2019年高考数学理科数学导数及其应用分类汇编

2019年高考数学理科数学导数及其应用

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，

D ．1e a -=，1b =-

【答案】D

【解析】∵e ln 1,x

y a x '=++

∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．

2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,

()ln ,

1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0

f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]

0,1 B ．[]

0,2 C ．[]0,e

D ．[]

1,e

【答案】C

【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；

当1x <时，2

()22021

x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立，

令2

()1

x g x x =-，

则222(11)(1)2(1)1

()111x x x x g x x x x -----+=-=-=-

--- 11122(1)2011x x x x ????

=--+-≤--?= ? ? ?--????

，当1

11x x

-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.

当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x

a x

≤恒成立，令()ln x

h x x

，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，

当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，

综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.

3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32

()11(1),03

2x x f x x a x ax x

=?-++≥??．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0

【答案】C

【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x

，

则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；

当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b

x 3

（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b

x 3

（a +1）x 2﹣b ，

2(1)y x a x =+-'，

当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；

当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：

∴

＜0且＞

＜，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞

（a +1）3，

则a >–1，b <0. 故选C ．

4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线2

3()e x

y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=

【解析】2

3(21)e 3()e 3(31)e ,x

y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，

则曲线2

3()e x

y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4

(0)y x x x

>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+

>，得241y x

'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+>切于00

4(,)x x x +，由20

11x -

得0x =

0x =，

∴曲线4

(0)y x x x

=+>

上，点P 到直线0x y +=

4=.

故答案为4．

6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过

点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)

【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1

y x

，当0x x =时，0

1y x '=

，则曲线ln y x =在点A 处的切线为000

()y y x x x -=

-，即00

ln 1x

y x x -=

-，将点()e,1--代入，得00

1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，

考察函数()ln H x x x =，

当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+，

当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，

故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =，

故点A 的坐标为()e,1.

7．【2019年高考北京理数】设函数()e e x

f x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；

若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1

,0--∞

【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.

若函数()e e x

f x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()e

e e e x

x x x a a --+=-+，

即()(

)1e e

a -++=对任意的x 恒成立，

则10a +=，得1a =-.

若函数()e e x

f x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x

f x a -'=-≥在R 上恒成立，

即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(]

,0-∞.

8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：

（1）()f x '在区间(1,)2

-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1

()cos 1g x x x

+，2

1sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π?

?∈- ???时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π?

?- ???

有唯一零点，

设为α.

则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,

2x α?

π?

∈ ???

时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,

2απ?? ???单调递减，故()g x 在1,2π?

?- ???

存在唯一极大值点，即()

f 'x

在1,

2π??

- ???

存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.

（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，

()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.

（ii ）当0,2x ?π?

∈ ??

时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ?? ??

?单调递减，而(0)=0f '，02

f 'π??< ???

，

所以存在,

2βαπ??∈ ???，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ??

∈ ???

时，()0f 'x <.

故()f x 在(0,)β单调递增，在,

2βπ?

单调递减. 又(0)=0f ，1ln 1022f ππ????=-+> ? ?????，所以当0,2x ?π?∈ ???时，()0f x >.从而，()f x 在0,2??

???

π没有零点. （iii ）当,2x π??∈π

???时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π??π ???单调递减.而

02f π??

> ???

，()0f π<，所以()f x 在,2π??

???

有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.

9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()1

ln x f x x x -=-

（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；

（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x

y =的切线.

【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．

因为2

12()0(1)f 'x x x =

+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f （e ）=e 110e 1+-<-，222

22e 1e 3(e )20e 1e 1

f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <

<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点1

x ．

综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为

0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，0

x ）在曲线y =e x 上．由题设知0

()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率000000

000

001

11ln 111ln 1

x x x x x k x x x x x x +--

-===+-----．曲线y =e x

在点001(ln ,

)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是0

1x ，所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x

的切线．

10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.

【解析】（1）2

()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3

x =. 若a >0，则当(,0)

,3a x ??∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当0,3a x ??

∈ ???

时，()0f x '<．故()f x 在

(,0),,3a ??-∞+∞ ???单调递增，在0,3a ??

???

单调递减；

若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；

若a <0，则当,

(0,)3a x ?

?∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当,03a x ??

∈ ???

时，()0f x '<．故()f x 在

,,(0,)3a ??-∞+∞ ???单调递增，在,03a ??

???

单调递减.

（2）满足题设条件的a ，b 存在.

（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．

（iii ）当0

=-+ ???，最大值为b 或2a b -+．若3

127

a b -+=-，b =1，则332a =，与0

127

a b -+=-，21a b -+=，则33a =或33a =-或a =0，与0

21()4

f x x x x =

-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；

（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．

【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =

-+得23