高中数学圆的方程典型例题总结归纳
高中数学例题：圆的标准方程
高中数学例题：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上；(3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++=【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为||0CB = ，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C -∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++= 又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r =∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2；（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A ．(x ―4)2+(y+1)2=10B ．(x+4)2+(y ―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100 D．22(4)(1)x y -++=【答案】A例2．求圆心在直线2x ―y ―3=0上，且过点（5，2）和（3，―2）的圆的方程．【答案】(x ―2)2+(y ―1)2=10【解析】 解法一：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ，由题意得222222230(5)(2)(3)(2)a b a b r a b r --=⎧⎪-+-=⎨⎪-+--=⎩，解方程组得a=2，b=1，r =∴所求圆的方程为(x ―2)2+(y ―1)2=10．解法二：因点（5，2）和（3，―2）在圆上，故圆心在这两点所连线段的垂直平分线上，可求得垂直平分线的方程为x+2y ―4=0．又圆心在直线2x ―y ―3=0上，故圆心为两直线的交点．由230240x y x y --=⎧⎨+-=⎩求得两直线交点为（2，1），故所求圆的方程为(x ―2)2+(y ―1)2=10．【总结升华】求圆的标准方程的关键是求圆的坐标和圆的半径，这就需要充分挖掘题目中所给的几何条件，并充分利用平面几何中的有关知识求解，如“若圆经过某两点，则圆心必在这两点连线的中垂线上”等．举一反三：【变式1】（1）过点(2,3),(2,5)A B ---且圆心在直线230x y --=上；（2）与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为【答案】（1）22(1)(2)10x y +++=（2）22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=【解析】（1）设圆的方程为：()222()x a y b r -+-=，则()()()()2222222325230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+--=⎨⎪--=⎪⎩，解得：21,2,10a b r =-=-=所求圆的方程为：22(1)(2)10x y +++=（2）设圆的方程为：()222()x a y b r -+-=，则()222230142r b a b a b r ⎧=⎪⎪-=⎨⎪-+=⎪⎩解得：2139a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或2139a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩ 所求圆的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．。
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
最新高中数学圆的方程经典例题与解析
精品文档高中数学圆的方程经典例题与解析0?yA(1,4))4P(2,3B(,2)与且圆心在直线、例1 求过两点上的圆的标准方程并判断点圆的关系．P与圆的分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆位置关系，只须看点外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．（待定系数法）解法一：222r??b)x(?a)?(y．设圆的标准方程为222r?(x?a)y?0?y0?b．上，故∴圆的方程为∵圆心在．22?r(1?a)?16??)A(1,4)B(3,2∴两点．、又∵该圆过?22?r?)?4(3?a?22220??1)?y(x20r?1a??，解之得：．所以所求圆的方程为．（直接求出圆心坐标和半径）解法二：)4(1,A)23,B(lCAB又因为两点，所以圆心因为圆过的垂直平分线、必在线段上，2?41k???),3(2llABAB的方程，故的中点为，故的垂直平分线的斜率为1，又AB31?01?x?2x?y?y?3?即为：．0?y)0C(?1,上，故圆心坐标为又知圆心在直线2222204?1)?r?AC?(1?20?1)??y(x故所求圆的方程为∴半径．．22r??251)?4PCd??(2?)P(2,4)C0?1,(．又点到圆心的距离为P∴点在圆外．都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，若将点换成直然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？??22，P244y?O：x?O，求过点相切的切线．已知圆例2与圆????，4P24?x?y?k2OPT∵点上，∴切线的直线方程可设为不在圆解： ?2k?43?k2?r?d解得根据∴42k1?3???42x?y?3x?4y?10?0所以即4精品文档．精品文档因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条2x?切线为．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．解决（也要本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于02ry?x?yxyx、．还可以运用此时没有漏解．，求出切点坐标的值来解决，注意漏解）0000224?x?y0?3x?y?23得的劣弧所对的圆心角为例3截圆、直线2222r?d?AB?3?d是等边三角，从而△解：依题意得，弦心距OAB，故弦长??AOB?.形，故截得的劣弧所对的圆心角为3229)?(y?3(x?3)?011??4y?3x的点有几个？4例圆上到直线的距离为1ll、借助图形直观求解．或先求出直线的方程，从代数计算中寻找解答．分析：2122),3(O39?3)?(x?3)?(y3r?，半径的圆心为．圆解法一：111?4?33?3?3d???2O011??4y?3x d，则的距离为设圆心．到直线12243?lO0?11?3x?4y与圆有两个交1同侧，与直线的直线如图，在圆心平行且距离为11点，这两个交点符合题意．12??d?3?r又．0??11x?4y3∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．3个．∴符合题意的点共有011??4y?3x的直线和圆的解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1m?11??1d0m?4yx3??，，则交点．设所求直线为2243?m??6m?5??16m?11?，也即∴，或，即l：3x?4y?6?0l：3x?4y?16?0．，或2122lldd：y?3O9)?()?(x3?设圆、、的圆心到直线的距离为，则12121精品文档．精品文档163?3?6?3?4?3?3?4?31?3?d?d?．，212222443??3llOOOO有两个公共点．即符与圆相切，与圆相交，与圆∴有一个公共点；与211111 3个．合题意的点共说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：11?3?4?33?3??d?2O011?4y?3x?d设圆心的距离为到直线，则．1224?3O03x?4?y?11的点有两个．∴圆距离为到110?11?y3x?4drd?，只能说明此直是圆心到直线的距离，显然，上述误解中的线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．因此到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，一般根据圆与题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．22220y??4y??x?y2x?0x条。
高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结
圆与方程知识点1.圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：1圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r==+2圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC==-max PA AM r AC==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1)当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D .(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-=1条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；2条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；3条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；4条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；5无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：1若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；2若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：1上述圆系不包括2C ；22）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）3过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为。
高中数学讲义圆的方程
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.
由此有
解此方程组得
由于r2=2b2知 于是,所求圆的方程是:
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
【例3】已知圆 ，求（1） 的最大值（2） 的最大值与最小值（3） 的最小值
变式1．已知 满足 ,则 的最小值为
提示：以上两题都用数形结合法来解。
【例4】在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限、半径为 的圆 与直线 相切于坐标原点 ．椭圆 与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 ．
(1)求圆 的方程；
(2)试探究圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到椭圆右焦点 的距离等于线段 的长．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用.
重点:
1.圆的两种方程的基本形式以及圆方程的充要条件。
2.圆方程的常用求法。
3.有关于圆方程的综合应用。
4.待定系数法和数形结合法。
【课堂练习】
1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为(x+ 1)2+ (y－1)2=25
解:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.
由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴的弦长为 ，故r2=2b2
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.
又点P(a,b)到直线x2y=0的距离为
高中数学圆的方程典型例题总结归纳
高中数学圆的方程典型例题例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a ra解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 说明：此题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴21422=++-k k 解得43=k 所以()4243+-=x y 即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存有．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存有的情况，要注意补回漏掉的解．此题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还能够使用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．类型三：弦长、弧问题例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .类型四：直线与圆的位置关系.例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，所以题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 类型五：圆与圆的位置关系例15：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
高中数学必修二9.圆的方程
授课内容 圆的方程教学内容知识梳理一、圆的标准方程1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程.二、点与圆的位置关系点),(00y x M 与圆222)()(r b y a x =-+-的关系的判断方法：（1）222)()(r b y a x >-+-，点在圆外.（2）222)()(r b y a x =-+-，点在圆上.（3）222)()(r b y a x <-+-，点在圆内.【例题精讲】例1、写出圆心为A (2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M 1(5，–7)，2(5,1)M --是否在这个圆上.例2、△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.例3、已知圆心为C的圆C. 经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在-yl上，求圆C的标准方程.+x1:=【同步练习】1、圆心在直线0x上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.-y-2=32、已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.3、过点(1,1)B-且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（）.A-、(1,1)A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4C.（x－1）2＋（y－1）2＝4D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝44、求下列各圆的方程：（1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --5、圆经过点(5,0)A 与(2,1)B -，圆心在直线3100x y --=上，求此圆的方程.专题精讲一、圆的标准方程1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程.二、点与圆的位置关系点),(00y x M 与圆222)()(r b y a x =-+-的关系的判断方法：（1）222)()(r b y a x >-+-，点在圆外.（2）222)()(r b y a x =-+-，点在圆上.（3）222)()(r b y a x <-+-，点在圆内.【例题精讲】例1、写出圆心为A (2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，2(1)M -是否在这个圆上.例2、 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.例3 、已知圆心为C 的圆C . 经过点A (1，1)和B (2，–2)，且圆心在xl上，求圆C的标准方程.-y+1:=【同步练习】1、圆心在直线0-yx上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.-2=32、已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.3、过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）.A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝44、求下列各圆的方程：（1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --5、圆经过点(5,0)A 与(2,1)B -，圆心在直线3100x y --=上，求此圆的方程.圆方程的求法一、圆的标准方程1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程.二、点与圆的位置关系点),(00y x M 与圆222)()(r b y a x =-+-的关系的判断方法：（1）222)()(r b y a x >-+-，点在圆外.（2）222)()(r b y a x =-+-，点在圆上.（3）222)()(r b y a x <-+-，点在圆内.【例题精讲】例1、写出圆心为A (2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，2(1)M -是否在这个圆上.例2、 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.例3、已知圆心为C的圆C. 经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在xl上，求圆C的标准方程.-y:=1+【同步练习】1、圆心在直线0-yx上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.-2=32、已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.3、过点(1,1)B-且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（）.A-、(1,1)A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4C.（x－1）2＋（y－1）2＝4D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝44、求下列各圆的方程：（1）过点(2,0)A-，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270--A Bx y--=上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)115、圆经过点(5,0)A 与(2,1)B -，圆心在直线3100x y --=上，求此圆的方程.作业布置1. 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )．A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )．A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝13、圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ）.A . 2B.C. 1D.4．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )．A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝45、如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________．。
高中数学--圆的方程知识点题型归纳
高中数学--圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：⎝⎛⎭⎪⎪⎫－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F1、圆的标准方程与一般方程的互化（1）将圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.（2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为：(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F4①当D 2＋E 2－4F >0时，该方程表示以(－D2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．（二）点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.（三）温馨提示1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝122x x + ，y ＝122yy + .二、典例归纳考点一：有关圆的标准方程的求法【例1】 圆的圆心是 ，半径是 .【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)【例3】圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y －3)2＝1【例4】圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y －2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5【变式1】已知圆的方程为()()()()12240x x y y --+-+=，则圆心坐标为【变式2】已知圆C 与圆()2211x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为【变式3】 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋(y－1)2＝1【变式4】已知ABC∆的顶点坐标分别是()1,5A-，()∆外接圆的方程.5,5B，()C-，求ABC6,2方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．考点二、有关圆的一般方程的求法【例1】 若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A .14＜m ＜1B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1【例2】 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0【例3】 圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．【变式1】 已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点，P 点关于直线210x y +-=的对称点也在圆C上，则实数a =【变式2】已知一个圆经过点()3,1A、()1,3B-，且圆心在320--=上，求圆的方程.x y【变式3】平面直角坐标系中有()()()()A B C D-四点，这四点能否在同一个圆0,1,2,1,3,4,1,2上？为什么？【变式4】如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________________．方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组．2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化考点三、与圆有关的轨迹问题【例1】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y －1)2＝16【例2】方程2y x=--）25A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC∆中，若点,C B的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是（ ）A.223x y += B. 224x y += C.()2290x y y +=≠ D. ()2290x y x +=≠【例4】 已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (3,0)距离的比为12的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．【变式1】 方程()2111x y -=--所表示的曲线是（ ）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆 D. 两个半圆【变式2】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y －1)2＝16【变式3】如右图，过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹．【变式4】如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．考点四：与圆有关的最值问题【例1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________【例2】已知x，y满足x2＋y2＝1，则y－2x－1的最小值为________．【例3】 已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45 D.135【例4】已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．【变式1】 P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．【变式2】 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0)D．(1,3)【变式3】已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．【变式4】已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如u＝y－bx－a的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题（2）形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；（3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：d r （其中d为圆心到直线的距离）。
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类型一：圆的方程
例1求过两点 、 且圆心在直线 上的圆的标准方程并判断点 与圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 与圆的位置关系，只须看点 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：设点 、 的坐标为 、 ．一方面，由 ，得
，即 ，也即： ． ①
另一方面， 、 是方程组 的实数解，即 、 是方程 ②
的两个根．
∴ ， ． ③
又 、 在直线 上，
∴ ．
将③代入，得 ． ④
将③、④代入①，解得 ，代入方程②，检验 成立，
∴ ．
解法二：由直线方程可得 ，代入圆的方程 ，有
，
整理，得 ．
设圆心 到直线 的距离为 ，则 ．
如图，在圆心 同侧，与直线 平行且距离为1的直线 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
又 ．
∴与直线 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．
∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线 ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为 ，则 ，
∴ ，即 ，或 ，也即
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程 ．
可设圆的参数方程为 （ 是参数）．
则
（其中 ）．
所以 ， ．
(法2)圆上点到原点距离的最大值 等于圆心到原点的距离 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值 等于圆心到原点的距离 减去半径1．
由于 ，故可得
．
∴ ， 是上述方程两根．故 ．得
，解得 ．
经检验可知 为所求．
说明：求解本题时，应避免去求 、 两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点 、 存在．
解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于 的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．
又知圆心在直线 上，故圆心坐标为
∴半径 ． 故所求圆的方程为 ．
又点 到圆心 的距离为 ．
∴点 在圆外．
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
所以 ．
．
所以 ． ．
(2) (法1)由 得圆的参数方程： 是参数．
则 ．令 ，
得 ，
．
所以 ， ．
即 的最大值为 ，最小值为 ．
此时 ．
所以 的最上点，当直线与圆有交点时，如图所示，
两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由 ，得 ．
所以 的最大值为 ，最小值为 ．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．
类型五：圆与圆的位置关系
例15：圆 和圆 的公切线共有条。
解：∵圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，∴ .∵ ，∴两圆相交.共有2条公切线。
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为 ．
∵圆心在 上，故 ． ∴圆的方程为 ．
又∵该圆过 、 两点． ∴
解之得： ， ．所以所求圆的方程为 ．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过 、 两点，所以圆心 必在线段 的垂直平分线 上，又因为 ，故 的斜率为1，又 的中点为 ，故 的垂直平分线 的方程为： 即 ．
类型三：弦长、弧问题
例9、直线 截圆 得的劣弧所对的圆心角为
解：依题意得，弦心距 ，故弦长 ，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为 .
类型四：直线与圆的位置关系.
例13圆 上到直线 的距离为1的点有几个
分析：借助图形直观求解．或先求出直线 、 的方程，从代数计算中寻找解答．
解法一：圆 的圆心为 ，半径 ．
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
或
最后根据入射光与反射光关于 轴对称，求出入射光所在直线方程为
或
光路的距离为 ，可由勾股定理求得 ．
说明：本题亦可把圆对称到 轴下方，再求解．
类型七：圆中的最值问题
例19(1)已知圆 ， 为圆 上的动点，求 的最大、最小值．
(2)已知圆 ， 为圆上任一点．求 的最大、最小值，求 的最大、最小值．
令 ，同理两条切线在 轴上的截距分别是最大、最小值．
由 ，得 ．
所以 的最大值为 ，最小值为 ．
类型九：圆的综合应用
例25、已知圆 与直线 相交于 、 两点， 为原点，且 ，求实数 的值．
分析：设 、 两点的坐标为 、 ，则由 ，可得 ，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为 ，由直线 与圆的方程构造以 为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 的值，从而使问题得以解决．
例26、已知对于圆 上任一点 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
分析一：为了使不等式 恒成立，即使 恒成立，只须使 就行了．因此只要求出 的最小值， 的范围就可求得．
解法一：令 ，
由
得：
∵ 且 ，
∴ ．
即 ，∴ ，
∴ ，即
又 恒成立即 恒成立．
∴ 成立，
∴ ．
分析二：设圆上一点 [因为这时 点坐标满足方程 ]问题转化为利用三解问题来解．
解法二：设圆 上任一点
∴ ，
∵ 恒成立
∴
即 恒成立．
∴只须 不小于 的最大值．
设
∴ 即 ．
说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆 上的点设为 ( )．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．
，或 ．
设圆 的圆心到直线 、 的距离为 、 ，则
， ．
∴ 与 相切，与圆 有一个公共点； 与圆 相交，与圆 有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心 到直线 的距离为 ，则 ．
∴圆 到 距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的 是圆心到直线 的距离， ，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
类型六：圆中的对称问题
例17自点 发出的光线 射到 轴上，被 轴反射，反射光线所在的直线与圆 相切
（1）求光线 和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自 到切点所经过的路程．
分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点 的对称点 的坐标为 ，其次设过 的圆 的切线方程为
根据 ，即求出圆 的切线的斜率为 或
例5已知圆 ，求过点 与圆 相切的切线．
解：∵点 不在圆 上，∴切线 的直线方程可设为
根据 ∴ 解得
所以 即
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为 ．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用 ，求出切点坐标 、 的值来解决，此时没有漏解．