(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)
高中数学必修二单元测试：圆的方程word版含答案
圆的方程单元测试一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4 解析：选A ∵AB 的中点坐标为(0,0)，|AB |＝[1－ －1 ]2＋ －1－1 2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2,0) D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：选D 由圆的定义知，若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23. 3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解析：选A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.4．已知圆C ：x 2＋y 2＋ x ＋2y ＝－ 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．解析：圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34 2＋1. 所以，当 ＝0时圆C 的面积最大，即圆心C 的坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)5．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，则该圆的方程为________；若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．解析：设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |，得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2.半径r ＝|CA |＝ 2＋1 2＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.答案：(x －2)2＋y 2＝10 (0,4)二保高考，全练题型做到高考达标1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( )A ．上半圆B ．下半圆C ．圆D ．抛物线解析：选A 由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．2．(2018·嘉兴七校联考)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析：选A 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是() A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 因为直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)，所以圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.4．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，故曲线C 是圆心为(－a,2a )，半径为2的圆，要使圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，得a >2.5．(2018·浙江名校联盟调研)已知直角三角形ABC 的斜边AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角边BC 的中点的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0(y ≠0)C ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)解析：选D 设直角边BC 的中点为P (x ，y )，因为B (3,0)，所以C (2x －3,2y )．因为AC ⊥BC ，所以AC ―→·BC ―→＝(2x －2)·(2x －6)＋4y 2＝0，化简得x 2＋y 2－4x ＋3＝0.因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.即x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)．6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为__________．解析：设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝ 2－3 2＋ －3－4 2＝5 2.而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.故|PM |＋|PN |的最小值为52－4.答案：52－47．(2018·丽水调研)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵ CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0. 由于直线过圆心C (2,1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y －1＝0.答案：x ＋y －1＝0 x －y －1＝08．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________；其面积为____________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，所以其面积为S ＝5π.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5 5π9．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值；(2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22， 解上式得，16－210≤t ≤16＋210，所以所求的最大值为16＋210.(2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率 ， 所以直线MQ 的方程为y －3＝ (x ＋2)，即 x －y ＋2 ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤ ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 10．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0.又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2，解得m ＝±255. 把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋AQ ―→＝0，则m 的取值范围为________．解析：曲线C ：x ＝－4－y 2是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋AQ ―→＝0，则A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6，∴m ＝6＋x P 2∈[2,3]． 答案：[2,3]2．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则 x＋3 2＋y2＝2 x－3 2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．(2)由(1)知曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆．由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，此时|CQ|＝|5＋3|2＝42，故|QM|的最小值为32－16＝4.。
高中数学必修二直线方程与圆的方程练习及答案(2021年整理)
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直线与圆的方程（1）1、设直线l的方程为(1)20()+++-=∈．a x y a a R（1) 若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;（2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．2、已知三角形ABC的顶点坐标为A（—1，5）、B(-2，—1）、C（4,3)，M是BC边上的中点．（1）求AB边所在的直线方程;（2）求中线AM所在的直线方程；（3）求AB边的高所在直线方程．3、求与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为4、已知圆M 经过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的交点，且圆M 的圆心到直线2650x y +-=的距离为M 的方程．直线与圆的方程(1）答案1。
【答案】 (1） 20x y ++=．(2) a≤－1．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据直线方程求出它在两坐标轴上的截距，根据它在两坐标轴上的截距相等，求出a 的值,即得直线l 方程．(Ⅱ）把直线方程化为斜截式为12y a x a =-+--（），若l 不经过第二象限,则1a =- 或 ()1020a a -+--≥，≤，由此求得实数a 的取值范围．解：（1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，截距相等,∴2a =，方程即30x y +=．若2a ≠,由于截距存在，∴ 221a a a -=-+， 即11a +=，∴0a =， 方程即20x y ++=．(2)将l 的方程化为(1)2y a x a =-++-，∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当()1020a a ⎧-+≥⎪⎨-≤⎪⎩∴a≤－1． 所以a 的取值范围是a≤－1．2.【解析】（1)先根据斜率公式求出AB 的斜率，写出点斜式方程再化成一般式即可．（2）先根据中点坐标公式求出中点M 的坐标，然后求出AM 的斜率，写出点斜式方程再化成一般式方程．(3)根据AB 的斜率可求出AB 边上的高的斜率，再根据它过点C ，从而可求出高线的点斜式方程，再化成一般式即可．解：（1)k AB=，且已知A 、B 点，由直线方程的点斜式得y+1=6（x+2)，化简得6x —y+11=0（2）因为M 点是BC 的中点，所以M 点坐标为（1，1)则AM 所在直线方程为化简得2x+y —3=0方程为y —3=(x —4) 化简得：x+6y —22=03。
高中数学 圆的方程典型例题 必修2 试题
卜人入州八九几市潮王学校高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的HY 方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的HY 方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的间隔和圆的半径的大小关系，假设间隔大于半径，那么点在圆外；假设间隔等于半径，那么点在圆上；假设间隔小于半径，那么点在圆内．解法一：〔待定系数法〕 设圆的HY 方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：〔直接求出圆心坐标和半径〕 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C∴半径204)11(22=++==AC r．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的间隔为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：此题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的间隔和半径的大小关系来断定点与圆的位置关系，假设将点换成直线又该如何来断定直线与圆的位置关系呢？ 例2求半径为4，与圆042422=---+y x y x相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的HY 方程求解． 解：那么题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，那么圆心C 的坐标为)4,(1a C 或者)4,(2-a C ．又圆042422=---+y x y x的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．假设两圆相切，那么734=+=CA 或者134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或者2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或者2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或者2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或者2224)4()622(=+++-y x ．说明：对此题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，那么圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．假设两圆相切，那么34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或者2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的． 例3求经过点)5,0(A ，且与直线02=-yx 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-yx 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线02=-yx 和02=+y x 的间隔相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或者03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t tC∵C 到直线02=+y x 的间隔等于AC，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t或者5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或者圆心是)15,5(，半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或者125)15()5(22=-+-y x ．说明：此题解决的关键是分析得到圆心在两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两直线相切的圆的方程的常规求法． 例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的间隔最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的HY 方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，假设能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的间隔公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 那么P 到x 轴、y 轴的间隔分别为b和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的间隔为52b a d -=∴2225b a d-=ab b a 4422-+= 当且仅当b a=时取“=〞号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或者⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或者2)1()1(22=+++y x解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d ba 52±=-．∴2225544d bdb a +±=．将1222-=b a代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或者2)1()1(22=+++y x ．说明：此题是求点到直线间隔最小时的圆的方程，假设变换为求面积最小呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公一共弦方程 例5圆422=+y xO ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d=∴21422=++-kk解得43=k所以()4243+-=x y即01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．此题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决〔也要注意漏解〕．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6两圆0111221=++++F y E x D y xC ：与0222222=++++F y E xD y x C ：相交于A 、B两点，求它们的公一共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了防止求交点，可以采用“设而不求〞的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，那么有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公一共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念到达了目的．从解题的角度上说，这是一种“设而不求〞的技巧，从知识内容的角度上说，还表达了对曲线与方程的关系的深入理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛． 例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
必修二 圆的方程(例+练)2019年
圆的方程1、已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且被直线y=x 截得的弦长为72，求该圆的方程.2、动点P 在圆4:22=+y x C 上运动，求它与定点A （3，1）相连的线段的中点Q 的轨迹方程。
()对称的圆的方程。
关于、求圆0241:322=+-=+-y x y x C1、已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.2、的方程。
求圆两点，且轴的正半轴交于与轴相切于点与圆C B A y T x C 2,|AB |,),0,1(=3、过原点O 作圆C:x 2+y 2-8x=0的弦OA 。
(1)求弦OA 中点M 的轨迹方程；(2)过圆C 上任意一点A 作x 轴的垂线到B ，求AB 中点N 点的轨迹方程.4、圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，求圆C 的方程。
5、求与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.6、已知点P(0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求圆C 内过点P 的弦的中点的轨迹方程.题型二 直线与圆的位置关系1、已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最大，则直线l 的方程是________________；若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。
2、过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.3、若曲线21x y -=与直线b x y +=有一个交点，则b 的取值范围是 ；若有两个交点，则b 的取值范围是 .4、若实数x ，y 满足x 2＋y 2-6y+5＝0.求： (1)的取值范围；11y -+x (2)的取值范围；y x -3；(3)().422的取值范围y x +-.()()()()()理由。
高中数学 必修二 圆与方程 经典例题
临川十中下学期期中考试 高二数学（文）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、已知30cos =y , 则导数y =' （ ）A ．32B ．12-C ．12D ．02、双曲线22194y x -=的渐近线方程是（ ） A ．x y 49±= B ．x y 32±= C ． x y 23±= D ．x y 94±= 3. 已知xf x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）A. 41B. 41- C. 2 D. －24．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：由表中数据算的线性回归方程yˆ=bx+a 中的b ≈0.7，试预测加工10个零件需小时数为（ ）。
（已知x b y a -=）A 、9B 、8.5C 、8.05D 、8 5.设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A. 2e B. e C.ln 22D. ln 2 6．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 ( ) A ．都可以分析出两个变量的关系 B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C ．都可以作出散点图 D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系零件的个数x （个） 2 3 4 5加工的时间y （小时） 2.5 3 4 4.57．定义在R 上的函数)(x f y =满足)()3(x f x f =-, 0)()23'>-x f x （,则有A. )2()0(f f >B. )2()0(f f =C. )2()0(f f <D. )2(),0(f f 关系不确定 8．若函数42)(λλ+-=xx x f 在(1，＋∞)上是增函数，则实数 λ 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]9、 已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A.3 B. 2 C. 2 D. 310、程序框图，如图所示，已知曲线E 的方程为ab by ax =+22(a ，b ∈R )，若该程序输出的结果为s ，则 A ．当s ＝1时，E 是椭圆 B ．当s ＝0时，E 是一个点 C ．当s ＝0时，E 是抛物线 D ．当s ＝－1时，E 是双曲线 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填入答题卡上）11、某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为________．12．命题p ：函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值；命题 q ：抛物线24xy =的焦点坐标为（1，0）。
必修二圆的方程题型归纳非常完美
圆的方程题型一：圆的方程典例1、若圆C 的方程为222440x x y y +++-=，则该圆的圆心坐标为________． 【详解】圆的方程为222440x x y y +++-=,化为:22(1)(2)9x y +++=. 圆的圆心坐标为:(1,2)--.故答案为:(1,2)--.典例2、求满足下列条件的各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径长为3;(2)圆心为点()3,4C ,半径长是5(3)圆心为点(8,3)C -,且经过点(5,1)P【详解】(1)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为圆心在原点，即0,0a b ==，又由半径长为3，即3r =，圆的标准方程为229x y +=.(2)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，以为圆心为点()3,4C ,即3,4a b ==，半径长是5，即5r =，所以圆的标准方程为22(3)(4)5x y -+-=.(3)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为圆心为点(8,3)C -,即8,3a b ==-，又由圆经过点(5,1)P ，则22(85)(31)5r PC ==-+--=所以圆的标准方程为22(8)(3)25x y -++=.典例3、已知圆C 的圆心坐标为()3,0C ，且该圆经过点()0,4A .（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标.【详解】（1）圆以(3,0)为圆心，||5AB =为半径， 所以圆的标准方程为()22325x y -+=.（2）①k 不存在时，直线l 的方程为：0x =； ②k 存在时，设直线l 的方程为：4y kx =+，所以直线l 的方程为：724960x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或724960x y +-=.（3）设直线MN ：y kx t =+，()11,M x kx t +，()22,N x kx t +，联立方程()()()22222126160325y kx t k x kt xt x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩， 得()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=， ，所以直线l 的方程为：，所以过定点()6,12--. 题型二：直线与圆的位置关系 典例1、过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P Q 、,则直线PQ 的方程是 ______．解：圆2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=圆心(3,4)C ，半径为 过原点O 作C 的切线，切点分别为P ，Q ，∴直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，以OC 为直径的圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即22340x y x y +--=，两式相减得34200x y +-=， 即直线PQ 的方程为34200x y +-=，故答案为：34200x y +-=．典例2、已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0.（1）直线l 的方程为30x y -=，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB|的值；（2）从圆C 外一点P （4，4）引圆C 的切线，求此切线方程．【详解】（1）化圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0为：（x ﹣2）2+y 2＝4，知圆心（2，0）为半径为2， 故圆心到直线的距离2131d ==+，∴22223AB R d =-=； （2）当斜率不存在时，过P （4，4）的直线是x ＝4，显然是圆的切线；当斜率存在时，设直线方程为y ﹣4＝k （x ﹣4）．由24221kk -=+，解得34k =． 此时切线方程为3x ﹣4y+4＝0.综上所述：切线方程为x ＝4或3x ﹣4y+4＝0.典例3、已知0m >，0n >，若直线()()1120m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围为（ ）A ．)222,⎡++∞⎣B ．)222,⎡-+∞⎣C ．2,222⎡⎤+⎣⎦D ．(0,222⎤+⎦ 【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22111x y -+-=，该圆的圆心坐标为()1,1，半径为1，由于直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切， 则()()22111m nm n +=+++，化简得1m n mn ++=， 由基本不等式可得212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，即()()2440m n m n +-+-≥， 当且仅当m n =时，等号成立，0m >，0n >，0m n ∴+>，解得222m n +≥+. 因此，m n +的取值范围是)222,⎡++∞⎣.故选：A.【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数的取值范围，解题的关键就是利用基本不等式构造不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.典例4、函数211y x =-+ 与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点,则实数k 的取值范围是________. 【详解】由题意可知，函数211y x =-+的图象是以(0,1)为圆心，半径为1r =的上半圆.函数(2)y k x =-的图象是恒过点(2,0)的直线l .如图所示若使得函数211y x =-+ 与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点则需直线l 夹在半圆的切线1l 与过点(1,1)的直线2l 之间，即12l l k k k <≤ 直线2l 过点(1,1)与点(2,0)∴221101l k -==-- 又直线1l 为半圆22(1)1y x +-=(1)y ≥的切线∴圆心(0,1)到直线1l ：1(2)l y k x =-的距离等于半径1r = 即112|(02)1|1()1l l k k --=+，解得143l k =-∴413k -<≤-故答案为：4(,1]3-- 典例5、已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．32B ．52C ．522+D ．322+【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=）， 所以A 在以(1,1)C 为圆心，2为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，半径为2， 22(12))(13)5CD =+++=，∴AB 的最大值为22522CD ++=+．故选：C.题型三：圆与圆的位置关系典例1、已知圆221:2410C x y x y ++-+=，圆222:(3)(1)1C x y -++=，则这两个圆的公切线条数为（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 【详解】根据题意，圆221:2410C x y x y ++-+=，即22+1+24x y -=（）（）其圆心为12-（，），半径12r =， 圆222:(3)(1)1C x y -++=，其圆心为31-（，），半径21r =， 则有221212435C C r r =+=>+，两圆外离，有4条公切线；故选：D ． 典例2、已知圆22()()8(0)x a y a a -+-=>与圆222x y +=有公共点，则a 的取值范围是________．【详解】因为圆22()()8(0)x a y a a -+-=>与圆222x y +=有公共点，所以两圆位置关系为外切、相交、内切，所以得到22222222a a ≤≤-++，因为0a >，故解得13a ≤≤，即a 的取值范围为[]1,3.故答案为：[]1,3.典例3、点A 、B 分别为圆M ：x 2＋(y －3)2＝1与圆N ：(x －3)2＋(y －8)2＝4上的动点，点C 在直线x ＋y ＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【详解】解：设M(0，3)关于直线的对称点为P(－3，0)，且N(3，8) ∴故选A.题型四：轨迹问题典例1、设P ()1,0是圆O ：224x y +=内一定点，过P 作两条互相垂直的直线分别交圆O 于A 、B 两点，则弦AB 中点的轨迹方程是_________.【详解】设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y .则12122,2x x x y y y =+=+. (1)由题意,A B 均在圆O 上则有：222211224,4x y x y +=+=. (2) 又由条件有BP AP ⊥，即0BP AP ⋅=.即BP AP ⋅=1122(1,)(1,)x y x y --⋅--=1212121()0x x x x y y +-++= （3）将（1）代入（3）中有：121212121x x y y x x x +=+-=- （4）将（1）中两式平方相加得：2222121244()()x y x x y y +=+++. 即222222112211224422x y x x x x y y y y +=+++++ （5）将（2），（4）代入（5）得：224482(21)x y x +=+-. 即弦AB 中点的轨迹方程是2222230x y x +--=.故答案为：2222230x y x +--= 典例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()3,0A ，()0,3B ，动点M 满足，则OM 斜率k 的取值范围是（ ）A B C 3224⎤⎡-⎥⎢⎦⎣D 2334⎤⎡-⎥⎢⎦⎣解析：设点(,)M x y ，∵MB =，∴2222(3)4[(3)]x y x y +-=-+， 整理得：22(4)(1)8x y -++=，则点M 是以(4,)1-为圆心，2为半径的圆，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，故选：A 跟踪训练1、圆心为()2,3A -，半径等于5的圆的方程是( )A.22(2)(3)5x y -++=B.22(2)(3)5x y ++-=C.22(2)(3)25x y -++=D.22(2)(3)25x y ++-=解析：因为圆心(),a b 即为()2,3-，半径=5r ，所以圆的标准方程为：()()222325x y -++=，故选：C.【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.2、已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是______．【详解】根据题意，圆C 的圆心在直线0x y -=上，设圆C 的圆心为(,)a a ，半径为r . 又由圆C 过点(2,2)且与直线0x y +=相切，解得1a =，故圆心的坐标为(1,1)，则222(2)(2)2r a a =-+-=， 则圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=.故答案为：22(1)(1)2x y -+-=．3、方程22220x y ax y ++++=表示圆，则实数a 的取值范围是__________． 解：方程22220x y ax y ++++=表示圆，222420a ∴+-⨯> 24a ∴>22a a ∴<->或，即()(),22,a ∈-∞-+∞，故答案为：()(),22,-∞-+∞4的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）k由直线l 与圆221x y +=有公共点得D. 5、已知圆的方程为222880x y x y ++-+=，过点(1,0)P 作该圆的一条切线，切点为A ，那么线段PA 的长度为______．【详解】圆222880x y x y ++-+=，即22(1)(4)9x y ++-=，故(1,4)C -为圆心、半径3R =，6、已知圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，当圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大时，k 的值为（ ）A ．15- B ．-5 C ．15 D ．5解：因为圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，配方可得22(1)(1)1x y ++-=， 所以圆的圆心为(1,1)C -半径1r =，直线40kx y ++=可化为4y kx =--，恒过定点(0,4)B -，当直线与BC 垂直时，圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大，由斜率公式可得BC 的斜率为4150(1)--=---， 由垂直关系可得：(5)1k -⨯-=-，解得15k =-，故选：A ． 7、知点(),P x y 在圆C ：()()22111x y -+-=上，则2y x+的最小值是____________． 【详解】2y x +表示圆上的点和点()0,2-连线的斜率， 设直线2y kx +=，即20kx y --=，如图，当直线与圆相切时，此时直线的斜率最小，21211k k --∴=+ ，解得：43k =故答案为：438、若关于x 的方程222x x kx -+=+有且只有一个实数解，则实数k 的取值范围是____.解析：可设2122,2y x x y kx =-+=+，其中212y x x =-+可转化为()2211x y -+=，[]02x ,∈，可转化成直线与圆的位置关系问题，画出图形，再进行求解。
高中数学必修二圆与方程经典例题
习题优选精讲圆标准方程已知圆心 C (a, b) 和半径 r ，即得圆的标准方程(xa) 2 ( y b) 2 r 2 ；已知圆的标准方程 ( x a) 2( y b) 2r 2 ，即得圆心 C (a,b) 和半径 r ，从而可解得与圆相关的任何问题 .一、求圆的方程例1(06 重庆卷文 ) 以点 (2, 1) 为圆心且与直线 3x4 y5 0 相切的圆的方程为 () (A) (x 2)2 ( y 1) 2 3 (B) ( x2) 2 ( y 1) 23 (C) ( x2)2( y 1)29(D) ( x 2)2( y 1) 29解 已知圆心为 (2, 1) ，且由题意知线心距等于圆半径，即d 64 53 r ，∴所求的圆方程为 ( x2) 2( y 1)29 ，32 42应选 (C) .评论：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程 ( x a) 2( yb)2 r 2 即得圆的方程 .二、地点关系问题例2(06 安徽卷文 ) 直线 x y1 与圆 x2y 2 2ay0 (a 0) 没有公共点，则 a 的取值范围是 ()(A) (0, 2 1)(B) ( 2 1, 2 1)(C) (21, 2 1)(D) (0,2 1)解 化为标准方程 x 2( y a) 2a 2 ，即得圆心 C (0, a) 和半径 r a .∵ 直 线 xy 1 与 已 知 圆 没 有 公 共 点 ， ∴ 线 心 距 da 1r a ， 平 方 去 分 母 得 a 22a 1 2a 2， 解 得22 1a2 1，注意到 a 0，∴ 0 a 2 1，应选 (A) .评论：一般经过比较线心距 d 与圆半径 r 的大小来办理直线与圆的地点关系： d r 线圆相离； dr线圆相切； d r线圆订交 .三、切线问题例3(06 重庆卷理 ) 过坐标原点且与圆 x2y 24x 2 y5 0 相切的直线方程为 ( )11 2(A) y3x 或 yx(B) y3x 或 y3x3(C) y3x 或 y1 x(D) y3x 或 y1 x33解 化为标准方程 ( x2) 2( y 1)2 5 ,即得圆心 C(2, 1) 和半径 r5 .2 2ykx ，即 kxy0 ，∴线心距 d 2k 1r53)0 设过坐标原点的切线方程为k 2 1，平方去分母得 (3k 1)(k，解得2k3 或 1，∴所求的切线方程为 y 3x 或 y 1x ，应选 (A) .3 3评论：一般经过线心距 d 与圆半径 r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来办理切线问题四、弦长问题例 4 (06 天津卷理 ) 设直线 ax y 3 0 与圆 (x 1) 2( y 2) 2 4 订交于 A 、 B 两点，且弦 解 由已知圆 (x 1)2( y 2)24 ，即得圆心 C (1,2)和半径 r 2 .a 1 ，且 d( AB )2a 1) 2 ( 3)22 2 ，即 (a 1) 2 ∵线心距 d2r 2，∴ (a 212a 21.AB 的长为 2 3 ，则 a.a 2 1 ，解得 a0 .评论：一般在线心距 d 、弦长 AB 的一半和圆半径 r 所构成的直角三角形中办理弦长问题： d 2 (AB )2r 2 .五、夹角问题2例5(06 全国卷一文 ) 从圆 x22x y 2 2 y 10外一点 P(3,2) 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()1 33(D) 0(A)(B)(C)252解 已知圆化为 (x 1) 2 ( y1) 2 1，即得圆心 C (1,1) 和半径 r 1.设 由 P(3,2) 向这个圆作的两条切线的夹角为，则 在 切 线 长、 半 径 r 和 PC 构 成 的直 角 三 角 形中 ， cos2 ， ∴325cos2 cos 21 ，应选 (B) .2 5评论：办理两切线夹角 问题的方法是：先在切线长、半径r 和 PC 所构成的直角三角形中求得的三角函数值，再用二倍角公式解决2夹角问题 . 六、圆心角问题例6(06 全国卷二 ) 过点 (1, 2 ) 的直线 l 将圆 ( x 2)2 y 2 4 分红两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率 k.解 由已知圆 ( x 2) 2 y 2 4 ，即得圆心 C(2,0) 和半径 r2 .设P(1, 2)，则k PC2 ；∵ PC直线 l 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率 k12kPC.2评论：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系办理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小 .七、最值问题例7(06 湖南卷文 ) 圆 x2y 2 4x 4 y 10 0 上的点到直线 x y 140 的最大距离与最小距离的差是()(A) 30(B) 18(C) 6 2 (D) 5 2解 已知圆化为 (x2) 2 ( y2)2 18 ，即得圆心 C (2,2) 和半径 r 3 2 .设线心距为 d ，则圆上的点到直线x y 14 0 的最大距离为 d r ，最小距离为 dr ，∴ (d r ) (dr ) 2r 6 2 ，故选(C) .评论： 圆上一点到某直线距离的最值问题一般转变为线心距d 与圆半径 r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为 d r ，最小距离为 d r .八、综合问题例8(06 湖南卷理 ) 若圆 x2y 24x 4 y10 0 上起码有三个不一样的点到直线l : ax by的距离为 2 2 ，则直线 l 的倾斜 角的取值范围是 ( )(A) [ , ] (B) [ , 5(C) [, ](D) [0, ]]12 4 12 126 32解 已知圆化为 ( x2) 2( y 2)218 ，即得圆心 C (2,2) 和半径 r 3 2 .l : ax by 0的距离为 2 2 ，∴ d2a 2b2 22 ，即 a 2 4ab b 20 ，∵圆上起码有三个不一样的点到直线a 2 rb 2由直线 l 的斜率ka代入得 k24k 1 0，解得 23 k 23 ，又 tan23 ，tan 523 ，∴直线 l 的b, 51212 倾斜角的取值范围是[] ，应选 (B) .12 12圆的方程1.确立圆方程需要有三个相互独立的条件 .圆的方程有两种形式，要注意各样形式的圆方程的合用范围.(1) 圆的标准方程： (x －a)2＋ (y －b) 2＝ r 2，此中 (a ，b)是圆心坐标， r 是圆的半径；(2) 圆的一般方程：2222－4F ＞0)，圆心坐标为 ( D E D 2 E 24Fx＋y ＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝0 (D ＋ E,) ，半径为 r ＝22.直线与圆的地点关系的判断方法 .22(1)法一：直线： Ax ＋ By ＋ C ＝0；圆： x 2＋ y 2＋Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0.Ax By C订交消元 一元二次方程判 别 式相切x 2 y 2 Dx EyF相离Aa Bb Cd r 订交 (2) 法二：直线：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0；圆：(x － a)2＋(y － b)2＝r 2，圆心 (a ，b)到直线的距离为d ＝d r 相切 . A 2B2dr相离3. 两圆的地点关系的判断方法 .设两圆圆心分别为 O 1、 O 2，半径分别为 r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆地点关系以下：｜ O 1O 2｜＞ r 1＋ r 2 两圆外离； ｜ O 1O 2｜＝ r 1＋ r 2两圆外切；｜ r 1－r 2｜＜｜ O 1O 2｜＜ r 1＋ r 2两圆订交； ｜ O 1O 2｜＝｜ r 1－r 2｜ 两圆内切；０＜｜ O 1O 2｜＜｜ r 1－r 2｜ 两圆内含 .●点击双基1.方程 x 2+y 2－2（t+3）x+2（1－4t 2）y+16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则 t 的取值范围是11 C.－ 1D .1<t<2A. －1<t<B.－ 1<t< <t<172 7分析：由 D2+E2－4F>0，得 7t 2－ 6t － 1<0，即－1<t<1.答案： C72.点 P （ 5a+1，12a ）在圆（ x － 1） 2+y 2 =1 的内部，则 a 的取值范围是 A. ｜a ｜＜ 111 1＜C.｜ a ｜＜D.｜ a ｜＜135131分析：点 P 在圆（ x － 1）2+y 2 =1 内部 （ 5a+1－1） 2+（12a ）2＜ 1｜a ｜＜.答案： D133.已知圆的方程为（x － a ） 2+ （y － b ）2 =r 2（r >0），以下结论错误的选项是 A. 当 a 2+b 2 =r 2时，圆必过原点B.当 a=r 时，圆与 y 轴相切C.当 b=r 时，圆与 x 轴相切 D .当 b<r 时，圆与 x 轴订交分析：已知圆的圆心坐标为 （ a ，b ），半径为 r ，当 b<r 时，圆心到 x 轴的距离为 |b|，只有当 |b|<r 时，才有圆与 x 轴订交，而 b<r 不可以保证 |b|<r ，故 D 是错误的 .应选 D.答案： D●典例分析【例 2】 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x － 3y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 27 ，求此圆的方程 .分析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.x －3b ） 2+ （y － b ） 2=9b 2. 解：因圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x －3y=0 上，故设圆方程为（又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 7，则有（| 3b b |） 2+ （ 7 ）2=9b 2，解得 b=± 1.故所求圆方程为2（ x － 3）2+（ y －1）2=9 或（ x+3） 2+ （y+1）2 =9.夯实基础1.方程 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（ D 2 ＋ E 2－ 4F ＞ 0）表示的曲线对于 x+y=0 成轴对称图形，则A. D+E=0B. B.D+F=0C.E+F=0D. D+E+F=0 分析：曲线对于 x+y=0 成轴对称图形，即圆心在 x+y=0 上 .答案： AA.1 条B.2 条C.3 条D.4 条分析：分别以 A 、B 为圆心，以 1、 2 为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求 .答案： B3.（ 2005 年黄冈市调研题）圆 x 2+y 2+x －6y+3=0 上两点 P 、Q 对于直线kx － y+4=0 对称，则 k=____________.分析：圆心（－ 1，3）在直线上，代入 kx －y+4=0 ，得 k=2.答案： 224.（ 2004 年全国卷Ⅲ， 16）设 P 为圆 x 2+y 2=1 上的动点，则点 P 到直线 3x －4y －10=0 的 距离的最小值为 ____________.分析：圆心（ 0，0）到直线 3x － 4y － 10=0 的距离 d=| 10 |=2.再由 d － r=2－ 1=1，知最小距离为1.答案： 155.（ 2005 年启东市调研题） 设 O 为坐标原点， 曲线 x 2 +y 2+2x － 6y+1=0 上有两点 P 、Q ，知足对于直线 x+my+4=0 对称，又知足 OP · OQ =0.（1）求 m 的值；（ 2）求直线 PQ 的方程 .解：（ 1）曲线方程为（ x+1） 2+（y － 3）2 =9 表示圆心为（－1，3），半径为 3 的圆 .∵点 P 、Q 在圆上且对于直线 x+my+4=0 对称，∴圆心（－1，3）在直线上 .代入得 m=－ 1.（2）∵直线 PQ 与直线 y=x+4 垂直，2x2+2（ 4－b ）x+b2－ 6b+1=0.∴设 P （x 1 ，y 1）、 Q （ x 2， y 2）， PQ 方程为 y=－x+b.将直线 y=－ x+b 代入圆方程，得22）>0，得 2－3 2 <b<2+3 2 .由韦达定理得 x 1 2 1·x 2 b 2 6b 1=4（4－ b ） = .+x = －（ 4－ b ）， x22 b 2 6b 12y 1·y2=b －b （ x1+x 2）+x 1· x2=+4b.∵ OP · OQ =0，∴ x 1 x 2+y 1y 2 =0，即 b －6b+1+4b=0.2解得 b=1∈（ 2－ 3 2 ， 2+3 2 ）. ∴所求的直线方程为 y=－ x+1.培育能力7.已知实数 x 、 y 知足方程 x 2+y2－ 4x+1=0. 求（ 1） y的最大值和最小值； （2）y － x 的最小值；（3） x2+y2的最大值和最小值 .x解：（ 1）如图，方程 x 2+y 2－ 4x+1=0 表示以点（ 2，0）为圆心，以3 为半径的圆 .yP C O(2,0)x设y=k ，即 y=kx ，由圆心（ 2， 0）到 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率获得最大、最小值.由 | 2k0| = 3 ， xk 21解得 k 2=3. 所以 k max =3 ，k min =－ 3 .（2）设 y －x=b ，则 y=x+b ，仅当直线 y=x+b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值 .由点到直线的距离公式，得| 2 0 b |2 =3 ，即 b=－ 2±6 ，故（ y － x ）min =－ 2－ 6 .（3）x 2+y2是圆上点与原点距离之平方， 故连结 OC ，与圆交于 B 点，并延伸交圆于 C ′，则（ x2+y2）max = ｜OC ′｜ =2+3 ，（x 2+y2）min =｜OB ｜=2－ 3.8.（文）求过两点 A （ 1， 4）、 B （ 3， 2），且圆心在直线 y=0 上的圆的标准方程 .并判断点 M 1（2，3），M 2（ 2， 4）与圆的地点关系 .解：依据圆的标准方程，只需求得圆心坐标和圆的半径即可 . 因为圆过4 2A 、B 两点，所以圆心在线段 AB 的垂直均分线上 .由 k AB ==－1， AB 的中点为（ 2，3），1 3故 AB 的垂直均分线的方程为 y －3=x －2，即 x －y+1=0. 又圆心在直线 y=0 上，所以圆心坐标是方程组 x －y+1=0 ，1，0）.y=0 的解，即圆心坐标为（－半径 r =( 11) 2 (0 4) 2 = 20 ，所以得所求圆的标准方程为（ x+1） 2+y 2=20.因为 M 1 到圆心 C （－ 1 ， 0）的距离为(2 1)2(3 0)2 = 18 ， |M 1C|<r ，所以 M 1在圆 C 内；而点 M 2 到圆心 C 的距离|M 2C|=(2 1)2 (4 0)2= 25 > 20 ，所以 M 2在圆C外.“求经过两圆 x 2y 2 6x 40 和 x 2 y 2 6 y28 0 的交点，并且圆心在直线 x y 40 上的圆的方程。
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)²+y²=5B。
x²+(y-2)²=5C。
(x+2)²+(y+2)²=5D。
x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1-√2D。
1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
2或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。
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标准方程(x - a )2+ (y - b )2= r 2 ，圆心(a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
二、圆的方程（1） ；点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2的位置关系：当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内（2） 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为⎛- DE ⎫ ，半径为r =当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点； 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。
,- ⎪ ⎝ 2 2 ⎭2（3） 求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 .（1） 此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（2） 若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由.答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习：1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（）Ａ．以(1，- 2) 为圆心， 为半径的圆Ｂ．以(1，2) 为圆心， 为半径的圆Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心， 为半径的圆Ｄ．以(-1，2) 为圆心， 为半径的圆2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )．A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（ ）Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1Ｃ． a < -1 或 a > 1Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + (-1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 .6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是．1D 2 +E 2 - 4FMQ 2 -1 MO 2 -1 2 b)= r 2， 8. 求过原点，在 x 轴，y 轴上截距分别为 a ，b 的圆的方程(ab ≠0)．9. 求经过 A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程． 10. 求经过点(8，3)，并且和直线 x ＝6 与 x ＝10 都相切的圆的方程．三、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线l : Ax + By + C = 0 ，圆C : (x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心C (a , b )到 l 的距离为 d =，则有 d > r ⇔ l 与C 相离； d = r ⇔ l 与C 相切； d < r ⇔ l 与C 相交A 2 +B 2（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k ，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-例２ 已知圆 M : x 2 + ( y - 2)2 = 1,Q 是 x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆 M 于 A ，B 两点(1) 若点 Q 的坐标为（1，0），求切线 QA 、QB 的方程；(答：切线 QA 、QB 的方程分别为3x + 4 y - 3 = 0 和 x = 1)(2) 求四边形QAMB 的面积的最小值； （答∴ S MAQB = MA ⋅ Q A = QA = = ≥ =）(3) 若 AB=，求直线 MQ 的方程.（答：直线 MQ 的方程为2x + 5 y - 2 = 0 或 2x - 5 y + 2 = 0 ）练习：1. 以点(－3，4)为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝19 2．若直线 x ＋y ＋m ＝0 与圆 x 2＋y 2＝m 相切，则 m 为( )． A ．0 或 2B ．2C ．D ．无解３.直线l 过点（- 2，0）， l 与圆 x 2 + y 2 = 2x 有两个交点时，斜率k 的取值范围是()A （- 2 2，2 2）B （- 2，2）C （-2 ， 2） D （- 1 1）4 48 8４．设圆 x 2＋y 2－4x －5＝0 的弦 AB 的中点为 P (3，1)，则直线 AB 的方程是． ５． 圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝20 在 x 轴上截得的弦长是 。
６． P 为圆 x 2 + y 2 = 1上的动点，则点 P 到直线3x - 4 y - 10 = 0 的距离的最小值为７．圆 x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0 上的动点 Q 到直线 3x ＋4y ＋8＝0 距离的最小值为．MQ 2 - MA 2 34 2 35 5 Aa+ Bb + C８．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0 相切的圆的方程为．９．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0 分成1∶2 两部分的圆的方程．1 12．（本小题 15 分）已知圆 C ： ( x -1)2+ y 2 = 9 内有一点 P （2，2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A 、B 两点． (1) 当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程；(2) 当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 l 的方程； (3) 当直线 l 的倾斜角为 45º 时，求弦 AB 的长．13（本小题 15 分）已知动点 M 到点 A （2，0）的距离是它到点 B （8，0）的距离的一半， 求：（1）动点 M 的轨迹方程；（2）若 N 为线段 AM 的中点，试求点 N 的轨迹．四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
设圆C : (x - a )2 + (y - b )2= r 2 ， C : (x - a )2 + (y - b )2 = R 21 1 12 2 2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
当 d = R + r 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当R - r < d < R + r 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 时，两圆内含； 当 d = 0 时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点例 4 已知圆C : (x + 2)2 + y 2 = 4 ，相互垂直的两条直线l 、l （Ⅰ）若l 1 、l 2 都和圆C 相切，求直线l 1 、l 2 的方程；都过点 A (a , 0) .（Ⅱ）当 a = 2 时，若圆心为 M (1, m ) 的圆和圆C 外切且与直线l 1 、l 2 都相切，求圆 M 的方程； （Ⅲ）当 a = -1 时，求l 1 、l 2 被圆C 所截得弦长之和的最大值.答 案 ： （ １ ） l 1 、 l 2 的 方 程 分 别 为 l 1 : y = x - 2 + 2 与 l 2 : y = -x - 2 + 2 或l 1 : y = x + 2 + 2 与l 2 : y = -x + 2 2 + 2（２）圆 M 的方程为(x - 1)2 + ( y ± 7 )2 = 4（３）即l 1 、l 2 被圆C 所截得弦长之和的最大值为21．两个圆 C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0 与 C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0 的位置关系为( )． A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离2. 圆 x 2＋y 2－2x －5＝0 与圆 x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0 的交点为 A ，B ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是 ( )． A ．x ＋y －1＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．x －2y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝03. 圆 x 2＋y 2－2x ＝0 和圆 x 2＋y 2＋4y ＝0 的公切线有且仅有( )． A ．4 条 B ．3 条 C ．2 条 D ．1 条14．两圆 x 2＋y 2＝1 和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25 相切，试确定常数 a 的值．6． 两圆 x 2 + y 2 = 9 和 x 2 + y 2 - 8x + 6 y + 9 = 0 的位置关系是（ ）A 相离B 相交C 内切D 外切7． 圆： x 2 + y 2 - 4x + 6 y = 0 和圆： x 2 + y 2 - 6x = 0 交于 A , B 两点，则 AB 的垂直平分线的方程是2 2 2 142 d = R - r d < R - r0 0 8．两圆 x 2 + y 2 = 1和(x + 4)2 + ( y - a )2 = 25 相切，则实数 a 的值为五、求圆的轨迹方程1、点 P (x , y ) 是圆x 2 + y 2 = 4 上的动点，点 M 为OP （O 为原点）中点，求动点 M的轨迹方程。