高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

合集下载

导数27个专题学生版

目录专题1:切线问题 1专题2:函数的图像 3专题3:单调性问题 9专题4:函数的极值问题 11专题5:函数的最值 14专题6:三次函数 18专题7:零点问题 20专题8:恒成立与存在性问题 26专题9:构造函数解不等式 30专题10:有关距离问题 34专题11:参数的值或范围问题 36专题12:分离参数法 40专题13:数形结合法 44专题14:构造函数 45专题15:不等式放缩法 48专题16:卡根法专题 50专题17:数列不等式 53专题18:极值点偏移问题 61专题19:双变量问题 64专题20:凹凸反转问题 68专题21:与三角函数有关题 70专题22:隐零点设而不求 74专题23:端点效应专题 77专题24:最大最小函数问题 81专题25:恒成立专题 83专题26：筷子夹汤圆专题 87专题27:找点专题 91专题1:切线问题1.若函数f (x )=ln x 与函数g (x )=x 2+2x +a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是()A.ln 12e,+∞ B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln2,+∞)2.已知直线y =2x 与曲线f x =ln ax +b 相切，则ab 的最大值为()A.e4B.e2C.eD.2e3.已知P 是曲线C 1：y =e x 上任意一点，点Q 是曲线C 2：y =ln x x上任意一点，则PQ 的最小值是()A.1-2ln 2B.1+ln22C.2D.24.若曲线y =ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是()A.[-3，3]B.[-1，1]C.(-∞，1]D.[-3，1]5.已知关于x 不等式ae x ≥x +b 对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则a b 的最小值为()A.12B.1C.2D.26.若存在实数a ,b ，使不等式2e ln x ≤ax +b ≤12x 2+e 对一切正数x 都成立(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的最大值是()A.eB.2eC.2eD.27.若对函数f x =2x -sin x 的图象上任意一点处的切线l 1，函数g x =me x +m -2 x 的图象上总存在一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则m 的取值范围是()A.-e 2,0 B.0,e 2C.-1,0D.0,18.若过点P 1,m 可以作三条直线与曲线C :y =xe x 相切，则m 的取值范围是()A.-5e2,0 B.-5e2,e C.0,+∞D.-3e2,-1e9.已知y =kx +b 是函数f x =ln x +x 的切线，则2k +b 的最小值为______.10.存在k >0,b >0使kx -2k +b ≥x ln 对任意的x >0恒成立，则b k的最小值为________.11.若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =x +2 ln 的切线，则k =.12.已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =x ln 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ,n ∈Z ，，则n =_________.13.若直线y =kx +b 既是曲线y =x ln 的切线，又是曲线y =e x -2的切线，则b =______.14.已知实数a ,b ,c ,d ，满足aln b=2c d -1=1，那么a -c 2+b -d 2的最小值为.15.若直线y =kx +b 与曲线y =x ln +2相切于点P ，与曲线y =x +1 ln 相切于点Q ，则k =.专题2:函数的图像1.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+c ，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的极大值是()121OxyA.a +b +cB.8a +4b +cC.3a +2bD.c2.设函数y =f (x )可导，y =f (x )的图象如图所示，则导函数y =f ′(x )可能为()OxyA.Oxy B.Oxy C.Oxy D.Oxy3.函数y =sin2x 1-cos x的部分图象大致为()A.Oxy-π11π B.Oxy-π11πC.Oxy-π11π D.Oxy-π11π4.若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是()11O xyA.f (x )=x2ln |x |B.f (x )=ln |x |-x 2C.f (x )=1x+ln |x |D.f (x )=x ln |x ||x |5.函数f (x )=x ln |x |x 2+1的图象大致为()A.OxyB.OxyC.OxyD.Oxy6.函数f (x )=x ln x x 2+1,x >0x ln (-x )x 2+1,x <0的图象大致为()A.OxyB.OxyC.OxyD.Oxy7.函数f (x )=x ln |x ||x |的大致图象是()A.O xyB.O xyC.OxyD.Oxy8.函数f (x )=x -1xcos x (-π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为()A.Oxy-ππ B.Oxy-ππ C.Oxy-ππ D.Oxy-ππ9.已知f (x )=14x 2+sin π2+x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是()A.OxyB.OxyC.OxyD.Oxy10.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()OxyOxyOxyOxyA.①②B.③④C.①③D.①④11.已知R 上的可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x -2)f (x )>0的解集为()2121O xyA.(-∞，-2)∪(1，+∞)B.(-∞，-2)∪(1，2)C.(-∞，1)∪(2，+∞)D.(-1，1)∪(2，+∞)12.函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象如图所示，则x 21+x 22等于()Oxyx 1x 2-12A.89 B.109 C.169D.28913.如图是函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象，则x 1+x 2=()Oxyx 1x 2-12A.23 B.109 C.89 D.28914.函数f (x )=ax +b (x +c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是()OxyA.a <0，b >0，c <0B.a >0，b <0，c <0C.a >0，b <0，c >0D.a <0，b >0，c >015.函数f (x )=ax +b (x +c )2的图象大致如图所示，则下列结论正确的是()OxyA.a >0，b >0，c >0B.a <0，b >0，c <0C.a <0，b <0，c >0D.a >0，b >0，c <016.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则下列结论成立的是()OxyA.a >0，b <0，c >0，d >0B.a >0，b <0，c <0，d >0C.a <0，b <0，c >0，d >0D.a >0，b >0，c >0，d <017.函数y =x 2sin x(2x 2-e |x |)在[-2，2]的图象大致为()A.1111O xyB.1111O xyC.1111OxyD.1111O xy18.函数y =2x 2-2|x |在[-2，2]的图象大致为()A.O xy-2-112-4B.OxyC.Oxy-2-1124D.Oxy 19.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是()Oxy 1A.f (x )=ln |x |-x 2B.f (x )=ln |x |-|x |C.f (x )=2ln |x |-x 2D.f (x )=2ln |x |-|x |21111OxA.f (x )=ln |x |-1x B.f (x )=ln |x |+1x C.f (x )=1x-ln |x |D.f (x )=ln |x |+1|x |21.函数f (x )的图象如图所示，则它的解析式可能是()212111OxyA.f (x )=x 2-12x B.f (x )=2x (|x |-1) C.f (x )=|ln |x || D.f (x )=xe x -122.已知函数f (x )的图象如图所示，则该函数的解析式可能是()O xyA.f (x )=ln |x |e xB.f (x )=e x ln |x |C.f (x )=ln |x |xD.f (x )=(x -1)ln |x |23.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是()96342423OxyA.f (x )=2xln |x |B.f (x )=2|x |ln |x |C.f (x )=1x 2-1D.f (x )=1|x |-1|x |14321321321OxA.f (x )=e |x |∙cos xB.f (x )=ln |x |∙cos xC.f (x )=e |x |+cos xD.f (x )=ln |x |+cos x25.已知函数f (x )的局部图象如图所示，则f (x )的解析式可以是()13π2ππ23π2ππ21OxyA.f (x )=e 1|x |∙sin π2xB.f (x )=e 1|x |∙cos π2xC.f (x )=ln |x |∙sin π2xD.f (x )=ln |x |∙cos π2x专题3:单调性问题1.已知函数f (x )=ln x +ln (a -x )的图象关于直线x =1对称，则函数f (x )的单调递增区间为()A.(0,2)B.[0，1)C.(-∞，1]D.(0，1]2.若函数f (x )的定义域为D 内的某个区间I 上是增函数，且F (x )=f (x )x在I 上也是增函数，则称y =f (x )是I 上的“完美函数”，已知g (x )=e x +x -ln x +1，若函数g (x )是区间m 2，+∞ 上的“完美函数”，则正整数m 的最小值为()A.1B.2C.3D.43.设函数f (x )=e 2x +ax 在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A.[-1，+∞)B.(-1,+∞)C.[-2，+∞)D.(-2,+∞)4.若函数f (x )=2x 2-ln x 在其定义域内的一个子区间[k -1，k +1]内不是单调函数，则实数k 的取值范围是()A.[1，2)B.(1,2)C.1,32D.1,325.若函数f (x )=ln x +ax 2-2在区间12,2 内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是()A.(-∞，-2]B.(-2,+∞)C.-2,-18D.-18,+∞6.若函数f (x )=ln x +(x -b )2(b ∈R )在区间12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是()A.-∞,32B.-∞,94C.-32，94D.32，+∞ 7.设1<x <2，则ln x x 、ln x x 2、ln x 2x 2的大小关系是()A.ln x x 2<ln x x <ln x 2x2B.ln x x <ln x x 2<ln x 2x 2C.ln x x 2<ln x 2x2<ln x x D.ln x 2x2<ln x x 2<ln x x8.已知函数y =f (x -1)的图象关于直线x =1对称，且当x ∈(0,+∞)时，f (x )=ln x x .若a =f -e 2，b=f (2)，c =f 23 ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b >a >cB.a >b >cC.a >c >bD.c >b >a9.下列命题为真命题的个数是()①e 2e >2；②ln2>23；③lnππ<1e ；④ln22<lnππ.A.1B.2C.3D.410.下列命题为真命题的个数是()①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2<42A.1B.2C.3D.411.已知函数f (x )=e x ln x -ae x (a ∈R )，若f (x )在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是.12.已知函数f (x )=e -x -2,x ≤02ax -1,x >0(a >0)，对于下列命题：(1)函数f (x )的最小值是-1；(2)函数f (x )在R 上是单调函数；(3)若f (x )>0在12，+∞ 上恒成立，则a 的取值范围是a >1，其中真命题的序号是.13.已知函数f (x )=ln x +(x -a )2(a ∈R )在区间12，2上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是14.设函数f (x )=3x 2+ax e x(a ∈R )，f (x )在[3，+∞)上为减函数，则a 的取值范围是.专题4:函数的极值问题1.若函数f(x)=e x(x-3)-13kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为()A.(-∞,e)B.[0，e]∪12e2C.(-∞,2)D.(0，2]2.已知函数f(x)=e x x-k12x2-1x，若x=1是函的f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为() A.(-∞，e] B.-∞,-1eC.-∞，-1e∪{0} D.-∞，-1e∪{0，e}3.已知函数f(x)=e x(x2-4x-4)+12k(x2+4x)，x=-2是f(x)的唯一极小值点，则实数k的取值范围为() A.[-e2，+∞) B.[-e3，+∞) C.[e2，+∞) D.[e3，+∞)4.已知函数f(x)=x2-2x+a ln x有两个极值点x1，x2，且x1<x2，则()A.f(x1)<3+2ln24 B.f(x1)<-1+2ln24C.f(x1)>1+2ln24 D.f(x1)>-3+2ln245.已知函数f(x)=x2-2x+1+a ln x有两个极值点x1，x2，且x1<x2，则()A.f(x2)<-1+2ln24 B.f(x2)<1-2ln24C.f(x2)>1+2ln24 D.f(x2)>1-2ln246.已知t为常数，函数f(x)=(x-1)2+t ln x有两个极值点a、b(a<b)，则()A.f(b)>1-2ln24 B.f(b)<1-2ln24 C.f(b)>1+2ln24 D.f(b)<1-3ln247.若函数y=ae x+3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是()A.(-3,+∞)B.(-∞,-3)C.-13，+∞D.-∞,-138.若函数f (x )=e x -ax -b 在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)9.已知函数f (x )=x ln x -ax 2有两个极值点，则实数a 的取值范围为()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.0,12D.(0,1)10.已知函数f (x )=x ln x -12ax 2-x +3a 3-4a 2-a +2(a ∈R )存在两个极值点.则实数a 的取值范围是()A.(0,+∞)B.0,1eC.1e,+∞ D.1e,e 11.若函数f (x )=e x (e x -4ax )存在两个极值点，则实数a 的取值范围为()A.0,12B.(0,1)C.12,+∞ D.(1,+∞)12.若函数f (x )=ax 22-(1+2a )x +2ln x (a >0)在区间12,1 内有极大值，则a 的取值范围是()A.1e,+∞ B.(1,+∞) C.(1,2) D.(2,+∞)13.已知f (x )=a 2x 2-(1+2a )x +2ln x (a >0)在区间(3,4)有极小值，则实数a 的取值范围是()A.(4-1，3-1)B.(3,4)C.(3-1，4)D.(4-1，3)14.已知a ∈R ，函数f (x )=-32x 2+(4a +2)x -a (a +2)ln x 在(0,1)内有极值，则a 的取值范围是()A.(0,1)B.(-2，0)∪(0，1)C.-2，-12 ∪-12，1D.(-2,1)15.已知函数f (x )，对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为一个三角形的三边长，则称f (x )为“三角形函数”，已知函数f (x )=m cos 2x +m sin x +3是“三角形函数”，则实数m 的取值范围是()A.-67，1213B.-2，1213C.0，1213D.(-2,2)16.已知x=0是函数f(x)=(x-2a)(x2+a2x+2a3)的极小值点，则实数a的取值范围是.17.已知x=1是函数f(x)=(x-2)e x-k2x2+kx(k>0)的极小值点，则实数k的取值范围是.18.若函数f(x)在区间A上，对∀a，b，c∈A，f(a)，f(b)，f(c)为一个三角形的三边长，则称函数f(x)为“三角形函数”.已知函数f(x)=x ln x+m在区间1e2,e上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为.专题5:函数的最值1.已知函数f (x )=e x -3，g (x )=12+ln x 2，若f (m )=g (n )成立，则n -m 的最小值为()A.1+ln2B.ln2C.2ln2D.ln2-12.已知函数f x =x +ln x -1 ，g x =x ln x ，若f x 1 =1+2ln t ，g x 2 =t 2，则x 1x 2-x 2 ln t 的最小值为().A.1e2B.2eC.-12eD.-1e3.若对任意x ∈0,+∞ ，不等式2e 2x -a ln a -a ln x ≥0恒成立，则实数a 的最大值为()A.eB.eC.2eD.e 24.已知函数f (x )=ln x x，g (x )=xe -x ，若存在x 1∈(0,+∞),x 2∈R ，使得f (x 1)=g (x 2)=k (k <0)成立，则x 2x 1 3e k的最小值为()A.-1e2B.-4e2C.-9e3D.-27e 35.已知函数f (x )=-1x ,x <0e 2x,x ≥0，若关于x 的方程f (x )-a =0(a ∈R )恰有两个不等实根x 1，x 2，且x 1<x 2，则e x 2-x 1的最小值为()A.12ln2+12B.2+eC.2eD.2e6.已知函数f x =e xx-ax +ln x (1)a =1时,求函数f (x )的极值；(2)若a ∈1，e 24+12,求f (x )的最小值g (a )的取值范围.7.已知函数f x =e x -x +t 2x 2(t ∈R ，e 为自然对数的底数)，且f x 在点1,f 1 处的切线的斜率为e ，函数g x =12x 2+ax +b a ∈R ,b ∈R .(1)求f x 的单调区间和极值；(2)若f x ≥g x ，求b a +12的最大值.8.已知函数f x =x -a ln x +1(a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当1<a <e 时，记函数f (x )在区间1,e 的最大值为M .最小值为m ，求M -m 的取值范围.9.已知函数f (x )=x 2-ax +2ln x (a ∈R )两个极值x 1,x 2x 1<x 2 点.(1)当a =5时，求f x 2 -f x 1 ；(2)当a ≥2e +2e时，求f x 2 -f x 1 的最大值.10.已知函数f(x)=ln x x+1x+a.(1)当a=-1时，求f x 的最大值；(2)对任意的x>0，不等式f(x)≤e x恒成立，求实数a的取值范围.11.已知函数f x =xe x(其中e为自然对数的底数).(1)求函数f x 的最小值；(2)求证：f x >e x+ln x-12.12.已知函数f(x)=ax2-x+(1+b)ln x(a、b∈R).(1)当a=1，b=-4时，求y=f(x)的单调区间；(2)当b=-2，x≥1时，求g(x)=|f(x)|的最小值.13.已知函数f (x )=12(x +a )2+b ln x ，a ,b ∈R .(1)若直线y =ax 是曲线y =f (x )的切线，求a 2b 的最大值；(2)设b =1，若函数f (x )有两个极值点x 1与x 2，且x 1<x 2，求f x 2x 1的取值范围.14.已知函数f x =ae x -x .(1)求f x 的极值；(2)求f x 在0,1 上的最大值.15.已知函数f x =14x 3-x 2+x .(1)当x ∈-2，4 时，求证：x -6≤f x ≤x ；(2)设F x =f x -x +a a ∈R ，记F x 在区间-2，4 上的最大值为M a .当M a 最小时，求a 的值.专题6:三次函数1.已知f (x )=x 3+3ax 2+bx +a 2在x =-1时有极值0，则a -b =()A.-7B.-2C.-7和-2D.以上答案都不对2.已知函数f (x )=x 3-3x 2+5，g (x )=m (x +1)(m ∈R )，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)<g (x 0)，则实数m 的取值范围是()A.0,54B.13,54C.13,54D.0,133.设函数f (x )=x 3-3x 2-ax +5-a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是()A.0,13B.13，54C.13，32D.54，324.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-x -1在(-∞,+∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[3,+∞)B.[-3,3]C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,3)5.若函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是()A.2,52B.2，52C.2,103D.2，1036.若f (x )=x 3+ax 2+bx -a 2-7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为()A.-32或-12B.-32或12C.-32D.-127.如果函数f (x )=13x 3-12ax 2+(a -1)x +1在区间(1,4)上为减函数，在(6,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围是()A.a ≤5B.5≤a ≤7C.a ≥7D.a ≤5或a ≥78.已知函数f (x )=13x 3-12ax 2+x 在区间12，3上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是()A.(2,+∞)B.[2，+∞)C.2,52D.2,1039.已知函数f (x )=a 3x 3-12x 2-x (a ≥0)在区间(0,1)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是()A.(0,2)B.[0，1)C.(0,+∞)D.(2,+∞)10.函数f (x )=13x 3-12(m +1)x 2+2(m -1)x 在(0,4)上无极值，则m =.11.设函数f (x )=x 3+(1+a )x 2+ax 有两个不同的极值点x 1，x 2，且对不等式f (x 1)+f (x 2)≤0恒成立，则实数a 的取值范围是.12.若函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间12,3上单调递减，则实数a 的取值范围是.13.若函数f (x )=13x 3+x 2-23在区间(a ,a +5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是.14.已知函数f (x )=13x 3-12(a +1)x 2+ax +1，a ∈R .若函数f (x )在区间(-1,1)内是减函数，则实数a 的取值范围是.专题7:零点问题1.设函数f (x )=x 2-2ex -ln x x+a (其中e 为自然对数的底数，若函数f (x )至少存在一个零点，则实数a的取值范围是()A.0,e 2-1eB.0,e 2+1eC.e 2-1e ,+∞D.-∞,e 2+1e2.设函数f (x )=x 3-2ex 2+mx -ln x ，记g (x )=f (x )x，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是()A.-∞，e 2+1eB.0，e 2+1eC.e 2+1e，+∞ D.-e 2-1e ，e 2+1e3.已知函数f (x )=me x2与函数g (x )=-2x 2-x +1的图象有两个不同的交点，则实数m 取值范围为()A.[0，1)B.[0,2)∪-18e 2C.(0,2)∪-18e 2D.[0,2e )∪-18e 24.已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意x ∈R 都满足f (1+x )=f (1-x )，当x ≤1时，f (x )=ln x ,0<x ≤1e x ,x ≤0 .(其中e 为自然对数的底数)，若函数g (x )=m |x |-2与y =f (x )的图象恰有两个交点，则实数m 的取值范围是()A.m ≤0或m =eB.0<m ≤32C.32<m <eD.m >e5.定义：如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )，满足f ′(x 1)=f (b )-f (a )b -a，f ′(x 2)=f (b )-f (a )b -a，则称函数y =f (x )在区间[a ，b ]上的一个双中值函数，已知函数f (x )=x 3-65x 2是区间[0，t ]上的双中值函数，则实数t 的取值范围是()A.35,65B.25,65C.25,35D.1,656.定义：如果函数y =f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在(a <x 0a >0)上都是平均值函数；④若函数f (x )=-x 2+mx +1是区间[-1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是(0,2)A.1B.2C.3D.47.若存在正实数m ，使得关于x 的方程x +a (2x +2m -4ex )[ln (x +m )-ln x ]=0有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0)B.0,12eC.(-∞，0)∪12e，+∞ D.12e，+∞ 8.已知函数u (x )=(2e -1)x -m ，υ(x )=ln (x +m )-ln x 若存在m ，使得关于x 的方程2a ∙u (x )∙υ(x )=x 有解，其中e 为自然对数的底数则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0)∪12e,+∞ B.(-∞,0)C.0,12eD.(-∞,0)∪12e ,+∞9.若关于x 的方程x e x +e x x +e x+m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<0<x 2<x 3，其中m ∈R ，e 为自然对数的底数，则x 1e x 1+1 2x 2e x 2+1 x3e x 3+1 的值为()A.1+mB.eC.m -1D.110.若关于x 的方程|e x -1|+2|e x-1|+1+m =0有三个不相等的实数解x 1、x 2、x 3，(x 1<0<x 2<x 3)其中m ∈R ，e =2.71828⋯，则(|e x 1-1|+1)∙(|e x 2-1|+1)∙(|e x 3-1|+1)2的值为()A.eB.4C.m -1D.m +111.已知函数f (x )=-2x ,x <0-x 2+2x ,x ≥0若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是()A.0,34B.0,34C.0,916D.0,91612.已知函数f (x )=(3x +1)e x +1+mx (m ≥-4e )，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是()A.5e ，2B.-52e ，-83e2 C.-12，-83e2 D.-4e ，-52e13.已知函数f (x )=ln (x +1)-ax x +a，a 是常数，且a ≥1.(Ⅰ)讨论f (x )零点的个数；(Ⅱ)证明：22n +1<ln 1+1n <33n +1，n ∈N +.14.已知函数f (x )=ae 2x +(a -2)e x -x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.15.已知函数f (x )=(ex -e )e x +ax 2，a ∈R .(Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.16.已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.17.已知函数f(x)=e x[ax2+(a-2)]-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.18.已知函数f(x)=x3+ax+14，g(x)=-ln x(i)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(ii)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.19.已知函数f(x)=-x2+a-14x(a∈R),g(x)=ln x x.(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线，(2)用max{m，n}表示m，n中的最大值，设函数h(x)=max{xf(x)，xg(x)}(x>0)，当0<a<3时，讨论h(x)零点的个数.20.已知函数f(x)=-x2+a-14x.(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(2)设函数g(x)=xf(x)，讨论g(x)在区间(0,1)上零点的个数.21.已知函数f(x)=2x2-1x-a ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)=e x-sin x，若h(x)=g(x)(f(x)-2x)且y=h(x)有两个零点，求a的取值范围.22.已知函数f(x)=ae x-ln(x+1)+ln a-1.(1)若a=1，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围.专题8:恒成立与存在性问题1.设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是()A.-32e ,1B.-32e ,34C.32e ,34D.32e ,12.设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ，其中a <1，若存在两个整数x 1，x 2，使得f (x 1)，f (x 2)都小于0，则a 的取值范围是()A.53e 2，32eB.-32e ，32eC.53e 2，1 D.32e ，1 3.已知函数f (x )=(x 2-a )ln x ，曲线y =f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是()A.-1e2,0 B.(-1,0)C.-1e2,+∞ D.(-1,+∞)4.已知函数f (x )=x a -1ex ，曲线y =f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是()A.(-e 2，+∞)B.(-e 2，0)C.-1e2，+∞ D.-1e2，0 5.已知f (x )=a ln x +12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2≥2恒成立，则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.[1，+∞)C.(0，1]D.(0,1)6.已知f (x )=a ln x +12x 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立，则实数a 的取值范围是()A.[0，+∞)B.(0,+∞)C.(0,1)D.(0，1]7.已知函数f(x)=a ln(x+1)-x2，若对∀p，q∈(0,1)，且p≠q，有f(p+1)-f(q+1)p-q>2恒成立，则实数a的取值范围为() A.(-∞,18) B.(-∞，18] C.[18，+∞) D.(18,+∞)8.已知函数f(x)=a ln(x+1)-12x2，在区间(0,1)内任取两个数p，q，且p≠q，不等式f(p+1)-f(q+1)p-q>3恒成立，则实数a的取值范围是()A.[8，+∞)B.(3，8]C.[15，+∞)D.[8，15]9.设函数f(x)=e x(x3-3x+3)-ae x-x(x≥-2)，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为()A.2e-1B.2-2eC.1-1eD.1+2e210.设函数f(x)=x(ln x)3-(3x+1)ln x+(3-a)x，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为()A.2e-1B.2-2eC.1+2e2D.1-1e11.设函数f(x)=e x x3+32x2-6x+2-2ae x-x，若不等式f(x)≤0在[-2，+∞)上有解，则实数a的最小值为()A.-32-1eB.-32-2eC.-34-12eD.-1-1e12.已知函数f(x)=ln x+(x-b)2x(b∈R)，若存在x∈12，2，使得f(x)>-x∙f′(x)，则实数b的取值范围是() A.(-∞,-2) B.-∞,32C.-∞,94D.(-∞,3)13.已知f (x )=xe x ，g (x )=-(x +1)2+a ，若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围为()A.1e ，+∞ B.-1e ，+∞ C.(0,e )D.-1e ，0 14.设过曲线g (x )=ax +2cos x 上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线f (x )=-e x -x 上一点处的切线l 2，使得l 1⎳l 2，则实数a 的取值范围为()A.[1，+∞)B.[1，+∞]C.(-∞，-3]D.(-∞,-3)15.设函数f (x )=x 2+4x ,g (x )=xe x ，若对任意x 1，x 2∈(0，e ]，不等式g (x 1)k +1≤f (x 2)k恒成立，则正数k 的取值范围为()A.4e e +1,1eB.(e ，4]C.0,e e +14-eD.0,4e e +1-416.设e 表示自然对数的底数，函数f (x )=(e x -a )24+(x -a )2(a ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤15有解，则实数a 的值为.17.已知f (x )=a ln x +12x 2+x ，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f (x 1)-f (x 2)x 12-x 22<1恒成立，则a 的取值范围是.18.(1)设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是.(2)已知f (x )=xe x ，g (x )=-(x +1)2+a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围.19.当x∈(0,+∞)时，不等式c2x2-(cx+1)ln x+cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是.20.若关于x的不等式(ax+1)(e x-aex)≥0在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是.21.关于x的不等式(ax-1)(ln x+ax)≥0在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是.22.已知关于x的不等式ax3+x2+x≤ln x+1x在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是.23.已知函数f(x)=x-1-a ln x(a<0)，g(x)=4x，若对任意x1，x2∈(0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤|g(x1)-g(x2)|成立，则实数a的取值范围为.24.若f(x)=x-1-a ln x，g(x)=exe x，a<0，且对任意x1，x2∈[3，4](x1≠x2)，|f(x1)-f(x2)|<1 g(x1)-1 g(x2)的恒成立，则实数a的取值范围为.25.设过曲线f(x)=-e x-x+3a上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)=(x-1)a+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为.26.设函数f(x)=e2x2+1x,g(x)=e2xe x，对任意x1、x2∈(0,+∞)，不等式f(x1)k+1≥g(x2)k，恒成立，则正数k的取值范围是.27.已知函数f(x)=x-1-a ln x(a∈R)，g(x)=e x x，当a<0时，且对任意的x1，x2∈[4，5](x1≠x2)，|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|恒成立，则实数a的取值范围为.专题9:构造函数解不等式1.设函数f (x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf (x)-f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞，-1)∪(-1，0)B.(0，1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)∪(0，1)D.(-1，0)∪(1，+∞)2.函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，对任意x∈R，f(x)+f (x)<1，则不等式e x f(x)>e x+1的解集为() A.{x|x>0} B.{x|x<0}C.{x|x<-1，或x>1}D.{x|x<-1，或0<x<1}3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f′(x)>x-1，则不等式f(x)<12x2-x+1的解集为() A.{x|-2<x<2} B.{x|x>2} C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}4.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x+2)为偶函数，f(4)=1，则不等式f(x)<e x的解集为() A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,e4) D.(e4，+∞)5.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x+2)=f(x-2)，f(4)=1，则不等式f(x)<e x的解集为()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(4,+∞)D.(-2,+∞)+1(e为自然对数的底数6.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，则不等式f(x)>3e x)的解集为() A.(0,+∞) B.(-∞，0)∪(3，+∞)C.(-∞，0)∪(0，+∞)D.(3,+∞)7.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)> 2f′(x)若2<a<4则() A.f(2a)<f(3)<f(log2a) B.f(log2a)<f(3)<f(2a)<f(3)<f(2a)C.f(3)<f(log2a)<f(2a)D.f(log2a)<f(2a)<f(3)8.已知函数y=f(x)对于任意的x∈-π2,π2满足f′(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()A.2fπ3 <fπ4B.2f-π3<f-π4C.f(0)<2fπ4D.f(0)<2fπ39.已知函数y=f(x)对于任意的x∈-π2，π2满足f (x)cos x+f(x)sin x>0(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()A.2f-π3>f(0) B.f(0)>2fπ4 C.f(-1)>f(1) D.f(1)>f(0)cos110.函数f(x)的导函数为f′(x)，对∀x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，若f(ln4)=2，则不等式f(x)>e x2的解是()A.x>1B.0<x<1C.x>ln4D.0<x<ln411.函数f(x)的导函数f′(x)，对∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(2)=e2，则不等式f(x)>e x的解是()A.(2,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,ln2)12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有xf′(x)-f(x)x2<0恒成立，则不等式xf(x)>0的解集是() A.(-2，0)∪(2，+∞) B.(-2，0)∪(0，2)C.(-∞，-2)∪(0，2)D.(-∞，-2)∪(2，+∞)13.已知一函数满足x>0时，有g′(x)=2x2>g(x)x，则下列结论一定成立的是()A.g(2)2-g(1)≤3 B.g(2)2-g(1)≥2 C.g(2)2-g(1)<4 D.g(2)2-g(1)≥414.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立，其中f′(x)为f(x)的导数，则()A.8<f(2)f(1)<16 B.4<f(2)f(1)<8 C.3<f(2)f(1)<4 D.2<f(2)f(1)<315.已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，图象关于y轴对称，且当x<0时，f′(x)>f(x)x恒成立，设a>1，则4af(a+1)a+1，2a f(2a)，(a+1)f4aa+1的大小关系为()A.4af(a+1)a+1>2a f(2a)>(a+1)f4aa+1B.4af(a+1)a+1<2a f(2a)<(a+1)f4aa+1C.2a f(2a)>4af(a+1)a+1>(a+1)f4aa+1D.2a f(2a)<4af(a+1)a+1<(a+1)f4aa+116.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若∀x∈(0,+∞)，都有xf′(x)<2f(x)成立，则()A.2f(3)>3f(2)B.2f(1)<3f(2)C.4f(3)<3f(2)D.4f(1)>f(2)17.已知函数f(x)的导函数为f (x)，若f(x)<xf (x)<2f(x)-x对x∈(0,+∞)恒成立，则下列不等式中，一定成立的是()A.f(2)3+12<f(1)<f(2)2 B.f(2)4+12<f(1)<f(2)2C.3f(2)8<f(1)<f(2)3+12 D.f(2)4+12<f(1)<3f(2)818.若a=67 -14，b=76 15，c=log278，定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(c)>f(a)19.设定义在R上的奇函数f(x)满足，对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有f(x2)-f(x1)x2-x1<1，且f(3)=3，则不等式f(x)x>1的解集为()A.(-3，0)∪(0，3)B.(-∞，-3)∪(0，3)C.(-∞，-3)∪(3，+∞)D.(-3，0)∪(3，+∞)20.设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有3f(x)+xf′(x)>0，则不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0的解集是.21.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，∀x∈R，有f(-x)+f(x)=x2，在(0,+∞)上f′(x)<x，若f(4-m)-f(m)≥8-4m，则实数m的取值范围是.22.已知定义在R上函数f(x)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f′(x)<-2，则不等式f(ln x)>5-2ln x的解集为.23.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f (x)<1，f(0)=4，则不等式e x[f(x)-1]>3(e为自然对数的底数)的解集为.24.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)>1-f′(x)，f(0)=0，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x)>e x-1(其中e为自然对数的底数)的解集为.25.函数f(x)，g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为26.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-1)=0，若不等式x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2<0对区间(-∞,0)内任意两个不相等的实数x1，x2都成立，则不等式xf(2x)<0解集是.专题10:有关距离问题1.设点P在曲线y=12e x上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|最小值为()A.1-ln2B.2(1-ln2)C.1+ln2D.2(1+ln2)2.设点P在曲线y=e2x上，点Q在曲线y=12ln x上，则|PQ|的最小值为()A.22(1-ln2)B.2(1-ln2)C.2(1+ln2)D.22(1+ln2)3.设点P在曲线y=x上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A.1-ln22 B.22(1-ln2) C.1+ln22 D.2(1+ln2)24.设动直线x=m与函数f(x)=x3，g(x)=ln x的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为()A.13(1+ln3)B.13ln3C.13(1-ln3)D.ln3-15.设动直线x=m与函数f(x)=e x，g(x)=ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|最小值的区间为()A.12,1B.(1,2)C.2,52D.52,36.已知直线y=a分别与函数y=e x+1和y=x-1交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是()A.3-ln22 B.5-ln22 C.3+ln22 D.5+ln227.若实数a，b，c，d满足|b+a2-4ln a|+|2c-d+2|=0，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为()A.3B.4C.5D.68.已知函数f(x)=e x-1,x≤012x-1,x>0，若m<n且f(m)=f(n)，则n-m的最小值为()A.2ln2-1B.2-ln2C.1+ln2D.29.已知函数f (x )=x 3+sin x ，g (x )=12x +1,x <0ln (x +1),x ≥0，若关于x 的方程f (g (x ))+m =0有两个不等实根x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2-x 1的最小值是()A.2B.3-ln2C.4-2ln2D.3-2ln210.已知函数f (x )=-32x +1,x ≥0e -x-1,x <0，若x 1<x 2且f (x 1)=f (x 2)，则x 2-x 1的取值范围是()A.23，ln2B.23，ln 32+13C.ln2，ln 32+13D.ln2,ln 32+1311.已知点M 在曲线y =3ln x -x 2上，点N 在直线x -y +2=0上，则|MN |的最小值为.12.已知直线y =b 与函数f (x )=2x +3和g (x )=ax +ln x 分别交于A ，B 两点，若AB 的最小值为2，则a +b =.13.若实数a ，b ，c ，d 满足2a 2-ln a b =3c -2d=1，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为.14.若实数a 、b 、c 、d 满足a 2-2ln a b =3c -4d=1，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为.15.已知实数a ，b ，c ，d 满足a -2e a b =1-c d -1=1，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为.专题11:参数的值或范围问题1.已知函数f (x )=x -ln x ，g (x )=x 2-ax .(1)求函数f (x )在区间[t ，t +1](t >0)上的最小值m (t )；(2)令h (x )=g (x )-f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图象上任意两点，且满足h (x 1)-h (x 2)x 1-x 2>1，求实数a 的取值范围；(3)若∃x ∈(0，1]，使f (x )≥a -g (x )x成立，求实数a 的最大值.2.已知函数f (x )=x ln x ，g (x )=-x 2+ax -3.(Ⅰ)求f (x )在[t ，t +2](t >0)上的最小值；(Ⅱ)若存在x ∈1e ，e(e 是常数，e =2.71828⋯)使不等式2f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)证明对一切x ∈(0,+∞)都有ln x >1ex -2ex 成立.3.已知函数f (x )=x ln x ，g (x )=-x 2+ax -2(Ⅰ)求函数f (x )在[t ，t +2](t >0)上的最小值；(Ⅱ)若函数y =f (x )+g (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)且x 2-x 1>ln2，求实数a 的取值范围.4.已知函数f(x)=ln x，g(x)=12x2-bx+1(b为常数).(1)函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切，求实数b的值；(2)若b=0，h(x)=f(x)-g(x)，∃x1、x2[1，2]使得h(x1)-h(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(3)当b≥2时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g (x2)|成立，求b的取值范围.5.设函数f(x)=ax2-a-ln x，g(x)=1x-e⋯为自然对数的底数.e x，其中a∈R，e=2.718(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.6.已知函数f(x)=x+a ln x在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直.(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)函数g(x)=f(x)+12x2-bx，若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(Ⅲ)设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点，若b≥72，求g(x1)-g(x2)的最小值.7.已知函数f (x )=a ln x +a +12x 2+1(1)当a =12时，求f (x )在区间1e ,e上的最值(2)讨论函数f (x )的单调性(3)当-1<a <0时，有f (x )>1+2aln (-a )恒成立，求a 的取值范围.8.已知函数f (x )=ax +x ln x 的图象在点x =e (e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)若f (x )≤kx 2对任意x >0成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)当n >m >1(m ,n ∈N *)时，证明：nm m n>m n .9.已知函数f (x )=x -ln (x +a )的最小值为0，其中a >0.设g (x )=ln x +m x，(1)求a 的值；(2)对任意x 1>x 2>0，g (x 1)-g (x 2)x 1-x 2<1恒成立，求实数m 的取值范围；(3)讨论方程g (x )=f (x )+ln (x +1)在[1，+∞)上根的个数.10.设函数f(x)=ln x+a(1-x).(Ⅰ)讨论：f(x)的单调性；(Ⅱ)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.专题12:分离参数法1.已知函数f x =e x -ae -x ，若f (x )≥23恒成立，则实数a 的取值范围是.2.已知函数f x =ln x -a x ，若f x <x 2在1,+∞ 上恒成立，则a 的取值范围是.3.若对任意x ∈R ，不等式3x 2-2ax ≥x -34恒成立，则实数a 的范围是.4.设函数f (x )=x 2-1，对任意的x ∈32,+∞ ,f x m -4m 2f (x )≤f (x -1)+4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是.5.若不等式x 2+2+x 3-2x ≥ax 对x ∈0,4 恒成立，则实数a 的取值范围是.6.设正数f x =e 2x 2+1x ,g x =e 2x ex ，对任意x 1,x 2∈0,+∞ ，不等式g x 1 k ≤f x 2 k +1恒成立，则正数k 的取值范围是.7.已知函数f x =ax 2-2a +1 x +ln x ,a ∈R ,g x =e x -x -1，若对于任意的x 1∈0,+∞ ,x 2∈R ，不等式f x 1 ≤g x 2 恒成立，求实数a 的取值范围.8.若不等式x +22xy ≤a x +y 对任意正数x ,y 恒成立，则正数a 的最小值是()A.1B.2C.2+12D.22+19.已知函数f x =1+ln x x ，如果当x ≥1时，不等式f x ≥k x +1恒成立，求实数k 的取值范围.10.已知函数f x =x +x ln x ,若k ∈Z ,且k <f x x -1对任意x >1恒成立,则k 的最大值为________.。

考点20利用导数证明不等式(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版

考点20利用导数证明不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果【核心题型】题型一　将不等式转化为函数的最值问题待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．【例题1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知1201x x <<<，下列不等式恒成立的是（）A ．1221e e x xx x C ．1122ln ln x x x x <D ．11e ln x x >【变式1】（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（）①13sin1010π> ②141sin sin 334< ③16tan 16> ④()tan π3sin 3->A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2】（2024·四川成都·三模）已知函数2()ln ,f x ax x a =-ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a £-.【变式3】（2024·四川成都·三模）已知函数()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---Î.(1)若12a =，证明：()0f x >；(2)若函数()f x 在()0,π内有唯一零点，求实数a 的取值范围.题型二　将不等式转化为两个函数的最值进行比较若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与e x ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．【例题2】（2023·河南开封·模拟预测）已知13a =，13e 1b =-，4ln 3c =，则（）A ．a b c <，则下列结论正确的是（）A ．e 2a b<-B ．1lna b<C ．1a b<-D ．1e lnba<【变式2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数()()1122e ,e e e 1xxx x f x m m g x -=+-=++.(1)当0m =时，证明：()e xf x -<；(2)当0x <时，()g x t ³，求t 的最大值；(3)若()f x 在区间()0,¥+存在零点，求m 的取值范围.【变式3】（2024·贵州黔西·一模）已知函数29()ln 22f x x x x x =--.(1)判断()f x 的单调性;(2)证明:1352193ln(21)35721n n n n -æö++++>-+ç÷+èøL .题型三　适当放缩证明不等式导数方法证明不等式中，最常见的是e x 和ln x 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对e x 和ln x 进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号；(2)ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号．【例题1】（2024·河北沧州·一模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为413,1,e Sn S a S >=，则数列{}n a 的公比q 满足（）A ．01q <£B ．10q -<<C ．1q >D ．1q £-【变式1】（2024·广东·模拟预测）令()sin 0.5cos1cos 2cos ,N n a n n °°°°+=+++ÎL ．则n a 的最大值在如下哪个区间中（）A ．(0.49,0.495)B ．(0.495,0.5)C ．(0.5,0.505)D ．(0.505,0.51)【变式2】（2024·全国·模拟预测）设整数1p >，1x >-且0x ¹，函数()(1)1p f x x px =+--．(1)证明：()0f x >；(2)设0x >，证明：ln(1)x x +<；(3)设*n ÎN ，证明：111321232ln(1)n n n n ++++<-+L ．【变式3】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数()(1)1(1)r f x x rx x =+-->-，0r >且1r ¹．(1)讨论()f x 的单调性；(2)6332的大小，并说明理由；(3)当*n ÎN时，证明：2sin 176n kk n =<+å．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（22-23高三上·四川绵阳·开学考试）若1201x x <<<，则（）A ．2121e e ln ln x xx x ->-B ．2121e e ln ln x xx x -<-C ．1221e e x xx x >D ．1221e e x xx x <2．（2023·陕西咸阳·三模）已知12023a =，20222023eb -=，1cos 20232023c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．a c b>>3．（23-24高三上·云南保山·期末）已知16a =，7ln 6b =，1tan 6c =，则（）A ．b a c <B ．22128x x +<C ．1212x x x x +=D ．()()()221212164f x f x x x +<+-6．（2023·福建·模拟预测）机械制图中经常用到渐开线函数inv tan x x x =-，其中x 的单位为弧度，则下列说法正确的是（）A ．inv x x ×是偶函数B ．inv x 在ππ(π,π)22k k --+上恰有21k +个零点（N k Î）C ．inv x 在ππ(π,π)22k k --+上恰有41k +个极值点（N k Î）D ．当π02x -<<时，inv sin x x x <-三、填空题7．（2023·海南·模拟预测）已知函数()1ln e x x af x --=，()1x a g x x--=，若对任意[)1,x ¥Î+，()()f x g x £恒成立，则实数a 的取值范围是 .8．（2023·河南开封·模拟预测）实数x ，y 满足()23e 31e x y x y -£--，则3xy -的值为．四、解答题9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数()21()1ln 2f x x x =--.(1)求()f x 的最小值；(2)证明：47ln332>.10．（2024·广东佛山·二模）已知()21e 4e 52x xf x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.11．（2023·四川成都·二模）已知函数()e sin xf x x -=.(1)求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；(2)若0x 是()f x 的最大的极大值点，求证：()01f x <<综合提升练一、单选题1．（22-23高三上·河南·阶段练习）若32e 3ln 22x yx y +-=+，其中2,2x y >>，则（）A ．e x yC ．24e xy>D ．2e x y>2．（2023·福建·模拟预测）已知ln 2a =，1e b a=-，2a c a =-，则（）A ．b c a>>B ．b a>C ．c a b>>D．c b a>>3．（2023·河北衡水·三模）若a =1b =-，c =则（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a<<D ．a c b<<4．（2023·新疆·三模）已知数列{}n a 中，11a =，若1nn nna a n a +=+（N n *Î），则下列结论中错误的是（）A ．325a =B ．1111n na a +-£C ．1ln 1nn a <-（2,N n n *³Î）D ．2111112n n a a ++-<5．（2023·河南·模拟预测）设a ，b 为正数，且2ln ab a b=-，则（）.A ．112a b<<B ．12a b<<C ．112ab <<D ．12ab <<6．（2024·上海虹口·二模）已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导数满足()()f x g x ¢£¢，给出两个命题：①对任意12,x x ÎR ，都有()()()()1212f x f x g x g x -£-；②若()g x 的值域为[]()(),,1,1m M f m f M -==，则对任意x ÎR 都有()()f x g x =.则下列判断正确的是（）A ．①②都是假命题B ．①②都是真命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①是真命题，②是假命题7．（2024·四川泸州·三模）已知0x >，e ln 1x y +=，给出下列不等式①ln 0x y +<；②e 2x y +>；③ln e 0y x +<；④1x y +>其中一定成立的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2024·四川攀枝花·三模）已知正数,,a b c 满足ln e c a b b ca ==，则（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．b c a>>二、多选题9．（2023·福建龙岩·二模）已知函数()ln n f x x n x =-（*n ÎN ）有两个零点，分别记为n x ，n y （<n n x y ）；对于0a b <<，存在q 使)()()(()n n n f f f a q b a b -=-¢，则（）A ．()n f x 在()1,+¥上单调递增B ．e n >（其中e 2.71828=L 是自然对数的底数）C ．11n n n n x x y y ++-<-D ．2q a b<+10．（2023·河南信阳·模拟预测）已知,,,a b c d ÎR ，满足0a b c d >>>>，则（）A ．sin sin a b >B ．sin sin a a b b ->-C ．a bd c>D ．ad bc ab cd+>+11．（2024·河北沧州·一模）已知函数()e xf x =与函数()211g x x =+-的图象相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且12x x <，则（）A ．121y y =B ．211exy =C ．21211y y x x ->-D ．221x y =三、填空题12．（2023·四川成都·三模）已知函数()2()2ln 32f x x a x x =+-+，a ÎR .当1x >时，()0f x >，则实数a 的取值范围为．13．（23-24高三下·广东云浮·阶段练习）若实数a ，b 满足()()221ln 2ln 1a b a b -³+-，则a b += ．14．（2024·全国·模拟预测）若实数a ，b ，c 满足条件：()2e e 2e 1a b ca b c a -++-+=-，则444abca b c ++的最大值是．四、解答题15．（2024·青海西宁·二模）已知函数()()()2222ln R f x x a x a x a =+--Î．(1)若2a =，求()f x 的极值；(2)若()()2222ln g x f x a x x =+-+，求证：()12g x ³．16．（2024·山东济南·二模）已知函数()()()22l ,n 1e x f x ax x g x x ax a =--=-ÎR .(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：()()f x g x x +³.17．（2024·上海松江·二模）已知函数ln y x x a =×+（a 为常数），记()()y f x x g x ==×.(1)若函数()y g x =在1x =处的切线过原点，求实数a 的值；(2)对于正实数t ，求证：()()()ln 2f x f t x f t t a +-³-+；(3)当1a =时，求证：e ()cos x g x x x+<.18．（2024·上海嘉定·二模）已知常数m ÎR ，设()ln mf x x x=+，(1)若1m =，求函数()y f x =的最小值；(2)是否存在1230x x x <<<，且1x ，2x ，3x 依次成等比数列，使得()1f x 、()2f x 、()3f x 依次成等差数列？请说明理由．(3)求证：“0m £”是“对任意()12,0,x x Î+¥，12x x <，都有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-”的充要条件．19．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2e ln 1xf x a x =-+．(1)若2a =，讨论()f x 的单调性．(2)若0x >，1a >，求证：()1ln 2f x a a >-．拓展冲刺练一、单选题1．（2023·上海奉贤·二模）设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和,若一个数列满足对任意的正整数n ,不等式11n n S S n n +<+恒成立,则称数列{}n a 为和谐数列,有下列3个命题:①若对任意的正整数n 均有1n n a a +<,则{}n a 为和谐数列;②若等差数列{}n a 是和谐数列,则n S 一定存在最小值;③若{}n a 的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有( )个A ．0B ．1C ．2D ．32．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）已知0.19e a -=，0.9b =，2ln0.91c =+，则（）A ．b c a>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．b a c>>3．（2023·湖南长沙·一模）已知()e 0.1e 0.1a +=-，e e b =，()e 0.1e 0.1c -=+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c<<D ．a c b<<4．（2024·青海·二模）定义在R 上的函数()f x 满足()()2231218f x f x x x --=-+，()f x ¢是函数()f x 的导函数，以下选项错误的是（）A ．()()000f f ¢+=B ．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y --=C ．()()f x f x m -¢³在R 上恒成立，则2m £-D ．()()74ee xf x f x -³-¢-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且221n n n a S a -=，则（）A ．=n aB ．1n na a +>C ．1ln n nS n S -³D ．212n n n S S S +++>6．（2024·全国·模拟预测）已知1e 1ln ,0aa b=+>，则下列结论正确的是（）A ．e 2a b >-B ．1lna b<C ．1e lnb a<D ．1a b>-三、填空题7．（2023·浙江温州·二模）已知函数e e()ln ln f x x x x x=++-，则()f x 的最小值是；若关于x 的方程()22f x ax =+有1个实数解，则实数a 的取值范围是.8．（2023·福建福州·模拟预测）已知定义在()0,¥+上函数()f x 满足：()()ln 1x f x x +<<，写出一个满足上述条件的函数()f x = .四、解答题9．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()()sin ln sin f x x x =-，()1,2x Î(1)求()f x 的最小值；(2)证明：()sin sin eln sin 1x xx x -×->.10．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数()()ln 1R af x x a x=+-Î．(1)当2a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)设函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()()()1212f x f x x x ¢¢=¹，证明：()()1211f x f x a++>．11．（2024·山西晋城·二模）已知函数()()e x f x x a x a =-++（a ÎR ）．(1)若4a =，求()f x 的图象在0x =处的切线方程；(2)若()0f x ³对于任意的[)0,x Î+¥恒成立，求a 的取值范围；(3)若数列{}n a 满足11a =且122nn n a a a +=+（*n ÎN ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：[]1ln (1)(2)3n S n n +<++．。

(完整版)高三复习导数专题

导数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数（1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >）其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。

考点17导数与函数的单调性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版

考点17导数与函数的单调性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用【知识点】1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上________f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上________函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的；第2步，求出导数f ′(x )的；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解【核心题型】题型一　不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A ．()2,3B ．()3,4C ．(),3-¥D ．()3,+¥【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为（）A ．(),e -¥-B ．()e,0-C ．(),0¥-D ．()1,0-【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数()f x 的导函数为()f x ¢，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f ¢-=.则()f x 的单调增区间为 .【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数()33ln f x x x =-，()f x ¢为()f x 的导函数．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()()()9g x f x f x x¢=--的单调区间和极值．题型二　含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数()322f x x ax x=++（R a Î）的大致图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【变式1】（2024·天津·二模）已知()()ln R f x x ax x a =+×Î，(1)当2a =时，求()f x 在点()()e e f ，处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若函数()f x 存在极大值，且极大值为1，求证：()2e xf x x -£+．【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =--ÎR ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，若函数()2e e 2x x g x a =+和()22h x a x =的图象在()0,1上有交点，求实数a 的取值范围．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()(2)ln f x a x a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()9ln f x a >．（参考数据：ln 20.693»）题型三　函数单调性的应用由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集命题点1　比较大小或解不等式【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数()f x 对任意的x ÎR 都有()()f x f x ¢<恒成立，则2(2)f 与2e (ln 2)f 的大小关系正确的是（）A ．2(2)f >2e (ln 2)fB ．2(2)f =2e (ln 2)fC ．2(2)f <2e (ln 2)f D ．无法比较大小【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c>>D ．a b c>>【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数()()21e ln 12xf x x a x =--+.(1)证明：当1a £时，()1f x ≥对[)0,x Î+¥恒成立.(2)若存在()1212,x x x x ¹，使得()()12f x f x =，比较()()1211x x ++与2e e a的大小，并说明理由.【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数()()2ln 12x f x x =++.(1)当[)0,x Î+¥时，比较()f x 与x 的大小；(2)若函数()2cos 2x g x x =+，且()()2e 10,0a f g b a b æö=->>ç÷èø，证明：()()211f b g a +>+.命题点2　根据函数的单调性求参数【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的1x ，2(,)x m Î+¥，且12x x <，122121ln ln 2x x x x x x -<-，则实数m 的取值范围是（）A ．1,e e æöç÷èøB ．1,e e éùêúëûC ．1,e ¥éö+÷êëøD ．1,e æö+¥ç÷èø【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设()0,1a Î，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,¥+递增，则a 的取值范围是（）A．B．ö÷÷øC．ö÷÷øD．æççè【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x =--，下列命题正确的是（）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则1a =B ．若()10f =，则()f x 在[]0,2x Î上的最小值为0C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则1a ≥D ．若()()l ln x x f x -≥在[]1,2x Î上恒成立，则2a ≥【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+¥上单调递增，则a 的取值范围是．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知函数()e ln x f x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2e B ．eC ．1e -D ．2e -2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设()af x x a x=-+在()1,+¥上为增函数，则实数a 取值范围是（）A ．[)0,¥+B ．[)1,+¥C ．[)2,-+¥D ．[)1,-+¥3．（2024·云南楚雄·一模）若a b >，则函数()2()y a x a x b =--的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得1()0>f x ，且2()0f x >，则实数a 的取值范围为（）A ．[ln 3,2)B ．(0,2ln 3]-C ．(0,2ln 3)-D ．[2ln 3,2)-5．（2024·全国·模拟预测）已知8sin 15a =，3ln 2b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）已知函数()33f x x x =-，则（）A ．函数()()()'g x f x f x =× 是偶函数B ．y x =-是曲线()y f x =的切线C ．存在正数(),a f x 在(),a a -不单调D ．对任意实数a ，()(f a f a £+7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间()0,1上是减函数的是（）A ．()exf x =B ．()sin f x x =-C ．()1f x x=D ．3()2f x x x=-三、填空题8．（2024·云南大理·模拟预测）函数()12ln f x x x =--的最大值为.9．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e e e x x x g x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题10．（2024·江西南昌·一模）已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 的最大值.11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数()2ln f x ax x x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.综合提升练一、单选题1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：①函数2()2x f x x =-恰有两个零点；②若函数()4a af x x x =-+在(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是[1,)-+¥；③若函数()f x 满足()(1)4f x f x +-=，则12918101010f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ；④若关于x 的方程20x m -=有解，则实数m 的取值范围是(0,1].其中正确的是（）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()32f x ax bx cx d =+++的大致图象如图所示，则（）A ．0,0,0a b c >><<C ．0,0,0a b c ><>D ．a 0,b 0,c 0<>>3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()()()1e x f x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2e 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()4e e 2e x x xf x x =--，()f x ¢为()f x 的导函数，()()e xf xg x ¢=，则（）A ．()g x 的极大值为24e 2-，无极小值B ．()g x 的极小值为24e 2-，无极大值C ．()g x 的极大值为4ln22-，无极小值D ．()g x 的极小值为4ln22-，无极大值5．（2024·全国·模拟预测）已知13,,ln2e 14a b c ===-，则它们之间的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数()2e x axf x -=在区间()1,3上单调递增，则a 的可能取值为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2024·全国·模拟预测）若22ln 2e a -=，12e b =，ln 24c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a c b<<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数()e ln xf x a x =-有两个大于1的零点，则a 的取值范围可以是（）A ．(]0,1B ．1e 1,e æùçúèûC ．1ee ,e æùçúèûD ．)e 12e e ,e +éë二、多选题9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数21e 1xx y x -=×-，则（）A ．函数的极大值点为=0x B ．函数的极小值点为=0x C ．函数在(1,)+¥上单调递增D ．函数在31,2æöç÷èø上单调递减10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数3()f x x mx n =--，其中,m n ÎR ，下列选项中，能使函数()y f x =有且仅有一个零点的是（）A ．1m =-，1n =B ．0m =，1n =C ．3m =，2n =D ．3m =，3n =-11．（2023·山东泰安·一模）已知函数()()()ln f x x x ax a =-ÎR 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（）A ．102a <-D ．()10<f x ，()212f x >-三、填空题12．（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为．13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数()sin esin a xf x a x =-，对于任意12,x x ÎR ，都有()()12e 2f x f x -£-，则实数a 的取值范围为 .14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()()()222e 22e 0x xf x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a .四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()ln f x x ax bx =+-．(1)当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在2x =处取得极值ln 2，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2()e x f x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()4ln 2f x a ≥+．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21ln 12f x x x a x =+++，a ÎR ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a <-时，()21a f x +>．18．（2024·青海·模拟预测）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点，求m 的取值范围．19．（2023·全国·模拟预测）已知函数()e xf x ax b =+-，其中e 为自然对数的底数．(1)若()f x 在区间(]1,2上不是单调函数，求a 的取值范围．(2)当0x ≥时，()2112f x x b ≥+-恒成立，求a 的取值范围．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在()0,¥+上单调递减的是（）A ．()32xxf x -=+B ．()2222x xxxf x ---=+C ．()3f x x x=-D ．()(12log f x x =2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()32()log 2(0a f x x ax x a a =-+->且1)a ¹在区间(1,)+¥上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．20,3æùçúèûB ．2,13éö÷êëøC ．(1,2]D ．[2,)+¥3．（2024·甘肃兰州·三模）函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12æöç÷èø是减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,2]-¥B ．(,2)-¥C ．(,3]-¥D ．(3),-¥4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b二、多选题5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()321f x x ax ax =+-+，则下列说法正确的是（）A ．若()f x 为R 上的单调函数，则3a <-B ．若2a =时，()f x 在()1,1-上有最小值，无最大值C ．若()1f x -为奇函数，则0a =D ．当0a =时，()f x 在1x =处的切线方程为310x y --=6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（）A ．πe e π>B ．1ln 0.99-<C ．15sin 15<D ．11sin 3π<三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知1a >，0b >，1c >，且e e ln a b a b --==a ，b ，c 的大小关系为．（用“<”连接）8．（2023·安徽·二模）若不等式2ln 23x ax a -£-对(0,)"Î+¥x 恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数()()321f x ax bx a =++ÎR ，当2x =时，()f x 取得极值3-．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最值．10．（2024·陕西西安·三模）已知函数1()ln ()m f x mx x m x-=--ÎR ，函数1π()ln ,[0,cos 2g x x x q q =+Î在区间[1,)+¥上为增函数．(1)确定q 的值，求3m =时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设函数()()()h x f x g x =-在,()0x Î+¥上是单调函数，求实数m 的取值范围．11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数()ln 1f x x mx =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1m =时，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=①求证：12n n a -£；②求证：22223111(1)(1(1e na a a +++<L ．。

专题14 三次函数(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数

专题14 三次函数函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函数,我们可以利用二次函数深入研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热点.(一)三次函数的单调性由于三次函数()f x 的导数()f x ¢是二次函数,我们可以利用()0f x ¢=根的情况及根的分布来研究三次函数的单调性,特别是含有参数的三次函数的单调性通常要借助二次方程根的分布求解.【例1】（2024届青海省部分学校高三下学期联考）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点,求m 的取值范围．【解析】（1）()()()()2111f x x mx m x x m =+-+=-++¢,令()0f x ¢=,解得1x =或1x m =--,①当11m -->,即2m <-时,由()0f x ¢>得1x <或1x m >--；由()0f x ¢<得11x m <<--,所以()f x 在(),1¥-和()1,m ¥--+上单调递增；在()1,1m --上单调递减；②当11m --=,即2m =-时,()0f x ¢³恒成立,所以()f x 在R 上单调递增；③当11m --<,即2m >-时,由()0f x ¢>得1x >或1x m <--；由()0f x ¢<得11m x --<<,所以()f x 在(),1m ¥---和()1,¥+上单调递增；在()1,1m --上单调递减；综上,当2m <-时,()f x 在(),1¥-和()1,m ¥--+上单调递增；在()1,1m --上单调递减；当2m =-时,()f x 在R 上单调递增；当2m >-时,()f x 在(),1m ¥---和()1,¥+上单调递增；在()1,1m --上单调递减.（2）因为()f x 有3个零点,所以2m ¹-,当2m >-时,极大值()()221163m f m m æö--=++ç÷èø；极小值()12123f m =--,所以()22106312023m m m ìæö++>ç÷ïïèøíï--<ïî,解得43m >-且1m ¹-,当2m <-时,极大值()12123f m =--；极小值()()221163m f m m æö--=++ç÷èø,所以()22106312023m m m ìæö++<ç÷ïïèøíï-->ïî,解得4m <-,综上,m 的取值范围为()()4,4,11,3¥¥æö--È--È-+ç÷èø.(二)过平面上一点P 作三次函数图象的切线的条数1.此类问题一般是先设出切点Q ()(),t f t ,写出曲线()f x 在x t =处的切线方程,把点P 坐标代入,整理出一个关于t 的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.2.以三次函数为 bx ax x f +=3)(为例,研究一下三次函数的切线问题：若M （x 1,y 1）是三次曲线bx ax x f +=3)(上的任一点,设过M 的切线与曲线y=f （x ）相切于（x 0,y 0）,则切线方程为))((000x x x f y y -¢=-,因点M 上此切线上,故))((01001x x x f y y -¢=-,又13110300,bx ax y bx ax y +=+=,所以))(3()(0120030131x x b ax bx ax bx ax -+=+-+,整理得：0)2()(10210=+-x x x x ,解得,10x x =或210x x -=.综上所述,当点M 是对称中心即01=x 时,过点M 作曲线的切线切点是惟一的,且为M ,故只有一条切线；当点M 不是对称中心即01¹x 时,过点M 作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是以M 为切点（亦即曲线在点M 处）的切线. 由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一【例2】（2024届福建省泉州市高中毕业班5月适应性练习）已知函数()()32220f x ax x x a a =--+³．(1)当1a =时,若直线3y x b =-+与曲线()y f x =相切,求b ；(2)若直线22y x =--与曲线()y f x =恰有两个公共点,求a ．【解析】（1）当1a =时,()32221f x x x x =--+,()2342f x x x ¢=--,因为直线3y x b =-+与曲线()y f x =相切,设切点为()00,x y ,则切线斜率()2000342k f x x x ¢==--,可得2000032000034233221x x y x by x x x ì--=-ï=-+íï=--+î,解得00121x y b =ìï=-íï=î或00134273127x y b ì=ïïï=íïï=ïî,所以1b =或3127b =．（2）因为直线22y x =--与曲线()y f x =恰有两个公共点,所以方程322222ax x x a x --+=--,即方程()()321210a x x +--=有两个不等实根,因为=1x -是方程()()321210a x x +--=的一个根；当1x ¹-时,方程可化为()2220ax a x a -+++=（*）,依题意,方程（*）有不等于1-的唯一根,因为0a ³,若0a =,则（*）即220x -+=,1x =,满足条件；若0a >,则由()()22202420a a a a a a ++++¹ìïí=+-+=ïîV ,解得：23a =．综上所述,0a =或23a =．【例3】（2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测）已知函数()()320f x ax bx cx a =++>的极小值为2-,其导函数()f x ¢的图象经过()1,0A -,()10B ,两点.(1)求()f x 的解析式；(2)若曲线()y f x =恰有三条过点()1,P m 的切线,求实数m 的取值范围.【解析】（1）()232f x ax bx c ¢=++,因为0a >,且()f x ¢的图象经过()1,0A -,()10B ,两点.所以当(),1x Î-¥-时,()0f x ¢>,()f x 单调递增；当()1,1x Î-时,()0f x ¢<,()f x 单调递减；当()1,x Î+¥时,()0f x ¢>,()f x 单调递增.所以()f x 在1x =处取得极小值,所以()12f a b c =++=-,又因为()10f ¢-=,()10f ¢=,所以320a b c -+=,320a b c ++=,解方程组3203202a b c a b c a b c -+=ìï++=íï++=-î得1a =,0b =,3c =-,所以()33f x x x =-.（2）设切点为()00,x y ,则30003y x x =-,因为()233f x x ¢=-,所以()20033f x x ¢=-,所以切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--,将()1,P m 代入上式,得32002330x x m -++=.因为曲线()y f x =恰有三条过点()1,P m 的切线,所以方程322330x x m -++=有三个不同实数解.记()32233g x x x m =-++,则导函数()()26661g x x x x x ¢=-=-,令()0g x ¢=,得0x =或1.列表：x(),0¥-0()0,11()1,+¥()g x ¢+0-+()g x ↗极大↘极小↗所以()g x 的极大值为()03g m =+,()g x 的极小值为()12g m =+,所以()()0010g g ì>ïí<ïî,解得32m -<<-.故m 的取值范围是()3,2--.(三)三次函数的极值三次函数()f x 的极值点就是二次函数()f x ¢的零点,所以与三次函数极值有关的问题常借助“三个二次”的关系求解.【例4】（2024届山东省实验中学高三二模）已知函数()()2()(,,)f x x a x b a b a b =--Î<R .(1)当1,2a b ==时,求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；(2)设12,x x 是()f x 的两个极值点,3x 是()f x 的一个零点,且3132,x x x x ¹¹.是否存在实数4x ,使得1234,,,x x x x 按某种顺序排列后构成等差数列？若存在,求4x ；若不存在,说明理由.【解析】（1）当1,2a b ==时,()()2(1)2f x x x =--,则()()()()()()22121135f x x x x x x ¢=--+-=--,故()21f ¢=,又()20f =,所以曲线()y f x =在点()2,0处的切线方程为2y x =-；（2）()()()222()()33a b f x x a x b x a x a x +æö¢=--+-=--ç÷èø,由于a b <,故23a ba +<,令()0f x ¢>,解得x a <或23a b x +>；令()0f x ¢<,解得23a ba x +<<；可知()y f x =在2,3ab a +æöç÷èø内单调递减,在()2,,,3a b a +æö-¥+¥ç÷èø内单调递增,所以()f x 的两个极值点为2,3a b x a x +==,不妨设122,3a bx a x +==,因为3132,x x x x ¹¹,且3x 是()f x 的一个零点,故3x b =.又因为22233a b a b a b ++æö-=-ç÷èø,故4122233a b a b x a ++æö=+=ç÷èø,此时22,,,33a b a ba b ++依次成等差数列,所以存在实数4x 满足题意,且423a bx +=.(四)三次函数的零点1.若三次函数()f x 没有极值点,则()f x 有1个零点；2. 三次函数()f x 有2个极值点12,,x x ,则()()120f x f x >时()f x 有1个零点；()()120f x f x =时()f x 有2个零点；()()120f x f x <时()f x 有3个零点.【例5】（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数322()432f x x mx m x =--+,其中0m ³.(1)若()f x 的极小值为－16,求m ；(2)讨论()f x 的零点个数.【解析】（1）由题得22()383(3)(3)f x x mx m x m x m ¢=--=-+,其中0m ³,当0m =时,()0f x ¢³,()f x 单调递增,()f x 无极值；当0m >时,令()0f x ¢>,解得3m x <-或3x m >；令()0f x ¢<,解得33mx m -<<,所以()f x 的单调递减区间为,33m m æö-ç÷èø,单调递增区间为,3m æö-¥-ç÷èø,()3,m +¥,所以当3x m =时,()f x 取得极小值()33218f m m =-,所以321816m -=-,解得1m =.（2）由（1）知当0m >时,()f x 的极小值为()33218f m m =-,()f x 的极大值为31420327m f m æö-=+>ç÷èø,当32180m -<,即m >时,()f x 有三个零点,如图①曲线；当32180m -=,即m =,()f x 有两个零点,如图②曲线；当32180m ->,即0<,()f x 有一个零点,如图③曲线；当0m =时,()32f x x =+,易知()f x 有一个零点. 综上,当0m £<()f x 有一个零点；当m ,()f x 有两个零点；当m >,()f x 有三个零点.(五)三次函数图象的对称性三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++¹的图象有六种,如图：10010200200f x ()x10010200200f x ()x100102000200f x ()x对函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++¹,原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数当a 为正时,原函数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5、（4）、（6）三种情况.当0D >时,二次方程()0f x ¢=有两相异实根1x ,故函数()f x 存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4,且在根的两边()f x ¢的符号相同,这时函数()f x 只存在驻点1）、（2）两种,当0D <时；方程()0f x ¢=无实根,()f x ¢）两种.仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设n x m f x m f 2)()(=++-,得n d x m c x m b x m a d x m c x m b x m a 2])()()([])()()([2323=++++++++-+-+-整理得,n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++.据多项式恒等对应系数相等,可得ab m 3-=且d mc bm am n +++=23,从而三次函数是中心对称曲线,且由)(m f n =知其对称中心))(,(m f m 仍然在曲线上.而abm 3-=是否具有特殊的意义？对函数)(x f 进行两次求导,b ax x f 26)(+=¢¢再令等于0,得abx 3-=,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足0)(=¢¢m f 的m 正是函数拐点的横坐标,这一性质刚好与图象吻合.【例6】对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++¹,给出定义：设()f x ¢是函数()y f x =的导数,()f x ¢¢是()f x ¢的导数,若方程()0f x ¢¢=有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．若32115()33212f x x x x =-+-,请你根据这一发现.（1）求函数()f x 的对称中心；（2）计算122020()(()()20212021202120213f f f f +++×××+.【解析】（1）2()3,()21f x x x f x x ¢¢¢=-+\=-Q ,令()0f x ¢¢=,即210x -=,解得12x =,321111115()(()3123222212f \=´-´+´-=,由题中给出的结论,可知函数()f x 的对称中心为1(,1)2.（2）由（1）知函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为1(,1)2,所以11()()222f x f x ++-=,即()(1)2f x f x +-=,故120202201920201()()2,(()2,(()2202120212021202120212021f f f f f f +=+=×××+=,所以1220201()()((220202020202120212021202312f f f f +++×××+=´´=. (六)三次函数与韦达定理的交汇由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题【例7】设21,x x 是函数)0(23)(223>-+=a x a xb x a x f 的两个极值点,且2||||21=+x x(1)求a 的取值范围； (2)求证：934||£b .【解析】(1)22')(a bx ax x f -+=,'12,()0x x f x =是的两个实根,又a ＞0a bx x a x x -=+<-=2121,0,a ab x x x x 4||||||222121+=-=+由2||||21=+x x 得22232244444(1)b a b a a a a a +==-=-，即1002£<\³a b Q (2)设,44)(322a a a gb -==则)32(4128)(2'a a a a a g -=-=22()(0)(1)33g a 在，在单调递增，在，上单调递增max 216[()](327g a g ==,934£\b 【例8】（2024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习）对三次函数()32,0f x ax bx cx d a =+++¹,如果其存在三个实根123,,x x x ,则有123122331123,,b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=-++==-.称为三次方程根与系数关系.(1)对三次函数()32f x ax bx cx d =+++,设()()g x f x =¢,存在0x ÎR ,满足()()()0000f x g x g x =¹¢=.证明：存在10x x ¹,使得()()()210f x a x x x x =--；(2)称()f x 是[],m M 上的广义正弦函数当且仅当()f x 存在极值点()12,,x x m M Î,使得()(){}()(){}12,,f x f x f m f M =.在平面直角坐标系xOy 中,(),A a b 是第一象限上一点,设()()()2,()4bf x x a xg x x a x b x =-+=--.已知()g x 在()0,a 上有两根03x x <.（i ）证明：()f x 在()0,¥+上存在两个极值点的充要条件是327a b >；（ii ）求点A 组成的点集,满足()f x 是[]03,x x 上的广义正弦函数.【解析】（1）因为()00f x =,所以不妨设()()()()()012,0f x a x x x x x x a =---¹,所以()()()()()()()()()010212,0g x f x a x x x x a x x x x a x x x x a ¢==--+--+--¹,因为()()000g x g x =¢¹,所以()()()()()0001020,0g x f x a x x x x a ¢==--=¹,所以不妨取02x x =满足题意,且此时必有10x x ¹,否则若0x x =,则有()()30f x a x x =-,()()()203g x f x a x x ¢==-,()()06g x a x x ¢=-,而此时()()00060g x a x x ¢=-=与已知()()000g x g x =¢¹矛盾,综上所述,存在10x x ¹,使得()()()210f x a x x x x =--.（2）（i ）(),A a b 是第一象限上一点,所以0,0a b >>,因为()()b f x x a x x =-+,所以()()32222,0,0b x ax b f x a x a b x x-+-¢=--=>>,设()322h x x ax b =-+-,则()00h b =-<,而x ®-¥时,()h x ®+¥,x ®+¥时,()h x ®-¥,所以()3220h x x ax b =-+-=存在负根,因为()f x 在()0,¥+上存在两个极值点,等价于方程()3220x ax bf x x -+-¢==在()0,¥+上有两个根,等价于方程()3220h x x ax b =-+-=在()0,¥+上存在两个根,注意到三次方程最多有3个根,所以方程()3220h x x ax b =-+-=有一个负根,两个不同的正根,而()262h x x ax ¢=-+,当03a x <<时,()2620h x x ax ¢=-+>,()h x 单调递增,当3a x >时,()2620h x x ax ¢=-+<,()h x 单调递减,所以当且仅当33320327927a a a a h b b æö=-+-=->ç÷èø,即当且仅当327a b >,综上所述,命题（i ）得证；（ii ）容易验证,327a b >时,()0g x =也恰好有两个正根03,x x ,此时：由于对0x >来说,()0f x ¢=等价于3220x ax b -+=,()0g x =等价于()240x a x b --=,所以对0x >,如果()0g x =,那么()()()32202444a x a a x x a x a x f b b -----æö¢=-+=+=ç÷èø,这意味着3012,22a x a x x x --==,然后,对两个不相等的正数()()()(),,b u v f u f v u v a u v uv éù-=--+-êúëû,所以()()f u f v =当且仅当bu v a uv++=,那么如果1t x =或2x ,就有02a t x -=或3x ,故()()2f t g a t ¢=-,此时()()()()()()2322222222b t a t b b t at bt a t a t a a a t a t t a t t a t t a t ---++-+=-+=+=+=----,所以()()2f t f a t =-,这意味着()()()()0213,f x f x f x f x ==,最后,由于()()322m x h x x ax b =-=-+有一个极值点3a x =,所以12,x x 都不等于3a （12,x x 是不相等的正零点,同时该方程还有另一个负零点,但3a只要是根就是二重的,所以3a不可能是根）,这就说明1302,x x x x ¹¹,结合()f x 的单调性以及()()()()0213,f x f x f x f x ==,必有0123x x x x <<<,所以此时()f x 一定是广义正弦函数,综上所述,满足题意的(){}3,|27A a b ab =>.【例1】（2024届福建省泉州市高三5月适应性练习）已知函数()()32220f x ax x x a a =--+³．(1)当1a =时,若直线3y x b =-+与曲线()y f x =相切,求b ；(2)若直线22y x =--与曲线()y f x =恰有两个公共点,求a ．【解析】（1）当1a =时,()32221f x x x x =--+,()2342f x x x ¢=--,因为直线3y x b =-+与曲线()y f x =相切,设切点为()00,x y ,则切线斜率()2000342k f x x x ¢==--,可得2000032000034233221x x y x by x x x ì--=-ï=-+íï=--+î,解得00121x y b =ìï=-íï=î或00134273127x y b ì=ïïï=íïï=ïî,所以1b =或3127b =．（2）因为直线22y x =--与曲线()y f x =恰有两个公共点,所以方程322222ax x x a x --+=--,即方程()()321210a x x +--=有两个不等实根,因为=1x -是方程()()321210a x x +--=的一个根；当1x ¹-时,方程可化为()2220ax a x a -+++=（*）,依题意,方程（*）有不等于1-的唯一根,因为0a ³,若0a =,则（*）即220x -+=,1x =,满足条件；若0a >,则由()()22202420a a a a a a ++++¹ìïí=+-+=ïîV ,解得：23a =．综上所述,0a =或23a =．【例2】（2024届福建省泉州第五中学高考热身测试）已知函数()32,f x x ax a =-+ÎR .(1)若2x =-是函数()f x 的极值点,求a 的值,并求其单调区间；(2)若函数()f x 在1,33éùêúëû上仅有2个零点,求a 的取值范围．【解析】（1）()23f x x a =¢-,()2120f a =¢--=,得12a =,当12a =时,()23120f x x ¢=-=,得2x =-或2x =,()(),,x f x f x ¢的变化情况如下表所示,x(),2¥--2-()2,2-2()2,¥+()f x +0-+()f x ¢增区间极大值18减区间极小值14-增区间所以函数()f x 的增区间是(),2¥--和()2,¥+,减区间是()2,2-；（2）令()320f x x ax =-+=,1,33x éùÎêúëû,得3222x a x x x+==+,令()22g x x x =+,1,33x éùÎêúëû,()()32221220x g x x x x-=-==¢,得1x =,如下表,x131,13æöç÷èø1()1,33()g x ¢-0+()g x 559减区间极小值3增区间293因为函数()f x 在1,33éùêúëû上仅有2个零点,即y a =与()y g x =有2个交点,如图：即5539a <£.【例3】（2024届陕西省铜川市高三下学期模拟）已知函数()()322312R h x x x x m m =+-+Î的一个极值为2-．(1)求实数m 的值；(2)若函数()h x 在区间3,2k éùêúëû上的最大值为18,求实数k 与m 的值．【解析】（1）由()()322312R h x x x x m m =+-+Î,得()()()26612621h x x x x x ¢=+-=+-,令()0h x ¢=,得2x =-或1x =；令()0h x ¢<,得2<<1x -；令()0h x ¢>,得<2x -或1x >．所以函数()h x 有两个极值()2h -和()1h ．若()22h -=-,得()322(2)3(2)1222m ´-+´--´-+=-,解得22m =-；若()12h =-,得3221311212m ´+´-´+=-,解得5m =．综上,实数m 的值为－22或5．（2）由（1）得,()(),h x h x ¢在区间3,2æù-¥çúèû的变化情况如下表所示：x(),2-¥-2-()2,1-131,2æöç÷èø32()h x ¢+－+()h x Z 极大值20m +]极小值7m -Z92m -由表可知,①当312k £<时,函数()h x 在区间3,2k éùêëû上单调递增,所以最大值为3922h m æö=-ç÷èø,其值为253-或12,不符合题意；②当2k =-时,函数()h x 在()2,1-上单调递减,在31,2æöç÷èø上单调递增,因为()220h m -=+,3922h m æö=-ç÷èø,()322h h æö>ç÷èø,所以()h x 在3,2k éùêúëû上的最大值为()220h m -=+,其值为2-或25,不符合题意；③当2k <-时,函数()h x 在(),2k -上单调递增,在()2,1-上单调递减,在31,2æöç÷èø上单调递增,因为()220h m -=+,3922h m æö=-ç÷èø,()322h h æö>ç÷èø,所以()h x 在3,2k éùêúëû上的最大值为()220h m -=+,其值为2-或25,不符合题意；④当21k -<<时,()h x 在(),1k 上单调递减,在31,2æöç÷èø上单调递增,若()h x 在区间3,2k éùêúëû上的最大值为3922h m æö=-ç÷èø,其值为12或253-,不符合题意,又因为若22m =-,则()2202h m -=+=-．那么,函数()h x 在区间3,2k éùêúëû上的最大值只可能小于－2,不合题意,所以要使函数()h x 在区间3,2k éùêúëû上的最大值为18,必须使()32231218h k k k k m =+-+=,且5m =,即()322312518h k k k k =+-+=．所以322312130k k k +--=,所以3222213130k k k k k +++--=．所以()()()22111310kk k k k +++-+=,所以()()221310k k k +-+=．所以22130k k +-=或10k +=,所以k =10k +=．因为21k -<<,所以k =舍去．综上,实数k 的值为1,m -的值为5．【例4】（2023届江苏省徐州市睢宁县高三下学期5月模拟）已知函数32()2f x x mx =-+,R m Î,且()|()|g x f x =在(0,2)x Î上的极大值为1．(1)求实数m 的值；(2)若()b f a =,()c f b =,()a f c =,求,,a b c 的值．【解析】（1）2()|2|g x x x m =-,02x ££,① 0m £时,32()2g x x mx =-,∴2()620g x x mx ¢=-≥,无极值．② 4m ³时,32()2g x x mx =-+,∴()2(3)g x x m x ¢=-,当23m³,即6m ³时,()0g x ¢³,无极大值；当46m £<时,3m x <时,()0g x ¢>；23mx <<时,()0g x ¢<,∴()g x 在3m x =处取极大值,即3(1327m m g ==,∴3m =,舍去．③04m <<时,()32322,022,22m x mx x g x m x mx x ì-+££ïï=íï-<£ïî,∴()()()23,0223,22m x m x x g x m x x m x ì-££ïï=íï-<£î¢ï,03m x <<时,()0g x ¢>；32m m x <<时,()0g x ¢<；22mx <<时,()0g x ¢>．∴()g x 在3m x =处取极大值3127m =,∴3m =符合题意．综上,3m =．（2）由（1）可知,32()23f x x x =-+,()2()6661f x x x x x =-+=-+¢,令()0f x ¢>可得10x -<<,令()0f x ¢<可得1x >或0x <,如图所示．① 当0a <时,()0b f a =>,当302b <≤时,0()1c f b <=≤,则()0a f c =>,矛盾；当32b >时,()0c f b =<,∴()0a f c =>,矛盾．② 当0a =时,符合题意．③ 当102a <<时,102x <<时,()f x x <,∴10()2b f a a <=<<,则10()2c f b b <=<<,10()2a f c c <=<<,∴a cb a <<<,矛盾．④ 当12a =时,符合题意．⑤ 当112a <<时,112x <<时,()f x x >,∴11()2b f a a >=>>,则11()2c f b b >=>>,11()2a f c c >=>>,∴a cb a >>>,矛盾．⑥ 当1a =时,符合题意．⑦ 当312a <£时,0()1b f a =<≤,则0()1c f b =<≤,∴()1a f c =<,与1a >矛盾．⑧ 当32a >时,()0b f a =<,()0c f b =>,∴()1a f c =≤,与32a >矛盾．综上,0abc ===,或12a b c ===,或1a b c ===．【例5】（2023届重庆市第十一中学校高三上学期11月质量检测）已知函数()3233f x x x ax =-++,()f x 在1x 处取极大值,在2x 处取极小值.(1)若0a =,求函数()f x 的单调区间；(2)在方程()()1f x f x =的解中,较大的一个记为3x ,在方程()()2f x f x =的解中,较小的一个记为4x ,证明：4132x x x x --为定值.【解析】（1）当0a =时,()3233f x x x =-+,定义域为R,()236f x x x ¢=-,当()0f x ¢>时,2x >或0x <；当()0f x ¢<时,02x <<；即函数()f x 的单调增区间为(),0¥-,()2,+¥；单调减区间为(0,2).（2）由()236f x x x a ¢=-+,根据题意,得2360x x a -+=的两根为12,x x ,且12x x <,即36120a D =->,得3a <,122x x +=,所以121x x <<,因为()()1f x f x =,则32321113333x x ax x x ax -++=-++,可知323211133x x ax x x ax -+=-+,因为()10f x ¢=,即21163a x x =-,即()()()()233222211111111133323230x x x x ax ax x x x x x x x x x x x éù-+-+-=-+--+=-+-=ëû,可知3132x x =-,同理,由()()2f x f x =,可知()()()()233222222222222233323230x x x x ax ax x x x x x x x x x x x éù-+-+-=-+--+=-+-=ëû；得到4232x x =-,所以()1412123212111232113211x x x x x x x x x x x x ------====------.【例6】已知函数3211()(0)32f x ax bx cx a =++>．(1)若函数()f x 有三个零点分别为1x ,2x ,3x ,且1233x x x ++=-,129x x =-,求函数()f x 的单调区间；(2)若1(1)2f a ¢=-,322a c b >>,证明：函数()f x 在区间(0,2)内一定有极值点；(3)在（2）的条件下,若函数()f x求ba的取值范围．【解析】（1）因为函数3221111()()(0)3232f x ax bx cx x ax bx c a =++=++>,又1233x x x ++=-,129x x =-,则30x =,123x x +=-,129x x =-因为12,x x 是方程211032ax bx c ++=的两根,则332b a -=-,39c a =-,得2ba=,3c a =-,所以222()()(23)(1)(3)b c f x ax bx c a x x a x x a x x aa¢=++=++=+-=-+．令()0f x ¢=解得：1x =,3x =-当()0f x ¢>时,3x <-或1x >,当()0f x ¢<时,31x -<<,故()f x 的单调递减区间是(3,1)-,单调递增区间是(,3)-¥-,(1,)+¥．（2）因为2()f x ax bx c ¢=++,1(1)2f a ¢=-,所以12a b c a ++=-,即3220a b c ++=．又0a >,322a c b >>,所以30a >,20b <,即0a >．0b <．于是1(1)02f a ¢=-<,(0)f c ¢=, (2)424(32)f a b c a a c c a c ¢=++=-++=-．①当0c >时,因为(0)0f c ¢=>,1(1)02f a ¢=-<,而()f x ¢在区间(0,1)内连续,则()f x ¢在区间(0,1)内至少有一个零点,设为x m =,则在(0,)x m Î,()0f x ¢>,()f x 单调递增,在(,1)x m Î,()0f x ¢<,()f x 单调递减,故函数()f x 在区间(0,1)内有极大值点x m =； ②当0c £时,因为1(1)02f a ¢=-<, (2)0f a c ¢=->,则()f x ¢在区间(1,2)内至少有一零点．设为x n =,则在(1,)x n Î,()0f x ¢<,()f x 单调递减,在(,2)x n Î,()0f x ¢>,()f x 单调递增,故函数()f x 在区间(1,2)内有极小值点．综上得函数()f x 在区间(0,2)内一定有极值点．（3）设m ,n 是函数的两个极值点,则m ,n 也是导函数2()0f x ax bx c ¢=++=的两个零点,由（2）得3220a b c ++=,则b m n a +=-,32c bmn a a ==--．所以||m n -=由已知³,则两边平方得2(2)23b a ++³,得出21b a +³,或21b a +£-,即1b a ³-,或3ba£-,又232c a b =--,322a c b >>,所以3322a a b b >-->,即334a b a -<<-．因为0a >,所以334b a -<<-．综上分析,b a的取值范围是[1-,3)4-．1.（2024届江苏省连云港市高三下学期4月阶段测试）已知函数()32123f x x x mx n =-++在1x =时取得极值．(1)求实数m 的值；(2)存在[]2,4x Î,使得()2f x n >成立,求实数n 的取值范围．2.设函数()()()31f x x ax b x =---ÎR ,其中,a b 为实常数．(1)若3a =,求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在极值点0x ,且()()10f x f x =其中10x x ¹．求证：1023x x +=；3.（2024届海南省琼中县高三上学期9月全真模拟）已知函数()()24f x x x m =-,0m >．(1)当4m =时,求()f x 在[]1,1-上的值域；(2)若()f x 的极小值为2-,求m 的值．4.（2024届贵州省贵阳第一中学高三上学期适应性月考）已知函数()323f x x x =-.(1)求函数()y f x =在0x =处的切线方程；(2)若过点()1,P t -存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围；(3)请问过点()0,0A ,()1,1B --,()1,3C -,()1,1D -,()1,2E -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（请直接写出结论,不需要证明）5. （2024届内蒙古包头市高三上学期调研）已知函数3219()32f x x ax x =-++．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()F x f x x =-有2个零点,求a 的值．（注：()3322()x a x a x ax a -=-++）6．（2024届江苏省南通市模拟预测）设0a >,函数3()21f x ax x =-+．(1)当1a =时,求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程：(2)12,x x 是函数()f x 的两个极值点,证明：()()12f x f x +为定值．7．已知曲线()33f x x x l =-+在点()()A m f m ，处的切线与曲线的另外一个交点为B P ，为线段A B 的中点,O 为坐标原点．(1)求()f x 的极小值并讨论()f x 的奇偶性．(2)直线OP 的斜率记为k ,若()0,2m "Î,18k ³,求证：7l £-．8．设函数()321132f x x x ax =-+,a ÎR ．(1)若2x =是()f x 的极值点,求a 的值,并讨论()f x 的单调性．(2)已知函数()()21223g x f x ax =-+,若()g x 在区间()0,1内有零点,求a 的取值范围．(3)设()f x 有两个极值点1x ,2x ,试讨论过两点()()11,x f x ,()()22,x f x 的直线能否过点()1,1,若能,求a 的值；若不能,说明理由．9．已知函数()314f x x ax =++,()ln g x x =-,用{}min ,m n 表示m ,n 中的最小值,设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>,讨论()h x 零点的个数．10．（2024届青海省部分学校高三下学期联考）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点,求m 的取值范围．11．（2023届上海市嘉定区高三三模）已知函数32()(R)f x x bx cx b c =++Î、,其导函数为()f x ¢,(1)若函数()f x 有三个零点123x x x 、、,且123133,9x x x x x ++==-,试比较(3)(0)f f -与3(2)f ¢的大小.(2)若(1)2f ¢=-,试判断()f x 在区间(0,2)上是否存在极值点,并说明理由.(3)在（1）的条件下,对任意的,R m n Î,总存在[0,3]x Î使得|()|f x mx n t ++³成立,求实数t 的最大值.12.设函数()3213f x x a x b =-+,其中a ,b 为常数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有3个零点,求3b a 的取值范围．13．（2024届湖南省岳阳市高三教学质量监测三）已知ABC V 的三个角,,A B C 的对边分别为,,a bc 且2c b =,点D 在边BC 上,AD 是BAC Ð的角平分线,设AD kAC =（其中k 为正实数）．(1)求实数k 的取值范围；(2)设函数325()22b f x bx cx =-+-①当k =时,求函数()f x 的极小值；②设0x 是()f x 的最大零点,试比较0x 与1的大小．。

专题11 导数中的极值偏移问题(全题型压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习

f
x1
f
x2
f
x3 x1
x2
x3 ，求证：
x3
2
x1
e 1．
②差值代换法
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 g(x) ex ax2 ax ， h(x) ex 2x ln x ．其中 e 为自然对数的底数．（1）若 f (x) h(x) g(x) ，讨论 f (x) 的单调性；
①对称化构造法
1．（多选）（2023 春·山东德州·高二统考期末）定义在 R 上的函数 f x 满足 f x ex f x ，且 f 0 1，则下列说法正确的是（）
A． f x 在 x 2 处取得极小值 B． f x 有两个零点 C．若 x 0 ， f x k 恒成立，则 k 1 D．若 x1 ， x2 R ， x1 x2 ， f x1 f x2 ，则 x1 x2 4 2．（2023 春·河北张家口·高二统考期末）已知函数 f x x ln x . (1)求函数 f x 的单调区间和极值； (2)若方程 f x 2x 1 的两个解为 x1 、 x2 ，求证： x1 x2 2e .
f
x
a x
有两个零点 x1 ， x2 ，求实数
a
的取值范围并证明 x1x2
e2 .
2．（2023 春·福建莆田·高二校考期中）已知函数 f x lnx ax2 . (1)讨论函数 f x 的单调性： (2)若 x1, x2 是方程 f x 0 的两不等实根，求证： x12 x22 2e ；
a
ln
x,
x
1为其极小值
点．
(1)求实数 a 的值；
(2)若存在 x1 x2 ，使得 f x1 f x2 ，求证： x1 x2 2 ．

导数(学生版)—2024年高考真题数学试题分类汇编

2024年高考数学真题分类汇编--导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1(新课标II卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为()A.18B.14C.12D.12(甲卷理科)设函数f x =e x+2sin x1+x2，则曲线y=f x 在0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.23二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.3(新课标II卷). 设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则()A.当a>1时，f(x)有三个零点B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a，使得点1,f1为曲线y=f(x)的对称中心三、填空题：4(新课标I卷)若曲线y=e x+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a= .5曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在0,+∞上有两个不同的交点，则a的取值范围为．四、解答题：6(新课标I卷)已知函数f(x)=lnx2-x+ax+b(x-1)3(1)若b=0，且f (x)≥0，求a的最小值；(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2，求b的取值范围．7(新课标II卷). 已知函数f(x)=e x-ax-a3．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．8(甲卷理科)已知函数f x =1-ax-x．ln1+x(1)当a=-2时，求f x 的极值；(2)当x≥0时，f x ≥0恒成立，求a的取值范围．9已知函数f x =a x-1-ln x+1．(1)求f x 的单调区间；(2)若a≤2时，证明：当x>1时，f x <e x-1恒成立．10(北京卷)已知f x =x+k ln1+x处切线为l．在t,f tt>0(1)若切线l的斜率k=-1，求f x 单调区间；(2)证明：切线l不经过0,0；(3)已知k=1，A t,f t，其中t>0，切线l与y轴交于点B时．当2S△ACO=15S△ABO，，O0,0，C0,f t符合条件的A的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95)11设函数f x =x ln x ．(1)求f x图象上点1,f 1 处切线方程；(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立，求a 的取值范围；(3)若x 1,x 2∈0,1 ，证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12．12(上海卷)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ,令s x =x -a 2+f x -b 2,若P x 0,f x 0 是s x 取到最小值的点,则称点P 是M 在f x 的 “最近点”.(1)对于f x =1xx >0 ,求证:对于点M 0,0 ,存在点P ,使得点P 是M 在f x 的 “最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ,请判断是否存在一个点P ,它是M 在f x 的 “最近点”,且直线MP 与y =f x 在点P 处的切线垂直;(3)已知y =f x 在定义域R 上存在导函数f x ,且函数g x 在定义域R 上恒正. 设点M 1t -1,f t -g t ,M 2t +1,f t +g t ,若对任意的t ∈R ,存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的 “最近点”,试判断f x 的单调性.。

专题02 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题(学生版) -25年高考数学压轴大题必杀技系列导数

专题2 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.(一) 确定函数零点个数1.研究函数零点的技巧用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．2. 判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x 轴交点的个数问题．(2)分离出参数,转化为a ＝g (x ),根据导数的知识求出函数g(x )在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y ＝a 与函数y ＝g (x )图象交点的个数问题．只需要用a 与函数g (x )的极值和最值进行比较即可．3. 处理函数y =f (x )与y =g (x )图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f (x )=g (x )根的个数问题,也通过构造函数y =f (x )-g (x ),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况.【例1】（2024届河南省湘豫名校联考高三下学期考前保温卷数）已知函数()()20,ex ax f x a a =¹ÎR ．(1)求()f x 的极大值；(2)若1a =，求()()cos g x f x x =-在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点个数．【解析】（1）由题易得，函数()2ex ax f x =的定义域为R ，又()()()22222e e 2e e e x xx xxax x ax ax ax ax f x ---===¢，所以，当0a >时，()(),f x f x ¢随x 的变化情况如下表：x(),0¥-0()0,22()2,¥+()f x ¢-0+0-()f x ]极小值Z极大值]由上表可知，()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()(),0,2,¥¥-+．所以()f x 的极大值为()()2420e af a =>．当a<0时，()(),f x f x ¢随x 的变化情况如下表：x(),0¥-0()0,22()2,¥+()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z由上表可知，()f x 的单调递增区间为()(),0,2,¥¥-+，单调递减区间为()0,2．所以()f x 的极大值为()()000f a =<．综上所述，当0a >时，()f x 的极大值为24ea；当a<0时，()f x 的极大值为0．（2）方法一：当1a =时，()2e x xf x =，所以函数()()2cos cos e x xg x f x x x =-=-．由()0g x =，得2cos e xx x =．所以要求()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点的个数，只需求()y f x =的图象与()cos h x x =的图象在区间π,2024π2éù-êúëû上的交点个数即可．由（1）知，当1a =时，()y f x =在()(),0,2,¥¥-+上单调递减，在()0,2上单调递增，所以()y f x =在区间π,02éù-êúëû上单调递减．又()cos h x x =在区间π,02éù-êúëû上单调递增，且()()()()()1e 1cos 11,001cos00f h f h -=>>-=-=<==，所以()2e x xf x =与()cos h x x =的图象在区间π,02éù-êúëû上只有一个交点，所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上有且只有1个零点．因为当10a x =>，时，()20ex x f x =>，()f x 在区间()02，上单调递增，在区间()2,¥+上单调递减，所以()2e x xf x =在区间()0,¥+上有极大值()2421e f =<，即当1,0a x =>时，恒有()01f x <<．又当0x >时，()cos h x x =的值域为[]1,1-，且其最小正周期为2πT =，现考查在其一个周期(]0,2π上的情况，()2ex x f x =在区间(]0,2上单调递增，()cos h x x =在区间(]0,2上单调递减，且()()0001f h =<=，()()202cos2f h >>=，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间(]0,2上只有一个交点，即()g x 在区间(]0,2上有且只有1个零点．因为在区间3π2,2æùçúèû上，()()0,cos 0f x h x x >=£，所以()2e x xf x =与()cos h x x =的图象在区间3π2,2æùçúèû上无交点，即()g x 在区间3π2,2æùçúèû上无零点．在区间3π,2π2æùçúèû上，()2ex x f x =单调递减，()cos h x x =单调递增，且()()3π3π002π1cos2π2π22f h f h æöæö>><<==ç÷ç÷èøèø，，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间3π,2π2æùçúèû上只有一个交点，即()g x 在区间3π,2π2æùçúèû上有且只有1个零点．所以()g x 在一个周期(]0,2π上有且只有2个零点．同理可知，在区间(]()*2π,2π2πk k k +ÎN 上，()01f x <<且()2e xx f x =单调递减，()cos h x x =在区间(]2π,2ππk k +上单调递减，在区间(]2ππ,2π2πk k ++上单调递增，且()()()02π1cos 2π2πf k k h k <<==，()()()2ππ01cos 2ππ2ππf k k h k +>>-=+=+()()()02ππ1cos 2ππ2ππf k k h k <+<=+=+，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间(]2π,2ππk k +和2ππ,2π2π]k k ++（上各有一个交点，即()g x 在(]2π,2024π上的每一个区间(]()*2π,2π2πk k k +ÎN 上都有且只有2个零点．所以()g x 在0,2024π]（上共有2024π220242π´=个零点．综上可知，()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上共有202412025+=个零点．方法二：当1a =时，()2e x xf x =，所以函数()()2cos cos ex x g x f x x x =-=-．当π,02éùÎ-êúëûx 时，()22sin 0e x x x g x x -=¢+£，所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上单调递减．又()π0,002g g æö-><ç÷èø，所以存在唯一零点0π,02x éùÎ-êúëû，使得()00g x =．所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上有且仅有一个零点．当π3π2π,2π,22x k k k æùÎ++ÎçúèûN 时，20cos 0ex x x ><,，所以()0g x >．所以()g x 在π3π2π,2π,22k k k æù++ÎçúèûN 上无零点．当π0,2x æùÎçèû时，()22sin 0exx x g x x -=¢+>，所以()g x 在区间π0,2æöç÷èø上单调递增．又()π00,g 02g æö<>ç÷èø，所以存在唯一零点．当*π2π,2π,2x k k k æùÎ+ÎçúèûN 时，()22sin exx x g x x ¢-=+，设()22sin e x x x x x j -=+，则()242cos 0exx x x x j -=+¢+>所以()g x ¢在*π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上单调递增．又()π2π0,2π+02g k g k æö¢<>ç÷èø¢，所以存在*1π2π,2π,2x k k k æùÎ+ÎçúèûN ，使得()10g x ¢=．即当()12π,x k x Î时，()()10,g x g x <¢单调递减；当1π,2π2x x k æùÎ+çúèû时，()()10,g x g x >¢单调递增．又()π2π0,2π02g k g k æö<+>ç÷èø，所以()g x 在区间*π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上有且仅有一个零点所以()g x 在区间π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上有且仅有一个零点．当3π2π,2π2π,2x k k k æùÎ++ÎçúèûN 时，()22sin exx x g x x ¢-=+，设()22sin e x x x x x j -=+，则()242cos 0e xx x x x j -=+¢+>所以()g x ¢在3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上单调递增．又()3π2π0,2π2π02g k g k æö+<+<ç÷¢¢èø，所以()g x 在区间3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上单调递减：又()3π2π0,2π2π02g k g k æö+>+<ç÷èø，所以存在唯一23π2π,2π2π2x k k æöÎ++ç÷èø，使得()20g x =．所以()g x 在区间3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上有且仅有一个零点．所以()g x 在区间(]2π,2π2π,k k k +ÎN 上有两个零点．所以()g x 在(]0,2024π上共有2024π220242π´=个零点．综上所述，()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上共有202412025+=个零点．(二) 根据函数零点个数确定参数取值范围根据函数零点个数确定参数范围的两种方法1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围；2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定.【例2】（2024届天津市民族中学高三下学期5月模拟）已知函数()()ln 2f x x =+(1)求曲线()y f x =在=1x -处的切线方程；(2)求证：e 1x x ³+；(3)函数()()()2h x f x a x =-+有且只有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）因为()12f x x ¢=+，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线斜率为()11112f -==-+¢，又()()1ln 120f -=-+=，所以切线方程为1y x =+.（2）记()e 1x g x x =--，则()e 1xg x ¢=-，当0x <时，()0g x ¢<，函数()g x 在(),0¥-上单调递减；当0x >时，()0g x ¢>，函数()g x 在()0,¥+上单调递增.所以当0x =时，()g x 取得最小值()00e 10g =-=，所以()e 10xg x x =--³，即e 1x x ³+.（3）()()()()()2ln 22,2h x f x a x x a x x =-+=+-+>-，由题知，()()ln 220x a x +-+=有且只有两个不相等实数根，即()ln 22x a x +=+有且只有两个不相等实数根，令()()ln 2,22x m x x x +=>-+，则()()()21ln 22x m x x -+=+¢，当2e 2x -<<-时，()0m x ¢>，()m x 在()2,e 2--上单调递增；当e 2x >-时，()0m x ¢<，()m x 在()e 2,¥-+上单调递减.当x 趋近于2-时，()m x 趋近于-¥，当x 趋近于+¥时，()m x 趋近于0，又()1e 2ef -=，所以可得()m x 的图象如图：由图可知，当10ea <<时，函数()m x 的图象与直线y a =有两个交点，所以，a 的取值范围为10,e æöç÷èø.(三)零点存在性赋值理论及应用1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a ) 的符号,探求赋值点 m (假定 m < a )使得 f (m ) 与 f (a ) 异号,则在 (m ,a ) 上存在零点．2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值；确保赋值点 x 0 落在规定区间内；确保运算可行三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点（见例2解法）,放缩法的难度在于“度”的掌握,难度比较大.【例3】（2024届山东省烟台招远市高考三模）已知函数()()e x f x x a a =+ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当3a =时，若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根，求实数m 的取值范围.【解析】（1）求导知()1e xf x a =¢+.当0a ³时，由()1e 10xf x a ¢=+³>可知，()f x 在(),¥¥-+上单调递增；当a<0时，对()ln x a <--有()()ln 1e 1e0a xf x a a --=+>+×=¢，对()ln x a >--有()()ln 1e 1e 0a x f x a a --=+<+×=¢，所以()f x 在()(,ln a ¥ù---û上单调递增，在())ln ,a ¥é--+ë上单调递减.综上，当0a ³时，()f x 在(),¥¥-+上单调递增；当a<0时，()f x 在()(,ln a ¥ù---û上单调递增，在())ln ,a ¥é--+ë上单调递减.（2）当3a =时，()3e xf x x =+，故原方程可化为3e 13e 3e xx xx m x +=++.而()23e 13e 3e 3e 3e 3e 3e x x x x x x xx x x x x x x +-=-=+++，所以原方程又等价于()23e 3e xx x m x =+.由于2x 和()3e3e xxx +不能同时为零，故原方程又等价于()23e 3e x x xm x =×+.即()()2e 3e 90x x x m x m --×-×-=.设()e xg x x -=×，则()()1e xg x x -=-×¢，从而对1x <有()0g x ¢>，对1x >有()0g x ¢<.故()g x 在(],1-¥上递增，在[)1,+¥上递减，这就得到()()1g x g £，且不等号两边相等当且仅当1x =.然后考虑关于x 的方程()g x t =：①若0t £，由于当1x >时有()e 0xg x x t -=×>³，而()g x 在(],1-¥上递增，故方程()g x t =至多有一个解；而()110eg t =>³，()0e e t g t t t t --=×£×=，所以方程()g x t =恰有一个解；②若10e t <<，由于()g x 在(],1-¥上递增，在[)1,+¥上递减，故方程()g x t =至多有两个解；而由()()122222e2e e 2e 2e 12e 22x x x x xxx x g x x g g -------æö=×=×××=××£××=×ç÷èø有1222ln 1ln 222ln 2e2e t t g t t -×-æö£×<×=ç÷èø，再结合()00g t =<，()11e g t =>，()22ln 2ln 2e ln e 1t>>=，即知方程()g x t =恰有两个解，且这两个解分别属于()0,1和21,2ln t æöç÷èø；③若1t e=，则()11e t g ==.由于()()1g x g £，且不等号两边相等当且仅当1x =，故方程()g x t =恰有一解1x =.④若1e t >，则()()11eg x g t £=<，故方程()g x t =无解.由刚刚讨论的()g x t =的解的数量情况可知，方程()()2e 3e 90x x x m x m --×-×-=存在三个不同的实根，当且仅当关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ，且110,e t æöÎç÷èø，21,e t ¥æùÎ-çúèû.一方面，若关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ，且110,e t æöÎç÷èø，21,e t ¥æùÎ-çúèû，则首先有()20Δ93694m m m m <=+=+，且1212119e e m t t t -=£<.故()(),40,m ¥¥Î--È+， 219e m >-，所以0m >.而方程2390t mt m--=，两解符号相反，故只能1t =，2t =23e m >这就得到203e m ->³，所以22243e m m m æö->+ç÷èø，解得219e 3e m <+.故我们得到2109e 3em <<+；另一方面，当2109e 3e m <<+时，关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根1t =，2t 22116e 13319e 3e 9e 3e 2et +×+×++===，2t 综上，实数m 的取值范围是210,9e 3e æöç÷+èø.(四)隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为0x ,再利用导函数的单调性确定0x 所在区间,最后根据()00f x ¢=,研究()0f x ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若)(x f 中含有参数a ,关系式0)('0=x f 是关于a x ,0的关系式,确定0x 的合适范围,往往和a 的范围有关.【例4】（2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数()e xf x =，()ln g x x =.(1)若函数()()111x h x ag x x +=---，a ÎR ，讨论函数()h x 的单调性；(2)证明：()()()()1212224x f x f x g x -->-.（参考数据：45e 2.23»，12e 1.65»）【解析】（1）由题意()()1ln 1,11x h x a x x x +=-->-，所以()()22,11ax a h x x x -+¢=>-，当0a =时，()0h x ¢>，所以()h x 在()1,+¥上为增函数；当0a ¹时，令()0h x ¢=得21x a=-，所以若0a >时，211a-<，所以()0h x ¢>，所以()h x 在()1,+¥上为增函数，若0<a 时，211a ->，且211x a<<-时，()0h x ¢>，21x a >-时，()0h x ¢<，所以()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数，在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数，综上：当0a ³时，()h x 在()1,+¥上为增函数，当0<a 时，()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数，在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数；（2）()()()()1212224x f x f x g x -->-等价于()2121e e 2ln 204x x x x ---+>，设()()2121e e 2ln 24x x F x x x =---+，则()()()222e 2e 12e e 2e e x x x x x x x x x x F x x x x x-+--¢=--==，因为0x >，所以e 10x x +>，设()e 2x x x j =-，则()()10e xx x j ¢=+>，则()x j 在()0,¥+上单调递增，而()4544e 20,1e 2055j j æö=-<=->ç÷èø，所以存在04,15x æöÎç÷èø，使()00x j =，即00e 2xx =，所以00ln ln 2x x +=，即00ln ln 2x x =-，当00x x <<时，()0F x ¢<，则()F x 在()00,x 上单调递减，当0x x >时，()0F x ¢>，则()F x 在()0,x +¥上单调递增，所以()()00200min 121e e 2ln 24x x F x x x =---+()000220001421212ln 22222ln 224x x x x x x =---++=-+-+，设()21422ln 22,15m t t t t æö=-+-+<<ç÷èø，则()3220m t t ¢=+>，则()m t 在4,15æöç÷èø上单调递增，42581632ln 222ln 20516580m æö=-+-+=->ç÷èø，则()min 0F x >，则不等式()2121e e 2ln 204x x x x ---+>恒成立，即不等式()()()()1212224x f x f x g x -->-成立.【例1】（2024届山西省晋中市平遥县高考冲刺调研）已知函数()πln sin sin 10f x x x =++.(1)求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值；(2)判断函数()f x 的零点个数，并证明.【解析】（1）因为()πln sin sin 10f x x x =++，所以1()cos f x x x ¢=+，令()1()cos g x f x x x ==+¢，()21sin g x x x-¢=-，当[]1,e Îx 时，()21sin 0g x x x =--<¢，所以()g x 在[]1,e 上单调递减，且()11cos10g =+>，()112π11e cos e<cos 0e e 3e 2g =++=-<，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的a ，使()()0g f a a =¢=又当()1,x a Î时，()()0g x f x =¢>；当(),e x a Î时，()()0g x f x =¢<；所以()f x 在()1,x a Î上单调递增，在(),e x a Î上单调递减，又因为()ππ1ln1sin1sinsin1sin 1010f =++=+，()()ππe ln e sin e sin1sin e sin 11010f f =++=++>，所以函数()f x 在区间[1,e]上的最小值为()π1sin1sin10f =+.（2）函数()f x 在()0,¥+上有且仅有一个零点，证明如下：函数()πln sin sin 10f x x x =++，()0,x ¥Î+，则1()cos f x x x¢=+，若01x <£，1()cos 0f x x x+¢=>，所以()f x 在区间(]0,1上单调递增，又()π1sin1sin010f =+>，11πππ1sin sin 1sin sin 0e e 1066f æö=-++<-++=ç÷èø，结合零点存在定理可知，()f x 在区间(]0,1有且仅有一个零点，若1πx <£，则ln 0,sin 0x x >³，πsin010>，则()0f x >，若πx >，因为ln ln π1sin x x >>³-，所以()0f x >，综上，函数()f x 在()0,¥+有且仅有一个零点.【例2】（2024届江西省九江市高三三模）已知函数()e e (ax axf x a -=+ÎR ，且0)a ¹.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()1f x x x -=+有三个不同的实数解，求a 的取值范围.【解析】（1）解法一：()()e eax axf x a -=-¢令()()e e ax axg x a -=-，则()()2e e0ax axg x a -+¢=>()g x \在R 上单调递增.又()00,g =\当0x <时，()0g x <，即()0f x ¢<；当0x >时，()0g x >，即()0f x ¢>()f x \在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.解法二：()()()()e 1e 1e e e ax ax ax ax axa f x a -+-=-=¢①当0a >时，由()0f x ¢<得0x <，由()0f x ¢>得0x >()f x \在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增②当0a <时，同理可得()f x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.综上，当0a ¹时，()f x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.（2）解法一：由()1f x x x -=+，得1e e ax ax x x --+=+，易得0x >令()e e x xh x -=+，则()()ln h ax h x =又()e e x xh x -=+Q 为偶函数，()()ln h ax h x \=由（1）知()h x 在()0,¥+上单调递增，ln ax x \=，即ln xa x=有三个不同的实数解.令()()2ln 1ln ,x x m x m x x x -=¢=，由()0m x ¢>，得0e;x <<由()0m x ¢<，得e x >，()m x \在(]0,e 上单调递增，在()e,¥+上单调递减，且()()110,e em m ==()y m x \=在(]0,1上单调递减，在(]1,e 上单调递增，在()e,¥+上单调递减当0x →时，()m x ¥→+；当x →+¥时，()0m x →，故10ea <<解得10e a -<<或10e a <<，故a 的取值范围是11,00,e e æöæö-Èç÷ç÷èøèø解法二：由()1f x x x -=+得1e e ax ax x x --+=+，易得0x >令()1h x x x -=+，则()h x 在()0,1上单调递减，在()1,¥+上单调递增.由()()e axh h x =，得e ax x =或1e ax x -=两边同时取以e 为底的对数，得ln ax x =或ln ax x =-，ln ax x \=，即ln xa x=有三个不同的实数解下同解法一.【例3】（2024届重庆市第一中学校高三下学期模拟预测）已知函数31()(ln 1)(0)f x a x a x =++>．(1)求证：1ln 0x x +>；(2)若12,x x 是()f x 的两个相异零点，求证：211x x -<【解析】（1）令()1ln ,(0,)g x x x x =+Î+¥，则()1ln g x x ¢=+．令()0g x ¢>，得1ex >；令()0g x ¢<，得10e x <<．所以()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减，在1,e ¥æö+ç÷èø上单调递增．所以min 11()10e e g x g æö==->ç÷èø，所以1ln 0x x +>．（2）易知函数()f x 的定义域是(0,)+¥．由()(ln f x a x =+，可得()a f x x ¢=．令()0f x ¢>得x >()0f x ¢<得0<所以()0f x ¢>在æççè上单调递减，在¥ö+÷÷ø上单调递增，所以min 3()ln 333a a f x f a æö==++ç÷èø．①当3ln 3033a aa æö++³ç÷èø，即403e a <£时，()f x 至多有1个零点，故不满足题意．②当3ln 3033a a a æö++<ç÷èø，即43e a >1<<．因为()f x 在¥ö+÷÷ø上单调递增，且(1)10f a =+>．所以(1)0f f ×<，所以()f x 在¥ö+÷÷ø上有且只有1个零点，不妨记为1x 11x <<．由（1）知ln 1x x>-，所以33221(1)0f a a a a a æö=+>+=>ç÷ç÷èø．因为()f x 在æççè0f f <×<，所以()f x 在æççè上有且只有1个零点，记为2x 2x <<211x x <<<<2110x x -<-<．同理，若记12,x x öÎÎ÷÷ø则有2101x x <-<综上所述，211x x -<．【例4】（2022高考全国卷乙理）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1）当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点,求a 取值范围．的【解析】（1）当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0),11(),(0)21ex xf x f x -¢¢=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =.（2）()ln(1)e x ax f x x =++,()2e 11(1)()1e (1)ex x xa x a x f x x x +--¢=+=++,设()2()e 1xg x a x=+-1°若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x Î-=+->,即()0f x ¢>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意,2°若10a -……,当,()0x Î+¥时,()e 20xg x ax ¢=->所以()g x 在(0,)+¥上单调递增,所以()(0)10g x g a >=+…,即()0f x ¢>所以()f x 在(0,)+¥上单调递增,()(0)0f x f >=,故()f x 在(0,)+¥上没有零点,不合题意.3°若1a <-,(1)当,()0x Î+¥,则()e 20x g x ax ¢=->,所以()g x 在(0,)+¥上单调递增,(0)10,(1)e 0g a g =+<=>,所以存在(0,1)m Î,使得()0g m =,即()0¢=f m .当(0,),()0,()x m f x f x ¢Î<单调递减,当(,),()0,()x m f x f x ¢Î+¥>单调递增,所以当(0,),()(0)0x m f x f Î<=,当,()x f x →+¥→+¥,所以()f x 在(,)m +¥上有唯一零点,又()f x 在(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+¥上有唯一零点,(2)当()2(1,0),()e 1xx g x a xÎ-=+-,()e2xg x ax ¢=-,设()()h x g x ¢=,则()e 20x h x a ¢=->,所以()g x ¢在(1,0)-上单调递增,1(1)20,(0)10eg a g ¢¢-=+<=>,所以存(1,0)n Î-,使得()0g n ¢=当(1,),()0,()x n g x g x ¢Î-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x ¢Î>单调递增,()(0)10g x g a <=+<,在又1(1)0eg -=>,所以存在(1,)t n Î-,使得()0g t =,即()0f t ¢=当(1,),()x t f x Î-单调递增,当(,0),()x t f x Î单调递减有1,()x f x →-→-¥而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x Î>,所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点,即()f x 在(1,0)-上有唯一零点,所以1a <-,符合题意,综上得()f x 在区间(1,0),(0,)-+¥各恰有一个零点,a 的取值范围为(,1)-¥-.【例5】（2024届辽宁省凤城市高三下学期考试）已知函数()1e ln xf x x x x -=--.(1)求函数()f x 的最小值；(2)求证：()()1e e e 1ln 2xf x x x +>---éùëû.【解析】（1）因为函数()1e ln x f x x x x -=--，所以()()()11111e 11e x x f x x x x x --æö=+--=+-çè¢÷ø，记()11e,0x h x x x -=->，()121e 0x h x x-¢=+>，所以()h x 在()0,¥+上单调递增，且()10h =，所以当01x <<时，()0h x <，即()0f x ¢<，所以()f x 在()0,1单调递减；当1x >时，()0h x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在()1,¥+单调递增，且()10f ¢=，所以()()min 10f x f ==.（2）要证()()1e e e 1ln 2xf x x x éù+>---ëû，只需证明：()11e ln 02xx x --+>对于0x >恒成立，令()()11e ln 2xg x x x =--+，则()()1e 0xg x x x x¢=->，当0x >时，令1()()e xm x g x x x=¢=-，则21()(1)e 0xm x x x =+¢+>，()m x 在(0,)+¥上单调递增，即()1e xg x x x=¢-在(0,)+¥上为增函数，又因为222333223227e e033238g éùæöæöêú=-=-<ç÷ç÷êøøëû¢úèè，()1e 10g =¢->，所以存在02,13x æöÎç÷èø使得()00g x ¢=，由()0200000e 11e 0x x x g x x x x ¢-=-==，得020e 1xx =即0201x e x =即0201x e x =即002ln x x -=，所以当()00,x x Î时，()1e 0xg x x x=¢-<，()g x 单调递减，当()0,x x ¥Î+时，()1e 0xg x x x=¢->，()g x 单调递增，所以()()()0320000000022min0122111e ln 2222x x x x x x g x g x x x x x -++-==--+=++=，令()3222213x x x x x j æö=++-<<ç÷èø，则()22153223033x x x x j æö=++=++>ç÷èø¢，所以()x j 在2,13æöç÷èø上单调递增，所以()0220327x j j æö>=>ç÷èø，所以()()()002002x g x g x x j ³=>，所以()11e ln 02xx x --+>，即()()1e e e 1ln 2xf x x x éù+>---ëû.1.（2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-ÎR .(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，讨论()hx 零点的个数.2．（2024届河南省信阳市高三下学期三模）已知函数()()()ln 1.f x ax x a =--ÎR (1)若()0f x ³恒成立，求a 的值；(2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21e 1x x ->-，求a 的取值范围.3．（2024届江西省吉安市六校协作体高三下学期5月联考）已知函数()()1e x f x ax a a -=--ÎR .(1)当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若函数()f x 有2个零点，求a 的取值范围.4．（2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟）设函数()e sin x f x a x =+，[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时，()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点，求实数a 的取值范围.5．（2024届河北省张家口市高三下学期第三次模）已知函数()ln 54f x x x =+-．(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)证明：3()25f x x>--．6．（2024届上海市格致中学高三下学期三模）已知()e 1xf x ax =--，a ÎR ，e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根，求a 的取值范围；(3)当0a >时，若满足()()()1212f x f x x x =<，求证：122ln x x a +<.7．（2024届河南师范大学附属中学高三下学期最后一卷）函数()e 4sin 2x f x x l l =-+-的图象在0x =处的切线为3,y ax a a =--ÎR .(1)求l 的值；(2)求()f x 在(0,)+¥上零点的个数.8．（2024年天津高考数学真题）设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ³在()0,x Î+¥时恒成立，求a 的值；(3)若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．9．（2024届河北省高三学生全过程纵向评价六）已知函数()ex axf x =，()sin cosg x x x =+.(1)当1a =时，求()f x 的极值；(2)当()0,πx Î时，()()f x g x £恒成立，求a 的取值范围.10．（2024届四川省绵阳南山中学2高三下学期高考仿真练）已知函数()()1ln R f x a x x a x=-+Î.(1)讨论()f x 的零点个数；(2)若关于x 的不等式()22ef x x £-在()0,¥+上恒成立，求a 的取值范围.11．（2024届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试）设()21)e sin 3x f x a x =-+-（(1)当a =()f x 的零点个数.(2)函数2()()sin 22h x f x x x ax =--++，若对任意0x ³，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围12．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数()2sin f x ax x =-.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0x >时，()cos f x ax x ³恒成立，求实数a 的取值范围.13．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+Î.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.14．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数(1)若，，求曲线在点处的切线方程；(2)若，不等式对任意恒成立，求整数k 的最大值．15．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数.(1)判断函数零点的个数，并证明；(2)证明：.322()33f x x ax b x =-+1a =0b =()y f x =()()1,1f 0a b <<1ln 1x k f f x x +æöæö>ç÷ç÷-èøèø()1,x Î+¥21()e xf x x=-()f x 2e ln 2cos 0x x x x x --->。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

导数专题复习（基础精心整理）学生版【基础知识】1.导数定义：在点处的导数记作k =相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-2.常见函数的导数公式:①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。

3.导数的四则运算法则：（1）（2）（3）4.导数的应用：（1）利用导数判断函数单调性：①是增函数；②为减函数；③为常数；（2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。

（3）利用导数求最值：比较端点值和极值【基本题型】一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y x x +∆-∆=∆V ；（3）取极限，得导数()00lim x yf x x→∆'=∆V 。

例1..已知xf x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是（）A. 41-B. 2C. 41D. －2变式1：()()()为则设hf h f f h 233lim ,430--='→（）A ．－１Ｂ．－2 C ．－3D ．1二、导数的几何意义()f x 0x xx f x x f x f x x y x ∆-∆+='=='→∆)()(lim)(|00000'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a=xx 1)(ln '=)()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ⇒>')(0)(x f x f ⇒<')(0)(x f x f ⇒≡')(x f '0)(='x f函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。

特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '；（3）公切线的问题例2. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2=4.∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k='y |0x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y ∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x ∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 例3．(2016年全国Ⅱ)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x + 和22(,ln(1))x x +．则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++-++，依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=-．变式训练（1）设函数32()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。

y kx b =+ln 2y x =+ln(1)y x =+b =（1）求,a b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性。

变式训练（2）若函数ax x x g x x f +==2)(ln )(与的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则实数=a 三、单调性：（1）多项式函数的导数与函数的单调性：①若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。

②若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立；若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立。

（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()f x '；（2）求方程()0f x '=的根，设根为12,,n x x x L ；（3）12,,n x x x L 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性。

例4 若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围. 【解题思路】解这类题时,通常令'()0f x ≥(函数()f x 在区间[,]a b 上递增)或'()0f x ≤(函数()f x 在区间[,]a b 上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.解析：2()31f x ax '=+Q 又()f x 在区间[－1,1]上单调递增2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立即213a x ≥-在xt [－1,1]的最大值为13- 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1[,]3-+∞变式训练（1）设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______ 变式训练（2）设函数cx bx ax x f ++=23)(在1,1-=x 处有极值，且2)2(=-f ，求)(x f 的单调区间变式训练（3）已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+．（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式，（2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围四、函数的极值：（1）定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点，都有0()()f x f x <，就说是0()f x 函数()f x 的一个极大值。

记作y 极大值＝0()f x ，如果对0x 附近所有的点，都有0()()f x f x >，就说是0()f x 函数()f x 的一个极小值。

记作y 极小值＝0()f x 。

极大值和极小值统称为极值。

（2）求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤：（i ）求导数()f x '；（ii ）求方程()0f x '=的根0x ；（iii ）检查()f x '在方程()0f x '=的根0x 的左右的符号：“左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值；“左负右正”⇔()f x 在0x 处取极小值。

特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。

（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=．（Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f .（Ⅰ）∵ ()f x '是偶函数，∵ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，341)(2-='x x f ，令0)(='x f ，解得：32±=x . 列表如下：可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f . （Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤，解得：02a ≤≤.综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .变式训练（1）函数1)1(32+-=x y 的极值点是 ( )A 、极大值点1-=xB 、极大值点0=xC 、极小值点0=xD 、极小值点1=x ；变式训练（2）已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是_____；变式训练（3）函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为__ 五、函数的最大值和最小值：（1）定义：函数()f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数()f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。