圆的标准方程和一般方程定
圆和直线的交点坐标公式
圆和直线的交点坐标公式1. 圆的方程。
- 圆的标准方程为(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
- 圆的一般方程为x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0（D^2+E^2 - 4F>0），圆心坐标为(-(D)/(2),-(E)/(2))，半径r=(1)/(2)√(D^2 + E^2-4F)。
2. 直线的方程。
- 直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为直线在y轴上的截距。
- 直线的一般式方程为Ax+By + C = 0（A、B不同时为0）。
3. 求圆与直线交点坐标的方法。
- 若圆的方程为(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2，直线方程为y=kx + m（这里以斜截式为例，若直线是一般式可先化为斜截式方便计算）。
- 将y=kx + m代入圆的方程(x - a)^2+(kx + m - b)^2 = r^2。
- 展开得到x^2 - 2ax+a^2+k^2x^2+2k(m - b)x+(m - b)^2=r^2。
- 整理为关于x的一元二次方程(1 + k^2)x^2+[2k(m - b)-2a]x+a^2+(m - b)^2 - r^2 = 0。
- 利用一元二次方程的求根公式x=(-B±√(B^2 - 4AC))/(2A)，这里A = 1 +k^2，B=2k(m - b)-2a，C=a^2+(m - b)^2 - r^2，求出x的值。
- 再将x的值代入直线方程y = kx+m求出对应的y值，得到交点坐标。
- 若圆的方程为x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，直线方程为Ax+By + C = 0。
- 由直线方程Ax+By + C = 0可得y=-(A)/(B)x-(C)/(B)（假设B≠0）。
- 将y =-(A)/(B)x-(C)/(B)代入圆的方程x^2+(-(A)/(B)x-(C)/(B))^2+Dx+E(-(A)/(B)x-(C)/(B))+F = 0。
(用)圆的一般方程
ⅱ)方程的思想 (待定系数法)
ⅲ)数形结合的思想
圆的标准方程 x - a + y - b = r
2 2
2
• 方程：x + y - 2 x + 4 y + 5 = 0 表示什么图形？ 2 2 • 方程： x + y - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示什么图形 ？ • 方程：x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 6 = 0 表示什么图形 ？
2 2
思考：当D=0，E=0或F=0时， 2 2 圆 x + y + Dx + Ey + F = 0 的位置分别 有什么特点？
y C o y C x o x y C
o
x
D=0
E=0
F=0
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
练习： 求过三点A(0,0), B(6,0), C (0,8)的圆的方程.
例4 已知 ABC 的顶点是A(0，0)、B(1，1)、C(4，2)，
求这个三角形的外接圆方程，并指出它的圆心和半径 。 解： 设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
由 A、 B 、在圆上，则有
D = -8 F =0 E=6 D+ E+F +2= 0 F =0 4 D + 2 E + F + 20 = 0
知识回顾：
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征： 直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
有关圆的所有计算公式
有关圆的所有计算公式S圆=π×R的平方; C圆=2πR或πD扇形弧长l=nπr/180 扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2 圆锥侧面积S=πrl 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F＞0）。
其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。
圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r 为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2 在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M （a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0*x+b0*y=r^2平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
圆的标准方程与一般方程的特点与分析
圆的标准方程与一般方程的特点与分析圆的标准方程与一般方程各具特点，但都是我们所需要掌握的重要内容。
通过标准方程能够对一般方程进行推导，能够让我们更好地理解圆的特点和相关知识。
本文对圆的标准方程与一般方程进行分析，以供参考。
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在圆的标准方程中，包含有a、b、r这三个参数，也就是圆心坐标为（a，b），只需要将a、b、r计算出来，就可以确定圆的方程。
所以，在对圆方程进行确定的过程中，应当具备三个独立的条件，圆的定位条件就是圆心坐标，圓的定形条件就是其半径。
[1]1.圆的方程当时，则圆心O的坐标为（0，0），我们将其称之为1单位的圆；当时，则圆心O的坐标为（0，0），其半径为r；当时，则圆心O的坐标为（a，b），其半径为r。
在对圆的方程进行确定的过程中，主要是对待定系数法这一方法进行运用，也就是将有关a、b、r的方程组列出来，将a、b、r分别计算出来，亦或是将圆心（a，b）与半径r计算出来，通常情况下，其步骤是：依据有关题意，将圆的标准方程列出来；依据相关已知条件，对有关a、b、r的方程组进行建构；对所建构的方程组进行计算，分别将a、b、r的数值计算出来，将所计算的数值带入到圆的标准方程中去，进而就可以将所求圆的方程计算出来。
2.方程推导平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（a，b），点P是圆中任意一点，其坐标为（x，y）。
圆属于平面到定点距离等于定长的所有点的集合。
[2]因此，，分别将两边平方，可以得出。
3.点与圆关于点P（x1，y1）与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系：当的情况下，那么点P位于圆外；当的情况下，那么点P位于圆上；当的情况下，那么点P位于圆内。
4.直线与圆的位置关系在平面图形中，在判定直线和圆的位置关系时，通常运用以下方法：通过其中B不等于0，可以得出关于x的一元二次方程。
通过判别式的符号，就可以对圆与直线的位置关系进行确定，其位置关系如下：倘若，那么圆与直线存在两个交点，二者是相交关系；倘若，那么圆与直线存在一个交点，二者是相切关系；倘若，那么圆与直线不存在交点，二者是相离关系。
圆的坐标系公式
圆的坐标系公式
一、圆的标准方程。
1. 在平面直角坐标系中。
- 圆心为(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x - a)^2+(y - b)^2=r^2。
- 例如，圆心为(1,2)，半径为3的圆的方程为(x - 1)^2+(y - 2)^2 = 9。
- 推导：设圆上任意一点P(x,y)，圆心C(a,b)，根据两点间距离公式d=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)，因为圆上的点到圆心的距离等于半径r，所以√((x - a)^2+(y - b)^2)=r，两边平方就得到(x - a)^2+(y - b)^2=r^2。
2. 特殊情况。
- 当圆心在原点(0,0)时，圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
例如，半径为2的圆（圆心在原点）的方程为x^2 + y^2=4。
二、圆的一般方程。
1. 方程形式。
- 圆的一般方程为x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0（D^2+E^2 - 4F>0）。
- 我们可以将一般方程转化为标准方程来确定圆心和半径。
- 对于x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，通过配方可得
(x+(D)/(2))^2+(y+(E)/(2))^2=(D^2 + E^2-4F)/(4)，此时圆心坐标为(-(D)/(2),-(E)/(2))，半径r=(1)/(2)√(D^2 + E^2-4F)。
- 例如，对于方程x^2+y^2 - 2x+4y - 4 = 0，其中D=-2，E = 4，F=-4。
- 先配方：x^2 - 2x+1+y^2+4y + 4=4 + 1+4，即(x - 1)^2+(y + 2)^2=9，圆心为(1,-2)，半径为3。
圆的一般方程求半径
圆的一般方程求半径
圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0，其中圆心坐标是（-D/2，-E/2）。
半径：1/2√（D2+E2-4F）。
圆的一般方程
圆的一般方程，是数学领域的知识。
圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0，或可以表示为X+D/22+Y+E/22=D2+E2-4F/4。
标准方程：圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：1圆半径长R；2中心A的坐标a,b，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定如下图。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：（x-a）2+（y-b）2=R2。
当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x2+y2=R2。
圆的定义
在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
圆形一周的长度，就是圆的周长。
能够重合的两个圆叫等圆，等圆有无数条对称轴。
圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
圆的一般方程和标准方程知识题型总结
圆的方程一、圆的标准方程确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
二、探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.三、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y aa -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠四、圆的一般方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② 这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=五、圆的一般方程的特点：(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
圆的标准方程和一般方程圆的方程的三种形式确定圆的方程的方法和步骤
一、圆的方程的三种形式圆的方程有两种形式，分为标准方程、一般方程。
圆的标准方程形式为：（xa）^2+（yb）^2=r^2。
圆的一般方程形式为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比来看，其实D=2a，E=2b，F=a^2+b^2r^2。
二、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：（xa）²+（yb）²=R²。
圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²4F＞0）。
标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：（xa）²+（yb）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²2ax2by+a²+b²R²=0设D=2a，E=2b，F=a²+b²R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（xa1）（xa2）+（yb1）（yb2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0·x+b0·y=r²。
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圆的标准方程
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
圆心坐标C(a,b) 圆的半径 r O
M r C
x
注：标准方程明确给出了圆心坐标和半径。
精品课件
预设习题
回答下列圆的圆心坐标和半径：
C1:x2y25 (0,0)
5
C 2:(x3)2y24(23,0) r = C3:x2(y1)22(0,-1) , r = 2
(1)表示原点(0,0).
2 表示 1 ,圆 2 ,半 心 径 1的 1 为 .为 圆 3当a,b不 同 0时 时,表 为示 圆 a 心 ,0,为
半 径a为 2b2的 圆 .
当a,b同 时 0时 为 ,表 精品课件示原 0,0.点
变式训练二
求以 c(1,3) 为圆心并且和直线3x4y70
相切的圆的方程
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方
程
方法三：
y
A(5,1)
几何方法
O
x
E
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点精品课件 半径：圆心到圆上一点
质疑再探
精品课件
小结
1. 本节课的主要内容是圆的标准 方程和一般方程,其表达式为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
圆的标准方程 和一般方程
精品课件
创设情境 引入新课
一石激起千 层浪
奥运五 环
精品课件
乐在其 中
福建土 楼
小憩片
精品课件
阅读教材78-80，并思考下列问题： 1.圆的标准方程有何形式？怎样推导？有何特 点？ 2.圆的一般方程有何形式？有何特点？有何限 制条件？ 3.圆的标准方程和一般方程有哪有区别和联系？
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
(xD 2)2(yE 2)2D 2E 424F.
圆的一般方程与标准方程的关系： （1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E2 4F
2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不ห้องสมุดไป่ตู้于0；
②没有xy这样的精品二课件 次项
变式训练一
已知圆 x2y2Dx E yF0 的圆 心坐标为(-2,3),半径为4,则 D,E,F分别等于 （）
(A)4,6,3
(B) 4,6,3
(C) 4,6,3 (D)4,6,3
D
精品课件
预设习题：
下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0________. (2)x2 y2 2x4y60____. (3)x2 y2 2axb2 0________.
x2 y2 DxEyF0 D2 E2 4F0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
配方
一般方程 展开
标准方程(圆心,半径)
精品课件
精品课件
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
D 4
72 (1)2 7DE F 0
E
6
22 82 2D8E F 0
F 1 2
所求圆的方程为
x2y24x6y120 待定系数法
即 (x2)2(y3 精)品2 课件25
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法二：待定系数法
C 4:(x 2 )2 (y 1 )2 3
(-2,1) , r = 3
精品课件
变式训练一
求满足下列条件的圆的方程：
(1)已知点A（2，3），B（4，9）, 圆以线段AB为直径 ；
(2)圆心为(0,-3)，过(3,1);
(3)圆过点(0,1)和（0，3），半径等于1；
（1） (x-3)2+(y6)2=10
精品课件
小组展示与评价分工：
要求：
1、展示同学注意要迅速、准确、规范；非展示同学讨论完结 束后，根据讨论的情况，再补充完善；
2、评价同学注意语言简洁、思路清晰；重点点评优缺点及总 结方法规律；
3、其他同学做好笔记、认真思考，提出疑问的加倍奖分.
精品课件
知识点拨：
圆的标准方程
圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
（2） x（2+3）(y+x32+)2(y=-225)2 = 1
精品课件
小组展示与评价分工：
要求：
1、展示同学注意要迅速、准确、规范；非展示同学讨论完结 束后，根据讨论的情况，再补充完善；
2、评价同学注意语言简洁、思路清晰；重点点评优缺点及总 结方法规律；
3、其他同学做好笔记、认真思考，提出疑问的加倍奖分.
精品课件
想一想，是不是任何一个形如
x2y2D xEyF0
的二元二次方程表示的曲线都是圆？
将上式配方整理可得
(xD 2)2(yE 2)2D2E 424F.
精品课件
(1 )当 D 2E 24F0 时 ,
方 程 x2y2D xEyF0表 示 以 点 (D 2,E 2)为 圆 心 ，
1 D 2E24F为 半 径 的 圆 . 2
(2 )当 D 2E 2 4 F0 时 ,
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 表 示 点 ( D 2 , E 2 )
(3 )当 D 2E 2 4 F 0 时 ,
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 不 表 示 任 何 图 形 .
精品课件
圆的一般方程与标准方程：
解： 圆与直线 3x4y70 相
切
∴圆心 C1,3 到3x4y70 的距离
31437 16
d r
3242 5
∴圆的方程为
2
x1
y精 品3课件222556
2：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
x 2 y 2 D x E y F 0 ( D 2 E 2 4 F 0 )
解：设所求圆的方程为：
(xa)2(yb)2r2(r0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r2 (7 a)2 (3 b)2 r2 (2 a)2 (8 b)2 r2
所求圆的方程为
a2
b
3
r 5
(x2)2(y3)22精5品课件