4.1.2圆的一般方程(教案)
教学设计5：4.1.2 圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程教学目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.知识梳理知识点 圆的一般方程1.圆的一般方程当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程.2.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形教学案例题型一 圆的一般方程的理解例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径.解 由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m <15， 即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. 圆心坐标为(－m ,1)，半径为1－5m .反思感悟 形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1 (1)若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )A.m <12B.m >12C.m <0D.m ≤12 【答案】A【解析】因为x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则1＋1－4m >0，所以m <12. (2)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的半径和圆心坐标分别为( )A.r ＝1，(－2,1)B.r ＝2，(－2,1)C.r ＝2，(2，－1)D.r ＝1，(2，－1) 【答案】D【解析】x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r ＝1，(2，－1).题型二 求圆的一般方程例2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1).(1)求△ABC 的外接圆的一般方程；(2)若点M (a ,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值.解 (1)设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋(－1)2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0，∵点M (a ,2)在△ABC 的外接圆上，∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0，即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6.反思感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .跟踪训练2 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.解 方法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ② 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根，∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.④联立①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.方法二 (几何法)由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0，∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，设其坐标为(a ，a －1).又圆C 的半径长r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2. (*)由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |，∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322， 代入(*)式整理得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5，∴r 1＝13，r 2＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.求动点的轨迹方程典例 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，点B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设线段AP 的中点M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x 0，y 0)，∵⎩⎨⎧ x ＝2＋x 02，y ＝0＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y . 又P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，∴(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[素养评析] (1)求与圆有关的轨迹问题的方程①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.②定义法：根据圆、直线等定义列方程.③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.(2)理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，是数学运算的数学核心素养的体现. 课堂小结圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件.求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质. 达标检测1.圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为( )A.(4，－6)，16B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4D.(2，－3)，16【答案】C2.已知圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.2x ＋y ＋1＝0C.2x －y －1＝0D.2x ＋y －1＝0【答案】B 【解析】圆心坐标为(1，－3)，检验知2x ＋y ＋1＝0过圆心(1，－3).3.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的面积为( )A.8πB.4πC.2πD.π【答案】C【解析】原方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴半径r ＝2，∴圆的面积为S ＝πr 2＝2π.4.若点M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0内一点，则过点M (3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )A.x ＋y －3＝0B.x －y －3＝0C.2x －y －6＝0D.2x ＋y －6＝0 【答案】C【解析】圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M (3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k ＝2－04－3＝2，可知C 正确. 5.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程.解 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2， 于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.。
4.1.2 圆的一般方程教案
4.1.2 圆的一般方程教案一、教学目标：(一)知识目标1.了解掌握圆的一般方程的结构特征.能熟练掌握一般方程与标准方程互化。
2.运用待定系数法,由已知条件导出圆的一般方程。
(二)能力目标1.掌握圆的一般方程,分析一般方程的特点.2.培养用配方法求圆心和半径,以及用待定系数法由已知条件导出圆的方程的能力。
(三)德育目标渗透化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质激励学生创新、勇于探索。
二、教学重点及难点教学重点:(1)用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．(2)用待定系数法求圆的方程．教学难点：圆的一般方程特点的研究．三、教学方法：启发式教学法，从而使学生自己发现规律.四、教学过程：【课题导入】（5分钟）1、思考：直线方程有哪几种形式？2、回顾圆的标准方程：以(a,b)为圆心，r 为半径的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-3、探究：展开下列圆的标准方程，你能发现什么规律？_________________________________________________4、思考1： 展开式为02222222=-++--+r b a by ax y x由于a,b,r 都为常数，不妨设F r b a E b D a =-+=-=-222,2,2那么它又可以化成下面的形式：022=++++F Ey Dx y x ………………①那么，是不是形如①式的方程表示的曲线也是圆呢？16)4()3)(2(9)1()1)(1(2222=-++=-+-y x y x 特点？比较，这些方程有什么式与二元二次方程一般形022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 化成统一形式：这些圆的标准方程都能这种形式吗？可以化成都）（任何一个圆的标准方程0()22222=++++=-+-F Ey Dx y x r b y a x【新课讲解】（10分钟）共同讨论分析：如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？ 配方后整理得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ………………② 显然方程②是不是圆的方程与422F E D -+是什么样的数密切相关.〔教师〕总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也下面举一些例题来加以分析（大约10分钟）例1：下列方程各表示什么图形？例2：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程。
4.1.2圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程教学目标1.正确理解圆的一般式方程及其特点，会求圆的一般方程；2.熟练圆的一般式方程与标准方程的互化；3.初步掌握求动点的轨迹方程的思想方法。
教学重难点重点：根据圆的一般方程，熟练地求出圆心和半径。
难点：能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程。
复习回顾：圆的标准方程是什么？思考：若把圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开后，会得出怎样的形式？探究一、圆的一般方程思考：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆？一、圆的一般方程二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程叫做圆的一般方程。
圆心为_⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2_，半径长为__D 2＋E 2－4F 2__. 圆的一般方程的特点：（1）x 2，y 2项的系数相等且不为零； （2）没有xy 项； （3）D 2＋E 2－4F ＞0.思考：给出二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的一般方程确定成立的条件？二、圆的一般方程与标准方程的关系（1）标准方程易于看出圆心与半径，一般方程突出了方程形式上的特点.（2）a ＝2D -，b ＝2E-，r ＝D 2＋E 2－4F 2.问题：圆是否还可以用其他形式的方程来表示呢？探究二、圆的参数方程思考：如图，设⊙O 的圆心在原点，半径是r ，与x 轴正半轴的交点为P 0，在圆上任取一点P ，若将OP 0按逆时针方向旋转到OP 位置所形成的角∠P0OP ＝θ，求P 点的坐标.3.圆的参数方程(1)圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ是参数）(2)圆心在(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）典例讲解题型一、圆的一般方程的概念例1.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心坐标为（ ）A.(1，2)B.(1，－2)C.(－1，2)D.(－1，－2) 例2.方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是（ ）A.14<m <1B.m >1C.m <14D.m <14或m >1 例3.已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m 的取值范围． (2)求该圆半径r 的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．题型二、求圆的方程例4.根据下列条件求圆的方程：（1）过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)；（2）经过点P (1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；（3）求与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且截直线0=-y x 的弦长为72的圆的方程.题型三、圆的参数方程 例5.已知圆O 的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （0≤θ<2π），如果圆上点P 所对应的参数θ＝5π3，则点P 的坐标是________.例6.若直线y ＝x ﹣b 与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ∈[0，2π]）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（ ）A.(2B.[2C.(,2(22,)-∞++∞D.(2例7.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ﹣23y ＝0.（1）求x 2＋y 2的最大值； （2）求x ＋y 的最小值.题型三、与圆相关的轨迹问题例8.已知：一个圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，证明：圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.例9.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆（x ＋1）2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程.变式：如图，已知点A (－1，0)，与点B (1，0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．探究！到两定点的距离之比为定值的点的轨迹到两定点F 1、F 2的距离之比为定值λ（λ>0）的点的轨迹是圆.例10.已知一曲线是与两定点O (0，0)、A (3，0)距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程.题型四、与圆相关的最值问题（数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”）例11.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.（1）求yx 的最大值与最小值；（2）求y －x 的最大值与最小值；（3）求x 2＋y 2的最大值和最小值．变式：实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值：（1）4-x y；（2）2x ＋y .课堂小结1.本节课的主要内容是圆的一般方程，其表达式为⎪⎩⎪⎨⎧>-+=++++0402222F E D F Ey Dx y x 2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程配方得标准方程，标准方程（圆心，半径）展开得一般方程。
圆的一般方程教案(正式)
(3)能应用代入法求一般曲线的方程。
(4)培养探索发现及分析解决问题的能力。
三、情感目标：(1)培养学生勇于探索的精神。
(2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。
●教学重点
圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程
⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是
所有的方程都可以
表示圆。使得学生的认识不断加深，同时
教学基本内容
设计意图
⑵当 =0时，方程只有实数解 ,
即只表示一个点( , ).
⑶当 ﹤0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.
【师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。
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⑵写出适合条件的点M的集合.
⑶列出方程 .
⑷化方程 为最简形式.
【课堂练习】
1求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长
⑴ ⑵
⑶
2判断下列方程分别表示什么图形
⑴ ⑵
⑶
⑴进一步熟悉圆的一般方程.
⑵掌握运用代入法求解曲线的轨迹方程的步骤.
⑶培养学生运用知识的能力.
⑴总结归纳，把方法系统化，形成能力.
⑴让学生熟悉巩固知识，运用方法，另外还可让学生上台演习各自解题过程.
教学基本内容
设计意图
一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为
∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：
4.1.2圆的一般方程教案
4.1.2 圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2 + (y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2–r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx+ Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得22224()()224D E D E Fx y+-+++=②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2– 4F＞0时，方程②表示以(,)22D E--为圆心，整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.22142D E F +-为半径的圆；（2）当D 2 + E 2 – 4F = 0时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，即只表示一个点(,)22D E--；（3）当D 2 + E 2 – 4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.应用举例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0（2）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x 2 + y 2 – x + 3y +94= 0D = –1，E =3，F =94.∵D 2 + E 2 – 4F = 1＞0∴此方程表示圆，圆心（12，32-），半径r =12.（2）将原方程化为x 2 + y 2 – x + 3y +114= 0D = –1，E =3，F =114.D 2 + E 2 – 4F = –1＜0∴此方程不表示圆.学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，94F =而不是D = –4，E = 12，F = 9.通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力.例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： 1．根据题设，选择标准方程或一般方程. 2．根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； 3．解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程.们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D 、E 、F 的三元一次方程组：即02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解此方程组，可得：D = –8，E =6，F = 0∴所求圆的方程为：x 2 + y 2 – 8x +6y = 0221452r D E F =+-=；4,322D F-=-=-.得圆心坐标为(4，–3).或将x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2 = 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以0043,22x y x y ++==，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4，即 (x 0 + 1)2 + y 02 = 4 ② 把①代入②，得 (2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4， 整理得2233()()122x y -+-=所以，点M 的轨迹是以33(,)22为圆心，半径长为1的圆.课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题.教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书. 分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程(x +1)2+ y 2 = 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程.归纳总结1．圆的一般方程的特征 2．与标准方程的互化教师和学生共同总结 让学生更进一M A x y OB3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.课后作业布置作业：见习案4.1的第二课时学生独立完成巩固深化备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x 2 + y 2 + x + 1 = 0；（2）x 2 + y 2 + 2ac + a 2 = 0 (a ≠0)； （3）2x 2 + 2y 2 + 2ax – 2ay = 0 (a ≠0).【解析】（1）因为D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1， 所以D 2 + E 2 – 4F ＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D ＝ 2a ，E ＝ 0，F ＝ a 2，所以D 2 + E 2 – 4F ＝ 4a 2 – 4a 2 = 0， 所以方程（2）表示点(–a ，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2 + ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2 – 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a -，半径22124||22r D E F a =+-=. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2 + Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = 43，其中y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2 – 10x – 8y + 4 = 0.法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)，又圆C 的半径22||(4)(1)r CP a a ==-++ ②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |.2224(3)2r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2 – 5a + 5 = 0，② ③解得a 1 = 1，a 2 = 5. ∴1213,37r r ==故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y 2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多. （2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4 + 9 = 0表示一个圆，求（1）t 的取值范围； （2）该圆半径r 的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0即7t 2 – 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴216470,077r r <≤<<。
2014年人教A版必修二教案 4.1.2 圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程教学目标1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．3．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．教学重点与难点圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．教学过程一、复习并引入新课师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程．生：(x－a)2+(y－b)2=r2．师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？生A：是的．生B：缺少条件A2+B2≠0．师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？(书写课题：“圆的一般方程”的探求)二、新课师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得x 2+y 2－2ax －2by+a 2+b 2－r 2=0．令D=－2a ，E=－2b ，F=a 2+b 2－r 2，有：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．(*)师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？生A ：不一定．还得考虑：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．生B ：也可以像直线方程一样，要有一定条件．师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？生：配方．师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．) ()∆-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+.4422:*2222F E D E y D x ）式配方得将（ 1．当D 2+E 2－4F ＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以 为半径的圆；为圆心，F E D E D 4212,222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 2．()()()有时也叫点圆，式表示一个点即式只有实数解时，当⎪⎭⎫ ⎝⎛--*-=-=*=-+22,2,204.22E D E y D x F E D 3．当D 2+E 2－4F ＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．教师总结：当D 2+E 2－4F ＞0时，方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．师：圆的一般方程有什么特点？生A：是关于x、y的二元二次方程．师：刚才生A的说法对吗？生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程．师：特殊在什么地方？(通过争论与举反例后，由教师总结)师：1．x2，y2系数相同，且不等于零．2．没有xy这样的二次项．(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？生：必要条件．师：还缺什么？生：D2+E2－4F＞0．练习：判断以下方程是否是圆的方程：①x2+y2－2x+4y－4=0②2x2+2y2－12x+4y=0③x2+2y2－6x+4y－1=0④x2+y2－12x+6y+50=0⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0⑥x2+y2－12x+6y+F=0三、应用举例师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．生：.4212222F E D r E D -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--，，圆心 生B ：不用死记，配方即可．师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．四．例题讲解例1．求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程；分析：由于12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 不在同一条直线上，因此经过12,,O M M 三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵12,,O M M 三点都在圆上，∴12,,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 代入所设方程，得：02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解之得：860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程为22860x y x y +-+=．法二：也可以求1OM 和2OM 中垂线的交点即为圆心，圆心到O 的距离就是半径也可以求的圆的方程：22860x y x y +-+=．法三：也可以设圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=将点的坐标代入后解方程组也可以解得22(4)(3)25x y -++=例2．已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？解：设点A 的坐标是00(,)x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是AB 的中点，所以0043,22x y x y ++==（＊） 于是，有0024,23x x y y =-=-因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=，即2200(1)4x y ++=（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得22(241)(23)4x y -++-=， 整理得2233()()122x y -+-=所以,x y 满足的关系为：2233()()122x y -+-= 其表示的曲线是以33(,)22为圆心，１为半径的圆．说明：该圆就是M 点的运动的轨迹；所求得的方程就是M 点的轨迹方程：点M 的轨迹方程就是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式． 五、小结注意一般式的特点：1°x 2，y 2系数相等且不为零；2°没有xy 这样的项； 3°D 2+E 2－4F ＞0．另外，大家考虑：D 2+E 2－4F 有点像什么？像判别式，它正是方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D 、E 确定了，则与F 的变化有关．六、作业：1．求下列各圆的一般方程：①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．2．求下列各圆的圆心坐标和半径：①x2+y2－2x－5=0②x2+y2+2x－4y－4=0③x2+y2+2ax＝0④x2+y2－2by－2b2＝0设计思想这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．。
(优质课)4.1.2 圆的一般方程
所求圆的方程为
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
x2 y2 4x 6 y 12 0
牛刀小试：
2 2 2 x , y x y 2 mx 2 y m 5m 0 2.关于 的方程 表示圆
（1）求实数 m的取值范围
（2）圆心坐标和半径
1 m 5
- m,1
r 1 5m
典例分析：
例1：求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的 方程,并指出这个圆的半径和圆心坐标.
方法一： 几何方法 方法二： 解：设所求圆的标准方程为：
0
y
M1(1,1) M (4,2) 2
x
方法三： 解：设所求圆的一般方程为：
22 22 x y D x E y F 0 ( D E 4 F 0 )
例1：求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并 指出这个圆的半径和圆心坐标.
B. k 1
C. k 1
2 2 a C.
D. k 1 D. 2a
A.2 2a
B. 2 2a
谢谢
延伸训练：
变式练习3：平面内四点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)， D（0，-6）是否在同一个圆上？ 若共圆求四边形OM1M2D的面积.
y
M1(1,1) M (4,2) 2
2 2
2
2
自主探究：
2 2
2 2
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0 D2 E 2 4F 0
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2 （1）当 D E 4F 0 时，表示圆，
4.1.2圆的一般方程(精品)
即
x2 y2 1 ，
(x 3)2 y2 2
化简得x2＋y2＋2x－3＝0.即(x＋1)2＋y2＝4， 所以动点P的轨迹是以点(－1,0)为圆心，以2为半径 的圆．
求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); 2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状.
求轨迹方程的方法:
解 由方程表示圆得， D2＋E2－4F＝12＋22－4(a－1)＝9－4a＞0，
解得a＜
9 4
，
即a的取值范围是
(, 9) 4
.
典例探究
例2、 已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点A在
圆 (x 1)2 y2 4上运动，点M满足 BA 2BM ，求
点M的轨迹方程.
解：设M (x, y), A(x0, y0 ), B(4,3), BA 2BM,
若生成轨迹的动点 P( x, y)随另一动点 Q( x0, y0 )
的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 x0 , y0
分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点 满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程
关键:列出P,Q两点的关系式.
课本P134 6/平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上?
思考:当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的位置分别
有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就
找出圆心和半径.
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特征
化.
A 是主动点， B 是被动点.
推导 将几何条件直接坐标化
将主动点坐标用被动点坐标
过程
表示，带入圆的方程.
（3）轨迹与轨迹方程不同，前者是曲线，后者是方程，但要求轨迹往往先求轨
迹方程.如例 5，若改为求线段 AB 的中点 M 的轨迹，我们根据题意看不出 M 的轨
迹是什么曲线，但先求出点 M 的轨迹方程 (x 3)2 ( y 3)2 1，根据方程就能知
问题解决最佳方案
【方法总结】
【自我检测】
1.方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 0 表示的图形是（ ）.
（A）以 (a, b) 为圆心的圆
（B）以 (a,b) 为圆心的圆
（C）点 (a, b)
（D）点 (a,b)
2.圆的方程为 (x 1)(x 2) ( y 2)(y 4) 0 ，则圆心坐标为（ ）.
.
【典型例题】
例 1 求过三点 O(0,0), M1(1,1), M 2 (4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径长和
圆心坐标.
【方法总结】
2
必修 2 第四章 圆与方程
例 2 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3) ，端点 A 在圆 (x 1)2 y2 4 上运 动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
（
）.
（A） x y 3 0 （B） x 2y 4 0 （C） x y 1 0 （D） x 2 y 0
7. 已 知 圆 x2 y2 kx 2 y k 2 ， 当 该 圆 的 面 积 取 最 大 值 时 ， 圆 心 坐 标
为
.
8.设圆 x2 y2 4x 2 y 11 0 的圆心为 A ，点 P 在圆上，则 PA的中点 M 的
问题解决最佳方案
x2 y2 Dx Ey F 0 ，可以得出如下结论：当二元二次方程具备条件：
① x2 和 y 2 的系数相同，且不等于 0 ，即
；
②没有 xy 项
③ 【感悟】
时，才表示圆.
2.圆的标准方程与一般方程的特点对比
标准方程
一般方程
(x a)2 ( y b)2 r 2 (r 0)
2
2
道点 M 的轨迹是以 ( 3 , 3) 为圆心，半径长是1的圆，这就是解析几何的重要思想. 22
【基础练习】
1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：
（1） x2 y2 6x 0
（2） x2 y2 2by 0
（3） x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0
2.判断下列方程分别表示什么图形:
（1） x2 y2 0 ; （2） x2 y2 2x 4 y 6 0 ；
（3） x2 y2 2ax b2 0 .
3.若方程 a2 x2 (a 2) y2 2ax a 0 表示圆，则 a 等于
.
4.已知 M (1,1), N(2,5) ，则到 M , N 距离相等的点的轨迹是
x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 F 0)
指出了
和
，几何 是一种特殊的
方程，代数特征明显.
特征明显.
二者都含有三个待定参数，要确定方程，均需要三个独立条件.
【感悟】
3.待定系数法求圆的方程
（1）
；
（2）
；
（3）
；
【感悟】
1
问题解决最佳方案
4.轨迹与轨迹方程
轨迹方程是
.
3
问题解决最佳方案
必修 2 第四章 圆与方程
9.圆 x2 y2 Dx Ey 3 0 的圆心在坐标轴上，半径为 2 ，当 D E 时，求
圆的方程.
10.已知一条曲线在 x 轴的上方，它上面的每一点，到点 A(0,2) 的距离减去它到 x 轴的距离的差都是 2 ，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线.
）.
（A） 2 2a
（B） 2 2a
（C） 2a2
（D） 2a
5.到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（
）.
（A）y x
（B）y x
（C）x2 y 2
（D）x2 y2 0
6. 如 果 过 A(2,1) 的 直 线 l 将 圆 x2 y2 2x 4 y 0 平 分 ， 则 l 的 方 程 为
必修 2 第四章 圆与方程
（1）求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标 (x, y) 所满足的等量关
系，并把这个方程化成最简形式，如题目中无坐标系，就要先建立适当的直角坐标系.
（2）阅读例 5 并与推导圆的标准方程的方法对比.
圆的标准方程推导
例5
动点
个数Biblioteka 动点 动点几何条件明显A 点在圆上运动导致 M 变
教后反思
4
（A） (1,1)
（B） ( 1 ,1) 2
（C） (1,2)
（D） ( 1 ,1) 2
3.若方程 x2 y2 4x 2 y 5k 0 表示圆，则 k 的取值范围是（ ）.
（A） k 1
（B） k 1 （C） k 1
（D） k 1
4.圆 2x2 2 y2 4ax 12ay 16a2 0(a 0) 的周长等于（
必修 2 第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
【教学目标】 1．掌握圆的一般方程，理解圆的一般房车与标准方程的联系； 2．初步了解用代数方法处理几何问题，掌握求点的轨迹方程的思想方法.
【重点】圆的一般方程 【难点】点的轨迹方程的求法
【学习探究】
【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材第 121 页～第 123 页） 1.圆的一般方程
（1）方程 x2 y2 Dx Ey F 0 .
①当 ②当 ③当 等于
时，方程表示一个点，该点的坐标为 时，方程不表示任何图形； 时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为
，上述方程称为圆的一般式方程.
； ，半径
（2）比较二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 和圆的一般方程