初中函数教案 6
初中数学函数备课教案
初中数学函数备课教案知识与技能：1. 学生能理解函数的概念，掌握常量和变量的定义。
2. 学生能够通过实际问题建立函数模型，解决简单的生活问题。
过程与方法：1. 学生通过实例感受函数的模型思想，培养观察、交流、分析的思想意识。
2. 学生能通过列表、图像等方式表现函数关系，培养数形结合的思维方式。
情感、态度与价值观：1. 学生培养对数学的兴趣和积极参与数学活动的热情。
2. 学生在解决问题的过程中体会数学的应用价值，感受成功的喜悦，建立自信心。
二、教学重难点重点：认识函数的概念，了解常量与变量的含义。
难点：对函数中自变量取值范围的确定。
三、教学准备教具：PPT、黑板、粉笔、函数图像展示板。
学具：每人一份函数实例材料、练习题。
四、教学过程1. 导入：以生活中的实例引入，如“气温与海拔的关系”、“票价与购票数量的关系”等，让学生感受到函数在日常生活中的应用。
2. 探索函数概念：让学生通过实例，分析常量与变量的关系，引导学生发现函数的定义。
3. 理解函数概念：通过PPT展示函数的定义，让学生明确自变量与函数的关系。
4. 函数模型的建立：让学生通过实例，建立函数模型，如“y = 2x + 1”。
5. 函数图像的展示：通过函数图像展示板，展示函数图像，让学生直观地理解函数。
6. 练习与巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
7. 总结与反思：让学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程。
五、教学评价1. 学生能正确理解函数的概念，掌握常量和变量的定义。
2. 学生能通过实际问题建立函数模型，解决简单的生活问题。
3. 学生能通过列表、图像等方式表现函数关系，培养数形结合的思维方式。
4. 学生培养对数学的兴趣和积极参与数学活动的热情。
初中函数概念定义教案
初中函数概念定义教案教学目标：1. 知识与技能：让学生了解函数的概念，理解自变量与函数之间的关系。
2. 过程与方法：通过探索函数概念的过程，培养学生对函数的模型思想的理解。
3. 情感、态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生观察、交流、分析问题的能力，体会函数在实际生活中的应用价值。
教学重难点：1. 重点：使学生认识函数的概念。
2. 难点：对函数中自变量取值范围的确定。
3. 关键：从实际出发，由具体到抽象，建立函数的模型。
教学方法：情境探究法教学过程：一、回顾交流，聚焦问题1. 教师提问：同学们通过学习变量这一节内容，对常量和变量有了一定的认识，请同学们举出一些现实生活中变化的实例，指出其中的常量与变量。
2. 学生思考问题，踊跃发言（先归纳出5个思考题的关系式，再举例）。
3. 教师活动：激发兴趣，鼓励学生联想，在地球某地，温度T与高度d的关系可以用T=10-d来表示（如图），请你根据这个关系式回答下列问题：（1）指出这个关系式中的变量和常量。
（2）填写下表高度d/m 0 200 400 600 800 1000温度T/°C（3）观察两个变量之间的联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定。
二、自主探究，建构概念1. 教师引导学生从具体的情境中提升函数的思想方法，自主探究函数的定义。
2. 学生通过自主学习，总结出函数的定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x在某个范围内的每一个值，y都有唯一的值和它相对应，那么就称y是x的函数。
三、巩固新知，内化提高1. 教师举例说明函数的概念，让学生判断是否符合函数的定义。
2. 学生通过练习，加深对函数概念的理解。
四、全课总结1. 教师引导学生总结本节课所学的内容，巩固函数的概念。
2. 学生分享学习收获，对函数的概念有更深入的理解。
教学反思：本节课通过情境探究法，让学生从具体的情境中提升函数的思想方法，建立了函数的模型。
八年级数学函数教案【6篇】
八年级数学函数教案【6篇】八年级数学函数教案篇1一、教学内容：本节内容是人教版教材八年级上册，第十四章第2节乘法公式的第二课时——完全平方公式。
二、教材分析：完全平方公式是乘法公式的重要组成部分，也是乘法运算知识的升华，它是在学生学习整式乘法后，对多项式乘法中出现的一种特殊的算式的总结，体现了从一般到特殊的思想方法。
完全平方公式是学生后续学好因式分解、分式运算的必备知识，它还是配方法的基本模式，为以后学习一元二次方程、函数等知识奠定了基础，所以说完全平方公式属于代数学的基础地位。
本节课内容是在学生掌握了平方差公式的基础上，研究完全平方公式的推导和应用，公式的发现与验证为学生体验规律探索提供了一种较好的模式，培养学生逐步形成严密的逻辑推理能力。
完全平方公式的学习对简化某些代数式的运算，培养学生的求简意识很有帮助。
使学生了解到完全平方公式是有力的数学工具。
重点：掌握完全平方公式，会运用公式进行简单的计算。
难点：理解公式中的字母含义，即对公式中字母a、b的理解与正确应用。
三、教学目标(1)经历探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式，并能正确运用公式进行简单计算。
(2)进一步发展学生的符号感和推理能力，了解公式的几何背景，感受数与形之间的联系，学会独立思考。
(3)通过推导完全平方公式及分析结构特征，培养学生观察、分析、归纳的.能力，学会与他人合作交流，体验解决问题的多样性。
(4)体验完全平方公式可以简化运算从而激发学生的学习兴趣;在自主探究、合作交流的学习过程中获得体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
四、学情分析与教法学法学情分析：课程标准提出数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，本节课就是在前面的学习中，学生已经掌握了整式的乘法运算及平方差公式的基础上开展的，具备了初步的总结归纳能力。
另外，14岁的中学生充满了好奇心，有较强的求知欲、创造欲、表现欲，所以只有能调动学生的学习热情，本节内容才较易掌握。
数学八年级上册第六章《函数》教案(北师大)
第六章一次函数１．函数一、学生起点分析在七年级上期学习了用字母表示数，体会了字母表示数的意义，学会了探索具体事物之间的关系和变化的规律，并用符号进行了表示；在七年级下期又学习了“变量之间的关系”，使学生在具体的情境中，体会了变量之间的相依关系的普遍性，感受了学习变量之间的关系的必要性和重要性，并且积累了一定的研究变量之间关系的一些方法和初步经验，为学习本章的函数知识奠定了一定的基础。
二、教学任务分析《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》第一节的内容。
●教材内容本节内容安排了1个学时。
教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系，进而抽象出函数的概念。
与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。
●教材地位及作用函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。
本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。
同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。
三、教学目标分析教学目标：●知识与技能目标1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数；2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值；3．了解函数的三种表示方法。
●过程与方法目标1．通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力；2．经历从具体实例中抽象概括的过程，进一步发展学生的抽象思维能力，体会函数的模型思想；3．通过对函数概念的学习，培养学生的语言表达能力。
初中函数知识教案
初中函数知识教案一、教学目标：1. 让学生了解函数的概念，理解函数的性质，掌握函数的表示方法。
2. 培养学生运用函数解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
二、教学内容：1. 函数的概念与性质2. 函数的表示方法：解析式、表格、图象3. 实际问题中的函数应用三、教学重点与难点：1. 函数的概念与性质2. 函数的表示方法3. 函数在实际问题中的应用四、教学过程：1. 导入：利用生活中的实例引入函数的概念，如气温与时间的关系，让学生感受函数的存在。
2. 讲解：a) 函数的概念：引导学生理解函数是一种对应关系，每个自变量都有一个唯一的因变量与之对应。
b) 函数的性质：引导学生掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
c) 函数的表示方法：解析式：引导学生了解解析式表示函数的方法，如y=2x+1。
表格：引导学生学会用表格表示函数的方法，如自变量与因变量的对应关系。
图象：引导学生掌握用图象表示函数的方法，如绘制抛物线、直线等。
3. 练习：让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
4. 应用：让学生分组讨论，选取一个实际问题，运用函数知识进行解决，如购物优惠问题、行程问题等。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数的重要性，激发学生学习函数的兴趣。
五、教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解函数的概念与性质，掌握函数的表示方法，并能运用函数解决实际问题。
同时，要关注学生的学习情况，及时调整教学方法，提高教学效果。
六、课后作业：1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题。
3. 选取一个实际问题，运用函数知识进行解决，并将解题过程写成报告。
4. 预习下一节课的内容。
新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新
新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新三角形中的恒等式是我们经常在考试中遇到的题型，教师需要好的教案范围去教导学生，今天小编在这里整理了一些新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新，我们一起来看看吧!新人教版九年级数学三角函数教案1教学目的1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素(一边或一锐角)，求这个直角三角形的其他元素。
2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
重点、难点、关键1，重点：正弦的概念。
2，难点：正弦的概念。
3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。
教学过程一、复习提问1、什么叫直角三角形?2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么?斜边是什么?这个直角三角形可用什么记号来表示?二、新授1，让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：(1)这个有关测量的实际问题有什么特点?(有一个重要的测量点不可能到达)(2)把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形?(直角三角形)(3)显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量?(不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。
)(4)这个实际问题可归结为怎样的数学问题?(在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。
)但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。
2，在RT△ABC中，∠C=900，∠A=300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。
类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边/斜边=BC/AB=BC/=1/=/2 这就是说，当∠A=450时，∠A的对边与斜边的比值等于/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A 的对边BC的长。
初中函数图像优质课教案
初中函数图像优质课教案知识与技能：1. 了解一次函数、正比例函数、反比例函数的定义和性质。
2. 学会用描点法、解析法画出一次函数、正比例函数、反比例函数的图像。
3. 能够分析实际问题，选择合适的函数模型。
过程与方法：1. 通过观察、实验、探究等方法，发现一次函数、正比例函数、反比例函数的图像特点。
2. 学会用数形结合的思想方法分析函数问题。
情感态度价值观：1. 培养学生的团队合作精神，提高学生解决实际问题的能力。
2. 培养学生对数学的兴趣，激发学生学习函数的积极性。
二、教学内容：1. 一次函数的定义和性质。
2. 正比例函数的定义和性质。
3. 反比例函数的定义和性质。
4. 用描点法、解析法画一次函数、正比例函数、反比例函数的图像。
5. 实际问题中的函数模型选择。
三、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考函数的概念和作用。
2. 讲解：讲解一次函数、正比例函数、反比例函数的定义和性质，引导学生通过实验、观察发现函数图像的特点。
3. 实践：让学生动手用描点法、解析法画出一次函数、正比例函数、反比例函数的图像，培养学生的动手能力。
4. 应用：分析实际问题，让学生选择合适的函数模型，培养学生的应用能力。
5. 总结：通过总结，使学生对一次函数、正比例函数、反比例函数的概念、性质和图像有更深刻的理解。
四、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究。
2. 利用现代教育技术，如多媒体、网络等资源，提高教学效果。
3. 注重个体差异，因材施教，让每个学生都能在课堂上得到锻炼和发展。
4. 创设生动活泼的课堂氛围，鼓励学生积极参与，培养学生的创新精神。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维品质和合作能力。
2. 作业完成情况：检查学生对函数概念、性质和图像的理解和应用能力。
3. 实践报告：评估学生在实际问题中选择合适的函数模型的能力。
4. 学生自评、互评和他评：了解学生的学习情况，提高学生的自我认知和评价能力。
2023年八年级数学函数教案人教版优秀8篇
2023年八年级数学函数教案人教版优秀8篇八年级数学函数教案人教版篇一八年级下数学教案-变量与函数(2)1．使学生理解自变量的取值范围和函数值的意义。
2．使学生理解求自变量的取值范围的两个依据。
3．使学生掌握关于解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法，并会求其函数值。
4．通过求函数中自变量的取值范围使学生进一步理解函数概念。
重点：函数自变量取值的求法。
难点：函灵敏处变量取值的确定。
复习提问1．函数的定义是什么？函数概念包含哪三个方面的内容？2．什么叫分式？当x取什么数时，分式x+2/2x+3有意义？（答：分母里含有字母的有理式叫分式，分母≠0，即x≠3/2.）3．什么叫二次根式？使二次根式成立的条件是什么？（答：根指数是2的根式叫二次根式，使二次根式成立的条件是被开方数≥0。
）4．举出一个函数的实例，并指出式中的变量与常量、自变量与函数。
1．结合同学举出的实例说明解析法的意义：用教学式子表示函数方法叫解析法。
并指出，函数表示法除了解析法外，还有图象法和列表法。
2．结合同学举出的实例，说明函数的自变量取值范围有时要受到限制这就可以引出自变量取值范围的意义，并说明求自变量的取值范围的两个依据是：（1）自变量取值范围是使函数解析式（即是函数表达式）有意义。
（2）自变量取值范围要使实际问题有意义。
3．讲解p93中例2.并指出例2四个小题代表三类题型：（1），（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；（3）题给出的是只含有一个自变量的分式；（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式。
推广与联想：请同学按上述三类题型自编3个题，并写出解答，同桌互对答案，老师评讲。
4．讲解p93中例3.结合例3引出函数值的意义。
并指出两点：（1）例3中的4个小题归纳起来仍是三类题型。
（2）求函数值的问题实际是求代数式值的问题。
求下列函数当x=3时的函数值：（1）y=6x-4；（2）y=--5x2；（3）y=3/7x-1；（4）。
函数的性质教案8篇
函数的性质教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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反比例函数教案6篇
反比例函数教案6篇教学目标使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。
教学重难点重点：反比例函数的图象。
难点：利用反比例函数的图象解题。
教学过程一、情境创设解析式y=kx(k为常数，k≠0)图象形状双曲线（以原点为对称中心）k>0位置一、三象限增减性每一象限内，y随x的增大而减小k<0位置二、四象限增减性每一象限内，y随x的增大而增大二、例题讲解例1.如图是反比例函数的图象的一支。
（1）函数图象的另一支在第几象限？试求常数m的取值范围；（2）点都在这个反比例函数的图象上，比较、的大小例2.如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,求:(1)一次函数的解析式；（2）△AOB的面积。
三、课堂练习课本P70练习1、2题四、课堂小结1、反比例函数的图象。
2、反比例函数的性质。
五、课堂作业课本P72/第5题教学目标知识与技能：1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。
2.体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。
3.培养学生从函数图象中获取信息的能力，初步探索反比例函数的性质。
过程与方法：通过学生自己动手列表，描点，连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数图象的有关性质，训练学生的概括总结能力。
情感、态度与价值观：让学生积极参与到数学学习活动中去，增强他们对数学学习的好奇心和求知欲。
教学重点教学难点1)重点：画反比例函数图象并认识图象的特点。
2)难点：画反比例函数图象。
教学关键教师画图中要规范，为学生树立一个可以学习的模板教学方法激发诱导，探索交流，讲练结合三位一体的教学方式教学手段教师画图，学生模仿教具三角板，小黑板学法学生动手，动眼，动耳，采用自主，合作，探究的学习方法教学过程(包含课前检测、新课导入、新课讲解、课堂练习、小结、形成性检测、反馈拓展、作业布置)内容设计意图一：课前检测：1.什么叫做反比例函数；(一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=(k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
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函数知识点1函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
§1.2.1函数的概念学习目标：（1）理解函数的概念；（2）了解构成函数的三要素；（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；（4）会求一些简单函数的定义域和函数值；一、复习回顾：1.请回忆在初中我们学过那些函数？2.什么是函数？3、函数三要素是哪三要素？二、函数：⑴函数的定义：⑵函数的表示方法：⑶函数自变量的取值范围：二、典型例题解析1、函数概念与图形相关例题例1、下列各曲线中不能表示y 是x 的函数是（ ）。
A B C D例2、下面函数中，那个与函数y=x 是同一函数？（ ）（1）2)(x y = (2)xx y 2= (3)33x y = (4)2x y =2、函数定义域求法常见的使函数解析式有意义的式子有：①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数； ④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。
例3()431)()5(211)()4(12)()3(11)()2(1)()1(2022---=+-++=+-=+=++=x x x x f x x x f x x x f x x f x x x f举一反三：1、.求下列函数的定义域： ① 1()||f x x x =- ② 1()11f x x=+3、函数值求法 例4：求函数值（1）二次函数2)(2++=x x x f 则=)0(f ______ ; =-)2(f ______Oxy O xyOxy Ox y A=)(a f ______ ; =))1((f f ______ =__________.(2)已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=00001)(x x x x x f π则()[]{}1-f f f =____. 举一反三：(1)已知x x h sin )(= ，则)30(0h =______;)45(0h =_______;)60(0h =______. (2)已知4332)(-+=x x x f ，则=)0(f ________; =-)2(f _____;4、函数图形题例5、小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小亮的行程s （k m ）与所花时间t （min ）之间的函数关系．下列说法错误的是（ ）A.他离家8km 共用了30minB.他等公交车时间为6minC.他步行的速度是100m/minD.公交车的速度是350m/min解答：解：A 、依题意得他离家8km 共用了30min ，故选项正确；B 、依题意在第10min 开始等公交车，第16min 结束，故他等公交车时间为6min ，故选项正确；C 、他步行10min 走了1000m ，故他步行的速度为他步行的速度是100m/min ，故选项正确；D 、公交车（30﹣16）min 走了（8﹣1）km ，故公交车的速度为7000÷14=500m/min ，故选项错误．故选D ． 举一反三：1、.时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．在运行过程中，时针分针的夹角会随时间的变化而变化．设时针与分针的夹角为y （度），运行时间为t （分）， 当时间从12：00开始到12：30止，y 与t 之间的函数图象是（ ）A ．B ．C．D．解答：解：∵从12：00开始时针与分针的夹角为0°，而分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，∴y越来越大，而分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，∴从12：00开始到12：30止y=（6﹣0.5）×30=165．故选A．2、小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家1千米的学校上课，在下列图象中，能反映这一过程的大致图象是（）A．B．C．D．解答：解：小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，距离逐渐增大，当吃早餐时，距离不变，当返回学校时，距离变小，到达学校距离不再变化．故选B．正比例函数一、正比例函数的概念二、正比例函数的图象和性质：正比例函数的性质y 有下列性质：一般地，正比例函数kx（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴三、典型例题讲解1、正比例函数相关概念例1、下列函数中哪些是正比例函数？（1）y =2x （2）y=x2+1 （3）y=3x+1例2、若y =5x3m-2 是正比例函数，则m =__________.举一反三1、已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k的值．分析：由正比例函数的定义可知k+1≠0且k-1=0即可解：根据题意得：k+1≠0且k-1=0，解得：k=1 ∴k=12．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y=4x+1 B．y=2x2 C．y=-5x D．y=x解析：选C2、正比例函数解析式求解例3：根据下列条件求函数的解析式①y与x2成正比例，且x=-2时y=12．②函数y=（k2-4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小．分析：①根据正比例函数的定义，可设y=kx2，然后由x=-2、y=12求得k的值．②函数y=（k2-4）x2+（k+1）x是正比例函数；则k2-4=0，y随x的增大而减小，则k+1<0．解：①设y=kx2（k≠0）∵x=-2时y=12 ∴（-2）2k=12 ∴k=3 ∴y=3x 2 ②由题意得：k 2-4=0 ∴k=2或k=-2∵y 随x 的增大而减小， ∴k+1<0 ∴k=-2 ∴y 与x 的函数关系式是：y=-x【例2】已知y 与x －1成正比例，且当x =3时，y =4，求： （1）函数解析式； （2）x =1-时，y 的值【解析】设()1-=x k y ，代入x =3，y =4，解得2=k （1）所以函数解析式为22-=x y （2）当x =1-时，y =-4举一反三1、写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？（1）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km ，气温下降5℃，则气温x （•℃）•与高度y （km ）的关系；（3）圆面积y （cm 2）与半径x （cm ）的关系．解析：①y=0.1x ，y 是x 的正比例函数；②y=28-5x ，y 不是x 的正比例函数； ③y=πx 2，y 不是x 的正比例函数．【拓展1】y 与3x 成正比例，当x =8时，y =－12，则y 与x 的函数解析式为___________. 【解析】设kx y 3=，代入x =8，y =－12，解得21-=k 所以函数解析式为x y 23-=【拓展2】已知2y －3与3x ＋1成正比例，且x=2时，y=5,求：（1）求y 与x 之间的函数关系式（2）若点（a ，2）在这个函数的图象上，求a . 【解析】设()133-2+=x k y ，代入x=2时，y=5，解得1=k（1）所以函数解析式为223+=x y （2）当2=y 时，0=a3、正比例函数的图像及性质1. （2011•湘西州）当k ＞0时，正比例函数y=kx 的图象大致是（ ）A 、B 、C、D、考点：正比例函数的图象。
专题：常规题型。
分析：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限．解答：解：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限．故选A．点评：此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．5．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2•的大小关系是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．以上都有可能2.（2011福建龙岩，9，4分）下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）A. B.C. D.考点：二次函数的图象；一次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象.分析：观察函数图象，根据函数图象的单调性，可以直接做出选择．解答：解：A ，根据图象可知，函数在实数范围内是增函数，即函数y 随x 增大而增大；故本选项错误；B ，根据图象可知，函数在对称轴的左边是减函数，函数y 随x 增大而减小；函数在对称轴的右边是增函数，即函数y 随x 增大而增大；故本选项错误；C ，根据图象可知，函数在实数范围内是增函数，即函数y 随x 增大而增大；故本选项错误；D ，根据图象可知，函数在实数范围内是减函数，即函数y 随x 增大而减小；故本选项正确．故选D ．【例3】已知直线y =kx 过点（-2，1），A 是直线y =kx 图象上的点，若过A 向x 轴作垂线， 垂足为B ，且ABO S ∆=9，求点A 的坐标。
【解析】依题设A 的坐标为（m m ,2-），由三角形面积公式得ABO S ∆m m 221-==9，解得3±=m ， 所以A 的坐标为()3-6，或()3,6-举一反三【拓展1】如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程s （千米） 和行驶时间t （小时）之间的关系，根据所给图象，解答下列问题：（1）写出甲的行驶路程s 和行驶时间t （t≥0）之间的函数关系式；（2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在一段时间内，甲的行驶速 度大于乙的行驶速度；（3）从图象中你还能获得什么信息？请写出其中的一条．【解析】（1）设函数为s=kt ，把点（3，6）代入得k=2，所以s=2t ；（2）直接从图象上可知：在0＜t≤1时，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在t ＞1时，甲 的行驶速度大于乙的行驶速度．（3）只要说法合乎情理即可给分．如当出发3小时时甲乙相遇等等．【拓展2】已知A 、B 两地相距25km ，甲乙两人从A 地出发前往B 地，如图反映了甲乙所行驶的路程s 和行驶的时间t 的函数关系，(其中折线OPQ 为甲的,线段MN 为乙的),根据图像提供的信息回答：(1)乙花了多少时间到达B 地的? (2)乙花了多少分钟追上了甲? 这时行驶了多少千米?(3)甲是匀速的吗? (4)写出1小时内甲行驶路程s 与 行驶时间t 的函数解析式及定义域.【解析】（1）2小时； （2），11720 11150（3）不是； （4）()1010≤≤=t t s()()()()311225,41551010≤≤-=⎩⎨⎧≤≤+≤≤=t t s t t t ts 乙甲趁热打铁练习1．下列关系中的两个量成正比例的是（ ）A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度；B ．正方形的面积与边长C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D ．人的体重与身高 3．下列说法中不成立的是（ ）S(千米)O 251 3 4101112PQMNt(小A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例；B ．在y=-2x中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例 4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ） A ．m=-3 B ．m=1 C ．m=3 D ．m>-3 6．形如___________的函数是正比例函数．7．若x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x k2是正比例函数，则k=_________． 8．正比例函数y=kx （k 为常数，k<0）的图象依次经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________．9．已知y 与x 成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=________．11．在函数y=-3x 的图象上取一点P ，过P 点作PA ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为-•2，求△POA 的面积（O 为坐标原点）． 答案：1．C 3．D 4．A 6．y=kx （k 是常数，k ≠0） 7．+1 8．三、一；增大 9．-3 11．6．一元一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） 3、一次函数及性质（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.一次函数()0k kx b k =+≠k ，b 符号 0k > 0k <0b > 0b < 0b = 0b > 0b <0b = 图象Ox yyx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） 6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概 念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量 范 围 X 为全体实数 图 象 一条直线必过点 （0，0）、（1，k ）（0，b ）和（-kb，0） 走 向k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限 k ＞0，b ＞0,直线经过第一、二、三象限 k ＞0，b ＜0直线经过第一、三、四象限k ＜0，b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0，b ＜0直线经过第二、三、四象限 增减性 k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y 随x 的增大而减小。