§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相等实根 有两相异实根 b x1=x2= x1, x2 (x1<x2) 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
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b {x|x≠ } 2a
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一) 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数的相互关系及其解法：
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y
△=0
y
△<0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O
x2 x
O x1 x O 没有实根 x
x(35 x) (元). 公司B收取的费用为 20
如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少，则
x(35 x) 1.5x(0 x 17), 20
整理得x 2 5 x 0.
①
这是一个关于x的一元二次不等式.只要求得 满足不等式①的解集，就得到了问题的答案。 怎样求不等式①的解集呢？
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
课堂练习 <<教材>> P.80
练习1
书面作业
<<教材>> P.80 习题3.2 A组1.2
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
小结 解一元二次不等式的步骤： ①把二次项系数化为正数； ②解对应的一元二次方程； ③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数 y 图象； ④得出不等式的解集． x ● x2 ● 1 o x 记忆口诀：大于0取两边，小于 0取中间.(a>0且△>0)
当a<b时，x
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
【例4】.解关于x的不等式x2xa(a1)>0
解：原不等式可以化为：(x+a1)(xa)>0
1 若a> (a1)即 a 时，x>a或x<1a 2 1 1 1 2 若a= (a1)即 a 时 ( x ) 0 x , x R 2 2 2 1 若a< (a1)即 a 时，x<a或x>1a 2
ab(a b) 当a>b时， x ab 当a=b时，若a=b0时x；
若a=b<0时xR
ab(a b) ab 故原不等式的解集： ab(a b) 当a>b时，为{x|x } ；a=b0时为 ab ab(a b) a=b<0时为R；当a<b时，为{x| x } ab
§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
引入
上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组 成部分，因特网服务公司(ISP)的任务就是负责将 用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。
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无实数根，
o 而 y x2 2x 3 的图像开口向上，
所以原不等式的解集为
x
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
【例3】.解关于x的不等式a(xab)>b(x+ab)
解：将原不等式展开，整理得：(ab)x>ab(a+b)
一般来说，一次上网时间不会超过17个小时， 所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时，那么， 一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选 择公司B所需费用少？
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
引入
假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x(元)
2
§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
引入 某同学要把自己的计算机接入因特网，现 有两家ISP公司可供选择。公司A 每小时收费1.5 元； 公司B 的收费原则如图所示，即在用户上网的第1小 时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时 减少0.1 元(若用户一次上网时间超过17小时，按17 小时计算)。
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
【例6】. | 2x+1 |> | x+2 | 解：原不等式等价于：(2x+1)2>(x+2)2 解得：x>1或x<1 所以原不等式解集为{x| x>1或x<1}
| f ( x ) || g( x ) | f ( x ) g ( x )
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
探究
画出二次函数 y x2 5x的图像
当x＜0或x＞5时，函数图像位于 x轴上方， 此时y＞0，即x2-5x＞0; 当0＜x＜5时，函数图像位于x轴下方， 此时y＜0，即x2-5x＜0; 所以一元二次不等式x2-5x＞0;的解集是 { x | 0＜x＜5 }. 所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A 的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少。
【例5】. 解不等式 | x – 500 | ≤5 解：原不等式等价于：5 x500 5
∴495 x 505
所以原不等式的解集为{x|495 x 505}
f ( x ) g( x ) | f ( x ) | g( x ) f ( x ) g( x )
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
示例
【例1】求不等式 4 x 2 4 x 1 0的解集。
2 （ 解：原不等式可变形为 2 x 1） 0
所以原不等式的解集为
1 { x| x } 2
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
动手提高
2．解关于x的不等式x2-5ax+6a2＞0． 答案： 当a＞0时，不等式解集为{x|x＞3a或x＜2a}； 当a＜0时，不等式解集为{x|x＜3a或x＞2a}． 当a=0时，不等式解集为{x|x≠0}．
R Φ
6
Φ
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
结论
y 记忆口诀：大于0取两边，小于 0取中间.(a>0且△>0) x1 o ● x2 ● x
解一元二次不等式的步骤： ①把二次项系数化为正数； ②解对应的一元二次方程； ③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数 图象； ④得出不等式的解集．
2 2
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
动手提高 1．解不等式：（1）2x2-x-1≥0；（2）-3x2≤2x+1． 1 答案：(1){x | x 或x 1} (2) { x | x∈R } 2
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故原不等式的解集：
1 当 a 时为{x|x>a或x<1a} 2 1 1 a 时 为{x| x , x R} 当 2 2 1 当 a 时为{x|x<a或x>1a} 2
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
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§3.2.1一元二次不等式及其解法(一)
【例2】求不等式
x2 2x 3 0
解： 不等式可变形为
的解集。 y
fx = x2-2x+3 3 1 1 2
x 2x 3 0
2
因为 ⊿＝ -8 ＜0 方程x
2
2x 3 0
3.2 一元二次不等式及其解法1
2
x x1 , x x2
y<0x2x来自Ox 1 x 2
x
O
x
考点1
二次不等式的解法
2
例：解不等式 x 6 x 8 0
例:解下列不等式 1) 4 x 4 x 1 0
2
2) x 2 x 3 0
2
25 a 24或0 a 1
考点3
解一元二次方的
程序框图
开始
将原不等式化成一般形式ax2 +bx+c>0(a>0)
b2 4ac
0
是
否
2 求方程ax2 bx c 0的两实根x1, x2 方程ax +bx+c=0没有实根
是
x1 x2 ?
否
原不等式的解集为R
2
3) 2 x 220 x 6000 0
2
总结
(1) 将原不等式化成一般形式ax2 +bx+c>0(a>0) (2)解 一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)
计算△,确定方程的根的情况
(3) 根据二次函数的图象写出解集
若有两个不同的根
x1, x2 ,用口诀：
“大取两边,小取中间”
原不等式的解集为 ｛x|x R且x x1 ｝
原不等式的解集为 ｛x| x x1或x x2 ( x1 x2 )｝
结束
练习
解不等式组
log2( x 2 1)1
|x-2|<2
( 3,4)
考点2 一元二次方程根的分布
3.2.1一元二次不等式及其解法
∴b= -a，c= -2a∴不等式 2+1)+b(x-1)+c＞2ax， ， ∴不等式a(x ＞ ， 可化为(x 可化为 2+1)+(-1)(x-1)+(-2)＜2x， ＜ ， 即x2-3x＜0，解得0＜x＜3，∴选A. ＜ ，解得 ＜ ＜ ，
故原不等式的解集为{ 故原不等式的解集为 x| x <-1或1．“三个二次”之间的关 三个二次” 系
1 设不等式ax + bx + 1 < 0的解集是{x | −1 < x < }, 求a ⋅ b. 3
2
变式：已知二次不等式ax 2 + bx + c < 0的解集是 1 1 2 {x | x < 或x > }，求关于x的不等式cx -bx+a>0的解集. 3 2
题3：解不等式2x2+x -3>0 解不等式2
因为△ 解： 因为△= 1+24=25>0 的解是x 方程 2 x2 +x -3=0 的解是 1=-3/2 , x2=1 故原不等式的解集为{ 故原不等式的解集为 x| x <-3/2或x> 1} 或
题4：解不等式 2x2 + 3x +5 >0 ：解不等式解：整理，得 2x2 - 3x - 5< 0 整理， 因为△ 因为△= 9+40 = 49 > 0 的解是x 方程 2 x2 -3x -5=0 的解是 1=5/2 , x2=-1
若f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)在区间 在区间 [n,+∞)上恒成立，则 上恒成立， 上恒成立
3.2.1 一元二次不等式及其解法
解不含参数的一元二次不等式
例 1：解下列不等式：
(1) 2x2－3x－2＞0
(2) －3x2＋6x＞2
(3) 9x2－6x＋1＞0 (4) x2－4x＋5＞0
解：(1)∵Δ＝25＞0，且方程2x2－3x－2＝0 的两根分别为 x1＝－12，x2＝2，
∴不等式2x2－3x－2＞0 的解集为
，即bc＝＝－－1a2a ，
∴不等式bx2＋2ax－c－3b＜0 即为 －ax2＋2ax＋15a＜0， 即x2－2x－15＜0，解得－3＜x＜5. ∴所求不等式的解集为{x|－3＜x＜5}．
给出了一元二次不等式的解集，则可知二 次项的符号和一元二次方程的两根，由根与系数的关系可知a、 b、c 之间的关系．
.
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
(1)(5－x)(x＋1)≥0
(1){x | 1 x 5}
(3) 1 x2 3x 5 0 2
.
(4)∵Δ＝16－20＝－4＜0，方程x2－4x＋5＝0 无实根，
∴不等式x2－4x＋5＞0 的解集为R.
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
一元二次不等式及其解法(一)
1
2
(-2) × -
=- ,
1
2
即
= ,
5
= ,
2
= 1.
1
所以不等式 ax2-bx+c>0 即 2x2-5x+2<0,解得 <x<2.
2
1
故不等式 ax -bx+c>0 的解集为 | < x < 2 .
2
2
课堂导学
课前预学
【当堂检测】
1
1
3
2
1.若不等式 ax2+5x+c>0 的解集为 | < x <
(3)由图象得出不等式的解集.
课堂导学
课前预学
解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.
方法指导
先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的
解集.
解析
1
(1)方程 2x -3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
不等式 x(2-x)>3 的解集为⌀.
课前预学
课堂导学
3.解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0.
解析
方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象开口向上.
当 a<-1 时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当 a=-1 时,原不等式的解集为⌀;
一元二次不等式及其解法(1)
§3.2 一元二次不等式及其解法（1）主备人： 潘积强 审核人： 马 琦1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式。
一、复习回顾1：解下列不等式： ①112x >-；②112x ->； ③1102x -+>.2：二次函数2y ax bx c =++的零点与一元二次方程02=++c bx ax 的根的关系？二、新课导学 ※ 学习探究探究一：某同学要上网，有两家公司可供选择，公司A 每小时收费1.5元(不足1小时按1小时收费);公司B 的收费原则为:在第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若一次上网时间超过17小时按17小时计算)。
假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A 的上网费用小于或等于选择公司B 所需费用?归纳：这是一个关于x的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式。
新知：我们把只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为一元二次不等式。
探究二：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程及其二次函数的图象结合起来解决小结：（三个二次的关系）※典型例题例1、求不等式2230-+->的解集.x x变式：求下列不等式的解集.（1）2230x x+->；（2）2230x x-+-≤.例2 、求不等式24410x x-+>的解集.小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式. （0a>）（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.三、总结提升※学习小结解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式（0a>）.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.※知识拓展（1）20ax bx c++>对一切x R∈都成立的条件为0 a>⎧⎨∆<⎩（2）20ax bx c++<对一切x R∈都成立的条件为0 a<⎧⎨∆<⎩※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测1. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（ ）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解 2. 关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（ ）. A ．14c <B ．14c ≤C ．14c >D ．14c ≥3. 在下列不等式中，解集是∅的是（ ）.A ．22320x x -+>B ．2440x x ++≤C ．2440x x --<D ．22320x x -+-> 4. 不等式230x x -<的解集是 .5. y =的定义域为 .1、 求下列不等式的解集（1）23100x x -->； （2）2450x x -+<；（3）24415x x ->； （4）21340x ->2. 若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.。
一元二次不等式及其解法 (1)
百度文库 - 让每个人平等地提升自我！1一元二次不等式及其解法（一） 某木匠要用长7.2m 的木料做成“日”字形的窗户框，要使窗户面积不超过1.8m 2，且木料无剩余。
通过学习本学时的内容，同学们能否帮他计算出窗户宽的取值范围？如何运用一元二次不等式的有关知识解决实际问题？解决实际问题时应注意什么？ 学习目标：1.一元二次不等式的解法；2.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；3.理解二次函数图象、一元二次不等式及一元二次方程三者之间关系.学习重点：会求解一元二次不等式. 学习任务：阅读课本P 76—P 78，完成下列任务1.说出一元二次不等式的定义，写出其一般形式，并举例.2.一元二次不等式05x 2≤-x ，写出二次函数,52x x y -=及一元二次方程052=-x x 的关系.3.推广：一元二次不等式)0(0022><++>++a c bx ax c bx ax 或与二次函数)0(2>++=a c bx ax y 及一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的关系，完成课本P 77表. 4.完成课本P 78图.5.完成例1，写出一元二次不等式)0(0022><++>++a c bx ax c bx ax 或的求解步骤. 6.完成例2,写出一元二次不等式)0(0022<<++>++a c bx ax c bx ax 或的求解步骤.7.必做题：P 80练习1，2；习题3.2 A 组 1,2,3,4；B 组 1一元二次不等式及其解法（二）学习目标：一元二次不等式的简单应用.学习重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式，并求解相应的一元二次不等式. 学习任务：阅读课本P 791. 完成例3，例4，体会一元二次不等式在实际问题中的应用.2. 必做题：(1)习题3.2 A 组 6；(2)某旅店有200张床位,若每床一晚上租金为27元,则可全部出租;若将出租收费标准每晚提高10的整数倍,则出租的床位会减少10的相应倍数张,若要该旅店某晚的收入超过10000元,则每个床位的出租价格应定在什么范围内?技能提升：1. 已知全集R u =，集合{}02|2>-=x x x A ,则CuA =_____________. 2. 若关于X 的不等式02212>++-mx x x 的解集是{}20|<<x x ，求m 的值. 3. 当R x ∈时，不等式022>++mmx x 恒成立的条件_________________. 4. 设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0664)(2x x x x x x f ，求不等式)1()(f x f >的解集. 5. ①043>+-x x ②043≥+-x x。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式第1课时一元二次不等式及其解法(一)数学
1.求下列不等式的解集． (1)2x2＋7x＋3>0；(2)－x2＋8x－3>0； (3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－841≥0； (5)－2x2＋3x－2<0.
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第十七页，共四十三页。
解：(1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0
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第二十一页，共四十三页。
含参数不等式中对参数进行讨论的标准 (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向． (2)讨论判别式符号，即相应二次函数图象与 x 轴交点的个数． (3)当 Δ>0 时，讨论相应一元二次方程两根的大小．简记为 “一 a、二 Δ、三两根大小”． (4)最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成 若干区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次 不等式的解集．
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第十五页，共四十三页。
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有 实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
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第十六页，共四十三页。
三个“二次”关系的应用 若关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为 xx<13或x>12，求关于 x 的不等式 cx2－bx＋a>0 的解集．
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第二十五页，共四十三页。
【解】
a<0，
a<0，
由题意知13＋12＝－ba，所以b＝－56a>0，
13×12＝ac，
c＝16a<0，
第一部分 第三章 3.2 第一课时 一元二次不等式的解法(1)
即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0⇔(2x－1)(x＋3)<0. 1 ∴不等式cx ＋bx＋a<0的解集为{x|－3< x <2}．
2
返回
1 法二：∵原不等式的解集为{x|－3≤ x ≤2}． 1 ∴－3，2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，且 a<0. b 1 －3＋2＝－a， 由根与系数的关系得 －1×2＝ c， a 3
3.2 一 元 二 次 不 等 式 及 其 解 法
理解教材新知
知识点一
知识点二
第 三 章 不 等 式
第一
课时 一元 二次 不等 把握热点考向
考点一
考点二 考点三
式的
解法 (1) 应用创新演练
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观察下列不等式： (1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0. 问题1：上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次 数是多少？ 提示：各有一个未知数x，并且未知数的最高次数是2.
返回
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[例2]
1 若不等式ax ＋bx＋c≥0的解集是{x|－3≤x≤2}，
2
求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
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[思路点拨]
一元二次不等式解集的端点值是相应的一元
二次方程的根，据此，利用根与系数的关系可求得a，b，c cb 的值，进而求解．也可以利用a·的值整体代入，转化所求 a 不等式进行求解．
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7．当a>－1时，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集
是________．
解析：原不等式可化为(x＋a)(x－1)>0
一元二次不等式及其解法全篇
x
一元一次方程 ax2+bx+c=0
的根
有两个相异的
实根x1，x2 x1<x2
有两个相等实根 没有实根 x1=x2
ax2+bx+c>0 的解集
{x|x>x2或x<x1}
{x|x≠
b
}
2a
R
ax2+bx+c<0
的解集
{x|x1<x<x2}
四、数学思想的体现
数形结合的思想 化归的思想
思维锻炼
若不等式x2 2x a 0的解集是, 则实数a的取值范围为 a 1 ;
3.2 一元二次不等式 及其解法(1)
一、创设情景，引入新课.
问题：某同学想上网查资料，现有两家网吧可供选
择。A网吧每小时收费1.5元（不足1小时的按1小时 计算）; B网吧的收费原则为，在用户上网的第1个 小时内（含恰好1个小时）收费1.7元，第2个小时内 收费1.6元，以后每小时减少0.1元。（每天上网最多 17小时）
(2){ x x 2 };
3 log 2 x2 log 2(3x 4) (3){x 1 x 4且x 0};
4 求函数y x2 4的定义域
(4){ x x 2或x 2 };
一、一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系 (1)二次方程的根是函数的零点，即二次函数图象与x轴 交点的横坐标 (2) 结合方程的解与函数图象可以得出二次不等式的解
1、方程ax2＋bx＋c=0的根是函数y= ax2＋bx＋c的 零点，即二次函数图象与x轴交点的横坐标
2、结合方程ax2＋bx＋c=0的根和函数y= ax2＋bx ＋c的图象就可以得到不等式ax2＋bx＋c <0、或 ax2＋bx＋c >0 的解