组合数学 波利亚定理
组合数学课件-第四章第三节波利亚(Polya)定理
波利亚定理的重要性
波利亚定理在几何学中有着广泛的应 用，它可以帮助我们解决一些与图形 和空间有关的问题。
例如，在几何图形中，我们可以通过 应用波利亚定理来判断一个点是否在 某个区域内，或者判断一个封闭曲线 是否与某个区域相交。
第二步
根据已知条件和数学原理，推导出与结论 相关的中间结论，这是证明的关键环节。
B
C
第三步
通过逻辑推理和数学推导，逐步推导出最终 结论，这一步需要严谨的逻辑推理和精确的 数学表达。
第四步
对推导出的结论进行验证，确保其正确性和 可靠性，这一步也是证明的重要环节。
D
定理证明的结论
波利亚定理的证明结论是：在一定条件下，一个数学问题可 以通过逐步转化和化简，最终转化为一个更简单或更易于解 决的问题，从而找到问题的解。
03
多变量版本的波利亚定理
该定理将单变量版本的波利亚定理扩展到多变量函数，提供了解决多变
量问题的新工具。
定理在其他数学领域的应用
在几何学中的应用
波利亚定理在几何学中有着广泛的应用，例如在计算几何形状的 面积和体积，解决几何问题等方面。
在组合数学中的应用
波利亚定理在组合数学中有着重要的应用，例如在解决组合问题、 计数问题、排列问题等方面。
B
C
波利亚定理的证明方法有多种，其中最常用 的是数学归纳法。
波利亚定理在数学教育中也具有重要意义， 它有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思 维能力。
D
对波利亚定理的展望
随着数学的发展，波利亚定理的应用范围将不断扩大， 将有更多的数学问题可以通过波利亚定理得到解决。
波利亚定理证明
波利亚定理证明波利亚定理是数论中的重要定理，它对于解决数的分拆问题起着重要的作用。
以下将从引言、前提条件、证明、例子等几个方面来详细讨论波利亚定理。
引言波利亚定理是由意大利数学家波利亚（Giorgi Pólya）于1918年提出的，它是更普遍形式的斯特林公式，用于解决非负整数的分拆问题。
波利亚定理在组合数学、数论和多项式函数方面有着广泛的应用。
前提条件在正式证明波利亚定理之前，我们需要了解一些基本概念和前提条件。
首先，我们定义一个分拆为把一个正整数n表示为若干个正整数的和，这些正整数可以相同也可以不同。
例如，对于正整数4的分拆可以是4=1+1+1+1=1+1+2=2+2=1+3。
其次，我们定义一个分拆的个数为同一个正整数的所有分拆的个数。
例如，对于正整数4，它的分拆个数为4。
最后，波利亚定理的表述如下：对于任意正整数n，其分拆个数可以表示为多项式函数。
即存在多项式函数P(n)，使得n的分拆个数等于P(n)。
证明为了证明波利亚定理，我们需要借助生成函数的概念。
生成函数是一种将多项式序列和数学问题联系起来的数学工具，它在组合数学中广泛应用。
首先，我们定义一个生成函数F(x)，它表示一个正整数的分拆函数。
F(x) = (1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...) * ...其中，每个括号代表一个无穷级数，表示相应正整数的所有分拆个数。
我们可以观察到，F(x)的展开式中，x^n的系数恰好等于正整数n 的分拆个数。
接下来，我们将F(x)进行展开。
F(x) = (1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...) * ...= (1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...) * ...× (1 - x^1) * (1 - x^2) * (1 - x^3) * ...我们可以看到，展开后的表达式中，每一项的系数是用于表示分拆个数的多项式函数。
波利亚定理
马昱春
清华大学计算机系
1
教学评估
• 2014年12月15日9：00－12月26日21：00
2
学期计划
• Project II
– 12.24 – 选做 – 任选题目 – 论文，分组1-3人 – 心路历程
• 期末考试
– 17周周二(1月13日)晚或者周三(1月14日)晚
轴1
轴2
24
• 例 3个输入端一个输出端的布尔电路有多少种实质上不同的 结构？ • 解 3个变量的布尔函数形式上有28=256个,但有的只是输入端 的顺序不同. • 输入端的变换群是S3。 • 输入端的电平取值共有000~111计8种,定义在输入端的置换 集合设为H. (i) (i) (i) a 3 • S3与H之间存在一一对应,S3≌H f: S3→H a1 a2 (i) (i) (i) Pj→hj a1 pj a2pj a3pj S3 : (1)(2)(3) H:
设G={a1,a2,…ag}是目标集[1,n]上的置换群。 每个置换都写成不相交循环的乘积。c1(ak) 是在置换ak的作用下不动点的个数，也就 是长度为1的循环的个数。 G将[1,n] 划分成 1 g l个等价类。等价类个数为： l c1 (a j )
|G|
j 1
6
4.4 Burnside引理
8 10)(11)(12)(13 15)(14 16)
19
4.6 举例
• 例1 等边三角形的3个顶点用红，兰，绿 3着色，有多少种方案？ • 解 在3维空间考虑，3顶点的置换群S3. (3)1 : 2个； 1 (1)1 (2)1 : 3个； (1)3 : 1个； 2 3 • l = (2· 31 +3· 32 +33 )/6=10
波利亚计数定理解读
波利亚计数定理解读波利亚计数定理是组合数学中的一个重要定理，由法国数学家乔治·波利亚于1889年提出。
该定理是一种计算排列和组合的方法，可以帮助我们快速求解一些复杂的排列组合问题。
在实际问题中，波利亚计数定理有着广泛的应用，特别是在计算不同元素的排列组合情况时，可以大大简化计算过程。
本文将对波利亚计数定理进行解读，介绍其基本概念和应用方法。
### 波利亚计数定理的基本概念波利亚计数定理是一种用于计算排列组合的定理，其核心思想是将一个集合划分为若干个不相交的循环类，然后根据每个循环类的元素个数来计算排列组合的情况。
具体来说，波利亚计数定理可以描述如下：设集合A有n个元素，其中元素a1有n1个，元素a2有n2个，……，元素ak有nk个，且满足n1 + n2 + … + nk = n。
若对于任意的置换σ，有置换σ中的元素ai的循环类有ci个，则集合A的置换数为：N = (n!)/(n1! * n2! * … * nk!) * (c1^n1 * c2^n2 * … *ck^nk)其中，n!表示n的阶乘，n1!、n2!、…、nk!分别表示n1、n2、…、nk的阶乘，c1、c2、…、ck分别表示元素a1、a2、…、ak的循环类个数。
### 波利亚计数定理的应用方法波利亚计数定理的应用方法主要包括以下几个步骤：1. 确定集合元素和循环类：首先需要确定待计算的集合A中的元素个数和每个元素的个数，然后根据题目要求确定每个元素的循环类个数。
2. 计算置换数：根据波利亚计数定理的公式，计算集合A的置换数。
将集合A的元素个数和循环类个数代入公式中，按照公式逐步计算得到最终的置换数。
3. 应用于具体问题：将计算得到的置换数应用于具体的问题中，根据题目要求进行进一步的计算和分析，得出最终的结果。
### 波利亚计数定理的例题解析下面通过一个具体的例题来解析波利亚计数定理的应用：例题：有5个红球和3个蓝球，将这些球排成一排，使得相邻的两个球颜色不同。
关于波利亚的中值定理问题
关于波利亚的中值定理问题
关于波利亚的中值定理问题
波利亚中值定理是一个常用的数学定理，它指出一系列等差数列的中间值（或
中位数）与最后一个数值之和的一半相等。
这定理是在19世纪30年代由法国数学家米歇尔·波利亚提出的。
波利亚中值定理的公式为，对于一个等差数列，中位数等于最后一个数除以二
的和，即：
M=(a+(n-1)d)/2
其中，M为中位数，a为该等差数列第一个项，n为该数列序列项的个数，d为
公差。
举一个例子，3、7、11、15、19这个等差数列，第一个项a=3，n=5，d=4，根
据题意可求出：
M=(3+(5-1)4)/2=11/2=5.5
可以看出，中位数为5.5，它恰好位于等差数列的中间，也正好等于最后一个
数（19）加上第一个数（3）之和的一半（22/2=11）。
波利亚中值定理最显著的特点是在等差数列中确定中位数的简明性、一致性和
可证明性，它不仅具有理论的用处，也在实际的统计分析等应用中发挥了重要作用。
另外，它还有助于理解和计算平均值、中位数、众数等统计量之间的关系。
因此，波利亚中值定理是数学学习和数据分析中不可或缺的一个定律。
组合数学之母函数形式Polya定理及其应用
母函数形式Polya定理的应用场景
排列组合问题
母函数形式Polya定理可以应用于 排列和组合问题的计数，通过求 解代数方程得到组合数的通Polya定理可以应用于 生成函数的研究，通过求解代数 方程得到序列的通项公式。
离散概率论
母函数形式Polya定理可以应用于 离散概率论的研究，通过求解代 数方程得到概率分布的通项公式。
后续研究
自Polya定理提出以来，许多数学家对其进行了深入研究 和完善，进一步拓展了其在组合数学中的应用。
Polya定理的重要性
组合计数问题的解决
Polya定理为解决复杂的组合计数问题提供了一种有效的方法。通过使用该定理，可以快 速计算出满足一组约束条件的解的个数。
数学其他领域的应用
Polya定理不仅在组合数学中有广泛应用，还涉及到其他数学领域，如概率论、统计学和 图论等。该定理在这些领域中的应用有助于解决一系列复杂的问题。
04
Polya定理的应用
在组合数学中的应用
1 2
组合计数
Polya定理可以用于解决组合计数问题，例如计 算给定集合的所有子集的数量或排列的数量。
组合优化
在组合优化问题中，Polya定理可以用于寻找最 优解，例如在旅行商问题中寻找最短路径。
3
组合概率
在概率论中，Polya定理可以用于计算事件的概 率，例如计算多项式系数或排列组合的概率。
计数问题
组合数学中的计数问题通常涉及到在给定条件下，计算满足特定要求的元素个数。
Polya定理的历史背景
母函数的发展
母函数理论的发展可以追溯到18世纪，当时数学家开始研 究组合计数问题。随着时间的推移，母函数逐渐成为组合 数学中一个重要的分支。
Polya定理的提出
波利亚计数定理及其简单应用
２００７ 年第 ２ 期 Ｎｏ． ２． ２００７
也只有在１８０度的旋转中会被计数。 但 是Ｂｕｒｎｓｉｄｅ引 理 的 通 用 做 法 是 遍 历 所 有 的 方 案 ，
寻找那些置换前后重合的方案， 并对其计数， 这样效率 不高， 对一个正１２面体进行３着色， 不考虑重复的话， 方 案数达到了３的１２次方， 这是不可能一一遍历的。实际 上我们只关心有多少个这样的方案， 既不想遍历， 也不 想知道符合条件的方案是什么样的， 我们只想计数， 这 就是Ｐｏｌｙａ定理出现的原因。它是针对 “对称多面体” （ 包括正多面体和足球之类的凸多面体） 的着色问题来 计 算 Ｂｕｒｎｓｉｄｅ 引 理 中 的 每 个 Ｘｉ 是 多 少 的 。 其 形 式 是 ＣＭＹ， 其中Ｃ是当前旋转有多少个， 如果要转正负９０ 度， 并且这样的轴有４个的话， 那么Ｃ就是８； Ｍ是着色 数。Ｙ是循环群的段数。如果对一个正方体二着色， 面 心－ 面心旋转１８０度的循环群是（ １） ２（ ２） ２的话， 那么ＭＹ 就是２４。
究和讲授”的书取名为《数学的发现》， 我想大概就是这
个原因。他在这本书的第二卷中， 还专门详细介绍了数
学大师欧拉发现凸多面体的欧拉公式（ 顶点数－ 棱数＋
面数＝２） 的全过程， 生动地再现了欧拉如何一步一步地
进行归纳和猜想， 最终得到上述公式的， 也就是把处于
发现过程中的数学， 照原样提供给我们。展示教学家创
第 １１ 卷 总 ３５ 期 Ｖｏｌ．１１ Ｓｕｍ Ｎｏ．３５
新疆广播电视大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＮＪＩＡＮＧ ＲＴＶＵ
２００７ 年第 ２ 期 Ｎｏ． ２． ２００７
波利亚计数定理及其简单应用
崔军 （ 新疆广播电视大学， 新疆 乌鲁木齐 ８３０００１）
组合数学(5)置换群与Pólya定理
ACM 暑期集训 组合数学（5） 置换群与P ólya 定理1 群的基本概念ba e ab b a a a e e a a b b ac b a c b a A A b a A b a A =======∈∈∀-1543)()(21,,，则）逆元：（）单位元：（）可交换性：（）可结合性：（）封闭性（算的性质上的二元运算。
二元运为，则称都有，如果对于，运算设非空集合οοοοοοοοοοοοο上的二元运算。
是非空集合，代数系统A A οο〉〈为无限群。
为有限群。
否则，称是有限集合，称如果。
，下是一个群，记作群在运算则称集合存在逆元）对于（）存在单位元（是可结合的）运算（是封闭的）运算（，满足下述条件：，设给定代数系统G G G G G G Ga G a eG *〉〈=*∈∈∀***〉〈-1,43212 置换群{}个不同的置换。
次置换共有例如：到自身的双射，，，次置换：集合!14234321321,321321n n s k k kk n n X n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ΛΛΛϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅≠⋅=⋅⋅4312432132144321142343213214432114234321))(()(t s t s s t t s i s t i t s X t s t s X 则例如律。
即置换的乘法无交换。
一般地，为上的一个置换，且定义仍是，置换的乘法和上的置换设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n k k k k s k k k k n s n n I n n X ΛΛΛΛΛΛ3213213213213211321的逆置换为为恒等置换。
称{}，称为置换群。
乘法运算下构成一个群在置换的的置换组成的集合，是由集合设G X t t t G m ,,,21Λ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312321,123321,231321,213321,132321,3213213S S n X n次对称群，记作法下构成一个上的全体置换在置换乘集合POJ 2369 Permutations 求置换P 的秩k （order ）：P k =IPOJ 1026 Cipher 求置换P 的k 次幂P k 。
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第六章 P ól y a (波利亚)定理6.1 群论基础普通代数主要涉及的计算对象为数，运算方式多为加、减、乘、除。
本节将把运算对象扩展到一般的集合元素，运算方式也可以是多种多样，例如矩阵运算、集合的并、交、差运算等。
换言之，我们要将研究对象及其运算和所要讨论的性质延伸到抽象代数的范畴。
§6.1.1 群的概念定义6.1.1 给定非空集合G 及定义在G 上的二元运算“·”，若满足以下四个条件，则称集合G 在运算“·”下构成一个群，简称G 为一个群。
：（1）封闭性：a ，b ∈G ，则a ·b ∈G ；（2）结合律：（a ·b ）·c ＝a ·(b ·c)；（3）单位元：存在e ∈G ，对任意a ∈G ，有a ·e ＝e ·a ＝a ；（4）逆元素：对任意a ∈G ，存在b ∈G ，使得a ·b ＝b ·a ＝e ，称b 为a 的逆元素，记为a －1 。
群的运算符“·”可略去，即 a ·b ＝ab .群的运算并不要求满足交换律。
如果某个群G 中的代数运算满足交换律，则称G 为交换群或Abel 群。
群的元素可以是有限个，叫作有限群 ；也可以是无限个，叫无限群。
以|G|表示有限群中元素的个数，称为群的阶，那么当G 为无限群时，可以认为|G|＝∞。
例6.1.1 偶数集，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ，复数集C 关于数的加法构成群，称为加法群。
因为数的运算对加法满足要求（1）和（2）。
其中的单位元为0，每个数a 关于加法的逆元为：a －1＝－ a 。
但是，关于数的乘法，这些集都不构成群。
因为在偶数集中关于普通乘法不存在单位元。
而在Z 、Q 、R 、C 中，虽然关于普通乘法有单位元1，但数0没有逆元。
例6.1.2 不含零的有理数集Q1，实数集R1和复数集C1关于数的乘法构成群其中单位元为e ＝1，数a 的逆元为aa 11=-。
例6.1.3 G ＝{1，－1}关于乘法构成群单位元为e ＝1，由于 (－1)－1＝－1，所以数a ＝－1的逆元为它自身。
例6.1.4 更一般情形，集合G 1＝{e ＝1}，G 2＝{1，－1}，G 3＝{1，231i +-，231i --)} (1的3次 根)，…，G n ＝{a k ＝e i k2π /n | k ＝0，1，…，n －1，i ＝1-}（n ＝1，2，…）均关于乘法构成群。
其中单位元为e ＝1，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛===n i ne q i n πππ2sin 2cos 122，则元素a k ＝q k 的逆元为1k a -＝q －k ＝ q n －k . 例6.1.5 G ＝{0，1，…，n －1}在模n （即mod n ）的情况下关于加法运算构成群，当n 为素数时，1G ＝{}0-G ＝{}1n 21-,,,Λ关于乘法运算也构成群。
在群G 中，单位元为0，元素G a ∈的逆元为－a 或n －a 。
而在1G 中，单位元则为1，a 的逆元为 ()n a a a mod 11--≡ϕ。
但对于某些特殊元素，其逆是显然的，如111=-，()11n 1-=--或1n -。
例6.1.6 所有m*n 矩阵关于矩阵加法，所有非奇异（即可逆）n 阶矩阵关于矩阵乘法都构成群。
前者是可交换的，后者是不可交换群。
例6.1.7 二维欧几里德空间的刚性旋转变换集合T ＝{T α}构成阿贝尔群。
其中T α 、T β 的二元运算T β *T α定义为：先做T α，再对其结果做βT 。
验证T α： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααcos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x （1）封闭性：T β *T α＝ T α＋β∈ T（2）结合律：显然，（3）单位元：T 0对应矩阵为E ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001 （4）逆元素：（T α）－1＝ T －α例6.1.8 设G ＝{f 1＝x ， f 2＝1－ x ， f 3＝1/ x ， f 4＝1－1/ x ，f 5＝1/ (1－ x ) ，f 6＝1－1/ (1－ x )}，定义G 上的二元运算，f i * f j ＝ f i ( f j （x ）)，则G 构成群。
（证）首先G ≠Φ，其次：（1） 可以逐一验证f i * f j ＝ f i ( f j （x ）) ∈ G ；（2） 同样可以逐一验证：f i * ( f j * f k )＝ ( f i * f j ) *f k ；（3） 单位元为 f 1＝x ；（4） f 4 ，f 5互为逆元，其他f i 的逆元是自身。
§6.1.2 群的性质定理6.1.1 群具有以下性质（1）单位元e 唯一；（2）逆元唯一；（3）满足消去律：即对a ，b ，c ∈ G ，若ab ＝ac ，则b ＝c ；若ba ＝ca ，则仍有b ＝c ；（4）a ，b ∈ G ，则(ab)－1＝b －1a －1，更一般有(ab …c)－1＝c －1…b －1a －1；（5）若G 是有限群，则对任意a ∈G ，必存在一个最小常数r ，使a r ＝e ，从而11--=r a a 。
r 称为元素a 的阶。
（证）性质（1）～（4）显然。
只证明性质（5）。
设|G|＝n ，由G 的定义知.i i a a aa =321Λ个＝a i ∈ G ，i ＝1，2，…，n ＋1 由抽屉原理知，必存在整数m ，k ，满足1≤m<k ≤n ＋1，使得a m ＝ a k ，即a k －m ＝ e ，令r ＝k －m ，则a r ＝ e ，即a. a r －1＝e ，所以a －1＝ a r －1.§6.1.3 子群定义6.1.2 设G 是群，H 是G 的子集，若H 在G 的原有运算下也构成一个群，则称H 是G 的子群。
例6.1.9 任何群G 至少有两个子群：H 1＝ G ，H 2＝{ e| e ∈ G 为单位元}。
例6.1.10 对于乘法运算，H ＝{1，－1}是G ＝{1，－1，i ，－i}的子群。
例6.1.11 偶数加法群是整数群Z 的子群，Z 是有理数加法群Q 的子群，Q 又是实数加法群R 的子群，R 是复数加法群C 的子群；对乘法群而言，也有Q 1是R 1的子群，R 1是C 1的子群。
例6.1.12 任选群G 的一个元素a ，设a 的阶为r ，则H ＝{a ，a 2，…，a r －1，a r ＝e}是G 的子群。
这样的群H 是由某个固定元素a 的乘方组成，称为循环群，或称H 是由元素a 生成的群，a 叫作H 的生成元。
例如，G ＝{1,2,3,4,5,6}关于模7的乘法构成循环群，其生成元为3{3,23,33,43,53,63}＝{3，2，6，4，5，1}另外，以2为生成元，可以得到G 的一个子群H ＝{2,22,32}＝{2,4,1}定理6.1.2 有限群的阶数必能被其子群的阶数整除。
（证）（略）。
伽罗华（Évariste Galois ，1811—1832）简介：是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础。
源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（Solution by Radicals ）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel ）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。
于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy ）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier ）所遗失；他还与埃科尔综合技术学院（école Polytechnique ）的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。
第三次送交科学院的论文亦为泊松（Poisson ）所拒绝。
伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。
他被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一。
评论：数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。
后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
6.2 置换群不论在理论研究还是在实际应用中，置换群都是十分重要的一类群。
一方面，任何有限群都可以用它表示；另一方面，在解决“代数方程是否能用根号求解”这个问题时，要用到它；它还在本章的Burnside 引理及P ólya 定理中起着基本作用。
（一）置换定义6.2.1 有限集合S 到自身的一个映射叫做一个置换。
例如 S ＝{ a 1，a 2，a 3，a 4}， p ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛13424321a a a a a a a a 即是一个置换。
相应的映射是ƒ： a 1＝ƒ(a 4)，a 2＝ƒ(a 1)，a 3＝ƒ(a 3)，a 4＝ƒ(a 2) .或 ƒ(a 1)＝a 2，ƒ(a 2)＝a 4，ƒ(a 3)＝a 3，ƒ(a 4)＝a 1说明：（1）将S 中的元素a i 写在上一行(顺序可任意)， a i 的象写在a i 之下，同一列的两个元素的相对关系只要保持不变，即ƒ(a i )＝i k a ，不同形式的写法都认为是同一个置换。
如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321a a a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213213a a a （2）置换就是将n 个元的一种排列变为另一种排列。
（3）n 元集S 共有个n!不同的置换。
（二）置换的运算定义6.2.2 两个置换p 1、p 2的乘积p 1p 2定义为先做置换p 1再做p 2 的结果。
例如 p 1＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42134321， p 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12344321， 那么 p 1p 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42134321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12344321＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13424321 即 1−→−1p 3−→−2p 2， 2−→−1p 1−→−2p 4，… 一般来说，置换的乘法不满足交换律，即p 1p 2≠p 2p 1，如上例中 p 2p 1＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12344321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42134321＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31244321≠p 1p 2 求复合置换的一种技巧就是更改p 2各列的前后次序，使其第一行的排列与前者p 1第二行的排列相同，那么复合置换p 1 p 2的第一行就是p 1的第一行，其第二行是p 2的第二行。
如上例p 1p 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42134321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12344321＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42134321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13424213＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13424321 定理6.2.1 设S n 是n 元集合上的所有置换构成的集合，则S n 关于置换的乘法构成 群，称为n 次对称群。
（证） 由置换乘法的定义知，封闭性，结合律显然成立。