2020届河南省信阳市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届河南省信阳市高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|160A x x =-≤，{}lg 20B x x =-，则A B =I （ ） A ．[)(]4,13,4-⋃ B ．[)(]4,31,4--⋃- C ．()()4,13,4-⋃ D ．()()4,31,4--⋃-【答案】A【解析】求解二次不等式可得：{}|44A x x =-≤≤， 求解对数不等式可得：{}31B x x x =<或， 结合交集的定义有：[)(]4,13,4A B ⋂=-⋃. 本题选择A 选项.2．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ）A． B ．2CD ．10【答案】A【解析】根据复数1z 的几何意义得出复数1z ，进而得出1z ，由122z z ⋅=-得出212z z =-可计算出2z ，由此可计算出2z . 【详解】由于复数1z 对应复平面上的点()1,1--，11z i ∴=--，则11z i =-+，122z z ⋅=-Q ，()()()2121221111i z i i i i z +∴=-===+--+，因此，2z ==故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.3．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S . 【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系. 4．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．108【答案】B【解析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为132，则小正方形的边长为31 22-，小正方形的面积231312S⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.1345006711-⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯=⎪⎪⨯⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 5．在ABC∆中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM AB ACλμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（）A．12B．23C．16D．13【答案】A【解析】根据题意，用,AB ACu u u r u u u r表示出,AH BHu u u r u u u r与AMu u u u r，求出,λμ的值即可. 【详解】解：根据题意，设BH xBC=u u u r u u u r，则11111()()() 22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11(1)22x AB xAC=-+u u u r u u u r，又AM AB ACλμ=+u u u u r u u u r u u u r，11(1),22x xλμ∴=-=，111(1)222x xλμ∴+=-+=，故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.6．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D【解析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．7．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.8．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，，U B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，，U 【答案】D【解析】先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果. 【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称；因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，U . 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型. 9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B. 【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛 ①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．11．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．2)C ．D ．【答案】A【解析】双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x ﹣c ）， 与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有24c +2224b c a ＞c 2， ∴22b a＞3，即b 2＞3a 2， ∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ．则e=ca＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：A ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-， 当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x x y mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题二、填空题13．在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____. 【答案】112【解析】由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值． 【详解】2)n x-的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n ∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r r rrrrr nTC xC x--+=-=-g g g g ，令8403r-=，求得2r =， 可得二项展开式常数项等于284112C ⨯=， 故答案为112． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为__________．【答案】20【解析】由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出n S ，利用二次函数的基本性质求出n S 的最大值及其对应的n 值，即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由14712581399931293a a a a d a a a a d ++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1392a d =⎧⎨=-⎩，()()()221139140204002n n n d S na n n n n n n -∴=+=--=-+=--+. 所以，当20n =时，n S 取得最大值，对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k S 为数列{}n S 的最大值，因此，20k =. 故答案为：20. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 且斜率为13的直线与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则cos AOB ∠=__________. 【答案】313-【解析】求得抛物线的焦点，设出直线AB 的方程，以及,A B 的坐标，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示和夹角公式，计算可得所求值. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 设1:32p AB y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立22y px =， 可得224760x px p -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121219,,4p x x p x x y y p +===-，则2121234OA OB x x y y p ⋅=+=-u u u r u u u r ，||||OA OB ⋅==u u u r u u u r2134p ===，则22334cos1313||||4p OA OB AOB OA OB p -⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，故答案为：313-.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题.16．若函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x+m （sinx ﹣cosx ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m 的取值范围是____________． 【答案】[，]【解析】先求导得f ′（x ）=﹣+sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（）则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1，h （t ）=+ m t -1≤0在t ∈[，]恒成立．可得，解不等式得解.【详解】函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x +m （sin x ﹣cos x ）,则f ′（x ）=﹣+sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（）则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1，因为f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则h （t ）=+ m t -1≤0在t ∈[，]恒成立．可得，即解得：，故答案为：[，]．【点睛】本题考查了利用导函数研究单调性，求解参数范围问题．属于中档题.三、解答题17．如图，在ABC V 中，已知点D 在边BC 上，且DAC 90∠=o ，22sin BAC ∠=，AB 32=，AD 3=．()1求BD 长；()2求cosC【答案】（1（2）3. 【解析】()1由已知利用诱导公式可求cos BAD ∠的值，利用余弦定理即可计算BD 的长．()2由()1可求cos BAD ∠的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin BAD ∠，由正弦定理可求sin ADB ∠的值，根据诱导公式可求cosC 的值． 【详解】（1）由题意，因为DAC 90∠=o ，πsin BAC sin BAD cos BAD 2∠∠∠⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，cos BAD 3∠∴=，在ABD V 中，由余弦定理得，222BD AB AD 2AB AD cos BAD ∠=+-⋅⋅，即2BD 1892333=+-⨯⨯=，得BD =()2由cos BAD 3∠=，得1sin BAD 3∠=， 在ABD V 中，由正弦定理，得：BD ABsin BAD sin ADB∠∠=．1AB sin BADsin ADBBD3∠∠⋅∴===，πADB DAC C C 2∠∠=+=+Q ，cosC ∴= 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列，123512b b b =，11a b + 33a b =+.(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：213n T ≤<.【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）详见解析.【解析】【详解】（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，2213[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+，当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2132b b b =， ∴3123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，∴831582q q q -+=-+⇒=或12q =-（舍去）， ∴2122n n n b b q -+==；（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n c +++++===-------， ∴123n nT c c c c =++++L 2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-------L 111121n +=-<-，显然数列{}n T 是递增数列，∴123n T T ≥=，即213n T ≤<.）19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，求出2a 和2b 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当直线l x ⊥轴时，可得出直线l 的方程为1x =±，可求出四边形OMDN 的面积；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，求出点D 的坐标，将点D 的坐标代入椭圆C 的方程得出22212k m +=，计算出MN 以及原点O 到直线l 的距离，通过化简计算可得出四边形OMDN的面积为，进而得证.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时，MN =OMDN的面积为122= 同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k ∴+=++=+，12212MN x x k =-==+，点O 到直线MN 的距离21m d k=+，由OM OC OD +=u u u ur u u u r u u u r，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k=+=+， Q 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN 的面积为22222122422212121OMDN OMNm k m S S MN d k k k ∆⋅+-==⨯⨯=+⨯⨯++()()()()2222222222184214842621621k k k m k m k k ⎡⎤++-++-⋅+⎣⎦====+.故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为6. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了四边形面积的计算，考查定值问题，一般利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题. 20．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =14.31=；②2(,)z N μσ:，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.【答案】（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 【解析】（1）根据平均数公式计算x ；（2）根据正态分布的对称性计算P （z≥84.81），再估计人数； （3）根据二项分布的概率公式计算P （ξ≤3）． 【详解】 （1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布()2,Nμσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 21．已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e．()1求实数b 的值；()2当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；()3当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ⊆，)+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 0b =;(2) 2a =时，()f x 在()0,+∞单调增；12a <<时, ()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；2a >时,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；（3）不存在. 【解析】分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 由111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.详解：(1) 由题意得()'ln 1g x x =--， 令()'0g x =，解得1x e=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减.所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =.（2）()f x 的定义域为()0,+∞.()()()21111x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==' ①11a -=即2a =,则()()21x f x x='-，故()f x 在()0,+∞单调增②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当()1,1x a ∈-时，()0f x '<; 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增．③若11a ->,即2a >,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增 （3）由（1）知()2ln 2F x x x x =-+，所以()'2ln +1F x x x =-，令()()'2ln +1x F x x x ω==-，则()1'20x xω=->对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以()'F x 在区间()1,+∞内单调递增，所以()()''110F x F >=>恒成立， 所以函数()F x 在区间()1,+∞内单调递增.假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根， 即方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根， 令()2ln 22x x x h x x -+=+， ()1,x ∈+∞，则()()22342ln '2x x x h x x +--=+， 设()2342ln p x x x x =+--， ()1,x ∈+∞，则()()()2122'230x x p x x x x-+=+-=>对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以函数()p x 在区间()1,+∞内单调递增，故()()10p x p >=恒成立，所以()'0h x >，所以函数()h x 在区间()1,+∞内单调递增，所以方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ． 【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭； 所以Q 2P = 【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23．已知函数()1f x x =-.（1）解不等式()()48f x f x ++≥；（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）(][),53,-∞-+∞U ；（2）证明见解析.【解析】（1）分3x <-、31x -≤≤、1x >三种情况解不等式()()48f x f x ++≥，即可得出该不等式的解集；（2）利用分析法可知，要证()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-，只需证明2210ab a b --->即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立. 【详解】（1）()()22,34134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩Q .当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，此时5x ≤-； 当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，此时3x ≥. 综上所述，不等式()4f x ≤的解集为(][),53,-∞-+∞U ；第 21 页 共 21 页 （2）要证()a b f ab a f ⎛>⎫ ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-， 因为1a <，1b <，所以，21a <，21b <，()()222222222212121ab a b a b ab a ab b a b a b ∴---=-+--+=-+-()()()()2222211110a b b a b =---=--<. 所以，1ab a b ->-.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.。
河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测试题 数学含答案
2023-2024学年普通高中高三第二次教学质量检测数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．．．．．．．．．。
考试结束后．．．．．，将本试卷和答题卡一并交回．．．．．．．．．．．．。
注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{13}A x x =-<∣ ，{}24B x Z x =∈<∣，则A B 等于A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,1,0,1,2--2．若2iz i =+，则复数z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4512a a =，则94S S 等于A ．15B ．1C ．1-D ．9-4．已知向量a ，b 的夹角为3π且2a = ，()1,1b = ，则a 在b 上投影向量的坐标为A．B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．22,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,15．“1x >”是“()12log 10x +<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．过直线y x =上的一点P 作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于y x =对称时，线段PA 的长为A ．4B．CD ．27．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点P 是C 上一点，且5PF =，以PF 为直径的圆截x 轴所得的弦长为1，则p 等于A ．2B ．2或4C ．4D ．4或68．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是A ．1237B ．1537C ．35D ．47二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，M ，N 是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且29MN π=，则下列选项正确的是A ．ω的值为3B ．ω的值为2C ．ϕ的值可以为43πD ．ϕ的值可以为3π10．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位：C ）的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8，则肯定进入夏季的地区有A ．一个都没有B ．甲地C ．乙地D ．丙地11．定义在R 上的函数()f x 满足()()40f x f x ++=，()22f x +是偶函数，()11f =，则A ．()f x 是奇函数B ．()20231f =-C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．1001(21)100k k f k =-=-∑12．如图，双曲线222:C x y a -=的左右顶点为A ，B ，P 为C 右支上一点（不包含顶点），PAB α∠=，PBA β∠=，APB γ∠=，直线l 与双曲线C 的渐近线交于F 、G ，M 为线段FG 的中点，则A ．双曲线C的离心率为e =B ．P 到两条渐近线的距离之积为2a C ．tan tan 2tan 0αβγ++=D ．若直线l 与OM 的斜率分别为1k ，2k ，则121k k =第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13．若5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数为15，则a =_________．14．已知直线210x y -+=的倾斜角为α，则tan2α的值是_________．15．已知函数()22,0,,0,x x x f x e x ⎧=⎨>⎩ 若方程()2[]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x ，则12x x +的最大值是_________．16．已知数列{}n a 通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n nn n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，若()*4n c c n N ∈ ，则实数t 的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河南省信阳市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检测数学(理科)试题
河南省信阳市2020-2021学年普通高中高三第二次教学质量检测数学(理科)一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2650A x x x =-+≤，{}3B x y x ==-，A B 等于（ ）A. [1,)+∞B. []1,3C. (3,5]D. []3,5D先求出集合,A B ，再求交集运算.由{}{}2650|15A x x x x x =-+≤=≤≤，{}{}33B x y x x x ==-=≥所以[]3,5A B =故选;D2. 已知复数2020z i i =+.则||z =( ) A. 2 B. 1C. 0D. 2A易得20201i =，所以1z i =+，进而根据模长公式计算即可..因为2101010102020()(1)1i i ==-=，所以1z i =+，所以|2|z =.故选：A .本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 100，40B. 100，20C. 200，40D. 200，20D首先根据扇形统计图中的数据求出学生总数，接下来结合已知求出样本容量，根据上述所求进一步求出抽取的高中学生人数，然后结合图乙进行解答即可.由图甲可知，学生总数45003500200010000++=（人），故抽取的样本容量为100002%200⨯=（人）， 其中抽取的高中学生有20002004010000⨯=（人）； 由图乙可知，高中生近视率为50%，∴抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=（人）.故选：D ..本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用，解答本题的关键是能从图中获取关键信息，接下来结合已知中的数据进行解答即可，属于常考题.4. 已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--=，{}n a 的前n 项和为n S ，则53S a =（ ） A. 314B.312C.154D.152A由221120n n n n a a a a ++--=,得()()1120n n n n a a a a +++-=，由{}n a 为正项数列，可得12n n a a +=，得出数列{}n a 是等比数列，且公比2q ，设首项为1a ，由等比数列的通项公式和前n 项和公式，代入可得选项.由221120n n n n a a a a ++--=,得()()1120n n n n a a a a +++-=，又{}n a 为正项数列，所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列，且公比2q，设首项为1a ，则()5151123112a S a -==-，231124a a a =⨯=，则53314S a =.故选：A. 本题考查等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，关键在于由已知的递推式，分解因式得出数列是等比数列，属于基础题.5. 如图是函数()f x 的图像，()f x 的解析式可能是（ ）A. 1()ln 1+=-x f x x B. 1()ln 1-=+x f x x C. 11()11=++-f x x x D. 11()11=-+-f x x x C利用赋值法代入0x =，2x =，12x =-，用排除法即可得到答案. 由图象可知(0)0f =，若11()11=-+-f x x x ，11(0)20101f =-=+-，故可排除D ； 当2x =时，(2)0f >，若1()ln1-=+x f x x ，211(2)lnln 0213f -==<+，故可排除B ； 当12x =-时，1()02f ->，若1()ln 1+=-x f x x ，11112()ln ln 012312f -+-==<-，故可排除A ；故选：C.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6. “ln ln x y >”是“1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件A利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332xyy⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，反之1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >.故选：A .本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7. 执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的结果是（ ）A. 11114135717P ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭ B. 11114135719P ⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭ C. 11114135721P ⎛⎫=-+-+⋯+ ⎪⎝⎭D. 11114135721P ⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭B按照程序框图运行程序，寻找规律，直到i n >输出结果即可. 按照程序框图运行程序，输入10n =，0S =，1i =，则1S =，2i =，不满足i n >，循环；113S =-，3i =，不满足i n >，循环；11135S =-+，4i =，不满足i n >，循环；以此类推，1111135719S =-+--⋅⋅⋅-，11=i ，满足i n >，则4P S =，11114135719P ⎛⎫∴=-+--⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭.故选：B .本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于常考题型.8. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A. 30种 B. 50种 C. 60种 D. 90种B先分情况甲选牛共有1121020C C ⋅=，甲选马有1131030C C ⋅=，得出结果.若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1121020C C ⋅=若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1131030C C ⋅=所以共有203050+=种故选B本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.9. 定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则方程()()f x g x =的解的个数是（ ） A. 9 B. 10C. 11D. 12C由题意可得()f x 为周期为2的偶函数，且当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，画出()y f x =的图象，作出()y g x =的图象，通过图象可得两函数的交点个数，可得所求方程解得个数.(1)(1)f x f x -=+，即为(2)()f x f x +=，可得()f x 为周期为2的偶函数，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，即[1,1]x ∈-时，2()f x x =， 画出()y f x =的图象，函数()g x 是定义在R 上的奇函数， 当0x >时，()lg g x x = 可得0x =时，(0)0g =，0x <时，()lg()g x x =--， 作出()y g x =的图象，由lg101=，()f x 的最大值为1，可得0x >时，()y f x =和()y g x =的图象有9个交点； 当0x =时，(0)(0)0f g ==；当0x <时，()y f x =和()y g x =的图象有1个交点； 综上所述，可得()y f x =和()y g x =的图象共有11个交点， 即方程()()f x g x =共有11个解，故选：C. 函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10. 将函数()17cos 488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度，向下平移78个单位长度后，得到()h x 的图象，若对于任意的实数,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()h x ω都单调递增，则正数ω的最大值为（ ） A. 3 B.52C.73D.76B根据三角函数图象变换求得()1cos 483h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()1cos 483h x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出2433333x πωπππωπω+≤+≤+，由函数()y h x ω=单调递增可得出关于ω的不等式组，即可解得正数ω的最大值.将函数()17cos 488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度，得到函数17cos 4838y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 再将所得函数图象向下平移78个单位长度后，得到函数()1cos 483h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则()1cos 483h x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2433333x πωπππωπω+≤+≤+， 由于函数()y h x ω=在区间,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，[]2,2,23333k k πωππωππππ⎡⎤++⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以，2332233k k πωππππωππ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得()16432k k k Z ω-≤≤-∈，由16432k k -≤-，解得76k ≤，k Z ∈，当1k =时，522ω≤≤，因此，正数ω的最大值为52.故选：B. 本题考查利用余弦型函数的单调性求参数，同时也考查了利用函数图象变换求函数解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11. 如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 23y x =±B. 22y x =±C. 3y x =D. 2y x =A设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒= 因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =所以双曲线的渐近线方程为23b y x x a=±=±. 本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.12. 已知函数244()ln -⎫⎛=++ ⎪⎝⎭x f x k x k x ，[1,)∈+∞k ，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y 使曲线()y f x =在M ､N 两点处的切线互相平行，则12+x x 的取值范围为（ ） A. [4,)+∞ B. (4,)+∞C. 16,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 16,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 分析】求得()f x 的导数()f x '，由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠，化为121244()()x x k x x k+=+，因此12164x x k k+>+对[1k ∈，)+∞都成立，令4()g k k k=+，[1k ∈，)+∞，根据对勾函数的性质求出最值即可得出．解：函数244()()x f x k lnx k x-=++，导数2414()()1f x k k x x '=+--．由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠． 即有221122444411k k k k x x x x ++--=--， 化为121244()()x x k x x k+=+， 而21212()2x x x x +<， 2121244()()()2x xx x k k +∴+<+，化为12164x x k k+>+对[1k ∈，)+∞都成立， 令4()g k k k=+，[1,)∈+∞k ，则()g k 在[)1,2上单调减，在[2,)+∞上单调递增， 所以()()min 22442g k g ==+=∴6164414k k=+， 124x x ∴+>，即12x x +的取值范围是()4,+∞．故选：B ．方法点晴：本题利用导数几何意义，函数的单调性与最值问题的等价转化方法、基本不等式的性质．二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知x ，y 满足约束条件221x y y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则3-=y z x 的最大值为________．23- 作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；约束条件所表示的可行域，如图所示：目标式3-=y z x的几何意义是可行域内的点(,)x y 与点(0,3)连线的斜率， 由图可知过点（1，1）时，max 23z =-．故答案为：23-.本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用.14. 在23(23)x x --的展开式中，含2x 的项的系数是__________． -9由于涉及的为三项展开式的问题，解题中可根据组合的方法求解．()3223xx --表示三个()223x x --相乘，所以展开式中含2x 的项有两种情况：（1）从三个()223x x --选取一个然后取2x ，再从剩余的两个()223x x --中分别选取3-，所得结果为12223(3)27C x x ⋅⋅-=；（2）从三个()223x x --选取两个分别取2x -，再从剩余的一个()223x x --中选取3-，所得结果为2223(2)(3)36C x x ⋅-⋅-=-．综上可得展开式中含2x 的项为22236279x x x -+=-． 故答案为9-．本题考查三项展开式的问题，解题的方法有两个：一是转化为二项展开式的问题求解，另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基础题． 15. 已知抛物线2y =4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且FA FB 6⋅=，则|AB|=_____ 6先设直线方程联立抛物线方程得121x x =，由抛物线的焦半径公式写出FA FB ⋅列式可解出12x x +，然后由12AB 2FA FB x x =+=++可求出答案.解：由抛物线2y =4x ，得()1,0F ，当直线AB 垂直与x 轴时，2FA FB ==，不符合故可设直线AB ：y=k(x 1)-，联立抛物线得()2222x 22=0k k x k -++所以121x x =由抛物线的焦半径可知11FA x =+，21FB x =+所以()()1212121211126FA FB x x x x x x x x ⋅=++=+++=++= 所以124x x +=，12AB 26FA FB x x =+=++= 故答案为6本题考查抛物线焦点弦的性质，抛物线的焦半径，属于中档题. 16. 在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________34计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案. ()22211sin ,1cos,22ABC S AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()2222AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意. 故答案为：34.本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. (1) 3C π=.(2) .（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，2221cos 22a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===，即,a Ab B == ∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ 2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b 的取值范围为.本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （0n S ≠），满足1S ，2S ，3S -成等差数列，且123a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()1311nn n n a b a a +-=++，求数列{}n b的前n 项和n T .（1）()2nn a =-.（2）()()112221n n n T ++-+=--+ （1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意结合等差数列、等比数列的性质转化条件可得()()21121a q q a q -+=+、2211a q a q =，即可得解； （2）由题意()()1112121n nn b +=--+-+，利用裂项相消法即可得解.（1）设数列{}n a 的公比为q ，依题意得()1322S S S +-=，所以()()23122a a a a -+=+即()()21121a q q a q -+=+，因为10a ≠，所以2320q q ++=，解得1q =-或2q =-， 因为0n S ≠，所以2q =-，又因为123a a a =，所以2211a q a q =即12a q ==-，所以()2nn a =-；（2）题意可得()()()()()()()111322*********n n nn n n n n b +++-----==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1112121nn +=--+-+，则()()()()()()12231111111212121212121n n n T +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()11122112121n n n +++-+=--=--+-+. 本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了利用裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.19. 为进一步深化“平安校园”创建活动，加强校园安全教育宣传，某高中对该校学生进行了安全教育知识测试（满分100分），并从中随机抽取了200名学生的成绩，经过数据分析得到如图1所示的频数分布表，并绘制了得分在[)30,40以及[]90,100的茎叶图，分别如图2､3所示． 成绩 [)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100频数5304050452010图1（1）求这200名同学得分的平均数；（同组数据用区间中点值作代表）（2）如果变量X 满足()220.9544P X μσμσ-<<+>且()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”．经计算知样本方差为210，现在取μ和2σ分别为样本平均数和方差，以样本估计总体，将频率视为概率，如果该校学生的得分“近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”，则认为该校的校园安全教育是成功的，否则视为不成功．试判断该校的安全教育是否成功，并说明理由．（3）学校决定对90分及以上的同学进行奖励，为了体现趣味性，采用抽奖的方式进行，其中得分不低于94的同学有两次抽奖机会，低于94的同学只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为：奖金 50100概率3414现在从不低于90同学中随机选一名同学，记其获奖金额为ξ，以样本估计总体，将频率视为概率，求ξ的分布列和数学期望． 21014.5≈）（1）65；（2）是成功的，理由详见解析；（3）分布列详见解析，数学期望为87.5 （1）每组的中间成绩乘以对应的频率再求和，就是所求的平均数； （2）计算2,3μσμσ±±的概率，结合茎叶图中的数据即可进行判断；（3）ξ的可能取值为：50,100,150,200，计算每个数值对应的概率，进而得到ξ的分布列，由此计算得出期望.解（1）据频数分布表得：350.025450.15550.2650.25⨯+⨯+⨯+⨯750.225850.1950.0565+⨯+⨯+⨯=， 所以平均数为65．（2）该校的安全教育是成功的．理由如下：14.5≈，所以265214.536μσ-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=，365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，而且据茎叶图2，3知：得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个， 所以7(22)10.9650.9544200P X μσμσ-<<+=-=>， 因为学生的得分都在[]30,100之间，所以(33)10.9974P X μσμσ-<<+=>，所以学生的得分“近似满足正态分布()65,210N 的概率分布”，因此该校的安全教育是成功的．（3）设这名同学获得的奖金为ξ，则ξ的可能取值为50，100，150，200．639(50)10420P ξ==⨯=， 261433(100)1041048P ξ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭，124313(150)104420P C ξ==⨯⨯⨯=， 2411(200)10440P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 分布列为93315010015020087.52082040E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．本题考查了平均数的计算，考查了正态分布，离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了学生的审题和计算能力，属于中档题.20. 已知椭圆N ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1C，且离心率为2.（1）求椭圆N 的标准方程与焦距；（2）直线l ：13y kx =-与椭圆N 的交点为A ，B 两点，线段AB 的中点为M .是否存在常数λ，使AMC ABC λ=⋅∠∠恒成立，并说明理由.（1）2212x y +=，焦距为2；（2）存在常数2λ=，使2AMC ABC ∠=∠恒成立，详见解析.（1）根据上顶点的坐标和离心率可得,,a b c ，从而可求标准方程和焦距.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简CA CB ⋅可得0CA CB ⋅=，从而可得2λ=.（1）因为椭圆N ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1C，且离心率为2，所以1b =，c a =，又因为222a c b -=， 可解得1c =，a =22c =，所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）存在常数2λ=，使2AMC ABC ∠=∠恒成立， 证明如下：由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2291812160kxkx +--=，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则12212918k x x k +=+，12216918x x k -=+. 又因为()11,1CA x y =-，()22,1CB x y =-， 所以()()121211CA CB x x y y ⋅=+--12124433x x kx kx ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()21212416139k x x k x x =+-++()22216412161091839189k k k k k -=+⋅-⋅+=++，所以CA CB ⊥，因为线段AB 的中点为M ，所以MC MB =，所以2AMC ABC ∠=∠. 存在常数2λ=，使2AMC ABC ∠=∠恒成立.求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21. 已知函数()()2 ,xf x e ax ag x lnx =--=.(1)讨论()f x 的单调性;(2)用{},max m n 表示,m n 中的最大值，若函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>只有一个零点,求a 的取值范围.(1) ()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2) )1, [2e ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩+∞⎭(1)先求函数的导函数()'2xf x e a =-，再讨论0a ≤时, 0a >时,函数()f x 的单调性即可；(2)分别讨论函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>在当1,() x ∈+∞，当1x =时，当()0,1x ∈时,函数()h x 零点个数，然后结合函数在(0, )+∞的零点个数即可得解.解:(1)函数()f x 的定义域为R ,且()'2xf x e a =-.当0a ≤时,() 0f x >对x ∈R 恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 当0a >时,令()0f x '=,得() 2x ln a =,当(),2()x ln a ∈-∞时,()0f x '<;当()2,()x ln a ∈+∞时,()0f x '>.所以()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2)①当1,() x ∈+∞时, () 0g x ln x =>,从而()()(){}() ,0h x max f x g x g x =≥>,所以()h x 在(1, )+∞上无零点，②当1x =时, ()13f e a =-,若()()(){}(),11,1103ea h max f g g ≥===,所以1x =是()h x 的零点;若()()(){}() ,11,1103e a h maxfg f <==>,所以1x =不是()h x 的零点. ③当()0,1x ∈时, ()l 0g x n x =<,所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在()0,1上的零点个数.()f x 在()0,1上的零点个数()0f x ⇔=在()0,1上实根的个数21xe a x ⇔=+在()0,1上实根的个数.令函数()(),0,121xe x x x ϕ=∈+,则()()()22121xx e x x ϕ-'=+,所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1(,1)2上单调递增；又()01ϕ=，()31e ϕ=，22e ϕ⎛⎫⎪⎭= ⎝，当2a <或1a ≥时，()f x 在()0,1上无零点;当2a =或13e a ≤<时, ()f x 在()0,1上有唯一零点，3ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有两个零点，综上可得：当a <()h x 在(0, )+∞上有无零点,当a =()h x 在(0, )+∞上有1个零点,当12a <<时，()h x 在(0, )+∞上有2个零点, 当1a ≥时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,则()h x 在(0, )+∞上有唯一零点, a 的取值范围为)1, [e ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩+∞⎭. 本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用函数研究函数的单调性及函数的大致图像，属难度较大的题型.22. 已知直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-．（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 距离的最小值，并求出此时P 点的坐标． （1cos()14πθ，2yx ；（2）P 到直线距离的最小值为：8，此时P 点的坐标为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ （1）先将直线l 的参数方程消去参数化为普通方程，再将其转化为极坐标方程，把2sin 1sin θρθ=-化为2cos sin ρθθ=，然后两边同乘以ρ，再利用公式可转化为直角坐标方程.（2）利用点到直线的距离公式，求出P 到直线l 的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出点P 的坐标即可解：（1）由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数得10x y --=，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ--=cos()14πθ，由2sin 1sin θρθ=-，得2cos sin ρθθ=，22cos sin ρθρθ=，得 2y x ，所以曲线C 的直角坐标方程为2y x （2）设00(,)P x y ，则2000(0)y x x ，点00(,)P x y 到直线l 的距离为2013()x d -+====当012x=时，min 8d =，此时 11(,)24P所以当11(,)24P 时，点P 到直线l 的距离最小，最小值为8此题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，属于基础题.23. 设函数()22f x x x =+--.（1）解不等式()2f x ≥；（2）当x ∈R ，0<y <1时，证明：11221x x y y+--≤+-. （1）{|1}x x ≥；（2）证明见解析.（1）去绝对值将函数转化为()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，然后分2x ≥， 22x -<<两种情况讨论求解.（2）通过（1）得到224x x +--≤，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求得111y y+-的最小值即可.（1）由已知可得：()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，当2x ≥时，42＞成立；当22x -<<时，22x ≥，即1≥x ，则12x ≤＜. ∴()2f x ≥的解集为{|1}x x ≥. （2）由（1）知，224x x +--≤，∵01y ＜＜，则()1111111y y y y y y ⎛⎫⎡⎤+=++- ⎪⎣⎦--⎝⎭， 122241y y y y-=++≥+=- 当且仅当1=1y y y y --，即12y =时取等号， 则有11221x x y y+--≤+-. 本题主要考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学(理)试卷及解析
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =（其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}2|log 1A x x =<,{}2|0B x x x =->,则A B =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D. {|14x x ≤<}【答案】A【解析】 求出不等式2log 1x <和20x x ->的解,然后根据集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <,得02x <<,故{|02}A x x =<<,由20x x ->,得1x >或0x <,故{|1B x x =>或0}x <,所以,{|12}A B x x =<<.故选：A2.已知复数z 满足21i z i-=+,则z =（ ）A. 132i +B. 132i -C. 32i +D. 32i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算,即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ----===++-. 故选：B.3.由我国引领的5G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C 项表达错误．故选：ABD ．4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A. 10B. 24C. 32D. 56。
河南省信阳市2020届高三上学期第二次教学质量检测(期末)数学(理)试题(含答案)
2020年1月14日河南省信阳市2020届高三上学期第二次教学质量检测（期末）数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分㊂考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效㊂考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回㊂注意事项:1.答题前,考生务必将本人的姓名㊁准考证号等考生信息填写在答题卡上,并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置㊂2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写,字体工整㊁笔迹清楚㊂3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效㊂4.保持卡面清洁,不折叠,不破损㊂第Ⅰ卷一㊁选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x}x2-16ɤ0},B={x|l g|x-2|>0},则AɘB等于A.[-4,1)ɣ(3,4]B.[-4,-3)ɣ(-1,4]C.(-4,1)ɣ(3,4)D.(-4,-3)ɣ(-1,4)2.复数z的共轭复数记作z,已知复数z1对应复平面上的点(-1,-1),复数z2满足z1㊃z2=-2,则|z2|等于A.2B.2C.10D.103.正项等差数列{a n}的前n和为S n,已知a3+a7-a25+15=0,则S9等于A.35B.36C.45D.544.如图所示,三国时代数学家赵爽在‘周髀算经“中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为30ʎ,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取3ʈ1.732),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为A.134B.67C.182D.1085.在әA B C中,H为B C上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若AM⇀=λA B⇀+μA C⇀,则λ+μ等于A.12B.23C.16D.13)页4共(页1第三高题数学科理试6.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是34,则判断框中应填入的条件可能是A.i >5B .i <5C .i >4 D.i <47.将函数y =s i n (3x +φ)的图象沿x 轴向左平移π9个单位长度后,得到函数f (x )的图象,则 φ=π6是 f (x )是偶函数 的A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知f (x +2)是偶函数,f (x )在(-ɕ,2]上单调递减,f (0)=0,则f (2-3x )>0的解集是A.(-ɕ,23)ɣ(2,+ɕ)B .(23,2)C .(-23,23) D.(-ɕ,-23)ɣ(23,+ɕ)9.函数f (x )=1x -l n x -1的图象大致是A B.C. D.10.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为A.48B .72C .90D.9611.已知F 1㊁F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点,过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ,若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是A.(3,2)B .(2,+ɕ)C .(1,2)D.(2,3)12.已知函数f (x )=x l n x -2x ,x >0x 2+32x ,x ɤ0ìîíïïïï的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y =-1的对称点在y =k x -1的图象上,则实数k 的取值范围是A.(12,1)B .(12,34)C .(13,1) D.(12,2))页4共(页2第 题试科理学数三高第Ⅱ卷二㊁填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.13.在(3x -2x)n的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则该二项展开式常数项等于.14.设数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,已知a 1+a 4+a 7=99,a 2+a 5+a 8=93,若对任意n ɪN *都有S n ɤS k 成立,则k 的值为.15.已知抛物线y 2=2p x (p >0)的焦点为F ,过焦点F 且斜率为13的直线与抛物线相交于A ㊁B 两点,O 为坐标原点,则c o s øA O B =.16.若函数f (x )=-56x -112c o s 2x +m (s i n x -c o s x )在(-ɕ,+ɕ)上单调递减,则m 的取值范围是.三㊁解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图,在ΔA B C 中,已知点D 在边B C上,且øD A C =90ʎ,s i n øB A C =223,A B =32,A D =3.(Ⅰ)求B D 长;(Ⅱ)求c o s øC .18.(本小题满分12分)已知数列{a n },其前n 项和S n =-3n 2,又{b n }是单调递增的等比数列,b 1b 2b 3=512,a 1+b 1=a 3+b 3.(Ⅰ)求数列{a n },{b n }的通项公式;(Ⅱ)若c n =b n (b n -2)(b n -1),求数列{c n }的前n 项和T n ,并求证:23ɤT n <1.19.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =22,且椭圆过点(2,1)(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)设直线l 与C 交于M ,N 两点,点D 在椭圆C 上,O 是坐标原点,若O M ⇀+O N ⇀=O D ⇀,判定四边形O MD N 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.)页4共(页3第 题试科理学数三高20.(本小题满分12分)在某市高中某学科竞赛中,某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.(Ⅰ)求这4000名考生的竞赛平均成绩x (同一组中数据用该组区间中点作代表);(Ⅱ)由直方图可认为考生竞赛成绩z 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ,σ2分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差s 2,那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人?(Ⅲ)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况,现从全市参赛考生中随机抽4名考生,记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ,求P (ξɤ3).(精确到0.001)附:①s 2=204.75,204.75=14.31;②z ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<z <μ+σ)=0.6826,P (μ-2σ<z <μ+2σ)=0.9544;③0.84134=0.501.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=12x 2-a x +(a -1)l n x ,g (x )=b -x l n x 的最大值为1e.(Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当a >1时,讨论函数f (x )的单调性;(Ⅲ)当a =0时,令F (x )=2f (x )+g (x )+2l n x +2,是否存在区间[m ,n ]⊆(1,+ɕ),使得函数F (x )在区间[m ,n ]上的值域为[k (m +2),k (n +2)]?若存在,求实数k 的取值范围;若不存在,请说明理由.请考生在22㊁23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)[选修4 4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程x =1+c o s φy =s i n φ{(φ为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程;(Ⅱ)若直线l 的极坐标方程是2ρs i n (θ+π3)=33,射线O M ʒθ=π3与曲线C 的交点为O ,P ,与直线l 的交点为Q ,求线段P Q 的长.23.(本小题10分)[选修4 5:不等式选讲]已知函数f (x )=|x -1|(Ⅰ)解不等式f (x )+f (x +4)ȡ8;(Ⅱ)若|a |<1,|b |<1,a ʂ0,求证:f (a b )>|a |f (b a).)页4共(页4第 题试科理学数三高2019-2020学年普通高中高三第二次教学质量检测数学理科参考答案一㊁选择题1.A2.A3.C4.B5.A6.D7.A8.D9.B 10.D 11.B 12.A二㊁填空题13.112 14.20 15.-313 16.[-23,23]三㊁解答题17.解:(Ⅰ)由题意,因为øD A C =90ʎ,ʑs i n øB A C =s i n (π2+øB A D )=c o s øB A D ,ʑc o s øB A D =223,3分 在әA B D 中,由余弦定理得,B D 2=A B 2+A D 2-2A B ㊃A D ㊃c o s øB A D ,即B D 2=18+9-2ˑ32ˑ3ˑ223=3,得B D =3.6分 (Ⅱ)由c o s øB A D =223,得s i n øB A D =13,在ΔA B D 中,由正弦定理,得:B D s i n øB A D =A Bs i n øA D B.9分ʑs i n øA D B =A B ㊃s i n øB A D B D =32ˑ133=63,ȵøA D B =øD A C +øC =π2+øC ,ʑc o s øC =63.12分18.解:(Ⅰ)当n =1时,a 1=S 1=-3,当n ȡ2时,a n =S n -S n -1=-3n 2-[-3(n -1)2]=-6n +3,当n =1时,也满足a n =-6n +3,ʑa n =-6n +3,3分 ȵ{b n }是等比数列,ʑb 1b 3=b 22,ʑb 1b 2b 3=b 32=512⇒b 2=8,又ȵa 1+b 1=a 3+b 3,ʑ-3+8q=-15+8q ⇒q =2或q =-12(舍去),ʑb n =b 2q n -2=2n +16分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得:c n =2n +1(2n +1-2)(2n +1-1)=2n (2n -1)(2n +1-1)=12n -1-12n +1-1,8分 )页4共(页1第 案答学数科理三高ʑT n =c 1+c 2+c 3+ +c n =(12-1-122-1)+(122-1-123-1)+ +(12n -1-12n +1-1)=1-12n +1-1<1,11分显然数数{T n }是递增数列,ʑT n ȡT 1=23,即23ɤT n <1.12分 19.解:(Ⅰ)由题意可得c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2ìîíïïïïïï,解得a 2=4,b 2=2则椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1,4分(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,直线MN 的方程为x =-1或x =1,此时可求得四边形O MD N 的面积为6.5分 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y =k x +m ,代入到x 24+y 22=1,得(1+2k 2)x 2+4k m x +2m 2-4=0,ʑx 1+x 2=-4k m 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-41+2k 2,ә=8(4k 2+2-m 2)>0,7分 ʑy 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =2m 1+2k 2,|MN |=1+k 2ˑ22㊃4k 2+2-m 21+2k 2点O 到直线MN 的距离d =|m |1+k2,由O M ⇀+O N ⇀=O D ⇀,得x D=-4k m 1+2k 2,yD=2m1+2k 2ȵ点D 在曲线C 上,所以有(-4k m 1+2k 2)24+(2m 1+2k2)22=1,整理得1+2k 2=2m 2,8分 由题意四边形O MD N 为平行四边形,ʑO MD N 的面积为S O MD N =|MN |㊃d=1+k 2㊃22㊃4k 2+2-m 21+2k 2㊃|m |1+k2=22|m |㊃4k 2+2-m 21+2k 2由1+2k 2=2m 2得S O MD N =6,故四边形O MD N 的面积是定值,其定值为6.12分20.解:(Ⅰ)由题意知:x =45ˑ0.1+55ˑ0.15+65ˑ0.2+75ˑ0.+85ˑ0.15+95ˑ0.1=70.5,ʑ4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5.4分)页4共(页2第 案答学数科理三高(Ⅱ)依题意z 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ=x =70.5,σ2=D ξ=204.75,ʑσ=14.31,ʑz 服从正态分布N (μ,σ2)=N (70.5,14.312),而P (μ-σ<z <μ+σ)=P (56.19<z <84.81)=0.6826,ʑP (z ȡ84.81)=1-0.68262=0.1587.ʑ竞赛成绩超过84.8的人数估计为0.1587ˑ4000=634.8人ʈ634人.8分 (Ⅲ)全市竞赛考生成绩不超过84.8的概率1-0.1587=0.8413.而ξ~B (4,0.8413),ʑP (ξɤ3)=1-P (ξ=4)=1-C 44㊃0.84134=1-0.501=0.499.12分 21.解:(Ⅰ)由题意得g '(x )=-l n x -1,令g '(x )=0,解得x =1e,当x ɪ(0,1e )时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增;当x ɪ(1e,+ɕ)时,g'(x )<0,函数g (x )单调递减.所以当x =1e 时,g (x )取得极大值也是最大值,所以g (1e )=1e +b =1e,解得b =0.3分 (Ⅱ)f (x )的定义域为(0,+ɕ).f'(x )=x -a +a -1x =x 2-a x +a -1x =(x -1)(x +1-a )x①a -1=1即a =2,则f '(x )=(x -1)2x,故f (x )在(0,+ɕ)单调增②若a -1<1,而a >1,故1<a <2,则当x ɪ(a -1,1)时,f'(x )<0;当x ɪ(0,a -1)及x ɪ(1,+ɕ)时,f'(x )>0故f (x )在(a -1,1)单调递减,在(0,a -1),(1,+ɕ)单调递增.③同理若a -1>1,即a >2,f (x )在(1,a -1)单调递减,在(0,1),(a -1,+ɕ)单调递增7分(Ⅲ)由(Ⅰ)知F (x )=x 2-x l n x +2,所以F '(x )=2x -l n x +1,令ω(x )=F '(x )=2x -l n x +1,则ω'(x )=2-1x>0对∀x ɪ(1,+ɕ)恒成立,所以F '(x )在区间(1,+ɕ)内单调递增,所以F '(x )>F '(1)=1>0恒成立,所以函数F (x )在区间(1,+ɕ)内单调递增.假设存在区间[m ,n ]⊆(1,+ɕ),使得函数F (x )在区间[m ,n ]上的值域是[k (m +2),k (n +2)],则F (m )=m 2-m l n m +2=k (m +2)F (n )=n 2-n l n n +2=k (n +2){,)页4共(页3第 案答学数科理三高问题转化为关于x 的方程x 2-x l n x +2=k (x +2)在区间(1,+ɕ)内是否存在两个不相等的实根,10分即方程k =x 2-x l n x +2x +2在区间(1,+ɕ)内是否存在两个不相等的实根,令h (x )=x 2-x l n x +2x +2,x ɪ(1,+ɕ),则h '(x )=x 2+3x -4-2l n x(x +2)2,设p (x )=x 2+3x -4-2l n x ,x ɪ(1,+ɕ),则p '(x )=2x +3-2x=(2x -1)(x +2)x>0对∀x ɪ(1,+ɕ)恒成立,所以函数p (x )在区间(1,+ɕ)内单调递增,故p (x )>p (1)=0恒成立,所以h '(x )>0,所以函数h (x )在区间(1,+ɕ)内单调递增,所以方程k =x 2-x l n xx +2在区间(1,+ɕ)内不存在两个不相等的实根.综上所述,不存在区间[m ,n ]⊆(1,+ɕ),使得函数F (x )在区间[m ,n ]上的值域是[k (m +2),k (n +2)].12分22.(Ⅰ)曲线C 的普通方程为(x -1)2+y 2=1,极坐标方程为ρ=2c o s θ4分(Ⅱ)设P (ρ1,θ1),则有ρ=2c o s θθ=π3ìîíïïïï解得ρ1=1,θ1=π36分 设Q (ρ2,θ2),则有2ρs i n (θ+π3)=33 θ=π3ìîíïïïï解得ρ2=3,θ2=π38分 所以|P Q |=2.10分23.解:(Ⅰ)f (x )+f (x +4)=|x -1|+|x +3|=-2x -2,x <-3,4,-3ɤx ɤ1,2x +2,x >1.ìîíïïïï2分 当x <-3时,由-2x -2ȡ8,解得x ɤ-5;当-3ɤx ɤ1时,f (x )ɤ8不成立;当x >1时,由2x +2ȡ8,解得x ȡ3.4分 所以,不等式f (x )ɤ4的解集为{x |x ɤ-5,或x ȡ3}.5分(Ⅱ)f (a b )>|a |f (ba),即|a b -1|>|a -b |.7分 ȵ因为|a |<1,|b |<1,ʑ|a b -1|2-|a -b |2=(a 2b 2-2a b +1)-(a 2-2a b +b 2)=(a 2-1)(b 2-1)>0,所以,|a b -1|>|a -b |.故所证不等式成立㊂10分)页4共(页4第 案答学数科理三高。
2021届河南省信阳市普通高中高三第二次教学质量检测数学(理科)试题及答案及答案()
2020-2021学年普通高中高三第二次教学质量检测绝密★启用前数学考前知识点分类冲刺训练注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上数学(理科)2021.2.2第I 卷一､选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知集合2{|650},{|3} ,A x x xB x y x A B =-+≤==-⋂等于A.[1,+∞)B.[1,3]C.(3,5]D.[3,5]2.已知复数2020.z i i =+则|z|等于.2A B.1 C.0 D.23.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示｡为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A.100,40B.100,20C.200,40D.200,204.已知正项数列{}n a 满足221120,{} n n n n n a a a a a ++--=的前n 项和为S n ,则53S a 等于 31.4A 31.2B 15.4C 15.2D 5.如图是函数f(x)的图象,f(x)的解析式可能是1.()ln ||1x A f x x +=- B.()1ln ||1x f x x -=+ 11.()11C f x x x =++- D.11()11f x x x =-+- 6."ln.x>lny"是“11()()32x y <”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的结果是A.11114(1)35717P =-+-++ B.11114(1)35719p =-+-+ 1111.4(1)35721C P =-+-++D.11114(1)35721P =-+-+-8.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应于十二种动物(鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛､狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取的礼物都满意,则选法有A30种 B.50种 C.60种 D.90种9.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x ∈[-1,0]时2(),f x x =函数g(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,g(x)=lgx,则方程f(x)=g(x)的解的个数是A.9B.10C.11D.1210.将函数17()cos488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度,向下平移78个单位长度后,得到h(x)的图象,若对于任意的实数[,],()126x h x ππω∈都是单调递增,则正数ω的最大值为 A.2 5.2B 7.3C 7.6D 11,如图12,,F F 是双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两点｡若11||:||3:4:5:AB BF AF =,则该双曲线的渐近线方程为A.y=±23xB.y=±22x 3x 2x12.已知函数244()()ln ,[1,)x f x k x k k x-=++∈+∞,曲线y=f(x)上总存在两点 1122(,),,)(M x y N x y 使曲线y=f(x)在M ､N 两点处的切线互相平行,则12x x +的取值范围为A.[4,+∞)B.(4,+∞) 16.[,)5C +∞ 16.(,)5D +∞第II 卷二､填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置｡13.已知x,y 满足约束条件22,1x y y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则3y z x -=的最大值为___. 14.在23(23)x x --的展开式中,含2x 的项的系数是____.15.已知抛物线24y x =的焦点为F,过点F 的直线交抛物线于A ､B 两点,且|FA|·|FB|=6,则|AB|=___.16.在△ABC 中,向量(3cos ,cos ),(cos ,sin )AB x x AC x x ==,则△ABC 面积的最大值是___. 三､解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题12分)在△ABC 中,a ､b ､c 分别是角A ､B ､C 的对边,且(a+b+c)(a+b-c)=3ab.(I)求角C 的值;(II)若c=2,且△ABC 为锐角三角形,求a+b 的取值范围.18.(本小题12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为(0),n n S S ≠满足123,,S S S -成等差数列,且123.a a a =(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设13,(1)(1)n n n n a b a a +-=++求数列{}n b 的前n 项和.n T 19.(本小题12分)2020年信阳市为了进一步深化"平安校园"创建活动,加强校园安全教育宣传,某高中对该校学生进行了安全教育知识测试(满分100分),并从中随机抽取了200名学生的成绩,经过数据分析得到如图1所示的频数分布表,并绘制了得分在[30,40)以及[90,100]的茎叶图,分别如图2､3所示｡图(I)求这200名同学得分的平均数；(同组数据用区间中点值作代表)；(II)如果变量X 满足(22)0.9544P X μσμσ-<<+>且()330.9974P X μσμσ-<<+>,则称变量X"近似满足正态分布2(,)N μσ的概率分布".经计算知样木方差为210,现在取μ和2σ分别为样本平均数和方差,以样本估计总体,将频率视为概率,如果该校学生的得分"近似满足正态分布2)(,N μσ的概率分布",则认为该校的校园安全教育是成功的,否则视为不成功｡试判断该校的安全教育是否成功,并说明理由.(III)学校决定对90分及以上的同学进行奖励,为了体现趣味性,采用抽奖的方式进行,其中得分不低于94的同学有两次抽奖机会,低于94的同学只有一次抽奖机会,每次抽奖的奖金及对应的概率分别为: 奖金50 100 概率 34 14现在从不低于90ξ,以样本估计总体,将频率视为概率,求ξ的分布列和数学期望. (21014.5)≈20.(本小题12分)已知椭圆N:22221(0)x y a b a b+=>>)经过点C(0,1)2 (I)求椭圆N 的标准方程与焦距;(II)直线l:13y kx =-与椭圆N 的交点为A,B 两点,线段AB 的中点为M.是否存在常数λ,使∠AMC=λ∠ABC 恒成立,并说明理由.21.(本小题12分)已知函数()2,()ln x f x e ax a g x x =--=.(I)讨论f(x)的单调性;(II)用max{m,n}表示m,n 中的最大值,若函数h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0)只有一个零点,求a 的取值范围.请考生在22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分｡22.(本小题10分)已知直线l 的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2sin .1sin θρθ=- (I)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程;(II)若点P 是曲线C.上的动点,求点P 到直线l 距离的最小值,并求出此时P 点坐标.23.(本小题10分)设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.(I)解不等式f(x)≥2;(II)当x ∈R,0<t<1时,证明,11|2||2|1x x t t+--≤+-.。
2020届河南省普通高中高考质量测评(二)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省普通高中高考质量测评（二）数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}2|0B x x x =->，则A B I =（ ）A ．{|12x x <<}B ．{|2x x <}C ．{|12x x ≤≤}D ．{|14x x ≤<}【答案】A【解析】求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<， 由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <， 所以，{|12}A B x x =<<I . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2．已知复数z 满足21iz i -=+，则z =（ ） A ．132i+ B ．132i - C ．32i +D ．32i- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】 ∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【答案】D【解析】对A 选项，可直观感知每年的产出是逐渐增高；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出． 【详解】对A 选项，每一年小矩形高是逐渐增高的，可直观发现每年产值是逐渐增高，故A 正确；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓，故B 正确； 对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大，故C 正确；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出，故D 错误．故选D ． 【点睛】本题主要考查数学阅读理解能力及从图中提取信息的能力，属基础题． 4．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10 B ．24C ．32D ．56【答案】D【解析】先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案.【详解】 ∵444111(12)1(12)(12)x x x x x⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭， ∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案. 【详解】∵()1x f x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 6．函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行 【答案】D【解析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，通过证明四边形ADHG 为平行四边形，可得AG DH //且AG DH =，由在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，可得EF DH //且12EF DH =，综上，即可得到本题答案. 【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以GH BC //，223GH BC ==，又因为AD BC //且2AD =，所以GH AD //，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以AG DH //，且AG DH =.在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，所以EF DH //，且12EF DH =，所以EF AG //，且12EF AG =，即2AG EF =. 故选：D 【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ） A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【答案】A【解析】根据22a =，728S =，求得n a ，再利用裂项相消法求n T ，令2020n =代入n T ，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==， 所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和， 则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+ ∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+L 12020120212021=-=故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和.9．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.10．设抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(0,)2pC ，AF 与BC 相较于点E .若||2CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为（ ） A ．2 B ．2C ．6D ．22【答案】C【解析】由题，可得()2,Ap p ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为32，得92ACF S ∆=，然后通过求132922ACF S p p ∆=⨯⨯=的解，即可得到本题答案.【详解】 根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-，由||2||CF AF =，得3||2AF p =，不妨设点(,)A x y 在第一象限，则322p y p +=，即y p =，所以2x p =，易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =，所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即92ACF S ∆=，所以132922ACF S p p ∆=⨯⨯=，解得6p =. 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力.11．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A ．B ．6C ．24D ．48【答案】B【解析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径，所以2AB =，且1,AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，所以11111332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【答案】A【解析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<…，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<…， 所以52222ϕϕωππ-<-…， 所以5342222ππωππ-<-…，即15783ω<…，满足的只有A.故选：A. 【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.二、填空题13．若||3a =r ，||2b =r，2a b +=r r ，则a r 与 b r的夹角为______________. 【答案】3π 【解析】由222|2|44a b a a b b +=+⋅+r rr r r r 及||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，即可得到本题答案.【详解】设a r 与 b r的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=r rr r r r ，得1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π 【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 【答案】1514【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =， ∴4211231241332315(1)1587(1)144Sa q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g . 【答案】1520 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈【解析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案. 【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.16．已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+=⎪⎝⎭⋅u u u u u u u r u u r u u u u r u u r r u ，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF V 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠. 【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【答案】（1）3B π=（2321【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c BC b=可求． 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以b =由正弦定理可得，sin sin 14c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【答案】（1）分布列见解析，2.6（2）40000尾【解析】（1）由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用相互独立事件同时发生的概率，可计算(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====的值，进而得到分布列和期望；（2）依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，计算一尾乙种鱼苗的平均收益，进而计算n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，再解不等式，即可得答案. 【详解】（1）记随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则(0)0.20.10.10.002P X ==⨯⨯=，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(3)0.80.90.90.648P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为X0 1 2 3 P0.0020.0440.3060.648()00.00210.04420.30630.648 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=， 所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4⨯-⨯=元. 设购买n 尾乙种鱼苗，()E n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则()9.4376000E n n =…，解得40000n …. 所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、利润最大化的决策问题，考查函数与方程思想、，考查数据处理能力.19．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB △和POA V 的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题. （ⅰ）证明：//EF 平面PAQ ；（ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）见解析（ⅱ 【解析】（1）证明PC 垂直平面PAD 内的两条相交直线,AD PD ，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，再由线面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n =r ，平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，求两向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 【详解】（1）因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又,AD PD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，而PC ⊂平面PBC ，故平面PAD 平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为两个三角形的重心，∴23PE PF PM PN ==，//EF MN 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面,PAQ EF ⊄平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ . （ⅱ）PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(2,2,0)P A B PA AB =-=-u u u r u u u r，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0,n PA n AB ⋅=⎧⎨⋅=⎩vu u u v v即220,220,x z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩可取(2,2,1)n =r，又平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，所以5cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉===r u rr u r r u r ，所以25sin ,n m 〈〉=r u r . 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为25.【点睛】本题考查空间中的线面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系前必需证明三条直线两两互相垂直.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PF F △椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2||AB GF 为定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =即可得到b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB 的垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2||AB GF 中，即可得答案. 【详解】 （1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴b =. 设12PF F △的内切圆半径为r ， 则()12121211(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅V ， 故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =)a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得：2,a b ==，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()2122121|||3434m AB y m m +===++. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值. 21．已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.①当0a …时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增； ②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=，所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程； （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案. 【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==. 【点睛】 本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.23．已知函数()|1||24|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23a b +的取值范围.【答案】（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可.【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.综上，[]13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当65a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。
2020届高三第二次教学质量监测理科数学试题(原卷版)
2020年高中毕业班第二次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{|21}x A x =>，2{|20}B x x x =+-≤，则A B =U （ ） A. {|2}x x >-B. {|2}x x ≥-C. {|01}x x <≤D. {|01}x x ≤≤2.已知复数122z =-+，则复数2z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是（ ）A. 若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=B. 若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数C. 若()22log f x x =，则()14f '= D. 若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值4.为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（ ）A. 10种B. 40种C. 80种D. 240种。
河南省六市(南阳驻马店信阳漯河周口三门峡)2020届高三下学期第二次高考模拟调研联考数学(理)试题及答案
绝密★启用前河南省六市(南阳、驻马店、信阳、漯河、周口、三门峡)普通高中 2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟调研联考数学(理)试题2020年5月28日本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．其中第I1卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将答题卡交回. 注意事项:1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R,集合{}0)1)(4(≥+-=x x x A ,则A C U =A ．（1-,4]B ．[1-,4）C ．（1-,4）D ．[1-,4]2．复数z 1在复平面内对应的点为（2,3）．i z +-=22（i 为虚数单位）,则复数21z z 的虚部为 A ．58 B ．58- C ．i 58 D ．i 58- 3．在△ABC 中b AC c AB ==，,若点D 满足DC BD 21=,则AD = A ．c b 3231+B ．c b 3132+C ．c b 3134-D ．c b 2121+4．《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说.河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化,阴阳术数之源.其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为1的概率为A ．51B ．257C ．258D ．259。
2020年河南省南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市六市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |（x ﹣4）（x +1）≥0}，则∁U A ＝（ ） A ．（﹣1，4]B ．[﹣1，4）C ．（﹣1，4）D ．[﹣1，4]【解答】解：A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥4}，U ＝R ， ∴∁U A ＝（﹣1，4）． 故选：C ．2．（5分）复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．z 2＝﹣2+i （i 为虚数单位），则复数z 1z 2的虚部为（ ） A ．85B ．−85C ．85iD ．−85i【解答】解：由题意，z 1＝2+3i ，又z 2＝﹣2+i ， ∴z 1z 2=2+3i−2+i =(2+3i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−15−85i ．∴复数z 1z 2的虚部为−85．故选：B ．3．（5分）在△ABC 中AB →=c →，AC →=b →，若点D 满足BD →=12DC →，则AD →=（ ）A ．13b →+23c → B ．23b →+13c → C ．43b →−13c → D ．12b →+12c →【解答】解：如图，因为BD →=12DC →，所以BD →=13BC →，又因为BC →=AC →−AB →，所以BD →=13（AC →−AB →）AD →=AB →+BD →=AB →+13（AC →−AB →）=23AB →+13AC →=23c →+13b →， 故选：A ．4．（5分）《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说．河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源．其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为1的概率为（ ）A ．15B ．725C ．825D ．925【解答】解：由题意阳数有：1，3，5，7，9，阴数有：2，4，6，8，10， 从阴数和阳数中各取一数，基本事件总数n ＝5×5＝25， 其差的绝对值为1包含的基本事件有9个，分别为：（1，2），（3，4），（5，6），（7，8），（9，10），（3，2），（5，4），（7，6），（9，8）， 则其差的绝对值为1的概率为P =925． 故选：D ．5．（5分）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ），则此构件的体积为（ ）A．34000mm3B．33000mm3C．32000mm3D．30000mm3【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm3）．故选：C．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8﹣a5＝﹣6，S9﹣S4＝75，则S n取得最大值时n＝（）A．14B．15C．16D．17【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a8﹣a5＝﹣6，S9﹣S4＝75，∴3d＝﹣6，5a1+30d＝75，解得：a1＝27，d＝﹣2，∴a n＝27﹣2（n﹣1）＝29﹣2n．令a n≥0，解得n≤292=14+12．则S n取得最大值时n＝14．故选：A．7．（5分）设a＝log49，b＝2﹣1.2，c=(827)−13，则（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b【解答】解：∵a =log 49，b =2−1.2，c =(827)−13， a ＝log 49＞log 48=32， 0＜b ＝2﹣1.2＝（12）1.2＜12，c =(827)−13=32， ∴a ＞c ＞b ． 故选：C ．8．（5分）已知A （﹣4，4），O 是坐标原点，P （x ，y ）的坐标满足{2x −y ≤0y ≥0x −2y +3≥0，则z =OP →⋅AP→的最小值为（ ） A ．3√55B ．3√55−8 C ．﹣3D ．−315【解答】解：不等式组{2x −y ≤0y ≥0x −2y +3≥0，它的可行域如图：O 为坐标原点，点A 的坐标为A （﹣4，4），点P （x ，y ），z =OP →⋅AP →=x 2+4x +y 2﹣4y ＝（x +2）2+（y ﹣2）2﹣8，的几何意义是可行域内的点与（﹣2，2）距离的平方减8，如图：即A 到直线x ﹣2y +3＝0的距离最小，所以d =|−2−2×2+3|√1+(−2)2=3√5， 所以z 的最小值为：95−8=−315故选：D ．9．（5分）抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线为l ，M （﹣3，0），若抛物线C上存在一点N，使M，N关于直线l对称，则p＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由题意可得：l的方程：y=√3（x−p2），点N在第四象限，设N（m，−√2pm），又∵MN关于l对称，可得k=−√33，|−3√3−0−√32p|2=|√3m+√2pm−√3p2|2，l MN：y=−√33(x+3)，N在直线y=−√33(x+3)上，可得：−√2pm=−√33(m+3)，联立方程组可得m＝3，p＝2，可得p＝2．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=2sinx1+2sinx，将此函数图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x轴上一点旋转180°；②以x轴为轴，作轴对称；③沿x轴正方向平移；④以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称；A．①③B．③④C．②③D．②④【解答】解：f(x)=1+2sinx−11+2sinx=1−11+2sinx，作出函数f（x）的图象如下图所示：由图象可知，函数不具有对称中心，故①错误；以x 轴为轴，作轴对称显然与原图不重合，故②错误；由图象可知，函数具有周期性，沿x 轴正方向平移可以与原图象重合，故③正确；函数f （x ）以x 轴的某一条垂线为轴，作轴对称可以与原图象重合，故④正确． 故选：B ．11．（5分）已知函数f （x ）=xe x ，关于x 的方程f （x ）−1f(x)=m 有三个不等实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(e −1e ，+∞)B ．(1e −e ，+∞)C ．(−∞，e −1e )D ．(−∞，1e −e)【解答】解：f′(x)=1−xe x ，故函数f （x ）在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减， 作出函数图象如下图所示，依题意，f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0（f （x ）≠0）有三个不同的实根，则设t ＝f （x ），则t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不同的实根t 1，t 2，且由图象可知，{t 1=1e0＜t 2＜1e 或{t 1＜00＜t 2＜1，当{t 1=1e 0＜t 2＜1e时，此时0＜t 1t 2＜1e 2，与t 1t 2＝﹣1矛盾，可知不符合题意；当{t 1＜00＜t 2＜1e时，由二次函数的性质可知，只需1e −m ⋅1e−1＞0，解得m ＜1e −e ，此时符合题意．综上，实数m 的取值范围为(−∞，1e−e)． 故选：D ．12．（5分）如图是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1木块的直观图，其中P ，Q ，F 分别是D 1C 1，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是（ ）A ．4√3B ．3√3C ．2√3D ．√3【解答】解：根据题意可知平面α过点D 且平行于平面PQF ， 则平面α可以平移至平面A 1BC 1，木块在平面α内的正投影即可看成是在平面A 1BC 1的正投影， 根据投影的性质可得投影为正六边形A 1A ′BC ′C 1D 1′，如图所示， 因为正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为2，所以A 1B =√22+22=2√2， 则投影面内正六边形的边长为：A 1A ′=√2cos30°=2√63 根据正六边形面积公式可得投影的面积为： S A 1A ′BC ′C 1D 1′=3√32×(2√63)2=4√3， 故投影面积为：4√3． 故选：A ．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在△AOB 中，OA →=a →，OB →=b →满足a →•b →=|a →−b →|＝|a →|＝2，则△AOB 的面积 √3 ． 【解答】解：∵a →⋅b →=|a →−b →|=|a →|=2， ∴a →2+b →2−2a →⋅b →=a →2， ∴b →2=2a →⋅b →=4， ∴|b →|=2，∴a →⋅b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞=4cos ＜a →，b →＞=2， ∴cos ＜a →，b →＞=12，sin ＜a →，b →＞=√32， ∴S △AOB=12|a →||b →|sin ＜a →，b →＞=12×2×2×√32=√3． 故答案为：√3． 14．（5分）在（x +1）（x 21√x）n的展开式中，各项系数的和为512，则x 2项的系数是 28 ．（用数字作答）【解答】解：令x ＝1得，展开式的各项系数和为（1+1）（1+1）n ＝512， 即2n +1＝29，解得n ＝8． 故原式为：(x +1)(x 21√x )8．(x 2+x)8展开式的通项为T k+1=C 8k x 16−52k，结合原式：当16−52k =1或2，即k ＝6或285（舍）时符合题意．此时x 2的系数为C 82=28．故答案为：28．15．（5分）已知F 1，F 2是双曲线Γ：x 225−y 29=1的左、右焦点，点P 为Γ上异于顶点的点，直线l 分别与以PF 1，PF 2为直径的圆相切于A ，B 两点，若向量AB →，F 1F 2→的夹角为θ，则cos θ＝3√3434． 【解答】解：双曲线Γ：x 225−y 29=1的a ＝5，b ＝3，c =√34，如图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ， MN 为△PF 1F 2的中位线，可得|MN |=12|F 1F 2|＝c =√34，连接AM ，BN ，可得AM ⊥AB ，BN ⊥AB ，则四边形ABNM 为直角梯形， 过N 作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，可得|NQ |＝|AB |， 而|AM |=12m ，|BN |=12n ，|MQ |=12（m ﹣n ）＝a ＝5， 在直角三角形QMN 中，可得|QN |=√34−25=3， 又向量AB →，F 1F 2→的夹角θ＝∠QNM ，则cos θ=|QN||MN|=34=3√3434． 故答案为：3√3434．16．（5分）已知数列{b n }的前n 项和为T n ，2b n ＝T n +2，a n ={4−n(n 为奇数)b n (n 为偶数)，数列{a n }的前n 项和为S n ，若使得S 2m S 2m−1恰好为数列{a n }中的某个奇数项，则数列{b n }的通项公式b n ＝ 2n ，所有正整数m 组成的集合为 {2} ．【解答】解：由题意，当n ＝1时，2b 1＝T 1+2＝b 1+2，解得b 1＝2，当n ≥2时，由2b n ＝T n +2，可得2b n ﹣1＝T n ﹣1+2，两式相减，可得2b n ﹣2b n ﹣1＝b n ，整理，得b n ＝2b n ﹣1， ∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝2•2n ﹣1＝2n ，n ∈N *．∴a n ={4−n(n 为奇数)b n (n 为偶数)，即a n ={4−n(n 为奇数)2n (n 为偶数)，∴S 2m ＝（a 1+a 3+…+a 2m ﹣1 ）+（a 2+a 4+…+a 2m ）＝3m +m(m−1)2×(−2)+4(1−4m )1−4=4m ﹣m 2+4m+1−43， S 2m ﹣1＝S 2m ﹣a 2m ＝4m ﹣m 2+4m −43，∴S 2m S 2m−1=1+3×4m 3m(4−m)+4m−4．假设S 2m S 2m−1=a k ＝4﹣k ，k 为正奇数，则3×4m3m(4−m)+4−4=3﹣k ，易知只有当m ＝2时，k ＝1适合题意．故所有正整数m 组成的集合为 {2}． 故答案为：2n ；{2}．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 同时满足以下四个条件中的三个：①b−a c=2√6a+3c 3(a+b)②cosC cosA +c a =2ba③a =√6④b ＝2√2．（Ⅰ）条件①②能否同时满足，请说明理由；（Ⅱ）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应△ABC 的面积．【解答】解：（I ）由①b−a c =2√6a+3c 3(a+b)及余弦定理可得，3(a 2+c 2−b 2)=−2√6ac ，所以cos B =a 2+c 2−b22ac =−√63，②由cosC cosA+c a=2b a及正弦定理可得，sinAcosC+sinCcosAsinAcosA=2sinB sinA，即sin(A+C)sinAcosA=2sinB sinA，因为sin （A +C ）＝sin B ≠0，A +C ，A ∈（0，π）， 所以cos A =12，且A 为三角形的内角，A =13π， 因为cos B =−√63＜−12， 故B ＞2π3，A +B ＞π，矛盾， 故不可能同时满足①②；（Ⅱ）由（I ）可知，△ABC 满足①③④或②③④， 若满足①③④，因为b 2＝a 2﹣c 2﹣2ac cos B ，所以8＝6+c 2+2√6c ×√63即c 2+4c ﹣2＝0，解可得，c =√6−2，S =12acsinB =12×(√6−2)×√6×√33=√3−√2， 若满足②③④即A =13π，a =√6，b ＝2√2． 由正弦定理可得，√6sin 13π=2√2sinB，故sin B ＝1，此时B =12π，c =√2，S △ABC =12ac =12×√2×√6=√318．（12分）如图在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，∠BAD ＝60°，AD ∥BC ，AD ＝4BC ＝4，P A =√2PB =√6． （Ⅰ）证明：PC ⊥CD（Ⅱ）求平面PCD 与平面P AB 夹角（锐角）的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：过P 作PO ⊥AB 于O ，连结OC ，OD ， 由题知AB ＝CD ＝3，∴P A 2+PB 2＝AB 2，∴PO =√2，OB ＝1，OA ＝2，OD ＝2√3，OC =√3， ∴OC ⊥CD ，∵OC ∩PO ＝O ，∴CD ⊥平面POC ， ∵CD ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥CD ． （Ⅱ）解：由（1）知AB ⊥OD ，以O 为坐标原点，OD ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则P （0，0，√2），D （2√3，0，−√2），C （32，32，0），PD →=（2√3，0，−√2），CD →=（3√32，−32，0）， 设平面PCD 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PD →=2√3x −√2z =0m →⋅CD →=3√32x −32y =0，取x ＝1，得m →=（1，√3，√6）， 平面P AB 的法向量n →=（1，0，0），∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=10=√1010．∴平面PCD 与平面P AB 夹角（锐角）的余弦值为√1010．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点P ，M ，N 为椭圆C 上的点，直线MN 过坐标原点，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−12． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若PF ∥MN 且直线PF 与椭圆的另一个交点为Q ，问|MN|2|PQ|是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M （x 0，y 0），P （x 1，y 1），则N （﹣x 0，﹣y 0）， 由{ x 02a 2+y 02b 2=1x 12a 2+y 12b 2=1，可得(x 0−x 1)(x 0+x 1)a +(y 0−y 1)(y 0+y 1)b =0，即(y 0+y 1)(y 0−y 1)(x 0+x 1)(x 0−x 1)=−b 2a 2，所以a 2＝2b 2，又a 2﹣b 2＝c 2＝1， 所以a =√2，b ＝1， 故椭圆的方程为x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设直线PQ 的方程为x ＝ty +1，则直线MN 的方程为x ＝ty ， 由{x =ty +1x 2+2y 2=1可得（2+t 2）y 2+2ty ﹣1＝0，设Q （x 2，y 2）， 则△＝4t 2+4（2+t 2）＝8（1+t 2）＞0， y 1+y 2=−2t 2+t 2，y 1y 2=−12+t 2，所以|PQ |=√1+t 2•|y 1﹣y 2|=√1+t 2•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+t 2•√(−2t 2+t 2)2+42+t 2=2√2(1+t 2)2+t 2， 由{x =ty x 2+2y 2=2可得y 02=22+t 2，所以|MN |＝2√x 02+y 02=2√(1+t 2)y 02=2√2(t 2+1)2+t 2， 故|MN|2|PQ|=2√2为常数．20．（12分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为年平均收入x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得；s 2＝6.92，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ⅱ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式√6.92≈2.63，若X ⁓N （μ，σ2），则 ①P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6826； ②P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9545； ③P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9973；【解答】解：（1）x=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36×20×0.10+ 22×0.06+24×0.04=17.40；（2）由题意，X～N（17.40，6.92）．（i）P（x＞μ﹣σ）=12+0.68262≈0.8413，∴μ﹣σ＝17.40﹣2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元；（ⅱ）由P（X≥12.14）＝P（X≥μ﹣2σ）＝0.5+0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B（103，p），其中p＝0.9773．于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P（ξ＝k）=C103k p k(1−p)103−k，从而由P(ξ=k)P(ξ=k−1)=(1001−k)×pk(1−p)＞1，得k＜1001p，而1001p＝978.2773，∴当0≤k≤978时，P（ξ＝k﹣1）＜P（ξ＝k），当979≤k≤1000时，P（ξ＝k﹣1）＞P（ξ＝k）．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978．21．（12分）已知函数f（x）＝a+2ln（x+1），且f（x）≤a（x+1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）令g（x）=(x+1)f(x)x+1−a在x∈（a﹣1，+∞）上的最小值为m，求证：8＜m＜9．【解答】解：（Ⅰ）令x+1＝t，由题意知：f（x）≤a（x+1））等价于a﹣at+2lnt≤0在t＞0时恒成立，令h（t）＝a﹣at+2lnt，则h′（t）=2−at t，当a≤0时，h′（t）＞0，故h（t）在（0，+∞）递增，由于h（1）＝0，不合题意，当a＞0时，h′（t）=−a(t−2a)t，故当t∈（0，2a），h′（t）＞0，h（t）递增，当t∈（2a，+∞），h′（t）＜0，h（t）递减，故h（t）max＝h（2a）＝a﹣2+2ln2﹣2lna，故要使h（t）≤0在t＞0时恒成立，则只需h（t）max≤0，即a﹣2+2ln2﹣2lna≤0，令φ（a）＝a﹣2+2ln2﹣2lna，则φ′（a）=a−2 a，故a∈（0，2）时，φ′（a）＜0，φ（a）递减，a∈（2，+∞）时，φ′（a）＞0，φ（a）递增，又∵φ（2）＝0，故满足条件a的值是2，即a＝2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，令x+1＝t，则g（x）=(x+1)f(x)x+1−a变形为θ（t）=2t+2tlntt−2（t＞2），∴θ′（t）=2(t−2lnt−4)(t−2)2，令s（t）＝t﹣2lnt﹣4，则s′（t）=t−2t＞0，故s（t）在（2，+∞）递增，又s（8）＜0，s（9）＞0，故存在t0∈（8，9），使得s（t0）＝0，且当2＜t＜t0时，s（t）＜0，当t＞t0时，s（t）＞0，故θ（x）在（2，t0）递减，在（t0，+∞）递增，故θ（t）min＝θ（t0）=2t0+2t0lnt0t0−2=t02−2tt0−2=t0，（2lnt0＝t0﹣4），即m＝t0，故8＜m＜9．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√32ty =√3+12t（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设A ，B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB =π2，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =1−√32ty =√3+12t（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +√3y −4=0． 根据{x =ρcosθy =ρsinθ，整理得ρcosθ+√3ρsinθ=4，转换为ρ=2sin(θ+π6)．（Ⅱ）设A ，B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB =π2，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．设A （ρ1，θ），B （ρ2，θ+π2），D （ρ3，θ），C （ρ4，θ+π2）． 所以S △AOB 2=14ρ12⋅ρ22=14×31+2sin 2θ×32≥94×1(1+2sin 2θ+1+2cos θ2)=916， 所以S △AOB ≥34．S △COD =12ρ3ρ4=12×2sin(π4+π6)×2cos(π4+π6)=8． 所以此时四边形ABCD 的面积为8−34=294． 23．已知a ，b ，c 均为正实数，函数f （x ）=1a 2+|x −1b2|+|x +14c 2|的最小值为1．证明： （Ⅰ）a 2+b 2+4c 2≥9； （Ⅱ）1ab+12bc+12ac≤1．【解答】证明：（Ⅰ）a ，b ，c 均为正实数，函数f （x ）=1a 2+|x −1b2|+|x +14c 2|≥12+|x −1b2−x −14c 2|=12+1b 2+14c 2， 当−14c 2≤x ≤1b2时，f （x ）取得最小值1，即1a +1b +14c =1，由柯西不等式可得（a2+b2+4c2）（1a2+1b2+14c2）≥（a•1a+b•1b+2c•12c）2＝9，当且仅当a＝b＝2c=√3时，取得等号，所以a2+b2+4c2≥9；（Ⅱ）由a＞0，b＞0，c＞0，可得1a2+1b2≥2ab，1b2+14c2≥1bc，1a2+14c2≥1ac，三式相加可得2ab +1bc+1ac≤2（1a2+1b2+14c2）＝2，即1ab +12bc+12ac≤1．。
2020年河南省六市高三第二次联考理科数学试题 (含答案)
２．N0狕１
9
N
O
P
Q
RS
<
T
U（２，３），狕２＝
－２＋犻（犻U
V
0
W
X
），M
N
0狕１ 狕２
<VYU
Ａ．８５
Ｂ．－
８ ５
Ｃ．８ ５犻
Ｄ．－ ８ ５犻
３．9△犃犅犆 @犃犅→＝犮，犃→犆＝犫，ZT 犇 [\犅犇→＝１ ２犇→犆，M犃→犇＝
Ａ．１３犫＋ ２３犮
Ｂ．２ ３犫＋ １ ３犮
Ｃ．４ ３犫－ １ ３犮
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１．JKL犝＝犚，LF 犃＝｛狓｜（狓－４）（狓＋１）０｝，M瓓ＵＡ＝ Ａ．（－１，４］ Ｂ．［－１，４） Ｃ．（－１，４） Ｄ．［－１，４］
．
烆狓－３狔＋３≥０
１５．J ) 0 犳（狓）＝犲２狓 －犲－２狓 －４狓，M w G 犳（狓２）＋犳（－５狓－６）＜０ < H L D