高考理科第一轮复习课件(8.3圆的方程)
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课件理191.ppt
A．2 6 C．4 6
B．8 D．10
解析 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点 A， B，C 代入，
D＋3E＋F＋10＝0，
得4D＋2E＋F＋20＝0， D－7E＋F＋50＝0，
D＝－2，
解得E＝4， F＝－20.
则圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令 x＝0，得 y2＋4y－20＝0，设 M(0，y1)，N(0，y2)， 则 y1，y2 是方程 y2＋4y－20＝0 的两根， 由根与系数的关系，得 y1＋y2＝－4，y1y2＝－20， 故|MN|＝|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2＝ 16＋80＝4 6.
4，即 x2＋y2－4x＝0.
4．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆 面积最大时，该圆的方程为_x_2＋ ___(y_＋ __1_)_2_＝__1___．
解析
将圆的方程
配方，得
x＋
k22＋
(y＋
1)2＝－34k2＋
1，∵r2＝1－34k2≤1，∴rmax＝1，此时 k＝0.故圆的方程为
(2)[2017·河南百校联盟]经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆
心 在 直 线 2x － y － 3 ＝ 0 上 的 圆 的 方 程 为 (x_－ __2_)_2_＋__(_y－ ___1_)2_＝ __1_0_．
解 析 设 圆 的 方 程 为 (x－ a)2 ＋ (y－ b)2 ＝ r2(r>0)， 则
－2)2＋y2＝9.
解得ar2＝ ＝29， ， 所以圆 C 的方程为(x
触类旁通 1．用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的 坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与 两坐标轴间的关系，通常选用标准方程)；
2017届高三一轮：8.3《圆的方程》ppt课件
►名师点拨
求与圆有关的轨迹问题的方法
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。 ②定义法：根据圆、直线等定义列方程。 ③几何法：利用圆的几何性质列方程。 ④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等。
通关特训1
(1)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝
0上，则圆C的方程为( B ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 (2)经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为 2 2 ( x － 4) ＋ ( y － 5) ＝10 ______________________ 。
通关特训3
点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(
)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
2 x2 0＋y0＝4，连线中点坐标为(x，y)，
n－3 (2)若M(m，n)，求 的最大值和最小值。 m＋2
解析：(2)可知 n－ 3 表示直线MQ的斜率， m＋ 2
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0， 由直线MQ与圆C有交点， 所以 |2k－7＋2k＋3| ≤2 2。 1 ＋ k2 n－ 3 的最大值为2＋ 3，最小值为2－ 3。 m＋ 2
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.3 圆的方程
命题角度2 截距型最值问题
例4 在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.
解 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.
如图,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,
|2-0+|
此时
√2
= √3,解得 b=-2±√6.
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
2
2
x+y-2=0.
解题心得求解与圆有关的最值问题的两种思路
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 k= 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的
-
最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的
代入 x2+y2=1,整理得
又 y0≠0,所以 y≠0.故所求轨迹方程为
1 2
2 4
+ 3 +y =9(y≠0).
解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下
方法:
(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.
则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程课件 理 北师大版
【解析】因为圆心在直线 x－2y＝0 上，且圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3， 所以可设圆心坐标为(2a，a)，则(2a)2＝a2＋( 3)2，解得 a＝±1。又圆 C 与 y 轴的正半轴相切，所以 a＝1，故圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2 ＝4。
【规律方法】 求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出 方程。 (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已 知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。
基础自测
[判一判] (1)确定圆的几何要素是圆心与半径。(√ ) 解析 正确。根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径。 (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个 圆。( × ) 解析 错误。方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2中，当t>0时才表示圆心为(a， b)，半径为t的一个圆。
【解析】 由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0)，(0,2)，(0，－ 2)，设圆心为(a,0)(a>0)，所以 a－02＋0－22＝4－a，解得 a＝32，故圆 心为23，0，此时半径 r＝4－32＝52，因此该圆的标准方程是x－322＋y2＝245。
(2)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴
第八章 平面解析几何
第三节 圆的方程
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课件理
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(2)(必修 A2P124A 组 T1)动圆 x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋ 10m2－2m－24＝0 的圆心的轨迹方程是_x_－__3_y_－__3_＝__0__．
解析 圆的方程可化为(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25.不 论 m 取何实数，方程都表示圆. 设动圆圆心为(x0，y0)，则 xy00＝ ＝3mm－，1， 消去参变量 m，得 x0－3y0－3＝0，即动圆圆 心的轨迹方程为 x－3y－3＝0.
第8章 平面(píngmiàn)解析几何
8．3 圆的方程(fāngchéng)
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基础知识过关(guò〃guān)
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[知识梳理] 1．圆的方程 标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
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[结论探究 2] 若本例中条件不变，求 x2＋y2 的最大值 与最小值．
解 如图所示，x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平 方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值．
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又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2，
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(2)过 P(3，－2)与直线 l：x＋y－1＝0 垂直的直线方程 为 x－y－5＝0，与 4x＋y＝0 联立解得圆心坐标为(1，－4)，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
8.3-圆的方程课件-广东省高职高考数学第一轮复习第八章平面解析几何
C．(x－1)2＋y2＝4
D．(x＋1)2＋y2＝4
【解析】 因为 a＝－1，b＝0，r＝2，故所求圆的标准方程为(x＋1)2
＋y2＝4，故选 D.
2．方程(x－1)2＋(y＋2)2＝0 的图形是( D )
A．一个圆
B．两条直线 C．两条射线 D．一个点
【解析】 由给定的方程得：x－1＝0 且 y＋2＝0，方程表示的图形为
例3 过点( 3，3)、(0，0)，且圆心在 y 轴上的圆的方程为(
A．(x－1)2＋y2＝1
B．x2＋(y－2)2＝4
C．x2＋(y＋2)2＝4
D．(x＋1)2＋y2＝1
B)
【分析】 由题意可设圆的方程为 x2＋(y－b)2＝r2， 02＋（0－b）2＝r2
将点( 3，3)、(0，0)代入方程得（ 3）2＋（3－b）2＝r2，解得 b＝r ＝2， 所以圆的方程为 x2＋(y－2)2＝4，故选 B.
【融会贯通】 求过点(1，3)、(2，－2)，且圆心在 x 轴上的圆的方程． 【解析】 由题意可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
（1－a）2＋32＝r2 将 点 (1 ， 3) 、 (2 ， － 2) 代 入 方 程 得 （2－a）2＋（－2）2＝r2 ， 解 得 a＝－1 r2＝13 ， 所以圆的方程为(x＋1)2＋y2＝13.
5．点与圆的位置关系 对于点 P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 或 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点 P 到圆心的距离记作 d. (1)点 P 在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＜0⇔d＜r. (2)点 P 在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0⇔d＝r. (3)点 P 在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0⇔d＞r.
高考数学(文理通用)一轮课件：8.3圆的方程
2＜a＜2 3
＞D2 E2 4F， 4
(x0
D 2
)2
(
y0
E 2
)2
2.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程 是( ) A.x2+y2=2 B.x2+y2= C.x2+y2=1 D.x2+y2=4 【解析】选A.AB的中点坐标为:(0,0),
所以圆的方程为:x2+y2=2.
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
【考点自测】
1.(思考)给出下列命题: ①方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的 一个圆; ②方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为 半径为
(2,0),所以该圆关于原点的对称圆的方程为:(x-2)2+y2=5.
答案:(x-2)2+y2=5
6.若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m的取值范围是
. 【解析】因为原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,所以(0-m)2 +(0+m)2<8,即 m2+m2<8,所以-2<m<2. 答案:-2<m<2
的圆;
1 3a2 4a 4 2
( a ,a)， 2
③方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0, B=0,D2+E2-
高考数学(文通用)一轮复习课件：第八章第3讲圆的方程
第3讲第八章平面解析几何圆的方程教材回顾▼夯实基础1.圆的定义及方程平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）课本温故追根求源标准方程(x —a)2+(y —〃)2=以0>0)心：（…）,半径：丄_____一般方程x2+j2+£>x+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)111半径：|\/z>2+E2-4F心:2•点与圆的位置关系点M（x0,旳）与圆（x—af+（y—b）2=r2的位置关系: (1)若旳)在圆外，贝l|(x0—a)2+(yo—^)2(2)若旳)在圆上，贝!|(xo-a)2+(y o-^)2(3)若为)在圆内，贝!Kx0-«)2+(y0-^)2―\，1.辨明两个易误点⑴求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.(2)对于方程X2+J2+D X+£^+F=0表示圆时易忽视Z)2+ 炉一4尸＞0这一条件.2.求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理、垂径定理等平面中动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离.(2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形.双基自测,1•圆心在丿轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(A ) A. x 2+(y-2)2=l B. x 2+(y+2)2=l C. (x-1)2+ (y~3)2= 1D. x 2+(y-3)2= 1\ (0—1) 2+ (b_2) —I,解得b=2,故圆的方程为x + (y —2)2=1.2.方程^2+j 2+ 4wx —2j + 5w=0(B ) （0 , b ）,则由题意知,1A•一 svl4r 1C. m<rD. m>l解析：S(W+4-4XSw>0,得m>l.43.圆心在丿轴上且经过点(3, 1)的方程是（B ）A. X2+J2+10J=0B. x2+/-10y = 0C. x2+j2+10x=0 D・ x2+j2—10x=0所以9 +(1—方)2=方「解得方=5.解析：设圆心为(0,b）9半径为八Jl!| r= \b\9x2+(y —bf=b)因为点(3, 1)所以圆的方程为x2+j2—10y=0.4.点(1, 1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内，则实数日的取值范围思’J .解析：因为点(1, 1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4, 所以一1<a<1.5.(必修2P124习题4.1 A组T4改编)圆C的圆心在x轴上, 并且过点4(-1, 1)和B(1, 3),则圆C的方程为(X—2)2+j2=10解析：设圆心坐标为C(a, 0),因为点A(-l, 1)和B(l, 3)在圆C所以IC4I= ICBI,即7(a+1)彳+1=7 (a—l) 解得a=2f所以圆心为C(2, 0), 半径IC4I=〈(2+1) 2+1=莎，所以圆C的方程为(X-2)2+/=10.典例剖析▼考点突破*考点一求圆的方程(1)经过卩(一2, 4)、0(3, 一1)两点，并且在兀轴上截得的弦 长等于6；(2)圆心在直线j=-4x±,且与直线Z ： x+y-l=0相切于 点 P(3, -2).［解］⑴设圆的方程为X 2+J 2+D X +E J +F=0, 将P 、0点的坐标名师导悟以例说法根据下列条件，求圆的方程:分别代入得2D-4E-F=20,①3D-E+F=-1Q.②又令J=O,得x2+Z)x+F=0e③设帀，兀2是方程③的两根, 由I X!-X2I=6,有Q2_4F=36，④由①②④解得D=—2, E=—4, F=_8 或D = _6, E= —,F=0・故所求x2+j2—2x—4y—8=0或x2+j2—6x—8j=0.(2站^沿^啟»1窘)2+Q—y o )2H >{yoH— 4X0》(3—XO )2+(—2—YO )2H?-IF +y o —一一—— 刍J求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径, 进而写出方程. (2)待定系数法:①若已知条件与(冷方)和半径/有关，则设圆的标准方 程，依据已知条件列出关于“，"厂的方程组，从而求出“,b,厂的值;②若已知条件没有明确给出般方 程，依据已知条件列出关于D, E, F 的方程组，进而求岀D, E, F的值.跟踪训练(2)若不同的四点 4(5, 0)、5(-1, 0)、C(-3, 3)、D(a 9 3) 共圆，求“的值.1.(1)已知圆心为C4(0，-6), 5(1, -5),且|心在直线％兀一丿+1=0上, ;解：（1）法一：设圆的方程为x2+j2+Dx+ Ey+F= 0（^+E2—4F>0）,则圆心坐标为（一£,—「(一6) 2_6E+F=0,由题意可得* I2 + (-5) 2+Z>-5E+F=0,— 2=0,D+E-IO=O,— 2=0,解得*二代入求得i 所以圆的方程为x2+j2+ 6x4- 4j—12= 0,标准方程为(x+ 3)2+ (y+ 2)2= 25.丄11 y+y= — 刁'即 x+y+5=0・法二：因为 A(0, —6), B(l, —5), 所以线段4B 的中点D 的坐标为g ，—因此线段AB 的垂直平分线I 的方程是直线AB 的斜率k AB = —5— ( — 6) iPox+j+5=0,圆心C的坐标是方程组, 的解,lx-j+l=Ox=— 3，解得宀b=_2,所以圆心C的坐标是（一3, -2）.圆的半径长r= IACI =yj (0+3) 2+ (-6+2) 2= 5,所以,心为C的的标准方程是(x+ 3)2+ (y+ 2f= 25.3(2)设过A 、B. C 三点的圆的方程为x 2 +J 2+D X + Ey+F= 0,分别代入A 、B. C 三点坐标，得25+5D+F=0,< l-D+F=0,5>+9-3D+3E+F=0,F=-5.解得D=-4,所以A、B、C三点确定的圆的方程为x2+j2-4x-p-5 因为ZX 偽3）也在此圆上, 所以/+9—4«— 25—5=0.所以a=7或a= —3（舍去）. 即a的值为7.考点二与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题.高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度:(1)半径、面积型最值;⑵斜率型最值;⑶截距型最值;⑷距离型最值.鯉［2 （ 1）（2014-高考江西卷）在平面直角坐标系中分别是兀轴和V轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y_4= 0相切，则圆C面积的最小值为（A ）A 4 口3A•一兀B•一Ji5 4C. （6—2质）兀D.討（2）（2016-河南省豫西五校联考）已知M为圆C：X2+J2-4X 一14丿+45=0上任意一点，且点2（-2, 3）.①求IM0的最大值和最小值；②若M（〃，砒，求三|的最大值和最小值.加十2［解］⑴选A.因为ZAOB=90°,所以点O在圆C上. 设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线2x+j-4=0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x+j-4=0为准线的抛物线上，所以当且仅当O, C, D共线时，圆的直径最小为IODI.4 2=质，所以圆C的最小半径为恭，所以圆C面积的最小值为兀1114 亏•IIIf 12X0+0-41 又如=—^―(2)由圆C： x2+j2— 4x— 14y+ 45= 0,可得(x-2)2+(y-7)2 =8,所以圆心C的坐标为(2, 7),半径①I0C1= 7 (2+2) ?+ (7-3) j血所以IMei max= 40+20 = 60, IM0lmin= 40 —2\{2 = 2\[i.②可知表示直线MQ的斜率, 加十2设直线MQ的方程为丿一3=饥兀+2),YI — 3即 kx-y-V 2k-\- 3= 0,则—;—=k.m + 2 由直线M0与圆C 有交点,可得 2—书WEW2+V5,所以所以加+ 2的最大值为2+书, 1小值为2—书.与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如“=巳形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(兀一a)2+® —耐?形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.通关练习2•已知实数x, y满足方程x2+j2— 4x+1= 0.⑴求j-x的j 【大值和最小值;(2)求x2+j2的最大值和最小值.解：原方程可化为(X—2)2+J2=3,表示以(2, 0)为圆心，\[3为半径的圆.(1)丿一兀可看作是直线丿=兀+方在丿轴上的截距，当直线y= x + b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时号解得―朋(如图1).所以y—x的最大值为一2+心,图2（2）X 2+J 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知 识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最 小值（如图2）.又圆心到原点的距离为7 （2-0）牛（0一0） 2= 2, 所以x 2+j 2的最大值是（2+书）2=7+4\伎x 2+j 2的最小值 是（2—厉）2=7—4\月・1=1oyX2考点三与圆有关的轨迹问题已知圆X2+J2=4±一定点A(2, 0), B(l, 1)为圆内一点，P, 0为圆上的动点.(1)求线段4P中点的轨迹方程；(2)若ZPBQ=W ,求线段P0中点的轨迹方程.［解］⑴设AP 的中点为M(x, j),由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x-2, 2y).故线段AP 中点的轨迹方程为(x-l)2+j 2=l.⑵设 P0 的中点为 j),在 RtZ\PB0 中，I PN\ = \BN\, 设O 为坐标原点，连接ON (图略)，贝!|ON 丄P0,所以IOP|2 = \ON\2+\PN\2=ION?+\BN\29 所以 x 2+j 2+(x —l)2+(y —1)2=4.故线段中点的轨迹方程为x 2+j 2—X —J —1 = 0.因为P+J 2=4±,所以(2X -2)2+(2J )2=4.求与圆有关的轨迹方程的方法直接法L直接根据题设给定的条件列出方程（组）求解的方法定义法一根据圆（或直线）的定义列方程（组）求解的方法跟踪训练 3•已知直角三角形ABC 的斜边为AB,且A(-l, 0), B(3, 0),求：(1)直角顶点C 的轨迹方程; (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程.解：⑴法一：设顶点eg j),因为AC 丄BC,且A 、B 、C 三点不共线，所以兀H3且兀H —1・所以~Z7i =— 1，即 /+丿2— 2x — 3= 0・JL eV因此，直角顶点c 的轨迹方程为x 2-\-y 2— 2x — 3= 0(X7^3且 兀工一1).又 kac=x+1法二设AB的中点为D,由中点坐标公式得n(l, 0),由直角三角形的性质知，ICDI=|lABI = 2,由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(l, 0)为圆心，2为半径长的圆(由于4B, C三点不共线，所以应除去与兀轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x—1)2+/= 4(xH 3且xH —1).⑵设点M(x, j),点C(x 0, jo)，因为B(3, 0), M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得兀=迴兰3工3且xHl), y由(1)知，点C 在圆(x-l)2+/= 4(x^3且兀工一1)上运动,将兀o=2x —3, yo=2y 代入该方程得(2x —4『+(2刃2=4,即 (X -2)2+J 2=1(X #：3且兀Hl).因此动点M 的轨迹方程为(兀 —2)2+J 2= 1(兀工 3 且 x#= 1).=Jo + O—2 ,于是有 x 0 = 2x —3, y 0=2y.拓展升华触类旁通考题溯源一一求圆的方程（2015•高考全国卷II）己知三点4（1, 0）,B（0,C（2,厉），则外接圆的圆心到原点的距离为（B.长为2的正三角形，其外接圆的圆心为 ［解析］法一:设圆的方程为X 2+J 2+Z)X +£J +F=0, ri+D+F=0, 则5 3+\^E+F=0, 解得 D= — 2, E=_誓法二 在平面直角坐标系兀Oy 中画出△4BG 易知△ABC 是边咼考题溯源 本题源于人教A 版必修2 P122例4 “求过三点M+3+ 2£>+ 应 + F= 0, •因此IODI =0(0, 0), Mi(l, 1), M2(4, 2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标”.考题变式〔如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为方程为闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能解析:因为三角形三边所在的直线方程分别为x+2y—5=0,y—2= 0, x+j—4= 0,所以可得三角形的三个顶点分别是(1, 2), (2, 2), (3, 1). 设三角形外接圆的方x2+j2+Dx+Ey+F= 0,贝||D+2E+F=-5,< 2D+2E+F=一& 3D+E+F=-10,D= _3, 所以\E=-1, 、F=0,所以该三角形外接圆的方程为x2+j2—3x—y= 0,闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能点击链接本部分内容讲解结束闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能。
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【拓展提升】 1.求圆的方程的两种方法 （1）直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程. （2）待定系数法： ①若已知条件与圆心（a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，
依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的
值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程， 依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的 值.
又由对称性知圆C2的半径与圆C1的半径相等， 所以r2=1, 故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.
（2）方法一：∵A（6，0），B（1，5），
5 ∴线段AB的中点坐标为 7 ， ），k AB 5 0 1 （ ， 2 2 1 6 ∴AB垂直平分线方程为 y 5 x 7 ， 2 2 即x-y-1=0.
（3）先求过A，B，C三点的圆的方程，再验证点D与圆的位置
关系即可.
【规范解答】(1)选B.设圆C1圆心（-1，1）关于直线x-y-1=0
的对称点为C2(x1,y1),
y1 1 x 1 1, x1 2, 1 则有 解得 即C 2 2, 2 , y1 2, x1 1 y1 1 1 0, 2 2
考向 1
确定圆的方程
【典例1】（1）（2013·南昌模拟）已知圆C1：(x+1)2+(y1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为( （A）(x+2)2+(y-2)2=1 （B）(x-2)2+(y+2)2=1 （C）(x+2)2+(y+2)2=1 （D）(x-2)2+(y-2)2=1 )
的圆.
（3）错误.当a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0即-2＜a＜ 2 时才表示圆. 3 （4）正确.因为A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF＞0得方程Ax2+Bxy+ Cy2
+Dx+Ey+F=0表示圆，反之也成立.
（5）正确.因为点M（x0,y0）在圆外，
D 2 E 2 D 2 E 2 4F 所以 x ）（y ） （ 0 0 ＞ ， 2 2 4 即x02+y02+Dx0+Ey0+F ＞0.
12 22 a 4 b 0， a 2, 所以 2 2 解得 2 1 2a 2 b 0, b 1.
方法二：易知圆心在y=x上， 1 a , 2 即a=-2.又∵点A(1,2)在圆x2+y2-2x-2y+b=0上， ∴12+22-2×1-2×2+b=0,∴b=1. 答案：-2 1
（A）r 2 （C）r＜ 2 （B）r＞ 2 （D） 2＜r＜ 2且r 0
)
【解析】选D.由已知得 0＜ r ＜ 2 12 3 2 2， 即 0＜ r ＜ 2， 2＜r＜ 2 且r≠0.
4.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( ) 1 （A） ＜m＜ 1 （B）m＞1 4 1 1 （C）m＜ （D）m＜ 或m＞1 4 4 【解析】选D.由已知得充要条件为（4m）2+(-2)2-4×5m＞0，
∴所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=13.
方法三：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0），
36 6D F 0, 则 1 25 D 5E F 0, D E （ （ 2 ） 7 ） 8 0， 2 2 解得：D=-6,E=-4,F=0.
即4m2-5m+1＞0，解知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线 x-y=0的对称点B也在圆上，则a=_____,b=_____.
【解析】方法一：点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为
B(2,1)，又因为A，B两点都在圆上，
∴所求圆的方程为x2+y2-6x-4y=0， 即(x-3)2+(y-2)2=13.
答案：（x-3）2+(y-2)2=13
（3）设经过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F＞0），
1 E F 0, D 2， 则 4 1 2D E F 0, 解得 E 6, 9 16 3D 4E F 0, F 5. 故经过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2-2x-6y+5=0.
即（x-1）2+(y-3)2=5. 把点D的坐标（-1，2）代入上面方程的左边，得（-1-1）2+ （2-3）2=5.所以点D在经过A，B，C三点的圆上，故A，B，C， D四点在同一个圆上.
【互动探究】本例题（2）中条件变为“经过点A（6，0），且 与直线l:2x-3y+13=0相切于点B（1，5）的圆”，结果如何？
（4）方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0， B=0，D2+E2-4AF＞0.( )
（5）若点M（x0,y0）在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则 x02+y02+Dx0+Ey0+F＞0.( )
【解析】（1）正确.圆由其圆心和半径两个要素就确定了.
（2）错误.当t≠0时，方程表示圆心为（-a,-b），半径为|t|
a 3 4a 2 ，
2 2
即a2-2a+1=0，解得a=1， ∴圆心C（1，-4），r=|PC|= 2 2， ∴圆的标准方程为（x-1）2+(y+4)2=8.
方法二：过切点P且与l垂直的直线是
y+2=x-3，即x-y-5=0.
x y 5 0， 由 得圆心（1 4）， ， y 4x 于是 r 2 2，
2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是( （A）（2，3），13 （C）（-2，-3）， 13 （B）（-2，3），13
)
（D）（2，-3）， 13
【解析】选D.由x2+y2-4x+6y=0得(x-2)2+(y+3)2=13，故圆心坐 标为（2，-3），半径为 13.
3.若点（2，3）在圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2外，则(
2.点与圆的位置关系 点 圆心 (1)确定方法：比较___与_____的距离与半径的大小关系. (2)三种关系： 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0).
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 ①_________________⇔点在圆上；
(x0-a)2+(y0-b)2＞r2 ②__________________⇔点在圆外； (x0-a)2+(y0-b)2＜r2 ③__________________⇔点在圆内.
答案：（1）√
（2）×
(3)×
(4)√
(5)√
1.圆心为点（0，1），半径为2的圆的标准方程为(
（A）(x-1)2+y2=4 （B）x2+(y-1)2=2
)
（C）x2+(y-1)2=4
（D）(x-1)2+y2=2
【解析】选C.由已知得圆的标准方程为（x-0）2+(y-1)2=22，
即x2+(y-1)2=4.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
（2）方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b)，半径为 t的一个圆.( )
a （3）方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为 , a）， 半径 （ 2 为 1 3a 2 4a 4 的圆.( ) 2
2.确定圆心位置的方法
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
（2）圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.
（3）两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
【变式备选】求圆心在直线y=-4x上，并且与直线l:x+y-1=0 相切于点P（3，-2）的圆的方程. 【解析】方法一：设圆心C（a,-4a），
a 4a 1 由题意得： 2
【规范解答】（1）选B.由题意可知，圆的圆心坐标是（1，
3），半径是 10.且点E（0，1）位于该圆内，
由图形的几何性质得，过点E（0，1）的最短弦是以该点为中
点的弦，
∴最短弦长 BD 2 10 12 22 ） 2 5， （
而过E（0，1）的最长弦长等于该圆的直径，即 AC 2 10， 且AC⊥BD， S四边形ABCD 1 AC BD 1 2 10 2 5 10 2. 2 2
2x 7y 8 0， 由方程组 得圆心C的坐标为（3，2）. x y 1 0 又半径r=|AC|= 13，
∴所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=13.
方法二：设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2. 由已知，得
6 a 2 0 b 2 r 2， a 3, 2 2 2 （1 a）（5 b） r ，解得 b 2, 2a 7b 8 0， r 2 13，
【解析】依题设可知，圆心在过切点B（1，5）且与l垂直的直
3 3 线上，其斜率为 ， 所以方程为 y 5 （x 1）， 即3x+2y2 2 13=0.