广东省广州市九年级(上)期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列标志，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.四边形ABCD是圆的内接四边形，若∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（）A. 70∘B. 90∘C. 110∘D. 120∘3.已知关于x的方程x2+ax-6=0的一个根是2，则a的值是（）A. −1B. 0C. 1D. 24.把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. y=−2x2+1B. y=−2x2−1C. y=−2(x+1)2D. y=−2(x−1)25.如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1=30°，则∠BAE=（）A. 10∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘6.在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（）人．A. 9B. 10C. 12D. 157.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B、过圆上点C作⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，若PA=4，则△PEF的周长是（）A. 4B. 8C. 10D. 128.关于抛物线y=-（x+1）2+2，下列说法错误的是（）A. 图象的开口向下B. 当x>−1时，y随x的增大而减少C. 图象的顶点坐标是(−1,2)D. 图象与y轴的交点坐标为(0,2)9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，CE=2AE，则下列结论中不成立的是（）A. △ABC∽△ADEB. DE//BCC. DE：BC=1：2D. S△ABC=9S△ADE10.已知x1，x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3x1x2=4，那么b的值为（）A. 5B. −5C. 4D. −4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.点A（-6，3）与A′关于原点对称，则点A′的坐标是______．12.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．13.已知圆锥的侧面积为16πcm2，圆锥的母线长8cm，则其底面半径为______cm．14.如图已知二次函数y1=x2+c与一次函数y2=x+c的图象如图所示，则当y1＜y2时x的取值范围______．15.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=12x2-2上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为______．16.二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，则t的取值范围是______．三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）17.解方程（1）x2+5x=0（2）x（x-2）=3x-618.已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（1）求证：△ABC∽△DAE；（2）若AB=8，AD=，6，AE=3，求BC的长．19.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB2C2；直接写出点C2的坐标为______；（3）求在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C所经过的路径长．20.已知抛物线的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点是点A（-3，0），且经过点B（-2，6）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点（-12，y1）与点（2，y2）都在该抛物线上，直接写出y1与y2的大小关系．21.某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米．（1）设图中AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD的长为______米（请用含x的代数式表示）；（2）若整个鸡场的总面积为y米2，求y的最大值．22.如图，已知：AB为⊙O直径，PQ与⊙O交于点C，AD⊥PQ于点D，且AC为∠DAB的平分线，BE⊥PQ于点E．（1）求证：PQ与⊙O相切；（2）求证：点C是DE的中点．23.已知：如图，BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一个动点，△OBC的周长为16．过C作CD∥AB交⊙O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQ∥AB交于Q，设∠A的度数为α．（1）如图1，求∠COB的度数（用含α的式子表示）；（2）如图2，若∠ABC=90°时，AB=8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；（3）如图1，当PQ=2，求AB⋅CDAB+CD的值．24.如图，AB为⊙O的直径，且AB=m（m为常数），点C为AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则DA+DBDC=______；（2）①当点D在AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当PDAC=9220时，求DEOA的值．25.如图，抛物线y=a（x-m-1）2+2m（其中m＞0）与其对称轴l相交于点P．与y轴相交于点A（0，m）连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C落在抛物线上，设点C、B的对应点分别是点B′和C′．（1）当m=1时，该抛物线的解析式为：______．（2）求证：∠BCA=∠CAO；（3）试问：BB′+BC-BC′是否存在最小值？若存在，求此时实数m的值，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：∵四边ABCD是圆的内接四边形，∠ABC=70°，∴∠ADC=180°-70°=110°．故选：C．直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：将x=2代入x2+ax-6=0，得22+2a-6=0．解得a=1．故选：C．一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．利用方程解的定义将x=2代入方程式即可求解．本题考查的是一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．4.【答案】A【解析】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是：y=-2x2+1．故选：A．根据“上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据题意可知旋转角∠CAE=40°，所以∠BAE=30°+40°=70°．故选：D．先找到旋转角，根据∠BAE=∠1+∠CAE进行计算．本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．6.【答案】B【解析】解：设参加此次活动的人数有x人，由题意得：x（x-1）=90，解得：x1=10，x2=-9（不合题意，舍去）．即参加此次活动的人数是10人．故选：B．每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数-1）=90，把相关数值代入计算即可．本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=4，∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=8．故选：B．由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长=PA+PB．8.【答案】D【解析】解：A．y=-（x+1）2+2，∵a=-1＜0，∴图象的开口向下，故本选项正确，不符合题意；B．∵y=-（x+1）2+2，∴开口向下，对称轴为x=-1，∴当x＞-1时，y随x的增大而减少，故本选项正确，不符合题意；C．顶点坐标为（-1，2），故本选项正确，不符合题意；D．∵当x=0时，y=1，∴图象与y轴的交点坐标为（0，1），故本选项错误，符合题意；故选：D．利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案．本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】C【解析】解：∵BD=2AD，CE=2AE，∴，∴DE∥BC，故B正确；∴△ABC∽△ADE，故A正确；∴，故C错误；∴S△ABC=9S△ADE，故D正确；故选：C．由已知条件易证DE∥BC，则△ABC∽△ADE，再由相似三角形的性质即可得到问题的选项．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明DE∥BC是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，∴x1+x2=-b，x1x2=-3，∵x1+x2-3x1x2=4，∴-b+9=4，解得：b=5，故选：A．由韦达定理得出x1+x2=-b，x1x2=-3，将其代入x1+x2-3x1x2=4列出关于b的方程，解之可得答案．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c均为常数且a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．11.【答案】（6，-3）【解析】解：点A（-6，3）与A′关于原点对称，则点A′的坐标是（6，-3），故答案为：（6，-3）．根据关于原点的对称点，横坐标、纵坐标都互为相反数，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．12.【答案】m＜1【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-2，c=m∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，解得m＜1．若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13.【答案】2【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得×2π×r×8=16π，解得r=2，所以圆锥的底面圆的半径为2cm．故答案为2．圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到×2π×r×8=16π，解得r=2，然后解关于r的方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.【答案】0＜x＜1【解析】解：由题意可得：x2+c=x+c，解得：x1=0，x2=1，则当y1＜y2时x的取值范围：0＜x＜1．首先将两函数解析式联立得出其交点横坐标，进而得出当y1＜y2时x的取值范围．此题主要考查了二次函数与不等式（组），正确得出两函数的交点横坐标是解题关键．15.【答案】（22，2）或（-22，2）或（0，-2）【解析】解：∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=x2-2上运动，∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，∴PA=2，∴|x2-2|=2即x2-2=2，或x2-2=-2，解得x=±2，或x=0，∴P点的坐标为：（2，2）或（-2，2）或（0，-2）．故答案为：（2，2）或（-2，2）或（0，-2）．根据⊙P的半径为2，以及⊙P与x轴相切，即可得出y=±2，求出x的值即可得出答案．此题主要考查了图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得出y=2，求出x 的值是解决问题的关键．16.【答案】-5≤t≤4【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，解得m=4，∴抛物线解析式为y=-x2+4x，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x=1时，y=-x2+4x=-1+4=3；当x=5时，y=-x2+4x=-25+20=-5，当直线y=t与抛物线y=-x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，-5≤t≤4，如图．所以关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，t 的取值范围为-5≤t≤4．故答案为-5≤t≤4．先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y=-x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y=t与抛物线y=-x2+4x 在1≤x≤5时有公共点时t的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了数形结合的思想．17.【答案】解：（1）x（x+5）=0，x=0或x+5=0，所以x1=0，x2=-5；（2）x（x-2）-3（x-2）=0，（x-2）（x-3）=0，x-2=0或x-3=0，所以x1=2，x2=3．【解析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先变形得到x（x-2）-3（x-2）=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.【答案】（1）证明：∵DE∥AB，∴∠EDA=∠CAB，∵∠B=∠EAD，∴△ABC∽△DAE，（2）解：∵△ABC∽△DAE，∴ABDA=BCAE，∴86=BC3，∴BC=4．【解析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似即可判断．（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】（-2，2）【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△AB2C2即为所求，其中点C2的坐标为（-2，2），故答案为：（-2，2）．（3）∵∠CAC2=90°，AC==，∴点C所经过的路径长为=π．（1）由中心对称的定义和性质作图变换后的对应点，再顺次连接即可得；（2）由旋转变换的定义和性质作图变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）利用弧长公式计算可得．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20.【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点是点A（-3，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），（2）∵点（-12，y1）到直线x=-1的距离比点（2，y2）到直线x=-1的距离要小，而抛物线的开口向下，∴y1＞y2．【解析】（1）先利用对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为（1，0），则可设交点式为y=a（x+3）（x-1），然后把B点坐标代入求出a即可；（2）根据二次函数的性质，通过比较点（-，y1）和点（2，y2）到直线x=-1的距离大小确定y1与y2的大小关系．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．21.【答案】24-2x【解析】解：（1）由题意得，AD=23+1-2x=24-2x，故答案为：24-2x；（2）根据题意得，y=x（24-2x）=-2x2+24x=-2（x-6）2+72，∴y的最大值为72米2．（1）根据题意列代数式即可得到结论；（2）根据题意列出函数关系式，然后，根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】证明：（1）连接OC，∵AC平分∠DAB∴∠OAC=∠OCA∴∠DAC=∠ACO∴AD∥OC，且AD⊥PQ∴OC⊥PQ，且OC为半径∴PQ与⊙O相切（2）∵OC⊥PQ，AD⊥PQ，BE⊥PQ∴OC∥AD∥BE∴DCCE=OAOB=1∴DC=CE∴点C是DE的中点．【解析】（1）连接OC，由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAC=∠ACO，可得AD∥OC，由平行线的性质可得OC⊥PQ，可得结论；（2）由平行线分线段成比例可得DC=CE，即点C是DE的中点．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练运用切线的判定和性质是本题的关键．23.【答案】解：（1）∵∠A的度数为α，∴∠COB=2∠A=2α，（2）当∠ABC=90°时，AC为⊙O的直径，∵CD∥AB，∴∠DCB=180°-90°=90，∴BD为⊙O的直径，∴P与圆心O重合，∵PQ∥AB交于Q，∴OQ⊥BC，∴CQ=BQ，∵AB=8，∴OQ=12AB=4，设⊙O的半径为r，∵△OBC的周长为16，∴CQ=8-r，∴（8-r）2+42=r2，解得r=5，CB=6，∴阴影部分面积=2απ×52360−12×6×4=5πα36−12；（3）∵CD∥AB∥PQ，∴△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，∴PQAB=CQCB，PQCD=BQCB，∴PQAB+PQCD=CQCB+BQCB=CBCB=1，∵PQ=2，∴2AB+2CD=1，（1）根据圆周角定理可得∠COB=2∠A=2α；（2）当∠ABC=90°时，可得点P与圆心O重合，根据△OBC的周长为16以及AB=8，可求得⊙O的半径为5，可得出扇形COB的面积以及△OBC的面积，进而得出阴影部分面积；（3）由CD∥AB∥PQ，可得△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，即，两式子相加可得，即可得出的值．本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，弓形你的计算．构造相似三角形得出PQ，AB，CD之间的关系是解决（3）问的关键．24.【答案】2【解析】解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵C为的中点，∴，∴∠ADC=∠BDC=45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=90°，∴∠DAE=∠DBE=45°，∴AE=BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC=AB，在等腰直角三角形DAB中，DA=DB=AB，∴DA+DB=AB=CD，∴=；（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知，∴AC=BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠BNC=∠CMA=90°，∴∠NBC+∠BCN=90°，∠BCN+∠MCA=90°，∴∠NBC=∠MCA，在△NBC和△MCA中，，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN=AM，由（1）知∠DAE=∠DBE=45°，AM=DA，DN=DB，∴DC=DN+NC=DB+DA=（DB+DA），即DA+DB=DC；②在Rt△DAB中，DA2+DB2=AB2=m2，∵（DA+DB）2=DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB=DC=t，∴（t）2=m2+2DA•DB，∴DA•DB=t2-m2，∴△ADB的面积S与t的函数关系式S=t2-m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则NE=ME，四边形DHEG为正方形，由（1）知，∴AC=BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB=AC，∵，设PD=9，则AC=20，AB=20，∵∠DBA=∠DBA，∠PAB=∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴，∴，∴DB=16，∴AD==12，设NE=ME=x，∵S△ABD=AD•BD=AD•NE+BD•ME，∴×12×16=×12•x+×16•x，∴x=，∴DE=HE=x=，又∵AO=AB=10，∴=×=．即可求出结果；（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN 两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；②通过完全平方公式（DA+DB）2=DA2+DB2+2DA•DB的变形及将已知条件AB=m代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．25.【答案】y=-14x2+x+1【解析】解：（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m=a（-m-1）2+2m，解得：a=-，则二次函数的表达式为：y=-（x-m-1）2+2m…①，则点P的坐标为（m+1，2m），点A的坐标为（0，m），把m=1代入①式，整理得：y=-x2+x+1，故：答案为：y=-x2+x+1；（2）把点P、A的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：，解得：，则直线PA的表达式为：y=x+m，令y=0，解得：x=-m-1，即点B坐标为（-m-1，0），同理直线OP的表达式为：y=x…②，该方程的常数项为：a（m+1）2+2m，由韦达定理得：x1x2=x C•x P===-（m+1）2，其中x P=m+1，则x C=-m-1=x B，∴BC∥y轴，∴∠BCA=∠CAO；（3）如图当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC-BC′存在最小值，设：直线l与x轴的交点为D点，连接BB′、CC′，∵点C关于l的对称点为C′，∴CC′⊥l，而OD⊥l，∴CC′∥OD，∴∠POD=∠PCC′，∵∠PB′C′+∠PB′B=180°，△PB′C′由△PBC旋转而得，∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′，∴∠PBC+∠PB′B=180°，∵BC∥AO，∴∠ABC+∠BAO=180°，∴∠PB′B=∠BAO，∵PB=PB′，PC=PC′，∴∠PB′B=∠PBB′=，∴∠PCC′=∠PC′C=，∴∠PB′B=∠PCC′，∴∠BAO=∠PCC′，而∠POD=∠PCC′，∴∠BAO=∠POD，而∠POD=∠BAO=90°，∴△BAO∽△POD，∴=，将BO=m+1，PD=2m，AO=m，OD=m+1代入上式并解得：m=1+（负值已舍去）．（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m=a（-m-1）2+2m，解得：a=-，把m=1代入上式，即可求解；（2）求出点B、C的坐标，即可求解；（3）当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC-BC′存在最小值，证△BAO∽△POD，即可求解．本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到三角形相似、韦达定理的运用，其中用韦达定理求解数据是本题的难点．。