高中数学圆的方程专题复习
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结
圆与方程知识点1.圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：1圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r==+2圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC==-max PA AM r AC==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1)当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D .(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-=1条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；2条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；3条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；4条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；5无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：1若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；2若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：1上述圆系不包括2C ；22）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）3过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为。
高中数学复习：圆的方程
高中数学复习：圆的方程一、单选题1．曲线方程2240x y Ex y ++-+=表示一个圆的充要条件为（ ） A ．15E >B ．15E ≥C ．215E >D ．215E ≥2．圆心在(2)1-，上，半径为3的圆的标准方程为（ ） A ．22(2)(1)3x y -++= B ．22(2)(1)9x y -++= C ．22(2)(1)3x y -+-=D ．22(2)(1)9x y -+-=3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=4．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-=5．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为( ) A ．()5,2B ．()5,2-C ．()2,5D ．()5,2-6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭7．已知圆M 与直线340x y -=和34+100x y -=都相切，圆心在直线4y x =--上，则圆M 的方程为（ ）A ．22(3)(1)1x y ++-=B ．22(3)(1)1x y -++=C ．22(3)(1)1x y +++=D ．22(3)(1)1x y -+-=8．已知圆221x y +=，点1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（ ） A ．2212x y +=B ．2214x y += C ．221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭D ．221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭9．已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（ ） A ．100B ．25C ．50D ．25210．已知2，2m n +，6-成等差数列，则圆C ：(()2214x y -++=上的点到点(),M m n 距离的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．二、多选题11．圆22410x y x +--=（ ） A ．关于点()2,0对称B ．关于直线0y =对称C ．关于直线320x y +-=对称D ．关于直线20x y -+=对称12．已知点()()cos ,sin P R θθθ∈，直线:40l x my +-=，下列结论正确的是（ ） A ．l 恒过定点()4,0B ．1OP =（O 为坐标原点）C ．P 到直线l 的距离有最小值，最小值为3D ．P 到直线l 的距离有最大值，最大值为513．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA = 三、填空题14．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____.15．方程22230x y x my m +-+--=表示圆C 中，则圆C 面积的最小值等于________. 16．已知点(0,0)O ，(4,0)A ，M 是圆22:(2)1C x y -+=上一点，则||||OM AM 的最小值为_________17．已知圆心在直线30x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，且截x 轴所得的弦长为42，则圆C 的方程为______，则点()6,5P 到圆C 上动点Q 的距离最大值为______. 四、解答题18．求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．19．已知一个圆与y 轴相切，在直线y x =上截得弦长为27，且圆心在直线30x y -=上，求此圆的方程.20．已知圆：，圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为.（1）求圆的方程；（2）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程. 21．已知圆P 过()5,2,(0,3),(4,1)A B C -. （1）求圆P 的方程；（2）若过点(3,3)M --的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.22．圆C 过点()60A ，，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上.（1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.23．已知圆C 的圆心在直线320x y +=上，并且与x 轴的交点分别为(2,0),(6,0)A B -. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过原点且垂直于直线320x y +=，直线l 交圆C 于M ，N ，求MCN △的面积.圆的方程一、单选题1．曲线方程2240x y Ex y ++-+=表示一个圆的充要条件为（ ） A ．15E > B ．15E ≥C ．215E >D ．215E ≥【答案】C 【解析】表示圆的充要条件是()221440E +--⨯>，即215E >. 故选：C ．2．圆心在(2)1-，上，半径为3的圆的标准方程为（ ） A ．22(2)(1)3x y -++= B ．22(2)(1)9x y -++= C ．22(2)(1)3x y -+-= D ．22(2)(1)9x y -+-=【答案】B 【解析】圆心在(2)1-，上，半径为3的圆的标准方程为：22(2)(1)9x y -++= 故选： B3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .4．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D 【解析】设圆的方程为()()2211(0)x y m m -+-=>，且圆过原点，即()()220101(0)m m -+-=>，得2m =，所以圆的方程为()()22112x y -+-=.故选D.5．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为( ) A ．()5,2 B ．()5,2-C ．()2,5D ．()5,2-【答案】A 【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64131-=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+.线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为13-，故线段AC 的垂直平分线方程为()1323y x -=--，即11133y x =-+. 由75111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-+⎩⎪⎩.所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2. 故选：A6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=4315a b r -==，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x 轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去）， 把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-12（舍去），∴圆心坐标为（2，1）， 则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1． 故选A7．已知圆M 与直线340x y -=和34+100x y -=都相切，圆心在直线4y x =--上，则圆M 的方程为（ ）A ．22(3)(1)1x y ++-=B ．22(3)(1)1x y -++=C ．22(3)(1)1x y +++=D ．22(3)(1)1x y -+-=【答案】C 【解析】到两直线340x y -=及34100x y -+=的距离都相等的直线方程为3450x y -+=，联立方程组3450{4x y y x -+==--，解得3{1x y =-=-.两平行线之间的距离为2，所以，半径为1，从而圆M 的方程为()()22311x y +++=. 选C .8．已知圆221x y +=，点1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（ ）A ．2212x y +=B ．2214x y += C ．221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭D ．221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】设BC 中点为D ，圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，60BOD ∴∠=，在直角三角形BOD 中，由1122OD OB ==， 故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=，如图，由BAC ∠的极限位置可得，14x <.故选：D9．已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（ ） A ．100 B ．25C ．50D ．252【答案】D 【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入可得，52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，解得2,4,20D E F =-=-=-. 故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=，即()()221225x y -+-=，故CMN ∆的面积11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =∠=⨯⨯∠≤⨯⨯⨯=. CMN ∴∆面积的最大值为252. 故选：D .10．已知2，2m n +，6-成等差数列，则圆C：(()2214x y -++=上的点到点(),M m n 距离的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．5D．【答案】C 【解析】因为2，2m n +，6-成等差数列，所以()2226m n +=-，可得220m n ++=，所以点M 的轨迹方程为220x y ++=，圆心()1-，则圆C 上的点到点M的最大值为max 2325d ==+=.故选：C 二、多选题11．圆22410x y x +--=（ ） A ．关于点()2,0对称B ．关于直线0y =对称C ．关于直线320x y +-=对称D ．关于直线20x y -+=对称【答案】ABC 【解析】22224102)5(x y x x y +--=⇒+=-，所以圆心的坐标为()2,0.A ：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点()2,0是圆心，所以本选项正确；B ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线0y =过圆心，所以本选项正确；C ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线320x y +-=过圆心，所以本选项正确；D ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线20x y -+=不过圆心，所以本选项不正确. 故选：ABC12．已知点()()cos ,sin P R θθθ∈，直线:40l x my +-=，下列结论正确的是（ ） A ．l 恒过定点()4,0B ．1OP =（O 为坐标原点）C ．P 到直线l 的距离有最小值，最小值为3D ．P 到直线l 的距离有最大值，最大值为5 【答案】ABD 【解析】直线:40l x my +-=，当0y =时，4x =，故A 正确；22cos sin 1OP θθ+==，故B 正确；点P 的轨迹是以()0,0为圆心，半径为1的圆，直线过定点()4,0，位置如图：由图可知，点P 到直线l 的距离最小值为0，当直线与x 轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4，所以P 到直线l 的距离有最大值，最大值为5.故C 错误，D 正确. 故选：ABD.13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA = 【答案】BC 【解析】设点(),P x y ，则12PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A错误；当()()1,0,2,0,D B -时，12PDPE =，故B 正确；对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO+-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO+-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+， ()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y,由2||MO MA =可得整理得220003316+160x y x ++=，而点M 在圆上，故满足2280x y x ++=，联立解得0=2x ，0y 无实数解，于是D 错误.故答案为BC. 三、填空题14．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____. 【答案】22(3)4x y -+= 【解析】22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有: 2121222112y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩， 所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为22(3)4x y -+=.故答案为：22(3)4x y -+=15．方程22230x y x my m +-+--=表示圆C 中，则圆C 面积的最小值等于________.【答案】3π【解析】 ()222222301424m m x y x my m x y m ⎛⎫+-+--=∴+++=++ ⎪⎝⎭ ()222142344m R m m =++=++ 当2m =-23R ππ=故答案为3π16．已知点(0,0)O ，(4,0)A ，M 是圆22:(2)1C x y -+=上一点，则||||OM AM 的最小值为_________ 【答案】13【解析】设点(,)M x y ，则222222||||(4)OM x y AM x y+=-+ 又因为22(2)1x y -+=，则221(2)y x =--， 故22||43101||413413OM x AM x x -==-+-+-+，[1,3]x ∈， 易得函数101413y x =-+-+在[1,3]上单调递增. 则22||||OM AM 的最小值为19，故||||OM AM 的最小值为13.故答案为：13 17．已知圆心在直线30x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，且截x 轴所得的弦长为42，则圆C 的方程为______，则点()6,5P 到圆C 上动点Q 的距离最大值为______.【答案】()()22319x y -+-= 8【解析】设圆的方程为222()()x a y b r -+-=(0,0)a b >> 由题意可得22308a b a r b r -=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得313a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的方程为()()22319x y -+-=；设点()6,5P 到圆心(3,1)C 的距离为22(63)(51)5d =-+-=，则点()6,5P 到圆C 上动点Q 的距离最大值为538d r +=+=.故答案为：()()22319x y -+-=；8四、解答题18．求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．【答案】(x －3)2＋(y －3)2＝18.【解析】设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 由题意得222222(6)a b r a b r a b ⎧+=⎪+-=⎨⎪=⎩解得∴圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.点睛：确定圆的方程方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(,)a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．19．已知一个圆与y 轴相切，在直线y x =上截得弦长为27，且圆心在直线30x y -=上，求此圆的方程.【答案】22(3)(1)9x y -+-=，22(3)(1)9x y +++= 【解析】 设圆的方程为：222()()x a y b r -+-=，则：||a r =， 30a b -=，272r =-， 所以313a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或313a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，因此圆的方程为：22(3)(1)9x y -+-=，22(3)(1)9x y +++=.20．已知圆：，圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为. （1）求圆的方程；（2）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.或 【解析】分析：（1）通过圆关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为，得到关于的方程组，求解方程组，选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程；（2）分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径求解直线方程。
(完整版)高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
常用的圆系方程有如下几种：⑴以为圆心的同心圆系方程⑵过直线与圆的交点的圆系方程⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。
当时，得到两圆公共弦所在直线方程例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。
分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。
倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。
而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即………………….①依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则故例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。
即，则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。
分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1，即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21， ∴l 的方程为2x －y －5=0.评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x=21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________.解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2例6 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设∵m ∈R ，∴得所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．类型三：圆中的最值问题例7：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离r d >==25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d .例8 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求yx 2-的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(22=-+-y x ．可设圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 4,cos 3θθy x （θ是参数）．则θθθθ2222sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中34tan =φ）． 所以361026max =+=d ，161026min =-=d ．(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'1d 减去半径1．所以6143221=++=d ．4143222=-+=d ．所以36max =d ．16min =d ．(2) (法1)由1)2(22=++y x 得圆的参数方程：⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2θθy x θ是参数．则3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3cos 2sin θθ， 得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ1)sin(1322≤-=+-⇒φθt t 433433+≤≤-⇒t ． 所以433max +=t ，433min -=t ． 即12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x ． 所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--． (法2)设k x y =--12，则02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由11222=++--=k k k d ，得433±=k ． 所以12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．由152=--=m d ，得52±-=m ．所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．例9、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．设圆1)1(22=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ，θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值． 设1)4sin(21)cos (sin -+-=-+-=πθθθu∴12max -=u 即12-≥m ．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(r b y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．。
高中数学：圆的方程(复习资料)
1．若方程 x2＋y2－4x＋2y＝a 表示圆，则实数 a 的取值范围为( )
A．(－∞，－5)
B．(－5，＋∞)
选 B.方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝a＋5，有 a＋5＞0，所以 a＞－5.故选
B. 2．(2021·烟台月考)方程|y|－1＝ 1－（x－1）2表示的曲线是( )
(2)根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单 调性等方法求最值.
1．(2020·厦门模拟)设点 P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1 上的动点，定点 A(2，0)，B(－2， 0)，则P→A·P→B的最大值为________．
解析：由题意，知P→A＝(2－x，－y)，P→B＝(－2－x，－y)，所以P→A·P→B＝x2＋y2－4，由于 点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2＋(y－3)2＝1，故 x2＝－(y－3)2＋1，所以P→A·P→B＝ －(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知 2≤y≤4，所以，当 y＝4 时，P→A·P→B的值最大，最大值为 6×4－12＝12.
求圆的方程的两种方法
(1)直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a， b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值． [提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
(2)方程 x2＋y2＝a2 表示半径为 a 的圆．( )
(3)方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆．( )
高中数学必修2直线与圆常考题型：圆的一般方程
圆的一般方程【知识梳理】圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为(－D 2，－E 2)，半径长为12D 2＋E 2－4F . 【常考题型】题型一、圆的一般方程的概念辨析【例1】 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求(1)实数m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解] (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15， 故m 的取值范围为(－∞，15)． (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .【类题通法】形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令D 2＋E 2－4F ＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．【对点训练】1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)；(3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)．解：(1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1，∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0，∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0，∴方程(3)表示圆，它的圆心为(－a 2，a 2)， 半径r ＝12 D 2＋E 2－4F ＝22|a |. 题型二、圆的一般方程的求法【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形，∴外心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【对点训练】2．求经过点A (－2，－4)且与直线x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ∵圆与x ＋3y －26＝0相切，∴6＋E 28＋D 2·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，即E －3D －36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D ＋4E －F －20＝0，②8D ＋6E ＋F ＋100＝0.③联立①②③，解得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，故所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.题型三、代入法求轨迹方程【例3】 已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程．[解] 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0. ①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．用代入法求轨迹方程的一般步骤【对点训练】3．过点A (8,0)的直线与圆x 2＋y 2＝4交于点B ，则AB 中点P 的轨迹方程为________________． 解析：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 为(x 1，y 1)，由题意，结合中点坐标公式可得x 1＝2x －8，y 1＝2y ，故(2x －8)2＋(2y )2＝4，化简得(x －4)2＋y 2＝1，即为所求．答案：(x －4)2＋y 2＝1【练习反馈】1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心(2，－3)，选D.2．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－32，＋∞) 解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．3．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 2＝2，－－b 2＝2，12 4a 2＋b 2－4c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝4，c ＝4.答案：－2,4,44．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|P A |2＋1＝|PB |2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝25．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心相同的圆的方程． 解：设所求的圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心为(3,4)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＝3，－E 2＝4， 解此方程组，可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.。
高中数学圆与方程专题(压轴题训练)
圆与方程【知识梳理】 1、确定圆的要素 2、圆的标准方程和一般方程 3、直线和圆、圆与圆的位置关系 4、用解析方法解决几何问题 【重难点问题】 1、求圆的方程 2、位置关系 3、求最值、范围 4、求轨迹 5、存在性问题 6、定切线，定圆，定点【典题讲练】 【例1】以(2 1)A -，，(1 5)B ，为半径两端点的圆的方程是_______________． 【变】圆心在直线20x y +=上，并且经过点(1 3)A ，和(4 2)B ，的圆的方程为_______________．【拓】求过A （0，0）、B （1，1）、C （4，2）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【例2】过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为______________． 【变】已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为_____________． 【拓1】已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为_______________．【拓2】在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________．【例3】过点P ﹣1）的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________．【变】（1）过点P （2，1）的直线l 被圆x 2＋y 2＝10截得的弦长为___________．（2）已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A 、B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为__________． 【拓】（1）圆x 2＋y 2＋2x ＝0和x 2＋y 2﹣4y ＝0的公共弦所在直线方程为___________．（2）过点（3，1）作圆（x ﹣1）2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________．【例4】若直线y ＝k （x ﹣4）与曲线y 有公共点，则k 的取值范围为___________．【练】若过定点M （﹣1，0）且斜率为k 的直线与圆x 2＋y 2＋4x ﹣5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是___________．【变】（1）若关于x 的方程3x b +=只有一个解，则实数b 的取值范围是____________．（2）曲线1x 与直线45y kx k =-+有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是____________． A ．53(,]124B ．78(,]243C ．8[,)3+∞D ．72(,)(,)243-∞+∞ （3）若曲线221:20C x y x +-=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(B ．(，0)(0⋃C ．[D ．(-∞，⋃，)+∞【例5】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）yx； （2）14y x --； （3）736xy +； （4）y x -；（5）23x y +；（6）22x y +；（7）221014x x y y -+-．【练】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）14y x --； （2）23x y +； （3）221014x x y y -+-． （4）若对任意的x ，y 有20x y m ++≥，求m 的取值范围．【变】（1）已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．（2）设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．【拓】（1）已知实数x ，y 满足方程22220x y x y ++-=，则||||x y +的最大值为( )A ．2B ．4C ．D ．2+（2）已知实数x ，y 满足221x y +≤，340x y +≤，则32x x y ---的取值范围是( )A ．[1，4]B ．19[17，4]C ．[1，11]3D ．19[17，11]3（3）设点(,)P x y 是圆22:2230C x x y y ++--=上任意一点，若|2|||x y x y a --+-+为定值，则a 的值可能为( ) A ．4- B ．0C ．3D ．6【例6】设P 为直线0x y -=上的一动点，过P 点做圆22(4)2x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值_______________．【练】（1）在平面直角坐标系xOy 中，过圆221:()(4)1C x k y k -++-=上任一点P 作圆222:1C x y +=的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k =_______________．（2）已知点P 为直线1y x =+上的一点，M ，N 分别为圆221:(4)(1)4C x y -+-=与圆222:(2)1C x y +-=上的点，则||||PM PN -的最大值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【变】（1）已知两点A (0，－3)，B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为____________．（2）过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．（3）已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为____________．（4）已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2﹣2x ﹣2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为___________．（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(1,1)B -，点P 为圆22(4)4x y -+=上任意一点，记OAP ∆和OBP ∆ 的面积分别为1S 和2S ，则12S S 的最小值是____________．【例7】（1）已知|M 1M 2|＝2，点M 与两定点M 1，M 2距离的比值是一个正数m ．试建立适当坐标系，求点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形．（直接翻译）（2）已知点P 在圆221x y +=运动，点M 的坐标为(2,0)M ，Q 为线段PM 的中点，则点Q 的轨迹方程为_______________．（设坐标转移）（3）由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为_______________．（几何法）（4）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2﹣6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．（消参法）【练】（1）自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为____________．（2）已知3AB =，动点P 满足2PA PB =，那么PAB ∆的面积的最大值为_______________．（3）在圆228x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是_______________．（4）已知动圆P 与圆M ：（x ＋1）2＋y 2＝16相切，且经过M 内的定点N （1，0）．试求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程．【拓】（1）过定点(3,2)P 任作一直线与圆2242110x y x y +---=相交于A 、B 两点，A 和B 两点处的切线相交于M ，求点M 的轨迹方程．（2）已知圆224x y +=，(1,1)B 为圆内一点，P ，Q 为圆上动点，若90PBQ ∠=︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为____________________．（3）已知直线:l y x b =+与圆22:(1)1C x y ++=相交于A ，B 两点，点P 在l 上，且||||2PA PB ⋅=.当b 变化时，求点P 的轨迹方程.【例8】在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是_______________．【练】在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存 在点M ，使||2||MA MO =，则圆心C 的横坐标的取值范围为( ) A ．12[0,]5B ．[0，1]C ．12[1,]5D ．12(0,)5【变】（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:30l x y +-=和圆22:()8M x y m +-=，若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l的距离为，则实数m 的取值范围是_______________．（2）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -、(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是( ) A ．[3，7] B ．[4，6]C ．[3，6]D ．[4，7]（3）已知圆22:1O x y +=，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为_______________．（4）在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( ) A ．5B ．3CD．（5）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上，满足2240PA PB +=，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是_______________．22:()(4)1M x a y a -+-+=M P P O A B 60APB ∠=︒a【例9】已知当a R ∈且1a ≠时，圆2222(2)20x y ax a y +-+-+=总与直线l 相切，则直线l 的方程是___________．【练】已知：正数m 取不同的数值时，方程222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=表示不同的圆，求：这些圆的公切线（即与这些圆都相切的直线）的方程．【变1】（1）已知直线2:2(1)440l mx m y m +---=，若对任意m R ∈，直线l 与一定圆相切，则该定圆方程为_______________．（2）当实数m 变化时，不在任何直线2mx ＋（1－m 2）y －4m －4＝0上的所有点（x ，y ）形成的图形的面积为_______________．【变2】无论a 如何变化直线sin cos 10x y αα++=总和一个定圆相切，则该定圆方程为_______________．【例10】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．48(,)99B ．24(,)99C ．(2,0)D ．(9,0)【变1】已知圆M （M 为圆心）的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线 l 上，过P 点作圆M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ． （1）若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A 、P 、M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【变2】已知圆O 过点A (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． （1）求圆O 的方程；（2）若EF 、GH 为圆O 的两条相互垂直的弦，垂足为N （1，22），求四边形EGFH 的面积的最大值； （3）已知直线l ：y ＝12x －2，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究直线CD 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．【变3】已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A （3，0），且与圆O 相切． （1）求直线l 1的方程；（2）设圆O 与x 轴相交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′．求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总经过定点，并求出定 点坐标．【家庭作业】1、过点(3,4)P -作圆22(1)2x y -+=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为( ) A ．220x y +-=B ．210x y --=C ．220x y --=D ．220x y ++=2、圆C 的方程为221x y +=，(,2)P x ．过P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B 两点．则APB ∠最大为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3、已知直线1:360l x y +-=与圆心为(0,1)M ，半径为的圆相交于A ，B 两点，另一直线2:22330l kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为( )A ．B ．C ．1)D ．1)4、在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( )A ．5B ．3CD ．5、已知关于x 2ax =-有且只有一个解，则实数a 的取值范围为_______________．6、已知实数x ，y 满足22430x x y -++=，则21x y x ++-的取值范围是_______________． 7、设圆22:(1)1C x y -+=，过点(1,0)-作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．8、在平面直角坐标系xOy 中，直线:420l kx y k ---=，k R ∈，点(2,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =，求实数k 的取值范围．9、设实数x 、y 满足方程：2286210x y x y +--+=． （1）当3x ≠时，求12y P x +==-的取值范围； （2）求2S x y =-的最大值与最小值；（3）求2210226T x y x y =+-++的最大值与最小值．10、已知点(0,4)A ，点P 在直线20x y -=上运动．以线段AP 为直径作一个圆，求该圆恒过的定点坐标．11、已知圆22:4C x y +=，点P 为直线280x y --=上的一个动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，求证直线AB 恒过点.。
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高一数学辅导资料内容：圆与方程
本章考试要求
考试内容
要求层次A B
C 圆与方程
圆的标准方程与一般方程√
直线与圆的位置关系√
两圆的位置关系
√
用直线和圆的方程解决简单的问题
√
空间直角坐标
系
空间直角坐标系
√空间两点间的距离公式
√
一、圆的方程【知识要点】
1.圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)
0()
()(2
2
2r
r b y a x 0b a 时，圆心在原点的圆的方程为：2
22r y x .
2.圆的一般方程02
2
F
Ey Dx y
x ，圆心为点,
2
2
D E ，半径2
2
42
D
E F
r
，
其中042
2
F
E
D .
3.圆系方程：过圆1
C ：22
1110x y
D x
E y
F 与圆2
C ：2
2
2220
x y D x E y F 交点的圆系方程是222
2
111222
0x y D x E y F x
y
D x
E y
F （不含圆2C ）,
当
1时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.
【互动探究】
考点一求圆的方程
问题1．求满足下列各条件圆的方程：
1以两点(3,1)A ，(5,5)B 为直径端点的圆的方程是2求经过)2,5(A ，)2,
3(B 两点，圆心在直线32y
x
上的圆的方程；
3过点4,1A 的圆C 与直线10x y 相切于点2,1B ，则圆C 的方程是?
考点二圆的标准方程与一般方程
问题2．方程222
221
0x y ax ay a
a 表示圆，则a 的取值范围是
考点三轨迹问题
问题3.点4,2P 与圆2
2
4x
y
上任一点连线的中点轨迹方程是
问题4．设两点3,0A ，3,0B ，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2，求P 点的轨迹.
二、直线和圆、圆与圆的位置关系
【知识要点】
1.直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d ,则直线与
圆的位置关系满足以下关系：2.直线截圆所得弦长的计算方法：利用垂径定理和勾股定理：
2
2
2AB
r
d （其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离）.
3.圆与圆的位置关系：①设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足关系：位置关系外离外切相交内切内含
几何特征d R r
d R r R r d R r d R r 0d R r 代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解②设两圆0:1
112
2
1F y E x D y
x C ，0:2222
2
2F y E x D y
x
C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程
是
4.相切问题的解法：
①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解
②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为1（或一条直线存在斜率，另一条不存在）③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0来求解.
特殊地,已知切点),(00y x P ,圆2
22r y x 的切线方程为 . 圆2
2
2
)
()
(r b y a x
的切线方程为
【互动探究】
考点一直线与圆的位置关系
问题1:1已知圆22
:40C x y x
，l 过点(3,0)P 的直线，则
.A l 与C 相交.B l 与C 相切
.C l 与C 相离.D 以上三个选项均有可能
2直线l ：1mx
y m 与圆C ：2
2
1
1x y 的位置关系是
.A 相离
.B 相切.C 相交
.D 无法确定，与m 的取值有关.
3过点1,3P 引圆2
2
44100x
y
x y 的弦，则所作的弦中最短的弦长为
.A 22.B 4
.C 8.D 42
4求圆心为1,2且与直线51270x y 相切的圆 .
考点二
直线与圆相切的有关问题问题2．1
圆042
2
x y
x
在点)3,1(P 处的切线方程为2过点2,3P 的圆2
2
4x
y
的切线方程是
位置关系相切相交相离几何特征d r d r d r 代数特征
0△0△0
△
3过直线22
0x
y 上点P 作圆2
2
1x
y
的两条切线，若两条切线的夹角是60，
则点P 的坐标是考点三
直线与圆相交时的弦长问题
问题3．已知圆C 方程为：42
2
y
x .直线l 过点1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若23AB
，
求直线l 的方程.
问题4．已知直线l ：283
0mx y m 和圆2
2
:612200C x y
x y ；
1m
R 时，证明l 与C 总相交；2m 取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长.
考点四圆与圆的位置关系
问题5．1）圆4)
2(2
2
y
x 与圆9)
1()
2(2
2
y x
的位置关系为
.A 内切
.B 相交.C 外切
.D 相离
2（2013重庆）已知圆2
2
1:23
1C x y ，圆2
2
2:3
4
9C x y ，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴
上的动点，则PM PN 的最小值为.A 52
4
.B 17
1.C 622
.D 17
问题6．已知圆1C ⊙：2
2
228
0x y
x
y 与2C ⊙：2
2
210240
x
y
x y 相交于,A B 两点，
1求公共弦AB 所在的直线方程；2求圆心在直线y x 上，且经过,A B 两点的圆的方程；
【巩固训练】1.圆2
2
46110x
y
x y 的圆心和半径分别是2.已知圆2
2
244
0x y
x
y
关于直线2y
x
b 成轴对称，则b
3.圆5)2(2
2
y x 关于原点0,0对称的圆的方程为4.圆2
2
269
0x
y
x
y
关于直线25
0x y 对称的圆的方程是5.两个圆1C ：2
2
222
0x y x
y 与2C 2
2
4210x
y
x y 的公切线有且仅有
6.圆0
10
442
2
y x y
x
上的点到直线014y x 的最大距离与最小距离的差是
7.若)1,2(P 为圆25)
1(2
2
y
x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是8.由直线1y x 上的一点向圆2
2
(3)
1x y
引切线，则切线长的最小值为
9.直线y x 被圆2
2
2
4x
y
截得的弦长为
10.圆2
2
243
0x
y
x y 上到直线10x y 的距离为
2的点共有
个
11.由点0,1P 引圆2
2
4x
y
的割线l ，交圆于,A B 两点，使AOB △的面积为
2
7（O 为原点），求直线l 的方程.
12.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C ：x 2＋y 2
－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB
的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积．。