圆的一般方程----典型题(好)
典型例题：圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程【例1】判断二元二次方程224441290x y x y +-++=是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.【例2】求经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.【例3】设圆的方程为224x y +=，过点(0,1)M 的直线l 交圆于点A B 、，O 是坐标原点，点P为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．参考： 例1【分析】用配方法将其变形化成圆的标准形式或运用圆的一般方程的判断方法求解.【解】圆的方程可化为22131224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为12r =. 【点拨】要注意对于224441290x y x y +-++=来说，这里的91,3,4D E F =-==，而不是D=-4,E=12,F=9.例2：【分析】设出圆的一般方程，用待定系数法求解.【解】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 当0x =时，20y Ey F ++=，则122E y y +=-； 当0y =时，20x Dx F ++=，则122Dx x +=-.则1644201930()()422D E F D E F D E⎧⎪++++=⎪+-++=⎨⎪⎪-+-=⎩， 解得352D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴ 圆的方程为223520x y x y +--+=. 【点拨】用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.例3：【分析【动点P 为AB 的中点，所以点P 是由点A B 、而决定，另外点A B 、又由点(0,1)M 的直线l 来决定，找到最初的“动”是解决问题的关键.【解】设点P 的坐标为(,)x y ，1122(,)(,)A x y B x y 、．因A B 、在圆上，所以222211224,4x y x y +=+=． 两式相减得222212120x x y y -+-=． 所以12121212()()()()0.x x x x y y y y -++-+=当12x x ≠时，有12121212()0.y y x x y y x x -+++⋅=-①并且12121212,2,21.x x x y y y y y y x x x ⎧+=⎪⎪+⎪=⎨⎪-⎪-=⎪-⎩ ②将②代入①并整理得2211()24x y +-=③． 当12x x =时，点A B 、的坐标为（0，2），（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足③，所以点P 的轨迹方程为2211()24x y +-=． 【点拨】将所求点P 坐标设为(,)x y ，相应的已知点Q 的坐标设为00(,)x y ，再用x y 、表示00x y 、．即00(,)(,)x g x y y h x y =⎧⎨=⎩，然后代入已知点Q 满足的方程00()0f x y =,，消去00x y 、得到所求曲线的方程，体现设而不求思想．本题是将12121212,,22x x y y y y x x ++--看作整体进行代换．。
2.4.2 圆的一般方程(同步检测)(附答案)—2022-2023学年高二上学期数学选择性必修第一册
2.4.2 圆的一般方程（同步检测）一、选择题1.以圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程为()A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x＋1)2＋y2＝4C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝42.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1)3.已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝04.圆x2＋y2－2ax＋6ay＋8a2＝0(a<0)的周长等于()A．22πa B．－22πaC．2πa2D．－2πa5.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q(3,0)连接的线段PQ中点的轨迹方程是()A.x2＋y2＋6x＋5＝0B.x2＋y2－6x＋8＝0C.x2＋y2－3x＋2＝0D.x2＋y2＋3x＋2＝06.[多选]关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中正确的是()A．圆心在直线y＝－x上B．其圆心在x轴上C．过原点D．半径为2a7.若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m等于()A．1 B．－3C．0 D．2二、填空题8.已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________9.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________10.已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________11.圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________三、解答题12.已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．13.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．14.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．15.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆的半径r的取值范围；(3)求圆心C的轨迹方程．16.已知圆C: x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心坐标为(－1,0)，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.2.D 解析：由题意可得42＋(－2)2－4×5m>0，即m<1.3.B 解析：把x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0配方得(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，代入各选项，可知直线2x ＋y ＋1＝0过圆心．4.B 解析：由已知得，圆的标准方程为(x －a)2＋(y ＋3a)2＝2a 2.因为a<0，所以半径r ＝－2a ，所以圆的周长为－22πa.5.C 解析：设PQ 中点坐标为(x ，y)，则P(2x －3,2y)，代入x 2＋y 2＝1，得4x 2＋4y 2－12x ＋8＝0，即x 2＋y 2－3x ＋2＝0.6.AC 解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a ，a)，半径为2|a|，故A 、C 正确．7.B 解析：设A(0，y 1)，B(0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m>0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，又由∠ACB ＝90°，C(2，－1)，知k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4，代入上面的结果得m －2＋1＝－4，所以m ＝－3，符合m<1的条件．二、填空题8.答案：⎝⎛⎭⎫35，1解析：方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k>0，即k<1；点E 在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k>0，解得k>35，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫35，1. 9.答案：(0，－1)解析：∵r ＝12 k 2＋4－4k 2＝12 4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．10.答案：(－1,1), 5解析：由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y －3＝0，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝5，因此圆心为(－1,1)，半径为 5.11.答案：(－∞，1)解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.三、解答题12.解：以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x ，y)，BC 中点D(x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧ 2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0. ① ∵|AD|＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．13.解：圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又因为半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D 2<0，即D>0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.14.解：如图所示，设P(x ，y)，N(x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又点N(x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝⎛⎭⎫－95，125和点⎝⎛⎭⎫－215，285.15.解：(1)要使方程表示圆，则4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0，即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36>0，整理得7m 2－6m －1<0，解得－17<m<1. (2)r ＝12 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＝ －7m 2＋6m ＋1＝－7()m －372＋167， 所以0<r ≤477，即该圆的半径r 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，477. (3)设圆心坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3，y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)． 因为－17<m<1，所以207<x<4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)⎝⎛⎭⎫207<x<4.16.解：(1)∵点P(a ，a ＋1)在圆上，∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0，∴a＝4，P(4,5)，∴|PQ|＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210，k PQ＝3－5－2－4＝13.(2)∵圆心C的坐标为(2,7)，∴|QC|＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，圆的半径是22，点Q在圆外，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.。
(完整版)圆的一般方程练习题
(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
圆的一般方程(轨迹问题)
(P124,B3) 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的
比是 1 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.
2
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合
{M
|
|
OM|
1 }
| AM| 2 由两点间的距离公式，得
y
M
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
直译法
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆.
(P124,B2)长为2a的线段AB的两个端点分别在相互 垂直的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为?
x2 y2 a2
轨迹的常用求法:
1.直译法; 2.定义法;
y
B
M
Ｏ
A
x
【课堂练习】
1.已知Rt△ABC中，A(-1,0),B(3,0),
复习引入
【思考1】平面内到一定点A的距离等于定长的
点M的轨迹是什么？
M r
|MA|=r
A
【答】以定点A为圆心，定长r为半径的圆。
【思考2】平面内与两定点A、 B距离相等的点
M的轨迹是什么？
M
|MA|= |MB|
【答】线段AB的垂直平分线。 A
B
典型例题
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
3.求轨迹方程的步骤：①建系设点（x,y）; ②列式代入； ③化简检验.
圆的一般方程及标准方程的转换（含每步提示及答案——原创材料）
圆的标准方程与一般方程的转换1. 已知方程x ²+y ²+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。
答案：（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F+-提示①：将原方程配方并整理x ²+Dx+（2D）²+y ²+Ex+（2E ）²-（2D ）²-（2E ）²+F=0（x+2D ）²+（y+2E ）²-2244D E F +-=0 提示②：将常数项移至方程右边。
（x+2D ）²+（y+2E ）²=2244D E F+-2. 将圆的方程（x-a ）²+（x-b ）²=r ²化为一般方程的形式，结果为___________。
答案：x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²=r ²提示②：将方程右边化为0x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=03. 已知圆的一般方程为x ²+y ²+6x-8y=0，则其标准方程为___。
A 、(x-3)²+(y-4)²=25 B 、(x-3)²+(y-4)²=5 C 、(x+3)²+(y-4)²=25 D 、(x-3)²+(y-4)²=5 答案：C提示①：将原方程配方x ²+6x+3²+y ²-8y+4²-3²-4²=0(x+3)²+(y-4)²-25=0提示②：将常数项移至方程右边(x+3)²+(y-4)²=254.方程2（x+5）²+2y²=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。
高一数学圆的方程经典例题
例1圆(Λ∙-3)2+(y-3)2=9±到直线3Λ-+4>'-11=0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解.或先求出直线厶、厶的方程，从代数计算中寻找解答.解法圆(x-3)2 + (y-3)2=9 的圆心为q(3,3),半径∕ = 3∙设圆心O I到直线3x + 4V-Il = O的距离为〃，则∣3×3 + 4×3-Il∣√3¼41如图，在圆心Q同侧，及直线3x÷4y-ll=0平行且距离为1的直线厶及圆有两个交点，这两个交点符合题意.・•・及直线3x÷4y-ll = 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.・・・符合题意的点共有3个.解法二符合题意的点是平行于直线3Λ÷4y-ll = 0,且及之距离为1 的直线和圆的交点.设所求直线为3x + 4y + m = 0,贝∣J√=±≤ = 1,∙e∙ m+ll = ±5 9即In = -6 9或加= —16,也即∕1x3x + 4y-6 = 0 9⅛K∕23x + 4y-16 =0 •典型例设圆O1≡(x-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线厶的距离为〃】、心则∣3×3÷4×3-6L ∣3×3÷4×3-16L K•••厶及q相切，及圆q有一个公共点；厶及圆q相交，及圆q有两个公共点•即符合题意的点共3个•说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解:设圆心O I到直线3x + 4y-ll = 0的距离为〃,则^∣3×3÷4×3-11L2<3.√P74Γ•I圆O］到3x + 4y-ll = 0距离为1的点有两个•显然,上述误解中的〃是圆心到直线3x÷4y-ll = 0的距离,d<r,只能说明此直线及圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1∙到一条直线的距离等于定值的点，在及此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线及圆的公共点•求直线及圆的公共点个数，一般根据圆及直线的位置关系来判断, 即根据圆心及直线的距离和半径的大小比较来判断•典型例题三例3求过两点A(l,4)、B(3,2)且圆心在直线y = 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)及圆的关系.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P及圆的位置关系，只须看点P及圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(兀-d}2 +(y-by =r2.∙.∙圆心在y = 0上，故b = 0.圆的方程为(X-^)2 + >,2= r2.又Y该圆过4(1,4)、B(3,2)两点..J(l-α)2 + 16 = ∕*2[(3-α), +4 = r2解之得：Q=-I, r2 = 20.所以所求圆的方程为(x + l)2+y2=20・解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(l,4)、3(3,2)两点，所以圆心C必在线段A3的垂直平分线/上，又因为S=苦1，故/的斜率为1，又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线/的方程为：y-3 = x-2即x-y + l = 0.又知圆心在直线y = 0上，故圆心坐标为C(-l, 0)・*. Φ⅛ r = ∖AC∖ =√(l + l)2+42 = λ∕20 ・故所求圆的方程为(X +1)2+ b =20・又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为J=IPq = λ∕(2 +1)2+42=√25>r.・•・点P在圆外.说明：木题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心及定点之间的距离和半径的大小关系来判定点及圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线及圆的位置关系呢？典型例题四例4圆X2 + y2 +2x + 4y-3 = 0上到直线x + y + ∖ = 0的距离为血的点共有().(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个分析：把X2 + y2 +2x+4y-3 = 0化为(x +1)2 +(y + 2)2 =8 ,圆心为(-1,-2), 半径为「= 2血，圆心到直线的距离为√Σ,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于运，所以选C.典型例题五例5 过点P(-3,-4)作直线/,当斜率为何值时，直线/及圆C：(X-I)2+(y + 2)2=4有公共点，如图所示.分析：观察动画演示，分析思路.解：设直线/的方程为y + 4 = k(x + 3)即kx- y + 3k -4 = 0根据(/S有比+2 + 3£-4|刁y∣∖+k2整理得3k2-4k=0解得40≤k≤-•3典型例题六例6己知圆Ot√ + y2=4,求过点P(2,4)及圆O相切的切线. 解：T点P(2,4)不在圆O上，・•・切线PT的直线方程可设为y =心- 2)+4根据d = r•• •7+4|_2√f+P解得k=〉4所以y = -(x-2)÷4即3x-4y + 10 = 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为;ι=2∙说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.木题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于O解决(也要注意漏解)・还可以运用v÷>v = r2,求岀切点坐标•5、儿的值来解决，此时没有漏解•例7自点衣-3,3）发出的光线/射到兀轴上，被兀轴反射，反射光线所在的直线及圆C：√ + y2-4x-4y + 7 = 0相切（1）求光线/和反射光线所在的直线方程.切线的斜率为图3k = -^ik =—3 4进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x-3y + 3 = 0 或3x-4y-3 = 0最后根据入射光及反射光关于X轴对称，求出入射光所在直线方程为4x + 3y + 3 = 0 或3x+4y-3 = 0光路的距离为∖A'M∖ ,可由勾股定理求得PrMf=PrCf TCMf=7.说明：木题亦可把圆对称到兀轴下方，再求解.例8如图所示，已知圆O： x2+y2 =4及y轴的正方向交于A点，点B 在直线y = 2上运动，过B做圆O的切线，切点为C,求ΔABC垂心H的轨迹.分析：按常规求轨迹的方法，设H(.y),找;r,y的关系非常难.由于H点随B , C点运动而运动，可考虑H, B , C三点坐标之间的关系. 解：设H(X,y), C(X ,y),连结4H, CH ,贝IJAH丄BC, CH丄AB f BC是切线OC丄BC,所以OC//AH, CHIIOA, OA = OC f所以四边形AOCH是菱形.所以∖CH∖ = ∖θA∖ = 2f得I y= y~2'又C(X ,y)满足∕÷∕=4,所以√÷(y-2)2=4(x≠0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程•做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析及动点相关联的点，如相关联点轨迹方程己知，可考虑代入法.典型例题九例9求半径为4,及圆√+∕-4x-2y-4 = 0相切，且和直线尸0相切的圆的方程.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(X-Uy +(y-b)2 =r2.圆C及直线y = 0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为G(α,4)或C2(^,-4)・又己知圆X 2 + y 2 _ 4 X _ 2_ 4 = 0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切,则IGAI=4 + 3 = 7或IGAl=4-3 = 1・⑴当GS,4)时,(α-2)2÷(4-l)2=72,或(α-2)2+(4-1)2 = I2 (无解)，故可得0 = 2±2佰.・•・所求圆方程为(X-2-2√W+(V-4)2=42, 或(X - 2 + 2√10 )2 + (y - 4)2 = 42 .(2)当C?(“ , 一4)时，(α — 2)2 +(-4-1)2 = 7?,或(α一2)2 + (一4 — I)? = F (无解)，故α = 2 ± 2√6 .・•・所求圆的方程为(x-2-2√6)2+(y + 4)2=42, 或(x-2 + 2√z6)2+(y + 4)2 =42 .说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆及直线)=0相切且半径为4,则圆心坐标为C(",4), 且方程形如(x-α)2+(y-4)2 =42・又圆x2 +y2 -4x-2y-4 = 0 ,即(x-2)2+(y-l)2=32 ,其圆心为A(2,1),半径为3.若两圆相切,则IcAI = 4 +3・故(«-2)2+(4-1)2 =72,解之得6∕ = 2±2√1O .所以欲求圆的方程为(X_2_2√"10)2+(y-4)2=42,或(X_2 + 2√Iθ)2+(y-4)2 = 42.上述误解只考虑了圆心在直线y = O上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况•也是不全面的.典型例题十例10已知圆x2 + y2+x-6y + m = O及直线x + 2y-3 = 0相交于P、Q两点，O为原点，且OP丄O0,求实数加的值.分析：设P、0两点的坐标为(x l,y l)> (X2O12) »则由S • % =7, 可得⅜÷>'1>'2=0,再利用一元二次方程根及系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为上，由直线/及圆的方程构造以上为未知数的X X一元二次方程，由根及系数关系得出為p∙褊。
(完整版)圆的方程 习题(含答案)
一、单选题
1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
2．当点 在圆 上运动时，连接它与定点 ，线段 的中点 的轨迹方程是（ ）
6．若点 为圆 上的一个动点，点 ， 为两个定点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
8．若直线l：ax+by+1=0经过圆M： 的圆心则 的最小值为
A． B．5C． D．10
9．若 均为任意实数，且 ，则 的最小值为（ ）
21．已知点 在圆 上运动，且存在一定点 ，点 为线段 的中点.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过 且斜率为 的直线 与点 的轨迹 交于不同的两点 ，是否存在实数 使得 ，并说明理由.
22．已知圆经过 两点，并且圆心在直线 上。
(1)求圆的方程；
(2)求圆上的点到直线 的最小距离。
23．在平面直角坐标系 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 上．
A． B．
C． D．
3．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )
A．9πB．πC．2πD．由m的值而定
4．圆 的半径是（ ）
A． B．2C． D．4
5．已知圆 与圆 相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为
A． B． C． D．
A． B． C． D．
圆的一般方程
例
判断方程
x2 y2 4x 6 y 3 0 是否为圆的方程，如果是，
求出圆心的坐标和半径．
巩 固 知 识 典 型 例 题
解1
将原方程左边配方，有
x2 4x 22 22 y 2 6 y 32 32 3 0
( x 2)2 ( y 3)2 42
（4）x2 + y2 +4x + 2y + 1 = 0
基础练习训练：
1、写出满足下列条件的圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为3 (2)经过点B(3,1),圆心在点C(-2,-4) (3)以A(2,5),B(0,-1)直径
表示点 (－ ,－ ，－ )． 不表示任何图形． 表示以 (－ )为圆心，以
DD 22
E E 2 2
1 D 2 E 2 4 F 为半径 2
的圆．
圆的一般方程
方程 x2 ＋y2 ＋D x＋E y＋F＝0
（其中D2＋E2－4 F＞0）
叫做圆的一般方程． 练习一 求出下列圆的圆心及半径： （1）x2 ＋ y2－6 x＝0； （2）x2 ＋ y2－4 x－6 y＋12＝0.
A. m 2 B. m 2
1 C. m 2 1 D. m 2
课堂小结：
1、圆 的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心坐标为 (a,b),半径为 r (r>0),特别地,圆心在原点，半 径为r的圆的方程为：x2+y2=r2 2、圆的一般方程为: x2+y2+Dx+Ey+F=0 D E 2 2 (D +E -4F>0),圆心坐标为 (- , - ),半径为 2 2 1 2 2 D + E - 4F 2
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1.
2. 若直线3x+y+a=0过圆x^2+y^2+2X-4y=0的圆心，则a的值为什么?
由圆的方程可知圆心的坐标(-1，2)
把(-1，2)代入直线方程，得3x(-1)+2+a=0
解得a=1
3. 若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是
x2+y2-4x+2y+5k=0
(x-2)2+(y+1)2=-5k+5
方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆
-5k+5>0
k<1
4. 当点P在x2+y2=1上变动时，它与定点Q（3,0）的联结线段PQ的中点的轨迹方程是？
. 设M坐标为（x，y），则P点坐标为：X=2x-3，Y=2y 点P在圆X*X+Y*Y=1上，故有：（2x-3）^2+(2y)^2=1 即：（x-1.5）^2+(y)^2=0.25 以（1.5，0）为圆心，0.5为半径的圆
5. 已知点A（1，2）在圆X^2＋Y^2 ＋2X＋3Y＋m＝0内，则m 的取值范围
由公式：
圆的一般方程x²+y²+D x+Ey+F=0 转化为圆的标准方程为：(x+D/2)².+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4
则，已知圆的标准方程为：(x+2/2)².+(y+3/2)²=(2²+3²-4m)/4
整理得：(x+1)².+(y+3/2)²=(13-4m)/4
点P（X,Y) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：
当(x－a)^2+(y－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
将A（1，2）代入上面的不等式：：(1+1)².+(2+3/2)²<(13-4m)/4
解的：m<-13
6. 由方程Ｘ２+Ｙ２+Ｘ+（M-１）Y+1/2M2=0确定的圆中最大面积是？
对x,y进行配方。
(x+1/2)2-[y+(m-1)/2)]2=-(m2-2m-2)/4
-(m2-2m-2)/4=-(m-1)2/4+3/4
当m=1时，圆取得最大半径根号3/2
面积为3π/4
先化成圆的标准方程，半径为√（-m的平方-2m+2）/2，半径的最大值为√3/2，最大面积是3/4π
7. 若圆X^2+Y^2+DX+EY+F=0过点(0,0),(1-1),且圆心在直线X+Y-3=0上,求该圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径。
分析：因为垂直圆内任意一弦并经过弦中心的直线必经过圆心。
解：圆经过A(0,0),B(1,-1)
弦AB的斜率为-1,
弦中心d(1/2,1/2)
直线od的斜率为1,
Od方程为-x+y+1=0它与x+y-3的交点即圆心o.求得o(2,1)求得半径r=根号5
8. 若圆X^2+Y^2+DX+EY+F=0过点(0,0),(1-1),且圆心在直线X-Y-3=0上,求该圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径
.圆X^2+Y^2+DX+EY+F=0过点(0,0),(1-1),则有：
F=0
1+1+D-E+F=0,即有D-E=-2
且圆心(-D/2,-E/2)在"直线X＋Y-3=0上"吧？？？,则有-D/2－E/2-3=0
E＋D=－6
解得D=-4,E=-2
故有圆心坐标是(－2，－1)，半径r=根号[(－2)＾2＋(－1)＾2］＝根号5
9. 已知方程x2+y2-2x-4y+m=0表示圆，求m的取值范围．
分析：方程x2+y2-2x-4y+m=0表示圆的条件为用D2+E2-4F＞0，即4+16-4m＞0，由此求得m的范围．解答：解：若方程x2+y2-2x-4y+m=0表示圆，则应用D2+E2-4F＞0，即4+16-4m＞0，
解得m＜5，故m的取值范围为（-∞，5）．。