主析取范式的求法共39页
主析取范式
主析取范式
求解主析取范式、主合取范式方法
1、真值表法
①在表中列出变元值的全部可能
②查表判断命题
命题结果真，变元值对应主析取范式
命题结果假，变元值对应主合取范式
2、等值演算法
①命题化简
蕴涵等值式：A→B↔¬A∨B（作用：去→）
矛盾律：A↔∧¬A（作用：补齐变元）
分配律：(A∧B)∨C↔(A∨C)∧(B∨C)、(A∨B)∧C↔(A∧C)∨(B∧C)
②判断命题
命题结果真，变元值对应主析取范式
命题结果假，变元值对应主合取范式。
例题
求公式(p→q)∧(q→r)的主析取范式和主合取范式、成真赋值。
解：
1、真值表法
查表可得
成真赋值：000、001、011、111
主析取范式：∑(0,1,3,7)
成假赋值：010、100、101、110
主合取范式：∏(2,4,5,6)
2、等值演算法
(p→q)∧(q→r)
=(¬p∨q)∧(¬q∨r)-----------------------------（蕴涵等值式：
化简→）
=((¬p∨q)∨(¬r∧r)))∧((¬q∨r)∨(¬p∧p))----（矛盾律：补齐变元）
=(¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r)—（分配律：化简）
↔M5M4M6M2。
求主析取范式的方法
求主析取范式的方法求主析取范式是一种用于逻辑推理和逻辑问题求解的方法。
在逻辑学中，主析取范式是指一个逻辑表达式被转化为一组合取范式的形式。
这种形式的特点是将逻辑表达式分解为多个子表达式的合取。
在这篇文章中，我们将介绍求主析取范式的方法以及它的应用。
求主析取范式的方法可以分为以下几个步骤：1. 将逻辑表达式转化为合取范式：合取范式是由多个子表达式的析取构成的。
首先，我们需要将逻辑表达式中的所有逻辑连接词转化为合取和析取。
这可以通过使用逻辑等价关系和逻辑运算法则来实现。
2. 进行析取运算：将合取范式中的合取运算符替换为析取运算符。
这可以通过使用逻辑等价关系来实现。
3. 求主析取范式：在合取范式中，找到具有最大析取项数目的子表达式，将该子表达式作为主析取范式。
主析取范式是一个具有最大析取项数目的合取项。
4. 化简主析取范式：对主析取范式进行化简，去除其中多余的子表达式。
这可以通过使用逻辑等价关系和逻辑运算法则来实现。
求主析取范式的方法在逻辑推理和逻辑问题求解中有广泛的应用。
它可以用来简化逻辑表达式，使其更易于理解和分析。
例如，在电路设计中，可以使用求主析取范式的方法来简化逻辑电路的布尔表达式，以减少电路的复杂性和成本。
求主析取范式的方法还可以用于逻辑推理和证明过程中。
通过将逻辑表达式转化为主析取范式，我们可以更容易地进行逻辑推理和证明。
例如，在推理问题中，我们可以将问题陈述和已知条件转化为逻辑表达式，然后将这些逻辑表达式转化为主析取范式，以确定是否存在解决方案。
求主析取范式的方法还可以用于逻辑问题的求解。
通过将逻辑问题转化为逻辑表达式，并将该逻辑表达式转化为主析取范式，我们可以确定是否存在满足问题条件的解。
例如，在谜题和逻辑游戏中，我们可以将谜题条件转化为逻辑表达式，并使用求主析取范式的方法来确定是否存在解决方案。
求主析取范式是一种用于逻辑推理和逻辑问题求解的方法。
它可以用来简化逻辑表达式，进行逻辑推理和证明，以及解决逻辑问题。
主析取范式的求法
例如，2个命题变元p和Q 的大项为：p q，p q，p q，p q
3个命题变元p、Q、R的大项为： p q r，p q r，p q r，p q r， p q r，p q r，p q r，p q r
(1)每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为0， 其余的2n－1种赋值均为1;
(2)任意两个不同大项的析取式永真：M i M j 1 (i j)
(3)全体大项的合取式必为假，记为：
2n -1
M i M0 M1 M 2n-1 0
i0
定义1- 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式仅由极大 项的合取所组成，则该等价式称为原式的主合取范式。
( p q) r (p q) r (p q) r ( p q) r ( p r) (q r) ( p (q q) r) (( p p) q r)
( p q r) ( p q r) ( p q r) (p q r)
n个命题变元共有2n个大项，每个大项可表示为n
位二进制编码，以变元自身出现的用0表示，以变元的否 定出现的用1表示；且对应十进制编码。这一点与小项的 表示刚好相反。
若n= 2，则有
M00 p q M0 M10 p q M2
M01 p q M2 M11 p q M3
• 真值表法 • 等值演算法
趣味推理题
• A、B、C三人去餐馆吃饭，他们每人要的不是火 腿就是猪排。 （1）如果A要的是火腿，那么B要的就是猪排。 （2）A或C要的是火腿，但是不会两人都要火腿。 （3）B和C不会两人都要猪排。 谁昨天要的是火腿，今天要的是猪排？
主析取范式的求法及其应用
主析取范式的求法及其应用杨菲〔天津市河西区职工大学，天津市300203〕摘要：本文综述了求主析取范式的三种主要方法，即推演法、真值表法、构造树法，并从经典例题入手分析了三种方法的应用技巧。
关键词：主析取范式 推演法 真值表法 构造树法命题公式的主析取范式在数理逻辑学中具有非常重要的意义，其求解的主要目的在于使命题公式标准化，从而有利于判断两个命题公式是否等值，并且还可以判断一个公式是重言式〔永真式〕还是矛盾式〔永假式〕。
鉴于主析取范式求解的重要意义，本文综述了求主析取范式的方法及各种方法的应用技巧。
1 相关概念 1.1 极小项为了说明主析取范式的概念，首先介绍一下极小项的相关理论内容。
定义：n 个命题变元组成的合取式，该式中要包含所有这n 个变元或它的否认，那么称这个合取式为关于这n 个命题变元的极小项。
性质：〔1〕对于n 个原子n P P P ,......,,21而言，其所有的极小项共有n 2个。
(2) 每个小项当其真值指派与编码一样时，其真值为T ，在其余12-n种指派情况下均为F 。
主析取范式定义：对于一个给定的命题公式，假设有一个由小项的析取组成的命题公式与其等价，那么称该等价式为给定命题公式的主析取范式。
定理1. 对于任何一个命题公式，其主析取范式存在且唯一。
〔证明略〕 2 主析取范式的求法解析 2.1 推演法对于给定命题公式的主析取范式可由推演法求出，其主要步骤归纳为： (1) 首先将公式化为析取范式。
(2) 除去析取范式中永假的析取项，并将析取式中重复出现的合取项和一样变元合并。
(3) 对于不是小项的合取式，补入没有出现的命题变元，即通过合取添加)(P P ⌝∨式，然后应用分配律展开公式。
例1. 求)()(R Q Q P ∧∨∧的主析取范式解 111110011011111110111)()()()())()(())()(()()(m m m m m m m P R Q P R Q R Q P R Q P P P R Q R R Q P R Q Q P ∨∨⇔∨∨∨⇔⌝∧∧∨∧∧∨⌝∧∧∨∧∧⇔⌝∨∧∧∨⌝∨∧∧⇔∧∨∧特点：初步将命题公式化为一般析取范式后，各合式公式中缺少一到两个命题变元即该形式已经接近主析取范式时，可以用该法较快得解。
主析取范式和主合取范式的求法
主析取范式和主合取范式的求法
主析取范式和主合取范式是布尔代数中的两个重要概念，主要用于将一个逻辑表达式转化为某些变量的与或组合形式。
本文将简要介绍主析取范式和主合取范式的求法。
一、主析取范式
主析取范式指将逻辑表达式转换为若干个变量的析取项的与式。
例如，对于逻辑表达式（A∨B）∧（C∨D∨E），它的主析取范式为（A∧C∧D∧E）∨（B∧C∧D∧E）∨（A∧C∧E）∨（B∧C∧E）∨
（A∧C∧D）∨（B∧C∧D）。
求解主析取范式的方法一般为：
1.先将逻辑表达式写成最简合取范式。
2.将最简合取范式中的每一项转化为主析取范式的一个子式。
3.将所有子式放在一起，用“∨”连接。
二、主合取范式
主合取范式指将逻辑表达式转换为若干个变量的合取项的或式。
例如，对于逻辑表达式（A∨B）∧（C∨D∨E），它的主合取范式为（A∨B)∨C)∨(A∨B)∨D)∨(A∨B)∨E)。
求解主合取范式的方法一般为：
1.先将逻辑表达式写成最简析取范式。
2.将最简析取范式中的每一项转化为主合取范式的一个子式。
3.将所有子式放在一起，用“∧”连接。
需要注意的是，主析取范式和主合取范式并非每个逻辑表达式都有。
当逻辑表达式已经是主析取范式或主合取范式时，无需再进行转化。
总之，主析取范式和主合取范式的求法是布尔代数中的基础知识，掌握这两个概念对于理解和应用逻辑表达式非常重要。
求主析取范式的方法
求主析取范式的方法求主析取范式是一种用于逻辑推理和逻辑问题求解的方法。
在计算机科学和数学领域，求主析取范式被广泛应用于逻辑电路设计、自动推理、人工智能等领域。
本文将介绍求主析取范式的基本概念、求解方法以及应用。
一、求主析取范式的基本概念求主析取范式是一种用于描述逻辑表达式的标准化形式。
它由主合取范式和主析取范式组成，其中主合取范式是逻辑表达式的合取范式中最简单的形式，主析取范式是逻辑表达式的析取范式中最简单的形式。
主合取范式是由若干个子句通过逻辑与运算符连接而成的合取范式，其中每个子句由若干个文字通过逻辑或运算符连接而成。
主合取范式的形式如下：C1 ∧ C2 ∧ ... ∧ Cn其中Ci表示第i个子句，每个子句由若干个文字通过逻辑或运算符连接而成。
主析取范式是由若干个子句通过逻辑或运算符连接而成的析取范式，其中每个子句由若干个文字通过逻辑与运算符连接而成。
主析取范式的形式如下：C1 ∨ C2 ∨ ... ∨ Cn其中Ci表示第i个子句，每个子句由若干个文字通过逻辑与运算符连接而成。
二、求主析取范式的求解方法求主析取范式的方法主要有两种：真值表法和奎宁-麦克劳斯基算法。
真值表法是一种基于逻辑运算的方法。
它通过构造逻辑表达式的真值表，逐行比较真值表中的值，将真值为真的行转换为主合取范式或主析取范式。
真值表法的优点是简单直观，但当逻辑表达式的字母变量较多时，真值表的大小会呈指数级增长，计算量较大。
奎宁-麦克劳斯基算法是一种基于逻辑运算和逻辑等价转换的方法。
它通过逻辑等价转换将逻辑表达式逐步转化为主合取范式或主析取范式。
奎宁-麦克劳斯基算法的优点是计算量相对较小，但需要一定的逻辑推理能力。
三、求主析取范式的应用求主析取范式在逻辑电路设计中具有重要的应用。
逻辑电路可以通过主析取范式表示为若干个子电路的并联，每个子电路由若干个逻辑门组成。
通过将逻辑门的输出连接到主析取范式的输入端，可以实现逻辑电路的功能。
求主析取范式在自动推理中也有广泛的应用。
离散数学13.主析取范式
(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
补充说明
学情分析
学生已经掌握了析取(合取)范式的方法，掌握是小项、大项的意义，思考如何寻找范式的“标准”形式。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
由于一个命题公式的析(合)取范式不是唯一,因而它们不能作为命题公式的规范形式(标准形式),为了使任意命题公式化为唯一的标准形式,下面引入主范式的概念.
1．定义：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅有小项的析取所组成。则该等价式称作原式的主析取范式。
2.求主析取范式
方法1：真值表法
（1）列出给定公式的真值表。
（2）定理1-7.3在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对用的小项的析取，即为此公式的主析取范式.
找出真值表中每个“T”对应的小项。(如何根据一组指派写对应的为“T”的项：如果变元P被指派为T，P在小项中以P形式出现；如变元P被指派为F,P在小项中以P形式出现(因要保证该小项为T)).
（3）用“∨”联结上述小项，即可.
例1求PQ和PQ的主析取范式.
PQm0∨m1∨m3(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)
PQm0∨m3(P∧Q)∨(P∧Q)
方法2：用等价变换求主析取范式.
⑴先写出给定公式的析取范式
A1∨A2∨...∨An.
⑵除去析取范式中所有永假的析取项，合并出现的相同变元和合取项.
方法1用真值表法
令A(P,Q,R)(P(Q∧R))∧(P(Q∧R))
其真值表如下图：
A(P,Q,R)m0∨m7(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
求合取范式和析取范式
求合取范式和析取范式一、什么是合取范式和析取范式？合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）和析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）是布尔逻辑中常用的两种标准化形式。
合取范式是由若干个合取子句（conjunction clause）通过析取连接符“∧”连接而成的表达式。
每个合取子句是由若干个文字（literal）通过合取连接符“∨”连接而成的表达式。
合取范式是一个逻辑公式的最简形式之一。
析取范式是由若干个析取子句（disjunction clause）通过合取连接符“∨”连接而成的表达式。
每个析取子句是由若干个文字通过析取连接符“∧”连接而成的表达式。
析取范式是一个逻辑公式的最简形式之一。
二、合取范式的求解步骤合取范式的求解步骤如下：1.将逻辑公式转换为合取范式的形式。
2.将逻辑公式中的否定符号“¬”通过德摩根定律转换为合取形式。
3.使用分配律将合取式展开为多个合取子句。
4.合并相同的合取子句。
三、析取范式的求解步骤析取范式的求解步骤如下：1.将逻辑公式转换为析取范式的形式。
2.将逻辑公式中的否定符号“¬”通过德摩根定律转换为析取形式。
3.使用分配律将析取式展开为多个析取子句。
4.合并相同的析取子句。
四、合取范式和析取范式的应用场景合取范式和析取范式在逻辑推理、计算机科学和人工智能等领域有广泛的应用。
在逻辑推理中，合取范式和析取范式可以用于判断逻辑公式的真值。
通过将逻辑公式转换为合取范式或析取范式的形式，可以更方便地进行逻辑推理和求解。
在计算机科学中，合取范式和析取范式可以用于布尔代数的运算和逻辑电路的设计。
通过将逻辑表达式转换为合取范式或析取范式的形式，可以更高效地进行逻辑运算和电路设计。
在人工智能中，合取范式和析取范式可以用于知识表示和推理。
通过将领域知识转换为合取范式或析取范式的形式，可以更方便地进行知识推理和智能决策。
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若n= 2，则有
M 0 0p qM 0 M 1 0 p qM 2
M 0 1p qM 2 M 1 1 p qM 3
若n= 3，则有:
M000 pqrM0 M001pqrM1 M010 pqrM2 M011 pqrM3
大项的性质如下：
M100pqrM4 M101pqrM5 M110 pqrM6 M111pqr M7
P→Q
1 1 1 1 0 0 1 1
¬R (p→Q)→¬R
1
1
0
0
1
1
Байду номын сангаас
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
所以公式 (p q) r 的主合取范式为:
( p q ) r M 0 0 M 1 0 1 M 1 111
( p q r ) ( p q r ) ( p q r )
用等值演算方法构成主合取范式的主要步骤如下： （1）将原命题公式化归为合取范式； （2）除去合取范式中所有永真的合取项； （3）合并相同的析取项和相同的变元； （4）对合取项补入没有出现的命题变元，即添加
定理1- （主合取范式存在惟一定理） 任何命题公式的主合 取范式一定存在，并且惟一。
由真值表方法可知：一个公式的真值为0的真值指派所 对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。
例1- 用真值表方法求 (p q) r的主合取范式 解: 公式的真值表如下
PQ R
00 0 00 1 01 0 01 1 10 0 10 1 11 0 11 1
如(p∧┐p) 的式子，再按分配律进行演算； （5）将大项按下标由小到大的顺序排列。
例1- 用等值演算方法求(p q) r的主合取范式。 解：
(p q) r ( pq) r ( pq) r (p q) r (p r) ( q r) ( p ( q q ) r ) ( p ( p ) q r )
极小项
公式
成真
赋值
p q r 0 0 0
p q r 0 0 1
p q r 0 1 0
p q r 0 1 1
p q r 1 0 0
p q r 1 0 1
p q r 1 1 0
p q r 1 1 1
名称
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
极大项
公式
pqr p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
(1)每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为0， 其余的2n－1种赋值均为1;
(2)任意两个不同大项的析取式永真：M iM j 1 (ij)
(3)全体大项的合取式必为假，记为：
2n- 1
M i M 0M 1M 2n-1 0
i0
定义1- 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式仅由极大 项的合取所组成，则该等价式称为原式的主合取范式。
成假 赋值
000 001 010 011 100 101 110 111
名称
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
( p q r ) ( p q r ) ( p q r ) ( p q r )
( p q r ) ( p q r ) ( p q r )
M 0 0M 10 1M 1111
【说明】
(1)主析取范式的析取项为小项，用小m加下标表示。 如m010，其中0表示对应的命题变元的否定出现在析 取项中,1表示对应的命题变元出现在析取项中。
p q r ， p q r ， p q r ， p q r ， p q r ， p q r ， p q r ， p q r
n个命题变元共有2n个大项，每个大项可表示为n
位二进制编码，以变元自身出现的用0表示，以变元的否 定出现的用1表示；且对应十进制编码。这一点与小项的 表示刚好相反。
(2)主合取范式的合取项为大项,用大M加下标表示,如 M010,其中0表示对应的命题变元出现在合取项中,1表 示对应命题变元的否定出现在合取项中。
(3)在真值表中,一个公式的主析取范式由其真值为1的 真值指派所在对应的小项的析取组成。
(4)在真值表中,一个公式的主合取范式由其真值为0的 真值指派所对应的大项的合取所组成。
只有B才能昨天要火腿，今天要猪排。
1．5．4 主合取范式
定义1- n个命题变元的析取式，称为布尔析取 或极大项，其中每个变元与它的否定不能同时 存在，但两者必须出现且仅出现一次。
例如，2个命题变元p和Q 的大项为：p q ， p q ， p q ， p q 3个命题变元p、Q、R的大项为：
2n-1
mi m0m1m2n-1 1
i0
(ij)
主析取范式的求法
• 真值表法 • 等值演算法
趣味推理题
• A、B、C三人去餐馆吃饭，他们每人要的不是火 腿就是猪排。 （1）如果A要的是火腿，那么B要的就是猪排。 （2）A或C要的是火腿，但是不会两人都要火腿。 （3）B和C不会两人都要猪排。 谁昨天要的是火腿，今天要的是猪排？
极小项与极大项
由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
极小项 公式 成真赋值 名称
极大项 公式 成假赋值 名称
p q 0 0 m0 p q
0 0 M0
p q
0 1 m1 p q 0 1 M1
p q 1 0 m2 p q
1 0 M2
pq
1 1 m3 p q 1 1 M3
由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
内容回顾
定义 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式 仅由小项的析取所组成，则该等价式称为原式的主析 取范式。
小项
定义 n个命题变元的合取式，称为布尔合 取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时 存在，但两者必须出现且仅出现一次。
每个小项可用n位二进制编码表示。以变元自身出现 的用1 表示，以其否定出现的用0表示：
m000pqr , m100pqr,
m001pqr , m101pqr ,
m010pqr , m110pqr,
m011pqr , m111pqr .
小项的性质如下：
（1）每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为1， 其余的2n－1种均为0;
（2）任意两个不同小项的合取式永假：mimj 0 （3）全体小项的析取式永为真，记为：