析取范式与合取范式
1.6析取范式与合取范式
再例如p→q m0∨m1∨m3 M2
主范式的用途（3）
2.判断公式的类型
设公式A中含n个命题变项，容易看出： （1）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小 项。 （2）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项。 此时，记A的主析取范式为F。 （3）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极 小项。
例
例2.10 用公式的主析取范式判断公式的类型： （1）┐(p→q)∧q （2）p→(p∨q) （3）(p∨q)→r
解： 注意（1）（2）中含两个命题变项，演算中极小项含两个文字，而（3）
中公式含三个命题变项，因而极小项应含三个文字。
（1）┐(p→q)∧q ┐（┐p∨q）∧q (p∧┐q)∧q F 这说明（1）中公式是矛盾式。 （2）p→(p∨q) ┐p∨p∨q ┐p∧(┐q∨q)∨p∧(┐q∨q)∨(┐p∨p)∧q (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)∨ (┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q) m0∨m1∨m2∨m3 这说明该公式为重言式。
n个命题变项共可产生多少个个不同的极小项？多 少个不同的极大项？
表2.3
极小项 公式 p∧q 成真赋值 0 0
由p,q形成的极小项和极大项
极大项 名称 公式 p∨q 成假赋值 0 0 名称
p∧q
p∧q p∧q
0 1
1 0 1 1
m0 m1 m2 m3
p∨q
p∨q p∨q
0 1
1 1 0 1
p∧q∧r
1 1 1
p∨q∨r
1 1 1
根据上面的两个表可以验证如下的定理： 定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn形成的 极小项和极大项，则┐mi Mi， ┐Mi mi
简单析取式和简单合取式
0 由∏小到大用∏表示 1 1
1
1 0 0
展开成极大项 1 1 1 0 1 1 1 0 1
0
0
0
1
1 0 1
∏表示合取
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
一个简单合取式是矛盾
p∧┐p∧q是矛盾式
式，当且仅当它同时含一 个命题变项及其否定。
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范 式 ---- 析取范式和合取范式
析取范式： 仅由有限个简单合取式构成的析取式 A=(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q)∨(q∧┐q)
析取范式的对偶
合取范式： 仅由有限个简单析取式构成的合取式 A*=(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q)Байду номын сангаас(q∨┐q)
极大项 在n个变元的简单析 取式中，若每个变元与其否 定不同时存在，而二者之一 必出现且仅出现一次，这种 析取式就叫做极大项 ┐p∨q∨┐r
0 0 0 0 1 1
1
1
1
1
0
1
M6
M7
范 式 ---- 求主析取范式
求p∧q ∨r的主合取范式 解 （p∧q）∨r 求出合取范式
（P∨r)∧(q∨r) （P∨(q∧┐q)∨r)∧((p∧┐p)∨q∨r) （P∨q∨r)∧(P∨┐q∨r)∧(p∨q∨r)∧(┐p∨q∨r) 000 ∧010 ∧ 000 ∧ 011 （p∨r)∧(q∨r) p q r M 0 ∧ M2 ∧ M3 0 0 0 0 0 0 ∏(0,2,3) 0 0 1 1 1 1
p∨(q∧┐r)
(交换律和吸收律)
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范 式 ---- 主范式
主析取范式概念
简单析取式和简单合取式(最全版)PTT文档
0 1 1 0 0 ∑(2,4,5,6,B7) B∧1B∧(pi∨┐pi)(B∧pi)∨(B∧┐pi)
范 式 ---- 析取式和合取式 A*(┐p,┐q,┐r) ┐p∧(q∨┐r) ┐A*(p,q,r)
∨(p∨┐p)∧(q∧┐r) (p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)
1 0 0 1 0 合取对范偶式式的为析（3）将重复出现的命题变项、矛盾式
(消去第一个→)
┐(┐(p∨q)∨r)∨p
(消去第一个→)
┐((┐p∧┐q)∨r)∨p ((┐┐p∨┐┐q)∧┐r)∨p ((p∨q)∧┐r)∨p
求合取范式 ((p∨q)∧┐r)∨p
(p∨q∨p)∧(┐r∨p) 求 析(p取∨范q)式∧(┐r∨p) (((交p∨换q律)∧和┐等r幂)∨律p) (p∧┐r)∨(q∧┐r)∨p
求p∧q ∨r的主合取范式
0 0 0 0 解
范
式（-p-∧--q）求∨主（r析1取）范求式 A的析取范式A’
0
0 0 1 0 （1）求A的析取范式A’
任何命题公式的主析取范式都是存在的，并且是唯一的。
0
求命题公式(( p∨q)→r)→p 的主析取范式。
解：((p∨q)→r)→p
p∨(q∧┐r)
N个变元可构成(22n)个若极A小’项的某简单合取式B中不含命题变项
p∧┐q∧r
N个变元可构成2n 个极小项
p
q
r
记 作
0 0 0 m0
0 0 1 m1
0 1 0 m2
0 1 1 m3
1 0 0 m4
1 0 1 m5
1 1 0 m6
1 1 1 m7
范 式 ---- 求主析取范式
p q r 范
范
数理逻辑2.2
2.2 析取范式与合取范式1.简单析取式与简单合取式定义2.2: 命题变项及其否定统称为文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.*解释: 析取, 合取.例子: p, ┐q, p∨┐p, ┐p∨q, p∨┐q∨r, p∨┐p∨r都是简单析取式.┐p, q, p∧┐p, p∧┐q, p∧q∧┐r, ┐p∧p∧q都是简单合取式.定理2.1: (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及其的否定式; (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及其否定式.*举例说明: p∨┐p∨q∨r, p∨┐q∨rp∧┐p∧┐q∧r, ┐p∧q∧r2.合取范式与析取范式定义 2.3: 由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式. 由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式. 析取范式与合取范式统称为范式.*析取范式的一般形式为A1∨A2∨…∨A s, 其中, A i为简单合取式, i =1, 2, …,s.合取范式的一般形式为B1∧B2∧…∧B t, 其中, B j为简单析取式, j = 1, 2, …, t.例如: (p∧┐q)∨(┐q∧r)∨p是析取范式.(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r∧(┐p∨┐r∨s)为合取范式.定理 2.2: (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式;例如: (p∧┐p∧q)∨(q∧┐q∧p∧r)∨(p∧┐p∧┐r)是矛盾式;(p∨r∨q∨┐q)∧(p∨┐q∨r∨┐r)∧(┐p∨p∨q∨┐r)是重言式.3. 将合式公式转化为析取范式与合取范式命题公式有5个联结词{∧,∨,┐,→,↔}, 如何把包含这5个联结词的公式转化为合取范式或析取范式?(1) 蕴涵式与等值式A→B⇔┐A∨BA↔B⇔(A→B)∧(B→A)⇔(┐A∨B)∧(┐B∨A)(2) 公式中的否定┐┐A⇔A┐(A∧B)⇔┐A∨┐B┐(A∨B)⇔┐A∧┐B(3) 析取范式与合取范式互换A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)定理 2.3: (范式存在定理) 任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式.求给定公式范式的步骤为:(1) 消去联结词→和↔;(2) 用双重否定律消去双重否定符, 用德∙摩根律内移否定符;(3) 使用分配律: 求析取范式时使用∧对∨的分配律; 求合取范式时, 使用∨对∧的分配律.例2.8: 求公式(p→q)↔r的合取范式与析取范式.解: (1) 先求合取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定⇔((p∨r)∧(┐q∨r))∧(┐p∨q∨┐r) ∨对∧的分配律⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 结合律(2)求析取范式(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定,交换律⇔(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨(r∧┐r)∧对∨的分配律⇔0∨0∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨0 矛盾律⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) 同一律定义2.4: 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项和它的否定式恰好出现一次且仅出现一次,而且命题变项或它的否定式按下标从小到大或按字典序排列, 称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).*由于每个命题变项在极小项中以原形式或否定形式出现且仅出现一次, 因而n个命题变项共产生2n个不同的极小项(或极大项). 每个极小项有且仅有一个成真赋值, 每个极大项有且仅有一个成假赋值. (见下表格)例如: 含p和q的极小项和极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称┐p∧┐q 0 0 m0p∨q 0 0 M0┐p∧q 0 1 m1p∨┐q 0 1 M1 p∧┐q 1 0 m2┐p∨q 1 0 M2 p∧q 1 1 m3┐p∨┐q 1 1 M3 例如: 含p, q, r的极小项与极大项极小项极大项成真名成假名公式赋值称公式赋值称┐p∧┐q∧┐r 0 0 0 m0p∨q∨r 0 0 0 M0 ┐p∧┐q∧r 0 0 1 m1p∨q∨┐r 0 0 1 M1 ┐p∧q∧┐r 0 1 0 m2p∨┐q∨r 0 1 0 M2┐p∧q∧r 0 1 1 m3p∨┐q∨┐r 0 1 1 M3 p∧┐q∧┐r 1 0 0 m4┐p∨q∨r 1 0 0 M4 p∧┐q∧r 1 0 1 m5┐p∨q∨┐r 1 0 1 M5 p∧q∧┐r 1 1 0 m6┐p∨┐q∨r 1 1 0 M6 p∧q∧r 1 1 1 m7┐p∨┐q∨┐r 1 1 1 M7*解释极小项与极大项的不同, 成真赋值与成假赋值.定理2.4: 设M i和m i是含命题变项p1, p2, …, p n的极大项和极小项, 则有┐m i⇔M i和┐M i⇔m i .定义 2.5: 所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)的析取范式(合取范式)称为主析取范式(主合取范式).定理 2.5: 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是唯一的.证明: 这里只证主析取范式的存在性和唯一性.首先证明存在性. 设A是任一含n个命题变项的公式. 由定理2.3可知, 存在与A等值的析取范式A’, 即A⇔A’. 若A’的某个简单合取式A i中既不含命题变项p j, 也不含它的否定式┐p j, 则将A i展开成如下等值式:A i∧(p j∨┐p j)⇔(A i∧p j)∨(A i∧┐p j)继续这个过程, 直到所有的简单合取式都含有所有的命题变项或它的否定式.若在演算过程中出现的命题变项在极小项中出现矛盾式, 则应消去.如用p代替p∧p, m i代替m i∨m i,0代替矛盾式等. 最后, 就将A化为与之等值的主析取范式A”.下面再证明唯一性. 假设命题公式A等值于两个不同的主析取范式B和C, 那么必有B⇔C. 由于B和C是不同的主析取范式, 不妨设极小项m i只出现在B中, 而不出现在C中. 于是,角标i的二进制表示为B的成真赋值, 而为C的成假赋值, 这与B⇔C矛盾.主合取范式的存在性和唯一性可类似证明.例2.9: 求公式(p→q)↔r的主析取范式和主合取范式.解: (1) 求主析取范式在例2.8中已求出(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r), 因此(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧(q∨┐q))∨(q∧r∧(p∨┐p))⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7(2) 求主合取范式在例2.8中, 已求出(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r), 因此,(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨(q∧┐q))∧(┐q∨r∨(p∧┐p))∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨q)∧(p∨r∨┐q)∧(┐q∨r∨p)∧(┐q∨r∨┐p)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M64.主析取范式和主合取范式与真值表的一一对应关系例2.10: 给出合式公式: (p→q)↔r.它的真值表见下图.p q r p→q (p→q)↔r0 0 0 1 00 0 1 1 10 1 0 1 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 1 01 1 1 1 1主析取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7主合取范式(p→q)↔r⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M6*从主析取范式求主合取范式(或从主合取范式求主析取范式)*判断公式的类型:重言式或矛盾式的主析取范式和主合取范式是什么样的?设公式A中含n个命题变项, 容易看出:(1)A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小项.(2)A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项,此时, 记A的主析取范式为0.(3)A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极小项.例2.11: 用公式的主析取范式判断下列公式的类型.(1) ┐(p→q)∧q(2) p→(p∨q)(3) (p∨q)→r解: 公式(1), (2)只含两个命题变项, 而(3)中含3个命题变项.(1) ┐(p→q)∧q⇔┐(┐p∨q)∧q⇔(┐┐p∧┐q)∧q⇔p∧┐q∧q⇔0, 故(1)式是矛盾式.*矛盾式的主析取范式与主合取范式(2) p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔(┐p∧(q∨┐q))∨(p∧(q∨┐q))∨(q∧(p∨┐p))⇔(┐p∧q)∨(┐p∧┐q)∨(p∧q)∨(p∧┐q)∨(q∧p)∨(q∧┐p)⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)⇔m0∨m1∨m2∨m3故(2)式是重言式.也可以按如下方式:p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔┐p∨p∨q⇔1∨q⇔1⇔m0∨m1∨m2∨m3*重言式的主析取范式与主合取范式.(3) (p∨q)→r⇔┐(p∨q)∨r⇔(┐p∧┐q)∨r⇔(┐p∧┐q∧(r∨┐r))∨(r∧(p∨┐p))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(r∧p)∨(r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧(q∨┐q))∨(┐p∧r∧(q∨┐q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧q)∨(p∧r∧┐q)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)⇔(┐p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q ∧r)∨(p∧q∧r)⇔m0∨m1∨m3∨m5∨m7故(3)式是可满足式.*判定两个合式公式是否等值.两个合式公式等值当且仅当它们有相同的主析取范式(主合取范式).例2.12: 某科研所要从3名科研骨干A, B, C中挑选1至2名出国进修. 由于工作需要, 选派时要满足以下条件:(1)若A去, 则C同去.(2)若B去, 则C不能去.(3)若C不去, 则A或B可以去.问所里有哪些选派方案?解: 设p: 派A去; q: 派B去; r: 派C去.由已知条件可得公式: (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))该公式的成真赋值即为可行的选派方案. 经演算得到(p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)⇔m1∨m2∨m5故有三种选派方案:(1)C去, A和B都不去; (2) B去, A和C都不去;(3) A和C同去, B不去.作业:1.用等值演算求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值.(1) (┐p→q)→(┐q∨p)(2) (┐p→q)∧(q∧r)(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)2.用等值演算求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值.(1) (p→(p∨q))∨r(2) ┐(q→┐p)∧┐p3.求下列公式的主析取范式, 再用主析取范式求主合取范式.(1) (p→q)∧(q→r)4.用真值表求下列公式的主析取范式与主合取范式.(1) (p q)→r(2) ┐(q→┐p)∧┐p。
析取范式与合取范式
析取范式与合取范式析取范式与合取范式合同协议书合同基本信息合同名称：析取范式与合取范式合同协议书合同编号：____________________________签署日期：____________________________合同生效日期：____________________________合同标的：析取范式与合取范式应用及其相关服务合同方信息合同方甲（服务提供方）：名称：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________合同方乙（服务接受方）：姓名：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________服务内容服务项目1：析取范式的理论讲解与应用服务项目2：合取范式的理论讲解与应用服务项目3：相关案例分析与实际应用服务项目4：提供相关资料及文献支持服务标准服务标准1：服务内容应涵盖析取范式与合取范式的基本概念、计算方法及应用实例。
服务标准2：提供的材料应为最新的研究成果及学术资料，确保准确性与前瞻性。
服务标准3：服务应包括理论讲解、问题解答及案例分析，确保服务效果。
服务时间与地点服务开始日期：____________________________服务结束日期：____________________________服务地点：____________________________服务时间安排：____________________________费用及支付方式服务费用总额：____________________________费用明细：明细1：____________________________明细2：____________________________支付方式：____________________________支付时间安排：____________________________第一次支付：____________________________第二次支付：____________________________双方责任合同方甲（服务提供方）负责按合同约定提供服务，确保服务质量，并在规定时间内完成服务内容。
简单析取式和简单合取式
┐((┐p∧┐q)∨r)∨p ((┐┐p∨┐┐q)∧┐r)∨p ((p∨q)∧┐r)∨p
p∨(q∧┐r)
(交换律和吸收律)
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范 式 ---- 主范式
主析取范式概念
求主析取范式 主合取范式概念 求主合取范式
范 式 ---- 主析取范式
定义 形如A＝A1∨A2∨……∨An
范 式 ---- 对
偶 式
定理1.2 设A与A*互为对偶式，p,q,r是出现在A 和A*中的全部的命题变项，若将A和A*写成函 数形式:
┐A(p,q,r)┐p∨(q∧┐r)A*(┐p,┐q,┐r) A*(┐p,┐q,┐r)┐p∧(q∨┐r)┐A*(p,q,r)
对偶原理
设A,B为命题公式，若AB,则A*B*， 其中A*，B*分别为A,B的对偶式。
范 式
对偶式 简单析取式和简单合取式 析取范式和合取范式 主范式
01计机 08号 陈燕丽
范 式 ---- 对偶 式 Nhomakorabea定义： 在仅含有联结词┐，∨，∧的命题公式A中，将∨换成 ∧， ∧换成∨，若A中含0或1，就将0换成1,1换成0， 所得命题公式称为A的对偶式，记作A*。
如：┐p∨(q∧r)与┐p∧(q∨r) （P∨q)∨0与（P∧q) ∧1 互为对偶式
范 式 ---- 析取范式和合取范式
范式存在定理 任一命题公式都存在着与之等值 的析取范式和合取范式
例 求命题公式((p∨q)→r)→q的范 式 解： 化简 原式(┐(p∨q)∨r)→q)
(消去第一个→)
┐(┐(p∨q)∨r)∨p
(消去第一个→)
求合取范式 ((p∨q)∧┐r)∨p (p∨q∨p)∧(┐r∨p) 求析取范式 (p∨q)∧(┐r∨p) ((p ∨q)∧┐r)∨p) (交换律和等幂律 (p∧┐r)∨(q∧┐r)∨p
析取范式与合取范式
不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。 可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来 表示该极小项，叫做该极小项的名称。 两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1-7.2所示。 三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1-7.3所示。 从表1-7.2和表1-7.3中可以看出，极小项与其成真赋值的 对应关系为：变元对应1，而变元的否定对应0。
从表1-7.5和表1-7.6中可以看出，极大项与成假赋值的对应 关系为：变元对应0，而变元的否定对应1。
极大项的性质
极大项 p∨q p∨¬q ¬p∨q ¬p∨¬q
极大项 p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
表1-7.5
主析取和主合取范式的关系
在前面例中，求出(p→q)→r的主析取范式为： m7∨m5∨m4∨m3∨m1⇔∑1，3，4，5，7
求出该公式的主合取范式为： M0∧M2∧M6⇔∏0，2，6
¾ 比较这两个结果，得出以下的结论：同一公式的主析取 范式中m的下标和主合取范式中M的下标是互补的。因 此，知道了主析(合)取范式就可以写出主合(析)取范 式。
i=0
主析取范式
定义1-7.7 对于给定的命题公式，如果有一个它的 等价公式，仅由极小项的析取组成，称该公式 为原公式的主析取范式。
¾ 任何命题公式都存在着与之等价的主析取范 式。
主析取范式
一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴ 等价演算法：即用基本等价公式推出。
用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ① 化归为析取范式。 ② 除去析取范式中所有永假的基本积。 ③ 在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④ 在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加
主析取范式和主合取范式
主析取范式和主合取范式一、主析取范式1. 定义主析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）是布尔代数中的一种标准形式，也称为合取范式。
它是由若干个子句组成的析取式，每个子句都是由若干个原子命题或其否定组成的合取式。
2. 构造方法主析取范式的构造方法有两种：（1）真值表法：将所有可能的输入情况列出来，并计算出每种情况下逻辑表达式的输出结果。
然后将输出结果为真的输入情况所对应的项相加，得到主析取范式。
（2）化简法：通过化简逻辑表达式，将其转换为主析取范式。
化简法有多种方法，如代数运算法、Karnaugh图法等。
3. 举例说明以逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)为例，构造其主析取范式：（1）真值表法：| A | B | C | (A∨B)∧(¬A∨C) ||:-:|:-:|:-:|:------------:|| 0 | 0 | 0 | 0 || 0 | 0 | 1 | 1 || 0 | 1 | 0 | 1 || 0 | 1 | 1 | 1 || 1 | 0 | 0 | 0 || 1 | 0 | 1 | 1 || 1 | 1 | 0 | 0 || 1 | 1 | 1 | 1 |由上表可知，逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)的主析取范式为(A∧¬B∧C)∨(¬A∧B∧C)∨(¬A∧B∧¬C)。
（2）化简法：将逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)转换为主析取范式：(A∨B)∧(¬A∨C)= (A∧¬A) ∨ (B ∧ ¬A) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)= (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) ∨ (B ∧ ¬A)= (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C)二、主合取范式1. 定义主合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是布尔代数中的一种标准形式，也称为析取范式。
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析取范式与合取范式
这是命题公式的两种特殊的简明形式。
一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。
我们将学习这种转化方法及其应用。
1. 析取范式
定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。
由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。
由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。
例1.2 求下列公式的析取范式。
(1) ()(2) () ()p q p
p q p q →∧⌝∨∧⌝∧
方法小结：
（1） 将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重
否定词。
（3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。
（4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾
律、零律）
练习1.3
定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。
2. 合取范式
定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。
由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。
例2.2 求下列公式的合取范式。
(1) ()(2) () ()p q p
p q p q ⌝→∨∧∨⌝∨
方法小结：
（1）将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。
（3）用分配律将合取联结词移到括号之外。
（4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律）
练习2.3
定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。
3.极小项
为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。
符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。
在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。
我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。
也可以用标识符作命题变元，标识符在符号表中的次序为字典序。
定义1.1满足下述两个条件的简单合取式称为极小项：（1）每个变元仅出现一次，（2）变元出现的先后次序与它们在符号表中的先后次序相同。
含n 个变元的极小项称为n元极小项。
例如，等等都是极小项。
等等都不是极小项。
提问：由n个不同变元组成的n元极小项共有多少个？
回答：共有2n个。
一个极小项有n个变元，每个变元前面可以有否定词也可以没有，所以共有2n个组合。
例如，p, q两个变元可以组成的极小项如下：
⌝∧⌝⌝∧∧⌝∧
p q p q p q p q
,,,
极小项的名称：极小项的成真赋值是唯一的，并对应着一个唯一的二进制数。
若该二进制数所对应的十进制是i，则该极小项记为m i。
例如，上述4个极小项分别记为m0, m1, m2, m3。
三元极小项的例子见课本第25页表2.4左列。
2
3
4. 极大项
定义4.1满足下述两个条件的简单析取式称为极大项：（1）每个变元仅出现一次，（2）变元出现的先后次序与它们在符号表中的先后次序相同。
含n 个变元的极大项称为n 元极大项。
易知，由n 个不同变元组成的n 元极大项共有2n 个。
例如，p , q 两个变元可以组成的极大项如下：
, , , p q p q p q p q ∨∨⌝⌝∨⌝∨⌝
极大项的名称：极大项的成假赋值是唯一的，并对应着一个唯一的二进制数。
若该二进制数所对应的十进制是i ，则该极大项记为M i 。
例如，上述4个极大项分别记为M 0, M 1, M 2, M 3。
三元极大项的例子见课本第25页表2.4右列。
极大项与极小项之间的对称关系：极大项可视为极小项的逆。
例如，00M m ≡⌝,即
() p q p q ∨≡⌝⌝∧⌝
一般地我们有
定理4.2 由n 个变元组成的极大项与极小项之间存在如下对称关系，即对于任何0≤i <2n ， i i M m ≡⌝
5. 主析取范式与主合取范式
定义 5.1 由有限个极小项组成的析取式称为主析取范式。
由有限个极大项组成的合取式称为主合取范式。
此外规定，永假式的主析取范式为0，永真式的主合取范式为1。
定理 5.2 任何命题公式都存在唯一的与之等值的主析取范式与主合取范式。
命题公式的等价划分：将所有含有某n 个不同变元的命题公式，按照等值关系划分为若干分类，即将其中相互等值的所有命题公式归为一个分类。
根据定理5.2，在每一个分类中都有唯一的主析取范式与唯一的主合取范式。
例5.3 用极小项和极大项的记号重新表示例1.4的主析取范式与主合取范式。
4
练习5.4 课本第38页习题5，6。
6. 一个重要定理
定理6.1 设命题公式A 有n 个变元，则下列结论成立：
1） （互补性）A 与A ⌝二者的主析取范式中不存在相同的极小项，并且
二者的极小项总数恰好为2n 。
2） （对称性）若A ⌝的主析取范式为
12j j jr m m m ∨∨∨
则A 的主合取范式为
12j j jr M M M ∧∧∧
计算方法：A A A ←−−→⌝←−−→互补取反主析主析主合
例6.2 课本第30页例2.13。
7. 范式的应用
1） 求公式的成真赋值与成假赋值。
主析取范式，主合取范式。
2） 判断公式的类型。
重言式的主析取范式为，矛盾式的主析取范式为
0.
例7.1 课本第28页例2.10。
3） 判断两个命题公式是否等值。
根据定理，主析取范式是唯一的。
因
此，若两个公式有相同的主析取范式，则二者是等值的。
4） 用极小项表示选择方案，用主析取范式表示所有满足条件的选择方
案。
例7.2 课本第29页例2.12。