高考数学(理)二轮复习(江苏专用)习题：专题一 函数与导数、不等式 第2讲

一、填空题
1.(2015·苏州调研)已知f(x)＝x2＋x（x≥0），－x2＋x（x＜0），则不等式f(x2－x＋1)＜12的解
集是________.
解析 依题意得，函数f(x)是R上的增函数，且f(3)＝12，因此不等式f(x2－x
＋1)＜12等价于x2－x＋1＜3，即x2－x－2＜0，由此解得－1＜x＜2.
因此，不等式f(x2－x＋1)＜12的解集是(－1，2).
答案 (－1，2)

2.若点A(m，n)在第一象限，且在直线x3＋y4＝1上，则mn的最大值是________.

解析 因为点A(m，n)在第一象限，且在直线x3＋y4＝1上，所以m，n＞0，且
m
3

＋n4＝1，所以m3·n4≤
2
34
2

mn









当且仅当m3＝n4＝12，即m＝32，n＝2时，取“＝”，所以m3·n4≤


1
2

2

＝14，即mn≤3，所以mn的最大值为3.
答案 3
3.(2016·苏北四市模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，x2－2x，x＜0，若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，
则实数a的取值范围是________.
解析 f(－a)＋f(a)≤2f(1)⇔




a≥0，
（－a）2－2×（－a）＋a2＋2a≤2×3
或




a＜0，
（－a）2＋2×（－a）＋a2－2a≤2×3

即a≥0，a2＋2a－3≤0或a＜0，a2－2a－3≤0，
解得0≤a≤1，或－1≤a＜0.
故－1≤a≤1.
答案 [－1，1]
4.已知函数f(x)＝log3x，x＞0，13x，x≤0，那么不等式f(x)≥1的解集为________.

解析 当x＞0时，由log3x≥1可得x≥3，当x≤0时，由13x≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞).
答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)

5.(2016·南京、盐城模拟)若x，y满足不等式组x＋2y－2≥0，x－y＋1≥0，3x＋y－6≤0，则x2＋y2的最
小值是________.
解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，
x2＋y2表示原点(0，0)到此区域内的点P(x，y)的距离.
显然该距离的最小值为原点到直线x＋2y－2＝0的距离.

故最小值为|0＋0－2|12＋22＝255.

答案 255
6.已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为________.
解析 由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1，

因为x＜0，所以m＞2x2＋1x＝2x＋1x.

而2x＋1x＝－（－2x）＋1（－x）≤－2（－2x）×1（－x）＝－22.
当且仅当－2x＝－1x，即x＝－22时取等号，
所以m＞－22.
答案 (－22，＋∞)

7.设目标函数z＝x＋y，其中实数x，y满足x＋2y≥0，x－y≤0，0≤y≤k.若z的最大值为12，则
z的最小值为________.
解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平
移直线x＋y＝0，显然当直线过点A(k，k)时，目标函数
z＝x＋y取得最大值，且最大值为k＋k＝12，则k＝6，
直线过点B时目标函数z＝x＋y取得最小值，点B为直
线x＋2y＝0与y＝6的交点，
即B(－12，6)，所以zmin＝－12＋6＝－6.
答案 －6

8.(2016·泰州调研)已知x＞0，y＞0，且2x＋1y＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，
则实数m的取值范围为________.
解析 记t＝x＋2y，由不等式恒成立可得m2＋2m＜tmin.

因为2x＋1y＝1，所以t＝x＋2y＝(x＋2y)2x＋1y＝
4＋4yx＋xy.
而x＞0，y＞0，所以4yx＋xy≥24yx·xy＝4(当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时取等号).
所以t＝4＋4yx＋xy≥4＋4＝8，即tmin＝8.
故m2＋2m＜8，即(m－2)(m＋4)＜0.解得－4＜m＜2.
答案 (－4，2)
二、解答题
9.(2015·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如
图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延
长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长
为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，
圆心角为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，
弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于
x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝10＋2x10＋x(0＜
x＜10).
(2)花坛的面积为12θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)
＝－x2＋5x＋50(0＜x＜10).
装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，

所以花坛的面积与装饰总费用的比y＝－x2＋5x＋50170＋10x

＝－x2－5x－5010（17＋x），令t＝17＋x，
则y＝3910－110t＋324t≤310，
当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝1211.
答：当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.
10.已知函数f(x)＝2xx2＋6.
(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；
(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.
解 (1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0.
由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－
2.

由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k，即k＝－25.

(2)因为x＞0，f(x)＝2xx2＋6＝2x＋6x≤226＝66，当且仅当x＝6时取等号.由已知

f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥66，即t的取值范围是66，＋∞.
11.(1)解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1＞0；
(2)解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0.
解 (1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1).
当m2－m－1＞0，即m＞1＋52或m＜1－52时，由于方程x2－2mx＋m＋1＝0
的两根是m±m2－m－1，所以原不等式的解集是{x|x＜m－m2－m－1，或x
＞m＋m2－m－1}；

当Δ＝0，即m＝1±52时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；
当Δ＜0，即1－52＜m＜1＋52时，不等式的解集为R.
综上，当m＞1＋52或m＜1－52时，不等式的解集为{x|x＜m－m2－m－1，
或x＞m＋m2－m－1}；当m＝1±52时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；
当1－52＜m＜1＋52时，不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.
①当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)x－1a＜0，根据不等式的性质，这个
不等式等价于(x－2)·x－1a＜0.因为方程(x－2)x－1a＝0的两个根分别是2，1a，
所以当0＜a＜12时，2＜1a，则原不等式的解集是x|2＜x＜1a；当a＝12时，原不
等式的解集是∅；当a＞12时，1a＜2，则原不等式的解集是x1a＜x＜2.
②当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，即原不等式的解集是{x|x
＞2}.

③当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)x－1a＜0，根据不等式的性质，这个
不等式等价于(x－2)x－1a＞0，由于1a＜2，故原不等式的解集是xx＜1a或x＞2.
综上，当a＝0时不等式解集为(2，＋∞)；当0＜a＜12时，不等式解集为2，1a；
当a＝12时，不等式解集为∅；当a＞12时，不等式解集为1a，2；当a＜0时，
不等式解集为－∞，1a∪(2，＋∞).