三角函数的易错点以及典型例题与高考真题
三角函数典型例题(高考题)及详细解答
1．已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC ⋅=,求c 的值； (2)若c=5，求sin ∠A 的值．2 已知函数()sin()(0,0),f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。
（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2παβ∈，且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值 3.已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值;（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 4．设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 5.已知函数1()2sin(),36f x x x π=-∈R .(1)求(0)f 的值；(2)设10,0,,(3)2213f ππαβα⎡⎤∈+=⎢⎥⎣⎦，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值. 一．选择填空题1.在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 2..在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 3.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）94.设函数（A ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π对称（D ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2π对称5.）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______.6．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 7．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ二：解答题1.已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π=+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
高中数学三角函数易错题
高中数学易做易错题 专题一：三角比1．假设角α终边上一点P 的坐标为〔θcos ，θsin 〕〔Z k k ∈+≠,2ππθ〕，那么θα-＝。
错解：由θαtan tan =得πθαk =-〔Z k ∈〕。
正解：同时θαsin sin =，θαcos cos =，∴πθαk 2=-〔Z k ∈〕。
2．βαβαtan 3tan ,sin 2sin ==，求α2cos 。
错解：由1cot csc 22=-ββ消去β得1cot 9csc 422=-αα，解得83cos 2=α。
分析：遗漏0sin =α的情形。
还有1cos 2=α的情形。
3．α、β∈〔0，π〕，135)sin(,212tan=+=βαα，求βcos 。
错解：544112122tan 12tan 2sin 2=+⨯=+=ααα，534114112tan 12tan 1cos 22=+-=+-=ααα ∵α、β∈〔0，π〕，∴1312169251)(sin 1)cos(2±=-±=+-±=+βαβα， ∴αβααβααβαβsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+=∴6516cos -=β，或6556cos =β。
分析：∵)sin(13554sin βαα+=>=，∴2πβα>+，∴1312)cos(-=+βα，∴6516cos -=β。
4．设πα<<0，21cos sin =+αα，那么α2cos 的值为。
错解：432sin -=α，∵πα220<<，∴472cos ±=α。
正解：∵0cos ,0sin <>αα且021cos sin >=+αα， ∴432παπ<<，∴232παπ<<，∴472cos -=α。
4－1．π<≤=+x x x 0,137cos sin ，那么=x tan 。
高考数学易错点第8讲：三角函数与解三角形
高考数学易错点第8讲：三角函数与解三角形易错知识1．对于有关三角函数求值的问题，要注意角的范围，尤其是利用条件缩小角的范围，2．对于含有整数k 的问题，要注意对k 进行讨论，3．三角函数图象左右平移是针对自变量x 的，4.对于含有二次根式的求值问题，开方时要注意考虑正负，5.对于与三角函数有关的复合函数单调性问题，要注意内函数的单调性，6.逆用三角函数公式时，要注意其结构特征，易错分析一、忽视角的范围致错1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于()A ．－1213B ．－513C.513D.±1213【错解】选D ，因为1cos sin 22=+αα，又sin α＝513，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1213.【错因】【正解】2．已知sin θ＋cos θ＝43，θsin θ－cos θ的值为________．【错解】∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴sin θ－cos θ＝±23.答案：±23【错因】【正解】开方没考虑正负号复合函数忽视内函数自变量的符号3．已知θ∈(0，π)，＝43，则sinθ＋cosθ＝________.【错解】由题知＝43＝1＋tanθ1－tanθ⇒tanθ＝17，又因为θ∈(0，π)，＝17，sin2θ＝1θ＝210，θ＝7210，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1027cos102sinθθ，所以sinθ＋cosθ＝425或523-答案：425或523-【错因】【正解】4．在△ABC中，若C＝3B，则cb的取值范围为()A．(0,3)B．(1,3)C．(1，3)D．(3，3)【错解】选A由正弦定理可得，cb＝sin Csin B＝sin3Bsin B＝sin(B＋2B)sin B＝sin B·cos2B＋cos B·sin2Bsin B ＝cos2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又0＜B＜180°，∴≤0cos2B≤1，又c b>0，∴0＜c b＜3.【错因】【正解】二、对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负5．化简：2sin8＋1＋2cos8＋2＝()A．4cos4B．－2sin4－4cos4C．4sin4D．2sin4+4cos4【错解】选D原式＝21＋2sin4cos4＋4cos24＝2sin24＋cos24＋2sin4cos4＋2cos4＝2sin4＋2cos4＋2cos4=2sin4＋4cos4.【错因】【正解】6．若3π2<θ<5π2，则12＋1212＋12cosθ等于()A．sinθ4B．cosθ4C．－sinθ4D．－cosθ4【错解】选B 由二倍角公式得12＋12cos θ＝1＋cos θ2＝cos 2θ2＝cos θ2，∴12＋1212＋12cos θ＝4cos 2212cos 21212θθ⨯=+＝cos θ4【错因】【正解】三、三角函数图象左右平移时忽视自变量x 的系数致错7．为了得到函数y ＝sinx y ＝sin 2x 的图象()A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位【错解】选B根据左加右减可知，为了得到函数y ＝sinx 可以将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位．【错因】【正解】8．要得到y ＝cos y ＝sin 12x 的图象()A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移4π3个单位D ．向右平移4π3个单位【错解】选A因为y ＝)3(21cos π+x ，故要得到y ＝cos只需将函数y ＝sin 12x 的图象向左平移π3个单位．【错因】【正解】四、涉及到整数k 的问题，忽视对k 的讨论致错9．已知角α为第一象限角，则α2是第________象限角．【错解】∵α是第一象限角，∴2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，则α2是第一象限角．答案：一【错因】【正解】10．(忽视对k 的讨论)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是________．【错解】A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.答案：{2}【错因】【正解】五、含参问题忽视对参数的讨论致错11．已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α＝________.【错解】易知OP ＝(－4m )2＋(3m )2＝5m ，则sin α＝5353=m m，cos α＝5454-=-m m .故2sin α＋cos α＝25.答案：25【错因】【正解】六、三角函数的单调性问题中，忽视自变量x 的系数为负值致错12．函数f (x )＝sin ________．【错解】要求f (x )＝sin 的单调递增区间，只需令－π2＋2k π≤π6－x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得3π-＋2k π≤x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数f (x )＝sin 3[π-＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z ).答案：3[π-＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z ).【错因】【正解】七、判断三角形形状时考虑不全致错13.已知在△ABC 中，三个内角为A ，B ，C ，sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是()A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【错解】选A 因为sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B ，解得A ＝B ，所以△ABC 是等腰三角形．【错因】【正解】八、忽视正切函数本身的定义域14．已知函数f(x)＝lg(tan x－1)＋9－x2，则f(x)的定义域是____．【错解】∵函数f(x)＝lg(tan x－1)＋9－x2，x－1>0，－x2≥0，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-∈+≥33,4xZkkxππ，∴x∈]343[π-，∴函数y＝f(x)的定义域为]343[，π-.答案：]343[，π-【错因】【正解】易错题通关1π＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈(阴影部分)是()2．在△ABC中，若sin2A＝sin2C，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－31010，则y＝()A．3B．－3C．1D．－14.已知θ是第三象限角，且cos(π＋θ)＝13，则tanθ＝()A.24B．2C．22 D.105．已知α终边与单位圆的交点α是第二象限角，则1－sin2α＋2＋2cos2α的值等于()A.15B．－15C．3D．－36．设α角属于第二象限，且|cosα2|＝－cosα2，则α2角属于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．已知sin α，cos α是方程x 2－2kx ＋k 2＋k ＝0的两根，则k 的值为()A.1±32 B.1－32C ．1±3D ．1＋38.若θ∈(0，π)，tan θ＋1tan θ＝6，则sin θ＋cos θ＝()A ．233B ．－233C ．±233D ．239．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为()A.1665B ．－5665C ．－1665D.1665或－566510．已知cos α＝255，sin β＝1010，且α∈0，π2，β∈0，π2，则α＋β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π411．已知φ∈R，则“φ＝0”是“y ＝sin(x ＋φ)为奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cos A ＝b cos B ，且c 2＝a 2＋b 2－ab ，则△ABC 的形状为()A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形13．把函数f (x )＝2cos 2x －π4的图象向左平移m (m >0)个单位，得到函数g (x )＝2sin 2x －π3的图象，则m 的最小值是()A.724π B.1724π C.524π D.1924π14．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx ＋π4在区间π2，π上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A.12，54B.12，34C ．0，12D ．(0,2]15.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的图象的一部分如图所示，则ω，φ的值分别为()A ．1，π3B ．1，－π3C ．2，－π3D ．2，π316．已知函数f (x )＝sinωx ＋π6(ω>0)，对任意x ∈R ，都有f (x )≤f π3，并且f (x )在区间－π6，π3上不单调，则ω的最小值是()A ．1B ．3C ．5D ．717．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝23，c ＝3，A ＋3C ＝π，则下列结论正确的是()A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S △ABC ＝218.（多选题）如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝()A ．B ．2C ．xD ．219.若0＜α＜π2，－π＜β＜－π2，＝13，＝－33，则()A ．－539B.539C ．－33D.3320．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．21．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的相邻两个零点间的距离为π2，且－2，则φ＝________.22．化简sin (n π＋α)cos (n π－α)cos[(n ＋1)π－α](n ∈Z)的结果为________．23．在锐角△ABC 中，BC ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则中线AD 长的取值范围是________．24.若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是________．25．设f (x )＝m x m －1(m ≠0)．(1)若m ＝2，求函数f (x )的零点；(2)当x ∈0，π2时，－3≤f (x )≤4恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、忽视角的范围致错1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于()A ．－1213B ．－513C.513D.±1213【错解】选D ，因为1cos sin 22=+αα，又sin α＝513，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1213.【错因】没有注意条件α是第二象限角，【正解】选A∵α是第二象限角，则cos α>0，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2．已知sin θ＋cos θ＝43，θsin θ－cos θ的值为________．【错解】∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴sin θ－cos θ＝±23.答案：±23【错因】没有注意由条件θsin θ<cos θ，【正解】∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，又θsin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23.答案：－233．已知θ∈(0，π)，＝43，则sin θ＋cos θ＝________.【错解】由题知＝43＝1＋tan θ1－tan θ⇒tan θ＝17，又因为θ∈(0，π)，＝17，sin 2θ＝1θ＝210，θ＝7210，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1027cos 102sin θθ，所以sin θ＋cos θ＝425或523-答案：425或523-【错因】没有注意由tan θ＝17>0可以缩小角的范围，即可推出θ【正解】由题知＝43＝1＋tan θ1－tan θ⇒tan θ＝17，又因为θ∈(0，π)，且tan θ>0，所以θ∈＝17，sin 2θ＝1θ＝210，θ＝7210，所以sin θ＋cos θ＝8210＝425.答案：4254．在△ABC 中，若C ＝3B ，则cb的取值范围为()A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(1，3)D ．(3，3)【错解】选A由正弦定理可得，c b ＝sin C sin B ＝sin 3B sin B ＝sin (B ＋2B )sin B ＝sin B ·cos 2B ＋cos B ·sin 2Bsin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又0＜B ＜180°，∴≤0cos 2B ≤1，又c b >0，∴0＜cb＜3.【错因】忽略了A ＋B ＋C ＝180°及条件C ＝3B ，【正解】选B由正弦定理可得，c b ＝sin C sin B ＝sin 3B sin B ＝sin (B ＋2B )sin B ＝sin B ·cos 2B ＋cos B ·sin 2Bsin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ，∴0°＜B ＜45°，∴22cos B ＜1，∴1＜4cos 2B －1＜3，即1＜cb＜3.二、对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负5．化简：2sin 8＋1＋2cos 8＋2＝()A ．4cos 4B ．－2sin 4－4cos 4C ．4sin 4D ．2sin 4+4cos 4【错解】选D原式＝21＋2sin 4cos 4＋4cos 24＝2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2cos 4＝2sin 4＋2cos 4＋2cos 4=2sin 4＋4cos 4.【错因】开方时没有考虑2cos 4、sin 4＋cos 4的正负，【正解】选B原式＝21＋2sin 4cos 4＋4cos 24＝2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2|cos 4|＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|，∵π＜4＜3π2，∴sin 4＋cos 4＜0，cos 4＜0，∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.6．若3π2<θ<5π2，则12＋1212＋12cos θ等于()A ．sinθ4B ．cosθ4C ．－sinθ4D ．－cosθ4【错解】选B 由二倍角公式得12＋12cos θ＝1＋cos θ2＝cos 2θ2＝cos θ2，∴12＋1212＋12cos θ＝4cos 2212cos 21212θθ⨯=+＝cos θ4【错因】没有用3π2<θ<5π2去求θ2、θ2的范围，【正解】选A∵3π2<θ<5π2，∴3π4<θ2<5π4，3π8<θ4<5π8，∴cos θ>0，cos θ2<0，sin θ4>0，∴12＋12cos θ＝1＋cos θ2＝cos 2θ2＝－cos θ2，∴12＋1212＋12cos θ＝1－cosθ22＝sin 2θ4＝sin θ4.三、三角函数图象左右平移时忽视自变量x 的系数致错7．为了得到函数y ＝sinx y ＝sin 2x 的图象()A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位【错解】选B根据左加右减可知，为了得到函数y ＝sinx 可以将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位．x,【正解】选A ∵函数y ＝x sin 2∴为了得到函数y ＝sinx 可以将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位．8．要得到y ＝cos y ＝sin 12x 的图象()A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移4π3个单位D ．向右平移4π3个单位【错解】选A因为y ＝)3(21cos π+x ，故要得到y ＝cos只需将函数y ＝sin 12x 的图象向左平移π3个单位．【错因】函数图象平移变换时，没注意函数的名称是不一致的，不能直接进行平移，【正解】选Cy ＝＋π6＋y ＝cos图象，只需将函数y ＝sin 12x 的图象向左平移4π3个单位．四、涉及到整数k 的问题，忽视对k 的讨论致错9．已知角α为第一象限角，则α2是第________象限角．【错解】∵α是第一象限角，∴2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，则α2是第一象限角．答案：一【错因】没有对k 分情况讨论，【正解】∵α是第一象限角，∴2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．答案：一或三10．(忽视对k 的讨论)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是________．【错解】A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.答案：{2}【错因】没有对k 分情况讨论，【正解】当k 为奇数时：A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.当k 为偶数时：A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.答案：{－2,2}五、含参问题忽视对参数的讨论致错11．已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α＝________.【错解】易知OP ＝(－4m )2＋(3m )2＝5m ，则sin α＝5353=m m，cos α＝5454-=-m m .故2sin α＋cos α＝25.答案：25【错因】没有对参数m 分情况讨论，【正解】易知OP ＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |，则sin α＝3m5|m |，cos α＝－4m 5|m |.当m >0时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当m <0时，sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α＝±25.答案：±25六、三角函数的单调性问题中，忽视自变量x 的系数为负值致错12．函数f (x )＝sin________．【错解】要求f (x )＝sin的单调递增区间，只需令－π2＋2k π≤π6－x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得3π-＋2k π≤x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数f (x )＝sin3[π-＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z ).答案：3[π-＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z ).【错因】没有注意自变量x 的系数是负数，【正解】因为f (x )＝f (x )＝sin只需要求y ＝sin的单调递减区间．令π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，可得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )，所以y ＝sin2π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )，此即为函数f (x)＝sin答案：2π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )七、判断三角形形状时考虑不全致错13.已知在△ABC 中，三个内角为A ，B ，C ，sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是()A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【错解】选A因为sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B ，解得A ＝B ，所以△ABC 是等腰三角形．【错因】sin 2A ＝sin 2B 时，有两种可能：2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，【正解】选D因为sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，解得A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰或直角三角形．八、忽视正切函数本身的定义域14．已知函数f (x )＝lg (tan x －1)＋9－x 2，则f (x )的定义域是____．【错解】∵函数f (x )＝lg (tan x －1)＋9－x 2，x －1>0，－x 2≥0，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-∈+≥33,4x Z k k x ππ，∴x ∈]343[π-，∴函数y ＝f (x )的定义域为]343[，π-.答案：]343[，π-【错因】没有考虑x y tan =的定义域，【正解】∵函数f (x )＝lg (tan x －1)＋9－x 2，x －1>0，－x 2≥0，π＋π4<x <k π＋π2(k ∈Z )，3≤x ≤3，∴x －3π4，－∴函数y ＝f (x )－3π4，－－3π4，－易错题通关1π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈(阴影部分)是()【答案】C【解析】当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样，结合选项知选C.2．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2C ，则△ABC 的形状是()A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】因为sin 2A ＝sin 2C ⇒sin 2A ＝sin(π－2C )，所以A ＝C 或A ＋C ＝π2.当A ＝C 时，三角形为等腰三角形；当A ＋C ＝π2时，三角形为直角三角形．3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y ＝()A ．3B ．－3C ．1D ．－1【答案】B【解析】因为sin θ＝－31010<0，A (－1，y )是角θ终边上一点，所以y <0，由三角函数的定义，得y y 2＋1＝－31010.解得y ＝－3.4.已知θ是第三象限角，且cos(π＋θ)＝13，则tan θ＝()A.24B ．2C ．22 D.10【答案】C【解析】cos(π＋θ)＝－cos θ＝13，所以cos θ＝－13，又θ是第三象限角，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－＝－223，所以tan θ＝sin θcos θ＝－223－13＝22.5．已知α终边与单位圆的交点α是第二象限角，则1－sin 2α＋2＋2cos 2α的值等于()A.15B ．－15C ．3D ．－3【答案】C【解析】因为α终边与单位圆的交点α是第二象限角，所以sin α＝35，cos α＝－45，则1－sin 2α＋2＋2cos 2α＝1－2sin α·cos α＋2(1＋cos 2α)＝(sin α－cos α)2|sin α－cos α|＋2|cos α|＝75＋85＝3.6．设α角属于第二象限，且|cos α2|＝－cos α2，则α2角属于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°，k ∈Z.当k ＝2n ，n ∈Z 时，α2在第一象限；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α2在第三象限，∴α2在第一象限或在第三象限，∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2<0，∴α2角在第三象限．7．已知sin α，cos α是方程x 2－2kx ＋k 2＋k ＝0的两根，则k 的值为()A.1±32 B.1－32C ．1±3D ．1＋3【答案】B【解析】α＋cos α＝2k ，αcos α＝k 2＋k ，∵sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝4k 2－2(k 2＋k )＝1，即2k 2－2k －1＝0，解得k ＝2±234＝1±32.∵sin α＋cos α＝2sin ∴sin α＋cos α∈[－2，2]，即2k ∈[－2，2]，∴k ∈－22，22，∴k ＝1－32.9.若θ∈(0，π)，tan θ＋1tan θ＝6，则sin θ＋cos θ＝()A ．233B ．－233C ．±233D ．23【答案】A【解析】因为tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝6，所以sin θcos θ＝16，又θ∈(0，π)，则sin θ>0，cos θ>0，所以sin θ＋cos θ>0.所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝43，所以sin θ＋cos θ＝233.9．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为()A.1665B ．－5665C ．－1665D.1665或－5665【答案】A【解析】在△ABC 中，由cos A ＝513，sin B ＝35，可得sin A ＝1－cos 2A ＝1213，因为sin B <sin A 且A 为锐角，则b <a ，所以A >B ，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝45，则cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－513×45＋1213×35＝1665.10．已知cos α＝255，sin β＝1010，且αβα＋β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4【答案】B【解析】因为αβ所以sin α＝1－cos 2α＝55，cos β＝1－sin 2β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0＜α＋β＜π，故α＋β＝π4.11．已知φ∈R，则“φ＝0”是“y ＝sin(x ＋φ)为奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当φ＝0时，y ＝sin(x ＋φ)为奇函数；当y ＝sin(x ＋φ)是奇函数时，φ＝k π，k ∈Z ，所以“φ＝0”是“y ＝sin(x ＋φ)为奇函数”的充分不必要条件，故选A.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cos A ＝b cos B ，且c 2＝a 2＋b 2－ab ，则△ABC 的形状为()A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】因为a cos A ＝b cos B ，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，又A ，B ∈(0，π)，故可得A ＝B 或A ＋B ＝π2.由c 2＝a 2＋b 2－ab ，得cos C ＝12，又C ∈(0，π)，故可得C ＝π3.综上所述，A ＝B ＝C ＝π3.故三角形ABC 是等边三角形．13．把函数f (x )＝2cos x m (m >0)个单位，得到函数g (x )＝2sin x 图象，则m 的最小值是()A.724π B.1724π C.524π D.1924π【答案】B【解析】选B把函数f (x )＝2cosx m (m >0)个单位，得到f (x )＝2cos2(x ＋m )－π4＝2cos x ＋2mg (x )＝x 2cos π2－x 2x 由2m －π4＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，得m ＝－7π24＋k π，k ∈Z ，∵m >0，∴当k ＝1时，m 最小，此时m ＝π－7π24＝17π24.14．已知ω>0，函数f (x )＝sin 在区间π2，π上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A.12，54B.12，34C ，12D ．(0,2]【答案】A【解析】由π2≤x ≤π，得π2ω＋π4≤ωx ＋π4≤πω＋π4，由题意π2ω＋π4，πω＋π4⊆2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．当k ＝0＋π4≥π2，＋π4≤3π2，得12≤ω≤54.15.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ＞0，|φ|则ω，φ的值分别为()A ．1，π3B ．1，－π3C ．2，－π3D ．2，π3【答案】D【解析】由图象知，T 4＝7π12－π3＝π4，即T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2.2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，故φ＝π3，故选D.16．已知函数f(x )＝(ω>0)，对任意x ∈R ，都有f (x )≤并且f (x )在区间－π6，π3上不单调，则ω的最小值是()A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D【解析】由题意，f f (x )的最大值，∴ωπ3＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋1，k ∈Z .∵ω>0，∴k ∈N .当k ＝0时，ω＝1，f(x )＝sin 在－π6，π3上单调递增，不符合题意；当k ＝1时，ω＝7，f(x )＝sinx ω的最小值是7.17．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝23，c ＝3，A ＋3C ＝π，则下列结论正确的是()A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S△ABC ＝2【答案】AD【解析】选AD 由A ＋3C ＝π，得B ＝2C .根据正弦定理b sin B ＝c sin C，得23sin C ＝3×2sin C cos C ，又sin C >0，故cos C ＝33，sin C ＝63，故A 正确；sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝223，故B 错误；由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将b ＝23，c ＝3代入得a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝3或a ＝1.若a ＝3，则A ＝C ＝π4，且B ＝π2，与sin B ＝223矛盾，所以a ＝1，故C 错误；S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×23×63＝2，故D 正确．故选A 、D.18.（多选题）如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝()A ．B ．2C ．xD ．2【答案】BC【解析】由题图可知，函数的最小正周期T ＝π，∴2π|ω|＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y ＝sin(2x ＋φ)×π6＋0，∴2×π6＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，即＝2k π＋2π3，k ∈Z ，∴y ＝x 故A 错误；由x sin π2sin 2B 正确；由x x ＋π2＋cos x C 正确；由x x cos πx cos 2D 错误．综上可知，正确的选项为B 、C.20.若0＜α＜π2，－π＜β＜－π2，＝13，＝－33，则()A ．－539B.539C ．－33D.33【答案】D【解析】∵0＜α＜π2，－π＜β＜－π2，则π4＜π4＋α＜3π4，π2＜π4－β2＜3π4，∴＝223，＝63，因此，＝13×＋223×63＝33.20．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－2,3]【解析】∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴a －9≤0，＋2＞0，∴－2＜a ≤3.21．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的相邻两个零点间的距离为π2，且－2，则φ＝________.【答案】－π4【解析】由题意T ＝2×π2＝π，ω>0，所以ω＝2πT＝2，－π4＋2，－π4＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，又－π<φ<0，所以φ＝－π4.22．化简sin (n π＋α)cos (n π－α)cos[(n ＋1)π－α](n ∈Z)的结果为________．【答案】(－1)n ＋1sin α(n ∈Z)【解析】①当n ＝2k (k ∈Z)时，原式＝sin (2k π＋α)cos (2k π－α)cos[(2k ＋1)π－α]＝sin αcos α－cos α＝－sin α.②当n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，原式＝sin[(2k ＋1)π＋α]cos[(2k ＋1)π－α]cos[(2k ＋2)π－α]＝(－sin α)(－cos α)cos α＝sin α.综上，化简的结果为(－1)n ＋1sin α(n ∈Z)．23．在锐角△ABC 中，BC ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则中线AD 长的取值范围是________．【答案】3【解析】设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ＝2，对sin B ＋sin C ＝2sin A 运用正弦定理，得b ＋c ＝2a ＝4，解得c ＝4－b ，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组2＋c 2＝b 2＋(4－b )2＞4，2＋4＝(4－b )2＋4＞b 2，2＋4＞c 2＝(4－b )2，解得32＜b ＜52，故bc ＝b (4－b )＝－b 2＋4b ，结合二次函数的性质，得到154＜bc ≤4.运用向量得到AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，所以|AD ―→|＝12AB 2―→＋AC 2―→＋2|AB ―→|·|AC ―→|·cos ∠BAC＝12b 2＋c 2＋2bc ·b 2＋c 2－42bc＝122b 2＋2c 2－4＝1228－4bc ，结合bc 的范围，得|AD ―→|的范围为324.若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是________．【答案】7π4【解析】∵α∈π4，π，β∈π，3π2，∴2α∈π2，2π，又0＜sin 2α＝55＜12，∴2ααβ－α∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－255.又sin(β－α)＝1010，∴β－α∴cos(β－α)＝－1－sin 2(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×－55×1010＝22.又αβ∈π，3π2，∴α＋βα＋β＝7π4.25．设f (x )＝m x m －1(m ≠0)．(1)若m ＝2，求函数f (x )的零点；(2)当x ∈0，π2时，－3≤f (x )≤4恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由m ＝2⇒f (x )＝x 1，令f (x )＝0，则x ＝－12，即2x －π3＝2k π＋2π3或2x －π3＝2k π＋4π3(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6(k ∈Z )，21∴f (x )的零点是x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由0≤x ≤π2可得－π3≤2x －π3≤2π3，所以－12≤x1.①当m >0时，易得m 2－1≤f (x )≤2m －1，由－3≤f (x )≤4x )min ≥－3，x )max ≤4，1≥－3，－1≤4，，解得0<m ≤52；②当m <0时，可得2m －1≤f (x )≤m 2－1，由－3≤f (x )≤4x )min ≥－3，x )max ≤4，－1≥－3，1≤4，，解得－1≤m <0.综上可得，m的取值范围是[－1,0)，52.。
第五章 三角函数典型易错题集(解析版)
第五章 三角函数典型易错题集易错点1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。
【典型例题1】（2022·全国·高一专题练习）将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（ ） A ．6πB ．3π C ．6π-D ．3π-【错解】B将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ⨯=. 点评：学生对角的理解还是局限在0360之间，把角都当成正数，容易忽视角的定义，顺时针旋转为负，逆时针旋转为正。
【正解】D 【详解】将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ-⨯=-. 故选：D.易错点2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。
【典型例题2】（2022·湖北襄阳·高一期中）设α是第三象限角，(),4P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan α=（ ） A ．43-或43B ．34C ．43D ．34-【错解】A解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：3x =±，所以(3,4)P ∴--或者(3,4)P ∴-，所以44tan 33α-∴==-或者44tan 33α-∴==-点评：学生在解此类问题时往往忽略了角α15x=方程时容易造成两种错误:①293a a =⇒=,这类错误往往学生只能看到正根，没有负根。
②第二类错误，本题也解出了3x =±，但是忽视了本题α是第三象限角，此时x 是负数，要舍去其中的正根。
【答案】C 【详解】解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：0x =或3x =±， 又α是第三象限角，0x ∴<，3x ∴=-，(3,4)P ∴--， 44tan 33α-∴==-． 故选：C ．易错点3．分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）【典型例题3】（2022·安徽省五河第一中学高二月考）已知tan 2θ=则22sin sin cos 2cos θθθθ+-的值为________． 【错解】4222222sin sin cos 2cos (sin sin cos 2cos )cos tan tan 24θθθθθθθθθθθ+-=+-÷=+-=点评：学生在此类问题时多数出现分式问题，习惯了分子分母同除以cos θ（或者2cos θ），但本题是一个整式，要先化成分式，才能进一步同时除以cos θ（或者2cos θ）。
三角函数典型超级易错题
三角函数典型超级易错题三角函数是高中数学中的一个重要章节，涉及到许多概念和性质。
虽然三角函数的基本理论并不难以理解，但由于其具有一些易错点，所以在做题过程中可能会遇到一些挑战。
本文将就三角函数中的一些典型易错题进行详细分析和解答，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 题目：已知$\tan x=\frac{3}{4}$，求$\sin x$和$\cos x$的值。
解答：首先，根据定义，$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，所以我们可以得到一个等式：$$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{4}$$接下来，我们可以利用三角函数的定义和性质，将$\sin x$和$\cosx$之间的关系进行转化。
通过三角函数的定义，我们知道$\sin x$和$\cos x$是有关的：$$\sin^2x+\cos^2x=1$$将其变形得到：$$\sin^2x=1-\cos^2x$$将上式代入第一个等式中，得到：$$\frac{1-\cos^2x}{\cos x}=\frac{3}{4}$$进一步整理，得到二次方程：$$4-4\cos^2x=3\cos x$$将其变形，得到：$$4\cos^2x+3\cos x-4=0$$这是一个关于$\cos x$的一元二次方程，我们可以使用求根公式求解。
令$a=4$，$b=3$，$c=-4$，带入求根公式：$$\cos x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$代入数值，我们可以解得：$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{9+64}}{8}$$将其化简得到：$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{8}$$但是我们需要注意的是，对于给定的条件$\tan x=\frac{3}{4}$，角$x$的值是有限制的。
在单位圆上，正切函数$\tan x$的定义域是$(-\infty, \infty)$，而我们已知$\tan x=\frac{3}{4}$，所以根据正切函数在单位圆上的性质，我们可以得到一个范围限制：$$0<x<\frac{\pi}{2}$$在这个范围内，$\cos x>0$，所以我们可以舍弃$\cos x<0$的解，只考虑$\cos x>0$的解。
三角函数易错点
由ｉ ＋＝Ａ ｃ ｓ一 ＿ ＝ ｓ 日ｓ ｃ＋ ｉ ２ 佃孚 ｎ ）ｎ。 。 ｉ 得
Ａ＝ ． ＋孕 Ｂ
剖 析 ：本 题 错误 解 法 是 扩 大 了角 度 范 围 ，由
ｓ ＝ ｉ ＜ １ ＜ 霄
，
的原则，这样在 解决函数问题时才会减 少失误 ．
例 ２． 已知 ３ｉａ ２ｉ ３２ｉ ，求 ｓ ２＋ｉ８ ｓ ２＋ｓ ￣ ｓ ａ ｎ ｎ＝ ｎ ｉａ ｓ ］ ｎ ｎ
错 解 ：因 为 Ａ、Ｂ均 为钝 角 且 ｓ ＝ ｉ ，所 丁Ｖ３－ ｃｓ ｖＴ － ２ ｏ肛 ３ ｏ
—
，
，
、 】 故 Ｙ 卜２ ／ 一 ，一 ） ｕ（４ 、 一】 ／ ， ∈ 、 ２ ４ － ，２ ／ ２ 为
所求．
评 析 ：研 究 函数 问题 必 须 要 遵 循 “ 义 域 优 先 ” 定
很 多数 学题 目都有 隐含条件 ， 需要做题 时非常细心．
追踪练习 ：
判断函数 ）— ｃｓ ：１ｓ ｘ —ｘ的奇偶性 ＋ｉ 。ｏ ｎ－ Ｚ
．
ｃ仪） 。 ｓ ｓ ｉ （
１ ２ ，
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，以 或＝ 出 错 所卢 卢 ｝ 孥． 误 现
原 因是 当卢∈（ ， ） ， 不是单调 函数 ， ０７ 时 ｓ ｒ ｉ 还要进 一
ｓ ａ Ｏ时，ｉ２＋ｉ￣取最小值 ０ ｉ＝ ｎ ｓ ａｓ ｎ ｎ ．
评析： 本题错 解忽略 了 ｓ ｊ＝ （ｓ ｃ ３ｉ２） ｉ Ｂ ２ｉ ￣ ｓ ａ Ｅ ｎ ｎ一 ｎ
【，】 含 隐含 条 件 ， 得 ｓ ａ的取 值 范 围扩 大 而致 错 ． ０ 】这 使 ｉ ｎ
追踪练 ＞ ： － － ｊ
角 函 数 易 锚 点
■ 田彦 武
误做一分类 剖析 ，供大家参考．
三角函数题型常见的八个易错点
三角函数模块常见的八个易错点易错点1：不能正确理解三角函数的定义例题1： 角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为错解：在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255错因：当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误解析：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2) 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)∴r OQ ===sin α＝－25＝－255变式1： 已知角的终边过点P ,,则角的正弦值、余弦值分别为 解析：当0m <时，||,OP = 所以sin αα====当0m >时，||,OP =所以sin ,cos 55αα====总结：本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点，在做题时容易遗忘0m <的情况α(,2)m m 0m ≠α易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值例题2： 已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值． 错解：①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t ；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角tan t θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角 错因：上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1 解析：①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0 ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角 若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在 ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0综上得：变式2： 如果,那么解析：()222sin801cos 801cos 801k =-=--=-sin80tan100tan80cos80k∴=-=-=-总结：要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n 是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．cos(80)k -︒=tan100︒=易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值例题3： 若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值错解：原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 错因：错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=.变式3： 若n ∈Z ，在①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3；③πsin[π(1)]3n n +-；④πcos[2π(1)]6n n +-中，与sin π3相等的是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3，n 为奇数＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数－sin π3，n 为奇数.②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3＝sin(±π3)＝±sin π3. ③ππsin[(1)],sin ,π33sin[π(1)]=πππ3sin[π(1)],sin(π)sin ,333n nn n n n n n ⎧⎧-⎪⎪⎪⎪+-=⎨⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩⎩为偶数为偶数为奇数为奇数 . ④ππππcos[2π(1)]cos[(1)]cos sin 6663nn n +-=-⋅==. 故③④与sin π3相等，应选B ．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律例题4： 为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位错解：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ． 错因：没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．解析：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．变式4： 将函数()()ππsin 2()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2πD ．6π 解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图象都经过点P ,所以()sin sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 又因为22θππ-<<,所以3θπ=,所以2233k ϕππ-=π+或22233k ϕππ-=π+,k ∈Z , 解得k ϕ=-π或ππ6k ϕ=--,k ∈Z , 在6k ϕπ=-π-,k ∈Z 中,取1k =-,即得56ϕ=π,故选B.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响例题5： 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值．错解：（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]ma x ＝2，[f (x )]min ＝－2.错因：（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响 解析：（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )ma x ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－3变式5： （1）函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是______（2）已知函数y ＝a sin x ＋2，x ∈R 的最大值为3，则实数a 的值是______（3）若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是_____解析：（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z,tan(2)3y x π=-减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z （2）若a >0时，当sin x ＝1时，函数y ＝a sin x ＋2取最大值a ＋2，∴a ＋2＝3，∴a ＝1 若a <0，当sin x ＝－1时，函数y ＝a sin x ＋2(x ∈R )取得最大值－a ＋2＝3，∴a ＝－1 综上可知，a 的值为±1（3）易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误例题6： 已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β，则β＝错解：∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α7=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 错因：（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误解析：因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，∴β＝3π变式6： （1）已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则cos A 的值为（2）已知sin α－sin β＝－23，cos α－cos β＝23，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan(α－β)的值为 解析：（1）在△ABC 中，∵cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53，∴A ＋B 为钝角由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515（2）由题知sin α－sin β＝－23①， cos α－cos β＝23②由于sin α－sin β＝－23<0，所以－π2<α－β<0由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，所以sin(α－β)＝－2149.所以tan(α－β)＝－2145易错点7 求函数y=Asin(ωx+φ)的性质时出错例题7： 函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为 错解：函数的最大值为52＋42＝41.错因：形如y ＝asin x ＋bcos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．解析：y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°] ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30°＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，∴max y ==变式7： 已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期（2）求函数()f x解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos2x x =--所以函数()f x（2所以()f x [1]-易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误例题8： 在ABC △中，若3C B =，则c b的取值范围为 错解：由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,03c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<由可得错因：错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒ 解析：由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1214cos 13,13c C B B B B B B B B b B B BA B C C B B B cB b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<即变式8： 已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，则实数a 的取值范围为解析：因为,21,21a a a -+是三角形的三边，所以01210,2210a a a a >⎧⎪->>⎨⎪+>⎩即①所以21a +是三角形的最大边，设其所对的角为θ（钝角）则222(21)(21)cos 02(21)a a a a a θ+--+=<-，化简得280a a -<，解得08②a <<要使,21,21a a a -+构成三角形，需满足21212121,2121a a a a a a a a a ++>-⎧⎪+->+⎨⎪-++>⎩即2③a >结合①②③，可得28.a <<。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题附答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点(1)一、选择题1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得130(120150)sin(30)(,22o o o o B B +∈∴+∈，330))22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b cab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．7．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．5-B ．CD 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.8．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.9．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.10．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.11．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.12．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C 3D ．22【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 22111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）ABCD【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u rsin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min 93555OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.14．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案. 【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.15．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =，综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.16．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．17．已知函数()3)(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是()A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<， 因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.18．4cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.20．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。
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三角函数的易错点以及典型例题与真题1.三角公式记住了吗两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。
万能公式：(1) (sinα)2+(cosα)2=1 (2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2(4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （证明：利用A+B=π-C ）同理可得证,当x+y+z=n π(n ∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论： (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA ）2+(cosB ）2+(cosC ）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA ）2+（sinB ）2+（sinC ）2=2+2cosAcosBcosC (9)设tan(A/2)=tsinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z）2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗正切函数在整个定义域内是否为单调函数你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗3.在三角中，你知道1等于什么吗（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+=ΛΛ====⋅=0cos 2sin4tancot tan ππx x 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）4.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222等）5.你还记得三角化简题的要求是什么吗项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）6.你还记得三角化简的通性通法吗（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2x=(1-cos2x)/2 7.你还记得某些特殊角的三角函数值吗（41518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=︒+=︒=︒-=︒=︒） 8.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗(lr S r l 21,==扇形α) 9. 辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由ab=θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 10.三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗能写出他们的单调区、对称轴、对称中心，取最值时的x 值的集合吗（别忘了k ∈Z ） 三角函数性质要记牢。
函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：振幅|A|，周期T=ωπ2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，反之亦然，使y 取到最值的x 的集合为——————————， 当0,0>>A ω时函数的增区间为————— ，减区间为—————；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论。
五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,2求出x 与y ，依点()y x ,作图 注意（1）ϕω+x 的整体化法思维求单调性、对称轴、对称中心、值域等。
（2）用换元法时，注意新的定义域范围。
11.三角函数图像变换还记得吗平移公式（1）如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→平移至P ′（x ′，y ′），则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.,''k y y h x x （2） 曲线f （x ，y ）=0沿向量()k h a ,=→平移后的方程为f （x-h ，y-k ）=0 12.解三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是],0[],2,0[,2,0πππ⎥⎦⎤⎝⎛。
②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是]2,0(),,0[),,0[πππ。
③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是)2,2(],,0[],2,2[πππππ--。
14.三角函数易错点的典型例题 （1）隐含条件例1．设πα<<0，21cos sin =+αα，则α2cos 的值为 。
错解：432sin -=α，∵πα220<<，∴472cos ±=α。
正解：∵0cos ,0sin <>αα且021cos sin >=+αα， ∴432παπ<<，∴232παπ<<，∴472cos -=α。
例1－1．已知π<≤=+x x x 0,137cos sin ，则=x tan 。
错解：512-或125-。
正解：512-。
例1-2.一组似是而非的问题 ①在ΔABC 中，53cos =A ，135sin =B ，求C sin 的值。
②在ΔABC 中，53cos =A ，135sin =B ，求C cos 的值。
③在ΔABC 中，54sin =A ，1312cos =B ，求C sin 的值。
①解∵ππ<<<<B A 0,0，∴54)53(1cos 1sin 22=-=-=A A ，1312)135(1sin 1cos 22±=-±=-±=B B ， ∴B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π，∴656313553131254sin =⨯+⨯=C ，或6533135********sin -=⨯+⨯-=C ， 又∵C 为三角形的内角，∴0sin >C ，∴6563sin =C 。
②解：∵ππ<<<<B A 0,0，∴54)53(1cos 1sin 22=-=-=A A ，1312)135(1sin 1cos 22±=-±=-±=B B ， ∴B A B A B A B A C sin sin cos cos )cos()](cos[cos +-=+-=+-=π，∴当1312cos =B 时，651613554131253cos -=⨯+⨯-=C ； 当1312cos -=B 时，6556135********cos =⨯+⨯=C ， ∵)cos(cos 13126556cos B B C -=-=<=π ∴B C ->π，即π>+C B ， ∴6516cos -=C 。
注：舍去增解是难点，可利用单位圆中的余弦线段先作直观判断。
③解：∵ππ<<<<B A 0,0，∴53)54(1sin 1cos 22±=-±=-±=A A ，135)1312(1cos 1sin 22=-=-=B B ， ∴B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π，∴656313553131254sin =⨯+⨯=C ，或6533135********sin =⨯-⨯=C 。
注：此题两解均成立。
若求C sin ，必为两情形之一：两解均成立或一解为负值；例2．已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ，且α、β)2,2(ππ-∈，则2tanβα+的值是 。
错解：21或－2。
正解：由0tan ,0tan <<βα知：022<+<-βαπ，∴2tanβα+的值是－2。
例2－1.已知θtan 和)4tan(θπ-是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是（ ） （A ）01=+-q p （B ）01=++q p （C ）01=-+q p （D ）01=--q p 答案：C 。
例2－2.已知30cot cot ,25tan tan =+=+y x y x ，则=+)tan(y x （ ） （A ）120（B ）150（C ）180（D ）200 答案：B 。
（2）综合应用题型时，注意考虑全例3.关于x 的方程0cot sin 2sin 2=-+θθθx x 的两根为α、β，且πθ20<<。
若数列1，)11(βα+，2)11(βα+，……，的前100项和为0，求θ的值。
错解：由韦达定理知：θαβθβαcos ,2sin -=-=+，∴θβαsin 2)11(=+，由0sin 21)sin 2(1100100=--=θθS 得21sin ±=θ，∵πθ20<<，∴6πθ=或65πθ=或67πθ=或611πθ=。
正解：（1）当1=q 与1≠q 时，等比数列的求和公式不同； （2）方程有解还应考虑△≥0。
∴611πθ=。
（3）去绝对值要注意分类讨论例4．若m =αcot ，)2,(ππα∈，则=αcos 。
错解：由αα22csc cot 1=+解得2211sin m+=α， ∴2221cos m m +=α，∴22211cos mmm m +±=+±=α。
正解：22211cos mm m m +-=+±=α。
∵当0>m 时，α为第三象限角，0cos <α，当0<m 时，α为第四象限角，0cos >α，当0=m 时，0cos =α。
例4-1若x y A -=（定值），则sin sin x y -的最大值为 。
错解：sin sin 2cossin 2cos sin 222x y x y x y x y A +-+-==， ∴sin sin x y -的最大值为2sin A 。