主析取范式和主合取范式
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命题逻辑2
q∧r (┐p∨p)∧q∧r (┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) m3∨m7 而简单合取式p∧┐q∧┐r已是极小项m4 于是 (p→q) r m1∨m3∨m4∨m7 极小项与公式的成真赋值、成假赋值的关系:
若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式含s(0≤s≤2n) 个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项角 标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。
三、主析取范式和主合取范式
定义
设有命题变元P1，P2，…,Pn
n
形如 Pi * ， i 1
n
的命题公式称为是由命题变元P 1，P2，…，Pn所产生
的极小项。而形如 Pi * 的命题公式称为是由命题变元 i 1
P1，P2，…，Pn所产生的极大项 。其中Pi*为Pi或为
Pi(i=1,2,…n).
极小项，故F不是重言式和矛盾式，只是可满足式。
例 某科研所要从３名科研骨干A,B,C中挑 选1～2名出国进修。由于工作原因，选派时 要满足以下条件： （１）若A去，则C同去。 （２）若B去，则C不能去。 （３）若C不去，则A或B可以去。 问应如何选派他们去？
解 设 p:派A去 q:派B去 r:派C去 由已知条件可得公式 （p→r）∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q) 经过演算可得 (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q)) m1∨m2∨m5 由于 m1 = ┐p∧┐q∧r m2 =┐p∧q∧┐r m5 = p∧┐q∧r 可知，选派方案有3种： （a）C去，而A,B都不去。 （b）B去，而A,C都不去。 （c）A,C去，而B不去。
因此利用真值表也可以求公式的主析取范式
练 求公式 F1 = p(p(qp))的主析取范式
解
F1p∨(p∧(q∨p)) p∨(p∧q)∨(p∧p)
1.6析取范式与合取范式
再例如p→q m0∨m1∨m3 M2
主范式的用途（3）
2.判断公式的类型
设公式A中含n个命题变项，容易看出： （1）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小 项。 （2）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项。 此时，记A的主析取范式为F。 （3）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极 小项。
例
例2.10 用公式的主析取范式判断公式的类型： （1）┐(p→q)∧q （2）p→(p∨q) （3）(p∨q)→r
解： 注意（1）（2）中含两个命题变项，演算中极小项含两个文字，而（3）
中公式含三个命题变项，因而极小项应含三个文字。
（1）┐(p→q)∧q ┐（┐p∨q）∧q (p∧┐q)∧q F 这说明（1）中公式是矛盾式。 （2）p→(p∨q) ┐p∨p∨q ┐p∧(┐q∨q)∨p∧(┐q∨q)∨(┐p∨p)∧q (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)∨ (┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q) m0∨m1∨m2∨m3 这说明该公式为重言式。
n个命题变项共可产生多少个个不同的极小项？多 少个不同的极大项？
表2.3
极小项 公式 p∧q 成真赋值 0 0
由p,q形成的极小项和极大项
极大项 名称 公式 p∨q 成假赋值 0 0 名称
p∧q
p∧q p∧q
0 1
1 0 1 1
m0 m1 m2 m3
p∨q
p∨q p∨q
0 1
1 1 0 1
p∧q∧r
1 1 1
p∨q∨r
1 1 1
根据上面的两个表可以验证如下的定理： 定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn形成的 极小项和极大项，则┐mi Mi， ┐Mi mi
析取范式
例 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式。 解: (1)合取范式： (p→q)↔r (┐p∨q)↔ r ((┐p∨q)→ r)∧(r→(┐p∨q)) (┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
一、析取范式与合取范式
定义1： 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例如，文字：p, ┐q, r, q. 简单析取式: p, q, p∨q, p∨┐p∨r, ┐p∨q∨┐r. 简单合取式: p, ┐r, ┐p∧r, ┐p∧q∧r, p∧q∧┐q.
例 求公式 (p→q)↔r的主析(合)取范式。 解: (1)主析取范式 由例 2.7 知，(p→q)↔r ⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) ∵ (┐p∧r)⇔┐p∧(┐q∨q)∧r ⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ⇔ m1∨m3 (q∧r) ⇔ (┐p∨p)∧q∧r ⇔(┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔ m3∨m7 （p∧┐q∧ ┐ r) ⇔ m4 ∴ (p→q)↔r ⇔m1∨m3∨m4∨m7
3. 主析取范式的用途（其主合取范式可类似论）： (1) 求公式的成真赋值与成假赋值 由上例已知. (2) 判断公式的类型,设公式A含n个命题变项，可知 （i）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个 极小项。 （ii）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何 极小项。此时，记A的主析取范式为0。 （iii）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含 一个极小项。
例如，析取范式：（┐p∧q）∨r, ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. 合取范式:(p∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. 定理： （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的 每个简单合取式都是矛盾式。 （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式。
主要内容公式类型等值演算与置换规则析取范式与合取范式,主析取.
p, q, pq, pqr, … (3) 简单合取式——有限个文字构成的合取式
p, q, pq, pqr, … (4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr) (5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
例. 对任何公式A，A∨┐A是重言式，A∧┐A是矛盾式.
这两个事实揭示人们通常的思维所遵循的逻辑排中律和矛 盾律. 对任何原子命题 p，p与┐p都是可满足式. 可以用真值表 验证重言式.
3
例. 用真值表证明(p∨q)∧┐p→q为重言式.
证 建立待证公式的真值表，由表的最后一列可以看出，原式 为重言式.
11
基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC),
A(BC)(AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB
(p ∧ q ∧ s) ∨(p ∧ r ∧ s) ((p ∧ s) ∧ q) ∨((p ∧ s) ∧ r) (p ∧ s) ∧(q ∨ r) 所以其开关设计图可简化
21
作业 1、习题一：19（1）（3）（5）（7），
20，21，23，25. 2、习题二：3，4（1）（2）.
22
由于同一个命题公式可以有不同的表达形式，而不同的表达 式可以显示很不同的特征。但同一个命题公式的不同表达形 式对我们研究命题演算带来了一定的困难。对众多的命题公 式，可依它们之间的等值关系进行分类，使相互等值的公式 为一类. 现在的问题是，是否可以在各类公式中分别选出一个 公式作为各类的“代表”，而且使它们具有统一的规范形式 呢？回答是肯定的.
AB(AB)(AB)
p, q, pq, pqr, … (4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr) (5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
例. 对任何公式A，A∨┐A是重言式，A∧┐A是矛盾式.
这两个事实揭示人们通常的思维所遵循的逻辑排中律和矛 盾律. 对任何原子命题 p，p与┐p都是可满足式. 可以用真值表 验证重言式.
3
例. 用真值表证明(p∨q)∧┐p→q为重言式.
证 建立待证公式的真值表，由表的最后一列可以看出，原式 为重言式.
11
基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC),
A(BC)(AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB
(p ∧ q ∧ s) ∨(p ∧ r ∧ s) ((p ∧ s) ∧ q) ∨((p ∧ s) ∧ r) (p ∧ s) ∧(q ∨ r) 所以其开关设计图可简化
21
作业 1、习题一：19（1）（3）（5）（7），
20，21，23，25. 2、习题二：3，4（1）（2）.
22
由于同一个命题公式可以有不同的表达形式，而不同的表达 式可以显示很不同的特征。但同一个命题公式的不同表达形 式对我们研究命题演算带来了一定的困难。对众多的命题公 式，可依它们之间的等值关系进行分类，使相互等值的公式 为一类. 现在的问题是，是否可以在各类公式中分别选出一个 公式作为各类的“代表”，而且使它们具有统一的规范形式 呢？回答是肯定的.
AB(AB)(AB)
第二章析取范式与合取范式
11. 主析取范式的用途
➢ 求公式的成真与成假赋值 ➢ 判断公式的类型 ➢ 判断两个命题公式是否等值 ➢ 应用主析取范式分析和解决实际问题
A m1∨m2∨…∨ms 例1: 求 (p→q)→ (q∨p) 的成真赋值
(p→q)→ (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (p q) (pq) m0 m2 m3 即成真赋值为：0 0,1 0，1 1
p ∧ q ∧ r; p ∧ ┐q ∧ r; ┐ p ∧ ┐q ∧ ┐ r
思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极小项? 2n (2)每个极小项有多少个成真赋值? 一个
规定:成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应 极小项记作mi
7. 极小项与极大项的定义
➢极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单析取式为极大 项。 例：p ∨ r ∨ q; p ∨ ┐ p ∨ r; p ∨ ┐ q ∨ p;
方法1：真值表法
p q p →q 00 1 01 1 10 0 11 1
p→q m0 m1 m4 ( p q) ( p q) ( p q) M2 p q
方法2：公式法
p→q p q [ p (q q)] [q (p p)] ( p q) ( p q) ( p q) m0 m1 m4
历史遗留问题: (1)我只给村里所有那些不给自己理发的人理发 (2)只要别人有困难,他就帮忙,除非困难解决. (3) a:别人有困难, b: 他帮忙
(4) a b
作业 Ｐ38 5题（1 、3） 注意总结规律
主析取主合取范式
主析取主合取范式
主析取主合取范式（DisjunctiveNormalFormandConjunctiveNormalForm）是命题逻辑
中的两种标准化形式，用于表示和简化复合命题。
主析取范式是由若干个合取范式通过析取符号“∨”组合而成，合取范式是由若干个命题通过合取符号“∧”组合而成。
将一个复合命题转化为主析取范式或主合取范式可以使得计算机对其进行更高效的处理。
主析取范式和主合取范式在表达方式上是互逆的。
主析取范式将一个复合命题表示为若干个命题的析取式，每个命题都是一些原子命题或其否定形式的合取式。
主合取范式则将一个复合命题表示为若干个命题的合取式，每个命题都是一些原子命题或其否定形式的析取式。
通过将一个复合命题转化为主析取范式或主合取范式，我们可以方便地进行以下操作：
1. 确定命题的真值。
2. 判断命题的等价性。
3. 简化复合命题的形式，使其更易于处理和理解。
主析取范式和主合取范式在数学证明和计算机科学中都有广泛
的应用。
对于计算机科学中的布尔代数运算，主析取范式和主合取范式可以帮助我们有效地进行逻辑运算，从而实现各种复杂的算法和系统。
- 1 -。
主析取范式和主合取范式的求法
主析取范式和主合取范式的求法
主析取范式和主合取范式是布尔代数中的两个重要概念，主要用于将一个逻辑表达式转化为某些变量的与或组合形式。
本文将简要介绍主析取范式和主合取范式的求法。
一、主析取范式
主析取范式指将逻辑表达式转换为若干个变量的析取项的与式。
例如，对于逻辑表达式（A∨B）∧（C∨D∨E），它的主析取范式为（A∧C∧D∧E）∨（B∧C∧D∧E）∨（A∧C∧E）∨（B∧C∧E）∨
（A∧C∧D）∨（B∧C∧D）。
求解主析取范式的方法一般为：
1.先将逻辑表达式写成最简合取范式。
2.将最简合取范式中的每一项转化为主析取范式的一个子式。
3.将所有子式放在一起，用“∨”连接。
二、主合取范式
主合取范式指将逻辑表达式转换为若干个变量的合取项的或式。
例如，对于逻辑表达式（A∨B）∧（C∨D∨E），它的主合取范式为（A∨B)∨C)∨(A∨B)∨D)∨(A∨B)∨E)。
求解主合取范式的方法一般为：
1.先将逻辑表达式写成最简析取范式。
2.将最简析取范式中的每一项转化为主合取范式的一个子式。
3.将所有子式放在一起，用“∧”连接。
需要注意的是，主析取范式和主合取范式并非每个逻辑表达式都有。
当逻辑表达式已经是主析取范式或主合取范式时，无需再进行转化。
总之，主析取范式和主合取范式的求法是布尔代数中的基础知识，掌握这两个概念对于理解和应用逻辑表达式非常重要。
析取范式与合取范式
1析取范式与合取范式这是命题公式的两种特殊的简明形式。
一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。
我们将学习这种转化方法及其应用。
1. 析取范式定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。
由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。
由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。
例1.2 求下列公式的析取范式。
(1) ()(2) () ()p q pp q p q →∧⌝∨∧⌝∧方法小结：（1） 将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。
（3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。
（4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾律、零律）练习1.3定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。
2. 合取范式定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。
由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。
例2.2 求下列公式的合取范式。
(1) ()(2) () ()p q pp q p q ⌝→∨∧∨⌝∨方法小结：（1）将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。
（3）用分配律将合取联结词移到括号之外。
（4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律）练习2.3定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。
3.极小项为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。
符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。
在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。
我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。
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应用主析取范式分析和解决实际 问题
例2.12 某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑 选1～2名出国进修。由于工作原因，选派时 要满足以下条件： (1)若A去，则C同去。 (2)若B去，则C不能去。 (3)若C不去，则A或B可以去。 问应如何选派他们去？
分析： (1)将简单命题符号化
说明
• n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。其 中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。若 成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i ，就将所对应极小项记作mi 。 • 类似地，n个命题变项共可产生2n个极大项， 每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的 十进制数i做极大项的角标，记作Mi。
表2.3 p,q形成的极小项与极大项
定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的主析取 范式和主合取范式，并且是唯一的。
定理2.4.5的证明
(只证主析取范式的存在和唯一性) (1)证明存在性。 设A是任一含n个命题变项的公式。 由定理2.3可知，存在与A等值的析取范式A′， 即AA′，若A′的某个简单合取式Ai中既不含 命题变项pj，也不含它的否定式┐pj，则将Ai展 成如下形式： Ai Ai∧1 Ai∧(pj∨┐pj) (Ai∧pj)∨(Aj∧┐pj)
析取范式和合取范式的性质
定理2.2 (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个 简单合取式都是矛盾式。 (2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个 简单析取式都是重言式。
范式存在的讨论
• 在范式中不会出现联结词→与，否则可使 用等值式消除 A→B ┐A∨B AB (┐A∨B)∧(A∨┐B) • 在范式中不会出现形如 ┐┐A,┐(A∧B),┐(A∨B)的公式： ┐┐A A ┐(A∧B) ┐A∨┐B • ┐(A∨B)┐A∧┐B
例2.8 求例2.7中公式的主析取范 式和主合取范式。
(2)求主合取范式 (p→q)r (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) ┐p∨q∨┐r M5 p∨r p∨(q∧┐q)∨r (p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r) M0∧M2 ┐q∨r (p∧┐p)∨┐q∨r (p∨┐q∨r)∧(┐p∨┐q∨r) M2∧M6 (p→q)r M0∧M2∧M5∧M6
例题
例2.9 求命题公式 p→q 的主析取范式和主 合取范式。 p q p →q
(1)求主合取范式 p→q p→q ┐p∨q M2 ┐p∨q （┐p∧（┐q∨q））∨（(┐p∨p)∧q） (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (2)求析取范式 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
解答
• (1) p p∧(┐q∨q) (p∧┐q)∨(p∧q) m2∨m3 • (p∧q)∨(p∧┐q) m2∨m3 • 两公式等值。 • (2) (p→q)→r m1∨m3∨m4∨m5∨m7 • (ｐ∧q)→r m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7 • 两公式不等值。
主析取范式的用途
• 求公式的成真赋值与成假赋值 • 判断公式的类型 • 判断两个命题公式是否等值 • 应用主析取范式分析和解决实际问题
求公式的成真赋值与成假赋值
• 若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式 含s(0≤s≤2n)个极小项，则A有s个成真赋值， 它们是所含极小项角标的二进制表示，其余 2n-s个赋值都是成假赋值。
）
2.4 主析取范式和主合取范式
定义2.4.1 命题变项及其否定统称作文字（letters）。 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
举例
• 简单析取式举例： p,┐q p∨┐p，┐p∨q ┐p∨┐q∨r,p∨┐q∨r • 简单合取式举例： ┐p,q ┐p∧p，p∧┐q p∧q∧┐r,┐p∧p∧q
定理2.4.5的证明
继续这个过程，直到所有的简单合取式都含任 意命题变项或它的否定式。 若在演算过程中出现重复的命题变项以及极小 项和矛盾式时，都应“消去”：如用p代替 p∧p，mi代替mi∨mi，0代替矛盾式等。最后 就将A化成与之等值的主析取范式A''。
定理2.4.5的证明
(2)证明唯一性。 假设某一命题公式A存在两个与之等值的主析 取范式B和C， 即AB且AC，则BC。 由于B和C是不同的主析取范式，不妨设极小 项mi只出现在B中而不出现在C中。 于是，角标i的二进制表示为B的成真赋值， 而为C的成假赋值。这与BC矛盾，因而B 与C必相同。
2.4 主析取范式和主合取范式
• 设Ai(i=1,2,…,s)为简单合取式，则 A=A1∨A2∨…∨As为析取范式。例如， A1=p∧┐q，A2=┐q∧┐r，A3=p，则由 A1,A2,A3构造的析取范式为 A=A1∨A2∨A3=(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p
合取范式
• 设Ai(i=1,2,…,s)为简单析取式，则 A=A1∧A2∧…∧As为合取范式。 • 例如，取A1=p∨q∨r，A2=┐p∨┐q，A3=r， 则由A1,A2,A3组成的合取范式为 A=A1∧A2∧A3=(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r
2.4 主析取范式和主合取范式
• 为讨论方便，有时用A1,A2,…,As表示s个简单 析取式或s个简单合取式。 • 设Ai是含n个文字的简单析取式，若Ai中既含 某个命题变项pj，又含它的否定式┐pj， 即 pj∨┐pj，则Ai为重言式。
说明
• 反之，若Ai为重言式，则它必同时含某个命 题变项和它的否定式，否则，若将Ai中的不 带否定符号的命题变项都取0值，带否定号的 命题变项都取1值，此赋值为Ai的成假赋值， 这与Ai是重言式相矛盾。 • 类似的讨论可知，若Ai是含n个命题变项的简 单合取式，且Ai为矛盾式，则Ai中必同时含某 个命题变项及它的否定式，反之亦然。
例题
例题2.7 求下面公式的析取范式与合取范式： (p→q) r
解：(1) 求合取范式 (p→q) r
(┐p∨q) r
((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
（消去→）
（消去）
(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) （消去→） （否定号内移） (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)（∨对∧分配律）
判断公式的类型
设公式A中含n个命题变项，容易看出： • A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n 个极小项。 • A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何 极小项。此时，记A的主析取范式为0。 • A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含 一个极小项。
判断公式的类型
例2.10 用公式的主析取范式判断公式的类型： (1) ┐(p→q)∧q (2) p→(p∨q) (3) (p∨q)→r 解：(1)┐(p→q)∧q ┐（┐p∨q）∧q
• 在析取范式中不会出现形如A∧(B∨C)的公式： A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) • 在合取范式中不出现形A∨(B∧C)的公式： A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) • 定理2.3 任一命题公式都存在着与之等值的析取范式 与合取范式。
求给定公式范式的步骤
(1)消去联结词→、(若存在)。 A→B ┐A∨B AB (┐A∨B)∧(A∨┐B) (2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根 律)。 ┐┐A A ┐(A∧B) ┐A∨┐B ┐(A∨B)┐A∧┐B (3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式， ∨对∧的分配律求合取范式。 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
求公式A的主合取范式的方法与步骤
方法一、等值演算法 (1)化归为合取范式。 (2)除去合取范式中所有永真的合取项。 (3)将合取式中重复出现的析取项和相同的变 元合并。 (4)对析取项补入没有出现的命题变元，即添 加如(p∧┐p)式，然后应用分配律展开公式。
求公式A的主合取范式的方法与步骤
方法二、真值表法 (1)写出A的真值表。 (2)找出A的成假赋值。 (3)求出每个成假赋值对应的极大项（用名称表 示），按角标从小到大顺序析取。
例题
(2) 求析取范式 (p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)
∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
范式的规范化形式
• 定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式 （简单析取式）中，若每个命题变项和它的 否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅 出现一次，且第i个命题变项或它的否定式 出现在从左算起的第i位上（若命题变项无 角标，就按字典顺序排列），称这样的简单 合取式（简单析取式）为极小项（极大项）。
2.4 主析取范式和主合取范式
理学院 季丹丹
主要内容
一、命题逻辑部分练习 二、范式概念 三、极小项与极大项 四、主范式概念
命题逻辑练习 1、下列语句中为命题的是（ ） A.暮春三月，江南草长。 B.这是多么可爱的风景啊 C.大家想做什么，就做什么，好吗？ D.请勿践踏草地。 2、下列语句中为命题的是（ ） A.2x+3＜5 B.天空真蓝呀！ C.2013年元旦下大雪 D.你去图书馆吗？ 3、命题 P, Q 真值为“0”，命题 R, S 真值为“1”，则下 列 哪个命题真值为 “0”？（ ） A ( P (Q R)) ((P nQ) ( R S )) B ( P Q) R (((P Q) R) S ) C ( R S ) ( P Q) D (S R) (P Q) 4、只含 n个命题变项的命题公式共有多少种赋值（ 有 5、公式 ( P Q) (P R) 的成假赋值为（ ） 6、由n个命题变元组成不等值的命题公式的个数为( )
表2.4 p,q,r形成的极小项与极大项