中考数学第19题专题训练(2)
2019中考数学高频考点剖析专题19平面几何之直角三角形问题—解析卷.doc
备考2019中考数学高频考点剖析专题十九平面几何之直角三角形问题考点扫描☆聚焦中考直角三角形问题，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括直角三角形的性质、勾股定理和解直角三角形三方面，总体來看，难度系数低，以选择填空为主。
关于解直角三角形主要是解析题。
解析题主要以计算为主。
结合2018年全国各地中考的实例，我们从三方血进行直角三角形问题的探讨：（1）直角三角形的性质；（2）勾股定理；（3）解直角三角形.考点剖析☆典型例题頑（2018・玉林）如图，在四边形ABCD中，ZB二ZD二90° , ZA=60° , AB二4,则AD的取值范围是2<AD<8・【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E,作BF丄AD于F.解直角三角形求出AE、AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E,作BF丄AD于F.在RtAABE 中，VZE=30° , AB=4,AAE=2AB=8,在RtAABF 中，AF二寺AB二2,AAD的取值范围为2<AD<8,故答案为2<AD<8.例2| （2018・盐城）如图，在直角△ABC 中，ZC 二90° , AC 二6, BC 二8, P 、Q 分别为边BC 、AB 上的两个动点，若要使AAPQ 是等腰三角形且Z\BPQ 是直角三角形，则AQ 二 芈或孕. 【分析】分两种情形分别求解:①如图1屮，当AQ 二PQ, ZQPB=90°时，②当AQ 二PQ, ZPQB=90° 时；【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ, ZQPB 二90°时,设AQ 二PQ 二x,・.・PQ 〃AC,AABPQ^ABCA,.BQ_PQ・ 10-x = x10 ~_6,・15 rAAQ~. 4②当 AQ 二PQ, ZPQB=90° 时，设 AQ 二PQ 二y.VABQP^ABCA,• PQ.BQ•• A L BC '■ y,10-y飞8 例3| （2018・黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则 蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为20 cm （杯壁厚度不计）.・・x 二 图1 图?蚂蚁月【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A',根据两点之间线段最短可知“ B的长度即为所求.:【解答】解：如图连接A' B,则A' B 即为最短距离，A' B=A/A^D^+BD^A/162+1 2 2=20 (cm).故答案为20.^H| （2018*杭州）如图，在中，ZACB=90°,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，八D长为半径画弧，交线段AC于点E,连结CD.（1）若ZA=28° ,求ZACD的度数.（2）设BC=a, AC二b.①线段AD的长是方程x2+2ax・b2=0的一个根吗？说明理由.②若AD=EC,求学的值.B【分析】（1）根据三角形内角和定理求出ZB,根据等腰三角形的性质求出ZBCD,计算即可；（2）①根据勾股定理求岀AD,利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可.【解答】解：（1） V ZACB=90° , ZA=28° ,.\ZB=62° ,VBD=BC,・・・ZBCD二ZBDC二59° ,・・・ZACD二90° - ZBCD二31°；（2）①由勾股定理得，A B R AC J BC S/ai2 + b2,AD=Va2 + b2 - a，解方程x2+2ax - b~0 得，x^~2a± V4a2+4b2^ 土需盯予-a,2・・・线段AD的长是方程x2+2ax - b2=0的一个根；② VAD=AE,AAE=EC=4，2 由勾股定理得，a2+b2=（寺b+a）2, 整理得，竿导.b 4巫（2018-遵义）如图，吊车在水平地血上吊起货物时，吊绳BC与地血保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64。
专题19 角平分线与线段垂直平分线-2021年中考数学二轮复习专项训练
专题19 角平分线与线段垂直平分线一、单选题（共10题；共20分）1.如图，的垂直平分线交于点D，若，则的度数是（）A. 25°B. 20°C. 30°D. 15°2.P、Q为∠AOB内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=∠AOB，PM⊥OA于M，QN⊥OB于N，PQ⊥OP，则下面结论正确的是（）A. PM＞QMB. PM=QNC. PM＜QND. PM=PQ3.下列说法错误的是（）A. 已知两边及一角只能作出唯一的三角形B. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的三条边垂直平分线的交点C. 腰长相等的两个等腰直角三角形全等D. 点A（3，2）关于x轴的对称点A坐标为（3，﹣2）4.利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法（）A. SASB. ASAC. AASD. SSS5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm6.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，且AO=BO=4，CO=8，∠ADB=2∠ACB，则四边形ABCD 的面积为（）A. 48B. 42C. 36D. 327.已知：如图△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF.其中正确的是（）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④8.如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=62°，∠AEB=82°，则∠EBD的度数为（）A. 108°B. 118°C. 138°D. 144°9.正三角形ABC所在的平面内有一点P，使得△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（）A. 1个B. 4个C. 7个D. 10个10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE分别交BC于点E，交BO于点F，连结FH，则下列结论正确的有几个（）⑴AD=DF；（2）= ；（3）= ﹣1；（4）四边形BEHF为菱形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共10题；共11分）11.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE 的中点，且S△ABC＝4cm2，则S△BEF=________cm212.将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F，则∠DFC的度数为________．13.如图，在△ABC中，∠ACB=75°，∠ABC=45°，分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N。
2020中考数学复习第19课时全等三角形测试
第四单元三角形第十九课时全等三角形基础达标训练1. 下列说法正确的是( )A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形C. 两个等边三角形是全等三角形D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形2. 如图，在△AB C和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后，能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF( )第2题图A. ∠A＝∠DB. ∠ACB＝∠DFEC. AC＝DFD. BE＝CF3.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是()第3题图 第4题图4. (2017眉山)如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若▱ABCD 的周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( )A. 14B. 13C. 12D. 105. (2017黔东南州)如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，已知FB ＝CE ，AC ∥DF ，请你添加一个适当的条件________使得△ABC ≌△DEF .第5题图 第6题图 6. 如图，Rt △ABC ≌Rt △DCB ，两斜边交于点O ，如果AC ＝3，那么OD 的长为________．7. (2017达州)△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是________．第8题图8. (2017新疆建设兵团)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中：①∠ABC ＝∠ADC ；②AC 与BD 相互平分；③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角；④四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BD . 正确的是__________．(填写所有正确结论的序号)9. (6分)(2017云南)如图，点E 、C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ＝DE ，AC ＝DF .求证：∠ABC＝∠DEF.第9题图10. (6分)(2017南充)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证：AC∥BD.第10题图11. (6分)(2017郴州)已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别为边AB、AC的中点．求证：BE＝CD.第11题图12. (8分)(2017株州模拟)已知△ABN和△ACM位置如图，AB＝AC＝3，BD＝CE＝2，∠B＝∠C.(1)求证：∠1＝∠2；(2)若CM∥A B，求线段CM的长度．第12题图13. (8分)(2017苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．第13题图14. (8分)(2017湘潭)如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．第14题图15. (8分)(2017广西四市)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD 上，BE＝DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．第15题图16. (8分)(2017长沙中考模拟卷一)如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别是AC、BC上的两点，AD＝CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)若BP＝6，求PF的长．第16题图能力提升训练1. 在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于点F，若BF＝12，则△FBC的面积为( )A. 40B. 46C. 48D. 50第1题图第2题图2. 如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法中正确的个数有( )①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB＝80°.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3. (2017哈尔滨)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立；(2)OM＋ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 1第3题图4. (9分)(2017重庆B卷)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.(1)如图①，若AB＝42，BE＝5，求AE的长；(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF.当AF ＝DF时，求证：DC＝BC.第4题图5. 注重开放探究(9分)已知四边形ABCD中，AB＝AD, AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过点A作AH⊥CD于H，交BE于F.(1)如图①，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；(2)如图②，当E 不在CD 的延长线上时，BF ＝EF 还成立吗？请证明你的结论．第5题图拓展培优训练如图，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点I ，若∠B ＝35°，BC ＝AI ＋AC ，则∠B A C 的度数为________．第1题图答案1. D2. D3. C4. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，在△OAE 和△OCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC＝∠ACB OA ＝OC ∠AOE＝∠COF，∴△OAE ≌△OCF (ASA )，∴CF ＝AE ，OE ＝OF ，∵OE ＝1.5，∴EF ＝2OE ＝3，∵▱ABC D 的周长为18，∴AD ＋DC ＝9，∴四边形EFCD 的周长＝DE ＋EF ＋CF ＋C D ＝DE ＋AE ＋CD ＋EF ＝AD ＋CD ＋EF ＝9＋3＝12.5. AC ＝DF (答案不唯一) 【解析】∵FB ＝CE ，∴B C ＝EF ，∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，由三角形全等的判定定理可知添加的条件为：AC ＝DF (SAS )或∠B ＝∠E (ASA )或∠A ＝∠D (AAS )．6. 1.5 【解析】如解图，连接AD ，∵Rt △ABC ≌Rt △DCB ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝90°，且AB ＝CD ，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴OD ＝12BD ＝12AC ＝1.5.第6题解图7. 1＜m ＜4 【解析】如解图，延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∵在△ABD 和△ECD 中，BD ＝CD ，DE ＝AD ，∠ADB ＝∠EDC，∴△ABD ≌△ECD ，∴AB ＝EC ，∴在△AEC 中，AC ＋EC ＞AE ，且EC －AC ＜AE ，即AB ＋AC ＞2AD ，AB －AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，即1＜m ＜4.第7题解图8. ①④ 【解析】在△ABC 与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD BC ＝DC AC ＝AC，∴△ABC ≌△A D C(SSS )，∴∠ABC ＝∠ADC ，故①正确；∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA ，∴AC 平分∠BAD 和∠BCD ，而AB 与BC 不一定相等，∴BD 不一定平分∠ABC 和∠ADC ，故③错误；又∵AB ＝AD ，∠BAC ＝∠CAD ，∴OB ＝OD ，∴AC，BD 互相垂直，但不互相平分，故②错误；∵AC，BD 互相垂直，∴四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·B O ＋12AC ·OD ＝12AC ·BD .故④正确，综上所述，正确的结论是①④.9. 证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF ， 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DEBC ＝EF AC ＝DF，∴△ABC ≌△DEF (SSS )∴∠ABC ＝∠DEF .10. 证明：∵DE ⊥AB ，CF ⊥AB ， ∴∠AFC ＝∠BED ＝90°，又∵AE ＝BF ，∴A E ＋EF ＝BF ＋EF ，∴AF ＝BE ，在△ACF 和△BDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝BE ∠AFC＝∠BED CF ＝DE，∴△ACF ≌△BDE (SAS )，∴∠A ＝∠B ，∴AC ∥BD .11. 证明：∵∠ABC ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC ，∵点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，∴BD＝12AB ，CE ＝12AC ，∴BD ＝CE ，又∵∠ABC ＝∠ACB ，BC ＝CB ， ∴△CBE ≌△BCD (SAS )，∴BE ＝CD .12. (1)证明：在△ABD 与△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC∠B＝∠C BD ＝CE，∴△ABD ≌△ACE(SAS )，∴∠1＝∠2；(2)解：∵CM ∥AB ，∴∠M ＝∠1，又∵∠C ＝∠B ，∴△AMC ∽△DAB ，∴MC AB ＝AC BD ，∴MC ＝AB·AC BD ＝92.13. (1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE ，在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B ， ∴∠BEO ＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO ，∴∠AEC ＝∠BED ，在△AEC 和△BED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠BAE ＝BE ∠AEC＝∠BED，∴△AEC ≌△BED (ASA )；(2)解：∵△AEC ≌△BED ，∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE ，∵在△EDC 中，EC ＝ED ，∠1＝42°，∴∠C ＝∠EDC ＝69°，∴∠B D E ＝∠C ＝69°.14. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠CFE ，又∵∠A E D ＝∠FEC ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE (AAS )；(2)解：由(1)知，△ADE ≌△FCE ，∴AD ＝FC ，∵在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB ＝FB ，∴∠BAF ＝∠F ＝36°，∴∠B ＝180°－2×36°＝108°.15. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∴在△ABE 与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD∠ABE＝∠CDF BE ＝DF，∴△ABE ≌△CDF (SAS )，∴AE ＝CF ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝OB ，∵∠COD ＝60°，∴∠AOB ＝60°，∴△AOB 为等边三角形，∴AO ＝AB ＝6，∴AC ＝12，在Rt △ABC 中，由勾股定理可得BC ＝AC 2－AB 2＝63，∴矩形ABCD 的面积＝AB ·BC ＝6×63＝36 3.16. (1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠C ，在△ABD 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CA ∠BAD＝∠C AD ＝CE，∴△ABD ≌△CAE (SAS )；(2)解：∵△ABD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∴∠APD ＝∠ABP ＋∠PAB＝∠BAC ＝60°，∴∠BPF＝∠APD ＝60°，∴在Rt △BFP 中，∠PBF ＝30°，∴PF ＝12BP ＝12×6＝3. 能力提升训练1. C 【解析】∵CE ⊥BD ，∴∠BEF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠CAF ＝90°，∴∠FAC ＝∠BAD ＝90°，∠ABD ＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠F ＝90°，∴∠ABD ＝∠ACF ，∵在△ABD 和△ACF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD＝∠CAF AB ＝AC ∠ABD＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF (ASA )，∴AD ＝AF ，∵AB ＝AC ，D 为AC 中点，∴AB ＝AC ＝2AD ＝2AF ，∵BF ＝AB ＋AF ＝12，∴3AF ＝12，∴AF ＝4，∴AB ＝AC ＝2AF ＝8，∴△FBC的面积＝12×BF ×AC ＝12×12×8＝48. 2. C 【解析】∵△DAC 、△ECB 都是等边三角形，∴AC ＝CD ，BC ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ADC ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACE ＝∠BCD ，∵∠DCE ＝60°，∴AD ∥CE ，∴∠DAP ＝∠PEC ，故③正确；在△ACE 与△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝CD ∠ACE＝∠BCD CE ＝CB，∴△ACE ≌△DCB (SAS )，∴∠C A E ＝∠CDB ，又∵∠PMD ＝∠AMC ，∴∠DPM ＝∠ACM ＝60°，故②正确；在△ACM 与△DCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAM＝∠CDN AC ＝CD∠ACM＝∠DCN＝60°，∴△ACM ≌△DCN (ASA )，故④正确；∴CM ＝CN ，∴△CMN 是等边三角形，∴∠CMN ＝60°，∴∠CMN ＝∠ACD ，∴MN ∥AB ，故①正确；∵∠DBE ＝30°，∠BPE ＝∠APD ＝60°，∴∠AEB ＝90°，故⑤错误．综上所述，正确的个数是①②③④，共4个．第3题解图3. B 【解析】如解图，过点P 分别作OA 、OB 的垂线PC 、PD ，根据角平分线的性质可得PC ＝PD ，∵OP 为定值，∴OC ＝OD ，∵∠AOB 为定角，∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN 也为定角，∵∠CPD 与∠AOB 也互补，∴∠MPN ＝∠CPD ，∴∠MPC ＝∠NPD ，∴△MPC ≌△NPD ，∴CM ＝DN ，MP ＝NP ，故(1)正确；∵OM ＋ON ＝OC ＋CM ＋OD －DN ，∴OM ＋ON ＝OC ＋OD ，∵OC ＝OD 为定长，∴OM ＋ON 为定长，故(2)正确；∵△MPC ≌△NPD ，∴S 四边形MONP ＝S △CMP ＋S 四边形CONP ＝S △NPD ＋S 四边形CONP ＝S 四边形CODP ，∴四边形MONP 面积为定值，故(3)正确；∵Rt △MPC 中，MP 为斜边，CP 为直角边，∴可设MP ＝k ·CP ，∴PN ＝k ·DP ，∵∠MPN ＝∠CPD ，∴△MPN ∽△CPD ，其相似比为k ，∴MN ＝k ·CD ，当点M 与点C 重合，点N 和点D 重合时，MN ＝CD ，当点M 与点C 不重合，点N 与点D 不重合时，MN ≠CD ，∴MN 的长度在发生变化，故(4)错误．4. (1)解：在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠BAC ＝∠ABC ＝45°，∴AC ＝BC ＝AB ·sin45°＝4，∴在Rt △BCE 中，CE ＝BE 2－BC 2＝3，∴AE ＝AC －CE ＝4－3＝1；(2)证明：如解图，过C 点作CM ⊥CF 交BD 于点M ，第4题解图∴∠FCM ＝90°，∴∠FCA ＝∠MCB ，∵AF ⊥BD ，∴∠AFB ＝90°，∴∠AFE ＝∠ACB ，∵∠AEF ＝∠BEC ，∴∠CAF ＝∠CBM ，在△ACF 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FCA＝∠MCBAC ＝BC ∠CAF＝∠CBM，∴△ACF ≌△BCM (ASA )，∴FC ＝MC ，又∵∠FCM ＝90°，∴∠CFM ＝∠CMF ＝45°，∴∠AFC ＝∠AFB ＋∠CFM ＝90°＋45°＝135°，∠DFC ＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°，∴∠AFC ＝∠DFC ，在△ACF 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DF∠AFC＝∠DFC CF ＝CF，∴△ACF ≌△DCF (SAS )，∴AC ＝DC ，∵AC ＝BC ，∴DC ＝BC .5. 解：(1)证明：①∵AB ⊥AD ，AE ⊥AC ，∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠BAD －∠CAD ＝∠CAE －∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE ，又∵AB ＝AD ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS )；②由①知△ABC ≌△ADE ，AE ＝AC ，∠ACB ＝∠AED ，∵AH ⊥CD ，∴∠AED ＝∠ACD ＝45°，CH ＝HE ，∴∠ACB ＝∠AED ＝45°，∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°，∴AH ∥BC ，∴点F 是BE 的中点，即BF ＝EF ；第5题解图(2)成立．证明如下：如解图，过点B 作BG∥AE，交AH 于点G ，∵AE∥BG，∴∠AGB＝∠GAE，∵∠ACH＋∠CAH＝90°，∠GAE＋∠CAH ＝90°，∴∠ACH＝∠GAE，∴∠AGB＝∠ACD，∵∠BAG＋∠DAH＝90°，∠ADC＋∠DAH＝90°，∴∠BAG＝∠ADC，又∵AB＝AD ，∴△ABG≌△DAC(AAS)，∴BG＝AC ，∵AC＝AE ，∴BG＝AE ，∵BG∥AE，∴∠AEF＝∠GBF，∴△BFG≌△EFA(AAS)，∴BF＝EF.拓展培优训练1. 70° 【解析】如解图①，在BC 上取CD ＝AC ，连接BI 、DI ，∵CI 平分∠ACB，∴∠ACI＝∠BCI，在△ACI 与△DCI 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝CD ∠ACI＝∠DCI CI ＝CI，∴△ACI≌△DCI(SAS)，∴AI＝DI ，∠CAI＝∠CDI，∵BC＝AI ＋AC ，∴BD＝AI ，∴BD＝DI ，∴∠IBD＝∠BID，∴∠CDI＝∠IBD＋∠BID ＝2∠IBD，又∵AI、CI 分别是∠BAC、∠ACB 的平分线，∴BI 是∠ABC 的平分线，∴∠ABC ＝2∠IBD，∠BAC＝2∠CAI，∴∠CDI＝∠ABC，∴∠BAC＝2∠CAI＝2∠CDI＝2∠ABC，∵∠B ＝35°，∴∠BAC＝35°×2＝70°.【一题多解】如解图②，延长CA 到D ，使AD ＝AI ，∴∠D＝∠AID，∵BC＝AI ＋AC ，∴BC＝CD ，在△BCI 与△DCI 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ∠BCI＝∠DCI CI ＝CI，∴△BCI≌△DCI(SAS)，∴∠D＝∠CBI，∵AI、CI 分别是∠BAC、∠ACB 的平分线，∴BI 是∠ABC 的平分线，∴∠ABC＝2∠CBI，又∵∠CAI ＝∠D＋∠AID＝2∠D，∠BAC＝2∠CAI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝2×35°＝70°.。
陕西省2018年中考数学复习课件：第二编：陕西中考十年真题精讲第19题：几何证明(解答题).pptx
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陕西中考十年真题精讲第19题：几何证明（解答题）
5．（陕西省，2016年）如图，在□ABCD中， 连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延 长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE． 求证：AF∥CE．
《中考内参（数学）2018》配套课件
陕西中考十年真题精讲第19题：几何证明（解答题）
•早在人类文化发展的上古时期，文化的发展就不是一个模式，而是形成多个文化体系，呈现多样形态。此后，不同文化并不是孤立地、互不联系地发展，而是在相互交流、对话、学习、碰撞中前行，逐渐形成“你中有我、我中有你”的格局。而不同文明的接触，常常成为人类进步的里程碑： 希腊学习埃及，罗马学习希腊，阿拉伯学习罗马帝国，中世纪欧洲学习阿拉伯，文艺复兴时期的欧洲又学习东罗马帝国。欧洲文化的发展状况是这样，东亚也是如此：日本明治维新之前，日本学习借鉴中国；明治维新之后，中国通过日本学习世界。中国从印度引入佛教，之后中国佛教影响东 亚、东南亚大片区域。人类文化发展史表明，一种本土文化、民族文化或地域文化与外来文化进行交流互鉴时，只要坚持科学方法，保持自己文化的特性，就能不断吸收改造外来文化并使其成为自己的一部分。这种处于变化发展中的文化，其民族性往往更为鲜明突出，更符合民族文化发展的 需要。以中国绘画为例，“六朝以来，就大受印度美术的影响”。内容与形式发生较大人类文化发展史表明，一种本土文化、民族文化或地域文化与外来文化进行交流互鉴时，只要坚持科学方法，保持自己文化的特性，就能不断吸收改造外来文化并使其成为自己的一部分。这种处于变化发展 中的文化，其民族性往往更为鲜明突出，更符合民族文化发展的需要。以中国绘画为例，“六朝以来，就大受印度美术的影响”。内容与形式发生较大人类文化发展史表明，一种本土文化、民族文化或地域文化与外来文化进行交流互鉴时，只要坚持科学方法，保持自己文化的特性，就能不断
2020中考数学冲刺练习-第19讲 线段的最值问题--含解析
2020数学中考冲刺专项练习专题19线段的最值问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创】如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于一点（-2+ 2，0），对称轴为直线x=﹣2，抛物线上存在B、C两点，点B在对称轴左侧，点C在对称轴右侧，BC=6且平行于x轴。
（1）求此抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积.（3）点P在x轴负半轴上，且PA+PB的最小值为，求点P的坐标．直线CP将线段AB分成1：3两部分，试求点P的坐标。
【解答】解：（1）由题意得：x=﹣=﹣2，b=4a，c=2，又∵过点（-2+2，0），代入y=ax 2+4ax+2，解得a=1，故b=4则此抛物线的解析式为y=x 2+4x+2； （2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6， ∴B 横坐标为﹣5，C 横坐标为1， 把x=1代入抛物线解析式得：y=7，又∵点A 的坐标为（0，2），故点A 到BC 的距离为7-2=5， ∴△ABC 的面积=5×6÷2=15. （3）由（2）题可知B （﹣5，7），C （1，7）， 设直线PC 解析式为y=kx+b ，交AB 与点D ， 过点A 作AE//BC ，交PC 于点E ，① 当AD ：BD=1：3时，则有AE ：BC=1：3又∵BC=6，故AE=2，从而得到点E 的坐标为（-2，2） 则代入PC 解析式可得：722k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：53163k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线PC 解析式为y=53x+163，则可得点P 的坐标为（0，165-） ②当AD ：BD=3：1时，则有AE ：BC=3：1 同理可得到点E 的坐标为（-18，2） 则代入PC 解析式可得：7182k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：51912819k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线PC 解析式为y=519x+ 12819，则可得点P 的坐标为（0，1285-） 综上所述可得点P 的坐标为（0，165-）或（0，1285-）.【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】如图1，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P 、Q 、K 分别为线段B C 、CD 、BD 上的任意一点，求PK ＋QK 的最小值．图1【解析】如图2，点Q 关于直线BD 的对称点为Q ′，在△KPQ ′中，PK ＋QK 总是大于PQ ′的．如图3，当点K 落在PQ ′上时，PK ＋QK 的最小值为PQ ′．如图4，PQ ′的最小值为Q ′H ，Q ′H 就是菱形ABCD 的高，Q ′H＝3．这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．图2 图3 图4【例题2】如图1，已知A (0, 2)、B (6, 4)、E (a , 0)、F (a ＋1, 0)，求a 为何值时，四边形ABEF 周长最小？请说明理由．图1【解析】在四边形ABEF 中，AB 、EF 为定值，求AE ＋BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．如图2，将线段BF 向左平移两个单位，得到线段ME ．如图3，作点A 关于x 轴的对称点A ′，MA ′与x 轴的交点E ，满足AE ＋ME 最小． 由△A ′OE ∽△BHF ，得'OE HF OA HB =．解方程6(2)24a a -+=，得43a =．图2 图3【例题3】在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．【分析】（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题．（3）首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置（点P与点D′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．∵点A（﹣2，0）点B（0，2），∴OA=OB=2．∵点E，点F分别为OA，OB的中点，∴OE=OF=1∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．在Rt△AE′O中，AE′=．在Rt△BOF′中，BF′=．∴AE′，BF′的长都等于．（Ⅱ）当α=135°时，如图②．∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，∴∠AOE′=∠BOF′=135°．在△AOE′和△BOF′中，，∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，∴∠CPB=∠AOC=90°∴AE′⊥BF′．（Ⅲ）∵∠BPA=∠BOA=90°，∴点P、B、A、O四点共圆，∴当点P在劣弧OB上运动时，点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大．∵OE′=1，∴点E′在以点O为圆心，1为半径的圆O上运动，∴当AP与⊙O相切时，∠E′AO（即∠PAO）最大，此时∠AE′O=90°，点D′与点P重合，点P的纵坐标达到最大．过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图③所示．∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，∴∠E′AO=30°，AE′=．∴AP=+1．∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，∴PH=AP=．∴点P的纵坐标的最大值为．【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。
【2019-2020年度】中考数学 专题19 全等三角形试题(含解析)
【2019-2020年度】中考数学专题19 全等三角形试题（含解析）☞解读考点【2015年题组】1．（2015六盘水）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【答案】D．【解析】试题分析：A．可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D．SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选D．考点：全等三角形的判定．2．（2015贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE【答案】B．考点：全等三角形的判定与性质．3．（2015义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D．【解析】试题分析：在△ADC和△ABC中，∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ADC≌△ABC （SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选D．考点：全等三角形的应用．4．（2015泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】D．考点：1．全等三角形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的性质；4．综合题．5．（2015宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）12 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D．【解析】试题分析：在△ABD与△CBD中，∵AD=CD，AB=BC，DB=DB，∴△ABD≌△CBD （SSS），故③正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，∵AD=CD，∠ADB=∠CDB，OD=OD，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．新定义；3．阅读型．6．（2015宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C．考点：全等三角形的判定．7．（2015荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB 平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．综合题；4．压轴题．8．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH12其中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；2∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF，AE=EF，∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．9．（2015柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF= ．【答案】5．【解析】试题分析：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，则EF=5．故答案为：5．考点：全等三角形的性质．10．（2015盐城）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．【答案】DC=BC或∠DAC=∠BAC．考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．11．（2015贵港）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为．【答案】30°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．正方形的性质；4．综合题．12．（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．【答案】（400，800）．【解析】试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用．13．（2015福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是【答案】．1考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．角平分线的性质；4．等边三角形的判定与性质；5．等腰直角三角形；6．综合题．14．（2015鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．12【答案】4．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．综合题．15．（2015长春）如图，在平面直角坐标系中，点P 在函数（）的图象上．过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，取线段OB 的中点C ，连结PC 并延长交x 轴于点D ．则△APD 的面积为 ．6y x =0x >【答案】6．【解析】试题分析：∵PB⊥y 轴，PA⊥x 轴，∴=|k|=6，在△PBC 与△DOC 中，∵∠PBC=∠DOC=90°，BC=BC ，∠PCB=∠DCO，∴△PBC≌△DOC，∴S△APD=S 矩形APBO=6．故答案为：6．APBD S 矩形考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．全等三角形的判定与性质．16．（2015）如图，OP 平分∠MON，PE⊥OM 于E ，PF⊥ON 于F ，OA=OB ，则图中有 对全等三角形．【答案】3．考点：1．全等三角形的判定；2．角平分线的性质；3．综合题．17．（2015贺州）如图，在△ABC 中，AB=AC=15，点D 是BC 边上的一动点（不与B 、C 重合），∠ADE=∠B=∠α，DE 交AB 于点E ，且tan∠α=．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD 与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．34214245【答案】②③．若△BDE 为直角三角形，则有两种情况：（1）若∠BED=90°，∵∠BDE=∠CAD ，∠B=∠C ，∴△BDE ∽△CAD ，∴∠CDA=∠BED=90°，∴AD ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BD=BC=12；12（2）若∠BDE=90°，如图2，设BD=x ，则DC=24－x ，∵∠CAD=∠BDE=90°，∠B=∠C=∠α，∴cos ∠C=cosB=，∴，解得：，∴若△BDE 为直角三角形，则BD 为12或，故③正确；45154245AC DC x ==-214x =214设BE=x ，CD=y ，∵△BDE ∽△CAD ，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴0＜BE ≤，∴故④错误；BE CD BD CA =2415x y y =-21524x y y =-215144(12)x y =--15144x ≤485x ≤485故答案为：②③．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．18．（2015南宁）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，且AE=CF ，（1）求证：△ADE≌△CB F ；（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF 是矩形．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定．19．（2015崇左）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，AD=AE ．求证：BE=CD ．【答案】证明见试题解析．【解析】试题分析：根据两边及其夹角对应相等可以判断△ADE≌△AEB，再由全等三角形对应边相等可说明结论．证明：在△ADE和△AEB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ADE≌△AEB，∴BE=CD．考点：全等三角形的判定与性质．20．（2015来宾）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE、BF，（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证：DE∥BF．【答案】（1）△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；（2）证明见试题解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．21．（2015百色）如图，AB∥DE，AB=DE，BF=EC．（1）求证：AC∥DF；（2）若CF=1个单位长度，能由△ABC经过图形变换得到△DEF吗？若能，请你用轴对称、平移或旋转等描述你的图形变换过程；若不能，说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）能，△ABC先向右平移1个单位长度，再绕点C旋转180°即可得到△DEF．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．几何变换的类型；3．网格型．22．（2015常州）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）60°．【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得到∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，根据等边三角形的性质得到BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，即可证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，由SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；（2）根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA中，∵AB=DF，∠ABE=JIAO FDA，BE=AD，∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；（2）∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的性质．23．（2015乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）试题解析：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，∴∠DBC=∠BDF，∴BE=DE，在△DCE和△BFE中，∵∠BEF=∠DEC，∠F=∠C，BE=DE，∴△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，∴BC=，在Rt△BCD中，∵CD=2，∠EDC=30°，∴DE=2EC，∴，∴CE=，∴BE=BC﹣EC=．222-=EC EC CD(2)33考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．全等三角形的判定与性质；3．综合题．24．（2015潜江）已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．【答案】（1）①MN=BM+DN；②成立；（2）直角三角形．（2）如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得到DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°．先证明△AMN≌△AEN．得到MN=EN．由DN，DE，NE为直角三角形的三边，得到以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，∵AB=AD，∠ABM=∠ADP，BM=DP，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．在△ANM与△ANP中，∵AM=AP，∠MAN=∠PAN，AN=AN，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；（2）以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得：DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°．∵∠MAN135°，∴∠EAN360°∠MAN∠EAM =135°，∴∠EAN =∠MAN．在△AMN与△AEN中，∵AM=AE，∠MAN=∠EAN，AN=AN，∴△AMN≌△AEN．∴MN=EN．∵DN，DE，NE为直角三角形的三边，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．==--考点：1．几何变换综合题；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理的逆定理；4．和差倍分；5．探究型；6．综合题；7．压轴题．【2014年题组】1．（2014年贵州黔西南）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°【答案】C．考点：全等三角形的判定．2．（2014年湖南益阳）如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使△ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能是（ ）A ．AE=CFB ．BE=FDC ．BF=DED ．∠1=∠2【答案】A ．【解析】试题分析：根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别作出判断：A 、当AE=CF 时，构成的条件是SSA ，无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B 、当BE=FD 时，构成的条件是SAS ，可得△ABE≌△CDF，故此选项不符合题意；C 、当BF=ED 时，由等量减等量差相等得BE=FD ，构成的条件是SAS ，可得△ABE≌△CDF，故此选项不符合题意；D 、当∠1=∠2时，构成的条件是ASA ，可得△ABE≌△CDF，故此选项不符合题意．故选A ．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．3．（2014年江苏连云港）如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为、，则（ ）1S 2SA ．B ．C ．D ．1212S S =1272S S =12S S =1285S S = 【答案】C ．考点：1．全等三角形的判定和性质；2．等底等高三角形的性质．4．（2014年福建福州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 到点F ，使．.若AB=10，则EF 的长是_______ ．12CF BC =【答案】5．【解析】∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，AB=10，∴AD=5，AE=EC ，，∠AED=90°．12DE BC =∵，∴DE=FC ．12CF BC =在Rt△ADE 和Rt△EFC 中，∵AE=EC ，DE=FC ，∴Rt△ADE≌Rt△EFC （SAS ）．∴EF=AD=5．考点：1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定和性质．5．（2014年湖南长沙）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF= __________ ．【答案】6．考点：1．平行的性质；2．全等三角形的判定和性质．6．（2014年湖南常德）如图，已知△ABC 三个内角的平分线交于点O ，点D 在CA 的延长线上，且DC=BC ，AD=AO ，若∠BAC=80°，则∠BCA 的度数为______．【答案】60°．【解析】试题分析：∵△ABC 三个内角的平分线交于点O ，∴∠ACO=∠BCO．在△COD 和△COB 中，∵CD=CB，∠OCD=∠OCB，CO=CO ，∴△COD≌△COB （SAS ）．∴∠D=∠CBO．∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∠BAO=40°．∴∠DAO=140°．∵AD=AO，∴∠D=20°．∴∠CBO=20°．∴∠ABC=40°．∴∠BCA=60°．考点：1．角的平分线定义；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰三角形的性质．7、（2014年福建福州7分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【答案】证明见试题解析．考点：全等三角形的判定和性质．8．（2014年湖北宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD 平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．【答案】（1）30°；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质和角平分的性质进行解答．（2）由ASA证明△ACD≌△ECD来推知DA=DE．试题解析：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°．12（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，∴∠ECD=90°．∴∠ACD=∠ECD．在△ACD与△ECD中，∵AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS）．∴DA=DE．考点：1．直角三角形两锐角的关系；2．全等三角形的判定与性质．☞考点归纳归纳 1：全等三角形的性质基础知识归纳：全等三角形的对应边相等，对应角相等基本方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题注意问题归纳：利用全等三角形的性质时，关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．【例1】如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为．【答案】60°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．归纳 2：全等三角形的判定方法基础知识归纳：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．基本方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．注意问题归纳：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例2】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F【答案】C．考点：全等三角形的判定与性质．归纳 3：角平分线基础知识归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．基本方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．注意问题归纳：注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的性质和判定都是由三角形全等得到的．【例3】如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．【答案】证明见试题解析．考点：1．全等三角形的判定和性质；2．角平分线的性质．☞1年模拟1．（2015届中考二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（）A O B AOB'''∠=∠A ．（SAS ）B ．（SSS ）C ．（AAS ）D ．（ASA ）【答案】B ．【解析】试题分析：由题意可知，利用尺规作图法，可知OC=O ′C ′，OD=O ′D ′，CD=C ′D ′，根据全等三角形的判定定理（SSS ）可得△OCD ≌△O ′C ′D ′，得出．故选B ．A O B AOB '''∠=∠考点：1．全等三角形的判定；2．尺规作图．2．（2015届中考二模）如图，等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上的一点，当PA=CQ 时，连接PQ 交AC 于点D ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．PD=DQB ．DE=AC C ．AE=CQD ．PQ ⊥AB2121 【答案】D ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．平行线的性质．3．（2015届中考模拟）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE=m ，CD=n ．下列结论：（1）图中有三对相似而不全等的三角形；（2）m•n=2；（3）BD2+CE2=DE2；（4）△ABD≌△ACE；（5）DF=AE ．其中正确的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个【答案】A ．（5）当AF 与AB 重合时，AE=AF ，AB=AF ，得到DF ≠AF ，于是由AE 与DF 不一定相等；12212试题解析：（1）△ABE ∽△DAE ，△ABE ∽△DCA ，故（1）错误；（2）∵△ABE ∽△DCA ，∴，由题意可知CA=BA=， ∴，∴m=，∴mn=2；（1＜n ＜2）； 故（2）正确；BE BAAC CD =n =2n （3）证明：将△ACE 绕点A 顺时针旋转90°至△ABH 的位置，则CE=HB ，AE=AH ，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．连接HD ，在△EAD 和△HAD 中， ∵AE=AH ，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD ，AD=AD ， ∴△EAD ≌△HAD ，∴DH=DE ．又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°， ∴BD2+CE2=DH2， 即BD2+CE2=DE2； 故（3）正确；（4）若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，∴∠BAD≠∠CAE，∴△ABD与△ACE不一定全等，∴（4）错误；（5）当AF与AB重合时，AE=AF，AB=AF，∴DF≠AF，∴AE与DF不一定相等；∴（5）错误．故选A．121 2考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形．4．（2015届中考二模）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【答案】A．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．5．（2015届中考模拟二）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定【答案】A．考点：1．角平分线的性质；2．全等三角形的判定与性质．6．（2015届中考二模）如图，点A，B，D，E在同一直线上，AB=ED，AC∥EF，∠C=∠F．求证：AC=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：根据全等三角形的片对于性质，再由原子条件即可证明△ABC ≌△EDF （AAS ），推出AC=EF 即可．试题解析：证明：∵AC ∥EF ，∴∠A=∠E ．在△ABC 和△DEF 中，，∴△ABC ≌△EDF ．A E C F AB ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AC=EF ．考点：全等三角形的判定与性质．7．（2015届中考二模）如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，F 为AC 的中点，连接DF 并延长至E ，使得EF=DF ，连接AE 和EC ．（1）求证：四边形ADCE 为平行四边形；（2）如果DF=，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．2+（2）解：如图，过点F 作FG ⊥DC 与G ．∵四边形ADCE 为平行四边形，∴AE ∥CD ．∴∠FDG=∠AED=45°，在Rt △FDG 中，∠FGD=90°，∠FDG=45°，DF=，∵cos ∠FDG=，∴DG=GF===2．DG DFcos DF FDG ⋅∠cos45︒ 在Rt △FCG 中，∠FGC=90°，∠FCG=30°，GF=2，∵tan ∠FCG=，∴，FGGC 2tan tan30FG CG FCG ===∠︒∴DC=DG+GC=．2+考点：1．解直角三角形；2．平行四边形的判定与性质；3．全等三角形的判定与性质．8．（2015届中考二模）如图1，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，D 是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．（1）①依题意补全图形；②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案；（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；（3）（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°．又∵∠ADC=135°，∴∠ADC+∠CDE=180°，∴A、D、E三点在同一条直线上，∴AE=AD+DE．又∵∠ACB=90°，∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，∴DE=2CM，∴AE=BE+2CM．（3）点A到BP考点：1．作图—旋转变换；2．探究型；3．和差倍分；4．全等三角形的判定与性质．9．（2015届中考二模）如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC ，AB 于E ，F ，连接BE ，CF ，分别交DF ，DE 于点N ，M ，连接MN ．试判断△DMN 的形状，并说明理由．【答案】△DMN 为等边三角形，理由见解析．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．10．（2015届中考一模）如图，已知，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，E ，F 分别是CA ，CB 边的三等分点，将△ECF 绕点C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM ，BN ．（1）求证：AM=BN ；（2）当MA∥CN 时，试求旋转角α的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．13（2）∵MA∥CN，∴∠ACN=∠CAM，∵∠ACN+∠ACM=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∴∠AMC=90°，∴cos α=．13CM CE AC AC == 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．旋转的性质；3．锐角三角函数的定义．11．（2015届中考模拟）已知四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．当∠MBN 绕B 点旋转到AE=CF 时（如图1），易证AE+CF=EF ；当∠MBN 绕B 点旋转到AE≠CF 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【答案】证明见解析．∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=BE，CF=BF；121 2∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；121 2则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和△EBF中，BK BEKBF EBF BF BF⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．和差倍分；3．存在型；4．探究型；5．综合题．12．（2015届中考一模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．12【答案】（1）证明见解析，（2）四边形ABCD是矩形，理由见解析．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质；3．矩形的判定；4．探究型．13．（2015届九年级下学期4月中考模拟）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．【答案】（1）BD=DP成立．证明见解析；（2）BD=DP．证明见解析．∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF与△PDA中，，∴△BDF≌△PDA（ASA），∴BD=DP ．⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠4521DAP DFB DA DF（2）BD=DP ．证明如下：如答图3，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF ．在△BDF 与△PDA 中，，∴△BDF ≌△PDA （ASA ），∴BD=DP ．⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=︒=∠=∠PDA BDF DA DF PAD F 45考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．平行四边形的性质；4．探究型．14．（2015届初中毕业班综合测试）如图，在△ABC 与△ABD 中，BC 与AD 相交于点O ，∠1=∠2，CO=DO ．求证：∠C=∠D．【答案】证明见解析．考点：全等三角形的判定与性质．15．（2015届中考一模）已知：如图，在▱ABCD 中，线段EF 分别交AD ．AC ．BC 于点E 、O 、F ，EF⊥AC，AO=CO ．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是 （直接写出这个条件）．【答案】（1）证明见解析；（2）EF ⊥AC ．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．16．（2015届中考模拟二）如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF=EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．（1）求证：BE=2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：∵MN⊥EF，∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，∴∠ABN+∠E=90°，∵BF=EF，∴∠E=∠EBF，∴∠ABN+∠EBF=90°，又∵∠EBC=90°，∴∠CBF+∠EBF=90°，∴∠ABN=∠CBF，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，在△ABN和△CBF中∴△ABN≌△CBF（ASA），∴BF=BN，又由旋转可得EF=FG=BF，∴BN=FG，∵∠GFM=∠BME=90°，∴BN∥FG，∴四边形BFGN为菱形．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．。
专题19 二次函数与实际问题：销售问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题19 二次函数与实际问题：销售问题一、单选题1．某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x （单位：元）之间的函数关系式是（ ）A ．30010y x =-B ．()3006040y x =--C ．()()300106040y x x =+--D ．()()300106040y x x =--+【答案】D【分析】由每件涨价x 元，可得出销售每件的利润为（60﹣40+x ）元，每星期的销售量为（300﹣10x ），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【详解】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x 元，∵销售每件的利润为（60﹣40+x ）元，每星期的销售量为（300﹣10x ），∵每星期售出商品的利润y ＝（300﹣10x ）（60﹣40+x ）．故选：D ．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 与x 之间的函数关系式．二、解答题2．在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y （袋）与销售单价x （元）之间的函数关系式 ；每天所得销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式 ．（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）210500,1070010000y x w x x =-+=-+-； （2）30元或40元； （3）销售单价定位37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．【分析】（1）根据“若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋，当销售单价为x 元时，销售量为()2501025x --⎡⎤⎣⎦袋”，即可得出y 关于x 的函数关系式，然后再根据销售利润w （元）等于销售数量乘以每袋利润可得销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）代入w=2000，建立一元二次方程，解方程求出x 的值，由此即可得出结论；（3）根据题意先求解销售单价x 的范围，利用配方法将w 关于x 的函数关系式变形为：()210352250w x =--+，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）根据题意得，()250102510500y x x =--=-+； 则()()220105001070010000w x x x x =--+=-+-，故答案为：210500,1070010000.y x w x x =-+=-+-（2）∵w=2000，∵210700100002000x x -+-=，27012000,x x ∴-+=()()30400,x x ∴--=解得：1230,40,x x ==答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；（3）根据题意得，105001002017x x -+≥⎧⎨-≥⎩， ∵x 的取值范围为：3740x ≤≤，∵函数()22107001000010352250x x x w -+-=--+=， ∴ 对称轴为x=35，10a =-＜0,∴ 当3740x ≤≤，y 随x 的增大而减小，∵当x=37时，w 最大值=2210．答：销售单价定位每袋37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的解法，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握利用二次函数的性质求最值是解题的关键．3．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润为最大？【答案】（1）标价为200元，进价为155元；（2）10元【分析】（1）设工艺品每件的标价为x元，则根据题意可知进价为（x-45）元，按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等，列一元一次方程求解即可；（2）设每件应降价x元出售，每天获得的利润为y元，根据题意可得y和x的函数关系，利用函数的性质求解即可．【详解】解：（1）设工艺品每件的标价为x元，则进价为x－45 ，8[0.85x－（x－45）]＝12[x－35－（x－45）] ，整理得360－1.2x＝120，即1.2x＝240，解得x＝200，则每件进价为：200－45＝155（元）,∵改商品的每件标价为200元，进价为155元．（2）设利润为y，工艺品降价x元，则y＝（45－x）（100＋4x）＝－4x2＋80x＋4500＝－4（x－10）2＋4900，∵a＝－4＜0，函数有最大值，∵当降价10元，每天获得的利润最大，最大利润4900元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，吃透题意，确定变量，建立函数模型是解题的关键．4．某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y 万元．（销售利润=销售价﹣进货价）（1）求y 与x 的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；（2）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？（3）要使该汽车城平均每周的销售利润不低于48万元，那么销售价应定在哪个范围？【答案】（1）()404y x x =-+≤≤；（2）每辆汽车的定价为27.5万元时，利润最大，最大利润为50万元；（3）27万元至28万元【分析】（1）根据利润等于（29﹣进货价﹣降价）可得出y 关于x 的函数关系式，化简即可；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S 万元，根据平均每周的销售利润等于每辆汽车的销售利润乘以销售量，可得出S 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（3）当S=48时，可得关于x 的一元二次方程，求得方程的解，再根据二次函数的性质可得出符合题意的x 值，再由实际售价等于（29﹣x ）万元，可得出销售价的范围．【详解】（1）由题意得：2925y x =--，∵4y x =-+（04x ≤≤）；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S 万元，则()()0.5484S x x =÷⨯+-+282432x x =-++()28 1.550x =--+，∵ 1.5x =时，S 最大为50．∵29 1.527.5-=（万元），∵每辆汽车的定价为27.5万元时，利润最大，最大利润为50万元；（3）当S=48时，28243248x x -++=，解得：1212x x ==，，∵()28 1.550S x =--+，二次项系数为﹣8＜0，∵S 为开口向下的二次函数，∵对称轴为直线 1.5x =，∵当1 1.5x ≤≤时，S 随x 的增大而增大；当1.52x <≤时，S 随x 的增大而减小，∵当12x ≤≤时，48S ≥．∵实际售价等于（29x -）万元，∵272928x ≤-≤时，48S ≥．∵销售价格在27万元至28万元之间时（含27万、28万元）该汽车城平均每周的利润不低于48万元．【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元，平均每天可以多售出20箱．（1）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（2）每箱降价多少元超市每天获利最大？最大利润是多少？【答案】（1）2元或5元；（2）每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元【分析】（1）设每箱应降价x 元，列方程解答；（2）设每天获利W 元，由题意得到(12)(10020)W x x =-+，化为顶点式即可得到答案．【详解】解：（1）要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价x 元，依据题意列方程得，(12)(10020)1400x x -+=，整理得27100x x -+=，解得12x =，25x =；答：要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价2元或5元．（2）设每天获利W 元，则(12)(10020)W x x =-+，2201401200x x =-++，220( 3.5)1445x =--+，∴每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． 6．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（6x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【答案】（1）210210800=-+-y x x ；（2）每件文具售价为9元，最大利润为280元．【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，（2）由题意可知，利润不超过80%即：利润率＝（售价－进价）÷进价∵80%，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，问题可解．【详解】解：由题意（1）26(5)1005102108000.5x y x x x -⎛⎫=--⨯=-+- ⎪⎝⎭故y 与x 的函数关系式为：210210800=-+-y x x（2）∵每件文具利润不超过80% ∵50.85x -≤，得9x ≤ 结合题意得文具的销售单价x 的取值范围为69x ≤≤，由（1）得()22102108001010.5302.5y x x x =-+-=--+∵对称轴为10.5x =∵69x ≤≤在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大∵当9x =时，取得最大值，此时()210910.5302.5280y =-⨯-+=即每件文具售价为9元时，利润最大；最大利润为280元．【点睛】考查二次函数的应用．把实际问题转化为函数问题是关键，要注意自变量取值范围．7．某商店购进了一种小商品，每件进价为2元．经市场预测，销售定价为3元时，可售出200件；现为了减少库存，商店决定采取适当降价措施．经调查发现，销售定价每降低0.1元时，销售量将增多40件．（1）商店若希望获利224元，则应该降价多少元？（2）商店若要获得最大利润，应降价多少元？最大利润是多少？【答案】（1）降价0.3元；（2）降价0.25元，最大利润是225元【分析】（1）设每件小商品降价x 元，则可售出（200＋400x ）件，根据总利润＝每件的利润×销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（2）根据题意可以得到利润与降价之间的函数关系式，从而可以解答本题．【详解】（1）设每件小商品应该降价x 元，则可售出200+400.1x =（200+400x ）件， 依题意，得：（3﹣2﹣x ）（200+400x ）＝224，整理，得：2x 2﹣x +0.12＝0，解得：x 1＝0.3，x 2＝0.2，∵为了减少库存，∵x ＝0.3，答：商店若希望获利224元，则应该降价0.3元；（2）设每件应降价y 元，利润为w 元，w ＝（3﹣2﹣y ）（200+400y ）＝﹣400y 2+200y +200＝﹣400（y ﹣0.25）2+225，∵当y ＝0.25时，w 取得最大值，此时w ＝225，即商店若要获得最大利润，应降价0.25元，最大利润是225元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）确定w 与y 的函数关系式，配方可得最值．8．某超市购进一种商品，进货单价为每件10元在销售过程中超市按相关规定．销售单价不低于1元且不高于19元如果该商品的销售单价x （单位：元/件）与日销售量y （单位：件）满足一次函数关系240y x =-+，设该商品的日销售利润为w 元，那么当该商品的销售单价x （元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？【答案】当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元【分析】根据利润等于每件的利润乘以销售量，可列出w 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：根据题意得：w=（-2x+40）（x -10）=-2x 2+60x -400=-2（x -15）2+50，∵当x=15时，w 取得最大值，最大值为50．∵1＜15＜19，∵x=15符合题意．∵当该商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．某水果店批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售将减少20千克．（1）现要保证每天盈利5520元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）要使每天获利不少于6000元，求涨价x 的范围．【答案】（1）每千克水果应涨价2元；（2）510x ≤≤【分析】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据题意表示出每天的利润，然后利用每天的获利等于6000元，解出两个x 的值，然后根据二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：（10+x ）（500﹣20x ）＝5520，解得：x ＝2或x ＝13，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价2元；答：每千克水果应涨价2元．（2）根据题意得，每天的获利为()()21050020203005000w x x x x =+-=-++ 令6000w =，即22030050006000x x -++=，解得125,10x x ==，20a =-<，∵要使每天获利不少于6000元，涨价x 的范围为510x ≤≤，答：每千克水果涨价x 的范围是510x ≤≤．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，根据题意列出方程及二次函数是解题的关键．10．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5850元，求出a的值．【答案】（1）y()()22x180x20001x50120x1200050x90⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩＜；（2）该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）a的值为55﹣【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，分段列出函数关系式可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴，进而求解．【详解】（1）当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，综上所述：y()()22x180x20001x50120x1200050x90⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩＜；（2）当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+180x+2000，y＝﹣2（x﹣45）2+6050．∵a＝﹣2＜0，∵二次函数开口下，二次函数对称轴为x＝45，当x＝45时，y最大＝6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）根据题意得，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝﹣2x2+（180+4a）x+2000﹣400a，x+40≥80，则x≥40，即40≤x＜50，函数的对称轴x＝45+a，在40≤x＜50内（a＜5时），当x＝45+a时，函数取得最大值，即y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝（200﹣90﹣2a）（45+a+10﹣2a）＝2（55﹣a）（55﹣a）＝5850，即（55﹣a）＝=解得：a＝55﹣；故a的值为55﹣【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值，解答时求出函数的解析式是关键．11．一网店经营一种玩具，购进时的单价是30元．根据市场调查表明：当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该玩具的销售单价为x 元（40x >），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：（2）若该网店要获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元？（3）若该网店要完成不少于550件的销售任务，求网店销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）101000x -+，210130030000x x -+-；（2）销售单价x 应定为50元或80元；（3）最大利润为8250元．【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解即可；（2）由（1）可得210x 1300x 3000010000-+-=，然后求解即可；（3）由题意易得101000550x -+≥，然后可得4045x <≤，最后由二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：销售量()6001040101000y x x =--=-+；销售玩具获得利润()()23010100010130030000w x x x x =--+=-+-； 故答案为101000x -+，210130030000x x -+-；（2）由（1）及题意得：210x 1300x 3000010000-+-=，213040000x x -+=，解得：1250,80x x ==，∵40x >，∵1250,80x x ==；答：销售单价x 应定为50元或80元．（3）由题意得：101000550x -+≥，解得：45x ≤，∵40x >，∵4045x <≤，∵()2210130030000106512250w x x x =-+-=--+，∵100a =-<，对称轴为直线65x =，∵当4045x <≤时，w 随x 的增大而增大，∵当x=45时，w 有最大值，即为()2104565122508250w =-⨯-+=；答：销售该玩具所获最大利润为8250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，会根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键．12．进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气．商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包．若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务．（1）试确定周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式；（2）试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围；（3）当售价x（元/包）定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣5x+350；（2）w=﹣5x2+450x﹣7000（30≤x≤40）；（3）当售价x定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大，最大利润是3000元．【分析】（1）由题意直接写出y与x之间的函数关系式即可；（2）先由题意直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/包且商场每周完成不少于150包的销售任务列出方程组确定x的取值范围即可；（3）根据第（2）问中的函数解析式和x的取值范围运用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）由题意可得：y=200﹣（x﹣30）×5=﹣5x+350即周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：y=﹣5x+350；（2）由题意可得：w=（x﹣20）×（﹣5x+350）=﹣5x2+450x﹣7000且305350150x x ≥⎧⎨-+≥⎩ 解得：30≤x ≤40 即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元）与售价x （元/包）之间的函数关系式是：w =﹣5x 2+450x ﹣7000（30≤x ≤40）；（3）∵w =﹣5x 2+450x ﹣7000的二次项系数﹣5＜0，∵抛物线对称轴为x =﹣4502(5)⨯-=45， ∵30≤x ≤40，∵当x ＜45时，w 随x 的增大而增大，∵当x =40时，w 取得最大值，w =﹣5×402+450×40﹣7000=3000，即当售价x （元/包）定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元）最大，最大利润是3000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，明确题意、列出相应的函数解析式并确定自变量的取值范围是解答本题的关键．13．绿水青山，就是金山银山，为了保护环境，凉山州某公司生产了A 、B 两种型号的垃圾处理设备．已知生产4件甲设备和3件乙设备，共需成本62万元；生产3件甲设备和2件乙设备，共需成本44万元． （1）求生产每件甲、乙设备的成本分别是多少万元?（2）设甲设备的销售单价为x （单位：万元/件），该公司在销售过程中发现：甲设备的月销售量y （单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，x 、y 之间的部分数值对应关系如表：()1119x ≤≤请求出当1119x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲设备的月销售利润为w 万元，当甲设备的销售单价x （万元/件）定为多少时，月销售利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）生产每件甲、乙设备的成本分别是8万元，10万元；（2）当1119x ≤≤时，函数关系式为240y x =-+；（3）当甲设备的销售单价定为14（万元/件）时，月销售利润最大是72万元．【分析】（1）设甲、乙的成本分别为a ，b 万元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设一次函数解析式，再代入（11，18），（19，2）利用待定系数法求解即可；（3）利用（2）的结论，列出w 与x 之间的关系式，利用函数的性质求解即可．【详解】（1）设生产每件甲、乙设备的成本分别是a 万元、b 万元，由题意可得：43623244a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：810a b =⎧⎨=⎩答：生产每件甲、乙设备的成本分别是8万元，10万元．（2）设()0y kx b k =+≠， 把()11,18，()19,2代入得1811219k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：240k b =-⎧⎨=⎩ ∵当1119x ≤≤时，函数关系式为240y x =-+．（3）由题意得：()()8240w x x =--+256320x x =-+-()221472x =--+∵当14x =时，利润最大为72万元答：当甲设备的销售单价定为14（万元/件）时，月销售利润最大是72万元．【点睛】本题考查二元一次方程组，一次函数，二次函数的实际应用，能够准确根据题意列出方程或表达式是解题关键．14．新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销售量1y （盒）与售价x （元）之间的关系为14008y x =-；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒． （1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时甲乙两种口罩的销售利润总和为多少？ （3）当甲口罩的销售量不低于乙口罩的销售量的1415，若使两种口罩的总利润最高，求此时的定价为多少？ 【答案】（1）20元、30元；（2）45元，2125元；（3）36元．【分析】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x 元、y 元，由题意列方程组，求解即可．（2）设乙口罩的销售利润为w 元，由题意可列出关于x 的二次函数，将其改写成顶点式，即可知道乙口罩的售价及此时乙口罩的最大利润，继而求出甲口罩利润，即可求解．（3）根据题意可列出不等式，解得x 的取值范围，在得出两种口罩的利润总和关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可得其对称轴，即得到答案．【详解】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x 元、y 元，由题意得：4626054220x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：2030x y =⎧⎨=⎩， ∵甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元．（2）设乙口罩的销售利润为w 元，由题意得：()()30100540w x x =---⎡⎤⎣⎦254509000x x =-+-()25451125x =--+，∵当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元，当售价为45元时，1400840084540y x =-=-⨯=（盒）；∵甲口罩的销售利润为：()4520401000-⨯=（元）， ∵此时两种口罩的销售利润总和为：112510002125+=（元），∵当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元． （3）由题意得：()14400810054015x x -≥--⎡⎤⎣⎦， 解得：36x ≤，∵两种口罩的利润总和()()()240082054509000w x x x x =--+-+-213101017000x x =-+-，∵对称轴为：5053613x =>， ∵当36x =时，两种口罩的利润总和最高，∵若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元．【点睛】本题考查一次函数、二元一次方程组、二次函数及一元一次不等式在实际问题中的应用．根据题干理清它们的数量关系是解题的关键，综合性较强．15．某厂生产一种玩具，成本价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）存在一次函数关系10600 y x =-+．（1）销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？【答案】（1）34，6760元；（2）当销售单价定为30元时，才能获得最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出利润与销售单价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为多少；（2）根据（1）中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，可以得到当单价为30时，才能获得最大利润．【详解】解：（1）设该厂每天获得的利润为w 元，2810600106804800W x x x x210x346760=时，W有最大值6760元当x34因此，当销售单价定为34元时，该厂每天获得的利润最大，最大利润是6760元．（2）由（1）可知2W x10346760x=，∵函数图像开口向下，对称轴为34∵最高销售单价不得超过30元，∵当x＝30时，w取得最大值，此时2W，10303467606600因此，当销售单价定为30元时，才能获得最大利润是6600元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y (千克)与售价x (元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：(1)求y与x的函数关系式；(2)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w (元)最大?此时的最大利润为多少元?【答案】（1）y＝﹣x+150（0＜x≤90）；（2）85，4225．【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．（2）根据题意列出w 与x 的函数关系式，然后配方()221703000854225w x x x =-+-=--+即可求出【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），根据题意得 501006090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 1b 150=-⎧⎨=⎩． 故y 与x 的函数关系式为y ＝﹣x +150（0＜x ≤90）；（2）根据题意得()()()20+15020w y x x x =-=--()221703000854225w x x x =-+-=--+当=85x 时批发商获得的利润w (元)最大，最大利润4225w =【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，利用待定系数法求出一次函数的解析式与列出二次函数解析式，会配方变为顶点式．17．某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x 元（x 为正整数），每月的销量为y 箱．（1）写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）10010y x =+，1≤x ≤24，且x 为整数；（2）超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；（2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．【详解】解：（1）根据题意，得：y＝100+10x，由60﹣x≥36得x≤24，∵1≤x≤24，且x为整数；（2）设所获利润为W，则W＝（60﹣x﹣36）（10x+100）＝﹣10x2+140x+2400＝﹣10（x﹣7）2+2890，∵此二次函数的二次项系数小于0，∵函数开口向下，有最大值，∵当x＝7时，W取得最大值，最大值为2890，此时售价为60-7=53（元），答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．【点睛】本题主要考查二次函数应用，由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．18．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？。
中考数学复习考点知识专题训练19---因旋转产生的角度问题(提高篇)
中考数学复习考点知识专题训练19 因旋转产生的角度问题（提优篇）1．如图1，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）填空：∠BAN＝°；（2）如图1所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即回转至AM位置，射线BP绕点B 开始顺时针旋转至BQ便立即回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？（3）如图2，若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题（2），在射线AM到达AN 之前．若两射线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．2．（1）①如图1，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠ABE、∠BED、∠CDE之间的数量关系，并说明理由．②将图1中射线BA绕B逆时针方向旋转一定角度后，射线BA交射线DC于F，得到图2，形成四边形BFDE，探究四边形中∠B、∠E、∠D、∠BFD之间有何数量关系，并说明理由．（2）在图3中，AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点N，∠ABM=23∠ABN，∠CDM=23∠CDN，写出∠M与∠E之间数量关系，并说明理由．3．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图2，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转至原位置，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B 转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值．（2）如图1，若两灯同时转动，在灯A射线第一次转到AN之前，两灯射出的光线交于点C，若∠C＝70°，求∠BAC的度数．（3）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次转到BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光线互相平行？4．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC 交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．5．如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B 和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．6．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|+√b−1=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN ＝45°（1）求a，b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC 交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．7．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a＝27＝32•3b．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC＝．8．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+b2﹣2b+1＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN ＝45°．（1）则a＝，b＝；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是（请直接写出结论）．9．辽宁汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线白BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，假定这带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）请直接写出a＝，b＝．（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动秒，两灯的光束互相平行．（请直接写出答案）10．如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（∠AED＝30°的Rt△），将三角板ABC（∠ACB＝45°的Rt△）绕点A顺时针旋转一个大小为α的角（0°＜c≤45°），试问：（1）当α＝度时，能使图2中的AB∥DE；（2）当α＝度时，能使图3中的AB与AE重合；（3）当0°＜a≤45°时，连接BD（如图12﹣4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由．11．（1）如图1，若AB∥CD，将点P在AB、CD内部，∠B，∠D，∠P满足的数量关系是，并说明理由．（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，利用（1）中的结论（可以直接套用），求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（3）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（3）的“飞旋镖”，经测量发现∠P AC＝30°，∠PBC ＝35°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由．12．已知：如图，直线MN⊥PQ于点C，△ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°，斜边AB交直线PQ于点D，CE平分∠ACN，∠BDC的平分线交EC的延长线于点F，∠A＝36°．（1）如图1，当AB∥MN时，求∠F的度数．（2）如图2，当△ACB绕C点旋转一定的角度（即AB与MN不平行），其他条件不变，问∠F的度数是否发生改变？请说明理由．13．一副直角三角板叠放如图①，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC 绕顶点A顺时针旋转角α（α＝∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直．（1）如图②，α＝°时，BC⊥AE；（2）请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角α，并用符号表示出垂直的边．14．如图①，AB、CD是两条射线，P为夹在这两条射线之间的一点，连P A和PC，作∠P AB和∠PCD 的平分线相交于点Q．（1）旋转射线AB，使AB∥CD，并调整点P的位置，使∠APC＝180°，如图②，请直接写出∠Q的度数；（2）当AB∥CD时，再调整点P的位置如图③，猜想并证明∠Q与∠P有何等量关系；（3）如图④，若射线AB，CD交于一点R，其他条件不变，猜想∠P、∠Q和∠R这三个角之间满足什么样的等量关系？并证明你的结论．15．将一副直角三角尺（即直角三角形AOB和直角三角形COD）的直角顶点O的重合，其中，在△AOB中，∠A＝60°，∠B＝30°，∠AOB＝90°；在△COD中，∠C＝∠D＝45°，∠COD＝90°．（1）如图1，当OA在∠COD的外部，且∠AOC＝45°时，①试说明CO平分∠AOB；②试说明OA∥CD（要求书写过程）；（2）如图2，绕点O旋转直角三角尺AOB，使OA在∠COD的内部，且CD∥OB，试探索∠AOC ＝45°是否成立，并说明理由．16．将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45°和30°的两个角顶点重合在一起．（1）如图1所示，边OA与OC重合，此时，AB∥CD，则∠BOD＝；（2）三角板△COD的位置保持不动，将三角板△AOB绕点O顺时针方向旋转，如图2，此时OA ∥CD，求出∠BOD的大小；（3）在图2中，若将三角板△AOB绕点O按顺时针方向继续旋转，在转回到图1的过程中，还存在△AOB中的一边与CD平行的情况，请针对其中一种情况，画出图形，并直接写出∠BOD的大小．17．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠BOD的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．18．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．19．将一副三角板的直角重合放置，如图1所示，（1）图1中∠BEC的度数为（2）三角板△AOB的位置保持不动，将三角板△COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转：①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小；②若将三角板△COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由．20．取一副三角尺按图1拼接，固定三角尺ADC．（1）在图1中，连接BD，计算∠DBC+∠BDC＝；（2）将三角尺ABC绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC1，试问：①当α＝时，能使AB∥CD；②当α＝45°时，∠DBC1+∠CAC1+∠BDC＝；③当0°＜α≤45°时，如图2所示，连结BD，探寻∠DBC1+CAC1+∠BDC的值的大小变化情况，并给出你的证明．。
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中考数学第19题专题训练-概率
一选择题
1、在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 （ ）
2、一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同， ．
3、下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队．
②抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上．③任取两个正整数，其和大于1
④长为3cm ，5cm ，9cm 的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 ．
6小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好 ．
7，写有“中国”、“美国”、“英国”、“韩国”的四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片所对
应的国家为亚洲的概率是_________________
8，一个布袋中装有3个红球和4个白球，这些除颜色外其它都相同．从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 ．
9、从﹣1，0，，π，3中随机任取一数，取到无理数的概率是 ．
10.有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取
11小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
12掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别标有数字1～6，掷得朝上的一面的数字为奇数的概率是 13，甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，
记为m ，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n 。
若m 、n 满足1m n -≤，则称甲、乙两人“心
有灵犀”。
则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 .
三解答题
14、小明和小刚做纸牌游戏，如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是2和3，将两组牌背面朝上，洗匀后从每组牌中各抽取一张，称为一次游戏。
当两张牌的牌面数字之和为奇数，小明得2分，否则小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由
15、某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A，B两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励．某班决定采用游戏方式发放，其规则如下：将三张除了数字2，5，6不同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲获A名著；若牌面数字之和为奇数，则乙获得A名著，你认为此规则合理吗？为什么？
16、从甲、乙、丙、丁4名选手中随机抽取两名选手参加乒乓球比赛，请用画树状图或列表的方法
1个球，记下颜色后不放回，搅匀后再从中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求两次都
18、某中学举行“中国梦·我的梦”演讲比赛。
志远班的班长和学习委员都想去，于是老师制作了四张标有算式的卡片，背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学习委员在余下三张中抽一张。
如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面朝上洗匀后再抽。
这个游戏公平吗？请用树状图或列表的方法，结合概率予以说明。
19甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．
（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
20、如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张再摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用A，B，C，D表示）；
（2）求摸出的两张牌同为红色的概率．
21、有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能
打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；
（2）求一次打开锁的概率．
22为了调查七年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：min）分别为：60，55，75，•55，•55，43，65，40．（1）求这组数据的众数、中位数；
（2）求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过60min，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？。