2021年中考数学专项练习附答案

中考数学压轴题训练1. (2016青海)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为( )2. (2015资阳)如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C →D→O的路线匀速运动，设∠APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是( )3. 如图，正方形ABCD的顶点A(0，22)，B(22，0)，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t，(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分(阴影部分)的面积为S，则函数S与t的图象大致是( )4. (2016泰安)如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是( )5. 如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的点，且AE ＝BF＝CG＝DH.设小正方形EFGH的面积为y，AE＝x，则y关于x的函数图象大致是( )6. 如图，等边△ABC的边长为2 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→B→C的方向向点C移动，若△APQ的面积为S(cm2)，则下列最能反映S(cm2)与移动时间t(s)之间函数关系的大致图象是( )7. 如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点(点C不与点A，B重合)，AB＝4.设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )8. (2016鄂州)如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P 由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是( )9. (2014莆田)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD，设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是( )10. (2016钦州)如图，△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，tan ∠B ＝43.点D 是边BC 上的一个动点(点D 与点B 不重合)，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，点F 是AD 的中点，连接EF.设△AEF 的面积为y ，点D 从点B 沿BC 运动到点C 的过程中，D 与B 的距离为x ，则能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )11. 如图，两个等腰Rt △ABC 、Rt △DEF 的斜边都为4 2 cm ，点D 、M 分别是AB 、AC 边上的中点，DE 与AC(或BC)交于点P ，当点P 从点M 出发以1 cm/s 的速度沿M →C 运动至点C 后又立即沿C →B 运动至点B 结束．若运动时间为t(单位：s)，Rt △ABC 和Rt △DEF 重叠部分的面积为y(单位：cm 2)，则y 关于t 的图象大致是( )12. 如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，点P 、Q 同时从顶点A 出发，点P 沿A →B →C →D 方向以2 cm/s 的速度前进，点Q 沿A →D 方向以1 cm/s 的速度前进，当Q 到达点D 时，两个点随之停止运动．设运动时间为x s ，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积为y(单位：cm 2)，则y 与x 的函数图象大致是( )13. (2016天水)如图，边长为2的等边△ABC 和边长为1的等边△A ′B ′C ′，它们的边B ′C ′，BC 位于同一条直线l 上，开始时，点C ′与B 重合，△ABC 固定不动，然后把△A ′B ′C ′自左向右沿直线l 平移，移出△ABC 外(点B ′与C 重合)停止，设△A ′B ′C ′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是( )【答案】1．B 【解析】当点P在AD上时，△ABP的底边AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底边AB不变，高不变，所以△ABP 的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底边AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时，△ABP的底边AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底边AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而减小．故选B.2．B 【解析】当点P 在点O 处时，∠APB ＝∠AOB ＝90°，当点P 沿OC 运动到点C 时，∠APB ＝12∠AOB ＝45°；当点P 在CD ︵上运动时，∠APB ＝12∠AOB ＝45°；当点P 沿DO 运动到点O 时，∠APB 从45°增大到90°.结合选项可知B 选项符合．3．C 【解析】根据图形知道，当直线l ：x ＝t 在BD 的左侧时，S ＝t 2，当直线l ：x ＝t 在BD 右侧时，S ＝－(t －2)2＋1，结合选项，只有选项C 符合．4．C 【解析】∵∠APC 是△ABP 的外角，∴∠APC ＝∠PAB ＋∠B ，同理∠BDP ＝∠PAB＋∠APD ，又∵∠B ＝∠APD ，∴∠APC ＝∠BDP ，∵∠B ＝∠C ＝60°，∴△BDP ∽△CPA ，∴BP AC＝BD PC ，即x 4＝y 4－x ，整理得，y ＝－14x 2＋x ，故选C. 5．C 【解析】依题意，得y ＝S 正方形ABCD －S △AEH －S △BEF －S △CFG －S △DGH ＝1－4×12(1－x)x ＝2x 2－2x ＋1，即y ＝2x 2－2x ＋1(0≤x ≤1)，抛物线开口向上，对称轴为x ＝12，故选C. 6．C 【解析】当0≤t ≤2时，S ＝12·t ·sin60°·t ＝34t 2，此函数抛物线开口向上，且函数图象为抛物线右侧的一部分；当2＜t ≤4时，S ＝12×2·sin60°(4－t)＝－32t ＋23，此函数图象是直线的一部分，且S 随t 的增大而减小．所以符合题意的函数图象只有C.7．B 【解析】∵AB ＝4，AC ＝x ，∴BC ＝AB 2－AC 2＝16－x 2，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x 16－x 2，∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除A 、C ，∵AB 为定值，当OC ⊥AB 时，△ABC 面积最大，此时AC ＝22，即当x ＝22时，y 最大，故排除D ，选B.8．A 【解析】根据题意，当0＜t ≤4时，S ＝12×AP ×AD 2＝12×t ×42＝t ，面积S 随时间t 的增大而增大；当4＜t ≤6时，S ＝S 四边形ABMO －S ΔMOP ＝12×(2＋4)×2－12×(6－t)×2＝t ，因此S 始终是t 的正比例函数，故选A.9．C 【解析】∵∠ABE ＝45°，∠A ＝90°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE ＝AB ＝2，∴BE ＝2AB ＝22，∵BE ＝DE ，PD ＝x ，∴PE ＝DE －PD ＝22－x ，∵PQ ∥BD ，BE ＝DE ，∴QE ＝PE ＝22－x ，又∵△ABE 是等腰直角三角形，∴点Q 到AD 的距离为22(22－x)＝2－22x ，∴y ＝12x(2－22x)＝－24(x 2－22x ＋2)＋22＝－24(x －2)2＋22，结合选项，只有C 选项符合．10．B 【解析】∵BD ＝x ，DE ⊥AB ，tan ∠B ＝43，∴在Rt △BED 中，BE ＝35x ，DE ＝45x ，∵AB ＝6，∴AE ＝6－35x ，又∵点F 为AD 的中点，∴S △AEF ＝12S △ADE ＝12×12AE ·DE ，∴y ＝S △AEF ＝14×(6－35x)×45x ，化简得y ＝－325x 2＋65x(0＜x ≤8)，∴y 与x 的函数关系式为开口向下的二次函数，且自变量x 的取值范围为0＜x ≤8，结合题中给出的选项，只有选项B 符合． 11 C 【解析】如解图，连接DM ，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，记DF 与BC 相交于点N ，∵点D 、M 分别是AB ，AC 边的中点，∴DM ＝12BC ＝2 cm ，MC ＝12AC ＝2 cm ，∴DM ＝MC ，∴四边形DMCH 为正方形，∴DH ＝DM ，又∵∠NDH ＋∠HDP ＝90°，∠HDP ＋∠PDM ＝90°，∴∠NDH ＝∠PDM ，第11题解图∴△DNH ≌△DPM.①当点P 从点M 出发，沿M →C 运动时，即0≤t ＜2时，y ＝S △DNH ＋S 四边形DHCP ＝S △DPM ＋S 四边形DHCP ＝S 正方形DMCH ＝4 cm 2；②当点P 运动至点C 时，即t ＝2时，y ＝S △DBC ＝4 cm 2; ③当点P 从点C 出发沿C →B 运动至B 处时，即2＜t ≤6时，y ＝S △DBP ＝12×BP ·DH ＝12(6－t)×2＝6－t ，可知y 是t 的一次函数，故选C.12．A 【解析】当点P 在AB 上时，即0≤x ≤3时，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积＝12x ×3x ＝32x 2；当点P 在BC 上时，即3＜x ≤9时，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积＝12×3×33＋12(2x －6＋x －3)×33＝932x －93，y 随x 的增大而增大；当点P 在CD 上时，即9＜x ≤12时，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积＝12×33－12(12－x)(123－3x)＝－32x 2＋123x －36 3.综上，选项A 符合题意． 13．B 【解析】由题意知：在△A ′B ′C ′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0≤x ≤1时，重合部分边长为x ，此时y ＝12x ×32x ＝34x 2；当1＜x ≤2时，重合部分为△A ′B ′C ′，此时y ＝12×1×32＝34；当2＜x ≤3时，重合部分边长为3－x ，此时y ＝12(3－x)×32(3－x)＝34(3－x)2.由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线y ＝34的一部分，右边为开口向上的抛物线的一部分，且顶点为(3，0)，最高点为(2，34)，结合选项中的图象可知，选项B 符合．题型二 阴影部分面积计算针对演练1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是( )A. π6B. π3C. 1＋π6D. 1第1题图第2题图2. 如图，在半径为2 cm 的⊙O 中，点C 、点D 是AB ︵的三等分点，点E 是直径AB 的延长线上一点，连接CE 、DE ，则图中阴影部分的面积是( ) A. 3 cm 2 B. 2π3 cm 2 C. 2π3－ 3 cm 2 D. 2π3＋ 3 cm 2 3. 如图，正方形ABCD 的面积为12，点M 是AB 的中点，连接AC 、DM 、CM ，则图中阴影部分的面积是( )A. 6B. 4.8C. 4D. 3第3题图第4题图4. (2016桂林)如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA ，ED 长为半径画AF ︵和DF ︵，连接AD ，则图中阴影部分面积是( )A. πB. 54π C. 3＋π D. 8－π5. 如图，四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，过点O 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为________．第5题图第6题图6. (2015赤峰)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝4，AB ⊥AC ，O 是对角线的交点，若⊙O 过A 、C 两点，则图中阴影部分的面积之和为________．7. (2015武威)如图，半圆O 的直径AE ＝4，点B ，C ，D 均在半圆上，若AB ＝BC ，CD ＝DE ，连接OB ，OD ，则图中阴影部分的面积为________．第7题图第8题图8. 如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4 cm 2，则阴影部分的面积为________．9. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，点D 为AB 的中点，已知扇形EAD 和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC＝2，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)．第9题图第10题图10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是________．11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB 边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则图中阴影部分的面积为________．第11题图第12题图12. 如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，OB＝2OC＝2，以O为圆心，OB的长为半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为________．13. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是________．第13题图第14题图14. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE 相交于点Q，若S△APD＝16 cm2，S△BQC＝25 cm2，则图中阴影部分的面积为________cm2.15. 如图，正方形ABCD的边长为1，分别以点A、D为圆心，1为半径画弧BD、AC，两弧相交于点F，则图中阴影部分的面积为________．第15题图第16题图第17题图16. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE 所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是________．17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是________ cm2.【答案】1．B 【解析】在Rt △ABC 中，∵AC ＝BC ＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝2，∴S 阴影＝S 扇形DAB ＝30π×22360＝ π3.第2题解图2．B 【解析】如解图，连接OC 、OD 、CD ，∵点C 、点D 是AB ︵的三等分点，∴∠DOB ＝∠COD ＝60°，又∵CO ＝OD ，∴CO ＝OD ＝CD ，∴∠DOB ＝∠CDO ＝60°，∴CD ∥AB ，∴S △CED ＝S △COD ，∴S 阴影＝S 扇形COD ＝60π×22360＝2π3cm 2.3．C 【解析】如解图，设DM 与AC 交于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AM ∥CD ，AB ＝CD ，∴△AME ∽△CDE ，∵点M 是AB 的中点，∴AM CD ＝12，∴AE CE ＝EM DE ＝AM CD ＝12，∵S 正方形ABCD ＝12，∴S △ABC ＝12S 正方形ABCD ＝6，∴S △ACM ＝12S △ABC ＝3，∴S △AEM ＝13S △ACM ＝1，S △CEM ＝23S △ACM ＝2，∴S △AED ＝2S△AEM＝2，∴S 阴影＝S △CEM ＋S △AED ＝2＋2＝4，故选C.第3题解图第4题解图4．D 【解析】如解图，过点D 作DH ⊥AE 于点H ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝13，由旋转的性质可知，OF ＝OA ＝3，OE ＝OB ＝2，DE ＝EF ＝AB ＝13，∴AE＝OA ＋OE ＝5，易证△DHE ≌△BOA ，∴DH ＝OB ＝2，∴S阴影＝S △ADE ＋S △EOF ＋S扇形AOF－S扇形DEF＝12AE ·DH ＋12OE ·OF ＋90π×OA 2360－90π×DE 2360＝12×5×2＋12×2×3＋90×π×32360－90×π×（13）2360＝8－π.5．15 【解析】∵菱形的两条对角线的长分别为10和6，∴菱形的面积＝12×10×6＝30，∵点O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝12×30＝15.第6题解图6．4 【解析】如解图，设BD 与⊙O 交于点E 和F 两点．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵⊙O 过A ，C 两点，∴扇形AOE 与扇形FOC 关于点O 成中心对称，∴S 扇形AOE＝S 扇形FOC ，∴S 阴影＝S △AOB ＝12×12AC ·AB ＝12×12×4×4＝4.7．π 【解析】如解图，连接OC ，在半圆O 中，AB ＝BC ，CD ＝DE ，∴AB ︵＝BC ︵，CD ︵＝DE ︵，∴∠AOB ＝∠BOC ，∠COD ＝∠DOE ， ∴S 阴影＝S 扇形OAB ＋S 扇形ODE ＝12S扇形AOC ＋12S扇形COE ＝12S半圆AOE ＝12×π×222＝π，∴阴影部分的面积为π.第7题解图8．1 cm 2【解析】∵点E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝12S △ABD ，S △ACE ＝12S △ADC ，∴S △ABE ＋S △ACE ＝12S △ABC＝12×4＝2 cm 2，∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×4＝2 cm 2，∵点F 是CE 的中点，∴S △BEF ＝12S △BCE ＝12×2＝1 cm 2.9．2－π2 【解析】∵BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，∴AB ＝22，∵点D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ＝2，∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形EAD －S 扇形FBD ＝12×2×2－45π×（2）2360×2＝2－π2.10.32－π4 【解析】根据已知可得∠ABC ＝90°，∵在Rt △ABC 中，tan ∠CAB ＝13＝33，∠CAB ＝30°，∴∠BAB ′＝30°，∴S 阴影＝S △AB ′C ′－S 扇形BAB ′＝12AB ′·B ′C ′－30π·（3）2360＝12×3×1－π4＝32－π4. 11．18 3 【解析】∵MC ＝6，NC ＝23，∠C ＝90°，∴S △CMN ＝63，由折叠性质得△CMN ≌△DMN ，∴△CMN 与△DMN 对应高相等，∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB 且相似比为1∶2，∴两者的面积比为1∶4，从而得S △CMN ∶S 四边形MABN ＝1∶3，∴S 阴影＝S 四边形MABN ＝18 3.第12题解图12.2π3－ 3 【解析】设弧与AD 交于点E ，如解图，连接OE ，过点O 作OP ⊥AD 于点P ，由题意得，OB ＝OE ＝OD ，∴OD ＝2OC ＝2，∴∠ODC ＝30°，则∠ODE ＝60°，∴△ODE 为等边三角形，∴S △ODE ＝12×2×3＝3，则S 阴影＝S 扇形EOD －S △ODE ＝60×π×22360－3＝2π3－ 3.第13题解图13.2π3－ 3 【解析】如解图，连接BD ，设BE 交 AD 于点G ，BF 交CD 于点H ，∵在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，∴BD ＝BC ＝2，由题意知扇形圆心角为60°，∴∠DBG ＝∠CBH ，∠GDB ＝∠C ，∴△DGB ≌△CHB ，∴S 阴影＝S 扇形EBF － S △DBC ＝60×π×22360－12×2×3＝2π3－ 3.第14题解图14．41 【解析】如解图，连接EF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴S △EFC＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ，同理，S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ，∵S △APD ＝16 cm 2，S △BQC ＝25 cm 2，∴S 阴影＝S △EFP ＋S △EFQ ＝16＋25＝41 cm 2.15.32－π6【解析】如解图，过点F 作FE ⊥AD 于点E ，连接AF 、DF ，∵正方形ABCD的边长为1，∴AE ＝12AD ＝12AF ＝12，∴∠AFE ＝∠BAF ＝30°，∴∠FAE ＝60°，EF ＝32，∴△ADF 为等边三角形，∴∠ADF ＝60°，∴S 弓形AF ＝S 扇形ADF －S △ADF ＝60π×12360－12×1×32＝π6－34，∴S阴影＝2(S扇形BAF－S弓形AF)＝2×(30π×12360－π6＋34)＝32－π6.第15题解图16．22－2 【解析】如解图，设CD 与AB 1交于点O ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ＝BE ＝2，由折叠性质易得△ABB 1为等腰直角三角形，∴S △ABB1＝12BA ·AB 1＝2，S △AB1E ＝1，CB 1＝2BE －BC ＝22－2，∵AB ∥CD ，∴∠OCB 1＝∠B ＝45°，又∵∠B 1＝∠B ＝45°，∴CO ＝OB 1＝2－2，∴S △COB1＝12CO ·OB 1＝3－22，∴S重叠＝S △AB1E－S △COB1＝1－(3－22)＝22－2.第16题解图第17题解图17．32 【解析】如解图，连接BD ，EF ，设BF 与ED 相交于点G.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ＝6 cm ，AD ＝BC ＝8 cm ，∴S △ABD ＝S △BCD ＝12S 矩形ABCD ＝12×6×8＝24cm 2，∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴EF ∥BD ，EF ＝12BD ，∴△GEF ∽△GDB ，∴DG ＝2GE ，∵S △BDE ＝12S △BCD ，∴S △BDG ＝23S △BDE ＝13S △BCD ＝13×24＝8 cm 2，∴S 阴影＝S △ABD ＋S △BDG ＝24＋8＝32 cm 2.题型三 规律探索题类型一 数式规律针对演练1. (2016新疆)如图，下面每个图形中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x 的值为________．第1题图2. (2016绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫三角数，它有一定的规律．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…，第n 个三角数记为a n ，计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…，由此推算a 399＋a 400＝________．3. (2016济宁)按一定规律排列的一列数：12，1，1， ，911，1113，1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．4. (2016郴州)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字是________．5. (2016百色)观察下列各式的规律：(a －b)(a ＋b)＝a 2－b 2；(a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；(a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4；…；可得到(a －b)(a 2016＋a2015b ＋…＋ab2015＋b2016)＝________．6. 请观察下列等式的规律：11×3＝12(1－13)，13×5＝12(13－15)，15×7＝12(15－17)，17×9＝12(17－19)，…，则11×3＋13×5＋15×7＋…＋199×101＝________． 7. (2016滨州)观察下列式子： 1×3＋1＝22； 7×9＋1＝82； 25×27＋1＝262； 79×81＋1＝802； …可猜想第2016个式子为______________． 8. (2016黄石)观察下列等式：第1个等式： a 1＝11＋2＝2－1，第2个等式a 2＝12＋3＝3－2，第3个等式：a3＝13＋2＝2－3，第4个等式：a4＝12＋5＝5－2，按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第n个等式：a n＝__________________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n＝__________．9. (2011省卷20，9分)如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．(1)表中第8行的最后一个数是________，它是自然数________的平方，第8行共有________个数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是________，最后一个数是________，第n行共有________个数；(3)求第n行各数之和．【答案】1．370 【解析】观察可得，第n 个图形的数字为：当2n ＝20时，n ＝10，∴x ＝2n(2n －1)－n ＝20×(20－1)－10＝370.2．160000 【解析】由a 1＋a 2＝4＝22，a 3＋a 4＝6＋10＝16＝42，a 5＋a 6＝15＋21＝36＝62，…，依此类推可得a n ＋a n ＋1＝(n ＋1)2，∴a 399＋a 400＝4002＝160000.3．1 【解析】将原来的一列数变形为12，33，55，□，911，1113，1317，观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.4．1 【解析】从前几个3的幂来看，它的个位数依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数相同，于是3的整数次幂的个位数是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数与34的个位数相同，即为1.5．a2017－b2017【解析】由题可知，(a －b)(a ＋b)＝a 2－b 2，(a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，(a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，…，∴(a －b)(a n＋a n －1b ＋an －2b 2＋…＋a 2bn －2＋ab n －1＋b n)＝an ＋1－bn ＋1,∴当n ＝2016时，(a －b)(a2016＋a2015b ＋…＋ab 2015＋b 2016)＝a2017－b2017.6.50101 【解析】原式＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(199－1101)＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋199－1101)＝12(1－1101)＝50101. 7．(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2 【解析】第①个式子转化为：(31－2)×31＋1＝(31－1)2，第②个式子转化为： (32－2)×32＋1＝(32－1)2，第③个式子转化为： (33－2)×33＋1＝(33－1)2，第④个式子转化为： (34－2)×34＋1＝(34－1)2，…，由以上规律可得，第n 个式子为： (3n－2)×3n＋1＝(3n－1)2，当n ＝2016时，第2016个式子为：(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2.8．(1)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(2)n ＋1－1 【解析】(1)a 1＝11＋2＝2－1，a 2＝12＋3＝3－2，a 3＝13＋4＝4－3，…，a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋(5－4)＋…＋(n ＋1－n)＝n ＋1－1.9．解：(1)64，8，15；【解法提示】仔细观察第一行最后一个数是1＝12，且共有1个数；第二行最后一个数是4＝22，且共有3个数，第三行最后一个数是9＝32，且共有5个数，以此类推，可知第n 行最后一个数可以表示为n 2，且共有(2n －1)个数，所以第8行最后一个数是82＝64，共有2×8－1＝15个数；(2)n 2－2n ＋2，n 2，2n －1；【解法提示】由(1)中的分析得知第n 行的第一个数是(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，最后一个数是n 2，第n 行共有(2n －1)个数；(3)第n 行各数之和为：n 2－2n ＋2＋n 22×(2n －1)＝(n 2－n ＋1)(2n －1)．类型二图形规律针对演练一、图形累加规律探索1. (2016荆州)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案．若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )第1题图A. 671B. 672C. 673D. 6742. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为 ( )第2题图A. 21B. 24C. 27D. 303. (2016重庆B卷)观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )第3题图A. 43B. 45C. 51D. 534. (2015曲靖)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”，依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒________根．第4题图5. (2015深圳)观察下列图形，它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第五个图有________个太阳．第5题图6. (2016安顺)观察下列砌钢管的横截面图：第6题图则第n个图的钢管数是__________(用含n的式子表示)．【答案】1．B 【解析】对于每个图中的白色纸片的个数，依次是4，7＝4＋3，10＝4＋3×2，…，那么，第n 个图中的白色纸片的个数为4＋3×(n －1)＝3n ＋1，令3n ＋1＝2017，解得n ＝672.2．B 【解析】第①个图形有6个小圆圈，第②个图形有6＋3＝9个小圆圈，第③个图形有6＋3×2＝12个小圆圈，…，按照这个规律，第个图形有6＋3(n －1)＝3n ＋3个小圆圈，故第⑦个图形一共有3×7＋3＝24个小圆圈．3．C 【解析】图形①中星星的颗数为：2＝1＋(2×1－1)，图形②中星星的颗数为：6＝(1＋2)＋(2×2－1)，图形③中星星的颗数为：11＝(1＋2＋3)＋(2×3－1)，图形④中星星的颗数为：17＝(1＋2＋3＋4)＋(2×4－1)，…，图形中星星的颗数为：(1＋2＋…＋n)＋(2n －1)＝n （n ＋1）2＋2n －1，所以图形⑧中星星的颗数为：8×（8＋1）2＋2×8－1＝51.4．29 【解析】∴第9个“H ”所需的火柴棒的数量为3×9＋2＝29根．5．21 【解析】∵所有图形中，第一行太阳的个数分别为1，2，3，4，…，n ，∴第五个图形第一行太阳的个数为5，∵所有图形中，第二行太阳的个数分别为1，2，4，8，…，2n －1，∴第五个图形第二行太阳的个数为24＝16个太阳，∴第五个图形共有5＋16＝21个太阳．6.32n 2＋32n 【解析】由表可知，第n 个图的钢管数是3n （n ＋1）2＝32n 2＋32n.二、图形成倍递变规律探索1. (2016六盘水)如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4…，若∠A ＝70°，则∠A n 的度数为( )A. 70°2nB. 70°2n ＋1C. 70°2n －1D. 70°2n －2第1题图第2题图2. (2016内江)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2016B 2016C 2016D 2016的边长是( )A. (12)2015B. (12)2016C. (33)2016D. (33)20153. (2016南平)如图，已知直线l ：y ＝2x ，分别过x 轴上的点A 1(1，0)、A 2(2，0)、…、A n (n ，0)，作垂直于x 轴的直线交l 于点B 1、B 2、…、B n ，将△OA 1B 1、四边形A 1A 2B 2B 1、…、四边形A n －1A n B n B n －1的面积依次记为S 1、S 2、…、S n ，则S n ＝( )A. n 2B. 2n ＋1C. 2nD. 2n －1第3题图第4题图4. (2016威海)如图，点A 1的坐标为(1，0)，A 2在y 轴的正半轴上，且∠A 1A 2O ＝30°，过点A 2作A 2A 3⊥A 1A 2，垂足为A 2，交x 轴于点A 3；过点A 3作A 3A 4⊥A 2A 3，垂足为A 3，交y 轴于点A 4；过点A 4作A 4A 5⊥A 3A 4，垂足为A 4，交x 轴于点A 5；过点A 5作A 5A 6⊥A 4A 5，垂足为A 5，交y 轴于点A 6；…按此规律进行下去，则点A 2016的纵坐标为________．5. (2016钦州)如图，∠MON ＝60°，作边长为1的正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，边A 1B 1、F 1E 1分别在射线OM 、ON 上，边C 1D 1所在的直线分别交OM 、ON 于点A 2、F 2，以A 2F 2为边作正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，边C 2D 2所在的直线分别交OM 、ON 于点A 3，F 3，再以A 3F 3为边作正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3，…，依此规律，经第n 次作图后，点B n 到ON 的距离是________．第5题图【答案】1．C 【解析】在∵△ABA 1中，AB ＝A 1B ，∴∠A ＝∠BA 1A ，∵A 1A 2＝A 1B 1，∴∠B 1A 2A 1＝12∠BA 1A ，同理，∠B 2A 3A 2＝12∠B 1A 2A 1＝14∠BA 1A ，∴∠A n ＝12n －1∠BA 1A ＝70°2n －1.2．D 【解析】易得△B2C2E2∽△C1D1E1，∴B2C2C1D1＝B2E2C1E1＝C2E2D1E1＝C2E2B2E2＝tan30°，∴B2C2＝C1D1·tan30°＝33，∴C2D2＝33，同理，B3C3＝C2D2·tan30°＝(33)2，由此猜想B n C n＝(33)n－1，∴当n＝2016时，B2016C2016＝(33)2015，故选D.3．D 【解析】由题意可知，△OA1B1∽△OA2B2∽△OA3B3∽…∽△OA n B n且相似比为1∶2∶3∶…∶n，∴其面积比为1∶4∶9∶…∶n2，∴S1∶S2∶S3∶…∶S n＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，∵A1(1，0)，过点A1作垂直于x轴的直线交l：y＝2x于点B1，∴OA1＝1，A1B1＝2，∴S△OA1B1＝1，∴S n＝2n－1.4．－31007 3 【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，3)，∵A2A3⊥A1A2，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°，∴A3(－3，0)，同理，A4(0，－33)，A5(9，0)，A6(0，93)，A7(－27，0)，A8(0，－273)，…，即，A2(0，3)，A4(0，－33)，A6(0，93)，A8(0，－273)，列表如下：∴A n＝3×12(3)n--，∵2016÷2－1＝1007，∴A2016的纵坐标是-31007 3.5．3n－1 3 【解析】由题意可知，∠MON＝60°，设点B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可求，OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可得，OB n＝2×3n－1，则h n＝2×3n－1×32＝3n－13，∴点B n到ON的距离为3n－1 3.三、图形循环规律探索1. (2016河南)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图第2题图2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2016个梅花图案中，共有________个“”图案．3. 如图，正五边形五个顶点标有数字1、2、3、4、5，一只青蛙在五个顶点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点；若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳后落在标有数字1的顶点上，…，则第2017次跳后所停的顶点对应的数字为__________．第3题图4. (2016三明)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P60的坐标是________．第4题图第5题图5. (2016聊城)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．【答案】1．B 【解析】∵菱形OABC的顶点坐标为O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点D就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2．504 【解析】观察图形可知，“”图案方向依次向下、向左、向上、向右，每四个为一个循环周期．∵2016÷4＝504，∴前2016个梅花图案中，有504个“”图案．3．2 【解析】由5起跳，5是奇数，沿顺时针下一次能跳2个点，落在2上．由2起跳，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上，1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上．由3起跳，是奇数，沿顺时针跳两个点，落在5上.2－1－3－5－2，周期为4，∵又由2017＝4×504＋1，∴经过2017次跳后它停在的点所对应的数为2.4．(20，0) 【解析】将点P的横纵坐标分开来看，P n的横坐标始终在变化且逐渐增大，而P n的纵坐标变化呈周期变化，即1，1，0，－1，－1，0，所以每6个点P的纵坐标为一个循环，显然60÷6＝10，恰好能够整除，所以点P60的纵坐标为0，即在x轴上，显然P6，P12，P18，…，这些点的横坐标为：2，4，6，…，所以点P6k的纵坐标为2k，∴点P60的横坐标为20，∴点P60的坐标为(20，0)．5．(21008，0) 【解析】∵点B的位置依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x 轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴，…，每8次一循环，2016÷8＝252，∴点B2016落在x轴正半轴，故B2016的纵坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，∴OB2016＝(2)2016＝21008，∴点B2016的坐标为(21008，0)．题型四反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 如图，一次函数y＝kx＋1(k≠0)与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象有公共点A(1，2)，直线l⊥x轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B，C，连接AC.(1)求k和m的值；(2)求点B的坐标；(3)求△ABC的面积．第1题图2. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D. (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，写出x 的取值范围； (3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P ，使得S △ODP ＝ 2S △OCA ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4. (2016巴中10分)已知，如图，一次函数y ＝kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C.CD ⊥x 轴，垂足为D.若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求两函数图象的另一个交点坐标； (3)直接写出不等式：kx ＋b ≤nx的解集．第4题图5. 如图，点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．第5题图6. 如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝mx (x>0)的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC. (1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式； (2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围；(3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．第6题图7. 如图，直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点C(4，0)，与y 轴交于点B ，并与双曲线y ＝mx (x ＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式； (2)连接OA ，求∠OAB 的正弦值；(3)若点D 在x 轴的正半轴上，是否存在以点D 、C 、B 构成的三角形△OAB 相似？若存在求出D 点的坐标，若不存在，请说明理由．第7题图8. (2016金华8分)如图，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx (k ＞0)图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E. (1)求点A 的坐标； (2)若AE ＝AC. ①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．第8题图9. 如图，已知双曲线y ＝kx 经过点D(6，1)，点C 是双曲线第三象限上的动点，过点C 作CA⊥x 轴，过点D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC. (1)求k 的值；(2)若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； (3)判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．第9题图10. 如图，点B 为双曲线y ＝kx (x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y ＝x 于点A ，交x 轴于点D ，双曲线y ＝k x 与直线y ＝x 交于点C ，若OB 2－AB 2＝4.(1)求k 的值；(2)点B 的横坐标为4时，求△ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点P ，使△APC ∽△AOD ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第10题图【答案】1．解：(1)∵点A(1，2)是一次函数y ＝kx ＋1与反比例函数y ＝mx的公共点，∴k ＋1＝2，1m＝2，∴k ＝1，m ＝2；(2)∵直线l ⊥x 轴于点N(3，0)，且与一次函数的图象交于点B ，∴点B 的横坐标为3，将x ＝3代入y ＝x ＋1，得y ＝3＋1＝4， ∴点B 的坐标为(3，4)；(3)如解图，过点A 作AD ⊥直线l ，垂足为点D ， 由题意得，点C 的横坐标为3， ∵点C 在反比例函数图象上，∴y ＝2x ＝23， ∴C 点坐标为(3，23)，∴BC ＝BN －CN ＝4－23＝103，又∵AD ＝3－1＝2，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×103×2＝103.第1题解图2．解：(1)设A 点的坐标为(x ，y)，则OP ＝x ，PA ＝y ， ∵△OAP 的面积为1， ∴12xy ＝1， ∴xy ＝2，即k ＝2， ∴反比例函数的解析式为2y x； (2)存在，如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B ，交x 轴于点M ，此时MA ＋MB 最小，∵点B 的横坐标为2， ∴点B 的纵坐标为y ＝22＝1，即点B 的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A 点，∴22x x=， 解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)． ∴y ＝2，∴点A 的坐标为(1，2)，∴点A 关于x 轴的对称点A ′(1，－2)，设直线A ′B 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A ′(1，－2)，B(2，1)得，23,215k b k k b b +=-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得， ∴直线A ′B 的解析式为y ＝3x －5， 令y ＝0，得x ＝53，∴直线y ＝3x －5与x 轴的交点为(53，0)，即点M 的坐标为(53，0)．第2题解图3．解：(1)∵反比例函数y ＝2x图象上的点A 、B 的横坐标分别为1、－2，∴点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(－2，－1)， ∵点A(1，2)、B(－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴21,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；(2)由图象知，对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x ＜0；(3)存在．对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P(m ，n)， ∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n)＝2×12×1×1， ∴n ＝－2，∵点P(m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2m，∴m ＝－1，∴点P 的坐标为(－1，－2)． 4．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.∴A(3，0)，B(0，6)，D(－2，0)． 将点A(3，0)和B(0，6)代入y ＝kx ＋b 得，302,66k b k b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)． 将点C(－2，10)代入y ＝nx，得10＝2n -，解得n ＝－20，∴反比例函数的解析式为20y x=-；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩。