九年级数学四点共圆例题讲解

九年级数学四点共圆例题讲解

知识点、重点、难点

四点共圆就是圆得基本内容，它广泛应用于解与圆有关得问题．与圆有关得问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来就是数学竞赛得热点内容。

在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆得有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此，掌握四点共圆得方法很重要。

判定四点共圆最基本得方法就是圆得定义：如果A、B、C、D四个点到定点O得距离相等，即OA＝OB＝OC ＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．

由此，我们立即可以得出

1、如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形得四个顶点共圆。

将上述判定推广到一般情况，得：

2、如果四边形得对角互补，那么这个四边形得四个顶点共圆。

3、如果四边形得外角等于它得内对角，那么这个四边形得四个顶点共圆。

4、如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等得顶角，那么这两个三角形得四个顶点共圆。

运用这些判定四点共圆得方法，立即可以推出：

正方形、矩形、等腰梯形得四个顶点共圆。

其实，在与圆有关得定理中，一些定理得逆定理也就是成立得，它们为我们提供了另一些证明四点共圆得方法．这就就是：

1、相交弦定理得逆定理：若两线段AB与CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。

2．割线定理得逆定理：若相交于点P得两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、

C、D四点共圆。

3、托勒密定理得逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA=

AC·BD，则ABCD就是圆内接四边形。

另外，证多点共圆往往就是以四点共圆为基础实现得一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际就是同一个圆。

例题精讲

例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F 四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。

证明连PD、PE、PF．由于P、D、C、F四点共圆，所以∠BDP =

∠PEC．又由于A、E、P、F四点共圆，所以∠PEC =∠AFP．于就是∠BDP=

∠AFP，故B、D、P、F四点共圆。

例2：设凸四边形ABCD得对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA得对称点共圆。

为1

2

，此变换把E关于AB、BC、

证明以E为相似中心作相似变换，相似比

CD、DA得对称点变为E在AB、BC、CD、DA上得射影P、Q、R、S（如图）、只需证明PQRS就是圆内接四边形。

由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS都就是圆内接四边形（每个四边形都有一组对角为直角），由E、P、B、Q共圆有∠EPQ =

∠EBQ、由E、Q、C、R共圆有∠ERQ=∠ECQ，于就是∠EPQ＋∠ERQ = ∠EBQ＋∠ECQ=90°、同理可得∠EPS ＋∠ERS =90°、从而有∠SPQ＋∠QRS =180°，故PQRS就是圆内接四边形。

例3：梯形ABCD得两条对角线相交于点K，分别以梯形得两腰为直径各作一圆，点K位于这两个圆之外，证明：由点K向这两个圆所作得切线长度相等。

证明如图，设梯形ABCD得两腰为AB与CD，并设AC、BD与相应二圆得第二个交点分别为M、N、由于∠AMB、∠CND就是半圆上得圆周角，所以∠AM B=∠CND = 90°．从而∠BMC =∠BNC=90°，故B、M、N、C四点共圆，因此∠MNK=∠ACB．又∠ACB =∠KAD，所以∠MNK =∠KAD、于就是M、N、D、A四点共圆，因此KM·KA = KN·KD、由切割线定理得K向两已知圆所引得切线相等。

例4：如图，A、B为半圆O上得任意两点，AC、BD垂直于直径EF，BH⊥OA，求证：DH=AC、证法一在BD上取一点A'，使A'D = AC，则ACDA'就是矩形。连结A'H、AB、OB、由于BD⊥EF、BH⊥OA，所以∠BDO =∠B HO=90°、于就是D、B，

H、O四点共圆，所以∠HOB =∠HDB、由于∠AHB =∠AA'B = 90°，所以A、H、A'、B四点共圆。故∠DA'H=∠OAB，因此∠DHA'=∠OBA、而OA = OB，所以∠OBA=∠OAB，于就是∠DHA'=∠D A'H、所以DH=DA'，故DH =

AC 、

证法二 设圆O'为点D 、B 、H 、O 四点所共得圆，过H 作HG ⊥DH ，与圆O'交于G(如图)，则∠AOC =∠HBD =∠DGH ，GD

= OB = OA 、

因此Rt △OAC ≌Rt △GDH ，故DH = AC 、

证法三 因为D 、B 、H 、O 四点共圆，且直径为OB ．而Rt △AOC 得斜边为OA ，利

用正弦定义及正弦定理，得,.sin sin AC DH

OA OB AOC DBH

=

=∠∠由于OA =OB ，∠AOC =∠DB H ，所以DH = AC 、

例5：如图，已知锐角三角形ABC ，以AB 为直径得圆与AB 边得高线CC'及其延长线交于M 、N ，以AC 为直径得

圆与AC 边得高线BB'及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆。

证明 设BC 上得高为AA'，△ABC 得垂心为H ，则A'在以AB 为直径得圆上，从而AH ×HA'=MH ×HN 、同理AH ×HA'=PH ×HQ 、于就是MH ×HN = P H ×HQ ，故M 、N 、P 、Q 四点共圆。

=AC'·AB ，AP 2

= AB'·AC 、又△ABB'

说明 另证：在Rt △ABM 与Rt △ACP 中，AM'

∽△ACC'，有AC'·AB =AB'·AC ．于就是AM 2

= AP 2

，即AM =AP ．但M 、N 关于AB 对称，P 、Q 关于AC 对称，故AM =AN ，AP=AQ 、因此M 、N 、P 、Q 在以A 为圆心得圆上。

也可由MH ×HN =BH ×HB'=CH ×HC'=PH ×HQ 推出M 、N 、P 、Q 四点共圆。

例6：如图，ABCD 就是圆内接四边形，AD 、BC 得延长线交于P ，△PAB 与△PCD 得外心、垂心分别就是1O 、2O 与1H 、2H ，求证：1O 、2O 、1H 、2H 四点共圆。

证明 因为1H 就是△PAB 得垂心，所以1H PB ∠＋∠ABP = 90°、又因为2O 就是

21

2

O PC CDP ∠+∠=90°、而

△

PCD

得

外

心，

所以21

2

CDP CO P

∠=∠，所

以

2O PC CDP ∠+∠ =90°、因为A 、B 、C 、

D 四点共圆，所以∠CDP =∠ABP ，所以12H PB O PC ∠+∠，所以2H 、1O 、P 三点共线．同理可证2H 、2O 、P 三点共线。显然△PAB ≌△PCD ，因此

11

22

PH PO PH PO =，即1221PH PO PH PO =g g ，故1O 、2O 、1H 、2H 四点共圆。 例7：两个等圆彼此相交，从它们得对称中心引出两条射线交圆周于不在同一条直线上得四个点，试证：这四个点必在同一个圆周上。

射线为11A B 、22A B ，1A 、2A 位于第一个 证明 如图，设过两圆得对称中心O 得二条圆周上，而1B 、2B 位于第二个圆周上。 设点3A 、3B 与4B 分别就是点2B 、1A 与

2A 关于点O 得对称点，根据相交弦定理有3B O ·1OB =2B O ·4OB 、因为3B O =1OA ，

4OB =2OA ，从而1OA ·1OB =2OB ·2OA ，

故1A 、1B 、2A 、2B 四点必在同一个圆周上。

例8：如图，AB 为定⊙O 中得定弦，作⊙O 得弦11C D 、22C D 、…、

20002000C D ，对其中每一i （i ＝1，2，…，2000）i i C D 都被弦AB 平分于i M 点，过i i C D 、分别作⊙O 得切线，两

切线交于i P ，求证：

122000P P P L 、、

、必在同一个圆周上，并指出圆心就是什么点。

证明 连结i OC 、i OD ．对每一个i （i = 1，2，…，2000），因为i i C D 均被AB 平分

于i M ，所以i i i i i i C M M D AM M B =g g 、又

i i PC 、i i PD 分别切⊙O 于i i C D 、，

故知i i i O C P D 、、、四点共圆，且i OP 通过i i C D 得

中

点

i

M ，所以

i i i i i i C M M D PM M O

=g g ，

所

以

i i i i i AM M B PM M O =g g

、故A 、O 、B 、