近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总--导数及其应用

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专题03_导数的几何意义与运算—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(原卷版)

专题3 导数的几何意义与运算1.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升2.【2014高考陕西版文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），（A ）312y x =（C ）314y x =3.【2016ln ,01,x x -<<⎧l 1与l 2垂直相交于点4.【2017课标15.【2017l 在y 轴上的截距为 .6.【2014高考广东卷.文.11】曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为________. 7. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________. 9.【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a =.10.【2014，安徽文15】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ，下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =11.【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= 12.【20151相切,则a =．13.【2017(I)当a =2时,(II)设函数()g x .14.【2017（Ⅰ）求曲线y （Ⅱ）求函数f 15.【2016（I ）当16.【2015(1))f 处的切线与直线平行. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.17.【2014全国2，文21】（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.18.【2016高考北京文数】（本小题13分）设函数()32.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 19.【2014已知函数)(x f x 21=. （Ⅰ）求a （Ⅱ）求函数f 20.【2015（I ）求()f x （II ）设曲线y =数x ,都有()f x （III ）若方程f。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)

的坐标为
．
【答案】 1,1
【解析】
试题分析：因为 y ex ，所以 y ex ，所以曲线 y ex 在点 0,1 处的切线的斜率 k1 y x0 e0 1，
设的坐标为 x0,
y0 （ x0
0 ），则
y0
1 x0
，因为
y
1 x
，所以
y
1 x2
，所以曲线
y
1 x
在点
处的切线的斜率 k2
与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.
2. (2015 湖南理) 02(x 1)dx
.
【答案】 0 .
【考点定位】定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.
3．（2015 福建文）“对任意 x (0, ) ， k sin x cos x x ”是“ k 1”的（） 2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
考点：导数的应用．
4.(2015 全国新课标Ⅰ卷理)设函数 f (x) = ex (2x 1) ax a ,其中 a 1，若存在唯一的整数 x0，使得 f (x0 ) 0，则 a 的取值范围是（）
2．（2015 福建理）若定义在 R 上的函数 f x 满足 f 0 1 ，其导函数 f x 满足
f x k 1 ，则下列结论中一定错误的是（）
A．
f
1 k
1 k
【答案】C
B．
f
1 k
k
1 1
C．

三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题04导数与函数的单调性文20171101123

专题 04 导数与函数的单调性1.【2017浙江，7】函数 y=f (x )的导函数 y f (x ) 的图像如图所示，则函数 y=f (x )的图像可能是【答案】D【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为 x ，且图象在 x 两侧附近连续分布于轴上下方，则 0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数 f '(x ) 的正负，得出原函数 f (x ) 的单调区间． 2【2015高考湖南，文 8】设函数 f (x ) ln(1 x ) ln(1 x ) ，则 f (x ) 是()A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A 【解析】函数 f (x ) ln(1 x ) ln(1 x ) ，函数的定义域为（-1，1），函数f xxxf x 所以函数是奇函数．( ) ln(1) ln(1)( )f ' x11 1 1 x 1 x 1 x2，在（0,1）上 f 'x 0 ，所以 f (x ) 在(0,1)上单调递增，故选 A.1【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f 'x；(2)确认f x在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f 'x0时为增函数；f 'x0时为减函数．研'究函数性质时，首先要明确函数定义域.3.【2014全国2，文11】若函数f x kx Inx在区间1,单调递增，则的取值范围是（）（A）,2（B）,1（C ）2,（D ）1,【答案】D【考点定位】函数的单调性.【名师点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，不等式的恒成立，属于中档题，深入理解函数的单调性与函数导数之间的关系是解题的关键，注意不等式的恒成立的处理时端点值能否取到认真判断．4. 【2016高考新课标1文数】若函数1f x x-x a x 在,单调递增,则a()sin2sin3的取值范围是（）（A ）1,1（B）1,1311（C）,331（D）1,3【答案】C【解析】2试题分析：fxx a x…对x R恒成立, 1cos2cos03故1 2 cos x 1 a cos x 02… ,即 cos 4 cos 2 5 02a x x … 恒成立,33 3即 45452… 对 t 1, 1恒成立,构造t atf ttat ,开口向下的二次函数2333321f 1t 03 1 1 f t的最小值的可能值为端点值,故只需保证… a … ．故选 C ．,解得1 33f 1t 03考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性. 5.【 2014湖南文 9】若0 xx1，则（）12A.2 1exe x ln xln xB.e xe xln xln x212121x ex eD. xxC.1221x e x xe x122 1【答案】C【考点定位】导数单调性【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是根据所给选项构造对应的函数，利用函数的性质分析其单调性，对选项作出判断. 6.【2017课标 1，文 21】已知函数 f (x ) =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论 f (x ) 的单调性；（2）若f(x)0，求a的取值范围．【答案】（1）当a0，f(x)在(,)单调递增；当a0，f(x)在(,ln a)单调递减，a a在(ln a,)单调递增；当a0，f(x)在(,ln())单调递减，在(ln(),)单调递223增；（2）[2e,1]．4【解析】3试题分析：（1）分 a 0 ， a 0 ， a0 分别讨论函数 f (x ) 的单调性；（2）分 a0 ，a ， a 0 分别解 f (x ) 0，从而确定 a 的取值范围．试题解析：（1）函数f (x ) 的定义域为 (,) ，f (x ) 2e 2xae x a 2 (2e xa )(e x a )，①若 a 0 ，则 f (x ) e 2x ，在(,) 单调递增．②若 a 0 ，则由 f (x )0得 xln a ．当 x(,ln a ) 时， f (x ) 0 ；当 x (ln a ,) 时， f(x ) 0，所以 f (x ) 在(,ln a ) 单调递减，在 (ln a,) 单调递增．a③若 a0 ，则由 f (x )0得 xln( ) ．2aa当( , ln( ))x时， f(x ) 0 ；当 x(ln(),) 时， f (x ) 0，故 f (x ) 在22a a (, ln( ))单调递减，在 (ln( ),)单调递增．2 2（2）①若 a 0 ，则 f (x )e 2x ，所以f (x ) 0．②若 a0 ，则由（1）得，当 x ln a 时， f (x ) 取得最小值，最小值为 f (ln a )a 2 ln a ．从而当且仅当 a 2 ln a 0 ，即 a1时， f (x ) 0．a③若 a0 ，则由（ 1）得，当 xln( ) 时， f (x ) 取得最小值，最小值为2f a ．从而当且仅当2[3 ln( )] 0 (ln( )) [ln( )]a，即 a 23a a 242423a 时 f (x )0．2e43综上，的取值范围为[2e ,1]．4【考点】导数应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出 f '(x ) ，有 f '(x ) 的正负，得出函数 f (x )的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数f(x)极值或最值．47.【2017课标II，文21】设函数f(x)(1x2)e x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）当x0时，f(x)ax1，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）在(,12)和(12,)单调递减，在(12,12)单调递增（Ⅱ）[1,)f(x)(1x)(1x)ax1.20000试题解析：（1）f(x)(12x x2)e x令f(x)0得x12当x(,12)时，f(x)0；当x(12,12)时，f(x)0；当x时，f(x)0(12,)所以f(x)在(,12)和(12,)单调递减，在(12,12)单调递增(2) f(x)(1x)(1x)e x当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）e x，h’(x)= -xe x＜0（x＞0），因此h(x)在0，+∞)单调递减，而h(0)=1，故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1当0＜a＜1时，设函数g（x）=e x-x-1，g’（x）=e x-1＞0（x＞0），所以g（x）在在0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故e x≥x+1当0＜x＜1，f(x)(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1a x x2)，取5x 054a 1 2则 x 0 (0,1), (1 x 0 )(1 x 0 ) ax 0 0,故f(x 0 )ax 0 1251当 a 0 时，取2x, f (x ) (1 x )(1x ) 1 ax 1 02综上，a 的取值范围 1，+∞）【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.8.【2017课标 3，文 21】已知函数 f (x ) =ln x +ax 2+(2a +1)x ．（1）讨论 f (x ) 的单调性；3f (x )2 ．（2）当 a ﹤0 时，证明4a1【答案】（1）当 a0 时， f (x ) 在(0,) 单调递增；当 a 0 时，则 f (x ) 在) 单调递(0,2a1 增，在 (,)2a单调递减；（2）详见解析2ax(2a 1)x 1 (2ax 1)(x 1) 2试题解析：（1） f '(x )(x 0)，xx当 a0 时， f '(x ) 0 ，则 f (x ) 在(0,) 单调递增，单调递减.11(0,单调递增，在(,)2a2a当a 0时，则f(x)在)1（2）由（1）知，当a 0时，)f(x)f (，max a261 3 1 1) ( 2) ln(1f () 1，令 yln t1t （t 0 ），2a 4a2a 2a 2a1则 y '1 0，解得t1，t∴ y 在 ( 0,1) 单调递增，在 (1,) 单调递减，33∴maxy (1) 0max( y ，∴ y0，即2)f (x ) ，∴ f (x )2.4a4a【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略 (1)构造差函数 h (x )f (x )g (x ) .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 9.【 2017天津，文 19】设 a ,bR ， | a |1.已知函数 f (x ) x 36x 23a (a 4)x b ，g (x ) e x f (x ) .（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）已知函数 yg (x ) 和 ye x 的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证： f (x ) 在 x x 处的导数等于0；（ii ）若关于 x 的不等式 g (x ) e x 在区间[x1, x1]上恒成立，求 b 的取值范围.【答案】（Ⅰ）递增区间为 (,a ) ， (4 a ,) ，递减区间为 (a ,4 a ) .（2）（ⅰ） f (x ) 在x x 处的导数等于 0.（ⅱ）的取值范围是[7,1].【解析】f x f a1在[a1,a1]上恒成立，得b2a36a21，1a1，再根据导数求函数的取值范围.7试题解析：（I）由f(x)x36x23a(a 4)x b，可得f'(x)3x 12x 3a(a 4)3(x a)(x (4a))，2令f'(x)0，解得x a，或x 4a.由|a |1，得a 4a.当变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：(,a)(a,4a)(4a,)f'(x)f x A A A ()所以，f(x)的单调递增区间为(,a)，(4a ,)，单调递减区间为(a,4a).xg(x)e（II）（i）因为g'(x)e x(f(x)f'(x))，由题意知g'(x)ex，x xf(x)e e00所以e x(f(x)f'(x))ex00f(x)1，解得f'(x)0.所以，f(x)在x x处的导数等于0.（ii）因为g(x)e x，x[x 1,x 1]，由e x 0，可得f(x)1.00又因为f(x)1，0f'(x)0，故x为f(x)的极大值点，由（I）知xa.另一方面，由于|a |1，故a 14a，由（I）知f(x)在(a 1,a)内单调递增，在(a,a 1)内单调递减，故当x a时，f(x)f(a)1在[a 1,a 1]上恒成立，从而g(x)e x在[x 1x1]上0,0 0恒成立.由f(a)a36a23a(a4)a b1，得b2a36a21，1a1.令t(x)2x36x21，x[1,1]，所以t'(x)6x212x，令t'(x)0，解得x2（舍去），或x0.因为t(1)7，t(1)3，t(0)1，故t(x)的值域为[7,1].8所以，的取值范围是[7,1].【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出 xa ，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.10.【2014 山东.文 20】（本题满分 13分)x 1设函数 f (x ) a ln x ,其中a 为常数.x 1 （1）若 a0 ，求曲线 yf (x )在点(1, f (1)) 处的切线方程；（2）讨论函数 f (x ) 的单调性. 【答案】（1） x 2y 1 0 .（2）当 a0 时，函数 f (x ) 在(0,)上单调递增；1当a时，函数 f (x ) 在(0,)上单调递减；2 1时， f (x ) 在 (0, (a 1)2a 1)a 0当2a(a 1) 2a 1，(,)a上单调递减， (a 1) 2a1 (a1) 2a 1在(,)a a上单调递增.【解析】性.其中a0时，情况较为单一，f'(x)0，函数f(x)在(0,)上单调递增，当a0时，令g(x)ax2(2a2)x a，9由于(2a 2)2 4a 2 4(2a 1) ，再分 a1 ， a1 ， 1 0a 等情况加以讨论.2 2 2 试题解析：（1）由题意知 a0 时， ( )1,(0, ) f xxx，x 1此时 f '(x )2 (x 1) 2，可得 ' (1)1f，又 f (1) 0，2所以曲线 yf (x ) 在 (1, f (1))处的切线方程为 x 2y10 .（2）函数 f (x ) 的定义域为(0,)，f (x )'a 2 ax(2a 2)x a 2x (x 1)x (x 1)22，当 a 0 时， f ' (x ) 0，函数 f (x ) 在(0,)上单调递增，当 a 0 时，令 g (x ) ax 2 (2a 2)x a ，由于(2a 2)24a 24(2a1) ，1① 当a时，0，21(x 1)22f (x )'x (x 1)2，函数 f (x ) 在 (0,)上单调递减，1 ② 当a时，0, g (x ) 0， 2f ' (x ) 0 ，函数 f (x ) 在(0,)上单调递减，1③ 当时，0， a 02设 x x x x 是函数 g (x ) 的两个零点，1, 2 ( 1 2 ) 则 x 1 (a 1) 2a 1 ， a x2 (a 1) 2a 1 ，a由 x 1a 1 2a 1 aa 2 2a 1 2a 1a0 ，所以 x (0, x ) 时， g (x ) 0, f ' (x ) 0，函数 f (x ) 单调递减，110x (x , x ) 时， g (x ) 0, f ' (x ) 0，函数 f (x ) 单调递增，12x(x,) 时， g (x ) 0, f ' (x ) 0，函数 f (x ) 单调递减，2综上可知，当 a 0 时，函数 f (x ) 在(0,)上单调递增；1当a时，函数 f (x ) 在(0,)上单调递减；2时， f (x ) 在 (0, (a 1)2a 1) 1a 0 当2a(a 1) 2a 1，(,)a上单调递减， (a 1) 2a1 (a1) 2a 1在(,)a a上单调递增.考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等.解答本题的主要困难是（II ）利用分类讨论思想，结合函数零点，确定函数的单调性.本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等基础知识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想及分类讨论思想.11.2016 高考新课标Ⅲ文数]设函数 f (x )ln x x 1．（I ）讨论 f (x ) 的单调性；x 1 （II ）证明当 x (1,) 时，1x ；ln x（III ）设 c 1，证明当 x (0,1)时，1(c 1)x c x .【答案】（Ⅰ）当 0 x1时， f (x ) 单调递增；当 x1时， f (x ) 单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．试题解析：（Ⅰ）由题设， f (x ) 的定义域为(0,)， f ' (x ) 1 1，令 f ' (x ) 0，解得 xx1.当0x1时，f'(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f'(x)0，f(x)单调递11减. ………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f (x ) 在 x 1处取得最大值，最大值为 f (1) 0，所以当 x 1时， ln x x 1，故当 x(1,) 时， ln x x 1， ln 111，即1 x 1x . ………………7分 x x ln x（Ⅲ）由题设 c 1，设 g (x )1 (c 1)x c x ，则 g ' (x ) c 1c x ln c ．令 g ' (x ) 0，解得xc 1 ln cln . ln c 当 x x 时， g '(x ) 0， g (x ) 单调递增；当x x 时， g ' (x ) 0， g (x ) 单调递减. ……………9分c 1由（Ⅱ）知，1c，故 0 x1．又 g (0) g (1) 0 ，故当 0 x 1时， g (x ) 0 ，ln c所以当 x(0,1)时，1 (c 1)x c x . ………………12分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．12.【2016高考天津文数】（（本小题满分 14分）设函数 f (x )x 3 ax b ， x R ，其中 a ,b R（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）若 f (x ) 存在极值点 x ，且 (x 1)f (x )f，其中x 1 x ，求证： x 20 ；1x（Ⅲ）设 a 0，函数 g (x ) | f (x ) | ，求证： g (x ) 在区间[1,1]上的最大值不小于1 4.，递增区间为 (,3a ) 3a3a，(3a ,) 【答案】（Ⅰ）递减区间为( , ).（Ⅱ）3 333详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】123a3a11，②当3334时，23a13a3a123aa3，③3333当时，123a23a1a3.433试题解析：（1）解：由f(x)x3ax b，可得f (x)3x2a，下面分两种情况讨论：①当a 0时，有f (x)3x2a 0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(,).②当a 0时，令f (x)0，解得x 3或3a ax.33当变化时，f (x)、f(x)的变化情况如下表：a33(3,3)aa a3a3a(,)(,)333333f x()f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(,3)3a3a a(,)，333 3a(,).3（2）证明：因为f(x)存在极值点，所以由（1）知a0且x. 00a由题意得f x x2a，即2()30x，0003132a 进而 f (x )x 3axbx b ，38a2a又 f xx 3 axbxax bx b f x ，且 2xx ，( 2 )822( )33由题意及（1）知，存在唯一实数 x 满足 1f (x ) f (x )，且1xx ，因此 1 0x x ， 1 2 0所以 xx.1+2 0 =0（3）证明：设 g (x ) 在区间[1,1]上的最大值为 M ， max{x , y }表示， y 两数的最大值，下面分三种情况讨论： ①当 a3时，31 13，由（1）知 f (x ) 在区间[1,1]上单调递减，a a 33所以 f (x ) 在区间[1,1]上的取值范围为[ f (1), f (1)]，因此，M max{[ f (1), f (1)]} max{|1ab |,| 1 ab |} max{| a 1 b |,| a 1b |}a 1b ,b 0,a 1b ,b 0,所以 M a 1 | b | 2.②当 3 4时， 2 3 1 3 3 1 2 3 a 3，a a a a 3 3 3 3 由（1）和（2）知f f f ， (1) (2 3 ) ( 3 ) ( 1) ( ) ( ) f f f ，2 3a 3a a a3 3 3 3 所以 f (x ) 在区间[1,1]上的取值范围为[ ( 3 ), ( 3 )]a a f f ， 3 33a3a2a2a所以max{| f (|,| f () |} max{|3a b |,| 3a b |}33 9 92a 2a 2a 2 3 3 1max{| 3ab |,| 3ab |} 3a | b |3 .9 9 9 9 4 4 4③当时， 1 2 32 3 1a，由（1）和（2）知，3 a a 433fff ， (1)(2 3 ) ( 3 )( 1) () ( ) ff f ，2 3a 3a a a 333 3所以 f (x ) 在区间[1,1]上的取值范围为[ f (1), f (1)]，因此，14M max{[ f (1), f (1)]} max{| 1 a b |,|1 a b |} max{|1 a b |,|1 a b |}11 a | b | .4综上所述，当 a 0 时， g (x ) 在区间[1,1]上的最大值不小于 14.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数 f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数 f ′(x )；(3)在函数 f (x )的定义域内求不等式 f ′(x )＞0或 f ′(x )＜0的解集．(4)由 f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数 f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数 f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为 f ′(x )≥0(或 f ′(x )≤0) 恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到． 13.【2016高考四川文科】（本小题满分 14分）设函数 f (x )ax 2a ln x ， ( ) 1g x，其中 q R ，e=2.718…为自然对数的底数.e x ex（Ⅰ）讨论 f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当 x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定的所有可能取值，使得 f (x )g (x ) 在区间（1，+∞）内恒成立.【答案】（1）当 x （0, 1 ) 时， f '(x ) <0， f (x ) 单调递减；当x1 + ) （，时， f '(x )2a2a >0， f (x ) 单调递增；（2）证明详见解析；（3） a1 + ) [ ， . 2（Ⅰ）的结论，缩小的范围，设g(x)=11x e x1e x1xx1xe，并设s(x)=e x1x，通过研究s(x)15的单调性得 x1时， g (x ) 0 ，从而 f (x ) 0 ，这样得出 a 0 不合题意，又 0 1a时，2f (x ) 的极小值点 x，且 ( 1 ) (1) 0 1，也不合题意，从而 1 1ff a ，此时考2a2a211虑 h ¢(x ) = 2ax - + - e 1 x 得 h '(x ) -x x21 1 1> - + -0 ，得此时 h (x ) 单调递增，从而有 x x x x2h (x ) h (1) 0 ，得出结论．试题解析：（I ）1 2ax 12f '(x ) 2ax ( x 0).x x当时， f '(x ) <0， f (x ) 在（0，+）内单调递减.a当a0时，由 f '(x )=0，有x1 .2a当 x0, 1 ) （时， f '(x ) <0， f (x ) 单调递减； 2a 当x1 + ) （，时， f '(x ) >0， f (x ) 单调递增.2a（II ）令 s (x ) =e x 1x ，则 s '(x ) =e x11.当 x1时， s '(x ) >0，所以 e x1x ，从而 g (x ) =11 >0. x e x 1（iii ）由（II ），当 x 1时， g (x ) >0.当 a0 ， x 1时， f (x ) =a (x 2 1)ln x 0.故当 f (x ) >g (x ) 在区间（1，+)内恒成立时，必有 a 0 .当1a 时， 21 2a>1.由（I）有1,从而(1)0 f()f(1)0g，2a2a所以此时f(x)>g(x)在区间（1，+)内不恒成立.1当a时，令h(x)= f(x)g(x)(x1).21611111当x 1时，h'(x)=2ax e 1x xx x x x x22x2x1x2x132x x22.因此h(x)在区间（1，+)单调递增.又因为h(1)=0，所以当x 1时，h(x)= f(x)g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.综上，a1+)[，.2考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求f'(x)，解方程f'(x)0，再通过f'(x)的正负确定f(x)的单调性；要证明函数不等式f(x)g(x)，一般证明f(x)g(x)的最小值大于0，为此要研究函数h(x)f(x)g(x)的单调性．本题中注意由于函数h(x)有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．14.【2015高考福建，文22】已知函数(x 1)2 f(x)ln x．2(Ⅰ)求函数f x的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x 1时，f x x 1；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在x ，当01x x时，恒有f x k x 1．(1,)【答案】(Ⅰ)150,2；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）,1．17（II ）令 Fx fx x 1，x0,．1x2则有．F xx当 x1,时，Fx 0，所以 F x 在1,上单调递减，故当 x1时， F x F 1 0 ，即当 x1时， fx x 1．（III ）由（II ）知，当 k 1时，不存在 x满足题意．1当 k1时，对于 x 1，有 fx x 1 kx 1，则 fxk x 1，从而不存在x1满足题意．当 k 1时，令 Gx f x k x 1，x0,，则有x 21kx 1 1．G x x 1 k xx由Gx0 得，x 21 k x 10．解得 x11 k 1k42x21k 1k422 0，22 1．2当x x 时，Gx0，故G x在1,1,x内单调递增．22从而当x x 时，G x G 10，即f x k x 1，1,2综上，的取值范围是,1．18【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式 f ' (x )0或 f ' (x ) 0 求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意 f (x ) g (x ) 与f (x )g (x ) 不等价，minmaxf (x )g (x ) 只是 f (x ) g (x ) 的特例，但是也可以利用它来证明，在 2014年全国Ⅰ卷minmax理科高考 21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．19。

专题03导数的几何意义与运算—三年高考(2015-2017数学(文)真题分项版解析(

精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .专题3 导数的几何意义与运算1.【2021 (高|考 )北京 ,文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满 ,下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注： "累计里程 "指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内 ,该车每100千米平均耗油量为 ( )A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 2.【2021 (高|考 )陕西版文第10题】如图 ,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续 (相切 ) ,环湖弯曲路段为某三次函数图像的一局部 ,那么该函数的解析式为 ( )(A )321122y x x x =-- (B )3211322y x x x =+- (C )314y x x =- (D )3211242y x x x =+-3.【2021 (高|考 )四川文科】设直线l 1 ,l 2分别是函数f (x ) = ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1 ,P 2处的切线 ,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1 ,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,那么△P AB 的面积的取值范围是( )(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0, +∞) (D) (1, + ∞)4.【2021课标1 ,文14】曲线21y x x=+在点 (1 ,2 )处的切线方程为______________． 5.【2021天津 ,文10】a ∈R ,设函数()ln f x ax x =-的图象在点 (1 ,(1)f )处的切线为l ,那么l 在y 轴上的截距为 .6.【2021 (高|考 )广东卷.文.11】曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.7. [2021 (高|考 )新课标Ⅲ文数]()f x 为偶函数 ,当0x ≤ 时 ,1()x f x ex --=- ,那么曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________.9.【2021 (高|考 )新课标1 ,文14】函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7 ,那么a = .10. 【2021 ,安徽文15】假设直线l 与曲线C 满足以下两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧 ,那么称直线l 在点P 处 "切过〞曲线C ,以下命题正确的选项是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处 "切过〞曲线C ：3yx =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处 "切过〞曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处 "切过〞曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处 "切过〞曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处 "切过〞曲线C ：x y ln =11. 【2021 (高|考 )天津 ,文11】函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,假设()13f '= ,那么a 的值为．12. 【2021新课标2文16】曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,那么a = ．13.【2021山东 ,文20】 (本小题总分值13分 )函数()3211,32f x x ax a =-∈R ., (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.14.【2021北京 ,文20】函数()e cos x f x x x =-． (Ⅰ )求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ )求函数()f x 在区间π[0,]2上的最||大值和最||小值．15.【2021 (高|考 )新课标2文数】函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.(I )当4a =时 ,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (Ⅱ )假设当()1,x ∈+∞时 ,()0f x ＞ ,求a 的取值范围.16.【2021 (高|考 )山东 ,文20】设函数. 曲线在点(1,(1))f 处的切线与直线平行.(Ⅰ )求a 的值；(Ⅱ )是否存在自然数k ,使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根 ?如果存在 ,求出k ；如果不存在 ,请说明理由；(Ⅲ )设函数()min{(),()}m x f x g x = ({},min p q 表示 ,,p q 中的较小值 ) ,求()m x 的最||大值.17.【2021全国2 ,文21】 (本小题总分值12分 ) 函数32()32f x x x ax =-++ ,曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. (Ⅰ )求a ； (Ⅱ )证明：当1k<时 ,曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.18.【2021 (高|考 )北京文数】 (本小题13分 ) 设函数()32.f x x ax bx c =+++(I )求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(II )设4a b == ,假设函数()f x 有三个不同零点 ,求c 的取值范围；(III )求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.19.【2021 (高|考 )重庆文第19题】 (本小题总分值12分 , (Ⅰ )小问5分 , (Ⅱ )小问7分 ) 函数23ln 4)(--+=x x a x x f ,其中R a ∈ ,且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=. (Ⅰ )求a 的值；(Ⅱ )求函数)(x f 的单调区间与极值.20.【2021 (高|考 )天津 ,文20】 (本小题总分值14分 )函数4()4,,f x x x x R(I )求()f x 的单调区间; (II )设曲线()yf x 与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()yg x ,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ;(III )假设方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x ,求证:1321-43a x x专题4 导数与函数的单调性1.【2021浙江 ,7】函数y =f (x )的导函数()y f x '=的图像如下列图 ,那么函数y =f (x )的图像可能是2【2021 (高|考 )湖南 ,文8】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+-- ,那么()f x 是( ) A 、奇函数 ,且在 (0,1 )上是增函数 B 、奇函数 ,且在 (0,1 )上是减函数 C 、偶函数 ,且在 (0,1 )上是增函数 D 、偶函数 ,且在 (0,1 )上是减函数 3.【2021全国2 ,文11】假设函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增 ,那么k 的取值范围是 ( )(A )(],2-∞- (B )(],1-∞- (C )[)2,+∞ (D )[)1,+∞4. 【2021 (高|考 )新课标1文数】假设函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,那么a 的取值范围是 ( )5.【 2021湖南文9】假设1201x x <<< ,那么 ( )A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln x xe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <6.【2021课标1 ,文21】函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．(1 )讨论()f x 的单调性；(2 )假设()0f x ≥ ,求a 的取值范围．7.【2021课标II ,文21】设函数2()(1)x f x x e =-. (1 )讨论()f x 的单调性；(2 )当0x ≥时 ,()1f x ax ≤+ ,求a 的取值范围.8.【2021课标3 ,文21】函数()f x =ln x +ax 2 +(2a +1)x ． (1 )讨论()f x 的单调性； (2 )当a ﹤0时 ,证明3()24f x a≤--． 9.【2021天津 ,文19】设,a b ∈R ,||1a ≤.函数32()63(4)f x x x a a x b =---+ ,()e ()x g x f x =. (Ⅰ )求()f x 的单调区间；(Ⅱ )函数()y g x =和e x y =的图象在公共点 (x 0 ,y 0 )处有相同的切线 , (i )求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；(ii )假设关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立 ,求b 的取值范围. 10.【2021山东.文20】 (此题总分值13分) 设函数.,11ln )(为常数其中a x x x a x f +-+= （1）假设0=a ,求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程；（2）讨论函数)(x f 的单调性.11.[2021 (高|考 )新课标Ⅲ文数]设函数()ln 1f x x x =-+．(I )讨论()f x 的单调性； (II )证明当(1,)x ∈+∞时 ,11ln x x x-<<； (III )设1c > ,证明当(0,1)x ∈时 ,1(1)xc x c +->. 12.【2021 (高|考 )天津文数】 ( (本小题总分值14分 )设函数b ax x x f --=3)( ,R x ∈ ,其中R b a ∈, (Ⅰ )求)(x f 的单调区间；(Ⅰ )假设)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f = ,其中01x x ≠ ,求证：0201=+x x ； (Ⅰ )设0>a ,函数|)(|)(x f x g = ,求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最||大值不小于．．．41. 13.【2021 (高|考 )四川文科】 (本小题总分值14分 ) 设函数2()ln f x ax a x =-- ,1()x eg x x e=- ,其中q R ∈ ,e =2.718…为自然对数的底数.(Ⅰ )讨论f(x)的单调性； (Ⅱ )证明：当x ＞1时 ,g(x)＞0；(Ⅲ )确定a 的所有可能取值 ,使得()()f x g x >在区间 (1 , +∞ )内恒成立.14.【2021 (高|考 )福建 ,文22】函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； (Ⅱ )证明：当1x >时 ,()1f x x <-；(Ⅲ )确定实数k 的所有可能取值 ,使得存在01x > ,当0(1,)x x ∈时 ,恒有()()1f x k x >-．。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04 导数及其应用)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（04导数及其应用）一、选择题：1.（2015安徽文）函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（）（A ）a >0，b <0，c >0，d >0 （B ）a >0，b <0，c <0，d >0 （C ）a <0，b <0，c <0，d >0 （D ）a >0，b >0，c >0，d <02．（2015福建理）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C考点：函数与导数．3．（2015福建文）“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B考点：导数的应用．4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（）A.[-，1）B. [-，）C. [，）D. [，1）【答案】D 【解析】试题分析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，max [()]g x =12-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D.考点：导数的综合应用5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质． 6. (2015陕西理)对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值．二、填空题：1.（2015安徽理）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）① 3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.2. (2015湖南理)20(1)x dx ⎰-= .【答案】0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .4. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a = ．【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义.5、(2015陕西文)函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=-考点：导数的几何意义. 6. (2015陕西理)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2 【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2．考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．7. (2015陕西理)设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为．【答案】()1,1 【解析】试题分析：因为x y e =，所以x y e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x =在点P处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以2011x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．8、(2015四川文)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④ 【解析】对于①，因为f '(x )＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g '(x )＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误对于③，令f '(x )＝g '(x )，即2x ln 2＝2x ＋a 记h (x )＝2x ln 2－2x ，则h '(x )＝2x (ln 2)2－2【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m ，n 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题. 9. (2015天津文) 已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．【答案】3 【解析】试题分析：因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 考点：导数的运算法则.10.(2015天津理)曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分几何意义.三、解答题：1. （2015安徽文）已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x axx f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若400=ra，求)(x f 在),0(+∞内的极值.2.（2015安徽理）设函数2()f x x ax b =-+.（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a zb =-满足D 1≤时的最大值.3.（2015北京文）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（2）证明详见解析.所以，()f x 的单调递减区间是)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =(1ln ))2k k f k -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )()2k k f k -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥. 当k e =时，()f x 在区间)e 上单调递减，且()0f e =，所以x e =()f x 在区间]e 上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间)e 上单调递减，且1(1)02f =>，()02e kf e -=<，所以()f x 在区间]e 上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间]e 上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.4. （2015北京理）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；422222()(1)11kx k F x k x x x+-'=-+=--，当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x -'==∈，，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.5．（2015福建文）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．【答案】(Ⅰ) ⎛ ⎝⎭；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞．【解析】(Ⅰ)求导函数()21x x f x x-++'=，解不等式'()0f x >并与定义域求交集，得函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数()()()F 1x f x x =--，()1,x ∈+∞．欲证明()1f x x <-，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意；当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意；当1k <时，构造函数()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在01x >，当0(1,)x x ∈时()0G x >即可．试题解析：（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得102x <<．故()f x 的单调递增区间是10,2⎛+ ⎝⎭．（II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<，所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-．（III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增．从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-，综上，k 的取值范围是(),1-∞．考点：导数的综合应用．6. （2015福建理）已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =?(Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) =1k ．【解析】试题分析：(Ⅰ)构造函数()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??只需求值域的右端点并和0比较即可；(Ⅱ)构造函数G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??即()0G x >，求导得1()1+G x k x ¢=- (1k)1+kx x-+-=，利用导数研究函数()G x 的形状和最值，证明当1k <时，存在00x >，使得()0G x >即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当1k >时，对于(0,),x "违+()f()g x x x ，>>故()f()g x x >，则不等式2|f()()|x g x x -<变形为2k ln(1)x x x -+<，构造函数2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，只需说明()0M x <，易发现函数()M x 在0x Î（递增，而(0)0M =，故不存在；当1k <时，由(Ⅱ)知，存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >，此时不等式变形为2ln(1)k x x x +-<，构造2N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--违，+，易发现函数()N x 在0x Î（递增，而(0)0N =，不满足题意；当=1k 时，代入证明即可．试题解析：解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??则有1()11+1+x F x x x¢=-=-当(0,),x ?? ()0F x ¢<,所以()F x 在(0,)+?上单调递减；故当0x >时，()(0)0,F x F <=即当0x >时，x x f()<．(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??则有1(1k)()1+1+kx G x k x x-+-¢=-=当0k £ G ()0x ¢>,所以G()x 在[0,)+?上单调递增, G()(0)0x G >= 故对任意正实数0x 均满足题意.当01k <<时，令()0,x G ¢=得11=10k x k k-=->．取01=1x k，-对任意0(0,),x x Î恒有G ()0x ¢>,所以G()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G >=,即f()()x g x >.综上，当1k <时，总存在00x >,使得对任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >．(3)当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x ，>>故()f()g x x >，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x+-¢=--++故当0x Î（时，M ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当1k <时，由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >．此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-,令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--违，+，则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x x x-+=--++故当0x Î（时，N ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记0x 的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在. 当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2H ()12=,11x xx x x x-¢=--++ 当0x >时，H ()0x ¢<,所以H()x 在[0+¥，）上单调递减，故H()(0)0x H <=,故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意. 综上，=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x >>，，故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-，令2(k 1),01x x x k -><<-解得，从而得到当1k >时，(0,1)x k ?对于恒有2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当1k <时，取11k+1=12k k k <<，从而由（2）知存在00x >,使得0(0),x x Î任意，恒有1f()()x k x kx g x >>=.此时11|f()()|f()()(k)2kx g x x g x k x x --=->-=, 令21k 1k ,022x x x --><<解得，此时 2f()()x g x x ->, 记0x 与1-k 2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在. 当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有212M ()12,11x xx x x x--'=--=++ 当0x >时，M ()0x ¢<,所以M()x 在[0+∞，）上单调递减，故M()M(0)0x <=,故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意综上，=1k .考点：导数的综合应用．7．（2015广东理）设1a >，函数a e x x f x-+=)1()(2。

三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题3数理

专题03 基本初等函数1.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【考点】函数的性质2.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033（B ）1053（C ）1073（D ）1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a a MM N N-=，log log n a a M n M =. 3.【2016课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（）（A ）b a c <<（B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << 【答案】A 【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．考点：幂函数的图象与性质．4. 【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的取值范围是（）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 【答案】C【解析】当1a ≥时，()21af a =>，所以，()()()2f aff a =，即1a >符合题意.当1a <时，()31f a a =-,若()()()2f aff a =，则()1f a ≥，即：2311,3a a -≥≥，所以213a ≤<适合题意综上，的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故选C. 【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题. 5.【2015高考新课标2，理5】设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．【考点定位】分段函数．【名师点睛】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题．6.【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c <<（B ）a c b <<（C ）c a b <<（D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.7.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8. 【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -=，()f x 的最小值是．【答案】，3-22.【解析】0)1())3((==-f f f ，当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-.【考点定位】分段函数9.【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是. 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 10.【2016高考江苏卷】函数y =232x x --的定义域是. 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-，考点：函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.11.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数的取值范围是________. 【答案】，(,1)-∞-. 【解析】考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．12.【2015高考福建，理14】若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数的取值范围是．【答案】(1,2]【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需1()3log a f x x =+（2x >）的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(1,2]．【考点定位】分段函数求值域．13. 【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=.【答案】32-【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以1110a b b -⎧+=-⎨+=⎩ ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩ ，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，所以32a b +=-.【考点定位】指数函数的性质.【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.14.【2015高考浙江，理18】已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当，满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，再由(,)2M a b ≤可得|1||(1)|2a b f ++=≤， |1||(1)|2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x x b =++-，得对称轴为直线2ax =-，由||2a ≥，得||12a-≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由 (1)(1)24f f a --=-≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为..【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.。

三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题08导数与不等式函数零点相结合理20171102347

专题08 导数与不等式、函数零点相结合【2017年】1.【2017课标3，理11】已知函数f(x)x22x a(e x1e x1)有唯一零点，则a=A．1B．11B．123C．12D．1【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足x22xa e x1e x1，1e 121x设g x e x1e x1，则，g x e e ex1x1x1x1x1e e当gx0时，x 1，当x 1时，gx0，函数g x单调递减，当x 1时，gx0，函数g x单调递增，当x 1时，函数取得最小值g 12，设h x x22x，当x 1时，函数取得最小值1，若a 0，函数h x与函数ag x没有交点，当a 0时，ag 1h 1时，此时函数h x和ag x有一个交点，即a21，解得1a.故选C.2【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想2 .【2017课标1，理21】已知函数f(x)ae2x (a 2)e x x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【解析】试题分析：（1）讨论f(x)单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按a 0，a 0进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若a 0，f(x)至多有一个零点.若a0，当x ln a时，f(x)取得最小值，求出最小值11f(ln a)1ln a，根据a1，a(1,)，a(0,1)进行讨论，可知当a(0,1)有2 a3个零点，设正整数n满足n ln(1)，则00af n a a n n n.由于ln(31)ln a()e n(e n2)e n2n0，因此f(x)在00000000a(ln a,)有一个零点.所以的取值范围为(0,1).试题解析：（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)2ae x(a2)e x1(ae x1)(2e x1)，2（ⅰ）若a0，则f(x)0，所以f(x)在(,)单调递减.（ⅱ）若a0，则由f(x)0得x ln a.当x(,ln a)时，f(x)0；当x(ln a,)时，f(x)0，所以f(x)在(,ln a)单调递减，在(ln a,)单调递增.（2）（ⅰ）若a0，由（1）知，f(x)至多有一个零点.（ⅱ）若a0，由（1）知，当x ln a时，f(x)取得最小值，最小值为1f(ln a)1ln a.a①当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；②当a(1,)时，由于11ln a0，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；a③当a(0,1)时，11ln a0，即f(ln a)0.a又f(2)a e4(a2)e222e220，故f(x)在(,ln a)有一个零点.3设正整数n满足n ln(1)，则f(n)e n(a e n a2)n e n n2n n0.0000000000a3由于ln(1)ln a，因此f(x)在(ln a,)有一个零点.a综上，的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.2在大于0的点.3.【2017课标II，理】已知函数f x ax ax x x，且f x0。

三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题06导数与函数的零点等综合问题文20171101

专题 06 导数与函数的零点等综合问题1.【2014全国 1，文 12】已知函数 f (x ) ax 3 3x 21，若 f (x ) 存在唯一的零点x ，且x 00 ，则的取值范围是( )2,（B ）1,（C）,2（D）,1【答案】Cf xax x x ax，利用导数的正负与函数单调性的关系可得： x ( , 2) '( ) 3 2 6 3 ( 2)和ax时函数单调递减;x (2 0) (0,)，时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正， a则满足：2f ( ) 0 a ，即得：f (0) 02 2 a( )3( )1 032，可解得： a 2 4，则a aa 2(舍去）,a2 ．考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用【名师点睛】本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论思想的运用，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.1 f xx 3x 2 axaR . 2.【2014高考广东卷.文 21】(本小题满分 14分)已知函数13(1)求函数 f x的单调区间；(2)当 a0 时,试讨论是否存在x1 1 f xf 1 0, ,1.,使得00222【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】(1) f x x22x a,方程x22x a0的判别式为44a,①当a1时,0,则f x0,此时f x在R上是增函数；1②当 a 1时,方程 x 2 2x a0 的两根分别为x 1 11 a ,xa , 2 1 1解不等式 x 2 2x a 0 ,解得 x 1 1 a 或 x 1 1 a ,解不等式 x 2 2x a 0 ,解得 11ax 11a ,此时,函数 fx的单调递增区间为,11a 和11a ,,单调递减区间为11 a ,1 1a ；综上所述,当 a 1时,函数 f x的单调递增区间为,,当 a 1时,函数 fx的单调递增区间为,1 1a 和1 1a ,,单调递减区间为11a ,1 1 a ；321 1111 1f x f x x axa (2)32 1123 32 22321 1 1 1xxa x3 2 032 2 2111 1 1 1x x x x x a x2 0322 42 2221 x x 1 1xxa 023 6 12211x4x 14x7 12a2 0122,若存在xf xf 0, ,1 1 11,使得2 22, 必须24x 14x712a 0 在0, 11,1上有解,222,a14 16 7 12a 4 42 48a0 ,2方程的两根为14 2 21 48a 721 48a ,x18414 2 2148a 7 21 48a, x2847 2148a0 , x x x,247 2148a依题意,1,即 7 2148a11,4,即 25 7 49 21 48a 121a,12 12又由72148 1a425a ,4 得故欲使满足题意的5a,4x 存在,则所以 ,当a25 5 5 7 , , 时 ,存在唯一 12 4 4 12 x 110,,1 满足22f xf1,2当,,0时,不存在a 255712412x 11f x f 10,,1满足x11f xf 100222.【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问题,综合性强,属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是函数的单调区间和函数与方程，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误．利用导数求函数f x的单调区间的步骤：①确定函数f x的定义域；②对f x求导；③令fx0，解不等式得的范围就是递增区3间，令 f x 0，解不等式得的范围就是递减区间．f xx 2 e x a x1 ． 3.【2016高考新课标 1文数】（本小题满分 12分）已知函数2(I)讨论 f x 的单调性；(II)若 fx有两个零点,求 a的取值范围.【答案】见解析(II)0,【解析】试题分析：(I)先求得 f 'x x 1e x2a .再根据 1,0,2a 的大小进行分类确定 fx的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得 a 的取值范围为0,.试题解析： (I) '12 1 12.f xx e xa x x e xa(i)设 a0 ,则当 x,1时, f 'x0 ；当 x 1,时, f 'x 0 .所以在,1单调递减,在1,单调递增.当 xln2a ,1时 , f 'x 0 ,所以 fx在,ln2a,1,单调递增 ,在ln2a,1单调递减.③若ea ,则 ln2a1,故当 x ,1ln2a,时, f 'x0 ,当 2x 1,ln2a时 ,f 'x 0 ,所以 f x 在,1,ln2a ,单调递增 ,在1,ln2a单调递减.(II)(i)设a0,则由(I)知, f x在,1单调递减,在1,单调递增.4ba ,又 f1 e ，f2 a ,取 b 满足 b <0且ln22f bba ba bba23321则,所以 f x有两个零点.22(ii)设 a =0,则 fxx 2e x 所以 f x有一个零点.e (iii)设 a <0,若a,则由(I)知, fx在1,单调递增.2e又当 x1时 , f x <0,故 f x不存在两个零点；若 a,则由 (I)知 , f x在21,ln2a单调递减,在 ln2a,单调递增.又当x 1时 fx <0,故 fx不存在两个零点.综上,a 的取值范围为0,.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围, 由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.4.【 2015高考广东，文 21】（本小题满分 14分）设为实数，函数fxx a2x a a a 1．（1）若 f1，求的取值范围；（2）讨论 fx的单调性；4 （3）当 a2 时，讨论在区间0,内的零点个数．f xx1【答案】（1）,；（2） f (x ) 在 (a ,) 上单调递增，在 (,a ) 上单调递减；（3）当24 4a2时，f x有一个零点x2；当a2时，f xx x有两个零点．5由（2）得函数 f x的最小值，再对的取值范围进行讨论确定 fx 4在区间0,内的x零点个数．试题解析：（1） fa 2 a a 2 a a a ，因为 f 01，所以a a 1， (0)11 当 a0时， 0 1，显然成立；当 a 0 ，则有 2a1，所以0 a.a .所以221 综上所述，的取值范围是,2. （2） f (x )2 x 2x2a 1x ,(2a 1)xx a 2a ,xax 2 11a对于ux 2a 1x12，其对称轴为aa22，开口向上，所以 f (x ) 在 (a,) 上单调递增；对于ux 2a 1x 2a 1，其对称轴为a ax 2a 11222，开口向上，所以 f (x ) 在(,a ) 上单调递减.综上所述， f (x ) 在 (a,) 上单调递增，在(,a ) 上单调递减.（ 3）由（ 2）得 f (x ) 在 (a,) 上单调递增，在 (0,a )上单调递减，所以f(x)min f(a)a a.2(i)当a 2时，()(2)2f x min f，f(x)2x2x3x,x5x24,x24f x 0，即令x f4 (（x 0）.x)x因为f(x)在(0,2)上单调递减，所以f(x)f(2)244而y 在(0,2)上单调递增，y f(2)2，所以y f(x)与y在(0,2)无交点.x x4当x 2时，(2，即x33x240，所以x32x2x240，所f x)x3xx4以x 2(1)0，因为x 2，所以x 2，即当a 2时，2xf x有一个零点xx 2.(ii)当a 2时，f2，(x)min f(a)a a64当 x(0,a ) 时， f (0) 2a 4， f (a ) a a 2 ，而在 x (0,a ) 上单调递增，yx 4 4当 xa 时，.下面比较 f (a ) a a2 与的大小ya a因为 a a( )224(a a4)(a 2)(aa 2)32aa a所以f (a )a a 24 a4结合图象不难得当 a 2 时， y f (x )与有两个交点.yx4 4f x f x有两个零点.xx综上所述，当 a2 时，有一个零点 x 2 ；当 a2 时，考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法．5. 【 2014湖南文 21】已知函数 f (x )x cos x sin x1(x 0) .（1）求f (x ) 的单调区间；（2）记x为f(x)的从小到大的第i(i N*)个零点，证明：对一切n N*，有i1112.x x x322 212n7【答案】(1) 单调递减区间为2k,2k1 k N *, 单调递增区间为2k 1,2k2k N *.(2)详见解析(2)利用(1)问的结果可知函数 f x在区间0,上是单调递减的,即 fx 在区间0,上至多一个零点,根据正余弦的函数值可得f0 x122,再根据 fx在区间上n,n1单调性和函数 fx在区间n,n1端点处函数值异号可得函数 fx在区间n,n1 上有且只有一个零点,即11 1 n xn1n 122222x nn 1n 1,则依次讨论 n 1,n 2,n 3利用放缩法即可证明11 1 2. xxx32 2 212n试题解析:数 f x求导可得 f 'x cos x x sin x cos xx sin x x,令 f'x 0可得xk k N *,当x2k,2k1 k N *时,sin x 0.此时 f 'x0 ;当x 2k 1,2k2k N *时,sin x 0,此时 f 'x 0 ,故函数 fx的单调递减区间为2k,2k1k N *,单调递增区间为2k 1,2k2k N *.(2)由(1)可知函数f x 在区间0,上单调递减,又f2,所以x ,12当n N*时,因为f n f nn n1111110,且函数nn1f x的图像是连续不断的,所以f x 在区间n ,n1内至少存在一个零点,又fx在区间n ,n1上是单调的,故n x n,因此,1 1n8当 n 1时,14 2 ;x32 2111 12 当 n2 时,41 ;x 2 x 22312当 n 3时,1 1 1 1 1 1 1 +4 1xxxx2n 12222222123n11 11 1 1 1+5122 1 x 2 x 2 x 2x 2 2nn123n1 1 1 1 111 1+51x2x2x2x 222 n 2 n 1123n1 16 2 6 2 n 1 2 3, 综上所述,对一切的 nN *,111 2. xxx32 2 212n【考点定位】导数单调性放缩法裂项求和【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是求导要精确；利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数 f (x )的定义域内解(或证明)不等式 f ′(x )>0或 f ′(x )<0.② 若已知 f (x )的单调性，则转化为不等式 f ′(x )≥0 或 f ′(x )≤0 在单调区间上恒成立问题求解．利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题．应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式．失误与防范1．研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域．2．利用单调性求最值时不要忽视f′(x)＝0的情况．3．“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x0取到极值”的必要条件．6.【2014四川，文21】已知函数f(x)e x ax2bx1，其中a,b R，e 2.71828为自然对数的底数。

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2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用一、选择题（在每小题给出的四个选项中¸只有一项是符合题目要求的）1（2017北京文）已知函数1()3()3x xf x =-¸则()f x （）.A 是偶函数¸且在R 上是增函数 .B 是奇函数¸且在R 上是增函数 .C 是偶函数¸且在R 上是减函数 .D 是奇函数¸且在R 上是增函数2.（2017新课标Ⅱ文）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（）.A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1,)+∞ .D (4,)+∞З.（2017山东文）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）2.A 4.B 6.C 8.D4.（2017山东文）若函数()e xf x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是（）x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.（2017新课标Ⅰ文数）函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（）б.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-¸则（）.A )(x f y =在)2,0(单调递增.B )(x f y =在)2,0(单调递减.C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称7.（2017天津文）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==¸则,,a b c 的大小关系为（）.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b<<8.（2017天津文）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设R a ∈¸若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立¸则a 的取值范围是（） .A [2,2]- .B [- .C [- .D [-9.（2017新课标Ⅲ文数）函数2sin 1xxx y ++=的部分图像大致为（）.A .B .C .D10.（2017新课标Ⅲ文数）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点¸则=a （） 21.-A.B 13.C 121.D11.（2017新课标Ⅲ理数）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点¸则=a（）21.-A31.B 21.C1.D 12.（2017新课标Ⅰ理数）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减¸且为奇函数．若(11)f =-¸则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（）.A [2,2]-.B [1,1]-.C [0,4] .D [1,3]1З.（2017新课标Ⅱ理）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点¸则()f x 的极小值为（） 1.-A.B 32e --.C 35e -1.D14.（2017天津理）已知奇函数()f x 在R 上是增函数¸()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-¸0.8(2)b g =¸(3)c g =¸则c b a ,,的大小关系为（）.A a b c << .B c b a << .C b a c <<.D b c a <<15.（2017天津理）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设R a ∈¸若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立¸则a 的取值范围是（） ]2,1647.[-A ]1639,1647.[-B ]2,32.[-C ]1639,32.[-D1б.（2017山东理）已知当[]0,1x ∈时¸函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点¸则正实数m 的取值范围是（）.A (])0,1⎡+∞⎣ .B (][)0,13,+∞.C ()⎡+∞⎣ .D ([)3,+∞17.（2017浙江）若函数b ax x x f ++=2)(在区间]1,0[上的最大值是M ¸最小值是m ¸则m M - （）.A 与a 有关¸且与b 有关.B 与a 有关¸但与b 无关.C 与a 无关¸且与b 无关.D 与a 无关¸但与b 有关18.（2017浙江）函数)(x f y =的导函数()y f x '=的图象如图所示¸ 则函数)(x f y =的图象可能是（）二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）19.（2017山东文）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且)2()4(-=+x f x f .若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则=)919(f .20.（2017天津文）已知a ∈R ¸设函数()ln f x ax x =-的图象在点))1(,1(f 处的切线为l ¸则l 在y 轴上的截距为 .21.（2017新课标Ⅱ文）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数¸当(,0)x ∈-∞时¸32()2f x x x =+¸则(2)f = .22.（2017新课标Ⅲ文数）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________.2З.（2017新课标Ⅰ文数）曲线21y x x=+在点)2,1(处的切线方程为_______.24.（2017新课标Ⅲ理数）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_____________.25.（2017山东理）若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增¸则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+2б.（2017江苏）已知函数31()2e ex x f x x x =-+-．若2(1)(2)0f a f a -+≤¸则实数a 的取值范围是．27.（2017江苏）．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数¸在区间[0,1)上¸2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==¸*}n ∈N ¸则方程()lg 0f x x -=的解的个数是．三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 28.（2017北京文）已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29.（2017新课标Ⅱ文）设函数2()(1)e x f x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时¸()1f x ax ≤+¸求a 的取值范围.З0.（2017天津文））设,a b ∈R ¸||1a ≤.已知32()63(4)f x x x a a x b =---+¸()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点),(00y x 处有相同的切线¸ （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立¸求b 的取值范围.З1.（2017新课标Ⅲ文数）已知函数.)12(ln )(2x a ax x x f +++=（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a 时¸证明3()24f x a≤--．З2.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数.)()(2x a a e e x f x x --=（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥¸求a 的取值范围．ЗЗ.（2017山东文）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当2=a 时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.З4.（2017新课标Ⅱ理）已知函数2()ln f ax a x x x x =--¸且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ¸且220e ()2f x --<<．З5.（2017北京理）已知函数.cos )(x x e x f x -= （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0¸π2]上的最大值和最小值.Зб.（2017浙江）已知函数).21()12()(≥--=-x e x x x f x（Ⅰ）求)(x f 的导函数；（Ⅱ）求)(x f 在区间1[+)2∞，上的取值范围．З7.（2017山东理）已知函数()22cos f x x x =+¸()()cos sin 22x g x e x x x =-+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈¸讨论()h x 单调性并判断有无极值¸若有求出极值.З8.（2017新课标Ⅰ理数）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点¸求a 的取值范围.()0f x ≥З9.（2017江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值¸且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（1）求b 关于a 的函数关系式¸并写出定义域；（2）证明：23b a >；（З）若()f x ¸()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-¸求a 的取值范围．40.（2017新课标Ⅲ理数）已知函数.ln 1)(x a x x f --= （1）若 ¸求a 的值；（2）设m 为整数¸且对于任意正整数n ¸21111++1+)222n ()(1)(m <¸求m 的最小值．41.（2017天津理）设a ∈Z ¸已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ¸()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈ ¸函数0()()()()h x g x m x f m =--¸求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ¸使得对于任意的正整数,p q ¸且00[1,)(,2],px x q∈ 满足041||p x q Aq -≥.201б年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用1、（201б年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点¸使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直¸则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（Α）sin y x = （Β）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】Α2、（201б年四川高考）已知Α函数f(x)＝x З－12x 的极小值点¸则Α= (Α)-4 (Β) -2 (C)4 (D)2 【答案】DЗ、（201б年四川高考）设直线l 1¸l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1¸P 2处的切线¸l 1与l 2垂直相交于点P ¸且l 1¸l 2分别与y 轴相交于点Α¸Β则则△P ΑΒ的面积的取值范围是(Α)(0,1) (Β) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】Α4、（201б年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增¸则Α的取值范围是（Α）[]1,1-（Β）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、（201б年天津高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数¸则(0)f '的值为__________. 【答案】З2、（201б年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数¸当0x ≤ 时¸1()x f x ex --=-¸则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.【答案】2y x =三、解答题1、（201б年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==¸若函数()f x 有三个不同零点¸求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++¸得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =¸()0f b '=¸所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时¸()3244f x x x x c =+++¸ 所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=¸得23840x x ++=¸解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以¸当0c >且32027c -<时¸存在()14,2x ∈--¸222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭¸ 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭¸使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知¸当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（III ）当24120a b ∆=-<时¸()2320f x x ax b '=++>¸(),x ∈-∞+∞¸ 此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增¸所以()f x 不可能有三个不同零点．当24120a b ∆=-=时¸()232f x x ax b '=++只有一个零点¸记作0x ．当()0,x x ∈-∞时¸()0f x '>¸()f x 在区间()0,x -∞上单调递增；当()0,x x ∈+∞时¸()0f x '>¸()f x 在区间()0,x +∞上单调递增．所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述¸若函数()f x 有三个不同零点¸则必有24120a b ∆=->．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==¸0c =时¸230a b ->¸()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件．因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、（201б年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设Α=2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立¸求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞¸函数()()2g x f x =-有且只有1个零点¸求Αb 的值. 解：（1）因为12,2a b ==¸所以()22x xf x -=+. ①方程()2f x =¸即222xx-+=¸亦即2(2)2210x x -⨯+=¸所以2(21)0x-=¸于是21x=¸解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立¸且()0f x >¸所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=¸且2((0))44(0)f f +=¸ 所以4m ≤¸故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点¸而00(0)(0)220g f a b =-=+-=¸ 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+¸又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>¸ 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-.令'()()h x g x =¸则''22()(ln ln )(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+¸ 从而对任意x R ∈¸'()0h x >¸所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数¸ 于是当0(,)x x ∈-∞¸''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时¸''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数¸在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <¸则0002x x <<¸于是0()(0)02xg g <=¸ 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g a b a =+->-=¸且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断¸所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点¸记为1x . 因为01a <<¸所以log 20a <¸又02x <¸所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >¸同理可得¸在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点¸矛盾.因此¸00x =. 于是ln 1ln ab-=¸故ln ln 0a b +=¸所以1ab =.З、（201б年山东高考）设f (x )=x ln x –Αx 2+(2Α–1)x ¸Α∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )¸求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数Α的取值范围. 解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞¸ 则()112'2ax g x a x x-=-=¸ 当0a ≤时¸()0,x ∈+∞时¸()'0g x >¸函数()g x 单调递增；当0a >时¸ 10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0g x >¸函数()g x 单调递增¸1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时¸()'0g x <¸函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时¸函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时¸函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭¸单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知¸()'10f =.①当0a ≤时¸()'0f x <¸()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时¸()'0f x <¸()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时¸()'0f x >¸()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值¸不合题意. ②当102a <<时¸112a >¸由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增¸ 可得当当()0,1x ∈时¸()'0f x <¸11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0f x >¸ 所以()f x 在(0,1)内单调递减¸在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增¸ 所以()f x 在x=1处取得极小值¸不合题意. ③当12a =时¸即112a=时¸()'f x 在(0,1)内单调递增¸在 ()1,+∞内单调递减¸ 所以当()0,x ∈+∞时¸()'0f x ≤¸ ()f x 单调递减¸不合题意. ④当12a >时¸即1012a << ¸当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0f x >¸()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时¸()'0f x <¸()f x 单调递减¸ 所以f(x)在x=1处取得极大值¸合题意. 综上可知¸实数Α的取值范围为12a >.4、（201б年四川高考）设函数f(x)=Αx 2－Α－lnx ¸g(x)=1x －ee x ¸其中Α∈R ¸e=2.718…为自然对数的底数。