初中数学 圆周角和圆心角的关系同步练习及答案
初三数学圆周角和圆心角的关系试题
初三数学圆周角和圆心角的关系试题1.已知,如图,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.【答案】160°【解析】由∠BAD=100°可得∠BAC的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.∵∠BAD=100°∴∠BAC=80°∴∠BOC=160°.【考点】邻补角定理，圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.2.如图,AB是⊙O的直径, ,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.【答案】50°【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵,∠A=25°∴∠BOD=50°.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.3.如图,AB是半圆O的直径,AC="AD,OC=2,∠CAB=30°," 则点O到CD的距离OE=____.【答案】【解析】由AC=AD，∠CAB=30°可得∠CDO的度数，即可得到∠EOD、∠COE的度数，判断出△COE的形状再结合勾股定理即可求得结果.∵AC=AD，∠CAB=30°，OA=OC∴∠CDO=75°，∠COD=60°∴∠EOD=15°∴∠COE=45°∴△COE为等腰直角三角形∵OC=2∴OE=.【考点】三角形内角和定理，勾股定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.4.如图,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【答案】C【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.相等的角有∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABC4对，故选C.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.5.如图,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵D是弧AC的中点∴∠ABD=∠ACD=∠CBD=∠CAD故选B.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.如图, ,则∠A+∠B等于( )A．100°B．80°C．50°D．40°【答案】C【解析】连接CO并延长交圆于点D，根据圆周角定理即可得到结果.连接CO并延长交圆于点D由图可得∠A+∠B=∠AOD+∠BOD=∠AOB=50°故选C.【考点】圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.7.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【答案】B【解析】根据圆的性质可得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形，再根据圆周角定理即可求得结果.由题意得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形则该弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选B.【考点】圆周角定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.8.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.【答案】4cm【解析】连接OC、OD，根据圆周角定理可得∠COD=60°，即可得到△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD=4cm.【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.9.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值【答案】【解析】连接BD, 根据圆周角定理可得∠ADB=90°，证得△PCD ∽△PAB,根据相似三角形的性质结合余弦的定义可得∠BPD的余弦值，再结合勾股定理即可求得结果.连接BD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°.∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴.在Rt△PBD中,cos∠BPD==,设PD=3x,PB=4x,则BD=,∴tan∠BPD=.【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.10.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)【答案】让乙射门较好【解析】根据圆周角定理结合三角形外角的性质分析即可得到结论.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.【考点】圆周角定理，三角形外角的性质点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.。
鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课后作业题3(附答案)
鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课后作业题3（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，在半圆⊙O中，直径AB＝4，点C、D是半圆上两点，且∠BOC＝84°，∠BOD ＝36°，P为直径上一点，则PC+PD的最小值为（）A．4B．2C．2D．22．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（）A．＝B．＝C．＝D．不能确定3．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（）A．36°≤α≤45°B．45°≤α≤54°C．54°≤α≤72°D．72°≤α≤90°4．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm5．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（）A．50°B．40°C．100°D．80°6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（）A．35°B．46°C．55°D．70°7．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 8．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．120°B．80°C．100°D．60°10．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝（）A．58°B．116°C．122°D．128°二．填空题（共10小题）11．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是．12．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA＝30°，②OD⊥BC，③OE＝AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是．13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，则图中阴影部分的面积是．14．已知⊙O的弦AB把圆分成两部分的比为1：5，若AB＝3cm，则⊙O的半径等于cm．15．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝CD＝DE，若∠B＝98°，∠E＝116°，则∠A ＝°．16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．18．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，则∠D的度数为．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB＝50°，则∠PBC＝．20．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为°．三．解答题（共8小题）21．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD＝CB，求证：AB＝CD．22．如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，求∠D的度数．23．如图，在⊙O中，＝（1）若∠C＝75°，求∠A的度数；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．24．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．25．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．26．如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F （1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D＝30°，CD＝2时，求圆中阴影部分的周长．27．已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠ABC+∠ADC＝180°．（用两种方法）28．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；（3）已知P A＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在半圆⊙O中，直径AB＝4，点C、D是半圆上两点，且∠BOC＝84°，∠BOD ＝36°，P为直径上一点，则PC+PD的最小值为（）A．4B．2C．2D．2【解答】解：作点D关于AB的对称点DE，连接CE，交AB于点P，过点O作OF⊥CE，垂足为F，∵∠BOC＝84°，∠BOD＝36°，∴∠BOE＝36°，∠COE＝120°，∴∠C＝30°，∵AB＝4，∴OC＝2，∴OF＝1，CF＝，∴CE＝2，∴PC+PD的最小值为2，故选：B．2．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（）A．＝B．＝C．＝D．不能确定【解答】解：连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，∴OD＝OE，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OB，∴OD＝BC，∴BC＝OE＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴＝，故选：A．3．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（）A．36°≤α≤45°B．45°≤α≤54°C．54°≤α≤72°D．72°≤α≤90°【解答】解：∵在△AOB中，OA＝OB，∠OAB＝α∴∠OBA＝α，∠AOB＝180°﹣2α∴当α＝36°时，∠AOB＝180°﹣2×36°＝108°108×5＝540°∵转360°恰好位于点A，540°﹣360°＝180°＞108°∴此时不位于弧AB上，A错误；当α＝60°时，∠AOB＝60°，60×5＝300°∴此时小华还没到达点A，故C错误；当α＝60°时，∠AOB＝60°，60×5＝300°当α＝90°时，点B在圆外，不符合题意，故D错误；故选：B．4．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，在△AOF和△ODE中，，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3，在Rt△DOE中，DE＝＝4，在Rt△ADE中，AD＝＝4，故选：A．5．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（）A．50°B．40°C．100°D．80°【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠BOC＝100°，∵BO＝CO，∴∠OBC＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故选：B．6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（）A．35°B．46°C．55°D．70°【解答】解：连接BC，∵∠AOC＝110°，∴∠ABC＝∠AOC═55°，∵CD⊥AB，∴＝，∴∠ABD＝∠ABC＝55°，故选：C．7．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解答】解：A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．8．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【解答】解：由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD＝80°，∴∠BAD＝80°+30°＝110°，∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝70°，故选：C．9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．120°B．80°C．100°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：A．10．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝（）A．58°B．116°C．122°D．128°【解答】解：连接AC、CE，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC＝180°﹣∠B＝58°，∵＝，∴∠ACE＝∠AEC＝58°，∴∠CAE＝180°﹣58°﹣58°＝64°，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠D＝180°﹣64°＝116°，故选：B．二．填空题（共10小题）11．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故答案为：51°．12．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA＝30°，②OD⊥BC，③OE＝AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是①②③④．【解答】：如图，连接CD、AD、CO，，∵点C，D是半圆上的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝180°÷3＝60°，∴∠CBA＝∠AOC÷2＝60°÷2＝30°，即①正确；∵∠BEO＝180°﹣∠BOD﹣∠CBA＝180°﹣60°﹣30°＝90°∴OD⊥BC，即②正确．∵OB＝OC，OD⊥BC，∴E是BC的中点，又∵O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AC，即③正确．∵AC⊥BC，OD⊥BC，∴AC∥OD，∵∠DCB＝∠BOD÷2＝60°÷2＝30°，∠CBA＝30°∴∠DCB＝∠CBA，∴CD∥AB，∴四边形AODC是平行四边形，∵∠AOC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AO＝AC，又∵四边形AODC是平行四边形，∴AO＝OD＝DC＝CA，∴四边形AODC是菱形，即④正确．综上，可得正确的结论有：①②③④．故答案为①②③④．13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，则图中阴影部分的面积是72π．【解答】解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，过O作OC⊥AB于C点，则AC＝BC＝12，∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影部分＝S大半圆﹣S小半圆＝π•OB2﹣π•OC2＝π（OB2﹣OC2）＝πBC2＝72π．故答案为72π．14．已知⊙O的弦AB把圆分成两部分的比为1：5，若AB＝3cm，则⊙O的半径等于3cm．【解答】解：∵弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，∴∠AOB＝×360°＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为3cm，∴AB＝3cm．故答案为：3．15．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝CD＝DE，若∠B＝98°，∠E＝116°，则∠A ＝102°．【解答】解：连接AC，AD，∵BC＝CD＝DE，∴＝＝，∴设∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝α，∵∠B＝98°，∠E＝116°，∴∠B+∠E﹣α＝98°+116°﹣α＝180°，∴α＝34°，∴∠BAE＝3α＝102°，故答案为：102°．16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝40°．【解答】解：连接OD，∵AD∥OC，∴∠DAB＝∠BOC＝50°，∵OA＝OD∴∠AOD＝180°﹣2∠DAB＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°故答案为40°17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝120°．【解答】解：∵∠BOD＝120°，∴∠BCD＝＝60°．∴∠DCE＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．18．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，则∠D的度数为80°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝100°，∴∠D＝80°，故答案为80°．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB＝50°，则∠PBC＝25°．【解答】解：∵AD∥BC，∴＝，∴∠PBC＝∠PCB，∵∠APB＝50°，∴∠PBC＝25°，故答案为：25°．20．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为100°．【解答】解：∵C是的中点，AB＝CD．∴＝＝，∵∠ODC＝50°，∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为：100．三．解答题（共8小题）21．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD＝CB，求证：AB＝CD．【解答】证明：∵AD＝BC，∴＝，∴＝，∴CD＝AB．22．如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，求∠D的度数．【解答】解：∵∠A＝40°，∴劣弧BC的度数为80°，则优弧BC的度数为：360°﹣80°＝280°，∴∠D＝140°．23．如图，在⊙O中，＝（1）若∠C＝75°，求∠A的度数；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．【解答】解：（1）∵在⊙O中，＝，∴AB＝AC．∴∠B＝∠C＝75°．∴∠A＝180°﹣2×75°＝30°；（2）如图，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12．在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，解得OB＝，即⊙O的半径是．24．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．25．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．【解答】（1）证明：∵点F是的中点，∴∠BAC＝∠BOC＝∠BOF，∴AC∥EF；（2）解：如图2，∵CN∥FB，OA＝OE＝OB＝OF，∴∠CNF＝∠OFB＝∠OBF＝∠E，∴AE∥FB，∴CN∥AE，∵AC∥EF，∴四边形AENC是▱AENC，∴AC＝EN＝2，∵OC＝OB，∠COF＝∠BOF，∴DC＝DB，OD⊥BC于点D，∵OD是△ABC的中位线，∴OD＝AC＝1，∵OB＝3，∴BD＝2，又∵MD是△BCE的中位线，∴MH∥FB，∴∠ODH＝∠OFB＝∠OBF＝∠DHO，∴OD＝OH，又∠DOH为公共角，∴△FOH≌△BOD，∴FH＝BD＝2．26．如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F （1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D＝30°，CD＝2时，求圆中阴影部分的周长．【解答】解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC＝BD；②OF∥BC；③∠BCD＝∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC2＝BE•AB；⑥BC2＝CE2+BE2；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．（2）∵CD＝2，∴CE＝，∵∠D＝∠A＝30°，∴AC＝2，AB＝4，∴＝＝π，∴周长为：+227．已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠ABC+∠ADC＝180°．（用两种方法）【解答】证法1：连接OA，OC，∵∠B＝∠1，∠D＝∠2，∴∠B+∠D＝（∠1+∠2）＝×360°＝180°；证法2：如图2，连接CA，BD，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠1+∠3＝∠2+∠4，∴∠ADC+∠ABC＝∠2+∠4+∠ABC＝180°．28．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；（3）已知P A＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）解：当点P位于的中点时，四边形PBOA是菱形．理由如下：连接OP，如图1，∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，而P是的中点，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，又∵OA＝OP＝OB，∴△OAP和△OBP都为等边三角形，∴OA＝AP＝OB＝PB，∴四边形PBOA是菱形；（3）解：如图2，在PC上截取PD＝P A，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴P A＝DA，∠DAP＝60°，∵∠P AB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，∴∠P AB＝∠DAC，在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC（ASA），∴PB＝DC，又∵P A＝PD，∴PC＝PD+DC＝P A+PB＝a+b．。
苏教版九年级数学上册第二章 2.4 圆周角 同步练习题(含答案解析)
第二章 2.4 圆周角一．选择题（共8小题）1．（2019•赤峰）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°3．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°4．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°6．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°8．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 二．填空题（共9小题）9．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝．10．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．11．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；12．（2019•鸡西）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为．13．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．14．（2019•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．15．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．16．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．17．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．三．解答题（共3小题）18．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．19．（2019•包头）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点F，连结OC，过点B作BD∥OC交⊙O点D．连接AD交OC于点E（1）求证：BD＝AE．（2）若OE＝1，求DF的值．答案与解析一．选择题（共8小题）1．（2019•赤峰）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】由圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝60°，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得∠BOC的度数．【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴＝．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可．【解答】解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．4．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据圆周角定理即可求出答案．【解答】解：∵＝，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC＝∠BOC＝50°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据菱形的性质得到∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB＝∠D＝80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可，【解答】解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 【分析】利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝OB，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP 为△ACD的中位线，则CD＝2OP，原式可对B选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．二．填空题（共9小题）9．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝1．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为3．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【解答】解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．11．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为100°；【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°【点评】考查圆内接四边形的外角等于它的内对角．12．（2019•鸡西）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为60°．【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．13．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2019•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为40°．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．16．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【解答】解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为：4π．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．17．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝60°．【分析】连接OB，求出∠D，利用三角形的外角的性质解决问题即可．【解答】解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．三．解答题（共3小题）18．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出＝，进而得出＝，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．【解答】证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．19．（2019•包头）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB ＝ME，进而得结论．【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角形．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点F，连结OC，过点B作BD∥OC交⊙O点D．连接AD交OC于点E（1）求证：BD＝AE．（2）若OE＝1，求DF的值．【分析】（1）证明△ADB≌△CEA（AAS），即可解决问题．（2）利用相似三角形的性质求解即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵BD∥OC，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，∵∠OAC＝90°，∴∠OAE+∠AOC＝90°，∠AOC+∠ACO＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD．（2）∵OE∥BD，AO＝OB，∴AE＝ED，∴BD＝2OE＝2，∴AE＝BD＝DE＝2，∴AB ＝＝2，∵△ADB≌△CEA，∴EC＝AD＝4，设AD交BC于K．∵EC∥BD，∴＝＝2，∴DK ＝，∴BK ＝＝，∵∠ABK＝∠FDK，∠AKB＝∠FKD，∴△AKB∽△FKD，∴＝，∴＝，∴DF ＝．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．21。
北师大版九年级数学下册3.4第1课时圆周角和圆心角的关系(含答案)
m C．90°＋ 2
m D． 2 [ 来源 :学科网 ]
第 1页 共 3页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
6.如图， AB 是 ⊙ O 的直径， B⌒C =B⌒D, ∠ A=25 °， 则∠ BOD=
.
C
A
B
O
D
︵ 7.如图，已知点 E 是圆 O 上的点， B， C 是 AD 的三等分点，∠ BOC ＝ 46°，则∠ AED 的 度数为 ________．
8.如图，在⊙ O 中， F ，G 是直径 AB 上的两点， C，D,E 是半圆上的三点，如果弧 AC的 度数为 60°，弧 BE的度数为 20°，∠ CFA=∠ DFB ，∠ DGA=∠ EGB．求∠ FDG 的大小
9.如图，以⊙ O 的直径 BC 为一边作等边△ ABC,AB 、 AC 交⊙ O 于 D 、 E,求证： BD=DE=EC
数为（
）
A.40 ° B.50 ° C.60° D.70°
︵
︵
5.如图， 在 ⊙O 中，∠ AOB 的度数为 m，C 是 ACB 上一 点，D ，E 是AB 上不同的两点 (不
与 A ， B 两点重合 )，则∠ D ＋∠ E 的度数为 ( )
A． m
m B ．180 °－ 2
第 3页 共 3页
A
D
E
B
C
O
第 2页 共 3页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
10.如图，在锐角△ ABC 中， AB ＞AC ， AD ⊥BC 于点 D ，以 AD 为直径的⊙ O 分别交 AB ， AC 于点 E， F，连接 DE，DF.:学科网 ZXXK]
(1)求证：∠ EAF ＋∠ EDF＝ 180 °. (2)已知 P 是射线 DC 上一个动点， 当点 P 运动到 PD＝BD 时，连接 AP ，交⊙ O 于点 G， 连接 DG.设∠ EDG ＝∠ α，∠ APB ＝∠ β，那么∠ α与∠ β有何数量关系？试证明你的结论 (在 探究∠ α与∠ β的数量关系时，必要时可直接运用 (1)的结论进行推理与解答 )．
【2020九年级数学上】圆周角和圆心角的关系习题含答案
圆周角和圆心角的关系同步习题一．选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC：∠ADC＝2：3，则∠ABC 的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°2．已知：如图，⊙O的两条弦AE、BC相交于点D，连接AC、BE，若∠ACB＝50°，则下列结论中正确的是（）A．∠AOB＝50°B．∠ADB＝50°C．∠AEB＝30°D．∠AEB＝50°3．如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，AD＝，下列说法错误的是（）A．∠B＝30°B．∠BAD＝60°C．BD＝2D．AB＝25．如图，AB为半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，在上取一点M，上取一点N，使得∠AMN＝110°，则下列说法正确的是（）A．点N在上，且NC＞ND B．点N在上，且NC＜NDC．点N在上，且ND＞NB D．点N在上，且ND＜NB6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，⊙O的直径AB⊥CD弦，∠1＝2∠2，则tan D＝（）A．B．C．2D．8．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E，连结OD，OE，若∠DOE＝α，则∠A的度数为（）A．αB．90°﹣αC．D．90°﹣9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．2010．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠OFE的度数是（）A．30°B．20°C．40°D．35°二．填空题11．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝4：1，则∠A＝°．12．如图，已知点E为圆外的一点，EA交圆于点B，EC交圆于点D，若＝80°，＝30°，则∠BED＝度．13．如图，在扇形AOB中，点C、D在上，连接AD、BC交于点E，若∠AOB＝120°，的度数为50°，则∠AEB＝°．14．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB＝10，BC＝4，则DP＝．15．如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，CD交OB于点E．若∠AOB＝120°，∠OBC＝50°，则∠OEC的度数为°．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，AD＝CD，∠E＝68°，求∠ABC 的度数．17．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°．求OD的长和∠OCB度数．18．已知AB是⊙O的直径．（Ⅰ）如图①，＝＝，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（Ⅱ）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF 的大小．参考答案一．选择题1．解：设∠AOC＝2x°，∠ADC＝3x°，∵圆心角∠AOC和圆周角∠ABC都对着，∴∠ABC＝AOC＝x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴3x+x＝180，解得：x＝45，即∠ABC＝45°，故选：C．2．解：∵∠ACB＝50°，∴∠AEB＝∠ACB＝50°，∠AOB＝2∠ACB＝100°，∠ADB＝∠ACB+∠CAD＞∠ACB＝50°，故选项A、B、C不正确，只有选项D正确，故选：D．3．解：作直径AD，连接BD、AB，如图，∵∠ACB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣140°＝40°，∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠D＝50°；在上取一点E，连接AE、BE，∴∠AEB＝∠ACB＝140°．故选：D．4．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，故选项A、B不符合题意，在Rt△ADB中，BD＝AD＝3，AB＝2AD＝2，故选项C符合题意，选项D不符合题意，故选：C．5．解：连接MD，OD、ON、BD，如图，∵C是的中点，D是的中点，∴∠BOD＝×90°＝45°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠AMD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣67.5°＝112.5°，∵∠AMN＝110°，∴点N在上，∵∠DMN＝∠AMD﹣∠AMN＝2.5°，∴∠DON＝2∠DMN＝2×2.5°＝5°，∴∠BON＝40°，∴＞，∴BN＞DN．故选：D．6．解：∵OC⊥AB，∴，∴∠AOC＝∠BOC，∵∠ADC＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠BOC＝50°，故选：C．7．解：设CD交AB于H．∵OB＝OC，∴∠2＝∠3，∵AB⊥CD，∴∠1+∠2+∠3＝90°，CH＝HD，∵∠1＝2∠2，∴4∠3＝90°，∴∠3＝22.5°，∴∠1＝45°，∴CH＝OH，设DH＝CH＝a，则a，BH＝a+a，∴tan D＝＝＝1+，故选：D．8．解：连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠DOE＝α，∴∠DCE＝α，∴∠A＝90°﹣α．故选：D．9．解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20．故选：D．10．解：如图，连接BF，OE．∵EF＝EB，OE＝OE，OF＝OB，∴△OEF≌△OEB（SSS），∴∠OFE＝∠OBE，∵OE＝OB＝0F，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，∵∠ABF＝∠AOF＝20°，∴∠OFB＝∠OBE＝20°，∵∠OFB+∠OBF+∠OFE+∠OBE+∠BEF＝180°，∴4∠EFO+40°＝180°，∴∠OFE＝35°，故选：D．二．填空题11．解：设∠A＝4x°，∠C＝x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴4x+x＝180，解得：x＝36，即∠A＝144°，故答案为：144．12．解：连接AD、OA、OC、OB、OD，如图所示：∵＝80°，＝30°，∴∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，∴∠BAD＝∠BOD＝15°，∠ADC＝∠AOC＝40°，∴∠BED＝∠ADC﹣∠BAD＝40°﹣15°＝25°，故答案为：25．13．解：作所对的圆周角∠APB，连接OC、OD、BD，如图，∵∠APB＝∠AOB＝×120°＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠APB＝180°﹣60°＝120°，∵的度数为50°，∴∠COD＝50°，∴∠CBD＝∠COD＝25°，∵∠AEB＝∠EDB+∠EBD，∴∠AEB＝120°+25°＝145°．故答案为145．14．解：∵AB是⊙O的直径，AB＝10，∴∠C＝90°，OA＝OD＝5，∴AC＝＝＝2，∵DE⊥AC，∴AP＝CP＝AC＝，∴OP＝＝＝2，∴DP＝OD+OP＝5+2＝7，故答案为：7．15．解：连接OD，∵D是的中点，∠AOB＝120°，∴∠BOD＝∠AOD＝∠AOB＝60°，由圆周角定理得，∠BCD＝∠BOD＝30°，∴∠OEC＝∠BCD+∠OBC＝80°，故答案为：80．三．解答题16．解：连接DB，如图所示：∵∠E＝68°，∴∠A＝68°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣68°＝22°，∵AD＝CD，∴，∴∠DBC＝∠DBA＝22°，∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝22°+22°＝44°．17．解：∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣120°）＝30°，∵OD⊥弦BC，∴∠BDO＝90°，∴OD＝OB＝1．18．解：（I）∵＝＝，∠MON＝35°，∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；（II）连接BF，∵AD⊥直线l，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE＝110°，∵A、E、F、B四点共圆，∴∠ABF+∠AEF＝180°，∴∠ABF＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．。
北师大版九年级下册数学 3.4圆周角和圆心角之间的关系 同步练习(含解析)
3.4圆周角和圆心角之间的关系同步练习一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝30°，则sin∠COB的等于（）A．B．C．D．2．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是上一点，则∠ACB等于（）A．80°B．100°C．120°D．130°3．如图，＝＝，AD为⊙O的弦，∠BAD＝50°，则∠AED等于（）A．50°B．60°C．70°D．75°4．如图，圆心为C、直径为MN的半圆上有不同的两点A、B，在CN上有一点P，∠CBP ＝∠CAP＝10°，若的度数是40°，则的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于（）A．B．C．D．6．如图所示，AB是直径，点E是弧AB中点，弦CD∥AB且平分OE，连AD，∠BAD度数为（）A．45°B．30°C．15°D．107．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（）A．α＝βB．α+2β＝90°C．2α+β＝90°D．α+β＝45°8．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（）A．70°B．35°C．40°D．20°9．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（）A．33°B．56°C．57°D．66°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE ∥AC，交BC的延长线于点E．若⊙O的半径为5，AB＝8，则CE的长为（）A．4B．C．D．二．填空题11．如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠GEO＝46°，则∠DCF＝．12．如图，AD是⊙O的直径，若∠B＝40°，则∠DAC的度数为．13．如图，⊙O的半径为2．弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝70°，则∠BAE＝°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为．三．解答题16．如图，以△ABC的一边为直径的半圆与其它两边AC、BC分别交于点D、E，＝．（1）求证；AC＝AB；（2）若BC＝8，BA＝6，求CD的长．17．如图，在⊙O中．（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．18．如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F．（1）求EF的长．（2）若点E为OC的中点，①求弧CD的度数．②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．参考答案一．选择题1．解：∵OA＝OC，∠ACO＝30°，∴∠OAC＝∠ACO＝30°，∵∠COB是△AOC的外角，∴∠COB＝∠ACO+∠OAC＝60°，∴sin∠COB＝sin60°＝．故选：C．2．解：如图：在优弧上取点D，连接AD，BD，∵⊙O中，∠AOB＝100°，∴∠ADB＝∠AOB＝50°，∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝130°．故选：D．3．解：连接OA，OB，OC，OD，∵∠BAD＝50°，＝＝，∴∠BOD＝2∠BAD＝100°，∵＝＝，∴AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠BOD＝50°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝150°，∴∠AED＝∠AOD＝75°．故选：D．4．解：∵的度数是40°，∴∠ACM＝40°∵∠CBP＝∠CAP＝10°，∴A、C、P、B四点共圆，∴∠ACM＝∠ABP＝40°，∵∠CPB＝10°，∴∠ABC＝40°﹣10°＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠ACB＝120°，∴∠BCN＝180°﹣∠ACM﹣∠ACB＝20°，∴的度数是20°．故选：C．5．解：连接BD．则∠CDA＝∠ABC．（同圆中同弧AC所对的圆周角相等）同理∠DCB＝∠DAB，所以△PCD∽△P AB，＝＝．∵AB直径，∴∠ADB＝90°．∴∠PDB＝∠ADB＝90°，在Rt△PDB中，cos∠DPB＝＝，∴sin∠DPB＝．（sin2∠DPB+cos2∠DPB＝1）tan∠BPD＝＝．故选：A．6．解：设CD与OE交于P，则连接OC，∵CD∥AB且平分OE，∴OP＝•OC，∴sin∠PCO＝，∴∠PCO＝30°，又∵CD∥AB，∴∠COA＝∠PCO＝30°，∴∠BAD＝∠BOD＝15°．故选：C．7．解：如图，设AC与DO交点为E，如图，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠BDO＝α，∴∠DOA＝2∠OBD＝2α，又∵D为中点，AB为⊙O直径，∴OD⊥AC，∴∠EAO+∠EOA＝90°，即2α+β＝90°．故选：C．8．解：如图，连接DE，数学∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BED＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠BED＝70°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，故选：D．9．解：如图，连接OC，OB．∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝66°，∴∠ADC＝∠AOC＝33°，数学故选：A．10．解：∵⊙O的半径为5，∴AC＝10，∴AD＝CD＝5，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝8，∴BC＝6，∵∠BAD＝∠DCE，∵∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴，∴，∴CE＝，故选：B．二．填空题11．解：∵CD是直径，EG＝GF，∴CD⊥EF，∴＝，∴∠CDF＝∠EOD，∵∠OGE＝90°，∠GEO＝46°，∴∠EOD＝44°，∴∠DCF＝22°．故答案为：22°．12．解：连接CD．∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠D＝∠B＝40°，∴∠DAC＝90°﹣40°＝50°．故答案为50°．13．解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝70°，∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝110°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝70°，∠B＝180°﹣∠BCD＝70°∴∠BAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故答案为：4015．解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．∵＝，∴OM⊥PD，∴∠MOD＝90°，∴∠MCD＝∠MOD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT＝45°，∵AT⊥CT，∴∠ATC＝90°，∵AC＝10，∴AT＝AC•sin45°＝5，∵AM≥AT，∴AM≥5，∴AM的最小值为5，故答案为5．三．解答题16．（1）证明：∵＝，∴∠CAE＝∠BAE，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，∴∠ABC＝∠C，∴AC＝AB；（2）解：∵∠CAE＝∠CBD，∠ACE＝∠BCD，∴△CAE∽△CBD，∴＝，即＝，∴CD＝．17．解：（1）∵＝，∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∴∠BOC＝2∠A＝40°；（2）作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝5，在Rt△OBH中，OH＝＝＝12，即点O到BC的距离为12．18．解：（1）连接OD，∵⊙O的直径AB＝12，∴圆的半径为12÷2＝6，∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴EF＝OD＝6；（2）①∵点E为OC的中点，∴OE＝OC＝OD，∴∠EDO＝30°，∴∠DOE＝60°，∴弧CD的度数为60°；②延长CO交⊙O于G，l连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值＝DG，∵∠G＝∠COD＝30°，∵EG＝9，数学∴DG＝＝＝6，∴PC+PD的最小值为6．。
九年级数学下册练习圆周角和圆心角的关系
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理及其推论1基础题 知识点1 圆周角的概念1.下列四个图中，∠x 是圆周角的是( )A B C D知识点2 圆周角定理2.(2018·衢州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝35°， 则∠AOB 的度数是( )A .75°B .70°C .65°D .35°3.如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA.若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是( )A .25°B .30°C .40°D .50°4.(2017·兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°， 则∠AOB ＝( )A .45°B .50°C .55°D .60°5.(2018·广东)同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是 .6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝70°，AB ＝AC ，则∠ABC ＝ . 知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2017·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是( ) A .∠2 B .∠3 C .∠4 D .∠58.(2017·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A ＝42°，∠APD ＝77°，则∠B 的大小是( )A .43°B .35°C .34°D .44°9.如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E.若∠C ＝25°，则∠D ＝ .10.如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC. 证明：易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为 中档题12.(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 等于( ) A .64° B .58° C .32° D .26° 13.(2017·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于( ) A .12.5° B .15° C .20° D .22.5°14.(2017·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是( ) A .45° B .60° C .75° D .85° 15.(2018·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BC ＝4， 则⊙O 的直径为 .17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD ＝30°，∠BCD ＝20°，试求∠BAC 的度数. 解：连接OB ，OC ，OD.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点. 若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2017·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2017·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积.解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE，又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE＝CE＝2，设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.∵AB为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB2－AD2＝CB2－CD2.∴(7＋x)2－72＝42－x2.∴x1＝1或x2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S半圆＝12×π×42＝8π.∴BD＝15.∴S菱形ABFC＝815.综合题17.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O 的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长.解：(1)证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DEBA＝CECA，∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为23，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB＝4 3.在Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°.∴DEBA＝CECA＝12，即DE＝2 3.3.4 圆周角和圆心角的关系 答案 第1课时 圆周角定理及其推论1基础题 知识点1 圆周角的概念1.下列四个图中，∠x 是圆周角的是(C)A B C D知识点2 圆周角定理2.(2018·衢州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝35°， 则∠AOB 的度数是(B)A .75°B .70°C .65°D .35°3.如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA.若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是(A)A .25°B .30°C .40°D .50°4.(2017·兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°， 则∠AOB ＝(B)A .45°B .50°C .55°D .60°5.(2018·广东)同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝70°，AB ＝AC ，则∠ABC ＝35°. 知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2017·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A) A .∠2 B .∠3 C .∠4 D .∠58.(2017·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A ＝42°，∠APD ＝77°，则∠B 的大小是(B)A .43°B .35°C .34°D .44°9.如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E.若∠C ＝25°，则∠D ＝65°.10.如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC. 证明：∵AB ＝BC ， ∴AB ︵＝BC ︵. ∴∠ADB ＝∠BDC. ∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为60°或120°. 中档题12.(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 等于(D) A .64° B .58° C .32° D .26° 13.(2017·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于(B) A .12.5° B .15° C .20° D .22.5°14.(2017·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是(D) A .45° B .60° C .75° D .85° 15.(2018·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BC ＝4， 则⊙O 的直径为42.17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD ＝30°，∠BCD ＝20°，试求∠BAC 的度数. 解：连接OB ，OC ，OD.∵∠BOD ＝2∠BCD ，∠COD ＝2∠CBD ，∠CBD ＝30°， ∠BCD ＝20°，∴∠COD ＝60°，∠BOD ＝40°. ∴∠BOC ＝100°， ∠BAC ＝12∠BOC ＝50°.综合题18.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC. (1)若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数； (2)求证：∠1＝∠2. 解：(1)∵BC ＝DC ， ∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠CBD. ∵∠CBD ＝39°， ∴∠BAC ＝∠CAD ＝39°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝78°. (2)证明：∵EC ＝BC ， ∴∠CBE ＝∠CEB.∵∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∠CEB ＝∠2＋∠BAC ， ∴∠1＋∠CBD ＝∠2＋∠BAC. 又∵∠BAC ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点. 若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2017·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2017·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积.解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE，又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE＝CE＝2，设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.∵AB为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB2－AD2＝CB2－CD2.∴(7＋x)2－72＝42－x2.∴x1＝1或x2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S半圆＝12×π×42＝8π.∴BD＝15.∴S菱形ABFC＝815.综合题17.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O 的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长.解：(1)证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DEBA＝CECA，∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为23，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB＝4 3.在Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°.∴DEBA＝CECA＝12，即DE＝2 3.3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角定理及其推论1基础题知识点1 圆周角的概念1.下列四个图中，∠x 是圆周角的是(C)A B C D知识点2 圆周角定理2.(2018·衢州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB＝35°，则∠AOB 的度数是(B)A .75°B .70°C .65°D .35°3.如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA.若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是(A)A .25°B .30°C .40°D .50°4.(2019·兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝(B)A .45°B .50°C .55°D .60°5.(2018·广东)同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝70°，AB ＝AC ，则∠ABC＝35°.知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2019·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A)A .∠2B .∠3C .∠4D .∠58.(2019·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B 的大小是(B)A .43°B .35°C .34°D .44°9.如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E.若∠C＝25°，则∠D＝65°.10.如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC. 证明：∵AB＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵.∴∠ADB＝∠BDC.∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为60°或120°.中档题12.(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D)A .64°B .58°C .32°D .26°13.(2019·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于(B)A .12.5°B .15°C .20°D .22.5°14.(2019·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC＝40°，则∠AMB 的度数不可能是(D)A .45°B .60°C .75°D .85°15.(2018·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A＝45°，BC ＝4，则⊙O 的直径为16.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上.(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB 的度数；(2)若OC ＝3，OA ＝6，求tan∠DEB 的值.解：(1)连接OB.∵OD⊥AB，∴AD ︵＝BD ︵.∴∠BOD＝∠AOD＝52°.∴∠DEB＝12∠BOD＝26°. (2)∵OD⊥AB，OC ＝3，OA ＝6，∴OC＝12OA ，即∠OAC＝30°. ∴∠AOC＝60°.∴∠DEB＝12∠AOC＝30°. ∴tan∠DEB＝33. 17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，试求∠BAC 的度数.解：连接OB ，OC ，OD.∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.∴∠BOC＝100°，∠BAC＝12∠BOC＝50°. 综合题18.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC.(1)若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.(2)证明：∵EC＝BC ，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1 圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM ＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2 圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点.若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2019·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2019·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积.解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE，又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC 是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE ＝CE ＝2，设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x.∵AB 为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2.∴(7＋x)2－72＝42－x 2.∴x 1＝1或x 2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S 半圆＝12×π×42＝8π. ∴BD＝15.∴S 菱形ABFC ＝815.综合题17.如图，在△ABC 中，∠C＝60°，以AB 为直径的半圆O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，已知⊙O 的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE 的长.解：(1)证明：∵四边形ABED 为⊙O 的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DE BA ＝CE CA， ∵AB 为⊙O 的直径，⊙O 的半径为23，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB ＝4 3.在Rt△AEC 中，∵∠C＝60°，∴∠CA E ＝30°.∴DE BA ＝CE CA ＝12，即DE ＝2 3.北师大版初中数学九年级下3.3圆周角和圆心角的关系练习卷（带解析）一、填空题1.如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.【答案】120°【解析】试题分析：根据等边三角形的性质及圆内接四边形的性质即可求得结果.∵等边三角形ABC∴∠ABC=60°∴∠ADC=180°-∠ABC=120°.考点：等边三角形的性质，圆内接四边形的性质点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.2.如图,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.【答案】3，1【解析】试题分析：根据圆内接四边形的性质及圆周角定理即可得到结果.由题意得△ABE≌△DCE，△ABD≌△DCA，△ABC≌△DCB有3对全等三角形相似比不等于1的相似三角形有△ADE∽△DCB这一对.考点：圆内接四边形的性质，圆周角定理点评：全等三角形的判定和性质的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.3.已知,如图,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.【答案】160°【解析】试题分析：由∠BAD=100°可得∠BAC的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.∵∠BAD=100°∴∠BAC=80°∴∠BOC=160°.考点：邻补角定理，圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.【答案】44°【解析】试题分析：连接OB，根据圆的基本性质可得∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.连接OB∵∠OAB=46°，OA=OB∴∠AOB=88°∴∠ACB=44°.考点：圆的基本性质，圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.5.如图,AB是⊙O的直径, ,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.【答案】50°【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵,∠A=25°∴∠BOD=50°.考点：圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.如图,AB是半圆O的直径,AC="AD,OC=2,∠CAB=30°," 则点O到CD的距离OE=____.【答案】【解析】试题分析：由AC=AD，∠CAB=30°可得∠CDO的度数，即可得到∠EOD、∠COE的度数，判断出△COE的形状再结合勾股定理即可求得结果.∵AC=AD，∠CAB=30°，OA=OC∴∠CDO=75°，∠COD=60°∴∠EOD=15°∴∠COE=45°∴△COE为等腰直角三角形∵OC=2∴OE=.考点：三角形内角和定理，勾股定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.二、选择题1.如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )A．50° B．100° C．130° D．200°【答案】A【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵∠BOC=100°∴∠BAC=50°故选A.考点：圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.2.如图,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【答案】C【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.相等的角有∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABC4对，故选C.考点：圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.3.如图,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵D是弧AC的中点∴∠ABD=∠ACD=∠CBD=∠CAD故选B.考点：圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.4.如图, ,则∠A+∠B等于( )A．100° B．80° C．50° D．40°【答案】C【解析】试题分析：连接CO并延长交圆于点D，根据圆周角定理即可得到结果.连接CO并延长交圆于点D由图可得∠A+∠B=∠AOD+∠BOD=∠AOB=50°故选C.考点：圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.5.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°【答案】B【解析】试题分析：根据圆的性质可得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形，再根据圆周角定理即可求得结果.由题意得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形则该弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选B.考点：圆周角定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.6.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC="140°," ∠CBD的度数是( )A.40°B.50°C.70°D.110°【答案】C【解析】试题分析：先求得弧ABC所对的圆周角的度数，再根据圆内接四边形的对角互补可得∠ABC的度数，即可求得结果.∵∠AOC=140°∴弧ABC所对的圆周角的度数为70°∴∠ABC=110°∴∠CBD=70°故选C.考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.三、解答题1.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.【答案】4cm【解析】试题分析：连接OC、OD，根据圆周角定理可得∠COD=60°，即可得到△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD=4cm.考点：圆周角定理，等边三角形的判定和性质点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.2.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长.【答案】3【解析】试题分析：连接DC，根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC=∠CAD，即可得到AC=CD，由AD是直径可得∠ACD=90°，再根据勾股定理即可求得结果.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.∵AD是直径,∴∠ACD=90°,∴AC2+CD2=AD2,即2AC2=36,AC2=18,AC=3.考点：圆周角定理，勾股定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.3.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值【答案】【解析】试题分析：连接BD, 根据圆周角定理可得∠ADB=90°，证得△PCD ∽△PAB,根据相似三角形的性质结合余弦的定义可得∠BPD的余弦值，再结合勾股定理即可求得结果.连接BD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°.∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴.在Rt△PBD中,cos∠BPD==,设PD=3x,PB=4x,则BD=,∴tan∠BPD=.考点：圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.4.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.【答案】(1)相等；（2）∠CP′D+∠COB=180°【解析】试题分析：(1)连接OD,根据垂径定理可得∠COB=∠DOB，再结合圆周角定理即可得到结果；(2)连接P′P,则可得∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′D C.即可得∠P′CD+∠P′DC=∠CPD，从而可以得到结果.从而∠CP′D+∠COB=180°.(1)连接OD,∵AB⊥CD,AB是直径,∴,∴∠COB= ∠DOB.∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.(2)连接P′P,则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,从而∠CP′D+∠COB=180°.考点：垂径定理，圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.5.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)【答案】让乙射门较好【解析】试题分析：根据圆周角定理结合三角形外角的性质分析即可得到结论.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.考点：圆周角定理，三角形外角的性质点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?【答案】a【解析】试题分析：根据圆内接正方形的性质结合勾股定理即可求得结果.由题意得则下料时至少要用直径为的圆钢.考点：圆内接正方形的性质，勾股定理点评：特殊四边形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.。
完整版)圆心角圆周角练习题
完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。
2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。
3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。
4.同一条弧所对的圆周角有两个。
5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。
6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。
需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。
7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。
圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。
夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。
2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。
3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。
4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。
5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。
6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。
8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。
9.∠DCE=∠A。
1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。
证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xx学校xx学年xx学期xx试卷
姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________
题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分
一、xx题
评卷人得分
（每空xx 分，共xx分）
试题1:
在同圆中，同弦所对的圆周角 ( )
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
试题2:
如图3－63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有 ( )
A．2对 B．3对 C．4对D．5对
试题3:
如图3－64所示，⊙O的半径为5，弦AB＝，C是圆上一点，则∠ACB的度数是．
试题4:
如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）
A．50° B．80° C．100° D．130°
试题5:
如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（） A．180° B．15 0° C．135° D．120°
试题6:
下列命题中，正确的命题个数是（）
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③900的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个试题7:
如图3－65所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB＝．
试题8:
如图3－66所示，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC＝．
试题9:
如图3－67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数．
试题10:
如图，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________ 试题11:
如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______。
试题12:
如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在上，则∠C的度数是________-.
试题13:
如图3－68所示，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于D，E，O为圆心，求∠DOE的度数．
试题14:
已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
试题15:
如图3－70所示，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝12 cm，BC＝16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长．
试题16:
如图3－71所示，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，D是的中点，DH⊥AB，H是垂足，AC分别交BD，DH于E，F，试说明DF＝EF．
试题1答案:
C
试题2答案:
C
试题3答案:
60°[提示：如图3－72所示，作OD⊥AB，垂足为D，则BD＝AB＝．∴sin∠BOD＝，∴∠BOD＝60°，∴∠BOA＝120°，∴∠BCA＝∠BOA＝60°．故填60°．]
试题4答案:
D
试题5答案:
A
试题6答案:
A
试题7答案:
65°
试题8答案:
3
试题9答案:
解：连接OD．∵AB是直径，CD⊥AB，∴∠AOC＝∠AOD．又∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠ABD＝∠AOD ＝×60°＝30°．
试题10答案:
50°。
试题11答案:
3个
试题12答案:
30°
试题13答案:
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°，∴∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－70°－70°＝40°，∴∠BOD＝2∠A＝80°．在△OBE中，∵OB＝OE，∴∠ABC＝∠OEB＝70°，∠BOE＝180°－2∠ABC＝40°．∴∠DOE＝∠BOD－∠BOE＝80°－40°＝40 °．
试题14答案:
解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=B D．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=O D．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5．
试题15答案:
解：连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°．在Rt△ACB中，AB＝＝20(cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴．∴AD＝BD．在Rt△ABD中，∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝BD＝AB＝×20＝(cm)．
试题16答案:
解：连接BC，∵A B为直径，∴∠C＝90°，∴∠CBD＋∠BEC＝90°．∵DH⊥AB，∴∠HDB＋∠ABD＝90°．∵，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠HDB＝∠BEC，又∠BEC＝∠FED，∴∠FDE＝∠FED，∴DF＝EF．。