2020届人(新增5页)教版中考数学复习解题指导：第25讲多边形与平行四边形

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中考数学复习第五单元四边形第24课时多边形与平行四边形数学课件

ห้องสมุดไป่ตู้
求 DF 的长.
1
2
课堂考点探究
针对训练
[答案]D
[2018·宿迁] 一个多边形的内角和是外角和的 3 倍,这个多边
形是 (
)
[解析] 设这个多边形的边数为 n,根据题意得
(n-2)×180°=360°×3,解得 n=8.
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.八边形
00000000000
课堂考点探究
探究二
平行四边形的性质
则△ AED 的形状是 (
[答案] B
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
课前双基巩固
6.[2018·泰州] 如图 24-3,▱ ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,
若 AD=6,AC+BD=16,则△ BOC 的周长为
图 24-3
[答案] 14
.
课堂考点探究
探究一
多边形的内角和与外角和
;
(4)如果一个正多边形的每个外角都是 30°,那么这个多边形的边数是
(5)如果一个多边形的内角和等于外角和,那么这个多边形的边数是
;
.
(4)12 (5)4
课堂考点探究
[方法模型] (1)多边形的内角中最多有三个锐角;(2)多边形的边数每增加一,内角和度数增加 180°;(3)多边形的
外角和与边数 n 无关.
UNIT FIVE
第五单元
第 24 课时多边形与平行四边形
四边形
课前双基巩固
考点聚焦
考点一
多边形
内角和
180°
n 边形的内角和为① (n-2)·

中考数学《多边形和平行四边形》专题含解析

多边形和平行四边形一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=度，□ABCD的周长为cm．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为cm．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为．二、选择题4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB 6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．多边形和平行四边形参考答案与试题解析一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=50度，□ABCD的周长为24cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行边形性质中对角、对边相等可知，∠B=∠D=50°，平行四边形的周长=2（AB+BC）．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B∵∠B=50°∴∠D=50°②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD∵AB=5cm，BC=7cm∴□ABCD的周长为：2（AB+BC）=24cm．故答案为50、24．【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为8cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=22，所以AC=22﹣14=8cm．【解答】解：∵□ABCD的周长是28 cm∴AB+AD=14cm∵△ABC的周长是22cm∴AC=22﹣（AB+AC）=8cm故答案为8．【点评】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为2．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．【解答】解：过点E作EF∥AB，交AD于F∵在□ABCD，EF∥AB∴AB=EF，AF=BE∵∠FAE=∠BAE∴△AFE≌△ABE∴AB=BE=EF=AF∴ABEF为菱形∴EC=AD﹣AB=2．故答案为：2．【点评】此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称∴C点坐标为（2，﹣3）．故选D．【点评】主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是C【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；B、根据平行四边形的定义即可判定，故正确；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．故选C．【点评】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【考点】平行四边形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】由于在平行四边形中，已给出条件MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此，MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3．【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的是平行四变形的性质，平行四边形两组对边分别平行且相等，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上判断B是正确的．7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．【解答】解：A、∵AD∥BC∴△AFD∽△EFB∴====4S△EFB；故S△AFDB、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．C、由∠AEC=∠DCE可知正确．D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．故选：A．【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．∴∠ADE=∠CBF=60°．∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．∴∠ADE=∠CBF．∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．∴∠AED=∠CFB．又∵AD=BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．又∵∠DAB=∠BCD，∴∠EAF=∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．【点评】本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定．多种知识综合运用是解题中经常要遇到的．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）先判定四边形AFGC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等的性质知AC=FG；然后由被平行线所截的线段对应成比例（==）求出PE与PG的数量关系，解答到此，来证明AC=PE+PF的问题就迎刃而解了．（2）推理类同于（1）．【解答】证明：（1）延长FP交DC于点G，∵AB∥CD，AC∥FG，∴四边形AFGC是平行四边形，∴AC=FG（平行四边形的对边相等），∵EG∥AC，∴==（被平行线所截的线段对应成比例）；又∵OA=OC，∴PE=PG，∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；（2）若点P在BD延长线上，AC=PF﹣PE．如下图所示若点P在DB延长线上，AC=PE﹣PF．如下图所示．．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；解一元二次方程﹣公式法；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG 即可；（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．（2）解法1：在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，∴AC=5．∵CF=CB=3，∴AF=2．在Rt△AEF中，设EF=x，则AE=4﹣x．根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4﹣x）2=22+x2．解得x=，即线段EF长为cm．解法2：∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，∴．∴，解得，即线段EF长为cm．【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．【考点】二次函数综合题；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求出面积；（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB 上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．②在①的基础上，首先①求出函数关系式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．【解答】解：（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2分）=；∴S△APE（2）①当0≤t＜6时，点P与点Q都在AB上运动，如图所示：设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=t，AP=t+2，AG=1+，PG=+t．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+；②当6≤t＜8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4﹣，QF=t，BP=t﹣6，CP=10﹣t，PG=（10﹣t），而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=﹣t2+10t﹣34，③当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20﹣2t，QF=（20﹣2t），CP=10﹣t，PG=（10﹣t）．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．（14分）故S关于t的函数关系式为；②（附加题）当0≤t＜6时，S的最大值为，（1分）当6≤t＜8时，S的最大值为6，（舍去），（2分）当8≤t≤10时，S的最大值为6，（3分）所以当t=8时，S有最大值为6．（如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分）【点评】此题解答需数形结合，把函数知识和几何知识紧密联系在一起，难易程度适中．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是S1×S3=S2×S4或．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；新定义；开放型．【分析】（1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可；（2）根据等底等高，可得结论：①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②S1×S3=S2×S4或等．【解答】解：（1）比如：（2）①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②∵分别作△ABD与△BCD的高，h1，h2，则=，=，∴S1×S3=S2×S4或等．【点评】此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，则只需要在其中一条对角线上找到和对角线的交点不重合的点即可；（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则可作对角线BD的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点即为所求作；（3）只需说明PD=PB即可．根据已知的条件可以根据AAS证明△DCF≌△BCE，则∠CDB=∠CBD，进而得到∠PDB=∠PBD，证明结论即可；（4）根据上述确定准等距点的方法：即作其中一条对角线的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点．所以分析讨论的时候，主要是根据两条对角线的位置关系进行分析讨论．【解答】解：（1）如图2，点P即为所画点；（1分）（2）如图3，点P即为所作点（作法不唯一）；（2分）（3）连接DB．在△DCF与△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC，∴点P是四边形ABCD的准等距点．（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．（7分）【点评】关键是熟悉菱形的性质，能够根据线段垂直平分线的性质的逆定理进行分析作图，能够根据找准等距点的方和四边形中两条对角线的位置关系判断准等距点的个数．14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC 垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．【解答】解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．。

中考数学复习《多边形与平行四边形》

证明：∵BD垂直平分AC， ∴AB=BC，AD=DC.
在△ADB与△CDB中，
∴△ADB≌△CDB（SSS）. ∴∠BCD=∠BAD. ∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF， ∴AB∥FD. ∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD. ∴四边形ABDF是平行四边形.
考题再现
1. （2015广州）下列命题中，真命题的个数有（ B ）
（5）面积：①计算公式：S□=底×高=ah.
②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.
4. 平行四边形的判定（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 5. 三角形中位线定理（1）三角形的中位线：连接三角形两边的中点，所得线段叫做该三角形的中位线. （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
中考考点精讲精练
考点1 多边形的内角和与外角和
考点精讲
【例1】（2016临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这
个正多边形的每一个外角等于
（）
A. 108°
B. 90°
C. 72° D. 60°
思路点拨：首先设此多边形为n边形，根据题意，得180·
（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，
5. （2016梅州）如图1-4-6-6，平行
四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°， E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于点O. （1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG=1时，求 AE的长.

中考数学精讲篇考点系统复习第五章四边形第一节多边形与平行四边形

(1)AE＝CF.
(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形 AECF 为平行四边形．
8．(2021·怀化第 20 题 10 分)已知：如图，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E，A，C，F 在同一直线上，AE＝CF.求证： (1)△ADE≌△CBF； (2)ED∥BF.
命题点 1：多边形(2021 年考查 4 次，2020 年考查 4 次，2019 年考查 2
次)
1．(2021·怀化第 3 题 4 分)以下说法中错误的是
( A)
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．图形
D．圆内接四边形的对角互补
2．(2021 ·常德第 3 题 3 分)一个多边形的内角和为 1 800°，则这个多
6．(2020·衡阳第 7 题 3 分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，下列条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是( C ) A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
7．(2021·岳阳第 18 题 6 分)如图，在四边形 ABCD 中，AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为点 E, F. (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形 AECF 为平行四边形，你添加的条件是________； (2)添加了条件后，证明四边形 AECF 为平行四边形．
【易错提醒】易误用平行四边形的判定方法 1．一组对边平行，而另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形． 2．一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形． 3．一组对角相等且这组对角的顶点所连对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形． 4．一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形．

广东省中考数学复习配套课件：多边形与平行四边形

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3.一组对边平行且相等
的四边形是
平行四边形.
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
练一练 1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ D ） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC
∠BAE＝∠FDE
∴ AE=DE ，
∠ABE＝∠DFE
AE=DE
∴△ABE≌△DFE（ AAS ）.
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
(2)如图，连结BD，AF，四边形ABDF是平行四边形，理由如下： ∵△ABE≌△DFE， ∴AB＝DF， ∵四边形ABCD是平行四边， ∴AB∥CF，即AB ∥= DF， ∴四边形ABDF是平行四边形．
4.如图，在□ ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长
线与CD的延长线相交于点F. (1)求证：△ABE≌△DFE； (2)试连结BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF. ∴∠BAE＝∠FDE，∠ABE＝∠DFE .
∵点E是边AD的中点在△ABE和△DFE中
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD
4.如图，在 ABCD中，已知对角线AC和BD 相交于点O，△AOB•的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=__1_8____．

中考数学总复习第一部分教材同步复习第五章四边形第多边形与平行四边形课件

（1）证明：在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°. ∵在等边△ABD 中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°，
∴BC∥AD．∴∠BCE＝∠EFA．
在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，E 为 AB 的中点，∴CE＝12AB＝AE. ∴∠EAC＝∠ECA＝30°.∴∠BCE＝90°－∠ECA＝60°.
方法指导
已知一a.证这组对组相对等边边b对.证平边另行相一等组
（1）平行四边形的判定思路组平已对知行边一a边b对..证证相边这另等平组一行对组
已知一组对角相等，
证另一组对角相等
已知一条对角线平
分另一条对角线，证
对角线互相平分
122/9/2021
• （2）利用平行四边形性质进行有关计算，一般运用平行四边形的性质转化为角度或线段之间的等量关系．
（5）平行四边形是中心对称图形，⑧____对_角__线_的__交_点________是它的对称中心
（6）面积：S＝底×高＝AB·DE[同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等]
182/9/2021
• 4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ B ）
A．AD＝BC B．AC⊥BD C．∠DAC＝∠BCA D．OA＝OC
重难点 · 突破
重难点1 多边形的内角和与外角例1 （2018·铜仁）如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形
的边数是（ A ）
A．8
B．9
C．10
D．11
思路点拨
• 根据多边形的内角和公式及外角和计算．
【解答】多边形的外角和是 360°，根据题意得 180°·（n－2）＝3×360°，解得 n＝8．

中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解(基础)

中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】 B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=3 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF ∥AO ，且PF=12AO ， ∵PF ⊥BD ，∴∠PFD=90°， ∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE ⊥AC ，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP ，∴PE ∥OD ，∵点P 是AD 的中点，∴PE 是△AOD 的中位线，∴PE=12OD ， ∵PE=PF ，∴AO=OD ，且AO ⊥OD ，∴平行四边形ABCD 是正方形，设BC=x ，则x+12x ，∵ -4，∴x ，解得x=4，即BC=4．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD 是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （－2，－1），且P （－1，－2）是双曲线上的一点，Q 为坐标平面上的一动点，PA ⊥x 轴，QB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，是否可以使△OBQ 与△OAP 面积相等？（3）如图2，点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．。

多边形与平行四边形知识点归纳

第部分四边形第一单元第1课时多边形与平行四边形二、知识梳理(一) 多边形1．多边形的概念：（1）多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形叫做多边形。

（2）正多边形：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫正多边形。

各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形；各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形。

正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形。

2．多边形的内角和与外角和:（1）内角和：n 边形的内角和等于（n ─2）∙180 ；正n 边形的一个内角等于nn180)2( .（2）外角和：多边形的外角和等于360°.（注：多边形的外角和是定值，与边数无关）. 3.多边形的对角线:（1）概念：在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. (2) n 边形有2)3( n n 条对角线 4.平面图形的镶嵌:（1）概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌 . （2）镶嵌的条件：在同一顶点的几个角的和等于360°. (二) 平行四边形1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的两组对边分别平行且相等 . （2）角：平行四边形的对角相等，邻角互补。

图1图2图4 （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形对称性：平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线交点；经过对称中心的任意一条直线将平行四边形面积平分. 3.平行四边形的判定方法：（1）边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（平行四边形的概念）；②一组对边平行且相等的四边形是开行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（2）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （3）对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4.平行四边形面积：平行四边形面积=底×高.三、课堂训练考查目标：多边形的内角和与外角和 1．已知一个多边形的内角和是外角和的23，则这个多边形的边数是 5 . [举一反三]一个多边形的内角和是720°，则这个多有的边数为 6 . [举一反三]矩形的外角和等于 360° 考查目标：正多边形的概念2．一个正多边形的每一个外角都是40°，这个多边形的边数是 9 .[举一反三]一个正多边形的一个内角是144°，它是一个 10 边形. 考查目标：平面图形的镶嵌3．下列多边形中，不能单独铺满地面的是（ C ）（A ）正三角形（B ）正方形（C ）正五边形（D ）正六边形[举一反三]现有四种地砖，它们的形状分别为正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺地面.选择的方式有（ B ）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种考查目标：平行四边形的性质4．如图1.在□ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB .垂足为E ，若∠EAD =53°，则∠BCE 的度数为（ B ）（A ）53° （B ）37° （C ）47° （D ）123°[举一反三] 如图2.在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是（ A ）（A ）AC ⊥BD （B ）AB =CD （C ）BO =OD （D ）∠BAD =∠BCD5．如图3.在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB =3.则□ABCD 的周长（ C ）（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）15图5图5 第3题第6题第7题[举一反三]如图4在□ABCD 中，已知AB =6cm ，AD =8cm ， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ A ）（A ）2cm （B ）4cm （C ）6cm （D ）8cm 考查目标：平行四边形的判定6．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ B ）（A ）两组对边分别平行（B ）一组对边平行另一组对边相等（C ）一组对边平等且相等（D ）两组对边分别相等 [举一反三]在四边形ABCD 中，已知AB =CD ，再添加一个条件：_AD =BC (答案不唯一)______,使四边形ABCD 成为平行四边形考查目标：平行四边形的面积 7．平行四边形花坛的底是6m ，高是4m ，则它的面积是 24cm 2[举一反三].如图5，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4、6）.（1）请直接写出这个平行四边形的第四个顶点的坐标；（2）求此平行四边形的面积. 解：（1）第四个顶点的坐标为（7，7）或（5，1）或（1，5）（2）把⊿ABC 补成正方形，面积为9，减去三个小直角三角形的面积可得S ⊿ABC =4，∴平行四边形的面积为8 【达标训练】1.（2013.长沙市）下列多边形中，内角和与外角和相等的是( A ) ．（A ）四边形（B ）五边形（C ）六边形（D ）八边形 2.（2013.梅州市）已知一个多边形的内角和小于它的外角和.则这个多边形的边数是（ A ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.（2013.襄阳市）如图□ABCD 的对角线相交于点O ，且AB =5， ⊿OCD 的周长为23,则□ABCD 的两条对角线的和是（ C ）（A ）18 （B ）28 （C ）36 （D ）464.（2013.杭州市）在□ABCD 中，下列结论一定正确的是( B ) ．（A ）AC ⊥BD （B ）∠A +∠B =180° （C ）AB =CD （D ）∠A ≠∠C5.（2011.泰州）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O .给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB =CD ，AD =BC ；③AO =CO ，BO =DO ；④AB ∥CD ，AD =BC .其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ C ）（A ）1组（B ）2组（C ）3组（D ）4组6.（2013.江西省）如图. □ABCD 与□DCEF 的周长相等，且∠BAD =60°，∠F =110°，则∠DAE 的度数为 25° ．7.（2013.安徽省）如图.P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点.⊿PEF 、⊿PDC 、⊿P AB 的面积分别为S 、S 1、S 2.若S =2.则S 1+S 2= 8 .8.（2013.烟台市）如图.□ABCD 的周长为36，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BC =12，则⊿DOE 的周长为 15 ．C 9.（2013.北京市）如图.在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连接DE、CF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形.（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°.求DE的长答案：（1）证明：在□ABCD中AD∥BC，AD=BC.∵F是AD的中点，∴DF=12AD.又∵CE=12BC，∴DF=CE且DF∥CE，∴四边形CEDF为平行四边形.（2）解：过点D作DH⊥BE于H，在□ABCD，AB∥CD.∵∠B=60°，∴∠DCE=60°.∵AB=4，∴CD=4.∴在Rt⊿CDH中，CH=12CD=2，DH=32.在□CEDF中，CE=DF=12AD=3，∴EH=CE-CH=3-2=1.在Rt⊿DHE中，DE=22HEDH =221)32( =13.10.（2011.常德）如图.已知四边形ABCD是平行四边形（1）求证：⊿MEF∽⊿MBA（2）若AF、BE分别是∠DAB和∠CBA的平分线，求证DF=EC.【答案】（1）证明：在□ABCD中，∵CD∥AB，∴∠MEF=∠MBA，∠MFE=∠MAB，∴⊿MEF∽⊿MBA.（2）证明：在□ABCD中，CD∥AB，∠DF A=∠F AB，又∵AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF=∠F AB∴∠DAF=∠DF A，∴AD=DF，同理可得EC=BC，∵在□ABCD中，AD=BC，∴DF=EC.。

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平行线间的距离
推论
夹在两条平行线间的平行线段 __相__等____
第25讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一多边形的内角和与外角和命题角度： 1．n边形的内角和定理的应用； 2．n边形的外角和定理的应用．
例1 [2012·德阳] 已知一个多边形的内角和是外角和的 1/3 ，则这个多边形的边数是____5____．
第25讲多边形与平行四边形第26讲矩形,菱形.正方形第27讲梯形
第25讲┃多边形与平行四边形
第25讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 多边形 1．按定义分类：
多边形的定义在同一平面内，不在同一直线上的一些线段
_首__尾__顺__次__相接组成的图形叫做多边形
内角和
n边形内角和为(_n_－__2_)_·1_8_0°
例3 [2012·泰州] 如，四边形ABCD中，AD∥BC， AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝ CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图25－2
[解析] 由垂直得到∠EAD＝∠BCF＝90°，根据AAS可证明 Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD＝BC，根据平行四边形的判定即可证明．
常见形有60m＋90n＋120k＝360，整理得_2_m_＋__3_n_＋_4_k_＝__1，2
式
因为m、n、k为整数，所以m＝___1__，n＝
__2___，k＝___1___，即用__两____块正方形，
___一___块正三角形和___一___块正六边形可以镶嵌
防错能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点
图25－1
第25讲┃ 归类示例
解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB＋∠CBA＝180°. 又∵AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA， ∴∠PAB＋∠PBA＝12(∠DAB＋∠CBA)＝90°. ∴在△APB 中，∴∠APB＝180°－ (∠PAB＋∠PBA)＝90°. (2)∵AP 平分∠DAB 且 AB∥CD， ∴∠DAP＝∠PAB＝∠DPA， ∴△ADP 是等腰三角形， ∴AD＝DP＝5 cm. 同理 PC＝CB＝5 cm. ∴ AB＝DP＋PC＝10(cm)．在 Rt△APB 中，AB＝10 cm，AP＝8 cm.
一组对边平行且__相__等____的四边形是平行四边形
对角线_互__相__平__分_的四边形是平行四边形
第25讲┃ 考点聚焦考点5 平行四边形的面积
平行四边形的面积
平行四边形的面积＝底 ×高
拓展
同底(等底)等高(同高)的平行四边形面积相等
在两条平行线中一条直线上任意一
两条平行线间距离
点到另一条直线上的距离叫做两条
两条对角线的交点
若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对
称中心，且这条直线等分平行四边形的面积
第25讲┃ 考点聚焦
考点4 平行四边形的判定
序号 1 2
3
4 5
方法
定义法
两组对角分别__相__等____的四边形是平行四边形
两组对边分别___相__等___的四边形是平行四边形
第25讲┃ 归类示例
证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠EAD＝∠FCB＝90°. ∵AE＝ CF， ∴△EAD≌△FCB(AAS)， ∴AD＝CB. ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形．
第25讲┃ 归类示例
判别一个四边形是不是平行四边形，要根据具体条件灵活选择判别方法．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
会议结束后，校领导还陪同与会校友参观了校史馆和新校区，并亲自为校友们进行讲解，介绍学校的历史改革、党建思政、人才培养、交流合作、产教融合和社会服务等情况
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第25讲┃ 考点聚焦
考点3 平行四边形的定义与性质
定义性质总结
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(1)平行四边形的两组对边分别___平__行___； (2)平行四边形的两组对边分别___相__等___； (3)平行四边形的两组对角分别___相__等___； (4)平行四边形的对角线互相___平__分___ ； (5)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是
多边形的性质
外角和多边形对角线不稳定性
任意多边形的外角和为360° n边形共有________条对角线
n边形具有不稳定性(n>3)
拓展
n边形的内角中最多有____3____个是锐角
第25讲┃ 考点聚焦
正多边形
定义对称性
各个角__相__等____，各条边___相__等___的多边形叫正多边形
在同一顶点的几个角的和等于360°
第25讲┃ 考点聚焦
常见形式
(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况： ____六____个正三角形或____四____个正四边形或 ___三_____个正六边形 (2)用两种正多边形镶嵌 ①用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和 ____二____个正四边形； ②用正三角形和正六边形镶嵌：用___四_____个正
[解析] 设该多边形的边数为n，则(n－2)×180＝1/3×360. 知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．
第25讲┃ 归类示例
提醒
的几个角的和等于360°
。他希望校友们能够常回家看看，一如既往地支持学校发展，并为学校下一步发展出谋划策、鼎力相助，共同谱写开放合作的新篇章，实现母校发展的新跨越。校友们都感恩母校、老师曾经给予的教育培养和一直以来的关怀，感慨学校近年来突飞猛进的发展变化，汇报分享了各自工作、创业、生活的情况，讲述了毕业后的感悟，互诉别后的思念。陈允宏与校友们欣喜地观览学校的巨大变化和崭新面貌，饶有兴趣地在校史馆内查找历史，大家仿佛穿越了时光，重新找到昔日的自已。陈允宏:/xjwz/zwgk/zfxxgkzdgz/jy/gzjzyjy/202005/t20200509_3272510.htm 校友们都感恩母校、老师曾经给予的教育培养和一直以来的关怀，感慨学校近年来突飞猛进的发展变化，汇报分享了各自工作、创业、生活的情况，讲述了毕业后的感悟，互诉别后的思念。 5月3日，县职业中学召开老校友座谈会。，
三角形和____一____个正六边形或者用___二_____个正三角形和____二____个正六边形；
③用正四边形和正八边形镶嵌：用___一_____个正四边形和___二_____个正八边形可以镶嵌
第25讲┃ 考点聚焦
(3)用三种不同的正多边形镶嵌
用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设
用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形，则
∴BP＝ 102－82＝6(cm)，
∴△APB 的周长是 6＋8＋10＝24(cm)．
第25讲┃ 归类示例
平行四边形的性质的应用，主要是利用平行四边形的边与边，角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算．
第25讲┃ 归类示例
► 类型之三平行四边形的判定命题角度： 1. 从对边判定四边形是平行四边形； 2. 从对角判定四边形是平行四边形； 3. 从对角线判定四边形是平行四边形．
► 类型之二平行四边形的性质命题角度： 1. 平行四边形对边的特点； 2. 平行四边形对角的特点； 3. 平行四边形对角线的特点．
例2 如图25－1, 四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数； (2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．
正多边形都是___轴_____对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形
第25讲┃ 考点聚焦
考点2 平面图形的镶嵌
定义
用_形__状___、__大__小__完全相同的一种或几种__平__面__图__形__进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是
平面图形的__镶__嵌__
平面镶嵌的条件