线面垂直的证明及应用(含答案)
如何证明线面垂直的判定定理
如何证明线面垂直的判定定理在几何学中，线面垂直的判定定理是一条重要的定理，它用于判断一条直线和一个平面是否垂直。
本文将介绍如何证明线面垂直的判定定理，并详细解释其原理和应用。
我们来看一下线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面相交，且这条直线上存在一点到该平面上的所有点的距离都相等，那么这条直线与该平面垂直。
为了证明线面垂直的判定定理，我们需要引入一些几何学中的基本概念和定理。
我们需要了解点、直线和平面的定义。
在几何学中，点是没有长度、宽度和高度的，它只有位置。
直线是由无数个点组成的，它没有宽度和高度，只有长度。
平面是由无数个点和直线组成的，它没有厚度，只有长度和宽度。
我们需要了解距离的定义。
在几何学中，距离是两个点之间的长度。
对于一条直线和一个平面，我们可以根据点到直线或点到平面的距离来判断是否垂直。
接下来，我们来证明线面垂直的判定定理。
假设有一条直线l和一个平面P，我们需要证明l与P垂直。
我们任取直线l上的一点A和平面P上的一点B。
然后，我们在平面P上任取一个点C，使得AC与直线l重合。
根据线面垂直的定义，我们需要证明AB与平面P上的所有点的距离都相等。
为了证明这一点，我们可以假设AB与平面P上的另一点D的距离不相等，即AD ≠ BD。
根据三角不等式，我们知道AD + DB > AB。
但根据直线l上的点到平面P上的点的距离相等的条件，AD = BD，所以AD + DB = 2AD = AB。
由于AD ≠ BD，所以AD + DB ≠ AB，与三角不等式矛盾。
因此，假设不成立，即AB与平面P上的所有点的距离都相等。
我们可以得出结论：一条直线与一个平面垂直的条件是，这条直线上存在一点到该平面上的所有点的距离都相等。
线面垂直的判定定理在几何学中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要判断墙面与地面是否垂直，以确保建筑物的结构稳定。
在机械制造中，我们需要判断轴与底座是否垂直，以确保设备的正常运转。
线面垂直判定(解答题)
线面垂直练习1 如图1，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，AD ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，F 是AB 中点， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．6. 空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BDD7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DAC证明：连结ACBD AC ⊥AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面8. 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN AB ⊥C. 证：取PD 中点E ，则EN DC //12C⇒ENAM// ∴AE MN//又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭ ⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB////9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
线面平行与垂直的判定与性质(含答案)
一.1. 平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥2. 设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 （ ） A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥ B.若a ∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥ C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥3. 若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面三.典型例题例 1 如图，在四棱锥O-ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, OA=2,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线//MN OCD 平面；NBDBCAS例2.如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点 (I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；(II) 求证：BE//平面PAD ．1. .四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC = ∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥； ．A B C D EP2. 正方体1111ABCD A B C D -中O 为正方形ABCD 的中心，M 为1BB 的中点，求证： （1）111//D O A BC 平面 （2）1MAC D O ⊥平面参考答案基础练习1.D 2.D 3.B 典型例题例题1. （1）证明：取OB 中点E ，连接ME ，NEME CD ME CD ∴ ，‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖（2）CD ‖AB, MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP,42ADP π∠=∵∴DP =MD ==，1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π例题2 （1）由PA ⊥平面ABCD⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥AAD PA CD PA ）AD （CD 已知⇒⎭⎬⎫⊂⊥PAD CD PAD CD 面面⇒平面PDC ⊥平面PAD ；（2）取PD 中点为F ，连结EF 、AF ，由E 为PC 中点， 得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD ，CD=2EF ． 又CD=2AB ，则EF=AB ．由AB//CD ，则EF ∥AB ． 所以四边形ABEF 为平行四边形，则EF//AF ．由AF ⊂面PAD ，则EF//面PAD ．巩固练习1.（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故A O B △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =，AO =，得1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB ==．连结DB，得D A B △的面积21sin13522S AB AD =∙= ,设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=， 得121133h S SO S ∙=∙，解得h =．设SD 与平面SAB 所成角为α，则s i n 11h SD α===．A B CDEP F2 证明: (1)连结11,BD B D 分别交11,AC AC 于1,O O 在正方体1111ABCD A B C D -中,对角面11BB D D为矩形1,O O 分别是11,BD B D 的中点11//BO D O ∴∴四边形11BO D O 为平行四边形11//BO D O ∴1D O ⊄平面11A BC ,1BO ⊂平面11A BC 1//D O ∴平面11A BC（2）连结MO ,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,在正方体1111ABCD A B C D -中,对角面11BB D D为矩形且1,BB a BD ==,O M 分别是1,BD BB 的中点,22a BM BO OD a∴===1B M B O O D D D ∴= 1O D D Rt MBO Rt ∆≅∆ 1B O M D D O ∴∠=∠在1ODD Rt ∆中，1190DD O D OD ∠+∠= 190BOM D OD ∴∠+∠=，即1D O M O⊥在正方体1111ABCD A B C D -中1DD ⊥ 平面ABCD1D D A C∴⊥又AC BD ⊥ ，1DD BD D= AC ∴⊥平面11BB D D1D O ⊂平面11BB D D1A C D O∴⊥又AC MO O = 1D O ∴⊥平面MAC。
2021高中数学线线,线面,面面垂直的证明(含解析)
线线，线面，面面垂直的证明一、线面垂直（共9题；共85分）1.（2021高一下·岑溪期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面；2.（2021高一下·和平期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（2）若，求证：．3.（2021高一下·宁波期末）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；4.（2021高一下·怀化期末）如图，在正方体中.（1）求证：面；5.（2021高一下·绍兴期末）如图，四棱台的底面是矩形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；6.（2021高二下·二道期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；7.（2021高一下·长春期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.8.（2021高一下·河北期末）如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．9.（2021高一下·天津期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（2）求证：直线平面二、线线垂直（共7题；共70分）10.（2021高一下·海南期末）如图所示，三棱柱中，，，，．（1）证明：；11.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1）证明：BF⊥DE；12.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．（2）已知为棱上的点，证明：．13.（2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD：14.（2021高一下·广东期末）如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（2）求证：.15.（2021高二下·湖北期末）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；16.（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；三、面面垂直（共9题；共105分）17.（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；18.（2021高一下·滨海新期末）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点.（2）求证：平面平面；19.（2021高一下·和平期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（2）求证：平面平面；20.（2021高一下·龙岩期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，为底面圆周上异于的点，为的中点．（1）求证：平面平面21.（2021高一下·东丽期末）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（2）求证：平面平面．22.（2021高一下·湖北期末）如图，在三棱台中，上底面为等腰直角三角形，，，，在上，.（1）证明：平面平面；23.（2021高一下·重庆期末）如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；24.（2021高一下·河北期末）如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．25.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；线线，线面，面面垂直的证明参考答案一、线面垂直（共9题；共85分）1.（2021高一下·岑溪期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面；【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，AC⊥平面PBD2.（2021高一下·和平期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（2）若，求证：．（2）∵侧面是菱形∴∵，，平面，平面∴平面∵平面∴．3.（2021高一下·宁波期末）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；【答案】解：（Ⅰ）若选①证明：∵平面，平面，∴，又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．若选② 为中点证明：∵平面，平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又为等腰直角三角形斜边中点，则，，∴平面．4.（2021高一下·怀化期末）如图，在正方体中.（1）求证：面；【答案】（1）证明：因为为正方体，所以ABCD为正方形,所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面，所以平面．5.（2021高一下·绍兴期末）如图，四棱台的底面是矩形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；【答案】解：（Ⅰ）证明：因为底面是矩形，所以，又，，所以平面，又因为，所以平面．6.（2021高二下·二道期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；【答案】（1）在正方形ABCD中，，又侧面底面ABCD，侧面底面，所以平面PAD，平面PAD，所以，是正三角形，M是PD的中点，所以，又，所以平面PCD.7.（2021高一下·长春期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC⊥面PAC；【答案】（1）证明见解析PA垂直于所在的平面PA⊥BCAB是的直径AC⊥BCBC⊥面PAC8.（2021高一下·河北期末）如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．【答案】（1）证明：如图，连接，记，连接PO，由题意可得四边形ABCD是正方形，，则O为AC的中点，且，因为，所以，因为平面，面，且，所以平面，因为，所以，则平面PAC；9.（2021高一下·天津期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（2）求证：直线平面【答案】（2）因为四边形是菱形，所以又因为平面平面所以又因为所以平面二、线线垂直（共7题；共70分）10.（2021高一下·海南期末）如图所示，三棱柱中，，，，．（1）证明：；【答案】（1）∵，，．∴，∴．∵，，∴．又∵，平面，∴平面．∵平面，∴．11.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1）证明：BF⊥DE；【答案】法一法2（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．所以，．由题设（）．因为，所以，所以．12.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．（2）已知为棱上的点，证明：．（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而.13.（2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD：【答案】（1），为中点，，面，面面且面面，面，．14.（2021高一下·广东期末）如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（2）求证：.【答案】（2）证明：∵，∴，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.15.（2021高二下·湖北期末）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；【答案】（1）证明：∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，又平面．∴．16.（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；【答案】（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以三、面面垂直（共9题；共105分）17.（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；【答案】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.18.（2021高一下·滨海新期末）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点.（2）求证：平面平面；【答案】（2）∵，是的中点，∴，∵三棱柱中，平面，∴平面∵AD 平面，∴，又､BC是平面内的两条相交直线∴平面∵AD 平面∴平面平面19.（2021高一下·和平期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（2）求证：平面平面；【答案】（2）因为平面平面，平面平面，,所以平面，因为平面，所以,又, 平面,所以平面,又平面，所以,又,所以,又平面,所以平面,又平面,所以平面平面；20.（2021高一下·龙岩期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，为底面圆周上异于的点，为的中点．（1）求证：平面平面【答案】（1）由圆锥的性质可知，底面圆∵在底面圆上，∴，∵在圆上，为直径，∴，又点分别为的中点，∴∴又，且平面，∴平面，又平面，∴平面平面．21.（2021高一下·东丽期末）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（2）求证：平面平面．【答案】（2）∵面，面，∴．又，，∴，面，∴面．又面，∴面面．22.（2021高一下·湖北期末）如图，在三棱台中，上底面为等腰直角三角形，，，，在上，.（1）证明：平面平面；【答案】（1）因为三棱台中，因为，所以，由，所以，所以，又由，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.23.（2021高一下·重庆期末）如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；【答案】（1）在中，因为，，，由余弦定理得，所以，所以，所以如图所示：作于点，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，又由，所以平面.所以平面平面BCD；24.（2021高一下·河北期末）如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．【答案】（1）证明：因为，所以，，在三棱柱中，，所以，又因为，所以平面ABC，又因为平面，所以平面平面ABC；25.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；【答案】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．。
线面垂直及应用(习题及答案)
6
【参考答案】
1. B 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A 7. A 8. 证明略． 9. （1）证明略；
易得 AC1=BC1=
2 ， S△ABC
3， 4
在△ABC1 中，AC1=BC1= 2 ，AB=1，
∴ S△ABC1
7， 4
∵VCABC1 VC1ABC ，设点 C 到平面 ABC1 的距离为 d，
则 1 7 d 1 3 1 ，解得 d 21 ．
34
34
7
例 2：如图，∠BAC 在平面α内，点 P 在α外，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥α，垂足分别为 E，F，O，且 PE=PF，求证：∠BAO=∠CAO．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
6. 如图，PA⊥矩形 ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
7. 如图，下列四个正方体中，l 是正方体的一条对角线，M，N， P 分别为其所在棱的中点，能得出直线 l⊥平面 MNP 的图形 是（ ）
① A．①④
线面垂直及应用（习题）
例题示范
例 1：如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=1，则点 C 到 平面 ABC1 的距离为（ ）
A． 42 6
B． 3 3
C． 21 7
D． 2 3 7
思路分析： 思路一：观察特征，考虑采用构造垂面法，取 AB 的中点 E ，易 证平面 C1CE⊥平面 ABC1，过点 C 作 CF⊥C1E，则 CF 的长即为 所求距离，接着在直角三角形中研究边角关系，求解． 思路二：采用等体积法，VCABC1 VC1ABC ，建立等式，求解．
线面垂直、面面垂直
线面垂直、面面垂直及其证明一 线面垂直的判定定理（1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.（2（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. （4）线面垂直的证明例1例2例3SDD 1ODBA C 1B 1A 1C例4在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD .练习1 在正方体1111ABCD A BC D -中. （1）求证：AC ⊥平面11B D BD .（2）求证：1BD ⊥平面1ACB .练习2在三棱锥A BCD -中，BC AC =，AD BD =，作BE CD ⊥，E 为垂足，作AH BE ⊥于H .求证：AH ⊥平面BCD .在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ︒∠=，PA AB BC ==，E 是PC 的中点.（1）求证：CD AE ⊥. （2）求证：PD ⊥面ABE .二 面面垂直（1条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为l ，两个面分别为，,αβ二面角记作为l αβ--.（2）二面角的平面角定义：在二面角l αβ--棱l 上取一点O ，在半平面α和β内，从点O 分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，射线组成AOB ∠.则AOB ∠叫做二面角的平面角.二面角的取值范围为[0,180]︒︒.（3）面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直.（4）面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直. （5）面面垂直的正面即：面面垂直→线面垂直→线线垂直. 例1如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . .例2如图，直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，90ACB ︒∠=121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，求证：平面1BDC 平面BDC ．AC B1B 1A D1C练习 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段,,SA SB SC ，且60ASB ASC ︒∠=∠=，90BSC ︒∠=，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．三 立体几何高考证明例1（2013江苏）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：（1）平面平面； （2）．例2（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2） 直线1//A F 平面ADE ．ABC S -⊥SAB SBC BC AB ⊥AB AS =A SB AF ⊥F G E ，SC SA ，//EFG ABC SA BC ⊥ABCSGFE例3如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四四边形，60DAB ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥（2）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高.练习1如图，几何体E ABCD -是四棱锥，ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .练习2（2011天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M为PD 的中点．(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面；MP(Ⅱ)(Ⅲ)。
线面垂直的判定定理及其证明
线面垂直的判定定理及其证明
点线面垂直的判定定理是指：给定任意一点O和一平面Π，从这点出发经过
某一条线段与Π相交于点A和B，若OA、OB都平行于Π，则该线段垂直于Π。
这一定理在几何中用来判别点线面是否垂直，其证明方法较为复杂。
根据公理，可以假定OOA和OOB（由点O到点A和点B的线段）共面，此时在γ上有OC=OA，当另外两角α、β平行时，且α+β=Π/2，即Π=2α=2β，则γ垂直于Π。
即
可证明点线面垂直的判定定理是正确的。
点线面垂直的判定定理在数学、物理和机械等诸多学科中均有应用，其特殊性
决定了其不可忽视的重要地位。
例如，在数学中，可以使用这一定理验证连续抛物线是否符合点到点垂直的规律；在机械上，可以使用此定理来判断两条铰链线是否处于正确的垂直位置。
通过以上实例可以看出，点线面垂直的判定定理有着极为广泛的应用，合理
的证明助力于理解和掌握它的实用价值，因此，理解和掌握这种定理对于深入研究相关学科至关重要。
线面垂直判定(解答题)
1如图1，在正方体1111ABCD A B C D-中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1A O⊥平面MBD．2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，AD⊥PC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．3 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB SC SD，，于E F G，，．求证：AE SB⊥，AG SD⊥．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，F是AB中点，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BDADB OC7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DAC证明：连结ACBD AC ⊥AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面8. 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN AB ⊥C. 证：取PD 中点E ，则EN DC //12C⇒EN AM //∴AE MN //又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB ////9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E ⊥平面A'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC∴A'E ⊥FG∴A'E ⊥BC设A'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得：A'D 2=A'E 2+ED 2-2•A'E •EDcos60°=3a2∴ED 2=A'D 2+A'E 2∴A'D ⊥A'E∴A'E ⊥平面A'BC10如图, 在空间四边形SABC 中, SA 平面ABC , ABC = 90, AN SB 于N , AM SC 于M 。
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线面垂直的证明及应用
一、单选题(共10道，每道10分)
1.若为平面，为直线，则下列选项中能得到的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
2.如图，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，则图中一定与AC垂直的直线共有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
3.如图，在三棱柱中，底面是正三角形，且侧棱，若E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质
4.在长方体中，已知AB=BC=1，，E是侧棱的中点，则直线AE与平面所成角的大小为( )
A.60°
B.90°
C.45°
D.以上都不正确
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质
5.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，且SD⊥底面ABCD，则下列结论不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.AC⊥平面SBD
D.AB与SC所成的角等于CD与SA所成的角
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质
6.如图，在正方体中，O是底面ABCD的中心，，H为垂足，则与平面的位置关系是( )
A.垂直
B.平行
C.斜交
D.以上都不对
答案：A
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
7.如图，在等边三角形ABC中，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点，现将△ACD 沿CD折起，使平面ACD⊥平面BCD，则下列结论中不正确的是( )
A.AB∥平面DEF
B.CD⊥平面ABD
C.EF⊥平面ACD
D.
答案：C
试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的性质
8.如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，且SA=SB=SC=15，若D，E，F，H分别是AB，BC，SC，SA的中点，则四边形DEFH的面积为( )
A. B.
C.45
D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质
9.如图，E，F分别是正方体的棱AB，的中点，若M，N分别是线段
上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有( )
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
10.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC．其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质。