高考数学复习《圆的方程》

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（江苏专用）高考数学总复习第八章第3课时圆的方程课件

【解】设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3，于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4，即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②，得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：a.根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单)；b.利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解出a，b，r或D，E，F，代入所设的标准方程或一般方程．
第八章平面解析几何
第3课时圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第八章第3课圆的方程

第3课圆的方程【考点导读】1. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。

2. 本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主. 【基础练习】1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2+ (y －1)2= 252.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（x －1）2＋（y－1）2＝43.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为0422=-+x y x4.圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=120°，则实数c 值为_-11__5.如果方程220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有__D=E__ 【范例导析】【例1】设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。

分析:配成圆的标准方程再求解解：配方得：[]2222(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦ 该方程表示圆，则有21670m m +->，得1(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2341x m y m =+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--，由1(,1)7m ∈-得x =m +320,47⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭变式1：方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。

高考数学一轮单元复习：第44讲圆的方程

不含 xy 项，即 B＝0；③ D + E − 4 F f 0 ＝； A A A
2 2
。
│要点探究
要点探究
► 探究点1 探究点求圆的方程
重庆卷] 轴上，例 1 [2009·重庆卷圆心在 y 轴上，半径为 1，重庆卷，且过点 (1，2)的圆的方程为的圆的方程为( ) ，的圆的方程为 A. x2＋(y－2)2＝1 － B. x2＋(y＋2)2＝1 ＋ C. (x－1)2＋(y－3)2＝1 －－ D. x2＋(y－3)2＝1 －
│要点探究
思路】二次函数图象与x轴有两个交点【思路】 (1)二次函数图象与轴有两个交点，与y轴二次函数图象与轴有两个交点，轴的交点中b≠0，(2)设圆的一般方程用待定系数法，(3)含设圆的一般方程用待定系数法，含的交点中，设圆的一般方程用待定系数法 b的两项为一组，并提取，不含的为另一组，用恒等的两项为一组，的为另一组，的两项为一组并提取b，不含b的为另一组式求. 式求
│要点探究
江苏卷]在平面变式题 [2008·江苏卷在平面直角坐标系 xOy 中，江苏卷在平面直角坐标系记二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交＝＋ ∈ 与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为 C。。 (1)求实数 b 的取值范围；求实数的取值范围； (2)求圆 C 的方程；求圆的方程； (3)问圆 C 是否经过定点其坐标与 b 无关？请证明你问圆是否经过定点(其坐标与无关)？的结论。的结论。
│要点探究
【解答】 (1)设所求圆的方程为解答】设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意有＋＋＝，

高考数学科学复习创新方案：圆的方程

圆的方程[课程标准]回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．1．圆的定义、方程(1)平面上到01定点的距离等于02定长的点的集合是圆．(2)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心为03(a，b)，半径为04r．(3)圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0：①方程表示圆的充要条件：05D2＋E2－4F>0，其中圆心坐标：半径r＝071D2＋E2－4F；2②当D2＋E2－4F＝0③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形．2．点与圆的位置关系(1)理论依据09点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．①10(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上⇔d＝r；②11(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r；③12(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内⇔d <r .1．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，＝C ≠0，＝0，2＋E 2－4AF >0.3．求圆的方程，如果借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．(人教A 选择性必修第一册2.4.2练习T 1改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标和半径分别是()A ．(2，3)，3B ．(－2，3)，3C ．(－2，－3)，13D ．(2，－3)，13答案D解析圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0化成标准形式为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝13.故选D.2．(人教A 选择性必修第一册习题2.4T 5改编)已知A (1，0)，B (0，3)，则以AB 为直径的圆的方程是()A ．x 2＋y 2－x －3y ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＋3y ＝0C ．x 2＋y 2＋x －3y ＝0D ．x 2＋y 2－x ＋3y ＝0答案A解析r ＝12|AB |＝12×12＋32＝102，故圆的方＝52.整理得x 2＋y 2－x －3y ＝0.故选A.3．(人教B 选择性必修第一册2.3.1练习B T 4改编)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是()A ．(－1，1)B ．(－3，3)C ．(－2，2)－22，答案C解析∵原点(0，0)在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，∴(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－2<m <2.故选C.4．(多选)若k 2，0，45，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0不表示圆，则k 的取值可以是()A ．－2B ．0C.45D ．1答案CD解析若方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆，则(k －1)2＋4k 2－4k >0，解得k <15或k >1，结合题意可知，若方程不表示圆，则k 的取值可以是45，1.故选CD.5．(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________．答案(x －2)2＋(y －3)2＝13或(x －2)2＋(y －1)2＝5＝659或＋(y －1)2＝16925(写出一个即可)解析设点A (0，0)，B (4，0)，C (－1，1)，D (4，2)，圆过其中三点共有下列四种情况：①若圆过A ，B ，C 三点，则圆心在直线x ＝2上，设圆心坐标为(2，a )，则4＋a 2＝9＋(a －1)2⇒a ＝3，r ＝4＋a 2＝13，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13.②若圆过A ，B ，D 三点，同①设圆心坐标为(2，a )，则4＋a 2＝4＋(a －2)2⇒a ＝1，r ＝4＋a 2＝5，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.③若圆过A ，C ，D 三点，则线段AC 的中垂线方程为y ＝x ＋1，线段AD 的中垂线方程为y ＝－2x ＋5，＝43，＝73，r ＝169＋499＝653，所以圆的方程为＝659.④若圆过B ，C ，D 三点，则线段BD 的中垂线方程为y ＝1，线段BC 的中垂线方程为y ＝5x －7，＝85，＝1，r135，所以圆的方程为＋(y －1)2＝16925.例1(1)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为()A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1答案C解析到两直线3x －4y ＝0，3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y ＋5＝0x －4y ＋5＝0，＝－x －4，＝－3，＝－1.又两平行线间的距离为1032＋（－4）2＝2，所以圆M 的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.故选C.(2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x ＋y －1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析∵点M在直线2x＋y－1＝0上，∴设点M为(a，1－2a)，又点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴（a－3）2＋（1－2a）2＝a2＋（－2a）2＝R，解得a＝1，∴M(1，－1)，R＝5，⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．1.已知圆E经过两点A(0，1)，B(2，0)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．答案＋y2＝2516解析因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐直平分线y－12，所以圆E的标准方则圆E的半径为|EB|54＋y2＝25.162．已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________________．答案x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0解析设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.D－4E－F＝20，①D－E＋F＝－10.②在圆C的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.例2(2024·武汉模拟)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，且M是线段BC的中点，所以由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C (x 0，y 0)满足(x 0－1)2＋y 20＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此直角边BC 的中点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．求与圆有关的轨迹方程的方法(2024·合肥质检)已知动点P 到点M (－2，0)与到点N (1，0)的距离之比为2∶1，则动点P 的轨迹方程为________；若动点A 满足MA →＝2MP →，则动点A 的轨迹方程为________．答案(x －2)2＋y 2＝4(x －6)2＋y 2＝16解析设P (x ，y )，则|PM |＝（x ＋2）2＋y 2，|PN |＝（x －1）2＋y 2，因为动点P 到点M (－2，0)与到点N (1，0)的距离之比为2∶1，所以（x ＋2）2＋y 2（x －1）2＋y 2＝21，所以(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4，所以动点P 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4.设点A (x ，y )，P (x 0，y 0)，则MA→＝(x ＋2，y )，MP →＝(x 0＋2，y 0)，因为MA →＝2MP →＋2＝2（x 0＋2），＝2y 0，0＝12x －1，0＝12y ，所以－1－＝4，化简得(x －6)2＋y 2＝16，所以动点A 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝16.角度借助几何性质求最值例3已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆，y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.角度构建目标函数求最值例4设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)．则PA→·PB→的最大值为________．答案12解析解法一：由题意，得P A→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.解法二：设O 为坐标原点，易知PA →·PB →＝|PO →|2－|OA →|2＝|PO →|2－4，又|PO →|max＝3＋1＝4，故(PA →·PB →)max＝42－4＝12.角度利用对称性求最值例5(2024·济宁模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0，点M (7，12)，直线l ：y＝x .点P 是圆C 上的动点，点Q 是l 上的动点，则|PQ |＋|QM |的最小值为()A ．11B ．12C ．13D ．14答案B解析由题设圆C ：x 2＋(y －2)2＝1，即圆心为C (0，2)，半径为1，又72＋(12－2)2＝149>1，所以点M 在圆外同时不在直线l ：y ＝x 上，如图所示，若M ′为M 关于l ：y ＝x 的对称点，则M ′(12，7)，则|PQ |＋|QM |＝|PQ |＋|QM ′|≥|PM ′|，而|PM ′|min ＝|CM ′|－1，所以|PQ |＋|QM |≥|CM ′|－1＝12，当且仅当C ，P ，Q ，M ′共线且P 在C ，Q 之间时，等号成立，故|PQ |＋|QM |的最小值为12.故选B.与圆有关的最值问题的求解方法方法适用类型借助几何性质求最值形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、基本不等式法等求最值动化定、曲化直法求最值求解形如|PM |±|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题1.直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是()A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]答案A解析∵直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，∴A (－2，0)，B (0，－2)，则|AB |＝22.∵点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，圆心为(2，0)，∴圆心到直线的距离d 1＝|2＋0＋2|2＝22，故点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离d 2的范围为[2，32]，则S △ABP ＝12|AB |d 2＝2d 2∈[2，6]．故选A.2．设点P (x ，y )是圆(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0，2)，B (0，－2)，则|PA→＋PB →|的最大值为________．答案10解析由题意，知P A →＝(－x ，2－y )，PB →＝(－x ，－2－y )，所以PA →＋PB →＝(－2x ，－2y )，所以|PA →＋PB →|＝2x 2＋y 2.因为点P (x ，y )是圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，所以点P 的坐标(x ，y )满足方程(x －3)2＋y 2＝4，1≤x ≤5，所以y 2＝－(x －3)2＋4，所以|PA →＋PB →|＝2x 2－（x －3）2＋4＝26x －5.因为1≤x ≤5，所以当x ＝5时，|PA →＋PB→|的值最大，最大值为26×5－5＝10.3．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案52－4解析圆C1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－2，1)，半径为1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心为(3，4)，半径为3.如图，圆C 1关于x 轴的对称圆为圆C 1′：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1.连接C 1′C 2，交x 轴于P ，则P 为使|PM |＋|PN |最小的点，此时点M 为线段PC 1与圆C 1的交点，N 为线段PC 2与圆C 2的交点，最小值为|C 1′C 2|－(3＋1)，而|C 1′C 2|＝（3＋2）2＋（4＋1）2＝52，∴|PM |＋|PN |的最小值为52－4.课时作业一、单项选择题1．(2022·北京高考)若直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，则a ＝()A.12B ．－12C ．1D ．－1答案A解析由题意可知，圆心为(a ，0)，因为直线2x ＋y －1＝0是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，即2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.2．设甲：实数a <3；乙：方程x 2＋y 2－x ＋3y ＋a ＝0表示圆，则甲是乙的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析若方程x 2＋y 2－x ＋3y ＋a ＝0表示圆，则(－1)2＋32－4a ＝10－4a >0，解得a <52.∵a <3a <52，a <52⇒a <3，∴甲是乙的必要不充分条件．故选B.3．(2024·日照模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2，2)的圆的方程是()A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案B解析圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ；设要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，代入点(－2，2)，得r 2＝25.故选B.4．已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是()A ．(－∞，＋∞)∞－233，－233，答案C解析圆C ＋(y ＋1)2＝1－34k 2，因为过点P 有两条切线，所以点P＋4＋k ＋4＋k 2>0，－34k 2>0，解得－233<k <233.故选C.5．(2023·全国乙卷)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C解析解法一：令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式，化简得2y 2＋(2k －6)y＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是1＋32.故选C.解法二：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，整理得(x －2)2＋(y －1)2＝9，令x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x －y ＝3cos θ－3sin θ＋1＝32cos1，因为θ∈[0，2π]，所以θ＋π4∈π4，9π4，当θ＋π4＝2π，即θ＝7π4时，x －y 取得最大值1＋32.故选C.解法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝|2－1－k|2≤3，解得1－32≤k≤1＋3 2.故选C.6．(2024·湖南郴州模拟)已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|＝6，则点P的轨迹方程为() A．(x－4)2＋(y－2)2＝16B．(x－2)2＋(y－4)2＝11C．(x－2)2＋(y－4)2＝16D．(x－4)2＋(y－2)2＝11答案C解析A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，|AB|＝6，圆的半径为5，可得|PC|＝25－9＝4，所以点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.故选C.7．(2023·北京昌平二模)已知点P在直线3x－y－10＝0上，点Q(2cosθ，2sinθ)(θ∈R)，则|PQ|的最小值为()A．1B．3C．5D．7答案B解析设Q(x，y)，由Q(2cosθ，2sinθ)(θ∈R)可知x＝2cosθ，y＝2sinθ，所以x2＋y2＝4，即Q是圆心为(0，0)，半径为2的圆上的动点，圆心到直线3x－y－10＝0的距离d＝|0－0－10|3＋1＝5，所以|PQ|min＝5－2＝3.故选B.8．(2023·邯郸三模)在平面直角坐标系内，已知A(－3，4)，B(－3，1)，动点P(x，y)满足|P A|＝2|PB|，则(x－1)2＋(y－t)2(t∈R)的最小值是()A.2B．2C．4D．16答案C解析因为A(－3，4)，B(－3，1)，动点P(x，y)满足|PA|＝2|PB|，则(x＋3)2＋(y－4)2＝4(x＋3)2＋4(y－1)2，整理得(x＋3)2＋y2＝4，（x－1）2＋（y－t）2可以看成圆(x＋3)2＋y2＝4上的动点P(x，y)与定直线x＝1上的动点Q(1，t)的距离，其最小值为圆心M(－3，0)到直线x＝1的距离减去圆的半径2，即|PQ|≥4－2＝2，因此(x－1)2＋(y－t)2的最小值是22＝4.故选C.二、多项选择题9．已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC 的外接圆圆M的说法正确的是()A．圆M的圆心坐标为(1，3)B．圆M的半径为5C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点(2，3)在圆M内答案ABD解析设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则＋4－D＋2E＋F＝0，＋1＋2D＋E＋F＝0，＋16＋3D＋4E＋F＝0，＝－2，＝－6，＝5.所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，半径为5，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M内．故选ABD.10．(2023·常德模拟)已知圆x2＋y2＝16与x轴的左、右交点分别为A，B，点M(1，1)在圆内，以下说法正确的是()A．过M的圆的最短弦长为214B．若P为圆上的动点，且与B不重合，则BP的中点N的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠4)C．若P为圆上的动点，且与B不重合，则BP的中点N的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(y≠0)D．若P，Q为圆上的动点，且PM⊥QM，则PQ的中点T的轨迹方程为x2＋y2－x－y－7＝0答案ABD解析对于A，过M的圆的最短弦与OM(O为坐标原点)垂直，其长度为216－2＝214，故A 正确；对于B ，C ，若P 为圆上的动点，且与B 不重合，则BP 的中点N 满足ON ⊥BN ，N 在以OB 为直径的圆上，但点B 除外，故点N 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠4)，故B 正确，C 错误；对于D ，若P ，Q 为圆上的动点，且PM ⊥QM ，设PQ 的中点T (x ，y )，则|PT |＝|MT |，OT ⊥PQ ，|MT |2＋|OT |2＝|PT |2＋|OT |2＝16，可得x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝16，整理可得x 2＋y 2－x －y －7＝0，故D 正确．故选ABD.11．(2023·武汉模拟)已知直线l ：x －y ＋1＝0与圆C K ：(x ＋k －1)2＋(y ＋2k )2＝1，下列说法正确的是()A ．所有圆C K 均不经过点(0，3)B ．若圆C K 关于直线l 对称，则k ＝－2C ．若直线l 与圆C K 交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则k ＝－1D ．不存在圆C K 与x 轴、y 轴均相切答案ABD解析对于A ，将(0，3)代入(x ＋k －1)2＋(y ＋2k )2＝1，则(k －1)2＋(2k ＋3)2＝1，所以5k 2＋10k ＋9＝0，此时Δ＝100－4×5×9＝－80<0，所以不存在k 值，使圆C K 经过点(0，3)，A 正确；对于B ，若圆C K 关于直线l 对称，则(1－k ，－2k )在直线l ：x －y ＋1＝0上，所以1－k ＋2k ＋1＝0，则k ＝－2，B 正确；对于C ，由题意，圆心C K 到直线l 的距离d ＝1－|AB |24＝22，所以|1－k ＋2k ＋1|2＝|k ＋2|2＝22，则|k ＋2|＝1，可得k ＝－3或k ＝－1，C 错误；对于D ，若圆C K 与x 轴、y 轴均相切，则|1－k |＝2|k |＝1，显然无解，即不存在这样的圆C K ，D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·昆明模拟)已知点A (－2，0)，B (0，2)，动点M 满足AM →·MB →＝0，则点M 到直线y ＝x ＋2的距离可以是________．(写出一个符合题意的整数值)答案0或1(只写一个即可)解析由题设知AM→⊥MB →，即点M 在以AB 为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为2，所以点M 的轨迹方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，而直线y ＝x ＋2过圆心(－1，1)，所以点M 到直线y ＝x ＋2的距离的取值范围为[0，2]，所以点M 到直线y ＝x ＋2的距离的整数值可以是0或1.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案74解析设P (x ，y )，则d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 2＋(y ＋1)2＋x 2＋(y －1)2＝2(x 2＋y 2)＋2，x 2＋y 2表示圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 2＋y 2)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0，k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．(1)若定点为A (－1，0)，B (1，0)，写出k ＝12的一个阿波罗尼斯圆的标准方程为________；(2)△ABC 中，|AB |＝2，|AC |＝k |BC |(k >1)，则当△ABC 面积的最大值为22时，k ＝________．答案(1)x ±532＋y 2＝169(填一个即可)(2)2解析(1)设动点为P (x ，y )，则|PA ||PB |＝12或|PB ||PA |＝12，所以（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y 2＝12或（x －1）2＋y 2（x ＋1）2＋y 2＝12，化简得x ±532＋y 2＝169.所以k ＝12的阿波罗尼斯圆的标准方程为x ±532＋y 2＝169.(2)设A (－1，0)，B (1，0)，C (x ，y )，因为|AC |＝k |BC |，所以(x ＋1)2＋y 2＝k 2[(x －1)2＋y 2]，所以x 2＋y 2－2·k 2＋1k 2－1x ＋1＝0(y ≠0)，点C 的轨迹是图中的圆D .当△ABC 面积的最大值为22时，CD ⊥x轴，此时CD 就是圆的半径，所以圆D 的半径为22.22，所以k ＝2.四、解答题15．(2023·杭州模拟)已知圆E 经过A (2，3)，B (3，2)，C (4，3)三点，且交直线l ：3x ＋4y －18＝0于M ，N 两点．(1)求圆E 的标准方程；(2)求△CMN 的面积．解(1)设圆E ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，2－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，4－a ）2＋（3－b ）2＝r 2＝3，＝3，＝1，所以圆E 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝1.(2)因为C (4，3)到直线l ：3x ＋4y －18＝0的距离为|3×4＋4×3－18|32＋42＝65，圆心E (3，3)到直线l ：3x ＋4y －18＝0的距离为|3×3＋4×3－18|32＋42＝35，故弦长|MN |＝＝85，所以S △CMN ＝12×65×85＝2425.16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径且过点C 的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．解令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设点A(x1，0)，B(x2，0)，则Δ＝m2－8m>0，即m<0或m>8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，故点C(0，2m)．(1)若存在以AB为直径且过点C的圆，则AC→·BC→＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，解得m＝0或m＝－12.因为m<0或m>8，所以m＝－12，此时点C(0，－1)，所求圆的圆心为线段AB的中点－14，半径r＝|CM|＝174，故所求圆的方程为＋y2＝1716.(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)的坐标代入，可得E＝－1－2m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.2＋y2－y＝0，＋2y－2＝0，＝0，＝1＝25，＝45.故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)。

高考数学圆的方程与性质选择题

高考数学圆的方程与性质选择题1. 请根据圆的标准方程 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，判断圆心坐标和半径。

2. 圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 是一个什么圆？3. 已知一个圆的方程是 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 16，请问这个圆的半径是多少？4. 如果一个圆的方程是 x^2 + y^2 = 1，那么这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？5. 已知一个圆的方程是 (x-2)^2 + (y-3)^2 = 4，请判断这个圆是否是圆心在原点的圆。

6. 请根据圆的方程 x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，判断这个圆的圆心坐标和半径。

7. 已知一个圆的方程是 (x-3)^2 + (y+2)^2 = 1，请问这个圆的半径是多少？8. 请判断圆的方程 x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0 是否是一个标准圆的方程。

9. 如果一个圆的方程是 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 5，请问这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？10. 已知一个圆的方程是 (x+2)^2 + (y-3)^2 = 1，请判断这个圆的圆心坐标和半径。

11. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的半径。

12. 已知一个圆的方程是 x^2 + y^2 = 4，请问这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？13. 请判断圆的方程 x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0 是否是一个标准圆的方程。

14. 如果一个圆的方程是 (x-3)^2 + (y+2)^2 = 1，请问这个圆的半径是多少？15. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的圆心坐标和半径。

16. 已知一个圆的方程是 (x+2)^2 + (y-3)^2 = 1，请判断这个圆的圆心坐标和半径。

17. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的半径。

高考数学一轮复习圆的方程

F＝0，
16＋4D＋F＝0， 2－D＋E＋F＝0，
D＝－4，
解得E＝－6， F＝0，
易得 D2＋E2－4F>0，所以过这
三点的圆的方程为 x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13.
若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，设过这三点的圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点
第二节
圆与方程
第二节圆与方程
1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
必备知识·系统归纳先整体系统知识，再分课时研究题点考法
Ⅰ.主干知识的再认再现
圆心到直线 l 的距离为 2 ＝ 2<2，所以直线 l 与圆相交．又圆心不在直线 l 上，所以直线不过圆心．故选 D. 答案：D
4．(人教 A 版选择性必修①P98·T3 改编)直线 y＝ 3x 被圆 C：x2＋y2－2x
＝0 截得的线段长为
()
A．2
B. 3
C．1
D. 2
解析：圆 C：x2＋y2－2x＝0 的圆心为(1,0)，半径为 1，圆心到直线 y ＝ 3x 的距离为 d＝ |3＋3| 1＝ 23，弦长为 2· 1－ 232＝1，故选 C.
16＋4D＋F＝0，
可得 2－D＋E＋F＝0， 20＋4D＋2E＋F＝0，
D＝－156，解得 E＝－2，
F＝－156，
易得 D2＋E2－
4F>0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋y2－156x－2y－156＝0，即x－852 ＋(y－1)2＝12659.

2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】

课时过关检测(四十八)圆的方程【原卷版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．54．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．23B．13C．23＋1D．13＋16．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝438．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．课时过关检测(四十八)圆的方程【解析版】1．圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5解析：A 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．2．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆，则有D 2＋E 2－4F ＝a 2＋4－8＞0，解得a ＞2或a ＜－2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜－2”的充分不必要条件，所以“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A ．3．若x 2＋y 2＝8，则2x ＋y 的最大值为()A ．8B ．4C ．210D ．5解析：C 设2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x ，当直线y ＝t －2x 与x 2＋y 2＝8相切时，t 取到最值，所以|t |5≤22，解得－210≤t ≤210，所以2x ＋y 的最大值为210，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：D圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心C (3，1)，半径为1，因为圆心C 到O (0,0)的距离为2，所以圆C 上的点到O (0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB ＝90°，则以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得|PO |＝12|AB |＝t ，所以有1≤t ≤3，故选D ．5．点M 为圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为()A ．23B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0＋y －2＝0，x ＋2y －5＝0得＝1，＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABCx 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ),半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＝43．8．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则＝0，＋2D ＋F ＝0，＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得＝－2，＝－6，＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210．所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x－y ＋2＝0＋y ＝0，－y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联x ＋1)2＋(y －1)2＝10，－y －2＝0，＝0，＝－2＝2，＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故直线l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为812＋32＝4105，|PM|＝＝4105，所以△POM的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝22得x2＋y2＝8，2＋y2＝8，①－1)2＋(y－3)2＝2，②①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝145，y2＝2．从而x1＝－25，x2＝2．所以M－25，|PM|＝＝4105．又点O到l距离d＝812＋32＝4105，所以△POM的面积S＝12|PM|·d＝12×4105×4105＝165．15．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解析：ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T 两侧．(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)4－x2－y2＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，解得－1<k<3 2．(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·4－x2－y2<0，x＋4y－5<0，2＋y2<4，点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，故∠AOB＝2π3，因此，所求面积为S＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。

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圆的方程
【考点导读】
1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。

2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主.
【基础练习】
1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y －1)2 = 25
2.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（x －1）2＋（y －1）2＝4
3.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为0422=-+x y x
4.圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=120°，则实数c 值为_-11__
5.如果方程
220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有__D=E__ 【范例导析】
【例1】设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。

分析:配成圆的标准方程再求解
解：配方得：[]2
222(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦ 该方程表示圆，则有
2
1670m m +->，得1(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2341x m y m =+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--，由1(,1)7m ∈-得x =m +320,47⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中
20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 变式1：方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。

解：原方程可化为22222(1)24(22)()a a a x y a a a --+⎡⎤-++=⎢⎥⎣
⎦ 2220,a a -+>∴Q 当a 0≠时，原方程表示圆。

又r ===≥
当min 2,a r ==()()22112x y -++=
例2 求半径为4，与圆
042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：
．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．
(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得10
22±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()102
2(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()62
2(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．
【反馈练习】
1.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是B=0且A=C ≠0,D 2+E 2
-4AF ＞0
2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)
3.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+y 2=4的内部，则k 的范围是115
k -<< 4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
22460x y x y +-+= 5.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是31,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭
6.方程
1x -=_两个半圆 7.圆2)4()3(22=++-y x 关于直线0=+y x 的对称圆的方程是22(4)(3)2x y -++=
8.如果实数x 、y 满足等式()2223x y -+=，那么y x 的最大值是3
9.已知点)1,1(-A 和圆4)7()5(:22=-+-y x C ，求一束光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为___8___
10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x ─y ─3=0上的圆的方程;
解：设圆心P(x 0,y 0),则有⎩⎨⎧-+-=-+-=--2020202000)2()3()2()5(0
32y x y x y x ,
解得 x 0=4, y 0=5,
∴半径r=10,
∴所求圆的方程为(x ─4)2+(y ─5)2=10
11. 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，
故设圆方程为222
(3)()9x b y b b -+-= 又因为直线y =x 截圆得弦长为2
7，
则有2
+2=9b 2
，解得b =±1故所求圆方程为
22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=
点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求a 、b 、r 或D 、E 、。