析取与合取范式
1.6析取范式与合取范式
再例如p→q m0∨m1∨m3 M2
主范式的用途（3）
2.判断公式的类型
设公式A中含n个命题变项，容易看出： （1）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小 项。 （2）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项。 此时，记A的主析取范式为F。 （3）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极 小项。
例
例2.10 用公式的主析取范式判断公式的类型： （1）┐(p→q)∧q （2）p→(p∨q) （3）(p∨q)→r
解： 注意（1）（2）中含两个命题变项，演算中极小项含两个文字，而（3）
中公式含三个命题变项，因而极小项应含三个文字。
（1）┐(p→q)∧q ┐（┐p∨q）∧q (p∧┐q)∧q F 这说明（1）中公式是矛盾式。 （2）p→(p∨q) ┐p∨p∨q ┐p∧(┐q∨q)∨p∧(┐q∨q)∨(┐p∨p)∧q (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)∨ (┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q) m0∨m1∨m2∨m3 这说明该公式为重言式。
n个命题变项共可产生多少个个不同的极小项？多 少个不同的极大项？
表2.3
极小项 公式 p∧q 成真赋值 0 0
由p,q形成的极小项和极大项
极大项 名称 公式 p∨q 成假赋值 0 0 名称
p∧q
p∧q p∧q
0 1
1 0 1 1
m0 m1 m2 m3
p∨q
p∨q p∨q
0 1
1 1 0 1
p∧q∧r
1 1 1
p∨q∨r
1 1 1
根据上面的两个表可以验证如下的定理： 定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn形成的 极小项和极大项，则┐mi Mi， ┐Mi mi
简单析取式和简单合取式
0 由∏小到大用∏表示 1 1
1
1 0 0
展开成极大项 1 1 1 0 1 1 1 0 1
0
0
0
1
1 0 1
∏表示合取
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
一个简单合取式是矛盾
p∧┐p∧q是矛盾式
式，当且仅当它同时含一 个命题变项及其否定。
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范 式 ---- 析取范式和合取范式
析取范式： 仅由有限个简单合取式构成的析取式 A=(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q)∨(q∧┐q)
析取范式的对偶
合取范式： 仅由有限个简单析取式构成的合取式 A*=(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q)Байду номын сангаас(q∨┐q)
极大项 在n个变元的简单析 取式中，若每个变元与其否 定不同时存在，而二者之一 必出现且仅出现一次，这种 析取式就叫做极大项 ┐p∨q∨┐r
0 0 0 0 1 1
1
1
1
1
0
1
M6
M7
范 式 ---- 求主析取范式
求p∧q ∨r的主合取范式 解 （p∧q）∨r 求出合取范式
（P∨r)∧(q∨r) （P∨(q∧┐q)∨r)∧((p∧┐p)∨q∨r) （P∨q∨r)∧(P∨┐q∨r)∧(p∨q∨r)∧(┐p∨q∨r) 000 ∧010 ∧ 000 ∧ 011 （p∨r)∧(q∨r) p q r M 0 ∧ M2 ∧ M3 0 0 0 0 0 0 ∏(0,2,3) 0 0 1 1 1 1
p∨(q∧┐r)
(交换律和吸收律)
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范 式 ---- 主范式
主析取范式概念
第二章析取范式与合取范式
11. 主析取范式的用途
➢ 求公式的成真与成假赋值 ➢ 判断公式的类型 ➢ 判断两个命题公式是否等值 ➢ 应用主析取范式分析和解决实际问题
A m1∨m2∨…∨ms 例1: 求 (p→q)→ (q∨p) 的成真赋值
(p→q)→ (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (p q) (pq) m0 m2 m3 即成真赋值为：0 0,1 0，1 1
p ∧ q ∧ r; p ∧ ┐q ∧ r; ┐ p ∧ ┐q ∧ ┐ r
思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极小项? 2n (2)每个极小项有多少个成真赋值? 一个
规定:成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应 极小项记作mi
7. 极小项与极大项的定义
➢极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单析取式为极大 项。 例：p ∨ r ∨ q; p ∨ ┐ p ∨ r; p ∨ ┐ q ∨ p;
方法1：真值表法
p q p →q 00 1 01 1 10 0 11 1
p→q m0 m1 m4 ( p q) ( p q) ( p q) M2 p q
方法2：公式法
p→q p q [ p (q q)] [q (p p)] ( p q) ( p q) ( p q) m0 m1 m4
历史遗留问题: (1)我只给村里所有那些不给自己理发的人理发 (2)只要别人有困难,他就帮忙,除非困难解决. (3) a:别人有困难, b: 他帮忙
(4) a b
作业 Ｐ38 5题（1 、3） 注意总结规律
简单析取式和简单合取式(最全版)PTT文档
0 1 1 0 0 ∑(2,4,5,6,B7) B∧1B∧(pi∨┐pi)(B∧pi)∨(B∧┐pi)
范 式 ---- 析取式和合取式 A*(┐p,┐q,┐r) ┐p∧(q∨┐r) ┐A*(p,q,r)
∨(p∨┐p)∧(q∧┐r) (p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)
1 0 0 1 0 合取对范偶式式的为析（3）将重复出现的命题变项、矛盾式
(消去第一个→)
┐(┐(p∨q)∨r)∨p
(消去第一个→)
┐((┐p∧┐q)∨r)∨p ((┐┐p∨┐┐q)∧┐r)∨p ((p∨q)∧┐r)∨p
求合取范式 ((p∨q)∧┐r)∨p
(p∨q∨p)∧(┐r∨p) 求 析(p取∨范q)式∧(┐r∨p) (((交p∨换q律)∧和┐等r幂)∨律p) (p∧┐r)∨(q∧┐r)∨p
求p∧q ∨r的主合取范式
0 0 0 0 解
范
式（-p-∧--q）求∨主（r析1取）范求式 A的析取范式A’
0
0 0 1 0 （1）求A的析取范式A’
任何命题公式的主析取范式都是存在的，并且是唯一的。
0
求命题公式(( p∨q)→r)→p 的主析取范式。
解：((p∨q)→r)→p
p∨(q∧┐r)
N个变元可构成(22n)个若极A小’项的某简单合取式B中不含命题变项
p∧┐q∧r
N个变元可构成2n 个极小项
p
q
r
记 作
0 0 0 m0
0 0 1 m1
0 1 0 m2
0 1 1 m3
1 0 0 m4
1 0 1 m5
1 1 0 m6
1 1 1 m7
范 式 ---- 求主析取范式
p q r 范
范
主析取主合取范式
主析取主合取范式
主析取主合取范式（DisjunctiveNormalFormandConjunctiveNormalForm）是命题逻辑
中的两种标准化形式，用于表示和简化复合命题。
主析取范式是由若干个合取范式通过析取符号“∨”组合而成，合取范式是由若干个命题通过合取符号“∧”组合而成。
将一个复合命题转化为主析取范式或主合取范式可以使得计算机对其进行更高效的处理。
主析取范式和主合取范式在表达方式上是互逆的。
主析取范式将一个复合命题表示为若干个命题的析取式，每个命题都是一些原子命题或其否定形式的合取式。
主合取范式则将一个复合命题表示为若干个命题的合取式，每个命题都是一些原子命题或其否定形式的析取式。
通过将一个复合命题转化为主析取范式或主合取范式，我们可以方便地进行以下操作：
1. 确定命题的真值。
2. 判断命题的等价性。
3. 简化复合命题的形式，使其更易于处理和理解。
主析取范式和主合取范式在数学证明和计算机科学中都有广泛
的应用。
对于计算机科学中的布尔代数运算，主析取范式和主合取范式可以帮助我们有效地进行逻辑运算，从而实现各种复杂的算法和系统。
- 1 -。
数理逻辑2.2
2.2 析取范式与合取范式1.简单析取式与简单合取式定义2.2: 命题变项及其否定统称为文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.*解释: 析取, 合取.例子: p, ┐q, p∨┐p, ┐p∨q, p∨┐q∨r, p∨┐p∨r都是简单析取式.┐p, q, p∧┐p, p∧┐q, p∧q∧┐r, ┐p∧p∧q都是简单合取式.定理2.1: (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及其的否定式; (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及其否定式.*举例说明: p∨┐p∨q∨r, p∨┐q∨rp∧┐p∧┐q∧r, ┐p∧q∧r2.合取范式与析取范式定义 2.3: 由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式. 由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式. 析取范式与合取范式统称为范式.*析取范式的一般形式为A1∨A2∨…∨A s, 其中, A i为简单合取式, i =1, 2, …,s.合取范式的一般形式为B1∧B2∧…∧B t, 其中, B j为简单析取式, j = 1, 2, …, t.例如: (p∧┐q)∨(┐q∧r)∨p是析取范式.(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r∧(┐p∨┐r∨s)为合取范式.定理 2.2: (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式;例如: (p∧┐p∧q)∨(q∧┐q∧p∧r)∨(p∧┐p∧┐r)是矛盾式;(p∨r∨q∨┐q)∧(p∨┐q∨r∨┐r)∧(┐p∨p∨q∨┐r)是重言式.3. 将合式公式转化为析取范式与合取范式命题公式有5个联结词{∧,∨,┐,→,↔}, 如何把包含这5个联结词的公式转化为合取范式或析取范式?(1) 蕴涵式与等值式A→B⇔┐A∨BA↔B⇔(A→B)∧(B→A)⇔(┐A∨B)∧(┐B∨A)(2) 公式中的否定┐┐A⇔A┐(A∧B)⇔┐A∨┐B┐(A∨B)⇔┐A∧┐B(3) 析取范式与合取范式互换A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)定理 2.3: (范式存在定理) 任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式.求给定公式范式的步骤为:(1) 消去联结词→和↔;(2) 用双重否定律消去双重否定符, 用德∙摩根律内移否定符;(3) 使用分配律: 求析取范式时使用∧对∨的分配律; 求合取范式时, 使用∨对∧的分配律.例2.8: 求公式(p→q)↔r的合取范式与析取范式.解: (1) 先求合取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定⇔((p∨r)∧(┐q∨r))∧(┐p∨q∨┐r) ∨对∧的分配律⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 结合律(2)求析取范式(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定,交换律⇔(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨(r∧┐r)∧对∨的分配律⇔0∨0∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨0 矛盾律⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) 同一律定义2.4: 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项和它的否定式恰好出现一次且仅出现一次,而且命题变项或它的否定式按下标从小到大或按字典序排列, 称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).*由于每个命题变项在极小项中以原形式或否定形式出现且仅出现一次, 因而n个命题变项共产生2n个不同的极小项(或极大项). 每个极小项有且仅有一个成真赋值, 每个极大项有且仅有一个成假赋值. (见下表格)例如: 含p和q的极小项和极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称┐p∧┐q 0 0 m0p∨q 0 0 M0┐p∧q 0 1 m1p∨┐q 0 1 M1 p∧┐q 1 0 m2┐p∨q 1 0 M2 p∧q 1 1 m3┐p∨┐q 1 1 M3 例如: 含p, q, r的极小项与极大项极小项极大项成真名成假名公式赋值称公式赋值称┐p∧┐q∧┐r 0 0 0 m0p∨q∨r 0 0 0 M0 ┐p∧┐q∧r 0 0 1 m1p∨q∨┐r 0 0 1 M1 ┐p∧q∧┐r 0 1 0 m2p∨┐q∨r 0 1 0 M2┐p∧q∧r 0 1 1 m3p∨┐q∨┐r 0 1 1 M3 p∧┐q∧┐r 1 0 0 m4┐p∨q∨r 1 0 0 M4 p∧┐q∧r 1 0 1 m5┐p∨q∨┐r 1 0 1 M5 p∧q∧┐r 1 1 0 m6┐p∨┐q∨r 1 1 0 M6 p∧q∧r 1 1 1 m7┐p∨┐q∨┐r 1 1 1 M7*解释极小项与极大项的不同, 成真赋值与成假赋值.定理2.4: 设M i和m i是含命题变项p1, p2, …, p n的极大项和极小项, 则有┐m i⇔M i和┐M i⇔m i .定义 2.5: 所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)的析取范式(合取范式)称为主析取范式(主合取范式).定理 2.5: 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是唯一的.证明: 这里只证主析取范式的存在性和唯一性.首先证明存在性. 设A是任一含n个命题变项的公式. 由定理2.3可知, 存在与A等值的析取范式A’, 即A⇔A’. 若A’的某个简单合取式A i中既不含命题变项p j, 也不含它的否定式┐p j, 则将A i展开成如下等值式:A i∧(p j∨┐p j)⇔(A i∧p j)∨(A i∧┐p j)继续这个过程, 直到所有的简单合取式都含有所有的命题变项或它的否定式.若在演算过程中出现的命题变项在极小项中出现矛盾式, 则应消去.如用p代替p∧p, m i代替m i∨m i,0代替矛盾式等. 最后, 就将A化为与之等值的主析取范式A”.下面再证明唯一性. 假设命题公式A等值于两个不同的主析取范式B和C, 那么必有B⇔C. 由于B和C是不同的主析取范式, 不妨设极小项m i只出现在B中, 而不出现在C中. 于是,角标i的二进制表示为B的成真赋值, 而为C的成假赋值, 这与B⇔C矛盾.主合取范式的存在性和唯一性可类似证明.例2.9: 求公式(p→q)↔r的主析取范式和主合取范式.解: (1) 求主析取范式在例2.8中已求出(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r), 因此(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧(q∨┐q))∨(q∧r∧(p∨┐p))⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7(2) 求主合取范式在例2.8中, 已求出(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r), 因此,(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨(q∧┐q))∧(┐q∨r∨(p∧┐p))∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨q)∧(p∨r∨┐q)∧(┐q∨r∨p)∧(┐q∨r∨┐p)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M64.主析取范式和主合取范式与真值表的一一对应关系例2.10: 给出合式公式: (p→q)↔r.它的真值表见下图.p q r p→q (p→q)↔r0 0 0 1 00 0 1 1 10 1 0 1 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 1 01 1 1 1 1主析取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7主合取范式(p→q)↔r⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M6*从主析取范式求主合取范式(或从主合取范式求主析取范式)*判断公式的类型:重言式或矛盾式的主析取范式和主合取范式是什么样的?设公式A中含n个命题变项, 容易看出:(1)A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小项.(2)A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项,此时, 记A的主析取范式为0.(3)A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极小项.例2.11: 用公式的主析取范式判断下列公式的类型.(1) ┐(p→q)∧q(2) p→(p∨q)(3) (p∨q)→r解: 公式(1), (2)只含两个命题变项, 而(3)中含3个命题变项.(1) ┐(p→q)∧q⇔┐(┐p∨q)∧q⇔(┐┐p∧┐q)∧q⇔p∧┐q∧q⇔0, 故(1)式是矛盾式.*矛盾式的主析取范式与主合取范式(2) p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔(┐p∧(q∨┐q))∨(p∧(q∨┐q))∨(q∧(p∨┐p))⇔(┐p∧q)∨(┐p∧┐q)∨(p∧q)∨(p∧┐q)∨(q∧p)∨(q∧┐p)⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)⇔m0∨m1∨m2∨m3故(2)式是重言式.也可以按如下方式:p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔┐p∨p∨q⇔1∨q⇔1⇔m0∨m1∨m2∨m3*重言式的主析取范式与主合取范式.(3) (p∨q)→r⇔┐(p∨q)∨r⇔(┐p∧┐q)∨r⇔(┐p∧┐q∧(r∨┐r))∨(r∧(p∨┐p))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(r∧p)∨(r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧(q∨┐q))∨(┐p∧r∧(q∨┐q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧q)∨(p∧r∧┐q)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)⇔(┐p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q ∧r)∨(p∧q∧r)⇔m0∨m1∨m3∨m5∨m7故(3)式是可满足式.*判定两个合式公式是否等值.两个合式公式等值当且仅当它们有相同的主析取范式(主合取范式).例2.12: 某科研所要从3名科研骨干A, B, C中挑选1至2名出国进修. 由于工作需要, 选派时要满足以下条件:(1)若A去, 则C同去.(2)若B去, 则C不能去.(3)若C不去, 则A或B可以去.问所里有哪些选派方案?解: 设p: 派A去; q: 派B去; r: 派C去.由已知条件可得公式: (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))该公式的成真赋值即为可行的选派方案. 经演算得到(p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)⇔m1∨m2∨m5故有三种选派方案:(1)C去, A和B都不去; (2) B去, A和C都不去;(3) A和C同去, B不去.作业:1.用等值演算求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值.(1) (┐p→q)→(┐q∨p)(2) (┐p→q)∧(q∧r)(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)2.用等值演算求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值.(1) (p→(p∨q))∨r(2) ┐(q→┐p)∧┐p3.求下列公式的主析取范式, 再用主析取范式求主合取范式.(1) (p→q)∧(q→r)4.用真值表求下列公式的主析取范式与主合取范式.(1) (p q)→r(2) ┐(q→┐p)∧┐p。
离散数学主析取范式和主合取范式
离散数学主析取范式和主合取范式好嘞，今天我们来聊聊离散数学里的主析取范式和主合取范式。
别看这名字听起来有点高大上，其实它们就像是数学里的两个小伙伴，各自有各自的特长。
先说主析取范式。
想象一下，你正在和朋友们讨论晚餐吃什么。
有人说吃披萨，有人说吃汉堡，还有人提议中餐。
每个人都在表达自己的想法，你得把这些意见整合在一起。
这就是主析取范式的味道。
它把不同的逻辑表达式用“或者”连接起来，形成一个大的表达式。
简单来说，就是“要么…要么…”的那种感觉。
就像我们平时说的“你要是去超市，就顺便帮我买点牛奶。
”这里的“要么”就是一个选项，让我们感觉选择的乐趣满满。
再看看主合取范式。
这个听起来就像个正式的聚会，但实际上，它和主析取范式有点像过年的团圆饭，大家一起吃个团圆。
主合取范式是把各种条件用“而且”连接起来，形成一个综合的表达式。
比如，你想去爬山，得有天气好、朋友愿意去、车子开得了，这样才能顺利出发。
“如果天气好，而且朋友愿意去，而且车子也没问题，那我们就去爬山！”这就是主合取范式的魅力所在。
它把多个条件紧紧相连，就像一个不可分割的整体，让人觉得踏实。
咱们说说这两者的区别。
主析取范式就像是在众多选择中找到你最喜欢的，简简单单的“或”就能让你感到满足。
而主合取范式呢，就像在拼图一样，每一块都得恰如其分地嵌进去，缺一不可。
这就让人觉得，逻辑的世界真是千变万化，特别有趣。
就像生活中的各种选择，有时候你要在“吃披萨”或者“吃汉堡”中做决定，但有时候却需要“天气好而且朋友有空而且车能开”这种条件，才敢下定决心。
说到这里，很多人可能会觉得，这些范式好像没什么太大用处。
它们就像数学中的调味料，能让复杂的逻辑问题变得清晰。
通过主析取范式和主合取范式，我们能把复杂的逻辑表达式化繁为简，抓住问题的核心。
试想一下，生活中遇到的各种选择和条件，常常让人头大。
用这些范式整理思路，真的是帮了大忙。
就像做菜时，调料一加，味道立马提升。
更有趣的是，这两个范式还可以互相转换。
析取范式与合取范式
析取范式与合取范式析取范式与合取范式合同协议书合同基本信息合同名称：析取范式与合取范式合同协议书合同编号：____________________________签署日期：____________________________合同生效日期：____________________________合同标的：析取范式与合取范式应用及其相关服务合同方信息合同方甲（服务提供方）：名称：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________合同方乙（服务接受方）：姓名：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________服务内容服务项目1：析取范式的理论讲解与应用服务项目2：合取范式的理论讲解与应用服务项目3：相关案例分析与实际应用服务项目4：提供相关资料及文献支持服务标准服务标准1：服务内容应涵盖析取范式与合取范式的基本概念、计算方法及应用实例。
服务标准2：提供的材料应为最新的研究成果及学术资料，确保准确性与前瞻性。
服务标准3：服务应包括理论讲解、问题解答及案例分析，确保服务效果。
服务时间与地点服务开始日期：____________________________服务结束日期：____________________________服务地点：____________________________服务时间安排：____________________________费用及支付方式服务费用总额：____________________________费用明细：明细1：____________________________明细2：____________________________支付方式：____________________________支付时间安排：____________________________第一次支付：____________________________第二次支付：____________________________双方责任合同方甲（服务提供方）负责按合同约定提供服务，确保服务质量，并在规定时间内完成服务内容。
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简单合取式：由有限个命题变项及其否定通过合取联结词形式构成的合取式 注：1. 只由命题变项及否定形式构成 2. 形式结构 3. 一个命题变项否定形式也称简单合取式
4. 可以重复
析取范式：由有限个简单合取式构成的析取式
注：1. 有限个
2. 形式结构
3.简单析取式也可称作析取范式，也可称作合取范式 合取范式：由有限个简单析取式构成的合取式
析取范式与合取范式
简单析取式：由有限个命题变项及其否定通过析取联结词构成的析取式
注：1. 只由命题变项及否定形式构成
2. 形式结构
3. 一个命题变项否定形式也称简单析取式
4. 可以重复
定理：1. 一个简单析取式永真当且仅当它同时含有某个命题变项及否定形式
2. 一个简单合取式永假当且仅当它同时含有某个命题变项及否定形式i源自 MiM i mi
主析取范式：
主合取范式：
主范式存在唯一定理：任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和 主合取范式，并且唯一。 证明：存在性：重就消，缺就补 唯一性：
例2. 求公式( p q ) r的主析取范式和主合取 范式
例3. 判断下面公式的类型 (1) ( p q ) q (2) p ( p q ) (3) ( p q ) r 例4.判断下面公式是否等值 (1) p与( p q ) ( p q ) (2) ( p q ) r与（p q ) r
A B ( A B ) ( A B ) (2) 范式中不会出现形如： A, ( A B), ( A B), ( A B)的形式 （3） 在析取范式中不会出现 A ( B C )的形式 在合取范式中不会出现 A ( B C )的形式
例 1. 求公式( p q) r的析取范式和合取范式
解决实际问题：
例5. 某科研所要从三名科研骨干A、B、C中挑选1—2人出国进修，
由于工作需要，选派时要满足下面条件： （1）若A去，则C同去； （2）若B去，则C不能同去； （3）若C不去，则A或B可以去。 问该如何派人？
例6.某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人 出国留学，选派时应满足下面条件： （1）若赵去，则钱也去； （2）李、周两人中必有一人去； （3）钱、孙两人中去且仅去一人；
极小项：在含有n个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项和 它的否定形式不同时出现，而二者之一必须出现仅出现一 次，且第i个命题变项或它的否定出现在从左算起的第i位
上，（若命题变项无下标，则按字典顺序，称这样的简单
合取式为极小项。
例2. 请写出一个、二个、三个变量的极小项
极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项和
注：1. 有限个 2. 形式结构 3.简单合取式也可称作合取范式，也可称作析取范式
4.析取范式、合取范式统称为范式
定理：1. 一个析取范式是永假式当且仅当它的每一个简单合取式为永假式
2. 一个合取范式是永真式当且仅当它的每一个简单析取式为永真式 范式存在定理：(1) A B A B, A B (A B) ( A B)
（4）孙、李两人同去或同不去；
（5）若周去，则赵、钱同去
用等值演算分析该公司该如何派他们出国？
例7.如果A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就犯有谋杀罪。
A曾到过受害者房间。如果A在11点前离开，看门人会看见他。
看门人没看见他。所以，A犯有谋杀罪
它的否定形式不同时出现，而二者之一必须出现仅出现一
次，且第i个命题变项或它的否定出现在从左算起的第i位
上，（若命题变项无下标，则按字典顺序，称这样的简单 析取式为极大项。 例2. 请写出一个、二个、三个变量的极大项
问题：n个命题变项可以产生多少个极小项、极大项？
极小项、极大项的记法及相互关系：m