2019-2020学年新人教A版必修一 4.4.3 不同函数增长的差异 课件(46张)
类型三 不同函数模型的实际应用 角度1 增长曲线的选择 【典例】高为H,满缸水量为M的鱼缸的轴截面如图所示, 其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深 为h时水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象是
()
【思维·引】根据鱼缸的形状,判断h变化时水的体积V 变化的快慢,选择变化曲线.
【解析】选B.当h=H时,体积是M,故排除A,C.h由H到0变
来越慢.
(2)√.一次函数的图象是直线,因此其增长速度不变.
(3)×.如23<32.
2.某种商品进价为4元/件,当日均零售价为6元/件时, 日均销售100件,当单价每增加1元时,日均销售量减少 10件,试计算该商品在销售过程中,若每天固定成本为 20元,则预计单价为多少时,日利润最大 ( ) A.8元/件 B.10元/件 C.12元/件 D.14元/件
4.4.3 不同函数增长的差异
三种函数的性质及增长速度比较
解析式 单调性 图象(随x 的增大)
指数函数 对数函数 一元一次函数
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0,+∞)上单调递增
逐渐与y轴 平行
逐渐与x轴平 行
直线逐渐上升
指数函数 对数函数 一元一次函数
增长速度 (随x的增 大)
【解析】选B.由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口,因 为圆柱中液面上升的速度是一个常量,即漏斗中液体漏 出的速度是一定的,因此H增长的速度越来越大.
2.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭 氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q= Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量. (1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?
y的增长速 y的增长速度 度越来越快 越来越慢
y值逐渐增加
增长关系
存在一个x0,当x>x0时,ax>kx>logax
【思考】 存在一个x0,当x>x0时,为什么ax>xn>logax(a>1,n>0)一 定成立? 提示:当a>1,n>0时,由y=ax,y=xn,y=logax的增长速度, 存在x0,当x>x0时,三个函数的图象由上到下依次为指 数,幂,对数,故一定有ax>xn>logax.
A.甲比乙先出发 C.甲、乙两人的速度相同
B.乙比甲跑的路程多 D.甲先到达终点
【解析】选D.根据图象可以看出,甲、乙两人同一时间 从同一地点出发,两人路程一样,显然甲所用时间短,所 以甲先到达终点.
类型一 几种函数模型增长的差异
【典例】1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是
A.y= 1 ex
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数 log1x 的衰减速度越来越慢. ( )
3
(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. ( )
(3)若a>1,n>0,对于任意x0∈R,一定有
a x0
x
n 0
.
(
)
提示:(1)√.由函数y= log1x 的图象可知其衰减速度越
3
100
C.y=100x
B.y=100ln x D.y=100·2x
()
2.下表是某次测量中两个变量x,y的一组数据,若将y表 示为关于x的函数,则最可能的函数模型是 ( )
x2 3 4 5 6 7 8 9 y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99
A.一次函数模型 C.指数函数模型
2.函数模型的实际应用 指数、对数函数模型在实际问题中有广泛应用,可根据 增长得快慢特征选择、建立函数模型,再利用指数、对 数运算解决问题,已经给出函数模型的,则直接代入相 应的数据计算解决.
【习练·破】 1.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中, 开始时,漏斗盛满液体,经过3分钟漏完.已知圆柱中液 面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落 的高度,则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只 可能是 ( )
B.二次函数模型 D.对数函数模型
【思维·引】1.根据不同函数增长速度的特点判断. 2.利用函数值y随x的增大的变化特点判断.
【解析】1.选A.指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长, 并且随a值的增大,增长速度越快. 2.选D.观察图表中函数值y随自变量x变化规律,随着自 变量x增加,函数值也在增加,但是增加的幅度越来越小, 所以它最可能的函数模型为对数函数.
【类题·通】 常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特 点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点 是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即 增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长 特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢, 即增长速度平缓. (4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数 增长和对数增长之间.
m
是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12千 米/秒.世纪金榜导学号
【思维·引】把最大速度代入函数关系式,利用对数运
算解题.
【解析】当v=12 000时,2 000×ln（1＋M ）=12 000,所
m
以ln（1＋M ）=6,所以 M =e6-1.
m
m
答案:e6-1
【类题·通】 1.函数增长快慢对函数曲线的影响 随着自变量的增大,如果函数值增长越来越快,则函数 的图象越“陡”,类似于指数函数的图象;如果函数值 增长越来越慢,则函数的图象越“缓”,类似于对数函 数的图象.
【解析】选B.设单价为(6+x)元,日均销售量为(10010x)件, 则日利润y=(6+x-4)(100-10x)-20 =-10x2+80x+180 =-10(x-4)2+340(0<x<10), 所以当x=4时,ymax=340, 即单价为10元/件时,日利润最大.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.甲、乙两人在一次赛跑中,路程y与时间x的函数关系 如图所示,则下列说法正确的是 ( )
【加练·固】
函数f(x)=1.1x,g(x)=ln
x+1,h(x)=
1
x2
的图象如图所
示,试分别指出各曲线对应的函数,并以1,a,b,c,d,e为
分界点比较三者的大小.
【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,
可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应
的函数是h(x)=
【习练·破】 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象,如图所示:
(1)试根据函数增长差异找出曲线C1,C2对应的函数. (2)以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比 较.
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函 数为f(x)=lg x. (2)当x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时, f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x).
【解析】选D.当h=H时,体积是M,故排除A,C.h由H到0变
化的过程中,h< H 时,V的变化速度越来越慢,当h> H
2
2
时,V的变化速度越来越快,综合分析可知选D.
角度2 函数模型的应用 【典例】在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v=2 000×ln（1＋M ）.当燃料质量
1
x2
,曲线C3对应的函数是g(x)=ln
x+1.
由图象可得:当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,
g(x)>f(x)>h(x);
当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时, h(x)>g(x)>f(x); 当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
【解析】(1)因为此函数是减函数,所以臭氧的含量减
少.
(2)令Q0e-0.002
5x=
Q0 , 即e-0.002
2
5x=
1,
2
-0.002 5t=ln 1 , 利用计算器解得t≈277.26,
2
所以278年后将会有一半的臭氧消失.
【习练·破】
已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设
其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)=x2,
f2(x)=
1
x2,
f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果运动时间足够
长,则运动在最前面的物体一定是 ( )
A.a
B.b
C.c
D.d
【解析】选D.根据四种函数的变化特点,指数函数是一 个变化最快的函数.当运动时间足够长时,最前面的物 体一定是按照指数函数运动的物体.
化的过程中,由于水缸中间粗,两头细,当h< H 时,V的
2
变化速度越来越快,当h> H 时,V的变化速度越来越慢,
2
综合分析可知选B.
【素养·探】 在增长曲线的选择过程中,常常用到核心素养中的直观 想象,根据变量增长得快慢,想象函数曲线的变化,从而 选择恰当的曲线描述实际问题. 本例中,若将鱼缸的形状变为如图的形状,则应选择哪 一个曲线?
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
比的值大多少，在一定范围内， 可能会大于，但由于 的增长最终
会慢于的增长，因此总会存在一个0，当 > 0 时，恒有 < .
类比上述过程，
(1)画出一次函数 = 2��，对数函数 = 和指数函数 = 2 的图象，并
比较它们的增长差异；
位移比乙大；
③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是 4 km/h；
④当甲、乙运动了 3 h 后，甲的位移比乙大 3 km，但乙在甲前方 2 km 处．
其中正确的说法是
(
)
A．③
B．①②③
C．①③④
D．②③④
解析：经图象分析③是对的，故①错；对于②，甲、乙运动的时间显
然都是 5 h，因为甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 4 km/h，所以开始
170061120
y3
5
30
55
80
105
130
155
其中关于x呈指数增长的变量是
y2
解析：以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，三个变量 y1，y2，y3，
y4 均是从 5 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度
最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化．故填 y2.
3.如图，对数函数y=lgx与一次函数y=f(x)的图象有A，B两个
公共点, 求一次函数的解析式。
简析：设一次函数f ( x ) kx b
由函数图象得 A(1, 0)， B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
新课引入
我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.4.3不同函数增长的差异 教案
4.4.3 不同函数增长的差异教学目标：利用信息技术，通过列表法和图象法，探究不同函数增长速度的各自特点及差异，并总结其中的规律．教学重点：一次函数、对数函数和指数函数各自增长的特点．教学难点：归纳总结出不同函数增长的差异．体会对比地研究多个函数的过程．教学过程：引导语：在4.2.1的例2的第（1）小问中，进一步研究了这一节的问题1，比较了A，B两地旅游收入的长期变化情况，A地为一次函数的增长，B地为指数函数的增长，两种增长方式存在很大的差异．那么该如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异？1．指数函数与一次函数的增长差异问题5：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞）上的增长差异．你能描述一下指数函数增长的特点吗？追问1：不妨以函数和y＝2x为例，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．通过观察图象，这两个函数的图象在位置上有什么关系？这说明了什么？师生活动：先由学生独立完成．然后展示，教师可以利用信息技术，予以补充完善。
对应表如表3所示，函数图象如图10所示．学生独立思考之后互相讨论，最后在教师的帮助下得出结果．从图象上，发现函数和y＝2x有两个交点（1，2），（2，4），并且这两个交点将区间[0，＋∞）分成了三段，两个函数的图象位置在这三段有所不同．这表明，虽然这两个函数在[0，＋∞）上都单调递增，但他们的增长速度不同，函数y＝2x的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化．练习6．如图12所示，（1）（2）（3）分别是函数y＝和y＝5x在不同范围的图象，借助计算工具估计出使＞5x的x的取值范围（精确到0.01）．解：通过计算，如表6所列数据．因此使＞5x的x的取值范围是[0，0.26]∪[2.18，＋∞]．设计意图：通过观察图象，并借助计算工具估计出使＞5x的x的取值范围，进一步体会指数函数与一次函数增长的特点和差异．2．对数函数与一次函数的增长差异问题6：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞）上的增长差异．你能描述一下对数函数增长的特点吗？追问1：类比问题5，你计划怎样研究这个问题？师生活动：学生通过类比规划研究方案：先取特殊的函数进行研究，然后归纳得到一般结论．追问2：既如此，不妨以函数y＝lgx和为例，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．师生活动：先由学生独立完成，然后教师利用信息技术予以补充完善．对应表如表7所示，函数图象如图13所示．追问3：通过观察图象，这两个函数的图象在位置上有什么关系？这说明了什么？师生活动：教师提出问题，学生讨论得出结果．从图象上，发现函数y＝lgx和虽然在[0，＋∞）上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异．随着x的增大，函数的图象离x轴越来越远，而函数y＝lgx的图象越来越平缓，就象与x轴平行一样．追问5：如果将lgx放大1000倍，再对函数y＝1000lgx和的增长情况进行比较，那么仍然有前面所述的规律吗？师生活动：有了前面的经验，教师引导学生进行定性分析．从图象和数据上都可以看出，随着x的增大，一次函数的增长速度保持不变，而对数函数的增长速度一直在减小．所以一定存在一个，当x＞时，y＝1000lgx的增长速度比的增长速度小，并且y ＝1000lgx的增长速度还会持续减小下去．追问6：通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？师生活动：有了对特定对数函数和一次函数的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充．通过对y＝lgx和的研究发现，虽然两个函数在区间[0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝lgx的增长速度越来越慢，与的增长速度相比几乎微不足道．设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与对数函数的增长差异．练习7．如图14，对数函数y＝lgx的图象与一次函数y＝f（x）的图象有A，B两个公共点．求一次函数y＝f（x）的解析式．解：根据对数函数的性质可知，y＝lgx过定点（1，0），即A（1，0）．又当x＝2时，对数函数y＝lg2，即B（2，lg2）．因此过A，B两点的直线方程为y＝lg2×（x－1），即一次函数y＝f（x）的解析式为y＝lg2×（x－1）．设计意图：通过观察图象，并根据对数函数与一次函数的性质，作定量计算，进一步体会对数函数与一次函数增长的特点和差异．3．同时比较一次函数、对数函数和指数函数问题7：在问题5和问题6中，分别研究了指数函数与一次函数、对数函数与一次函数的增长差异，如果将一次函数、对数函数和指数函数同时比较，你能得到什么结论？师生活动：教师提出问题，引导学生借助信息技术画出图象进行探索．函数图象如图15所示．追问2：一次函数y＝kx（k＞0），对数函数（a＞1）和指数函数（b ＞1）的增长有何差异？师生活动：有了前面的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充．一般地，无论k（k＞0）、a（a＞1）、b（b＞1）取何值，三种函数在区间（0，+∞）上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值．追问3：如何理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义？师生活动：“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”从字面意义理解，直观形象、顾名思义，可充分发挥学生的积极性展开讨论．教师个别提问讨论的结果，只要学生正确理解即可，没有特定的标准答案．设计意图：通过同时比较三种函数的增长差异，进一步认识一次函数、对数函数和指数函数的性质，体会它们之间增长的差异．解：根据函数图象，该函数应该呈对数增长．结合函数的性质，该函数过（1，0），符合对数函数的特点．注意到当函数值y ＝1时，x 的值大约在2到3之间，所以该对数函数的底数应该在2到3之间．因此y ＝f （x ）可能是y ＝lnx ，选C ．设计意图：通过列表法和图象法，进一步体会一次函数、对数函数和指数函数的增长差异．并应用这种差异，解决问题．4．课时小结教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答下面问题：（1）概述本节课研究一次函数、对数函数和指数函数增长的差异的基本过程．（2）掌握不同函数增长的差异，有什么现实意义？师生活动：提出问题后，先让学生思考并做适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．（1）本节课先从简单情况入手，先分别比较一次函数与指数函数、一次函数与对数函数，然后再将三个函数放在一起同时比较．在比较它们增长的差异时，先从特定情况研究，分别通过图象、数据分析计算它们增长的差异，然后再归纳出一般情况．（2）掌握了不同函数增长的差异，就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．设计意图：（1）在前面两个课时中，是针对一个函数的研究套路“背景－概念－图象与性质－应用”．本课时是同时研究多个函数的相关性，通过总结研究过程，使学生初步了解对比地研究多个相关对象的基本套路．（2）了解不同函数增长的差异的现实意义，可以使学生更好地掌握一次函数、对数函数和指数函数之间的联系，以及它们的差异，并能够学以致用，达到知识技能的灵活应用．5．布置作业根据课堂教学情况，从教科书习题4.4中选择合适的题目．可选题目：第6，11题．（六）目标检测设计设计意图：考查学生是否掌握一次函数、对数函数和指数函数增长的差异，并能够应用增长差异和增长趋势，解决相关问题．。
新教材人教A版高中数学必修第一册4.4.3不同函数增长的差异 教学课件
[解析] 画出函数的图象，如图所示，当 x∈(4，＋ ∞)时，指数函数的图象位于二次函数图象上方，二 次函数图象位于对数函数图象上方，故 g(x)＞f(x)＞ h(x)．
[答案] D
纠错心得 函数 y＝a·bx＋c(b＞1，a＞0)图象的增长特点是随着自变量 x 的增大，函 数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸，如本例中，当 x＞4 时，g(x)＞f(x).
答案：A
2．函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)可能是( )
A．y＝1－x－1，x∈(0，＋∞) B．y＝32－12x，x∈(0，＋∞) C．y＝ln x D．y＝x－1，x∈(0，＋∞)
答案：C
3．三个变量 y1，y2，y3 随变量 x 变化的数据如下表：
x 0 5 10 15
20
解析：(1)C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， C2 对应的函数为 f(x)＝lg x. (2)当 x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)； 当 x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
一、谁与争峰——增长函数的选取与拟合 [典例] 政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖 的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使 CO2 浓度增加．据测，1994 年， 1995 年，1996 年大气中的 CO2 浓度分别比 1993 年增加了 1 个可比单位，3 个可比单 位，6 个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年 CO2 浓度增加的可比单位数 y 与年份增加数 x 的关系，模拟函数可选用二次函数或函数 y＝a·bx＋c(其中 a，b，c 为 常数)，且又知 1998 年大气中的 CO2 浓度比 1989 年增加了 16 个可比单位，请问用以 上哪个函数作模拟函数较好？
数学人教A版(2019)必修第一册4.4.3不同函数增长的差异(共21张ppt)
x
2
点之后，恒有 2 x .
二.问题探究
一次函 数 y kx(k 0) 的增长 速度不变， y a x (a 1) 的增长 先慢后快，最 终
y a x (a 1) 的增长会远远超过 y kx(k 0) .
即总会存在一个 x 0 ，当 x x0 时，恒有 a x kx .
10
4
3
2
1
O
10 20 30 40 50 60
1
但随着 x 的增大， y lg x 的增长速度会越来越慢，并且远远慢于 y x 的增长
10
速度.
x
二.问题探究
问 题 4 ： 由 特 殊 到 一 般 ， 我 们 观 察 对 数 函 数 y log a x(a 1) 与 一 次 函 数
二.问题探究
2.从增长方式来看：
两者对比： y 2 x 的增长速度不变， y 2 x 的增长速度先慢后快.在一定范围内，
y 2 x 的增长速度高于 y 2 x ，但随着 x 的增大， y 2 x 的增长速度会越来越快，
并且远远大于 y 2 x 的增长速度.
二.问题探究
问题 2：由特殊到一般，我们观察指数函数 y a x (a 1) 与一次函数 y kx(k 0)
4.4.3 不同函数增长的差异
一.课题引入
指数函数 y a x (a 0且a 1) 与对数函数 y log a x(a 0且a 1) 互为反函数.
它们的图象关于 y x 对称.
在区间 (,0) 上指数函数值都大于 0，图象高于 y x 的图象
此时对数函数没有意义
6633
2
5
29
新人教A版高中数学必修一课件：4.4.3不同函数增长的差异
y＝kx(k＞0)
增函数
________
增函数
________
增函数
________
随x的增大
随x的增大逐
增长速度
逐渐变“陡”
渐趋于稳定
不变
指数爆炸
对数增长
直线上升
y＝kx(k>0)
y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过________的
logax<kx
增长速度；总存在一个x0，当x＞x0时，恒有________
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均
GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模
拟函数求出来，并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少．
方法归纳
不同函数模型的选取标准
巩固训练3 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个
激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( √ )
(2)对任意的x>0，kx>logax.( × )
(3)对任意的x>0，ax>logax.( × )
(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢
的函数模型是对数函数模型．( √ )
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的
人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数：①y＝ax2 ＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；
④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销
售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的
2019-2020学年人教A版必修第一册4.4.3 不同函数增长的差异 课件
21
直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝ logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次 函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变.
栏目导航
22
当堂达标 固双基
栏目导航
23
1．思考辨析
栏目导航
14
3对数函数模型 对数函数模型y＝logaxa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数 值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
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15
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x1 5
10
15
20
25
30
y1 2 26
101
226
401
626
901
y2 2 32 1 024 37 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
栏目导航
7
2．下列函数中随x的增大而增 大且速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
A [结合指数函数、对数函数 及一次函数的图象变化趋势可知A正 确．]
C．y＝2x
D．y＝e－x
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8
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关
②③
系如图所示．
[结合图象
可知②③正
以下四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增
势
似与 y 轴平行 似与 x 轴 平行 度
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5
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着 x 的增大，y 增长速度越来越快，会 远远大于 y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长 速度越来越慢； ②存在一个 x0，当 x>x0 时，有 ax>kx>logax
高中数学新人教A版必修第一册 4.4.3 不同函数增长的差异 课件(28张)
【知识延拓】三种函数模型的解析式及其增长特点的总结 (1)指数函数模型:解析式为f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>0,且b≠1),当 b>1时,增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为 “指数爆炸〞;当0<b<1时,函数值由快到慢地减少.
(2)对数函数模型:解析式为f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,a>0,且a≠1), 当a>1时,增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变 化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长〞;当0<a<1时,相应函数值逐渐减少,变 化得越来越慢. (3)幂函数模型:解析式为f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1,α>0),其 增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型.
3.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指 数函数型变化,满足解析式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量.(参考数据 ln 2≈0.693 1) (1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失? 【解析】(1)因为此函数是减函数, 【典例2】如图,平面图形中阴影局部面积S是h(h∈[0,H])的函数,那么该函数 的图象大致是 ( )
【思维导引】结合题意分析随h的变化S的变化情况,重点关注S的变化快慢
情况.
【解析】选D.由图可知,S随着h的增加而减小,并且减小的趋势在变慢,当 h=H 时,阴影局部的面积小于整个半圆面积的一半.
x与g((x1))=x
2
在区间(0,+∞)上的衰减情
A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快
4.4.3 不同函数增长的差异-人教A版(2019)高中数学必修(第一册)课件(共30张PPT)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:由题可知液体漏入桶中的速度是常量,即圆锥体中减少的液
体体积与时间成正比,故H下降的速度是逐渐加快.在H-t图中,图象
在某点的斜率表示该点的速度,只有B项斜率增大,因此B项正确.
答案:B
探究一
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2.函数模型的选择与应用
例4某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次
该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函数中
的哪一个作为模拟函数较好?
探究一
探究二
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(1) = + + = 100,
解:根据题意可列方程组 (2) = 4 + 2 + = 120,
(3) = 9 + 3 + = 130.
= -5,
式作为模拟函数比①式更好,故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函
数较好.
探究一
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反思感悟 函数模型的实际应用
指数、对数函数模型在实际问题中有广泛应用,可根据增长得快慢
特征选择、建立函数模型,再利用指数、对数运算解决问题,已经
给出函数模型的,则直接代入相应的数据计算解决.
象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计
算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究 在例2的条件下,结合函数图象,判断f(8),g(8),f(2 020),g(2
2019-2020学年高一数学人教A版必修第一册课件：4.4.3 不同函数增长的差异
C 1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是( ) A．y减少1个单位 B．y增加1个单位 C．y减少2个单位 D．y增加2个单位
A 2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex
B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越 慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
②③ 其中说法正确的序号是________．
×
× √
本节课学习了区分指数函数、对数 函数以及一次函数增长速度的差异 以及理解直线上升、指数爆炸、对 数增长的含义。
第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
学习目标： 1.学会区分指数函数、对数函数以及一次函数增 长速度的差异。 2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义。 3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问 题。
教学重点 理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义 教学难点 会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题
在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函 数的增长方式存在很大差异。事实上，这种差异 正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映。 因此,如果把握了不同函数增长方式的差异，那么 就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函 数模型刻画其变化规律。下面就来研究一次函数、 指数函数和对数函数增长方式的差异。
那么我们在更大的范围内，观察函数图象的增长情况。 如下图所示：
综上所述，虽然函数y=2x与y=2x在区间[0,+∞)上 都单调递增,但它们的增长速度不同,而且不在同一个 “档次”上。随着x的增大，y=2x的增长速度越来越 快，会超过并远远大于y=2x的增长速度。尽管在x的 一定变化范围内，2x会小于2x，但由于y=2x的增长最 终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个xo，当 x>x0时,恒有2x>2x。
2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册第四章4.4.3不同函数增长的差异
O
x 2110 4220 6330 8440 10550 12660 14770 16880 18990 21100 23210 25320 27430 29540 31650 33760 35870 37980 40090 42200 44310 46420 48530 50640 52750
总结二：一般地，虽然对数函数y loga xa 1 与一次函数 y=kx(k>0)
y
结论一：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)；
8 7
6
结论二：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上；
5 4
3 (1,2)
结论三：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下；
2 1
O
1
结论四：在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上.
(2,4)
kx的增长速度b x越来越慢.
kx不论b值比k值小多少，在一x0 定范x围内x0， 可能会bx小于kx ，但由于 的增长会快
于 的增长，因此总存在一个 ，当
时，恒有loga x a ；1
kx
log同a x样a，不1论a 值比k值大多kx少，在一定范围内，
x0 可x 能x会0 大于 ，但
由于 loga x kx. 的增长会慢于 的增长，因此总存在一个 ，当
时，
恒有
.
2020-2021学年高一上学期数学人教A 版（201 9）必 修第一 册第四 章4.4.3 不同函 数增长 的差异 课件（ 共31张 ppt） 【精品 】
2020-2021学年高一上学期数学人教A 版（201 9）必 修第一 册第四 章4.4.3 不同函 数增长 的差异 课件（ 共31张 ppt） 【精品 】