常见随机过程
通信原理随机过程
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通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)
（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]
E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
7
通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
2
通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt
随机过程的概念及分类方法
随机过程的概念及分类方法随机过程的概念及分类方法随机过程是描述随机现象的数学模型。
它可以看作是一个随机函数，它的输出值依赖于时间和样本空间中的随机变量。
随机过程的研究可追溯到19世纪末20世纪初，当时数学家们开始研究大量的样本统计规律。
随机过程在经济学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
随机过程的分类方法主要有以下几种：1. 马氏性质：马氏性质是指在一个随机过程中，给定过去的状态和未来的状态，当前的状态与过去的状态是独立的。
如果一个随机过程满足马氏性质，那么它被称为马氏过程。
常见的马氏过程有马尔可夫链、泊松过程等。
2. 独立增量：独立增量是指在一个随机过程中，任意两个时间点上的增量是独立的。
如果一个随机过程满足独立增量性质，那么它被称为独立增量过程。
常见的独立增量过程有布朗运动和泊松过程。
3. 平稳性：平稳性是指随机过程的统计特性在时间上是不变的。
如果一个随机过程满足平稳性质，那么它被称为平稳过程。
常见的平稳过程有伊索和无记忆过程。
4. 高斯过程：高斯过程是指随机过程中的任意有限个随机变量满足多维高斯分布。
高斯过程在概率论和统计学中有着重要的应用，常见的高斯过程有布朗运动和高斯白噪声过程。
5. 跳跃过程：跳跃过程是指随机过程中存在不连续的跳跃现象。
跳跃过程在金融学和通信工程中有着重要的应用，常见的跳跃过程有泊松过程和利维过程。
除了以上的分类方法，随机过程还可以按照时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
连续时间随机过程是指随机变量的索引集为连续集合，如实数集；离散时间随机过程是指随机变量的索引集为离散集合，如整数集。
另外，在实际应用中，为了更好地描述随机过程的行为，人们还可以使用数学方法对随机过程进行建模。
常见的建模方法有马尔可夫模型、自回归模型、移动平均模型等。
总结起来，随机过程是描述随机现象的数学模型，可以分为马氏过程、独立增量过程、平稳过程、高斯过程和跳跃过程等。
此外，随机过程还可根据时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
随机过程-第二章 随机过程
同样地， k 维随机过程的
n 维联合分布函数具有对称性和相容性。
i 1 i
k
例 2.1 设随机变量 X b(n, p) ，求 X 的特征函数
解：当 n 1 时， X 服从 0-1 分布，
P( X k ) p k (1 p)1k , k 0,1
所以
(t ) eitk P( X k ) peit (1 p)
自协方差函数与自相关函数之间的关系：
CX (s, t ) RX (s, t ) X (s) X (t )
注：自相关函数与自协方差函数均具有对称性和非负定性的性质。
2.3.2 二维随机过程
两个随机过程 X (t ), t T 和 Y (t ), t T 的互协方差函数
n
Ft1 ,,tm ,tm1 ,,tn ( x1 ,, xm , ,, ) Ft1 ,,tm ( x1 ,, xm )
对应具有有限分布族的随机过程 X (t ), t T 的特征函数
t ,,t (u1 ,, un ) E (ei (u X (t )u X (t )) ) ei (u X (t )u X (t )) dFt ,,t ( x1 ,, xn )
解：先求 Y
X
的特征函数。因为 Y N (0,1) ，所以
2 2
Y (t ) e
由于 ixe
itx x2 2
itx
x itx 1 x2 1 2 e dx e dx 2 2
x2 2
xe
，且
2
xe
x2 2
dx ห้องสมุดไป่ตู้ ，所以
随机过程例题和知识点总结
随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学学科，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛应用。
下面我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。
一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都对应着某个特定的时刻。
例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，都有一个对应的随机变量 X(t)表示股票的价格。
二、常见的随机过程类型1、泊松过程泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数。
例如，某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数就可以用泊松过程来建模。
例题：假设某电话交换台在上午 9 点到 10 点之间接到的呼叫次数是一个泊松过程，平均每分钟接到 2 次呼叫。
求在 9 点 10 分到 9 点 20 分这 10 分钟内接到至少 5 次呼叫的概率。
解：设 X(t) 表示在时间段 0, t 内接到的呼叫次数，且 X(t) 是一个强度为λ ＝ 2 的泊松过程。
10 分钟内接到的呼叫次数 X(10) 服从参数为λt ＝ 2×10 ＝ 20 的泊松分布。
P(X(10) ≥ 5) ＝ 1 P(X(10) ＜ 5) ＝ 1 P(X(10) ＝ 0) ＋ P(X(10) ＝ 1) ＋ P(X(10) ＝ 2) ＋ P(X(10) ＝ 3) ＋ P(X(10) ＝ 4)通过泊松分布的概率质量函数可以计算出每个概率值，进而求得最终结果。
2、马尔可夫过程马尔可夫过程具有“无记忆性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
例题：一个状态空间为｛0, 1, 2} 的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 P ＝ 05 03 02; 02 06 02; 01 03 06 ，初始状态为 0，求经过 3 步转移后处于状态 2 的概率。
解：通过计算 P³得到 3 步转移概率矩阵，然后取出第 0 行第 2 列的元素即为所求概率。
第三章通信原理 随机过程
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
数学中的随机过程建模
数学中的随机过程建模数学中的随机过程建模是一门研究各种系统随时间变化的数学工具。
它是数学、统计学、概率论以及相关领域的交叉学科，广泛应用于金融、通信、物理、生物、工程等多个领域。
本文将介绍随机过程建模的基本概念和应用，以及一些常见的随机过程模型。
第一部分：随机过程建模的基本概念随机过程是一组随机变量的集合，它们与时间相关。
在随机过程中，每个随机变量都代表了一个可能发生的结果。
常见的随机过程模型包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
1. 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种基于状态转移的随机过程模型。
它具有无后效性，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
马尔可夫过程可用转移矩阵表示，其中每个元素表示状态转移的概率。
2. 泊松过程泊松过程是一种描述独立事件发生的随机过程模型。
它满足无记忆性，即事件发生的时间间隔独立同分布。
泊松过程可用强度函数表示，该函数描述了单位时间内事件发生的平均次数。
3. 布朗运动布朗运动是一种连续时间和空间的随机过程模型。
它具有平稳增量和独立增量的特性，在金融学中有着广泛的应用。
布朗运动可用随机微分方程表示，描述了随机变量的不确定性和演化规律。
第二部分：随机过程建模的应用随机过程建模在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 金融领域随机过程建模在金融领域中被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。
通过建立合适的随机过程模型，可以对金融市场的价格变动进行建模和预测。
2. 通信领域随机过程建模在通信领域中用于描述信号的传输和接收过程。
通过建立合理的随机过程模型，可以对信号的功率、信噪比等性能指标进行建模和分析。
3. 物理领域随机过程建模在物理领域中用于描述粒子的运动和衰变过程。
通过建立适当的随机过程模型，可以揭示物质微观粒子的行为规律和统计特性。
4. 生物领域随机过程建模在生物领域中被广泛应用于遗传、进化和神经网络等方面。
通过建立适当的随机过程模型，可以研究基因突变、物种演化以及神经元的电信号传导等生物过程。
数学中的随机过程与随机分析
数学中的随机过程与随机分析随机过程是概率论的一个重要分支，在数学、物理学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
随机分析是研究随机过程的一种数学工具，通过对随机过程进行形式化的描述、分析和推理，帮助我们更好地理解随机现象并进行预测和决策。
一、随机过程的概念与分类随机过程是描述随机现象随时间变化的数学模型。
它是一族随机变量的集合，表示一个系统在不同时刻的状态。
根据状态变量的取值集合以及时间的取值集合，可以将随机过程分为离散随机过程和连续随机过程两类。
离散随机过程是在离散时间点上取值的随机过程，常见的例子有随机游走、马尔可夫链等。
连续随机过程是在连续时间上取值的随机过程，如布朗运动、扩散过程等。
二、随机过程的性质与特征随机过程具有一些重要的性质与特征，其中最基本的是概率分布函数和数学期望。
概率分布函数可以描述随机过程在各个状态下的概率分布情况，数学期望可以用来度量随机过程的平均值。
此外，随机过程还具有自回归性、马尔可夫性、平稳性等特征。
自回归性指的是后一时刻的值与前一时刻的值相关，马尔可夫性表示未来状态只与当前状态相关，平稳性表示随机过程的统计特征在时间上具有不变性。
三、随机分析的基础概念随机分析是研究随机过程的一种数学工具，它常常利用微积分、概率论和测度论等工具来推导随机过程的性质与解析解。
随机分析的基础概念包括随机变量、随机过程的概率测度、随机积分等。
随机变量是随机过程的最基本元素，它是定义在概率空间上的实值函数。
随机过程的概率测度描述了随机过程在不同状态下的发生概率，可以用于计算随机过程的期望、方差等统计量。
随机积分是对随机过程的积分运算，通过对积分过程的分析，可以得到随机过程的解析解。
四、随机过程在实际应用中的意义随机过程在实际应用中具有广泛的意义，它被广泛应用于金融、物理学、工程学、信号处理等领域。
在金融学中，随机过程用于建立股票价格模型、期权定价模型等，帮助投资者进行风险管理和资产定价。
在物理学中，随机过程用于描述粒子运动、热传导等现象。
数学中的随机过程
数学中的随机过程在数学领域中，随机过程是一种描述随机事件随时间变化的数学模型。
它在许多领域中有着广泛的应用，如统计学、金融学、物理学等。
随机过程的研究可以帮助我们理解和预测一系列随机事件的发展趋势。
本文将介绍随机过程的定义、分类以及一些常见的应用。
一、定义随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个或多个确定的参数，通常是时间。
宽泛来说，随机过程可以定义为一个概率空间和状态空间的笛卡尔积。
具体而言，随机过程可以表示为：{X(t), t∈T}其中，X(t)是随机变量，t是参数，T是参数的取值范围。
X(t)表示在时间点t上的随机变量。
随机过程可以描述为在不同时间点上具有不同取值的随机变量的集合。
二、分类根据状态空间的特点，随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程。
1. 离散随机过程离散随机过程是指参数的取值范围是离散的，通常为整数集。
在离散随机过程中，时间参数在一系列离散的时间点上取值。
2. 连续随机过程连续随机过程是指参数的取值范围是连续的，通常为实数集。
在连续随机过程中，时间参数可以取任意实数值。
三、常见应用随机过程在许多领域中都有着重要的应用。
下面介绍几个常见的应用领域。
1. 随机游走随机游走是一种描述随机变动的过程，在金融学中有着广泛的应用。
例如，股票价格的变动可以通过随机游走模型来描述，即股价在不同时间点上随机上升或下降。
2. 马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，具有“无记忆性”特点。
在统计学中，马尔可夫链被广泛用于建立概率模型和预测模型。
它可以用于分析随机事件之间的转移概率，并通过转移矩阵来描述状态的变化。
3. 随机优化随机优化是将优化问题与随机过程相结合的一种方法。
它应用于各个领域，如供应链管理、交通运输规划等。
通过引入随机因素，可以更好地解决实际问题中的不确定性和风险。
4. 随机微分方程随机微分方程是描述随机现象演化的数学方程。
它在物理学、生物学等领域中有重要应用。
通过随机微分方程，可以模拟和预测许多随机事件的变化趋势。
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计数过程 泊松过程
定义 性质
如果N(t)是在时间段[0,t]内某一特定事件A发生的次数，则{N(t),t ³0}为计数过程 对t³0，N(t)是非负整数值随机变量 对于t>s³0,N(t)³N(s) 对于t>s³0,N(t)-N(s)是(s,t]内事件A发生的次数 {N(t),t³0}样本函数是单调不减右连续的阶梯函数
的破松分布，即对
当
泊松过程的强度 l 为单位时间内发生的平均次数
数字特征
随机分流 相关分布
Wn表示第n次事件发生的时刻，n=1,2，···,规定W0=0
Wn(n=1,2,···)服从参数为 l和n的埃尔朗分布
Tn表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔，n=1,2,···
Tn(n=1,2,···)服从参数为 l的指数分布，且T1,T2,T3,···相互独立
N(0)=0 {N(t),t³0}是独立增量性 对任意实数t³0,s>0,N(t+s)-N(t)服从参数为
非齐次泊松过程{N(t),t ³0}的均值函数(累积强度函数)
数字特征
复一个泊松过程，{Yi，i=1,2，···}是一族独立同分布的随机变量，且
与{N(t),t ³0}独立，对于t ³0，
设{B(t),t³0}是标准布朗运动，由 动
定义的过程{X(t),t ³0}为几何布朗运
,则称随机过程{X(t),t ³0}为复合泊松过程
X(t)是平稳独立增量过程
数字特征
若
布朗运动(维纳过程）
定义
随机过程{W(t),t³0}为参数 的布朗运动，满足条件
标准布朗运动
{W(t),t³0}
W(0)=0 {W(t),t³0}是平稳独立增量过程 对每个t³0，
性质
正态平稳增量性 独立增量性 {W(t),t³0}是正态过程
定义
计数过程{N(t),t ³0}为参数l的泊松过程，(l>0)满足条件
N(0)=0 过程{N(t),t ³0}具有独立增量性 任一长度为t的时间区间中，事件A发生的次数服从参数为 s³0，t>0,有
N(0)=0
计数过程{N(t),t ³0}为参数l的泊松过程，满足条件
过程{N(t),t ³0}是平稳独立增量过程 存在l>0，当
定理
如果每次事件发生的时间间隔T1,T2,T3,···相互独立，且服从同一参数为 l的指数分 布，则计数过程{N(t),t ³0}为参数l的泊松过程
计数过程{N(t),t ³0}为强度l(t)>0的非齐次泊松过程，满足条件
N(0)=0 {N(t),t³0}是独立增量性
非其次泊松过程
定义
计数过程{N(t),t ³0}为强度l(t)>0的非齐次泊松过程，满足条件
数字特征
独立于过程的过去状态W(u),0 £u£s
的泊松分布
布朗桥
定义 性质
设{B(t),t³0}是标准布朗运动，令 为布朗桥
是正态过程
，则称随机过程
在原点反射的布朗运动
设{B(t),t³0}是标准布朗运动，由Y(t)=|B(t)|,t ³0定义的过程{Y(t),t ³0}是在原点反射的 布朗运动
几何布朗运动