2020年高考理科数学模拟调研卷
普通高等学校招生全国统一考试
高考模拟调研卷理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1． 已知集合{210123}A =--，
， ， ， ， ，{|(1)(2)0}B x x x =+-≥，则A B =I A ．{210123}--，
， ， ， ， B ．{2123}--，
， ， C ．{1
023}-， ， ，
D ．{23}-，
2． 已知i 为虚数单位，复数z 满足i z+z 的实部与虚部相等，则z 为
A ．实数
B ．纯虚数
C ．非纯虚数
D ．不确定
3． “方程
22
122
x y m m +=-+表示焦点在x 轴的椭圆”是“22m -<<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4． 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日
织49尺，第三日及第七日所织之和18尺，则日增尺数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5． 已知点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，若||2AB =，则AC AB ⋅=u u u r u u u r
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 在平面区域3000x y x y +-⎧⎪
>⎨⎪>⎩
≤ 内随机取一点()a b ，
，则使得不等式240a b -≥成立的概率是 A ．
15
B ．
13
C ．
12
D ．
23
7． 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为
A ．40
B ．30
C ．20
D ．10
俯视图
11．已知函数2
()ln 1f x x x ax =-+有两个极值点，则实数a 的取值范围是
A ．1()2
-∞，
B ．1(0)2
，
C ．(01)，
D ．1
()2
+∞，
12．已知抛物线2
:2C y px =（0p >）的焦点为F ，过点(20)M ， 的直线交抛物线C 于A ，B 两
点，若||2||AM MB =且||5AF =，则||BF = A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数212
23(0)
()1
log ()(0)8x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨+>⎪⎩， ≤，
，则15
(())8f f = . 开始开始 结束
14
．若二项式1)n
x
的展开式中含5x 项，则正整数n 的最小值为 . 15．已知24sin()55x +
π=，[0]2x π∈， ，则11cos()15
x +π= . 16．若在半径为3的球内有一动圆柱，圆柱的底面圆周在球面上，则圆柱体积的最大值为 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。
第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在各项都是正数的等比数列
18．（12分）
某学校为参加市级举办的高中数学竞赛，将高三培训班的
20名同学平均分成甲、乙两组进行了测试，测试成绩的茎叶图如图所示，规定90分以上为优秀成绩．
（1）在甲组学生中任选两名同学，在已知其中一名同学的测试成绩为优秀的条件下，求另一
名同学的测试成绩也为优秀的概率；
（2）在甲乙两组测试成绩为优秀的学生中任选三名，
记选到乙组学生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
19．（12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面2ABCD AD AP ==, ，E 为AB 的中点，M 为线段PC 上的点．
（1）若M 为棱PC 的中点，求证：EM ⊥PD ；
（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得二面角P ME B --的余弦值
为-
?若存在，求AM 的长度；否则，请说明理由． 7
8 9
4 5
1 2 3 7 2 3 5 8
甲 组
乙 组 9 8 6
9 6 5 3 8 2 1
E
B
A
P M
20．（12 分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
，过右焦点F 作斜率为2的直线与椭圆C
相交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线AB 的距离为12
5
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过点(20)，
的直线与椭圆C 交于点M ，N ，是否存在定点P 使得 2()OM ON OP OM ON OP ⋅+=+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
恒成立？若存在，求点P 的坐标；否则，请说明理由.
21．（12分）
已知函数2
()ln f x x x ax =+-，a R ∈.
（1）若()f x 在(0)+∞， 上是单调函数，求a 的取值范围；
（2）若()f x 存在两个极值点12x x ，
12()x x <，且22()e f x <-，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r θθ=+⎧⎨=⎩
，
， (0r θ>， 为参数)，以坐
标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线错误!未找到引用源。
经过点(2)3
P π
， ，曲线错误!未找到引用源。
的极坐标方程为错误!未找到引用源。
． （1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）若A B ， 是曲线2C 上的两个动点，且2
AOB π
∠=，求2211||||OA OB +的值．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知关于x 的不等式0|6||3|6x x <+--<的解集为M ，且a b M ∈， . （1）求证：113
|
|364
a b -<； （2）比较|94|ab -与6||a b -的大小，并说明理由.。
2020届高三理科数学第一次调研考试
2020届高三第一次调研考试2020届高三第一次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1．【解析】由M 中不等式得()20x x -<，解得02x <<，即()02M =，，{}1M N ∴=，故选B ．2．【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++， ∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ．3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是()3200020072572⨯+⨯=．．．人．故选B ． 4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，故选A.5．【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-， 所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选C ． 6．【解析】由题意得1q ≠±．由639S S =得()()631111911a q a q qq--=⨯--，∴319q +=，∴2q =．又()515112316212a S a -===-，∴12a =．故选B ．7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以22212c b a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，双曲线方程为225514y x -=.故选C. 8．【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位后，得到函数()sin()cos 2f x x x π=+=的图象，()cos f x x =为偶函数，排除A ；()cos f x x =的周期为2π，排除B ；因为()cos=022f ππ=，所以()f x 的图象不关于直线2x π=对称，排除C. 故选D ．9．【解析】对于A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B ，C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件。
2020届高三高三调研考试理科数学(试卷)
—理科数学（摸底）第1页（共8页）一2020届高三摸底测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1 •答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码.2 •作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3•非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. .选择题：本题共 12小题，每小题 合题目要求的. 程为$ 2x 4，若数据X 1,X 2, X 3,L , X 6的平均数为1，则y y ? * L 弐等于A. 10B. 12C. 13D. 14xOy 中，uuuv L UV uuu/6.在平面直角坐标系已知M1,2 ,N 1,0 , 动点 P 满足| PM ON | | PN |,则动点P 的轨迹方程是A. y 24x2B.X4yC.2y4xD.2X 4y5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 已知集合M {x| X 1 37 0}, N {x|yX 1A. (1,2]B.[1,2]C复数z 满足 1 i1 i ，则 |z|zA. 2iB.2C. 已知平面内一条直线 l 及平面，则“X}，则 3R M )| N(2,3]D.D. 等于[2,3]”是“”的A.充分必要条件 C.必要不充分条件充分不必要条件 既不充分也不必要条件公比不为 1的等比数列 { a n }中，右 a 〔a 5 a m a n ，则mn 不可能为A. 5B.6 C.8D.9已知一组样本数据点Xj ,X 2,y 2 , X 3,y 3 丄,X s ,y 6，用最小二一乘法得到其线性回归方7.已知二元一次不等式组X y 2 0,X y 2 0表示的平面区域为 D ，命题p :点（0,1）在区域D 内;X 2y 2 0A. p q B .p ( q)C.(p) qD.(p) &已知ABC 的垂心为 H ，且 AB3,AC5,M 是BC 的中点, 则 umur uuuHM BCA. 5B.6C.7D.8(q)1 •2. 3. B.、、D.4. 5. 命题q :点（1,1）在区域D 内.则下列命题中，真命题是—理科数学(摸底)第2页(共8页)一(忌 2 1)1 a 1b 10•已知正实数 a,b, c 满足：(一)Iog 2a,( —)Iog 2b,c log 1 c ，贝y2 32A. a b cB. c b aC. b c aD. cab11 •自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合 表示计算机中的数， 所以现在使用的计算机设计为二进制计算机.二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢 2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10 1 29 0 28 0 2 7 0 26 0 25 0 24 1 23 0 22 0 21 1 20(1000001001)2 •我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决： 7 7 61 , 7 6 52 , 7 5 43丄，请类比二进制与十进制转化的运算，数(1010011100)2对应八进制数为A. (446) 8B.(1134)8 C.(1234)8D.(4321)812. 函数 f (x) (x 2 ax)e x ax a 2(e 为自然对数的底数，a R , a 为常数)有二个不同零占 八贝y a 的取值范围是1 A.( -,0)B.e(,0)C.(1,) eD.(0,)二•填空题：本题共 4小题，每小题5分,共20分. 13. (2-、X 丄)6展开式中的常数项为 ___________ •x14 •已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(2 x) f (x) 0 , f (0).3 ,则f(10)等 于 _________ • 15•已知等差数列 a n 的前n 项和为S n ，满足a 21, &S n 2 2S n12 (n 3)，则a 3的值为 _________ •16 •已知正方体ABCD A3GD 1的棱长为3 ,垂直于棱AA 1的截面分别与面对角线2 29•圆C : x y 10y 16 0上有且仅有两点到双曲线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是2 2 xy 2.2ab1(a 0,b 0)的一条渐近线AD,A1BQBQD相交于点E,F,G,H，则四棱锥A, EFGH体积的最大值为_____________________ .—理科数学（摸底）第3页（共8页）一三•解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17.（12分）已知锐角ABC中，角A, B,C所对边分别为a,b,c，且c （I）若边a 2 2，求角A;（n）求ABC面积的最大值.第17：21题为必考题，每2/3,2sin(2 C -) ^3 .3—理科数学(摸底)第2页(共8页)一18.（12分）已知直三棱柱ABC ABQ i中, 的中点，F是AE上一点，且AF 3FE .（I）证明：AF 平面ABC ；（n）求二面角B AE B i余弦值的大小.BAC 120 , AB AC 2,AA 3 , E 是BC—理科数学（摸底）第5页（共8页）一—理科数学（摸底）第6页（共8页）一19. （12分）某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一 等奖学金（奖金额 3000元）、专业二等奖学金（奖金额 1500元）及专业三等奖学金（奖金额 600 元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次 .图（1）是统计了该校2018年500名学生周 课外平均学习时间频率分布直方图，图（ 2）是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获 得专业奖学金的频率柱状图•（I ）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；（n ）若周课外平均学习时间超过 35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2 2联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型” 学生有关？（川）若以频率作为概率， 从该校任选一名学生， 记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变 量X ，求随机变量 X 的分布列和期望.P k k g0.10 0.050.01 0 0.00 5 0.001 k g2.713.846.647.8810.8 3K 22n(ad be) _______(a b)(e d)(a e)(b d)2 220. （12分）已知椭圆E:笃占1（a a b 的顶点.（I）求椭圆E的方程；（n）设直线y kx m与圆。
二〇二〇届全国高考模拟调研考试试卷理科数学(全国卷)含参考解析 (江西)
二〇二〇届全国高考模拟调研考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12题，满分60分。
1．已知圆M ：22(1)(1)8x y -+-=，过直线l ：0x y --=上任意一点P 向圆引切线PA ，切点为A ，则PA 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．43．若任取5,5k ⎡∈-⎣，则直线()1y k x =+与曲线()242y x =--的概率为（ ）A ．15B ．310C ．25D ．454．已知复数z 满足()13i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1122i -D ．1122i +5．关于123,,x x x 的方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵0B ≠，使得0AB =，（0表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；矩阵B 对应的行列式为B ），则（1）λ一定为1； （2）B 一定为0； （3）该方程组一定有无穷多解. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．1728D ．107．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段SA 上的点（不含端点），设直线BE 与CD 所成的角为1θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S BC D --的平面角为3θ，则（ ）A ．1323,θθθθ<<B ．2123,θθθθ<<C ．2131,θθθθ<<D ．1232,θθθθ<<8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()2*12n n S S n n ++=∈N ，且10a ≠，1028a =，则1a 的值为（ ）A ．－8B ．6C ．－5D ．49．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 22n π)a n ＋sin 22n π，则该数列的前10项和为 ( ) A ．2101 B ．1067 C ．1012D ．201210．已知函数()y f x =的定义域为(),ππ-，且函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，当()0,x π∈时，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中()'f x 是()f x 的导函数），若()log 3a f π=,13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>11．已知a v ，b v 为平面向量，若a b +v v 与a v 的夹角为3π，a b +v v 与b v 的夹角为4π，则ab=vv （ ）A ．3B ．4C ．3D ．312．若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X中的元素个数，则()()card card F E +=（ ） A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考_理科数学模拟试卷(含答案和解析)
【高仿咫卷•理科数学 笫1页（共4页）】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项：L 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。
2.选择题的作答：每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。
客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。
4.选考题的作冬：先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后，请将本试四卷和答题于一并上交，一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。
则“E| =㈤"是口一2川=12。
一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女，长女五日一归，中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家，小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会？：三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列｛。
2020届高三理科数学模拟试卷(解析版)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|1}A x x =<，2{|log 1}B x x =<，则（ ）A ．{|1}AB x x =<U B ．{|2}A B x x =<UC ．{|1}A B x x =<ID ．{|2}A B x x =<I 【答案】B {|1}A x x =<，{|02}B x x =<<，{|01}A B x x =<<I ，{|2}A B x x =<U ． 2．i 是虚数单位，4i1iz =-，则||z =（ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 【答案】B 由题意得4i 4i(1i)2i(1i)22i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+，∴22||(2)222z =-+=．故选B ． 3．已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰．若该公司有工作10年以上的员工100人，工作510:年的员工400人，工作05:年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作510:年的员工代表有（ ） A ．8人 B ．16人 C ．4人 D ．24人【答案】B 依题意知，该公司的所有员工中工作10年以上、工作510:年、工作05:年的员工人数比例为1:4:2， 所以工作510:年的员工代表有428167⨯=． 4．已知向量||2=a ，||1=b ，(2)2⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．150︒【答案】B ∵2(2)2422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos ||||2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．5．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ） A ．1414 B ．8314 C ．1313D ．13【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠， 在11AC D Rt △中，111C D =，222112314AC =++=，∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===，故选A ． 6．执行下图的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i < 【答案】B【解析】由程序框图可知，该程序框图的功能是计算(1)1232i i S i +=++++=L 的值， 又10S =，所以4i =，当15i +=时退出循环，结合选项可知，应填5?i <．6题 7题7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象 向左平移π6个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()g x 为奇函数 B ．函数()g x 的最大值为3 C ．函数()g x 的最小正周期为π D ．函数()g x 在π(0,)3上单调递增【答案】D 由图可知3A =，35ππ3π()41234T =--=，∴πT =，2ω=， 将点5π(,3)12代入3sin(2)y x ϕ=+，得π2π3k ϕ=-+()k ∈Z ，故π()3sin(2)3f x x =-，向左平移π6个单位长度得ππ()3sin[2()]3sin 263y g x x x ==+-=，故A ，B ，C 正确，故选D ．8．随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为90秒，且一次亮红灯的时间不超过60秒，一次亮绿灯的时间不超过50秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为（ ）A ．14 B ．19 C ．59 D ．511【答案】A 设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则50t ≤，亮红灯的时间为9060t -≤，所以3050t ≤≤， 亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为45t ≥，由几何概型的概率公式知：P =50−4550−30=14． 9．已知函数1()1ln f x x x=--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ∵1()1ln f x x x=--，∴1ln 0x x --≠，令()1ln g x x x =--，∵(1)0g =，∴函数的定义域为(0,1)(1,)+∞U ，可得211()(1ln )x f x x x x -'=-⋅--， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数单调递减，∴A 选项图象符合题意10．已知圆222x y r +=(0)r >与抛物线22y x =交于A ，B 两点，与抛物线的准线交C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于（ ） A ．22B ．2C ．52 D ．5 【答案】C 由题意可得，抛物线的准线方程为12x =-，画出图形如图所示：在222x y r +=(0)r >中，当12x =-时，则有2214y r =-．① 由22y x =，得22y x =，代入222x y r +=，消去x 整理得422440y y r +-=．②结合题意可得点A ，D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等， 由①②两式消去2y ，得222211()4()4044r r r -+--=， 整理得42168150r r --=，解得254r =或234r =-（舍去），∴52r =，故选C ． 11．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知5a =，2534ABC S =△，且2222cos cos b c a ac C c A +-=⋅+⋅，则sin sin B C +=（ ）A ．3B ． 9√32C ．3D ．33【答案】C 在ABC △中，由余弦定理得22222222cos cos 22a b c b c a ac C c A ac c bc ab bc+-+-⋅+⋅=⋅+⋅=，∵2222cos cos b c a ac C c A +-=⋅+⋅，∴222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，∵0πA <<，∴π3A =，∵2534ABC S =△，∴13253sin 244bc A bc ==，∴25bc =，即22225b c a +-=， ∵5a =，∴2250b c +=，由222550bc b c =⎧⎨+=⎩，解得5b c ==，∴a b c ==，∴π3B C A ===， ∴π3sin sin 2sin2332B C +==⨯=．12．已知函数24,0(),0x x x x f x e x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，若()g x 有4个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．2(,4)4eB ．(,4)4eC ．(,)4e +∞D ．2(,)4e +∞【答案】A 因为()()g x f x ax =-有4个零点，即函数()y f x =与y ax =有4个交点，当0x >时，2(1)()xx ef x x-'=， 所以(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 画出()f x 的图象如图所示，求出()f x 的过原点的切线，()f x 在0x =处的切线1l 的斜率为2100(4)|(24)|4x x k x x x =='=+=+=， 设()f x 的过原点的切线2l 的切点为000(,)x e P x x 0(0)x ≠，切线2l 的斜率为2k ，又2(1)()x x e x e x x -'=，故000220020(1)x x x e k x e x k x ⎧-=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩，解得02x =，224e k =， 由图可知()y f x =与y ax =有4个交点，则21k a k <<，所以244ea <<．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若5(2)()ax x x+-展开式的常数项等于80，则a = ． 【答案】2【解析】5()a x x -的通项公式为55525155C (1)(1)C r r r r r r r r r r T a x x a x ----+=⋅⋅⋅-⋅=-⋅，∴5(2)()a x x x+-展开式中的常数项为235C 80a =，∴2a =．14．设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是 ．【答案】-6【解析】根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由103x y x -+=⎧⎨=⎩，得34x y =⎧⎨=⎩，由图可知目标函数在点(3,4)A 取最小值23346z =⨯-⨯=-．15．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，点M 的坐标为2(,0)3，且M 到直线1AF ，2AF 的距离相等，则1||AF = ．【答案】4【解析】由题意得1(2,0)F -，2(2,0)F ，点A 在双曲线的右支上，又点M 的坐标为2(,0)3， ∴128||233F M =+=，224||233MF =-=． 画出图形如图所示，1MP AF ⊥，2MQ AF ⊥，垂足分别为P ，Q ，由题意得||||MP MQ =，∴AM 为12F AF ∠的平分线，∴1122||||2||||AF F M AF MF ==，即12||2||AF AF =， 又12||||2AF AF -=，∴1||4AF =，2||2AF =．故答案为4．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，直线:l y x a =+，过直线l 上点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得32PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[−2√2，2√2]【解析】取AB 中点H ，OH AB ⊥，∵PA PB =，H 为AB 中点，∴90AHP ∠=︒，∴O ，H ，P 三点在一条直线上，2PA PB PH +=u u u r u u u r u u u r，322PH PO =u u u r u u u r ，34PH PO =u u u r u u u r ，设||3PH x =u u u r ，∴||4PO x =uuu r，∴OH x =，在AHO Rt △中，得222r OH AH -=，221AH x =-，①，在OAP 中运用射影定理得2AH OH PH =⋅，2233AH x x x =⋅=，②， 联立①②，2231x x =-，214x =，12x =，||42OP x ==， ∴P 点以O 为圆心，2r =的圆上，P 轨迹224x y +=， 又∵P 在y x a =+上，直线与圆有交点，∴||211a d =≤+，∴2222a -≤≤． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足132********n n n a a a a +-++++=-L ()n ∈*N ，4log n n b a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11{}n n b b +⋅的前n 项和n T ．【解析】（1）∵132********n n n a a a a +-++++=-L ，∴31212222222nn n a a a a --++++=-L (2)n ≥， 两式相减得112222n n n nn a +-=-=，∴212n n a -=(2)n ≥． 又当1n =时，12a =满足上式，∴212n n a -=()n ∈*N ． ∴数列{}n a 的通项公式212n n a -=． （2）由（1）得21421log 22n n n b --==， ∴114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==-⋅-+-+， ∴12231111111112[(1)()()]3352121n n n T b b b b b b n n +=+++=-+-++-⋅⋅-+L L 142(1)2121nn n =-=++．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：PC BC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值． 【解析】（1）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ， ∵PAD △为等边三角形，∴PO AD ⊥．底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO AD ⊥，∵0PO CO =I ，∴AD ⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，AD PC ⊥． 又AD BC ∥，所以PC BC ⊥．（2）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥知，∴PO ⊥平面ABCD ，OP ，OD ，OC 两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为30︒， 即30CPO ∠=︒，由2AD =，知3PO =，得1CO =．分别以OC u u u r ，OD u u u r ，OP uuu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)C ，(1,1,0)B -，(0,1,0)BC =u u u r ，(1,0,3)PC =-u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，∴030y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,0,1)=n ．设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =m ，∴030x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,3,1)=m ．427|cos ,|||||727⋅<>===m n m n m n ， ∴二面角B PC D --的余弦值为277-．19．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况， 采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）解：（1）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=，解得0.0035a =，样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人．随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，337310C C ()C k k P X k -==(0,1,2,3)k =，所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：750222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．20．（12分）已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率为63，过x 轴正半轴一点(,0)m 且斜率为33-的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由． 解：（1）∵抛物线28y x =的焦点是(2,0)，∴(2,0)F ，∴2c =，又∵椭圆的离心率为63，即63c a =，∴6a =，26a =，则2222b a c =-=，故椭圆的方程为22162x y +=．（2）由题意得直线l 的方程为3()3y x m =--(0)m >， 由221623()3x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得222260x mx m -+-=， 由2248(6)0Δm m =-->，解得2323m -<<，又0m >，∴023m <<，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=，∴212121212331[()][()]()33333m m y y x m x m x x x x =--⋅--=-++． ∵11(2,)FA x y =-u u u r ，22(2,)FB x y =-u u u r，∴212121212462(3)(2)(2)()43333m m m m FA FB x x y y x x x x +-⋅=--+=-+++=u u u r u u u r ， 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB ⋅=u u u r u u u r， 即2(3)03m m -=，解得0m =或3m =． 又023m <<，∴3m =，即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点．21．（12分）已知函数1()ln 12m f x x x =+-()m ∈R 的两个零点为1x ，2x 12()x x <．（1）求实数m 的取值范围；（2）求证：12112x x e+>． 解：（1）2212()22m x mf x x x x -'=-+=， 当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，不可能有两个零点； 当0m >时，由()0f x '>，可解得2x m >；由()0f x '<，可解得02x m <<， ∴()f x 在(0,2)m 上单调递减，在(2,)m +∞上单调递增，∴min 1()(2)ln 2122m f x f m m m ==+-， 要使得()f x 在(0,)+∞上有两个零点，则11ln 21022m +-<，解得02e m <<，则m 的取值范围为(0,)2e ． （2）令1t x=，则1111()ln()1ln 122f x m mt t x x =--=--，由题意知方程1ln 102mt t --=有两个根，即方程ln 22t m t+=有两个根，不妨设111t x =，221t x =，令ln 2()2t h t t+=，则当1(0,)t e ∈时，()h t 单调递增，1(,)t e∈+∞时，()h t 单调递减，综上可知，1210t t e >>>， 令2()()()x h x h x e ϕ=--，下面证()0x ϕ<对任意的1(0,)x e∈恒成立，2221ln()21ln ()()()222()x x e x h x h x e x x eϕ-----'''=+-=+-， ∵1(0,)x e ∈，∴ln 10x -->，222()x x e<-，∴222221ln()2ln ()1ln ()2222()2()2()x x x x e e x x x x e e eϕ--------'>+=---， 又∵1(0,)x e∈，∴22221()()2x xe x x e e +--≤=， ∴()0x ϕ'>，则()x ϕ在1(0,)e 单调递增，∴1()()0x eϕϕ<=，∵2222()()()0t h t h t e ϕ=--<，∴222()()h t h t e<-，又∵12()()h t h t =，∴122()()h t h t e<-，∴122t t e >-，∴122t t e +>，即12112x x e +>．2020届尼尔基一中高三理科数学模拟试卷7(教师版）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为131x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-． （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线l '过点(2,0)M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求||||MA MB ⋅．【解析】（1）把直线l 的参数方程化为普通方程为3(1)1y x =-+，即3130x y -+-=． 由22cos 1cos θρθ=-，可得22(1cos )2cos ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为π3，∴直线l '的倾斜角也为π3， 又直线l '过点(2,0)M ，∴直线l '的参数方程为12232x t y t ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '， 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=，∴16||||3MA MB ⋅=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()|||2|([0,2])f x x a x a a =+---∈．（1）当1a =时，解不等式()1f x ≥；（2）求证：()2f x ≤．【解析】（1）当1a =时，解不等式()1f x ≥等价于|1||1|1x x +--≥，①当1x ≤-时，不等式化为111x x --+-≥，原不等式无实数解；②当11x -<<时，不等式化为111x x ++-≥，解得112x ≤<； ③当1x ≥时，不等式化为111x x +-+≥，解得1x ≥，综上所述，不等式()1f x ≥的解集为1[,)2+∞．（2）()|()(2)|2f x x a x a a a ≤+---=+-，∵[0,2]a ∈，∴(2)2(2)a a a a +-≥-，∴22[(2)](2)a a a a +-≥+-， ∴2(2)4a a +-≤，22a a +-≤，∴()2f x ≤．。
2020高考模拟考试试卷数学理科数学含答案
a为．y y⎪数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共 150 分，考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若 z = 2 - bi (b ∈R )为纯虚数,则 b 的值为．2 + iA ．- 1B ．1C ．- 2D ．4 2． 在等差数列 { }中， a + a = 16, a = 1 ，则 a 的值是． n5739A ．15B ．30C ． - 31D ．643．给出下列命题：① 若平面 α 内的直线 l 垂直于平面 β 内的任意直线，则α ⊥ β ； ② 若平面 α 内的任一直线都平行于平面 β ，则 α // β ； ③ 若平面 α 垂直于平面 β ，直线 l 在平面内 α ，则 l ⊥ β ； ④ 若平面 α 平行于平面 β ，直线 l 在平面内 α ，则 l // β ．其中正确命题的个数是．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知函数 f ( x ) = ⎛ 1 ⎫ x -1 - 1 ，则 f ( x ) 的反函数 f -1 ( x ) 的图像大致 ⎝ 2 ⎭y y-1ox -1 ox -1 ox -1oxABCD5．定义集合 M 与 N 的运算： M * N = {x x ∈ M 或x ∈ N , 且x ∉ M I N } ，⎪4C ． π - αD ． 3π - α4 B ． α +π则 (M * N ) * M = A ． M I NB ． M Y NC ． MD ． N6．已知 cos(α + π ) = 1 ，其中 α ∈ (0, π ) ，则 sin α 的值为．432A ． 4 - 2B ． 4 + 2C ． 2 2 - 1D ． 2 2 - 166 6 37．已 知 平 面 上 不 同 的 四 点 A 、 B 、 C 、 D ， 若DB ·DC + CD ·DC + DA ·BC = 0 ，则三角形 ABC 一定是．A ．直角或等腰三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形8．直线： x + y + 1 = 0 与直线： x sin α + y cos α - 2 = 0⎛ π < α < π ⎫ 的夹⎝ 4 2 ⎭角为．A ． α - π4 49．设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数，若f (2) > 1, f (3) = a 2 + a + 3，则 a 的取值范围是．a - 3A ． (-∞,-2) Y (0,3)B ． (-2,0) Y (3,+∞)C ． (-∞,-2) Y (0,+∞)D ． (-∞,0) Y (3,+∞)10． 若 log x = log x = log 21a2a系为．(a +1)x > 0 (0 < a < 1) ，则 x 、x 、x 的大小关3 1 2 3A ． x < x < x32 1D ． x < x < x231B ． x < x < x2 13C ． x < x < x1 3211． 点 P 是双曲线 y 2 - x 2 = 1 的上支上一点，F 1、F 2 分别为双曲线9 16的上、下焦点，则∆PF F 的内切圆圆心 M 的坐标一定适合的方程是．1 2A ． y = -3B ． y = 3C ． x 2 + y 2 = 5D ． y = 3x 2 - 212． 一个三棱椎的四个顶点均在直径为 6 的球面上，它的三条侧棱两两垂直，若其中一条⎨ ⎪5 - bx, x > 1.侧棱长是另一条侧棱长的 2 倍，则这三条侧棱长之和的最大值为．A ．3B ． 4 3C ． 2 105D ． 2 21555第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.⎧2 x , 13 ．设函数 f ( x ) = ⎪a,x < 1,x = 1, 在 x = 1 处连续，则实数 a, b 的值分别⎩为．14．以椭圆 x 2 + y 2 = 1 的右焦点为焦点，左准线为准线的抛物线方程 5 4为．15．如图，路灯距地面 8m ，一个身高 1.6m过路A的人沿穿灯的直路以 84m/min 的速度行走，人影1.6O NC M B长度变化速率是m/min ．16．在直三棱柱 ABC - A B C 中，有下列三个条件：1 1 1① A B ⊥ AC ；② A B ⊥ B C ；③ B C = A C ．11111 11 1以其中的两个为条件，其余一个为结论，可以构成的真命题是（填上所有成立的真命题，用条件的序号表示即可）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = cos x( 3 sin x - cos x), x ∈ R ． (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值；(Ⅱ)试说明该函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换，可以得到y=sin x,x∈R的图像？18．（本小题满分12分）已知数列{a}的首项a=2，且2a=a+1(n∈N*)．n1n+1n(Ⅰ)设b=na，求数列{b}的前n项和T；n n n n(Ⅱ)求使不等式a-a<10-9成立的最小正整数n．(已知n+1nlg2=0.3010)19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮比赛，每人投三次，规定：投中次数多者获胜，投中次数相同则成平局．若甲、乙两人的投篮命中的概率分别为2和1，且两人每次投篮是否命中是相互独立的．32(Ⅰ)求甲、乙成平局的概率；P(Ⅱ)求甲获胜的概率．D C 20．（本小题满分12分）A B如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD,AB⊥AD,AD=CD=2A B=2，侧面∆APD为等边三角形，且平面APD⊥平面ABCD．(Ⅰ)若M为PC上一动点，当M在何位置时，PC⊥平面MDB，并证明之；(Ⅱ)求直线AB到平面PDC的距离；(Ⅲ)若点G为∆PBC的重心，求二面角G-BD-C的大小．21．（本小题满分12分）y M B 1A 1o A2xB2如图，已知 A 1、A 2 为双曲线 C ： x 2 - y 2 = 1(a > 0, b > 0) a 2b 2的两个顶点，过双曲线上一点 B 1 作 x 轴的垂线，交双 曲线于另一点 B 2，直线 A 1B 1、A 2B 2 相交于点 M ． (Ⅰ)求点 M 的轨迹 E 的方程；(Ⅱ)若 P 、Q 分别为双曲线 C 与曲线 E 上不同于A 1、A 2 的动点，且 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ( m ∈ R ,且 m > 1)，1212设直线 A 1P 、A 2P 、A 1Q 、A 2Q 的斜率分别为 k 1、k 2、k 3、k 4， 试问 k 1+k 2+k 3+k 4 是否为定值？说明理由．22．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 1 ( x ∈ R, a ,b 为实数)有极值，且3x = 1 在处的切线与直线 x - y + 1 = 0 平行．(Ⅰ)求实数 a 的取值范围；(Ⅱ)是否存在实数 a ，使得函数 f ( x ) 的极小值为 1，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设 a = 1 ， f ( x ) 的导数为 f '( x ) ，令 g ( x ) = f '( x + 1) - 3, x ∈ (0,+∞) ，2 x求证：g n ( x ) - x n- 1≥ 2 n - 2 (n ∈ N * ) ．x n=3sin2x-………………………………………（2=sin(2x-)-…………………………………………（46)有最大值1．此时函数f(x)的值最大,最大值为数学(理科)参考答案一、选择题：DABCD ADAAD BC二、填空题：13．a=2,b=3；14．y2=12(x+2)；15．21；16．①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．三、解答题：17．(Ⅰ)f(x)=3sin x cos x-cos2x1+cos2x22分）π162分）当2x-π=2kπ+π,(k∈Z)，即x=kπ+π,(k∈Z)时，623sin(2x-π1．……（6分）2(Ⅱ)将y=sin(2x-π)-1的图像依次进行如下变换：62①把函数y=sin(2x-π)-1的图像向上平移1个单位长度，得到622函数y=sin(2x-π6)的图像；…………………………………………（8分）②把得到的函数图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(x-π)6的图像；…………………………………………（10分）③将函数y=sin(x-π)的图像向左平移π个单位长度，就得到66函数y=sin x的图2 ∴ a = ⎪⎝2⎭⎝ 2 ⎭ ⎪ ∴T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + 3· ⎪ + Λ + n · ⎪⎝2⎭ ⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭∴ T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + Λ + (n - 1) ⎪ 1 n (n + 1) ………+ n · ⎪ + ·T = 4 - (4 + 2n) ⎪ + ⎝ 2 ⎭ - a = ⎪ < 10 -9⎝2⎭C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ C 2 ⨯ ⎪ =⎝3⎭ 3⎝ 2 ⎭像．…………………………………………（12 分）（注：如考生按向量进行变换，或改变变换顺序，只要正确，可给相应分数）18．(Ⅰ)由 2an +1= a + 1得 ann +1 - 1 = 1 2(a - 1) n可知数列{a - 1} 是以 a - 1 = 1 为首项，公比为 1 的等比数列． n 1n⎛ 1 ⎫ n -1+ 1 (n ∈ N * ) . …………………………………………（4分）从而有 b = na = n ·⎛ 1 ⎫n -1+ n ．n nT = b + b +Λ + b n 1 2n n⎛ 1 ⎫ 0 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -1 + (1 + 2 + Λ + n) ………①1 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫ n -12 n ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫ n⎝ 2 ⎭ 2 2②n ①⎛1⎫ n- ② 并 整 理 得n(n + 1) ． ………………（8 分）2(Ⅱ) a n +1n⎛ 1 ⎫ n两边取常用对数得： n > 9 ≈ 29.9lg 2∴ 使 不 等 式 成 立 的 最 小 正 整 数30． ………………………………（12 分）19．(Ⅰ) 甲、乙各投中三次的概率：n 为⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………（1 分） 27甲、 乙各投中两次的概率：23 3 ⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎛ 1 ⎫ 3 1 , …………………………………（ 2 61 ,…………………………（ 3C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ C 1 ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 12⎪ ⨯ 1 - ⎪ =2 ,………（ 9C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ ⎢C 0 ⨯ ⎪ + C 1 ⨯ ⎪ ⎥=⎝ 3 ⎭ 3 ⎢ 3 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎥ 9C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭分）甲、 乙各投中一次的概率：⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 333 分）甲、 乙两人均投三次，三次都不中的概率：⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………（4 216分）∴甲、乙平局的概率是： 1 + 1 + 1 + 1 = 7 ． ……………27 6 12 216 24（6 分）(Ⅱ) 甲投中三球获胜的概率：⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 7 , …………………………………⎝ 3 ⎭ ⎝ 8 ⎭ 27（8 分）甲投中两球获胜的概率：⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎤ 2 3 3分）甲投中一球获胜的概率：3⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 31 , (36)（10 分）甲获胜的概率为： 7 + 2 + 1 = 55 ．………………………27 9 36 108（12 分）20．(Ⅰ) 当 M 在中点时，PC ⊥ 平面 MDB ………………………………（1 分）连结 BM 、DM ，取 AD 的中点 N ，连结 PN 、NB ． ∵ PN ⊥ AD 且面 P AD ⊥ 面 ABCD ， ∴ PN ⊥ 面 ABCD ． 在 Rt ∆PNB 中， PN = 3, NB = 2, ∴ PB = 5,CM =又 BC = 5 ． ∴ BM ⊥ PC……………………………………（3分）又 PD = DC = 2, 又 DM I BM = M ,∴ DM ⊥ PC ，∴ PC ⊥ 面 MDB ． ……………………（4分）(Ⅱ) AB // CD, C D ⊂ 面 PDC ， AB ⊄ 面 PDC ，∴ AB // 面 PDC ．∴AB 到面 PDC 的距离即 A 到面 PDC 的距离． ………………（6 分）Θ CD ⊥ DA, C D ⊥ PN , DA I PN = N , ∴ CD ⊥ 面 PAD ，又 DC ⊂ 面 PDC ，∴面 P AD ⊥ 面 PDC ．作 AE ⊥ PD ，AE 就是 A 到面 PDC 的距离，∴ AE = 3 , 即 AB 到平面 PDC 的距离为 3 ．………………（8 分）(Ⅲ)过 M 作 MF ⊥ BD 于 F ，连结 CF ．Θ PC ⊥ 面 MBD ，∴ ∠MFC 就是二面角 G - BD - C 的平面角． ………………（10分）在 ∆BDC 中， BD = 5, DC = 2, BC = 5,∴ CF = 4 5, 又 CM = 2,5∴ s in ∠MFC = 10 ． CF 4即二面角 G - BD - C 的大小是 arcsin 10 ．4……………（12分）21．(Ⅰ) 设 B ( x , y ) 、 B ( x ,- y ) 且 y ≠ 0 ，由题意 A (-a,0) 、 A (a,0) ，1212则直线 A 1B 1 的方程为： y = x + a ………①y x + a0 0直线 A 2B 2 的方程为： - y = x - a ………②…………（2y x - a0 0分）x , 由①、②可得 ⎪⎪⎨ 0⎩a 2 b 2b 2 x + a x - a x 2 - a 2 a 2 y a 2 y∴O 、P 、Q 三点共线，………………………………yy⎧ a 2 x = ⎪ y = ay ． ⎪ 0 x………………………………（ 4分）a 4 a 2 y 2又点 B ( x , y ) 在双曲线上，所以有 x 2 - x 2 = 1 ，1 0 0 整理得 x2 + y 2 = 1 ，a 2b 2所以点 M 的轨迹 E 的方程为 x 2 + y 2 = 1（ x ≠ 0 且 y ≠ 0 ）．……a 2b 2（6 分）(Ⅱ) k 1+k 2+k 3+k 4 为定值．设 P ( x , y ) ，则 x 2 - a 2 = a 2 y 12 ，1 1 1分）则 k + k = y 1 + y 1 = 2 x 1 y 1 = 2b 2 · x 1 ……③ 1 2 1 1 1 1设 Q ( x , y ) ，则同理可得 k + k = - 2b 2 · x 2 ……④ ………（82 234 2设 O 为原点，则 A P + A P = 2OP , A Q + A Q = 2OQ ．1212Θ A P + A P = m ( A Q + A Q)∴ O P = mOQ1 212（10 分）∴ x 1 = x 2 , 再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 0 yy12∴k 1+k 2+k 3+k 4 为定值 0．………………………………（12 分）另解：由 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ，1212得 ( x + a , y ) + ( x - a , y ) = m [( x + a , y ) + ( x - a , y )] 111122 2 2即 ( x , y ) = m ( x , y )∴ x1 = x2 ,112212再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 022．(Ⅰ) ∵ f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 13xx 10 0 3∴ -a + a 2 + 2a = 4∴ a = - < -2 ,- 3 = x 2 + 1= x +∴ f '( x ) = x 2 + 2ax - b由题意 f '(1) = 1 + 2a - b = 1∴ b = 2a……①………………………………………（2 分）∵ f ( x ) 有极值，∴方程 f '( x ) = x 2 + 2ax - b = 0 有两个不等实根．∴ ∆ = 4a 2 + 4b > 0∴ a 2 + b > 0 ……②由①、②可得， a 2 + 2a > 0∴ a < -2 或a > 0 ．故实数 a 的取值范围是 a ∈ (-∞,-2) Y (0,+∞)…………（4 分）(Ⅱ)存在 a = - 8 ，………………………………………（5 分）3由(Ⅰ)可知 f '( x ) = x 2 + 2ax - b ，令 f '( x ) = 0 ，∴ x = -a + a 2 + 2a , x = -a - a 2 + 2a12(-∞, x )( x , x )1 12x 2( x ,+∞)2f '( x )f ( x )＋ － ＋单调增 极大值 单调减 极小值 单调增（7 分）（8 分）∴ x = x 时， f ( x ) 取极小值， ………………………………………2则 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - 2ax + 1 = 1, ∴ x = 0 或 x 2 + 3ax - 6a = 0 ， 2 2 2 2 2 2若 x = 0 ，即 - a + a 2 + 2a = 0 ，则 a = 0 （舍） ………………2若 x 2 + 3ax - 6a = 0 ，又 f '( x ) = 0 ，∴ x 2 + 2ax - 2a = 0 ,22222∴ ax - 4a = 0 ,Θ a ≠ 0∴ x = 4 , 2283∴存在实数 a = - 8 ， 使 得 函 数 f ( x ) 的 极 小 值 为31．…………（9 分）(Ⅲ) Θ a = 1 , f '( x ) = x 2 + x - 12 ∴ f '( x + 1) = x 2 + 3x + 1 ,∴ f '( x + 1)1 , x x x∴ g ( x ) = x + ,x ∈ (0,+∞) ．…………………………………（ 10= x + ⎪ - x n - = C x ⎪+ C2 x n -2 ⎪ +Λ + C n -2 x 2 ⎪ + C n -1 x ⎪ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ 2 ⎢⎣ n ⎝ x n -2 ⎭ ⎝ ⎝ x n -2 + x n -2 ⎪⎥ 2 ⎣ x n -2 x n -4⎢1 x分）g n ( x ) - x n -1 ⎛ 1 ⎫ nx n ⎝ x ⎭ 1 x n⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -2 ⎛ 1 ⎫ n -1 1 n -1 n n n n= 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 C 1 x n -2 + ⎪ + C 2 x n -4 + ⎪ + Λ + C n -1 n n ⎫⎤ ⎭⎦≥ 1 ⎡C 1 2 x n -2 · 1 + C 2 2 x n -4 · 1 + Λ + C n -1 2 n n n 1 x n -2 ⎤·x n -2 ⎥ ⎦= C 1 + C 2 + Λ + C n -1 = 2 n - 2n n n∴其中等号成立的条件为 x = 1 ．…………………………………（13 分）∴ g n ( x ) - x n - 1 ≥ 2 n - 2 (n ∈ N * )…………………………（ 14x n分）。
湖北省2020年高三(5月)调研模拟考试数学(理科)试卷(含答案)
2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷2020．5本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数ii -+12的共轭复数是 A ．i 2321- B ．i 2321+ C ．i 2321-- D ．i 2321+- 2．已知集合{}0322<--=x x x A ，非空集合{}a x a x B +<<-=12，A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．]2,(-∞B ．]2,21(C ．)2,(-∞D ．)2,21(3．已知直线l 过圆062622=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直，则l 的方程是A ．02=-+y xB ．03=-+y xC ．02=--y xD ．03=--y x4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度）．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为A ．0.5尺B ． 1尺C ．1.5尺D ． 2尺5．函数x x x x x f cos 122ln2sin )(++-⋅=ππ在)2,2(ππ-的图像大致为6．如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5 ，则空白框中应填入A ．k<nB ．k ≤nC ．k-1≤nD ．k+1 < n7．△ABC 中，点D 为BC 的中点，3=，M 为AD 与CE 的交点，若),(R y x y x ∈+=，则y x -=A ．1-B ．21C ．43 D ．1 9．甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为A ．2512B ．2513C ．2518D ．2519 9．已知R c b a ∈,,．满足0ln 2ln 2ln 3<-==ca b ca b ．则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>10．在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一-点且AM=31AD ．N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为 A ．510 B ．55 C ．1010 D ．105 11．已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f x x π存在唯一零点，则实数a 的取值范围A ．),2(+∞πB ．),2[+∞πC ．),21(+∞D ．),21[+∞ 12．已知函数)0)(3sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，有下述三个结论： ①ω的取值范围为)313,310[； ②)(x f 在)265,0(π单调递增； ③若21211)(2)(2x x x f x f ≠==，，则21x x +的最小值为134π 以上说法正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式9)21(xx -的展开式中，常数项为 . 14．已知数列{}n a 的前项和为*N n S n ∈，满足11211==++S S S n n ，，则数列{}n a 的通项公式为 . 15．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50， 100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[ 80，90），[90，100] ，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为 .16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线03=+y x 的对称点P 在双曲线上．则双曲线C 的离心率为 .。
2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学(一)(教师版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学(一)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题绘出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数12iz i=-年复平面中所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法求出复数z 后可得对应点坐标，确定象限．【详解】12i z i =-2(12)221(12)(12)555i i i i i i i ++===-+-+，对应点21(,)55-，在第二象限． 故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，属于基础题． 2.已知集合{}|12xA y y ==-，{}2|230B x xx =-->，则R A B =I ð( )A. ∅B. [1,1)-C. (1,3]D. [ 3.1)-【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数性质确定集合A ，解一元二次不等式确定集合B ，然后按集合运算法则计算． 【详解】由题意{}|12xA y y ==-{|1}y y =<，{}2|230B x xx =-->{|1x x =<-或3}x >，则R {|13}B x x =-≤≤ð，∴R A B =I ð{|11}[1,1)x x -≤<=-． 故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，考查指数函数的性质及解一元二次不等式，属于基础题．3.已知向量(2,1)AB x =--u u u r ，(,1)BC x =u u u r，若A ，B ，C 三点共线，则实数x =( )A. 2B. -1C. 2或-1D. -2或1【答案】C【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算求得x ．【详解】∵A ，B ，C 三点共线，∴,AB BC u u u r u u u r共线，∴2(1)x x -=-，解得2x =或1x =-． 故选：C.【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于简单题．4.函数11()25xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点位于区间( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】B 【解析】 【分析】计算区间两端点处函数值，根据函数值的符号判断． 【详解】(0)1f =，113(1)2510f =-=，123(2)4520f =-=-，(1)(2)0f f <，零点在区间(1,2)上， 故选：B.【点睛】本题考查零点存在定理，掌握零点存在定理是解题关键．5.某学校为了解学生的数学学习情况，从甲、乙两班各抽取了7名同学某次数学考试的成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是( )A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 极差【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图计算各数据特征．【详解】由茎叶图，甲均值为8084859096979919077++++++=，同理乙的均值也是1907，中位数都是90，极差都是99-80＝19，只有方差不相同了． 故选：B.【点睛】本题考查样本数据特征．考查茎叶图．由茎叶图确定所有数据，确定各数据特征．掌握各数据特征的概念是解题关键． 6.在ABC V 中，6A π=，2BC =，则ABC V 外接圆的面积为( ) A .πB. 3πC. 4πD. 9π【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求出外接圆半径即可求面积． 【详解】外接圆半径为R ，由正弦定理得224sin sin 6BC R A π===，2R =， ∴24S R ππ==． 故选：C.【点睛】本题考查正弦定理，求圆面积，掌握正弦定理是解题关键．7.已知命题P ：“若对任意的0x >都有21x a ->，则1a ≤-”，则命题P 的否命题为( ) A. 若存在0x >使得21x a ->，则1a >- B. 若存在0x >使得21x a -≤，则1a >- C. 若1a >-，则存在0x >使得21x a -> D. 若1a >-，则存在0x >使得21x a -≤ 【答案】B 【解析】 【分析】把条件，结论都否定，同时把任意与存在互换．【详解】否命题是条件、结论都否定，“任意的0x >都有21x a ->”的否定为“存在0x >使得21x a -≤”. 因此命题P 的否命题是：若存在0x >使得21x a -≤，则1a >- 故选：B.【点睛】本题考查否命题，掌握四种命题的关系是解题关键．否命题与命题的否定要区分开来．否则易出错．8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数2()21xf x e x =--的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由解析式分析函数的性质，如奇偶性，单调性，函数值的正负，变化趋势等．【详解】2()21xf x e x =--，则2()21()xf x e x f x -=--=，函数是偶函数，排除C ， 当x 较大时，()0f x >，可排除A ，当0x >时，2()21,()4x x f x e x f x e x '=--=-，()4x f x e ''=-，由(ln 4)0f ''=，知()f x '在(0,ln 4)上递减，(ln 4,)+∞上递增，min ()(ln 4)44ln 40f x f '==-<，又(0)10f '=>，4(4)160f e '=->，∴()f x '有两个零点，()f x 在(0,)+∞上有两个极值点，图象为先增后减再增．只有D 符合，排除B ． 故选：D.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可由解析式研究函数性质，如奇偶性，单调性，对称性，周期性等等，研究函数值的正负，函数值的变化趋势，函数图象的特殊点，如顶点，极值点等，从而通过排除法选择正确的结论． 9.在区间3,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任取一点x ，使得224sin 3x ≤≤的概率是( )A.316B.14C.13【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式224sin 3x ≤≤，确定不等式在3,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解，然后由几何概型概率计算公式计算． 【详解】由224sin 3x ≤≤得sin 22x -≤≤-或sin 22x ≤≤∴当3,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式的解集为2354,,,433443x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦U U . 因此所求概率为3245()()()334433431626P ππππππππ-+-+-==-．故选：A.【点睛】本题考查几何概型，考查解三角不等式，掌握正弦函数的性质是解题关键． 10.定义新运算“⊕”：2()2()a b a b a b b a a b -≤⎧⊕=⎨->⎩，则下列计算错误的是( )A. 311⊕=-B. x y y x ⊕=⊕C. ((1))(2)2x x x x ⊕-⊕-=-D. ((1)(2))2x x x x ⊕-⊕-=-【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义运算验证各选择支．【详解】由题a b ⊕=a b ， 中较小数的两倍减去较大的数，312131⊕=⨯-=-，A 正确；若x y ≤，则2,2x y x y y x x y ⊕=-⊕=-，B 正确；((1))(2)(2(1))(2)(2)(2)2x x x x x x x x x ⊕-⊕-=--⊕-=-⊕-=-，C 正确；((1)(2))x x x ⊕-⊕-(2(2)(1))x x x =⊕---(3)2(3)6x x x x x =⊕-=--=-，D 不正确. 故选：D.【点睛】本题考查新定义运算，正确理解新定义运算是解题关键．11.已知公比不为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A. 2A C B +> B. 2AC B < C. 2AC B > D. 2A C B +<【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和性质，结合公比q 得出,,A B C 的关系，然后分析各选择支的情况． 【详解】设公比为q ，则nB A Aq =+，2nnC A Aq Aq =++，22()(1)n n n n A C B A q q Aq q +-=-=-，当1q >时，2A C B +>，当01q <<时，2A C B +<，A,D 均错，()221n n AC A q q =++，()22212n n B A q q =++，又0q >，故2AC B <.C 错，B 正确．故选：B.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和性质，掌握等比数列的前n 项和性质是解题的关键．性质：设等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，则2n n n n S S S q =+，23n nn n n n S S S q S q =++．12.既与函数()ln f x x =的图象相切，又与函数1()g x x x=+的图象相切的直线有( ) A. 0条 B. 1条C. 2条D. 3条【答案】C 【解析】 【分析】设公切线在()f x 上的切点为()11,ln x x ，在()g x 上的切点为2221,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由导数的几何意义分别写出切线方程，这两个方程表示同一直线，比较后得12,x x 的方程，确定方程组的解的个数，即公切线的条数．【详解】设公切线在()f x 上的切点为()11,ln x x ，在()g x 上的切点为2221,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，211(),()1f x g x x x''==-，则公切线l 为：1111ln ()-=-y x x x x ，2222211()(1)()y x x x x x -+=--，整理为：111ln 1y x x x =+-，222121y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以212111x x =-且122ln 1x x -=，联立消去1x 得： 22212ln 110x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭①，由1>0x 得22110x ->，21x <-或21>x ．令212()ln 11h x x x⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，则()()22221()1x x h x x x -+'=-，(1x <-或1)x >， 故()h x 在(,1)-∞-上单减，在11,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单增，在12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单减， 当x →-∞时()1h x →，当1x →-时()h x →-∞，当1x →时()h x →-∞， 当x →+∞时()1h x →，因此在)x ∈+∞时，()0h x >，故()h x 在(,1)-∞-内有唯一零点，在(1,)+∞内有唯一零点，即①式中2x 有两个不同解，即有两条公切线.【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数研究切线问题，用导数研究函数的零点，考查零点存在定理，难度较大．考查转化与化归思想，公切线的条数，转化为方程解的个数，转化为函数零点个数，转化为研究函数的单调性等．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在8(21)x -的展开式中，二项式系数最大的项的系数为________.(结果用数字表示) 【答案】1120 【解析】 【分析】由二项式系数性质得二项式系数最大的项的项数，用二项展开式通项公式求出系数． 【详解】∵8n =，∴二项式系数最大的项为第5项，由二项式定理得44458(2)(1)T C x =-41120x =，系数为1120.故答案为：1120.【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质．属于基本题．14.已知点(2,3)A ，(2,1)B -，若点(,)P x y 的坐标x ，y 满足1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则PA AB ⋅u u u r u u u r 的最大值为________.【答案】8- 【解析】 【分析】计算PA AB ⋅u u u r u u u r(2,3)(4,2)84624214x y x y x y =--⋅--=-+-+=+- 作出可行域，作出直线420x y +=，平移该直线可得最优解．【详解】由题意PA AB ⋅u u u r u u u r(2,3)(4,2)84624214x y x y x y =--⋅--=-+-+=+-，作可行域，如图ABC ∆内部(含边界)，作直线:420l x y +=，向上平移该直线时42z x y =+增大，所以当l 过点(1,1)B 时，42z x y =+最大，所以4214x y +-的最大值为42148+-=-． 故答案：8-．【点睛】本题考查简单的线性规划，题中问题是求向量数量积的最大值，计算后转化为目标函数是二元一次方程的线性规划问题．作出可行域是解题关键．15.今有4个不同的奇数，5个不同的偶数，现从中依次任取3个数，分别记为a ，b ，c ，则使ab c +为奇数的不同取法共有________种.【答案】260 【解析】 【分析】要使ab c +为奇数，只有偶+奇或奇+偶才有可能，然后分解成(,,)a b c 的奇偶情况，列举出各种可能后用排列的思想求解．【详解】要使ab c +为奇数，数组()a b c ，， 的奇偶性为(偶、偶、奇)、(奇、偶、奇)、(偶、奇、奇)、(奇、奇、偶)，所有情况的种数为21215445380180260A A A A ⋅+⋅⋅=+=.故答案为：260.【点睛】本题考查排列的综合应用．解题时要分类讨论，需用分类、分步计数原理．16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1,F 2F ，点P 在双曲线的右支上，且212PF F F =，若点Q 是线段1PF 的中点，则2PF Q ∠的取值范围是________.【答案】,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由等腰三角形性质得21F Q PF ⊥，而22sin PQPF Q PF ∠=，根据双曲线的定义，这两个线段都可以用,a c 表示，从而可求得其取值范围，再得角的取值范围．【详解】因为212PF F F =，点Q 是线段1PF 的中点， ∴21QF PF ⊥，22PF c =，()1211222PQ PF PF a a c ==+=+， 22111sin ,12222PQ a c PF Q PF c e +⎛⎫∠===+∈ ⎪⎝⎭，2,62PF Q ππ⎛⎫∴∠∈ ⎪⎝⎭.故答案为：(,)62ππ．【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率，解题关键是由双曲线定义求出线段PQ a c =+，求出22sin PQPF Q PF ∠=后利用1e >得出取值范围．难度不大，属于中档题． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a n ++=，*n N ∈. (1)求证：数列12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)设212n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)见解析(2)2332n nn S +=-【解析】 【分析】 (1)12n n c a n =-+，则12n n a c n =+-代入已知式可证得结论； (2)由(1)求得n a ，从而得n b ，用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】解：(1)设12n n c a n =-+，由题111(1)22n n a n a n +⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，即1n n c c +=-，又11111022c a =-+=≠， ∴{}n c 为等比数列，即12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2)由(1)知11(1)2n n c -=⋅-， 即111(1)22n n a n -=⋅-+-，2121n a n -∴=-，212n n n b -∴=，231135232122222n n n n n S ---=+++⋅⋅⋅++，234+111352*********n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，两式相减得23111111121323222222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎭，2332n nn S +∴=-. 【点睛】本题考查等比数列的证明与求通项公式，考查错位相减法求数列的和．掌握用定义证明等比数列的方法，掌握数列求和的常用方法即可．18.某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下：该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如下表：假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人体检3次的概率；(2)若以这100位会员体检次数的频率分布估计该体检中心所有会员体检次数的概率分布，已知该中心本周共接待了1000名顾客参加体检，试估计该体检中心本周所获利润. 【答案】(1)47(2)42500元 【解析】 【分析】(1)根据分层抽样计算出抽出的8人中有4人体检三次，有2人体检四次，有2人体检五次及以上.，用组合知识求出从8人中抽取2人的方法数，以及有1 人体检3次的方法数，然后计算概率； (2)按比例估算出参数体检一次、二次、三次、四次、五次及以上的人数后可计算出利润．【详解】解：(1)由题，抽出的8人中有4人体检三次，有2人体检四次，有2人体检五次及以上.从8个人中抽取两人共有2828C =种取法，其中恰有1人体检3次的情况有114416C C =种，∴所求概率为164287P ==； (2)由题可估计：这1000名顾客中，在体检中心参加的本次体检是他在此中心参加的第一次体检的有600人，第二次体检的有200人，第三次体检的有100人，第四次体检的有50人，第五次及五次以上体检的有50人，∴医院的收入约为6002002002000.951002000.9502000.85502000.8192500⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=又医院成本为1000150150000⨯=，∴利润为19250015000042500-=元.【点睛】本题考查分层抽样，考查古典概型，考查用样本估计总体．掌握分层抽样的概念是解题基础． 19.已知ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. (1)求B ；(2)设b =ABC V 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【答案】(1)3B π=(2)12+【解析】 【分析】(1)用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ； (2)用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C -=-2sin 2sin sin 2A C C=⋅-，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．【详解】解：(1)由正弦定理()()()a c c a b a b -=+-，222a c b ac +-=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，3B π=；(2)由正弦定理2sin sin sin 2a c bA C B====，2sin a A =，2sin c C =， 2sin 2sin sin 2S C ac B C -=-2sin 2sin sin 2sin sin 2A C C A C C =⋅=-2)sin sin 23sin cos sin 2C B C C C C C C =+-=+-31cos 2sin 2sin 22sin 2222222C C C C C =-+-=-+sin 213C π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当且仅当512C π=时等号成立，故最大值为12+. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式，考查正弦函数的性质． 本题是三角函数与解三角形的综合应用，解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，||AB 的最小值为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知P ，Q 是抛物线C 上不同的两点，若直线:2(1)l y k x -=-恰好垂直平分线段PQ ，求实数k 的取值范围.【答案】(1)24y x =(2)10k -<< 【解析】 【分析】(1)设()11,A x y ，()22,B x y ，过焦点的直线方程2px ty =+，代入抛物线方程，用焦半径公式表示出焦点弦长12AB x x p =++表示为t 的函数后可得最小值，由最小值为4可得p ；(2)由垂直可设直线PQ 方程为x ky m =-+，代入抛物线方程有>0∆，由韦达定理求出弦PQ 的中点坐标，代入直线l 方程，得,m k 的关系，再代入>0∆可求得k 的范围． 【详解】解：(1)设过焦点的直线2px ty =+与抛物线分别交于点()11,A x y ，()22,B x y ， 与抛物线方程联立得2220y pty p --=，则122y y pt +=，()21212||2222AB x x p t y y p pt p p ∴=++=++=+≥，等号成立时0t =，24p ∴=，即2p =，故抛物线24y x =；(2)由题知0k ≠，故可设直线PQ 方程为x ky m =-+， 与抛物线C 的方程联立得2440y ky m +-=， 则216160k m ∆=+>即20k m +>①， 又4P Q y y k +=-，设PQ 中点为()00,M x y ，则02y k =-，2002x ky m k m =-+=+，又点M 在直线l 上，故()22221k k k m --=+-， 则2221k m k k+=---， 代入①式得2210k k ++<，即()2(1)20k k k k+-+<，解得10k -<<.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，考查直线与抛物线相交中的范围问题，解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 21.已知函数ln ()1()a x xf x a R x+=-∈.(1)当曲线()y f x =与x 轴相切时，求证：不等式2(1)()2x f x -≤对任意1x ≥恒成立；(2)已知A ，B 是曲线()y f x =上任意不同的两点，若直线AB 的斜率恒小于1，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析(2)14a ≥ 【解析】 【分析】(1)设曲线()f x 与x 轴切于点00(,())x f x ，则00()0,()0f x f x '==，由此可求得a ，然后证明2(1)()()02x g x f x -=-≤恒成立，即()g x 在[1,)+∞上的最大值0≤．(2))设()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，表示出()()1212121212ln ln 1ABa ax x f x f x x x k x x x x -+--==<--， 不妨设12x x >，此不等式转化为112212ln ln a ax x x x x x +-<+-，这说明函数()ln a h x x x x=+-是减函数，由导数的知识可得a 的范围． 【详解】解：(1)22(ln 1))ln (x a x x x af xx x x ---'=+=，设曲线()f x 与x 轴切于点()()00,x f x ，则()00f x '= 即00x a =>，且()0()ln 0f a a x f ===， 故1a =，则1()ln 1f x x x=+- 令21()()(1)2g x f x x =--，[1,)x ∈+∞， 又22(1)(1)()0x x g x x -+'=-≤， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递减，()(1)0g x g ∴≤=，即2(1)()2x f x -≤；(2)设()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，则()()1212121212ln ln 1ABa ax x f x f x x x k x x x x -+--==<--， 不妨设12x x >，121212ln ln a a x x x x x x ∴-+-<-112212ln ln a ax x x x x x ⇒+-<+-， 令()ln ah x x x x=+-，则()()12h x h x <， 即()h x 单调递减，∴21()10a h x x x'=-+-≤恒成立， 即2a x x ≥-恒成立，14a ∴≥.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式恒成立．利用导数证明不等式成立问题的常用方法：(1)将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f (x )≤f (x )max 或f (x )≥f (x )min 直接证得不等式．(2)直接将不等式转化成某个函数最值问题．若证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．(3)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明：在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如证f (x )≥g (x )在D 上成立，只需证明f (x )min ≥g (x )max 即可．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l的参数方程为cos 1sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数). (1)求C 的普通方程，并判断直线l 与曲线C 的公共点的个数； (2)若曲线C 截直线l所得弦长为tan α的值. 【答案】(1)22:4C x y +=，有两个交点；(2)0或【解析】 【分析】(1)由22cos sin 1θθ+=可得曲线C 的普通方程，由直线l所过定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系，从而得交点个数；(2)把直线l 的方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算圆的弦长可求得直线的斜率k ，即tan α．【详解】解：(1)22:4C x y +=，l Q经过点P ，而点P 在圆C 的内部，l ∴与C 有两个交点；(2):(1l y k x =+，设O 到l 的距离为d ，l 与C 交于点A B ， ，AB 中点为M ，224AM d +=Q ，1d ∴=，10d k ∴==⇒=或tan 0α∴=或【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交弦长问题．求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长AB =②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为12AB x =-.23.已知函数()|2||2|f x x x =+--，设不等式()2f x ≤的解集为M . (1)求集合M ；(2)若,x y M ∈，求证：2(2)42x y x y +≥+-. 【答案】(1){|11}M x x =-≤≤(2)见解析 【解析】 【分析】(1)由绝对值的几何意义，()|2||2|f x x x =+--表示x 数轴上实数x 到2-的距离与它到2的距离的差，由此可得当2x ≥或2x -≤时，不满足题意，只有在22x -<<时解不等式即可； (2)作差后整理为x 的二次三项式，并按x 配方后可证．【详解】解：(1)当2x ≥或2x -≤时，|()|4f x =，不满足题意； 当22x -<<时，|()||2|211f x x x =≤⇒-≤≤； 综上，{|11}M x x =-≤≤；(2)222(2)424442x y x y x y xy x y +--+=++--+2244(1)(1)1x y x y y =+-+-++ 2(21)11x y y y =-+++≥+y M ∈Q ，10y ∴+≥，2(2)42x y x y ∴+≥+-.【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式的证明．解绝对值不等式，可以按绝对值定义分类去绝对值符号后再求解，也可用绝对值的几何意义求解．。
2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学(一)(学生版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学(一)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题绘出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数12iz i=-年复平面中所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合{}|12xA y y ==-，{}2|230B x x x =-->，则R A B =I ð( )A. ∅B. [1,1)-C. (1,3]D. [ 3.1)-3.已知向量(2,1)AB x =--u u u r ，(,1)BC x =u u u r，若A ，B ，C 三点共线，则实数x =( )A. 2B. -1C. 2或-1D. -2或14.函数11()25xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点位于区间( ) A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.某学校为了解学生的数学学习情况，从甲、乙两班各抽取了7名同学某次数学考试的成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是( )A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 极差6.在ABC V 中，6A π=，2BC =，则ABC V 外接圆的面积为( ) A. πB. 3πC. 4πD. 9π7.已知命题P ：“若对任意的0x >都有21x a ->，则1a ≤-”，则命题P 的否命题为( ) A. 若存在0x >使得21x a ->，则1a >- B. 若存在0x >使得21x a -≤，则1a >- C. 若1a >-，则存在0x >使得21x a ->D. 若1a >-，则存在0x >使得21x a -≤8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数2()21xf x e x =--的图象大致是( )A.B.C .D.9.在区间3,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任取一点x ，使得224sin 3x ≤≤的概率是( )A. 316B.14C.13D.2 10.定义新运算“⊕”：2()2()a b a b a b b a a b -≤⎧⊕=⎨->⎩，则下列计算错误的是( ) A. 311⊕=-B. x y y x ⊕=⊕C. ((1))(2)2x x x x ⊕-⊕-=-D. ((1)(2))2x x x x ⊕-⊕-=-11.已知公比不为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A. 2A C B +>B. 2AC B <C. 2AC B >D. 2A C B +<12.既与函数()ln f x x =的图象相切，又与函数1()g x x x=+的图象相切的直线有( ) A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在8(21)x -的展开式中，二项式系数最大的项的系数为________.(结果用数字表示)14.已知点(2,3)A ，(2,1)B -，若点(,)P x y 的坐标x ，y 满足1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则PA AB ⋅u u u r u u u r 的最大值为________.15.今有4个不同的奇数，5个不同的偶数，现从中依次任取3个数，分别记为a ，b ，c ，则使ab c +为奇数的不同取法共有________种.16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1,F 2F ，点P 在双曲线的右支上，且212PF F F =，若点Q 是线段1PF 的中点，则2PF Q ∠的取值范围是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a n ++=，*n N ∈. (1)求证：数列12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)设212n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下：该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如下表：假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人体检3次的概率；(2)若以这100位会员体检次数的频率分布估计该体检中心所有会员体检次数的概率分布，已知该中心本周共接待了1000名顾客参加体检，试估计该体检中心本周所获利润.19.已知ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. (1)求B ；(2)设b =ABC V 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，||AB 的最小值为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知P ，Q 是抛物线C 上不同的两点，若直线:2(1)l y k x -=-恰好垂直平分线段PQ ，求实数k 的取值范围.21.已知函数ln ()1()a x xf x a R x+=-∈. (1)当曲线()y f x =与x 轴相切时，求证：不等式2(1)()2x f x -≤对任意1x ≥恒成立；(2)已知A ，B 是曲线()y f x =上任意不同的两点，若直线AB 的斜率恒小于1，求a 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数). (1)求C 普通方程，并判断直线l 与曲线C 的公共点的个数；(2)若曲线C 截直线l 所得弦长为tan α的值.23.已知函数()|2||2|f x x x =+--，设不等式()2f x ≤的解集为M . (1)求集合M ；(2)若,x y M ∈，求证：2(2)42x y x y +≥+-.。
2020年高三6月调研测试(三诊)理数试题及参考答案
12 2
12 2
2
第 10 题解析： f (x) sin 2x cos sin cos 2x sin(2x ) ，由题知 f (x) 的图象关于直线 x 5 对称， 12
故 2 5 k （ k Z ），即 k ，故选 A．
12
2
3
第 11 题解析：由题知 A 在第一象限， B 在第四象限，由 AB 3BP 知 xA 4xB ，则 yA 2 yB ，
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0) ，将其左右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为 4 的正方形．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l：y
kx
m
(k
0，m
0)
与椭圆
C
交于
P，Q
两点（均不在
y
轴上），点
A(0，
m 2
)
，若
直线 AP，PQ，AQ 的斜率成等比数列，且 OPQ 的面积为
6 2
（
一、选择题
1～6 BADDAC 7～12 DDBACB
第5
题解析： a2
a7
a9
3a6
27
a6
9 ， S8
S9
a9
0 ， d
a9
a6 3
3 ，选
A．
第 6 题解析： 110， 10 ，故 P( X 130) P( X 2 ) 1 0.9544 0.0228 ，估计学生人数为 2
（1）求 {an } 的通项公式；
（2）若数列{bn}满足 b1
0 ， bn1
bn
1 ，设 cn
abnn，，
n n
为奇数 为偶数
，求数列{cn}的前 2n 项和．