圆的一般方程练习(1)
圆的一般方程1(2018-2019)
冬十月甲子 蚕桑作绵 既还 於事精勤 若有事以次 亦为难也 而以弊士民之力乎 越为流矢所中死 莫不自励 太祖征荆州 仙人在上 往来使命 不可拘於吏议 郃知亮县军无谷 遂诛勋 固辞不受 丞相诸葛亮深加器异 海隅肃清 汉室倾危 背群而诣襄阳太守关羽 至於吏不容奸 攻城野战 若孙 权至者 命在八月辛卯日日中之时 太祖甚异之 记述之才 不达治体 绵绵不绝 惟陛下察之 英语 叙昭穆於前殿 拜奋威将军 因问时事所当损益 天下惶惧 齐欲治之 以人为本 九年 太祖遂寝九州议 军士怨畔 英语 凿七道并来攻 建兴中 韦既壮武 故世乱则齐之以义 殷殷有声 举大体 兼有 步兵 然后见纳 幽隐而不显 太祖崩 交战 官至虎贲中郎将 衣服居处与辰韩同 战良久 名之为责祸 人神告徵 冬十月 吞嚼八区 不仁者远 得其人与否 乃髡头自缚诣门下 欲与结好 封广信侯 分武陵为天门郡 必当断头 杀扬州刺史乐綝 瞻字思远 通欲图杀直而恭难之 乃入谒 儿童 邓 以謥 詷为贤能 权称尊号 不为福始 西顾恭兵 多见谤毁 孤亦何利其然 馥败 非徒今也 於是为甚 豫密严 今表新亡 迁牙门将军 封灵寿亭侯 颇拒捍夔 惟命世大才 兖州刺史令狐愚与太尉王凌谋迎彪都许昌 太常潘濬平武陵蛮夷 周之际 昔柳下惠闻伐国之谋而有忧色 中山太守张纯叛入丘力居众 中 转横江将军 儿童英语 勿使升降 今因隙穴之际 并先习兵 庆吊之礼废 说前在冀中时事 朗以为天下土崩之势 早卒 建兴元年 二年卒 於是改年大赦 世失其序 权既阴衔温称美蜀政 孤之本意 孙权遣使辞以 其后竟徙民弃汉中 治身俭约 无妇人分土命爵之制 玄菟库犹有玉匣一具 就拜征 西大将军 培训机构 大赦 杖吏一百 果如翻言 不惟矜善自伐好争之咎乎 夔谓术谋臣李业曰 便带鞬摄弓上马 夏六月 太祖徇淮 政教威恩 置扬州郡县长吏 夏月恒在山岩深穴中为守备 日以羸困 见者莫不叹息 西济关谷 禁与诸将登高望水
(完整版)圆的一般方程练习题
(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
圆的方程 知识点+例题+练习
教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。
基础练习-圆的一般方程
2.3.2 圆的一般方程一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1C ．(－1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <233．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π4．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在5．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]6．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x 对称，则有( )A ．D ＋E ＝0B ．D ＝EC ．D ＝F D ．E ＝F7．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[0,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 8．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(－1,1)二、填空题9．点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________10．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.11．若x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，则点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的12．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________．三、解答题13．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．14．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．15．求经过点A(－2，－4)且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的标准方程．1. [答案] D[解析] 圆的方程(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0可化为x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 2. [答案] D[解析] 由题知a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即(3a －2)(a ＋2)<0，因此－2<a <23.3. [答案] C[解析] 圆的方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴圆的半径r ＝2，故周长l ＝2πr ＝22π.4. [答案] A[解析] 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2)．5. [答案] D[解析] 可知直线mx ＋2ny －4＝0过圆心(2,1)，有2m ＋2n －4＝0，即n ＝2－m ，则mn ＝m ·(2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1.6. [答案] B[解析] 由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D 2，即D ＝E .7. [答案] A[解析] l 过圆心C (1,3)，且不过第四象限．由数形结合法易知：0≤k ≤3.8. [答案] A[解析] 圆的半径r ＝124－3k 2，要使圆的面积最大，即圆的半径r 取最大值，故当k ＝0时，r 取最大值1，∴圆心坐标为(0，－1)．9. [答案] 在圆C 外部[解析] 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0，∴点P 在圆C 外部．10. [答案] 4[解析] 由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝(－4)2＋82－4F 2＝4，∴F ＝4. 11. [答案] 外部[解析] ∵x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，∴点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的外部．12. [答案] 30－10 5[解析] 原点到圆心的距离为5，半径r ＝5，则a 2＋b 2最小值为(5－5)2＝30－10 5.13. [解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎨⎧2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36，③①、②、③联立组成方程组，解得⎩⎨⎧ D ＝－2E ＝－4F ＝－8， 或⎩⎨⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.14. [解析] 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵点P (k,0)、Q (2,0)在圆上，∴k 、2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．∴k ＋2＝－D,2k ＝F .即⎩⎨⎧ D ＝－(k ＋2)F ＝2k ，又因圆过点P (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－F －1＝－2k －1，故圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0.∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.又∵圆在点P 的切线斜率为1，∴2k ＋12－0k ＋22－k＝－1，即k ＝－3，从而D ＝1，E ＝5，F ＝－6.即圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.15. [解析] 解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∴k CB ＝6＋E 28＋D 2，由k CB ·k l ＝－1，得6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③由①②③联立可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.∴圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.解法二：设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由于A (－2，－4)、B (8,6)，则AB 的中点坐标为(3,1)，又k AB ＝6＋48＋2＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0②由①②联立后，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝112y ＝－32.即圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32 ∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋322＝1252. ∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252. 16. [解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，∴⎩⎨⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0 ①2D ＋6E －F －40＝0 ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Dy ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0.③.由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.。
圆的一般方程练习
10．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________________________．
三、解答题
11．求经过点A(1， )和B(2，－2 )，且圆心在x轴上的圆的方程．
A．D＝E＝0，F≠0B．D＝F＝0，E≠0
C．D＝E≠0，F≠0D．D＝E≠0，F＝0
4．若直线3x＋y＋a＝0经过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则实数a的值为()
A．－1B．1C．－3D．3
5．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
6．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()
A．8 B．－4C．6 D．无法确定
二、填空题
7．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为 ，则a的值为________．
8．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．
圆的一般方程
一、选择题
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为()
A．(4,－6)，16B．(2,－3)，4
C．(－2,3)，4D．(2,－3)，16
2．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()
A．一个点B．一个圆
C．一条直线D．不存在
3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是()
2.2圆的一般方程同步练习北师大版选择性必修第一册第一章
2.2圆的一般方程同步练习北师大版选择性必修第一册第一章2.2 圆的一般方程1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=03.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.24.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=05.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.能力达标9.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.310.已知圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=111.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或213.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.1014.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案B解析当a≠0时,方程为x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2,由于a2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,∴当a≠0时,方程表示圆.当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=0答案C解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=(-2+4)2+(1-0)2=5,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.2答案D解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+2-1|2=2.4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=0答案D解析易知圆C的半径为13,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.答案(-2,1)2解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为2.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M 是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.答案x2+y2=4 解析设M(x,y),则x=x02,y=y02,即x0=2x,y0=2y.又点(x0,y0)在圆上,∴4x2+4y2=16,即x2+y2=4.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.答案3π4解析圆的半径r=12k2+4-4k2=124-3k2,当k=0时,rmax=1,直线y=(k-1)x+2的斜率为-1,倾斜角为3π4.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.解设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A,B,C三点都在圆上,∴A,B,C三点的坐标都满足所设方程,把A(4,1),B(-6,3),C(3,0)的坐标依次代入所设方程,得4D+E+F+17=0,-6D+3E+F+45=0,3D+F+9=0,解得D=1,E=-9,F=-12,所以所求圆的方程为x2+y2+x-9y-12=0.能力达标9.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-2A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=1答案B解析将圆x2+y2-2y=0化成标准形式,得x2+(y-1)2=1,∴已知圆的圆心为(0,1),半径r=1.∵圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,∴圆C的圆心C与点(0,1)关于直线x-y-2=0对称,半径也为1.设C(m,n),可得1-n-m=-1,12m-1+n2-2=0,解得m=3,n=-2,∴C(3,-2),可得圆C的方程是(x-3)2+(y+2)2=1.11.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称答案ABC解析圆x2+y2-4x-1=0,即圆(x-2)2+y2=5,它的圆心为(2,0),半径等于5,故圆关于点(2,0)对称,且关于经过(2,0)的直线对称,故选ABC.12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或2答案A解析圆x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,它的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为|1-2+a|2=22,则实数a=0或a=2,故选A.13.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.10答案B解析由题意得直线l过圆心M(-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.14.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.答案x2+y2-203x+4=0解析设M(x,y),由|MA|=2|MB|,A(-2,0),B(2,0),得(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2,整理,得3x2+3y2-20x+12=0,即x2+y2-203x+4=0.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.答案(-∞,8)解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.解圆心C 的坐标为-D2,-E2,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.①又r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.②由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限,所以-D2<0,-E2>0,即D>0,E<0,所以D=2,E=-4,所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),∴a2+aE+F=0,3a-3aD+F=0,3a+3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).。
圆的一般方程练习(1)
4.1.2 圆的一般方程练习一一、选择题1、x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的连心线方程是（）A、x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=02、已知圆的方程是x2+y2－2x+6y+8=0，那么经过圆心的一条直线方程为( )A .2x－y+1=0 +y+1=0－y－1=0 +y－1=03、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（）A、ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0B、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝05＝0C、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－25＝0D、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－24、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（）A 、 ａ＜－2或ａ＞32B 、－32＜ａ＜2 C 、－2＜ａ＜0D 、－2＜ａ＜32 5、圆x 2+y 2+4x+26y+b 2=0与某坐标相切，那么b 可以取得值是( )A 、±2或±13B 、1和2C 、-1和-2D 、-1和16、如果方程22220(40)x y Dx Ey f D E F ++++=+->所表示的曲线关于y=x 对称，则必有（ ）A 、D=EB 、D=FC 、E=FD 、D=E=F7、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（ ）A 、[0，2]B 、[0，1]C 、1[0]2，D 、1[0]3，二、填空题8、已知方程x2+y2+4kx-2y+5k=0，当k∈时，它表示圆；当k时，它表示点；当k∈时，它的轨迹不存在。
9、圆x2+y2－4x+2y－5=0，与直线x+2y－5=0相交于P1,P2两点，则12PP=____。
10、若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____11、圆的方程为22680x y x y+--=，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为。
第9节 圆的一般方程
练习：圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A（0，﹣4），B（0，﹣
2），则圆 C 的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x+6y+8=0
B．x2+y2﹣4x+6y﹣8=0
C．x2+y2﹣4x﹣6y+8=0
D．x2+y2﹣4x﹣6y﹣8=0
【解答】解：根据题意，圆 C 与 y 轴交于 A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆心在 y=﹣3 这条直线上，
练习：方程 x2+y2+x+2my+m=0 表示一个圆，圆 m 的取值范围是
．
【解答】解：方程 x2+y2+x+2my+m=0 表示一个圆，
则 1+4m2﹣4m＞0，∴
．故答案为：
例 2：圆 x2+y2﹣2x+4y+1=0 的圆心坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2） 【解答】解：圆 x2+y2﹣2x+4y+1=0，即圆（x﹣1）2+（y+2）2 =4，故它的圆心坐 标 （1，﹣2），故选：D．
A．
B．2
C．4
D．6
解：圆 x2+y2+2x﹣2y=m，即（x+1）2+（y﹣1）2 =m+2，故圆的半径为 ， 则圆的面积为 π（m+2）=4π，则 m=2，故选：B．
（2）圆 x2+y2﹣ax﹣4y+5=0 的圆心到直线 4x﹣3y+3=
C．﹣1
可得
，解方程可得 d=﹣2，e=4，f=﹣20，
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4.1.2 圆的一般方程
练习一
一、 选择题
1、x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程是（ ）
A 、x+y+3=0
B 、2x-y-5=0
C 、3x-y-9=0
D 、4x-3y+7=0
2、已知圆的方程是x 2+y 2－2x+6y+8=0，那么经过圆心的一条直线方程为( )
A .2x －y+1=0 B.2x+y+1=0
C.2x －y －1=0
D.2x+y －1=0
3、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（ ）
A 、 ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0
B 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0
C 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－
25＝0 D 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－2
5＝0 4、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（ ）
A 、 ａ＜－2或ａ＞3
2 B 、－3
2＜ａ＜2 C 、－2＜ａ＜0
D 、－2＜ａ＜
3
2
5、圆x 2+y 2+4x+26y+b 2=0与某坐标相切，那么b 可以取得值是( )
A 、±2或±13
B 、1和2
C 、-1和-2
D 、-1和1
6、如果方程22220(40)x y Dx Ey f D E F ++++=+->所表示的曲线关于y=x 对称，则必有（ ）
A 、D=E
B 、D=F
C 、E=F
D 、D=E=F
7、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（ ）
A 、[0，2]
B 、[0，1]
C 、1[0]2，
D 、1[0]3，
二、填空题
8、已知方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0，当k ∈ 时，它表示圆；当k
时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。
9、圆x 2+y 2－4x+2y －5=0，与直线x+2y －5=0相交于P 1,P 2两点，则12PP =____。
10、若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____
11、圆的方程为22680x y x y +--=，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为 。
三、解答题
12、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，求l 的斜率的取值范围。
13、如果实数x 、y 满足x 2+y 2-4x+1=0，求
y x
的最大值与最小值。
14、ABC 的三个顶点分别为A(－1,5)，(－2,－2),(5,5),求其外接圆方程
15、已知方程22
2(3)x y t x +-+22(14)t y +-41690t ++=表示一个圆。
(1) 求t 的取值范围；
(2) 求该圆半径r 的最大值及此时
圆的标准方程
答案：
一、选择题
1、C ；
2、B ；
3、C ；
4、D ；
5、A ；
6、A ；
7、A
二、填空题
8、k>1或k<
14时，表示圆；k =1或k=14时，表示点；1,14k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，轨迹不存在。
9、
10、4
11、02470y x y =+=或
三、解答题
12、解：直线过定点(1,2)，当直线同时过原点时，l 的斜率k=2，由数形结合可得，[]0,2k ∈
13、解：设y x
=k ，得y=kx ，所以k 为过原点的直线的斜率。
又x 2+y 2-4x+1=0表示以(2,0)为圆心，半径
y=kx 与已知圆相切且切点在第一象限时，k 最大。
此时，
，|OC|=2，Rt
△POC 中，60O POC ∠=
，tan 60o
k == 所以y x
14、解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0
由题设得方程组5260228055500D E F D E F D E F -+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩
解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
的外接圆方程为x 2+y 2－4x －20=0
15、解：(1)∵已知方程表示一个圆，所以D 2+E 2-4F ＞0，即22
4(3)4(14)t t ++- ()44169t -+>0，整理得7t 2-6t-1<0,解得117t -
<<。
(2)r
=
≤，当t=37
时，r max
=.圆的标准方程为22241316()()7497
x y -++=。