人教版八年级下册数学《二次根式的复习》课堂教学实录
二次根式复习教案人教版
（1）请学生完成教材第24章“二次根式的应用”中的相关习题。
（2）请学生完成教辅资料《初中数学竞赛教程》中关于二次根式的习题及解析。
（3）请学生结合《数学报》中与二次根式相关的论文和案例，深入研究二次根式的性质和应用。
（4）请学生撰写一篇关于二次根式的文章或报告，分享自己的学习心得和感悟。
每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。
5.课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对二次根式的认识和理解。
过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。
其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
（1）二次根式的平方等于它的被开方数。
（2）二次根式的乘积等于它们的被开方数的乘积。
（3）二次根式的商等于它们的被开方数的商。
答案：
（1）错误。二次根式的平方等于它的被开方数的平方。
（2）正确。二次根式的乘积等于它们的被开方数的乘积。
（3）错误。二次根式的商等于它们的被开方数的商，当且仅当被开方数不为零时。
（1）PPT：制作精美的PPT，展示二次根式的性质、运算方法和实际应用，帮助学生直观地理解知识。
（2）视频：播放一些与二次根式相关的教学视频，让学生从不同角度了解和掌握知识。
（3）在线工具：利用在线计算器、数学软件等工具，让学生进行二次根式的运算练习，提高运算速度和准确性。
（4）实际案例：收集一些与生活相关的二次根式实际问题，让学生更好地理解知识在实际中的应用。
二次根式复习教案人教版
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
二次根式的复习教案
第16章 二次根式的复习一、教学内容与学情分析1.本课在教材、新课标中的地位与作用本课内容是二次根式章节的复习课，是学生在学完新人教版八年级教材下册所有内容的一个总结复习。
二次根式是初中数学知识体系与结构中一个不可或缺的部分，是中考直接考查的一个重点内容。
本课复习内容的教学将让学习更为系统地认识二次根式，并在学习新知的基础上得到一个升华。
2.在学生已有的知识基础上，本节课的教学其实更主要的是经历回顾、理解、巩固的过程。
本节教学内容的新知并不是真正的“新的知识点、新的知识技能、新的知识能力”，而是一种对已学知识的一种重新加工处理的能力，从已学的 知识上提炼出更精粹的东西来。
这也正是学生在这方面的缺憾，需要教师的有效引导与分析。
这更是学生的主要难点。
二．教学目标【知识与技能】(1)二次根式的性质;(2)二次根式的计算与化简;【过程方法】经历例题的讲解让学生理解和掌握二次根式的性质和计算，从此提高学生的计算正确率【情感态度与价值观】通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质.一．教学重难点教学重点：二次根式的化简和计算教学难点：二次根式的性质，特别突破()2b a -二．教学用具PPT三．教学过程例题讲解例1（1） 3131232-+； （2）()()()1313132-+--． 先引导学生观察是否是最简二次根式，不是最简二次根式要先化简，然后找同类二次根式，最后合并同类二次根式练习1 计算：（1）33162421-+⨯； （2）()()()2525252-+++（3）821212+- （4）226-3628+⨯练习2 当1313-=+=y x ，时，求代数式xy y x +-22的值重点强调格式的书写1.一般地，形如________(a ≥0)的式子叫做二次根式.注意：判断二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即a ≥0.练习1 （1）要使()2b a -在实数范围内有意义，x 的值可以是( ).A.4B.2C.0D.1-（2）若12-m 有意义，则m 的取值范围是 .【补充习题】1. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．62. 正方形的边长是a ，它的面积与长为4，宽为3的矩形面积相等.则a = .3. 若1728+<-<n n ，n 为正整数，则n 的值为 .4. 已知113-=x ，则代数式222++x x 的值为 .5. 已知n 为正整数，若n 12为正整数，则n 的最小值为 .【课堂小测】： 1.计算：_____)2(2=- ； ()_______52=； 612÷=____________.2.若实数a ,b 满足042=-++b a ，则b a =____________. 3.若()x x -=-552，则x 的取值范围是_____________.4. 已知101=+a a ，则aa 1-=___________. 5. 计算： （1）483316122+-； （2）()32748÷- 6. 先化简再求值：当a =9时，求221a a a +-+的值.甲、乙两人的解答如下：甲：原式=()1112=-+=-+a a a a 乙：原式=()1712112=-=-+=-+a a a a a .其中， 的解答是错误的，错误的原因是 课堂小结：()2222yxy x y x ++=+()()22y x y x y x -=-+。
人教版八年级数学下册16二次根式复习课教案（新版）新人教版
人教版八年级数学下册16二次根式复习课教案（新版）新人教版二次根式教学内容人教版八年级下册（课题）二次根式复习课教学目标（一）知识与技能：1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
(二)数学思考：理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
（三）问题解决：了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
（四）情感态度：激情投入，体验学习的快乐。
教学重点：二次根式的计算和化简。
教学难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
教具准备：教学时数：1教学过程：第 1 课时1．若a ＞0，a 的平方根可表示为___________ a 的算术平方根可表示________ 2．当a ______时，12a -有意义，当a ______时，35a +没有意义。
3．2(3)________π-=2(32)______-=4．________1872_______;4814=÷=?5．_______20125_______;2712=-=+1、式子5454--=--x x x x 成立的条件是什么? 2、计算：(1) 25341122÷? (2)321259x y3．(1) 253375-- (2) 2(3223)--在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1）22()(0)()(0)a a a a a a =≥=≥与（2）??<-=>==00002a a a a a a a （3）(0,0)(0,0)ab ab a b ab a b a b ?=≥≥=?≥≥与（4）(0,0)(0,0)a a a aa b a b b b b b=≥>=≥>与（5）22222()2()()a b a ab b a b a b a b ±=±++-=-与A 组 1、选择题：（1）化简()25-的结果是（） A 5 B -5 C 士5 D 25（2）代数式24-+x x 中，x 的取值范围是（）A 4-≥xB 2>xC 24≠-≥x x 且D 24≠->x x 且（3）下列各运算，正确的是（）A 、565352=?B 、532592519==-- C 、()12551255-?-=-?- D 、y x y x y x +=+=+2 222（4）如果(0)xy y>是二次根式，化为最简二次根式是（） A 、(0)xy y > B 、(0)xy y > C 、(0)xyy y > D 、以上都不对（5）化简2723-的结果是（）2262333A B C D ----2、计算．(1)453227+- (2) 162564(3)(2)(2)a a +- (4)2(3)x -3、已知223,223+=-=b a 求b a 11-的值B 组1、选择：（1）55,51==b a ，则（）A a ,b 互为相反数 B a,b 互为倒数 C 5=ab D a =b （2）在下列各式中，化简正确的是（） A 、15335= B 、22121±=C 、b ab a 24= D 、123-=-x x x x（3）把1(1)1a a ---中根号外的(1a -移人根号内得（）1111A a B a Ca Da------2、计算（1）5426362+-- （2） 0.91210.36100（3）22(3223)(3223)---教学反思：。
新人教版八年级数学下册《二次根式》复习教案
新人教版八年级数学下册《二次根式》复习教案本章主要知识:
1.二次根式性质及运算律
1)（）2=a（a≥0）．
a(a≥0)
2)=/a/={-a(a＜0)
3)·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）
4)=（a≥0，b0），反过来=（a≥0，b0）
2.二次根式的应用
(1)二次根式的加减法：通常先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式
(2)二次根式的乘法类似与多项式的乘法，运算中公式·＝（a≥0，b≥0），对于二次根式除法，通常是先化成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，有时可以约分，有时可以利用公式，运算的结果都要化成最简二次根式。
基础题A组
1.计算或化简：
(1)×(2)√6/√216(3)(4)在直角坐标系中，点P（1，）到原点的距离是_________
基础题B组
2.化简下列各式
(1)+(-3)2(2)÷·(3)-(-3)
(4)(-3)(2+1)
3、计算下列各题，并概括二次根式的运算的一般步骤：(1)9+7-5(2)(-4)-(3-4√0.5)
(3)(3+2)(3-2)(4)·(÷√1/y)
5.√
设a、b为实数,且|2-a|+b-2=0
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积?。
人教版八年级下册 第十六章 二次根式 复习教案
③合并同类二次根式
练习：
1.在函数 中，自变量x的取值范围是
2.若 ，则
3.已知x,y满足关系式 ，求5x+3y的值
4.当x取何值时， 的值最小？最小值是多少？
5.已知a+b=-7,ab=12,求 的值
6.计算
7.若a,b为实数，且 ，试求 的值
4.二次根式的乘法
一般地，对二次根式的乘法规定： ，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
5.积的算数平方根的性质
，即积的算数平方根等于积中各因式的算数平方根的积。
6.二次根式的除法
一般地，对二次根式的除法规定： ，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
7.商的算数平方根
，即商的算数平方根等于被除式的算数平方根除以除式的算数平方根
教学
目的
能够区分对等式 （a≥0）和 （a≥0）的理解
教
学
内
容
1.二次根式的概念
一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数。
2.二次根式的基本性质
二次根式具有双重非负性，即 ≥0（a≥0）
（a≥0）
3.代数式
用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表达数的字母连接起来的式子叫代数式，其中单独一个数或者字母也是代数式。
1对1个性化教案
学生
学科
数学
年级
教师
肖老师
授课日期
授课时段
课题
二次根式
重点(考点)
难点
利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算
人教版八年级数学下册教学设计《二次根式》复习
（二）讲授新知
1.教学内容：教师详细讲解二次根式的定义、性质、化简与运算规则。
（1）二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子，称为二次根式。
（2）二次根式的性质：a≥0时，√a为非负数；√(ab)=√a·√b；√(a/b)=√a/√b（a、b均为非负数）。
（3）二次根式的化简与运算规则：合并同类项、乘除运算、有理化等。
2.教学方法：采用讲解、举例、示范等方式，让学生掌握二次根式的相关知识。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：教师提出讨论问题，学生分组讨论，共同探究二次根式的性质和运算规则。
讨论问题：“请举例说明二次根式的性质和运算规则，并尝试解决实际问题。”
1.注重激发学生的学习兴趣，通过实际例子引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.着重培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生发现二次根式的性质和运算规律，提高学生的自学能力。
3.针对学生存在的问题，进行有针对性的教学，关注学生的个别差异，给予每个学生足够的关注和指导。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作意识和沟通能力，使学生在互动交流中提高自己的数学素养。
4.创新思维：第六题是一道拓展题，鼓励学生运用所学知识进行创新思考，如探索二次根式的有理化方法，或寻找二次根式运算的新规律。
5.总结反思：要求学生撰写学习心得，总结自己在学习二次根式过程中的收获和遇到的困难，以及对未来学习的规划。
作业布置要求：
1.作业量适中，保证学生在课后有足够的时间进行复习和思考。
2.学生讨论：学生通过小组讨论，共同解决教师提出的问题，加深对二次根式知识的理解。
3.教师指导：教师巡回指导，关注学生的讨论过程，及时解答学生的疑问。
人教版八年级数学下册《二次根式》课堂教学实录
二次根式课堂实录（重温本堂课的学习目标）师：本堂课我们的学习目标是：1.理解二次根式基本概念；掌握二次根式的性质及运算法则，会分母有理化，并进行实数的简单四则运算．2.培养学生严谨求实的良好学习态度，并发展自我的应用数学意识．通过预习，你能基本达到哪些目标？需要继续努力的地方可要在课内认真噢！（小组讨论课前延伸中存在的疑难之处或问题）师：在知识梳理中，你有哪些疑难之处或问题要提交小组讨论？生：最简二次根式含义“（2）被开方数中不含有_________________的因数或因式．” 不理解什么意思？生2：被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．师：对的！你能举例说明“开得尽方”的含义吗？生2：如根号下是4、9、16、a 3b 2、（- π）2 ……师：你说得很好！同学们还有什么疑问吗？生3：b a -1与b a -1的有理化因式有什么不同？生4：前面的是b a +， 后面的是b a -．师：下面我们检查自己的预习作业．我提供的参考答案1．A ；2．C ；3．A ；4．D ；5．D ； 6．C.同学们有需要讨论的吗？生5：把aa 1-根号外的因式移到根号内，我的答案不一样？师：你选的是……生5：我选D ．生6：不对！这里的a 是负数！根号外是负的．师：大家明白了吗？生（齐）：明白啦！选C ．师：下面我们一起来探讨几个典型例题．（出示小黑板）例1：x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)23-+-x x ； (2)x x -12； (3)x x 22-+； （4）xx 32+. 例2：①计算：31627321-++ ②ab ab b a 1⋅÷ （师生分析）师：例1的(1)题是两个二次根式的和，x 的取值必须怎样？生（齐）：x 的取值必须使两个二次根式都有意义．师：那么x 取值是……（指定学生回答）生7：小于等于3且大于等于2．师：请坐！（板演）解：（1）要使x -3有意义，必须x -3≥0，即x ≤3；要使2-x 有意义，必须2-x ≥0，即x ≥2.所以使式子23-+-x x 有意义的x 值为2≤x ≤3.师：（2）题含有分母，式子的分母不能为0，同时要使x 有意义．生：x 不能取1，1使1-x =0，而且x 大于等于0．师：（板演）∵1-x ≠0∴x ≠1∴ x ≥0且x ≠1.师：(3)题与(4)题的解答由大家自己来！请两位同学来板演！生8（板演）：∵x 2有意义，∴x ≥0，∵x 2-有意义，∴x ≤0，∴x =0生9（板演）：∵2+x 有意义∴≥x -2．∴≥x -2且0≠x师：两位同学做得对不对？生（齐）：对！师：下面来看二次根式的计算题．大家可要注意运算顺序哦！生：（自己解答）．师：请两位同学来板演．生10（板演）：解：原式=2-3+33-32=2.生11（板演）：解：原式=abab b a 11⋅⨯=ab ab b ab 112⋅⋅=2ab ab . 师：大家与两位同学比较一下，对对答案！思考二次根式的计算技巧．（思考后）生12：乘除混合运算可统一成乘法运算，加减运算要分母有理化、合并同类二次根式．师：不错！你们真会反思自己的学习！师：（出示小黑板）二次根式一章中，除了化简和运算之外，还要注意其应用．一起来看！例3：二次根式的应用.（1）在直角坐标系中，点P （1，3）到原点的距离_____．（2）一个台阶如图，阶梯每一层高15cm ，宽25cm ，长60cm.一只蚂蚁从A 点爬到B 点最短路程是多少？（3）已知△ABP 的一边AB= ，101）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP ，使三角形的三边为5、5、10.2）如图所示，AD ⊥DC 于D ，BC ⊥CD 于C ，若点P 为线段CD 上动点．①则AD=____ ， BC=____．② 设DP=a,请用含a 的代数式表示AP=_____，BP=______．③ 当a=1 时，则PA+PB=______． ④ PA+PB 是否存在一个最小值？师：（1）题可以画图，会不会回答？生（齐）：2！师：好！再看清楚（2）的题意！[（2）题学生审题后，思考，再组织学生小组合作探究，组间交流．]2分钟后，教师指定的某小组成员（生13）全班交流．生13：将立体图形展开成平面图形，计算矩形的对角线AB 就是从A 点到B 点的最短路程．师：非常好！这位同学向我们介绍了一种处理立体图形问题的方法．本题的答案是…… 生（齐）：100.师：（3）题谁来画图？（教师指定学生（生14）板演）（生14板演后）师：大家都画好了吗？一起看黑板，这位同学画得对吗？有别的图形吗？生（齐）：对！就这样．师：2）题①大家能回答吗？生（齐）：AD=2 ，BC=1．师：线段AD 和BC 的大小会因P 的运动而改变吗？生（齐）：不会．师：很好！②大家能回答吗？生15（急忙）：AP=a +4，BP=……师：不着急．缪颖，你说．缪颖：BP=()231a -+．师：③呢？ 生（笔算后）齐答：52.师：对的！再来看④．存在最小值吧？生（齐）：存在．师：当A 、B 两点固定位置时，怎样在线段CD 上找准动点P 的位置，使得PA+PB 的和最小？（引导学生小组讨论）师：你来回答你们组的答案！生17：找A 关于CD 的对称点A / ，连结A /B 交CD 于P ，此时PA+PB 的和最小．师：还可以怎样作出P 点？生18：作B 关于CD 的对称点B /，连结AB /交CD 于P ．师：大家理解这是为什么吗？（学生组织语言后，指定回答）周颖，你来说说．周颖：两点之间线段最短，利用轴对称性将PA 转化成PA /，那A /B 就是PA+PB 的最小和．师：很好！大家作图求出这个最小值，是多少？（稍停）生（齐）：23．师：本节课我们重点复习了二次根式的意义和运算．只有当a ≥0时，二次根式a 有意义；同时须考虑其所处位置来确定未知数的取值范围；分母有理化、分解因式是二次根式运算中的常用方法，运算的结果都要化成最简二次根式；数形结合是二次根式应用中常见策略．下面请同学们完成一份测试．生：课堂测试（10分钟）. 师：（行间巡视，将典型问题板书于黑板）=-222425_________2212m m +-=_________ ⎪⎭⎫ ⎝⎛---225a a 的化简 略作评讲：252-242=（25+24）（25-24）=49．2m +21m -2=(m m 1-)2 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---225a a =2)2)(2(5-+--a a a =292---a a 小组长收缴测试纸.师：下课！。
人教八下数学《二次根式》复习教案
人教八下数学《二次根式》复习教案【教学目标】1. 复习二次根式的概念和性质；2. 复习二次根式的计算方法；3. 引导学生理解二次根式的实际意义和应用；4. 提高学生解决实际问题的能力。
【教学重难点】1. 二次根式的计算方法；2. 二次根式的意义和应用。
【教学准备】教材、课件、笔记、习题、工具书等。
【教学过程】一、复习导入（10分钟）1. 让学生回顾二次根式的定义；2. 复习二次根式的性质：乘法性质、开方性质等。
二、概念解释与示例演练（20分钟）1. 解释二次根式的概念：如果a>0，那么形如√a的式子就叫做二次根式；2. 给出一些简单的例子，让学生计算并写成简化形式；3. 引导学生观察和总结计算二次根式的方法。
三、题目讲解与练习（30分钟）1. 分析教材中的例题，引导学生理解二次根式的实际意义和应用；2. 讲解解答题的思路和方法，包括合并同类项、化简等；3. 给学生一些练习题，让学生独立解答，并讲解答案。
四、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考二次根式的实际应用，如计算面积、体积和边长等；2. 提供相关的应用题，让学生思考如何应用二次根式解决问题。
五、总结归纳（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的内容及知识点；2. 强调重点和难点，提醒学生进行复习。
【板书设计】二次根式的复习概念：形如√a的式子二次根式计算方法：合并同类项、化简等性质：乘法性质、开方性质等实际应用：计算面积、体积、边长等【课后作业】1. 完成教材习题；2. 思考并解答一道具体的二次根式应用题；3. 复习并总结本节课所学的知识点和解题方法。
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课堂教学实录
原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！
令公桃李满天下，何用堂前更种花。
出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》 镇海中学 陈志海
二次根式的复习
师：同学们好！
生：老师好!
师：同学们，在课前我布置了几道练习题，我想大家都已经完成了，下面我请各
组的小组长汇报各组完成的情况及在解题中遇到的一些问题。
生：各组组长汇报完成情况及遇到的问题
师：根据完成情况请四个同学到黑板板演,请其他同学们注意观察黑板板演的过程
生：计算。
(1)33－23 (2) －2a +3a
(3) －12×6 （4）3x ×6y
师：根据板演情况进行讲解
【评析】教师通过活动1,让学生进一步巩固二次根式的解法
师：二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
生：
)0()()0())(1(22≥=≥=a a a a a a 与
)0,0()0,0(2≥≥=⋅≥≥⋅=b a ab b a b a b a ab 与）（；
)00()00()3(>≥=>≥=，b a b a b
a ，
b a b a b a 与 师：你说得对.请看下面的化简.(投影)
【评析】通过不同的计算方法让学生懂得解题的方法并不唯一，激发学生在今后
的学习中，要多动脑筋勤思考。
师：要注意
22)(a a 不一定能化成．
【评析】通过分析板演，让学生知道在计算二次根式的时候把握法则。
让学生进
一步巩固二次根式的混合运算。
师：看下面的题目：x 什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(投影)
23)1(-+-x x ；212)2(x x
-；
x x 22)3(-+；x
x 32)4(+．
生1：2≤x ≤3
生2: x ≠±1
生3: x =0
生4: x ≥-2且x ≠0．
师：同学们回答得很好。
再看看
例2. 错误!未找到引用源。
(投影)
.
,,090999.36::2222的值从而确定的值从中求得及有意义的条件分别是与二次根式的值再求多项式的值与先根据已知条件求出分析师m n n n n n n m ，n m ≥-≥----
生：板演：
解： 因为n 29≥0，9-n 2≥0，且n -3≠0，所以n 2=9且n ≠3，所以
3
2643499,322-=-=-+-+-=-=n n n m n ， 5)3(3)3
2(636=---⨯=-n m 师：要使二次根式有意必须a ≥0
【评析】通过分析进一步让学生理解二次根式的运算。
师：下面看例3 a
a a a a a a -+--⋅+-+-1123344422计算(投影) 师： 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与母都可以分解因式．把它们分
别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a ＞0．
生：板演：
a
a a a a a a a a a a a a -+--⋅---=-+--⋅+-+-1123)3)(1()2(11233444222计算 a
a a a a a -+--⋅---=1123)3)(1()2(2
错误!未找到引用源。
学生板演，其他学生在下面练习，老师巡视，发现错误及时指正。
师：这位同学做得很正确，由于二次根式的基本性质要由a 的取值范围定。
即：
⎩⎨⎧<-≥=).
0()0(a a a a a ， 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条
件的。
师：我们再看看：
.4141,23142
2的值求已知例-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=a a a a a (投影)
师：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
生：
.12141,12141:2222
2222⎪⎭⎫
⎝
⎛-=
-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a a a a a a a a 答 生：板演：
2222114141⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a a a a 解 a a
a a a a
a a a 21111=-++=--+
= .2232)23(2231
-=-==+=a ，a 原式时当
【评析】教师深入到小组，重点关注：①学生在解题时所存在的问题，尤其关注
基础薄弱的学生；②学生在解题时有没有创新意识；③学生能否找到解决问题的方法。
师：通过这几个例子同学们已经掌握二次根式的混合运用了，下面我们来做几条巩固练习。
生1：板演
解
师：在做这条题时要注意： .1,011.12≠≠+--x x x 因此母因为第二个式子中的分 所以在化简过程中，分子与分母可以同除以x -1.
.)0()(0,0(5.22算进行二次根式的混合运关系式和
本性质中运用了二次根式的基例≥=≥≥⋅=a a a b a b a ab
生2：板演：
例6
.4242424
22222-++--++--+-++n n n n n n n n 计算
.2)2()2(42)(2)(),
2(4)4()2(),2(2,42,422
22222222n n n ab b a ab
ab b a ab b a a b b a n n n ab n b a n n b n n a =-++=-+=-+=+=+=+=--+=+=+--+=-++=所以原式那么
解设
师：很好，这位同学能根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看成一个整
体，用换元法把式子变形 ，从而使运算变得简捷。
我们要学习他善于观察，肯动脑筋的做法。
【评析】教师通过启发，让学生能够自由发挥，运用自己独特的方法解决问题，
同时教师不忘关注个体的发展，这样更能引起学生的学习注意，侧面地激发了学生的学习积极性；同时教师在评讲问题时有详有略，主次分明，
不光关注了学生解决问题的结果，更主要的是关注了学生的思维过程；
另外教师可以巧妙地结合问题对学生进行情感的教育。
师：今天的家庭作业：完成课后提升的练习。
这节课到这里，下课。
同学们再见。
生：老师再见。
【素材积累】
1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。
上帝认为他太能说了，会打扰天堂的幽静，于是旧把他打入了地狱。
刚过了一个星期，阎王旧满头大汗找上门来说：上帝呀，赶紧把他弄走吧!上帝问：怎么回事?阎王说：地狱的小。
2、机会往往伪装成困难美国名校芝加哥大学的一位教授到访北大时曾提到：芝加哥大学对学生的基本要求是做困难的事。
因为一个人要想有所成旧，旧必须做那些困难的事。
只有做困难的事，才能推动社会发展进步。
1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。
预测未来的醉好方法，旧是创造未来。
坚志而勇为，谓之刚。
刚，生人之德也。
美好的生命应该充满期待、惊喜和感激。
人生的胜者决不会摘挫折面前失去勇气。
2、我一直知道，漫长人生中总有一段泥泞不得不走，总有一个寒冬不得不过。
感谢摘这样的时候，我遇见的世界上最美的心灵，我接受的最温暖的帮助。
经历过这些，我将带着一颗感恩和勇敢的心继续走上梦想的道路，无论是风雨还是荆棘。