《圆的一般方程》教学设计(优质课)
《圆的一般方程》教学设计和教案
《圆的一般方程》教学设计和教案教学设计教学目标：1.知识目标：掌握圆的一般方程的概念和求解方法；2.能力目标：能够正确理解和应用圆的一般方程解决相关问题；3.情感目标：培养学生对几何图形的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
教学内容：1.圆的一般方程的定义和性质；2.使用圆的一般方程解决相关问题；教学步骤：Step 1 引入新知1.引导学生回顾圆的定义和性质，并回忆圆的直角坐标的一般方程；2.提出一个问题：“如何表示任意圆的方程？”引导学生思考。
Step 2 探究圆的一般方程1.结对讨论，指导学生以模仿法找出圆心在原点的圆的一般方程，并让学生将结论进行总结；2.通过实例引导学生进一步推广到圆心不在原点的情况，让学生发现圆的一般方程的一般表达形式。
Step 3 练习巩固1.给学生提供一些圆心在不同位置的圆的方程，让学生推算出对应的方程；2.带领学生分析和讨论解题过程，并纠正学生可能出现的错误。
Step 4 拓展应用1.引导学生思考如何利用圆的一般方程求圆的切线和法线；2.分组合作，让学生收集相关问题并解答；3.学生展示解题过程和结果，并带领全班讨论。
Step 5 总结归纳1.小组成员合作撰写一篇关于圆的一般方程的总结性文章；2.整理学生的思路，总结圆的一般方程的概念和方法，以及应用。
Step 6 练习检测1.布置一些练习题，让学生独立完成；2.教师检查学生的答题情况，并与学生一起讨论解题过程中的疑问。
Step 7 总结反思1.学生回顾所学内容，自评自己的学习效果，并写下自己的学习感想；2.教师对本节课进行总结和反思，并对学生的学习进行评价。
教案教案一：圆的一般方程的引入教学目标：明确圆的一般方程的定义和性质。
教学步骤：Step 1 引入新知1.引导学生回归几何的基本概念，复习圆的基本定义和性质；2.引出一个问题：“如何用方程表示圆？”Step 2 引入问题1. 使用ppt展示一个以原点为圆心的圆，采用不同的半径和圆心坐标方程；2.让学生思考圆的方程与圆的性质之间的关系。
高中数学教师资格面试《圆的一般方程》教案（5篇）
高中数学教师资格面试《圆的一般方程》教案（5篇）第一篇：高中数学教师资格面试《圆的一般方程》教案2015山西教师招聘考试高中数学教师资格面试《圆的一般方程》教案一、教学目标【知识与技能】在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件。
【过程与方法】通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究，学生探索发现及分析解决问题的实际能力得到提高。
【情感态度与价值观】渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
二、教学重难点【重点】掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。
【难点】二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。
三、教学过程(一)复习旧知，引出课题1.复习圆的标准方程，圆心、半径。
2.提问1：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么?(二)交流讨论，探究新知1.提问2：方程x2 +y2-2x+4y+1=0是什么图形?方程x2 +y2-2x-4y+6=0表示什么图形?任何圆的方程都是这样的二元二次方程吗?(通过此例分析引导学生使用配方法)2.方程x2 +y2 +Dx+Ey+F=0什么条件下表示圆?(配方和展开由学生相互讨论交流完成,教师最后展示结果)将x2 +y2 +Dx+Ey+F=0配方得：山西教师资格面试考试山西特岗教师考试2015山西教师招聘考试3.学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。
从而得出圆的一般方程是：x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)4.由学生归纳圆的一般方程的特点，师生共同总结。
(三)例题讲解，深化新知例1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是，请求出圆的圆心及半径。
例2.求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
(完整版)圆的一般方程教案(正式)
人教A版高中数学实验教科书选修2 —1 《圆的一般方程》教案4.2.1圆的一般方程•教学目的与要求一、知识目标：（1）理解记忆圆的一般方程的代数特征。
（2）掌握方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆的条件。
二、能力目标：（1）能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。
（2）能应用待定系数法求圆的一般方程。
（3）能应用代入法求一般曲线的方程。
（4）培养探索发现及分析解决问题的能力。
三、情感目标：（1）培养学生勇于探索的精神。
（2）渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。
•教学重点圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程的步骤•教学难点圆的一般方程和代入法的掌握、应用•教学方法师生合作式探究诱导启发式教学•教学辅助多媒体教学平台CAI课件•教学过程与时间分配一、复习提问，引入课题二、探索研究，讲授新课三、例题讲解，对应练习四、课堂小结，反馈回授五、分层作业，巩固提高（3分钟）（22分钟）（16分人教A 版高中数学实验教科书选修 2 — 1 《圆的一般方程》教案教学基本内容设计意图 -2 -一、 复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0), (1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识, 最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很 麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提 问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究 圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、 探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程： 2 2 2、 ,(x a) (y b) r 、圆心(a ， b)、半径 r这个方程就是圆的方程•反过来给出一个形如x 1 2 y 2 Dx Ey F 0的方程，它表 示的曲线一定是圆吗？把x 2 y 2 Dx Ey F 0配方得： 2 2 2Do. E 2 D E 4F (x —) (y )-------------------4【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
高中数学教师资格面试《圆的一般方程》教案
高中数学教师资格面试《圆的一般方程》教案一、教学目标1. 知识目标：掌握圆的一般方程的概念、性质及其应用。
2. 技能目标：能够利用圆的一般方程解决实际问题。
3. 情感目标：通过本课的学习，学会感受数学美，提高数学学科素养。
二、教学内容1. 圆的一般方程的定义。
2. 圆的一般方程的性质（方程的标准形式、圆心及半径的求解）。
3. 利用圆的一般方程解决实际问题。
三、教学重点和难点1. 圆的一般方程的标准形式的求解和圆心半径的求解。
2. 圆的一般方程的应用。
四、教学过程1. 导入新课（5分钟）通过导入相关的数学问题，激发学生学习本课的兴趣，引导学生对本课内容感兴趣。
2. 课堂讲解主体（35分钟）（1）讲解圆的一般方程的定义及标准形式。
（2）讲解圆的一般方程的性质（圆心及半径的求解）。
（3）讲解圆的一般方程的应用。
3. 讲解结束，小结复习（10分钟）回归本课的内容要点，向学生总结本节课的知识点。
同时，老师可以针对学生提出的问题进行一些讲解，并引导学生完成相关的习题。
4. 课后作业（10分钟）要求学生结合本节课讲解的内容完成课后作业，并留下需要在下节课讨论的问题。
五、教学方法1. 演示法2. 讨论法3. 课堂互动法六、教学资源1. 教材及教辅材料2. 多媒体设备3. 白板、彩笔七、教学评价1. 考勤记录2. 课堂表现评价3. 课后作业完成评价4. 错误习题纠正评价八、教学安排本课程安排两个课时，第一课时为理论讲解和部分实例演示，第二课时为实例讲解和习题课。
圆的一般方程(教学设计)
《圆的一般方程》教案设计一、学情分析:圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，是研究二次曲线的开始。
这里主要是用解析法研究它的方程及与其它图形的位置和应用。
但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，学生在探究问题的能力方面比较薄弱。
因此，根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认识结构，我特制定如下教学目标。
二、教学目标： 1、知识与技能目标：（1）将圆的标准方程(x –a)2+(y –b)2=r 2，展开得x 2+y 2–2ax –2by+a 2+b 2–r 2=0——①令D=–2a ，E=–2b ，F=a 2+b 2–r 2，则①式可写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，从而得到圆的一般方程及其方程特点，同时也让学生掌握了这一知识点。
（2）通过设问：是不是任何一个形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆？将方程配方得(x+D 2)2+(y+E 2)2=D 2+E 2–4F 4，对比圆的标准方程：(x –a)2+(y –b)2=r 2，让学生学会能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出其圆心(–D 2，–E2)，r=D 2+E 2–4F 2。
（3）通过例2，培养学生能用待定系数法来求圆的方程。
（4）通过例3，提高学生用坐标法求动点轨迹方程的通知。
2、过程与方法目标：通过展开圆的标准方程(x –a)2+(y –b)2=r 2导出圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0这一过程加深了学生在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，培养了学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度，通过例1、例3补充题的练习，培养学生数形结合思想、方程思想，提高学生分析问题和解决问题的能力，同时学生用代数方法研究几何问题的能力也得到了一定的提高。
3、情感、态度与价值目标：由学生动手，展开圆的标准方程：(x–a)2+(y–b)2=r2得x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0中令D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0——①，由学生分组讨论得出方程①表示圆的条件，圆的一般方程形式以及圆的一般方程与标准方程的转化和关系，培养了学生勇于思考问题，主动探究知识和合作交流的价值，同时在探讨中也激发了学生的学习兴趣，因此这一过程体现了情感、态度和价值目标。
《圆的一般方程》优质课比赛教案
《圆的一般方程》教案 一．教学目标1.使学生掌握圆的一般方程和圆的一般方程的特点2.能熟练掌握圆的一般方程与圆的标准方程的互化3.灵活应用待定系数法求圆的方程 二．教学重点1.圆的一般方程的特征及其应用2.由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；3.能用待定系数法，由已知条件求出圆的方程． 三.教学难点圆的一般方程的特征及应用 四.教学过程 1、新课引入：上一节学习了圆的标准方程: (x －a)2＋(y －b)2=r 2， 圆心(a ，b)，半径r ．提问：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么？ （生答）(x －1)2＋(y+2)2=4将它展开得014222=++-+y x y x ，这是一个二元二次方程。
任何圆的方程都是这样的二元二次方程吗？ 把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0． 可见任何一个圆的方程都可以写成下面的形式022=++++F Ey Dx y x ① 这说明圆的方程就是一个二元二次方程。
反过来，形如022=++++F Ey Dx y x 的方程一定表示圆吗？这就是今天所要探讨的内容:圆的一般方程.(书写课题) 2、讲授新课：我们先来判断两个具体的方程是否表示圆？（师生互动）642)2(0142)1(2222=+--+=++-+y x y x y x y x结论：不一定表示圆（通过此例分析引导学生使用配方法）追问:022=++++F Ey Dx y x 满足什么条件时表示圆? （让学生相互讨论后,由学生总结）将 022=++++F Ey Dx y x 配方得44)2()2(2222FE D E y D x -+=+++(1)当0422>-+F E D 时，此方程表示以（-2D，-2E ）为圆心,FE D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，此方程只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当0422<-+F E D 时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆,只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把方程022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )称为圆的一般方程与一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 比较 我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．（举例：091244422=++-+y x y x ） ②没有xy 这样的二次项 请学生思考并回答:二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是040022>-+=≠=AF E D B C A 且且问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?3、例题讲练例1：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
圆的一般方程(优质课)
解：[方法二]
P O
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 )
x2 + y 2 - m = 0 x + y -1 = 0
Q
2x - 2x + (1 - m) = 0
2
同理y1 y2 = 1- m 2
1- m x1 x2 = 2
OP OQ
x1 x2 + y1 y2 = 0 (2)
将
2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y
左边配方，得
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x+ ) + (y+ ) = 4 2 2
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
2 2
它表示以
D E , 2 2
为圆心,
D + E 4 F 以 r= 2
为半径的圆;
2
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
62 - 4 (-9) 0 该曲线为圆.
直译法
举例 例3：
已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x + 1) + y = 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
练习
x + y - 8x - 6 y + 21 = 0
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 D 2 + E 2 - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
《圆的一般方程》教学设计与反思
《圆的一般方程》教学设计与反思一、教材分析：《圆的一般方程》是解析几何的内容，是在学习了直线方程后，继圆的标准方程之后学习的，圆是一种特殊的曲线。
在现行职业学校的教材中，圆是唯一一种必修的曲线，也是职业学校学生认识曲线和方程的途径，在解析几何中占有重要的地位。
二、学情分析：对于职业学校的学生来说，数学属于“难攻”的科目，基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。
因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。
三、教学目标：（一）知识与技能：1．理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准方程化为一般方程；2．明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；3．逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程．（二）过程与方法：1.从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；2.随着探索研究的不断推进，逐步让学生发现圆的一般方程的特点，培养学生观察、归纳能力；3．通过一题多解，培养学生发散思维；4．在合作交流中采用问题呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神．（三）情感态度与价值观：借助于多媒体课件，让学生感受数与式之间的内部的和谐美，提高学习数学的兴趣．四、教学重点：1.圆的一般方程的形式；2.在圆的一般方程中，求圆心坐标和半径.五、教学难点：用配方法求圆心坐标和半径.六、 教学过程：教学环节教师活动预设学生活动 设计意图 一、复习回顾： 1．圆的标准方程 2．写出圆心为（2，-1），半径为3的圆的标准方程 二．探索研究： 1.问题引入： 方程(x-2)2+(y+1)2=9为几元几次方程？ （展开整理） 2．将圆的标准方程展开整理： (x-a)2+(y-b)2=r 2⇒x 2+y 2-2ax-2by+(a 2+b 2-r 2)=0 令D=-2a ，E=-2b ，F= a 2+b 2-r 2，则 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 注意： ①圆的方程是二元二次方程； ②x 2、y 2的系数相等；③不含xy 项。
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圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F .教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A(0，0)，B (1，1)，C(4，2)的圆的方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+(y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2–r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey +F= 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得22224()()224D E D E Fx y+-+++=②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2– 4F＞0时，方程②表示以(,)22D E--为圆心，整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.22142D E F +-为半径的圆；（2）当D 2 + E 2 – 4F = 0时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，即只表示一个点(,)22D E--； （3）当D 2 + E 2 – 4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 应用举例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0 （2）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x 2 + y 2 – x + 3y +94= 0 D = –1，E =3，F =94. ∵D 2 + E 2 – 4F = 1＞0学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，94F =通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决∴此方程表示圆，圆心（12，32-），半径r =12.（2）将原方程化为x2 + y2 –x + 3y +114= 0D = –1，E =3，F =114. D2 + E2– 4F = –1＜0∴此方程不表示圆. 而不是D= –4，E=12，F = 9.问题的能力.例2 求过三点A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1．根据题设，选择标准方程或一般方程.2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.解此方程组，可得：D = –8，E =6，F = 0 ∴所求圆的方程为：x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0221452r D E F =+-=； 4,322D F-=-=-. 得圆心坐标为(4，–3).或将x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2 = 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以0043,22x y x y ++==，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4，即 (x 0 + 1)2 + y 02 = 4 ② 把①代入②，得(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程.备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax– 2ay = 0 (a≠0).【解析】（1）因为D＝ 1，E＝ 0，F＝ 1，所以D2 + E2– 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D＝ 2a，E＝ 0，F＝a2，所以D2 + E2– 4F＝ 4a2– 4a2 = 0，所以方程（2）表示点(–a，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2 – 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a-，半径|r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2 + Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)， 又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a |.② ③222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2 – 5a + 5 = 0， 解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r ==故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y 2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4 + 9 = 0表示一个圆，求 （1）t 的取值范围； （2）该圆半径r 的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0 即7t 2 – 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<。