圆的一般方程

练习:求过点O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 y2 Dx Ey F 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F 0
D 8
D
E
F
2
0
E
6
4D 2E F 20 0 F 0
解一 : 设所求圆的标准方程为(x a)2 ( y b)2 r2,依题意得
(2 a)2 (4 b)2 r2 a2 b2 4a 8b 20 r2
(1
a)2
(3
b)2
r 2
a
2
b2
2a
6b
10
r2
(2 a)2 (6 b)2 r2 a2 b2 4a 12b 40 r2
1.根据题意,选择标准方程或一般方程. ➢若已知条件与圆心或半径有关,通 常设为标准方程; ➢若已知圆经过两点或三点,通常设 为一般方程;
2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或 一般方程.
例2 方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
A Mx
C
B
课后作业：
3．平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？ 为什么？
解 :设过A、B、C的圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0,
1 E F 0
D 2
， 依题意得 5 2D E F 0 解得 E 6
(3, 0)
(3, 0)
9 3D F 0
圆的方程: x2 y2 4 y 9 0
9 3D F 0 13 4D 3E F 0
3 即: x2 ( y 2)2 85
39
D 0, E 4 , F 9 3圆心:(0,2) 3
半径:
85 3
求圆方程的步骤: (待定系数法)
故，(x 3)2 ( y 3)2 1为所求点M的轨迹方程.
2
2
变式、 已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点
A在圆 (x 1)2 y2 4 上运动，求线段AB的中点M
的轨迹方程.
练习3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端
点A在圆 ( x 1)2 y2 4上运动,求线段AB的 中点M的轨迹方程.
x2 y2 2x 4y 2 0
( x 2)2 ( y 1)2 7 x2 y2 4x 2y 2 0
( x a)2 ( y b)2 r2
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
典例探究
例1、求过三点A(—2,4),B(—1,3),C(2,6)的圆的方 程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2)x2 y2 2x 4 y 6 0
配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
不是圆
不一定 是圆
x2 y2 Dx Ey F 0
【排忧解惑】
圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
配方得
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
x2 y2 1 ，
(x 3)2 y2 2
化简得x2＋y2＋2x－3＝0.即(x＋1)2＋y2＝4， 所以动点P的轨迹是以点(－1,0)为圆心，以2为半径 的圆．
➢求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); 2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状.
➢求轨迹方程的方法:
般方程）
若生成轨迹的动点 P( x, y)随另一动点 Q( x0, y0 )
的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 x0 , y0
分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点 满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程
关键:列出P,Q两点的关系式.
课本P134 6/平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上?
一般方程:
x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
配方 ( x D )2 ( y E )2 D2 E 2 4F
2
2
4
圆心: ( D , E ) 半径: 1 D2 E2 4F
22
2
练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程:
( x 1)2 ( y 2)2 3
点M的轨迹方程.
解：设M (x, y), A(x0, y0 ), B(4,3), BA 2BM,
(x0 4, y0 3) 2(x 4, y 3) 坐标转移法
x0 2x 4, y0 2 y 3,
A在圆(x 1)2 y2 4上,(x0 1)2 y02 4,
(2x 3)2 (2 y 3)2 4
( x 3)2 ( y 3)2 1
2
2
点M的轨迹方程
轨迹方程求法
【变式 4】 已知一动点 P 到两个定点 A(0,0)，B(3,0)的距离之 比为21，求动点 P 的轨迹方程，并说明轨迹的图形．
解 设动点P的坐标为(x，y)，
则点P(x，y)满足 | PA | 1 ，
| PB | 2
即
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【学习目标】
1．掌握圆的一般方程及其条件，能进行标准方程与 一般方程的互化，理解圆的一般方程与标准方程的联 系。 2．初步掌握求点的轨迹方程的思想方法。
3．进一步掌握配方法和待定系数法．
教学重难点 重点：1.圆的一般方程的形式特征。
2．待定系数法求圆的方程。 难点：坐标转移法求轨迹方程。
复习引入 圆的标准方程
DEF 0
D 6, E F 0
D2 E2 4F 0
D2 E2 4F 36
点( 0 , 0 )
圆心: (3,0) 半径: r 3
圆的方程
标准方程: ( x a)2 ( y b)2 r 2
展开 x2 y2 2ax 2by (a2 b2 r 2 ) 0
圆心: (a,b) 半径: r (r 0)
解二: 设所求圆的标准方程为x2 y2 Dx Ey F 0,依题意得
20 10 40
2D D 2D
4E 3E 6E
F F F
0
0
0
10 30
DE 0 3D 3E
0
D D
E E
10
10
D E
0 10
F
20
故所求圆的方程为: x2 y2 10 y 20 0
圆方程可化为: x2 ( y 5)2 5. 圆心(0,5),半径 5
有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就
找出圆心和半径.
1) x2 y2 2x 4 y 1 0
D 2, E 4, F 1 D2 E2 4F 16 学科网
圆心: (1, 2) 半径: r 2
2) x2 y2 0
3) x2 y2 6x 0
【变式 1】 方程 x2＋y2＋x＋2y＋a－1＝0 表示圆，试求实数 a 的范围．
解 由方程表示圆得， D2＋E2－4F＝12＋22－4(a－1)＝9－4a＞0，
解得a＜
9 4
，
即a的取值范围是
(, 9) 4
.
典例探究
例2、 已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点A在
圆 (x 1)2 y2 4上运动，点M满足 BA 2BM ，求
解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是( x0 , y0 ) .
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,
所以 x x0 4 2
y
y0 3 2
即:
x0 y0
2 2
x y
4 3
因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的
方程,即: ( x0 1)2 y02 4
(2x 4 1)2 (2 y 3)2 4
25 3D 4E F 0 F 5
圆的方程为x2 y2 2x 6y 5 0,
将D(1, 2)代入上述方程，结果成立，故四点共圆。
课后作业：
4、 已知A（0，2）,动点B在圆 x2 y2 4x 2y 4 0上运
动，点M满足 AB 2AM，求点M的轨迹方程. 解：圆方程可化为(x 2)2 ( y 1)2 1.
2a 2b 10 0 6a 6b 30 0
a b 5 a b 5
a 0 b 5
r2 5. 故ABC的外接圆的方程为: x2 ( y 5)2 5
半径长为 5,圆心坐标为(0,5).
典例探究
例1、求过三点A(—2,4),B(—1,3),C(2,6)的圆的方 程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
所以,圆的方程为:
x2 y2 8x 6y 0
练习2:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6
和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并
求这个圆的圆心坐标和半径长. (2,3) 解:设圆的方程为:
3
(2, 3)
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A,B,C都在圆上,所以其坐标 都满足圆的方程,即
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
思考 圆的方程一般代数形式是什么特点呢
( x - a3)2 ( y - b4)2 6r2
展开得
x2 y2 -2a6xx-2b8yy+a12+9b2-r02=0
x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程