(完整版)主合取范式

【例】利用主范式判断下述两个命题公式是否等值。
(1)p→(q→r). (2)(p∨q) →r.
解:①p→(q→r) = p→(┓q∨r) = ┓p∨(┓p∨r). ② (p∨q) →r = ┓(p ∨q) ∨r = (┓p ∧ ┓q) ∨r =(┓p ∨r) ∧(┓q ∨r)＝ （┓ｐ∨（ｑ∧ ┓ｑ）∨ｒ）∧ （（ｐ∧ ┓ｐ）∨ ┓ｑ∨ｒ） =(┓p ∨q ∨r) ∧ (┓p ∨ ┓q ∨r) ∧ (p ∨ ┓q ∨r) ∧ (┓p ∨ ┓q ∨r) =(┓p ∨q ∨r) ∧ (┓p ∨ ┓q ∨r) ∧ (p ∨ ┓q ∨r)
【例】设p和q是命题变元，利用主范式判断命题公式p∧(p→┓q) 的类型。
解： p∧(p→┓q) =看p∧一(┓个p简∨ 单┓q的) =例（p ∧ ┓ p） ∨(p ∧ ┓q) = p ∧ ┓q,显然 子！！！
所给命题公式的主析取范式中仅有一个最小项，所以 它是中性公式。
*利用命题公式的主析取范式和主合取范式可以判断 两个命题公式是否等值。
主 合取范式
姓名：任玲玲 班级：120402
什么是最大项？？？
两个命题变元p和q产生的最大项有 p ∨ q , p ∨ ┐q , ┐p∨q , ┐p∨ ┐q 由三个命题变元p,q,r产生的最大项有 p∨q∨r , p∨┐q∨r , ┐p∨q∨r, p∨q∨┐r, ┐p∨┐q∨r , ┐p∨q∨┐r, p∨┐q∨┐r, ┐p∨┐q∨┐r
NO 3 ：A等值于所有这样写出的最大项的合取。
我们一起来练习练 习吧
例：设p,q和,r是命题变元，求命题公式A = (p ∨q) →r的主合取范式。
解：命题公式A = (p ∨q) →r的真值表如下：
p q r p∨q (p ∨q) →r
p q r p∨q ( p ∨q) →r
11 11
1
0 111
命题公式p→(q→r)的主合取范式中，仅一个最大项；命 题公式(p∨q) →r的主合取范式中，有三个最大项。于是 得出，所给的两个命题公式不等值。
p∨r = p∨(q ∧ ┓q) ∨r = (p ∨q ∨r) ∧(p ∨ ┓ q ∨r)
┓q∨r = (p∧┓p)∨┓q∨r = (p∨┓q∨r) ∧(┓p∨┓q∨ r)
求A的主合取范式的第一种方法： 等值演算法
利用等值演算法求A的主合取范式的计算步骤：
NO 1：求出A的合取范式； NO 2：利用分配率补充所缺少的命题变元。
『注意』命题公式的主合取范式是合 取范式，而一般来说合取范式不是 主合取范式。
例：A = （p→q）↔r,其合取范式为 A=(p∨r)∧(┓q∨r)∧(┓p∨q∨┓r)
它就不是A的主合取范式，主要原因是在该合取范式中，析取 式p∨r以及┓q∨r不是由A中3个命题p,q,r产生的最大项。但我 们可以在合取范式的基础上，对于析取式p∨r 以及┓q∨r，通 过补充所缺少的命题变元将其转化为几个最大项的合取。
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对于每一个最大项只有一种指派使其为0，例如， 最大项p∨┐q∨┐r只有指派（p,q,r） = (0,1,1),使其
为0.
很明显，所有最大项的合取为永假式0，而0 个最大项的合取意味着A的永真式为1，这时 A的主合取范式不存在。除这两种极端情形 外，A均为中性公式。
综上：根据等值式的定义容易得出：A等值于所有写出这样的 Байду номын сангаас大项的合取。
【定理】任意非永假(非永真)命题公式都 存在唯一的主析取范式（主合取范式）。
显然，命题公式的主析取范式及主合取范式是等值的。主析取 范式中所含的最小项个数加上主合取范式中所含的最大项个数 等于该命题公式的真值指派数目。进一步，可以从主析取范式 求出主合取范式，反过来亦然。
利用真值表法求A的主合取范式的3个计算步骤： NO 1：写出命题公式A的真值表； NO 2：对于使A取0的指派，写出对应的最大项，使该最大项在 该指派下也为0； 例如:若(p,q,r) = (1,1,1)使A取0,则对应的最大项为M111 = M7 = ┐p∨┐q∨┐r;
若(p,q,r) = (1,0,0)使A取0，则对应的最大项为M100 = M4 = ┐p∨q∨r ； 若(p,q,r) = (0,0,0)使A取0，则对应的最大项为M000 = M0 = p∨q∨r ；
∴A的主合取范式为
个例子
A= (p ∨q ∨r) ∧(p ∨ ┓ q ∨r) ∧ (p∨┓q∨r) ∧(┓p∨┓q∨ r) ∧
(┓p∨q∨┓r)
由上边的主合取范式可知，使A取0的真值指派为
(p,q,r) = (0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,1)
求A的主合取范式的第二种方法： 真值表法
设p,q,r是命题变元，求命题公式A =（p→q）↔r的主合取范式。
解：A的合取范式为A=(p∨r)∧(┓q∨r)∧(┓p∨q∨┓r)
∵p∨r = p∨(q ∧ ┓q) ∨r = (p ∨q ∨r) ∧(p ∨ ┓ q ∨r)
┓q∨r = (p∧┓p)∨┓q∨下r = (面p∨┓我q∨们r) ∧来(┓p举∨┓q∨ r)
1
11 01
0
0 101
0
10 11
1
0 010
1
10 01
0
0 000
1
使A = (p ∨q) →r取0的指派110,100,010,对应的最大项分别为 ┓p ∨ ┓q ∨ r, ┓p ∨q∨r , p ∨ ┓q ∨r.于是有
A = (┓p ∨ ┓q ∨ r) ∧(┓p ∨q∨r) ∧(, p ∨ ┓q ∨r)