：＝ 60°；300 3N．11．解：如图，建立平面直角坐标系，作□ABCD，设|OC | 2,| OB | 10，则C( 1，3 )，B( 10， 0) ，CB (9, 3)，得 |CB| 2 21 9.17m/s，tan AOB3．9由计算器计算得∠ AOB≈ 10. 89°．该运动员跑步速度的大小为9. 17 m/ s，方向为东偏南约10. 89°．MN // MC量，再证明二者具有关系 MN MC 即可．设AB e 1 ， AD e 2 ，则 BDe 1 e 2 ， BN1e 1 1e 2 ．3 3MC1e 1 e 2 ， MN MB BN 1e 1 ( 1e 11e 2 ) 1 e 1 1e 2 ．22 33 6 3所以 MN1MC ，所以 M ， N ，C 三点共线．313．证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a ，AD CE( AC CD) (CA AE) AC CA AC AECD CA CD AE|AC|2| AC || AE | cos45 0 |CD || AE |cos45a 22 a 21 a 20 所以 AD ⊥ CE ．33或以点 C 为原点， CA ， CB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则 A( a ， 0) ， D (0, 1 a), E(1 a, 2a), AD ( a, 1 a), CE ( 1 a, 2a),23 3233可得出 AD CE1 a2 1 a 20 ，所以 AD ⊥CE ．3 314．解：设 P( x ， y) ，则 OP (x, y) ， OB ＝ ( 4， 4) ，由 OP,OB ，共线得 4x －4y ＝ 0，,, ①，AP ( x 4, y) ， AC ＝ ( － 2， 6) ，由 AP, AC 共线得 6( x － 4) － y( － 2) ＝0,, ②，由①②解得， P( 3， 3) ．测试十三 平面向量全章综合练习一、选择题 1．A2．A3．B4．C5．D二、填空题6． 2 26m/s7．－8 或 2 2 109．1710．④⑤⑥8．59三、解答题11．解： ABOB OA (3,2) ，OM1(OB OA) ( 1,2),所以 M (1,2)，2 22OPOA1AB (1, 5) ，所以 p( 1, 5), OQ OA 2AB (0, 7) ，3 3 33 3 7所以 Q(0, ) ．2 7 ， cos 〈 a ， a -b 〉2712．答：｜ a -b ｜7.13．略解： ( 1) 设单位向量为 e ＝ k( － 2， 1) ＝ ( － 2k ， k) ，因为 | e | ＝ 1，得 k55，2 5 52 5 5e (5 , 5 ) 或 e ( 5 , 5 ) ．(2)|b 2 | ( x 2) 29 ，当 x ＝ 2 时， | b － 2a ｜最小值为 3，此时 b ＝ ( 2，1) ．a ( 3) x 1 ，反向．214．解：设 B( x ， y) ，则 AB( x 5, y 2), OBAB OB 0(x, y) ，由已知得，| AB| |OB|x( x5) y( y 2) 0x 3x2 7所以，解得 2 或 2 ，x2y2( x 5)21( y 2)2y 1 7 y 2 32 2 所以 B(3,7)或 B(7,3)，AB ( 3, 1)或 AB ( 7,3)，222 22 22 2用心 爱心 专心。
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义优化练习新人教A版必修4
答案：－63
9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解析：①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
解析：(1)由|3a－b|＝ ，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝ .因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，
所以|a＋3b|＝ .
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝ ，
所以cosθ＝ ＝ ＝ ，
故 · ＝( ＋ )·
＝ ·( － )
＝ ·( － )
＝ · ＋ －
＝ | || |cos 120°＋ | |2－ | |2
＝ ×2×1× ＋ ×1－ ×22＝－ .
答案：－
8．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.
解析：将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．2B．－2
C．4D．－4
解析：记向量a与b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ＝－12，即6×3cosθ＝－12，所以cosθ＝－ ，所以a在b方向上的投影为|a|cosθ＝6× ＝－4.
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
高中数学人教A版必修4第二章平面向量2.2.1向量的加法(4) 答案和解析
高中数学人教A 版必修4第二章平面向量2.2.1向量的加法（4）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．平行四边形ABCD 中，BC CD DA ++=( )A ．BDB ．AC C ．ABD ．BA 2．向量AB MB BO BC OM ++++=（ ）A ．ACB ．ABC ．BCD ．AM 3．设,,a b a b +均为非零向量，且a b +平分a 与b 的夹角，则( )A ． a b =B ． a b =C ． 2a b =D ．以上都不对 4．在矩形ABCD 中，|AB |=4, |BC |=2, 则向量AB AD AC ++的长度等于( )A ．B ．C ．12D ．65．若在ΔABC 中, ,?,AB a BC b == 且 a b == 1, |a b +, 则ΔABC 的形状是( )A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形 6．向量,a b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ． a 与b 反向，且 a b >,则a b +与a 同向 B ． a 与b 反向，且 a b >|,则a b +与b 同向 C ． a 与b 同向，则a b +与a 同向D ． a 与b 同向，则a b +与b 同向二、填空题7．设a 表示“向东走了2km”， b 表示“向南走了2km”, c 表示“向西走了2km”, d 表示“向北走了2km”，则 (1) a +d 表示向 _____走了 ______km; (2) b +c 表示向_____走了_______km; (3) a c ++d 表示向 _______走了_____km; (4) b +c +d 表示向______走了______km.8．设A 1A 2A 3A 4A 5A 6为正六边形，O 为它的中心，则123456OA OA OA OA OA OA +++++ _______.9．若向量,a b 满足|a b +|=|a |+|b |，则a 与b 必须满足的条件是 _______.10．设,a b 都是单位向量，则|a b +|的取值范围是 _____.三、解答题11．如图，已知向量,,a b c ,试作向量a b c c +++12．P 、Q 是ΔABC 的边BC 上的两点，且BP=QC ，求证：AB AC AP AQ +=+13．根据下列条件，分别判断四边形ABCD 的形状：(1) AD BC = (2) 13AD BC = (3) AB DC =且AB AD = 14．已知ΔABC 为直角三角形，∠BAC = 90°, AD ⊥ BC 于D ，求证：222||||BC DB DA DC DA =+++.15．在四边形ABCD 中，AB DC =, AC BD ⊥, 6AC =，8BD =，, 求：(1) AB 的值； (2) 四边形ABCD 的面积参考答案1．D【解析】BC CD DA BD DA BA ++=+=,选D.2．A【解析】分析：利用向量的三角形法则即可得出.详解：向量AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.故选：A.点睛：向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 3．D【解析】若,a b 不共线，则根据向量加法得一个平行四边形OACB ，其中,,,a OA b OB a b OC ==+=因为a b +平分a 与b 的夹角，所以平行四边形OACB 为菱形，即a b =; 若,a b 共线且同向，此时也满足a b +平分a 与b 的夹角，所以选D.4．B【解析】AB AD AC ++224AC === ，选B. 5．D【解析】因为a b == 1, |a b +,所以22a b += |a b +|2，所以a b ，垂直，所以ΔABC 的形状是等腰直角三角形，选D.6．B【解析】a 与b 反向，且a b >,则a b +与a 同向;所以B 错；a 与b 同向，则a b +与a 同向； a b +与b 同向；所以选B.7．东北 西南 北 2 西 2【解析】根据向量加法得：a +d 表示向东北走了km ；b +c 表示向西南走了km ； a c ++d =d 表示向北走了2 km ；b +c +d =c 表示向西走了2 km.8．0【解析】因为A 1A 2A 3A 4A 5A 6为正六边形，所以1425360OA OA OA OA OA OA +=+=+=，即1234560OA OA OA OA OA OA +++++= 9．,a b 同向，或其中至少有一个为0 【解析】当,a b 同向|a b +|=|a |+|b |；,a b 异向时不满足；向量,a b 不共线时，|a b +|<|a |+|b |当,a b 中至少有一个为0也满足，因此a 与b 必须满足的条件是,a b 同向，或其中至少有一个为010．[0,2] 【解析】,a b 同向时|a b +|取最大值2，,a b 异向时|a b +|取最小值0，,a b 不共线时|a b +|在（0，2）之间， 所以|a b +|的取值范围是[0,2]11．见解析【解析】试题分析：将向量首尾相邻，则起点到终点的向量即为所求.试题解析：12．见解析【解析】试题分析：根据向量加法三角形法则表示AB AC +，再根据相反向量和为零向量得结果.试题解析：+=+++ ∵= ∴ +=∴ + = + 13．（1）平行四边形；（2）梯形；（3）菱形.【解析】试题分析：（1）根据向量相等得AD 与BC 平行且相等，再根据平行四边形性质得结论，（2）根据向量相等得AD 与BC 平行且不相等，再根据梯形性质得结论，（3）根据向量相等得AD 与BC 平行且相等，可得为平行四边形；再根据向量模相等得平行四边形相邻边相等，所以为菱形.试题解析：（1）∵AD BC =，∴//AD BC ，AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形.（2）∵13AD BC =，∴//AD BC ，AD BC ≠，∴四边形ABCD 是梯形. （3）∵=且||=||，∴四边形ABCD 是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形 ABCD 是菱形14．见解析【解析】试题分析：先平移AD 构造两个矩形，再根据向量加法化简，最后根据矩形对角线相等得结论.试题解析：平移AD 至EC ，FB ，则ADCE, ADBF 是矩形右=|+|2+|+|2 = ||2+||2=||2+||2=||2=左15．（1）5；（2）24.【解析】试题分析：(1)先根据向量相等得平行四边形，再根据对角线垂直得菱形，最后根据勾股定理求AB 的值；（2）根据菱形面积公式计算四边形ABCD 的面积，即得结果.试题解析：（1）四边形ABCD 中，∵AB DC =，∴四边形是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴该四边形是菱形，∵6AC =，8BD =，∴AB =即5AB =， 综上所述，结论是5.（2）11682422S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=. 所以四边形ABCD 的面积为24.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课后习题 新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。
人教A版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习
人教A 版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习一、本节主要知识点回顾1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3、“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒C时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4、向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |6、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a ⋅ b = b ⋅ a（2）数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )（3）分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c7、 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=8、平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、典型例题精选例1、 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例2、 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.例3 、判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.例4、 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.例5、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =+∴||2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222 而=- ，∴||2=⋅-+=-2||222 ∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||+++例6、 四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例7、已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?例8、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则= (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2-5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；=)27,23(--或)23,27(-例9、对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜｜+｜｜(2)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修 4 知识点总结平面向量知点一 .向量的基本看法与基本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b, c ⋯⋯来表示，或用有向段的起点与uuur uuurxi yj ( x, y)点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a；坐表示法 a向uuur量的大小即向量的模（度），作 | AB | 即向量的大小，作｜a｜向量不可以比大小，但向量的模能够比大小．②零向量：度 0 的向量，0，其方向是随意的，0与随意愿量平行零向量 a ＝0｜r ra ｜＝0因为0的方向是随意的，且定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共）的中必看清楚能否有“非零向量” 个条件．（注意与 0 的区）③ 位向量：模 1 个位度的向量向量 a0位向量｜ a0｜＝1④平行向量（共向量）：方向同样或相反的非零向量随意一平行向量都能够移到同一直上方向同样或相反的向量，称平行向量作a∥ b因为向量能够行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量能够平移到同向来上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个因素，起点能够随意取，在必划分清楚共向量中的“共” 与几何中的“共”、的含，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一的．⑤相等向量：度相等且方向同样的向量相等向量平移后能够重合， a b 大x1x2小相等，方向同样(x1, y1 )(x2 , y2 )y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuurAB a, BC b ，a+ b = AB BC =AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法”与“平行四形法”：（1）用平行四形法，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法的特色是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法例；当两向量是首尾连结时，用三角形法例．向量加法的三角形法例可推行至多个向量相加：uuur AB uuurBCuuurCD LuuurPQuuurQRuuurAR ，但这时一定“首尾相连”．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做记作 a ,零向量的相反向量还是零向量a 的相反向量对于相反向量有：（ i）( a)= a；(ii) a +( a )=( a )+ a =0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则 a = b , b= a , a +b= 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与 b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与 a 的方向同样；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是随意的②数乘向量知足互换律、联合律与分派律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：假如e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 使：a1e1 2 e2 ，此中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底7特别注意 :（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有差别，向量平行是向量相等的必需条件（3）向量平行与直线平行有差别，直线平行不包含共线（即重合），而向量平行则包含共线（重合）的状况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细地点没关，只与其相对地点有关学习本章主要建立数形转变和联合的看法，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的有关地点关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量能否垂直等 因为向量是一新的工具，它常常会与三角函数、数列、不等式、解几等联合起来进行综合考察，是知识的交汇点例 1 给出以下命题：① 若 | r r r ra | ＝ |b | ，则 a = b ；② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则uuur uuur AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；r rr rr r ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ，rrrrr r④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ；r r r r r r⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a //c，此中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不必定同样．uuur uuur uuur uuur uuur uuur ② 正确．∵AB DC ，∴ | AB| |DC |且 AB// DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCDuuuruuur uuur uuur 为平行四边形，则，AB//DC 且|AB| |DC |，uuur uuur所以， AB DC ．③ 正确．∵r r r ra =b ，∴ a ， b 的长度相等且方向同样；r r r r 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向同样，r r r r ∴ a ， c 的长度相等且方向同样，故 a ＝ c ．r rr r r r r r ④ 不正确．当 a // b 且方向相反时，即便 | a |=| b | ，也不可以获得 a =b ，故 | a |=| b | r r r r 且 a // b 不是 a =b 的充要条件，而是必需不充足条件．r r⑤ 不正确．考虑 b = 0 这类特别状况．综上所述，正确命题的序号是②③．评论：本例主要复习向量的基本看法．向量的基本看法许多，因此简单忘记．为此，复习一方面要建立优秀的知识构造， 另一方面要擅长与物理中、 生活中的模型进行类比和联想．例 2 设 A 、B 、 C 、 D 、 O 是平面上的随意五点，试化简：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ，② DB AC BD ③OAOCOBCO解：①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur uuur( AB BC ) CD AC CD AD ②原式 = uuur uuur uuur r uuur uuur ( DBBD) AC 0 AC AC③原式=uuur (OBuuurOA)uuur ( OC uuurCO)uuurAB uuur(OCuuurCO) uuurAB ruuurAB例 3 设非零向量rrrrrrrrrra 、b 不共线，c =k a + b ，d = a +k b(k R)，若 c ∥ d ，试求 kr r解：∵ c ∥ d∴由向量共线的充要条件得：r r (λ R) c =λ d r r r rr r r 即 k a +b =λ( a +k b ) ∴ (k λ ) a + (1 λ k) b = 0r r又∵ a 、 b 不共线∴由平面向量的基本定理k 0 k11 k二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示： r r在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向同样的两个单位向量 i , j作为基底 由平面向量的基本定理知， 该平面内的任一直量 r r r rr a 可表示成 a xi yj ，因为 a 与r rr 数对 (x,y)是一一对应的，所以把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，此中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标同样，坐标同样的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细地点没关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算：(1) rx 1, y 1 rr rx 1 x 2 , y 1 y 2若 a ,bx 2 , y 2 ，则 a b uuur(2) 若 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 ，则 ABx 2 x 1 , y 2 y 1 (3) r r x, y)若 a =(x,y)，则 a =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0若 a,b，则 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r r x 1 x 2 y 1 y 2若 a,b，则 a br r y 1 y 2 0若 a b ，则 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算 类型向 1 平行四边形法例 r rx,y 21 y)2a bb a量 2 三角形法例a b (x 1的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向 三角形法例r ra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur减ABBA法uuur uuur uuurOB OA AB 向a 是一个向量 ,a( x, y)(a)() a量 知足 :的>0 时, a 与 a 同向 ;()aaa 乘<0 时, a 与 a 异向 ;法=0 时,a = 0( a b ) a ba ∥ bab向 a ? b 是一个数r rx 1x 2 y 1y 2a ?b b ? a量a?b的a0 或 b 0时 ,( a) ba ( b)(a b)数???量 a?b =0(ab) ?ca ?cb ?c积a 0且b 0 时 ,a 2 | a |2 , |a | x 2 y 2a?b |a||b|cos a,b| a ? b | | a || b | r r r r r r r r r r例 1 已知向量 a (1,2), b (x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，务实数 x 的值r r r r r r r r解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b ， v 2a br 2( x,1) (2 x 1,4) r 2(1,2) ( x,1) (2 x,3)所以 u (1,2) ， vr r又因为 u // v所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ，即 10x 5解得 x12AC 和 OB （ O 为坐标原点）交例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线点 P 的坐标uuur uuur(x 4, y)解：设 P(x, y) ，则 OP ( x, y), AP因为 P 是 AC 与OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上uuur uuur uuur uuur即得 OP // OB, AP // ACuuur uuur由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) 得， AC ( 2,6), OB (4, 4)6( x 4) 2 y 0得方程组4x 4 y 0x 3解之得y 3故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三．平面向量的数目积1 两个向量的数目积：r rrrr r 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a ·b =︱ a ︱ ·︱ b ︱ cosr r r r叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 0r r rr r2 = a b向量的投影： ︱ b ︱ cos r ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射| a |影3 数目积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系： r r r 2 r 2 a aa | a |5 乘法公式建立：r r r r r 2 r 2 r a b a b a bar r 2 r 2r r r 2 r a ba2a b b a2 r 2b ；2 r rr 22a bb6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： rrr r a b b a②对实数的联合律建立： r r r r r r Ra ba b a b③分派律建立：r r r r r r r rr r a bc a cb cca b特别注意 ：（ 1）联合律不建立： r r rr r r；a b ca b cr r r rr r（2）消去律不建立 a ba c不可以获得 b crr不可以获得r r r r （3） a b =0a = 0 或b =07 两个向量的数目积的坐标运算：rrrr已知两个向量a ( x 1 , y 1),b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b = x 1x 2 y 1 y 2rr uuur ruuur r8 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB=（ 000）叫做向量r r180 a 与b的夹角r rr rx1 x2y1 y2cos= cosa ?b=a, b r r2222? ba x1y1x2y2当且仅当两个非零向量r r r r r a 与b同方向时，θ=00，当且仅当 a 与b反方向时θ=1800，同时0与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r900r r r r9 垂直：假如a与b的夹角为则称 a 与b垂直，记作 a ⊥b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20平面向量数目积的性质例 1判断以下各命题正确与否：r r r0 ；（1）0 a0 ；（2）0 ar r r r r r r（3）若a0, a b a c ，则 b c ；r r r r r r r r⑷若 a b a c ，则 b c当且仅当 a0 时建立；r r r r r r r r r（5）( a b )c a(b c ) 对随意 a,b , c 向量都建立；（6）对随意愿量r r2r2 a，有 a a解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸ 错；⑹对例 2 已知两单位向量r r120，若r r r r r r r r a 与b的夹角为c2a b, d3b a ，试求c 与d的夹角解：由题意，r r r r0，a b 1 ，且a与 b 的夹角为 120r r r r01，所以， a b a b cos1202r r r r r r r r2r r r 227 ，Q c c c(2 a b) (2 a b)4a4a b b r7 ，cr13同理可得dr r r r r r r r r 2r217，而 c d(2a b ) (3b a)7a b3b2a2 rr设为 c 与d的夹角，则 cos2 171317 91 arccos17917 182182评论：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例 3r4,3 r1,2 rr r r r r的已知 a， b， mab , n2a b ，按以下条件务实数值r r r r r r（ 1） m n ；（ 2） m // n ； (3) m nr r r4,32 r r r 7,8解： m a b, n 2a br r 47 3 28 052（ 1） m n；r r9483 27 01 ；（ 2） m// n2r r 423 227 28 25 2488 0(3) mn2 2 115评论：此例展现了向量在座标形式下的基本运算。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积习题(1)
高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用学习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |.2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________.(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB →|＝_____________________.1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－124.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.考点一 向量的模及夹角问题 例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；（3）若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．举一反三1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2C. 2D.22(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．考点二 两向量的平行与垂直问题 例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ； (3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.举一反三2 (2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .考点三 向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |； (2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．举一反三3 （2010·四川）已知△ABC 的面积S =12AB →·AC →·＝3，且cos B ＝35，求cos C .1．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可．（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·重庆)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )A ．－32 B.32C ．2D ．62．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( )A ．－6B ．－3C ．3D ．63.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150° 4．(2010·湖南)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为 ( )A.135B.655C.65D.136．(2010·湖南长沙一中月考)设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a·b ＝25，则sin α＝________. 7．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．8．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.三、解答题(共38分)9.(12分)已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．(12分)(2011·杭州调研)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ)． (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t 的最小值．11．(14分)(2011·济南模拟)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )＝85，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值．答案1．(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①|a |cos 〈a ，e 〉 ②a·b ＝0 ③|a |2 a·a ④a·b|a||b |⑤≤ 2.(1)b·a(2)a·c ＋b·c (3)λ(a ·b ) 3.(1)a 1b 1＋a 2b 2 (2)a 1b 1＋a 2b 2＝0 (3)a 21＋a 22 a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22(4)(x 2－x 1，y 2－y 1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)22．B [|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝2 2.] 3．D [由(a ＋λb )·b ＝0得a·b ＋λ|b |2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2， BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， 即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．－2解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，52，所以MA →·MB →＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61， ∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝16＋2×(－6)＋9＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 举一反三1 (1)C [∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝0，展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c·(a ＋b ) ＝|c |·|a ＋b |cos θ，∴|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ， ∴|c |的最大值是 2.](2)λ<12且λ≠－2解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.例2 解题思路 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a |＝|b |＝1， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直． (2)|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1， (3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b . 由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．(3)由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.举一反三2 (1)解 因为a 与b －2c 垂直， 所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .例3 解题思路 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.举一反三3 解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12.AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos A ＝3sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010.由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－1010.课后练习区 1．D [因为a·b ＝6－m ＝0，所以m ＝6.] 2．D [由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6.]3．C [∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a·b <0，∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.] 4．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2.cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－12|b |2|b |2＝－12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．B [因为a·b ＝|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉， 所以，a 在b 上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b |＝21－842＋72＝1365＝655.] 6.35解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝35.7．120°解析 设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ， ∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2＋a·b ＝0. 又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.8．(－1,0)或(0，－1)解析 设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1， 有x ＋y ＝－1.①由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π4，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1，∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．9．解 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分) ∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴M 点坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115.故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分)10．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin ()－θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分) (2)解 由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.………………………………………………………………(6分) 又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .…………………………………………………………(8分) ∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分) 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π6＋2sin x＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.…………………………………………………………(5分) 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，7π6＋2k π (k ∈Z )．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 又因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝85， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分) 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝45. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－1＝725.………………………………………………(14分)。
【人教A版】高中数学必修4第二章课后习题解答
新课程标准数学必修4第二章课后习题解答第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、332AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有64对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g .练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走km ；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0. 5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.（第11题）12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =，34EC b =，1()8DN b a=-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN ANAM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即AB ∥. 因此，四边形ABCD 为平行四边形.（第12题）（第1题）（第4题(2)）（第4题(3)）（第5题）2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-； （3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-； （3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3- 7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,A P x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5). 解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2A C A B ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)O C O A A C =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)O D O A A D =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)O E O A A E =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)O B O B '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题2.3 B 组（P101） 1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ； 当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线； （2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线； （3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP = （2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题2.4 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=-2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== ()c o s a b a b λλθ⋅= ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.c o s ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩（第4题）代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-； （2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d vθ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,AB =-.（第2题）（第4题）将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2)(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y '' 则cos sin 44sincos44x x y y xy ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即)2)x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=. 6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===（第4题）11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅. 因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-.再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.（第3题）P 2（第5题）（第6题）6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =。