高考数学专题复习：导数的概念及其运算

4．导数的四则运算法则 设 u、v 是可导函数，则(u±v)′＝________；(uv)′＝________； (uv)′＝________(v≠0)．
答案
u′±v′
u′v＋uv′
u′v－uv′ v2
考点串串讲
1．函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数
函数 y＝f(x)，如果自变量 x 在 x0 处有增量 Δx，那么函数 y 相
(2)对数函数与指数函数的导数
①(lnx)′＝1x； ②(logax)′＝1xlogae； ③(ex)′＝ex； ④(ax)′＝axlna. (3)函数的和、差、积、商的导数 ①(u±v)′＝u′±v′； ②(uv)′＝u′v＋uv′； ③(uv)′＝u′v－v2 uv′(v≠0)．
6．复合函数的求导 一般地，设函数 u＝φ(x)在点 x 处有导数 u′x＝φ′(x)，函数 y ＝f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 y′u＝f ′(u)，则复合函数 y＝ f(φ(x))在点 x 处也有导数，且 y′x＝y′u·u′x 或写作 f ′x(φ(x))＝f ′(u)·φ′(x)． 复合函数求导数的步骤
3．几种常见的导数 C′＝________；(xn)′＝________；(sinx)′＝________； (cosx)′ ＝ ________； (ex)′＝ ________； (ax)′ ＝ ________； (lnx)′＝________；(logax)′＝________.
答案 0(C 为常数) nxn－1 cosx －sinx ex axlna 11 x xlogae
(1)计算 f ′u(u)的表达式，并表示为 x 的函数； (2)计算 u′(x)的表达式．若 u(x)为基本初等函数或简单函数， 则立即求出 u′(x)；若 u(x)仍为复合函数，则继续分解，终可求出 u′(x)． 这样就将复合函数的求导归结为基本初等函数或简单函数的求
fx＋Δx－fx
Δx
.注意ຫໍສະໝຸດ ①函数在点x0处可导，是指
Δx→0
时，Δy Δx
有极限，若极
限不存在，就称函数在 x0 处不可导，或称在 x0 处无导数，因此，并 不是所有函数在 x0 处都有导数，也并不是所有函数在给定开区间内 都存在导数．
②函数 y＝f(x)的定义域一般都指开区间，因为在其端点处不一
答案 ΔΔxy有极限 Δxlim
ΔΔxy＝Δxlim
fx0＋Δx－fx0 Δx
每 一 点 都 可 导 一 个 确 定 的 导 数 f ′(x0)
fx＋Δx－fx
Δx
Δxlim
2．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是_____________.
答案 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率
f ′(x0) ＝ lim x0
Δy Δx
＝
lim
x0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
注意 (1)增量 Δx 不同于增加量，Δx 可正可负，自变量 x 在 x0 处有增量，其实质是保证 f(x)在 x0 处“附近”有定义．
(2)函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数是一个确定的值，而不是含有自 变量 x 的函数表达式．
2．函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的导函数(导数)
如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都可导，则称以(a，
b)内的值 x 为自变量，以 x 处的导数 f ′(x)为函数值的函数为 f(x)
在(a，b)内的导函数，简称为 f(x)在(a，b)内的导数，记作 f ′(x)或
y′.即 f ′(x)＝y′＝ lim x0
③设 v＝v(t)是速度函数，则 v′(t0)表示物体在 t＝t0 时刻的加 速度．
4．求导数的方法
由导数的定义可知，求函数 y＝f(x)在 x0 处的导数 f ′(x0)可以 分三步：
(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率：ΔΔxy
＝
fx0＋Δx－fx0；
Δx
定有增量，即右端点无增量，左端点无减量．
③函数 f(x)在 x0 处的导数是一个确定的数值，而 f(x)在(a，b) 内的导数则是一个以 x 为自变量的函数，这是一个变量，实质上 f
′(x0)就是 f ′(x)在 x0 处的函数值．
3．导数的几何意义与物理意义 ①设函数 y＝f(x)在点 x0 处可导，那么它在该点的导数等于函数 所表示曲线在相应点 M(x0，y0)处的切线斜率．过点 M 的切线方程 为：y－y0＝f ′(x0)(x－x0)． ②设 s＝s(t)是位移函数，则 s′(t0)表示物体在 t＝t0 时刻的瞬时 速度．
应地有增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值ΔΔxy就叫做函数 y＝f(x)在 x0
到
x0＋Δx
之间的平均变化率．即：Δy＝fx0＋Δx－fx0，如果
Δx
Δx
Δx
时，Δy有极限，则称函数在点 Δx
x0
处可导，且把这个极限叫做
f(x)
在点 x0 处的导数(或变化率)．
记作：f
′(x0) 或
y′|x ＝ x0 ， 即
Δx
(3)取极限得导数
f
′(x0)＝
lim
xa
Δy＝ Δx
lim
xa
fx0＋Δx Δx
－fx0.
求 f(x)的导函数 f ′(x)的方法类似．
5．导数的运算 (1)几种常见函数的导数 公式 1 C′＝0(C 为常数)； 公式 2 (xn)′＝nxn－1(n∈Q)； 公式 3 (sinx)′＝cosx； 公式 4 (cosx)′＝－sinx.
教材面面观
1．导数的概念 (1)如果当 Δx 时，________，我们就说函数 y＝f(x)在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处的导数，记作 f ′(x0)，即 f ′(x0)＝__________________. (2)如果函数 f(x)在开区间(a，b)内________，就说 f(x)在开区间 (a，b)内可导．这时对于开区间(a，b)内每一个确定的值 x0，都对应 着________，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，这一新函 数叫做 f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作 f ′(x)，即 f ′(x)＝ ________，导函数也简称导数．